Mas Colell cap. 09 traduzido

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1 João Batista da Luz Souza / Microeconomia II / Mas-Colell and Green 
CAPITULO 09 – JOGOS DINAMICOS 
 
9.A Introdução 
 
No capítulo 8, nós estudamos os jogos que se movem simultaneamente. A maioria das situações 
económicas, no entanto, envolver os jogadores escolher ações ao longo do tempo. Por exemplo, um 
sindicato e uma empresa pode fazer ofertas repetidas e counteroffers uns aos outros no curso das 
negociações sobre um novo contrato. Da mesma forma, as empresas em um mercado pode investir 
hoje em antecipação dos efeitos desses investimentos sobre suas interações competitivas no futuro. 
Neste capítulo, portanto, mudar nosso foco para o estudo dos jogos dinâmicos. 
Uma maneira de abordar o problema da previsão em jogos dinâmicos é simplesmente tirar suas 
representações forma normal e, em seguida, aplicar os conceitos solução estudada no Capítulo 8. No 
entanto, uma questão importante surge em novos jogos dinâmicos: a credibilidade da estratégia de um 
jogador. Esta questão é a preocupação central deste capítulo. 
 
Exemlo: o seu professor, um teórico dos jogos, anuncia: "Este é um curso importante, e quero 
dedicação exclusiva, quem não o fizer será impedido de realizar o exame final e, portanto, reprovado! 
 
Após um momento de perplexidade e alguma computação mental, seu primeiro pensamento é: "Dado 
que eu realmente prefiro este curso para todos os outros, é melhor eu seguir suas instruções. Mas 
depois de alguma reflexão, você se pergunta: "Será que ela realmente iria barrar o exame final se eu 
não obedecer? Esta é uma instituição séria, e ela certamente vai perder o emprego se realizar a 
ameaça. Você se concluir que a resposta é "não" e recusa a abandonar os outros cursos. 
 
Neste exemplo, diríamos que a estratégia de comunicação do seu instrutor, "vou impedi-lo de fazer o 
exame” não é credível. Tais ameaças vazias são o que nós pretendemos eliminar das estratégias de 
equilíbrio em jogos dinâmicos. 
 
Na Seção 9.B, demonstramos que o conceito de equilíbrio de Nash estudou no capítulo 8 não é 
suficiente para descartar nenhuma estratégia credível. Em seguida, apresentamos um conceito de 
solução mais forte, conhecido como equilíbrio de Nash perfeito em sub jogo, que ajuda a fazê-lo. A 
idéia central subjacente a este conceito é o princípio da racionalidade sequencial: estratégias de 
equilíbrio deve especificar o comportamento ideal a partir de qualquer ponto na frente do jogo, um 
princípio que está intimamente relacionado ao processo de indução retroativa. 
 
Na Seção 9.C, nós mostramos que o conceito de perfeição em subjogos não é forte o suficiente para 
capturar totalmente a idéia de racionalidade seqüencial em jogos de informação imperfeita. Em 
seguida, introduzir a noção de um equilíbrio perfeito Bayesiano fraco (também conhecido como um 
equilíbrio frágil seqüencial) para empurrar a análise mais aprofundada. A característica central de um 
equilíbrio perfeito Bayesiano fraco é a sua introdução explícita da opinião do jogador sobre o que 
pudesse ter ocorrido antes de sua mudança como um meio de testar a racionalidade seqüencial de 
estratégia do jogador. O modificador fraco se refere ao fato de que o conceito de equilíbrio frágil 
Bayesiano impõe um mínimo de serviços de restrições de consistência na opinião dos jogadores. 
Porque o conceito de equilíbrio frágil Bayesiano pode ser dedo fracos, nós também examinar algumas 
noções de equilíbrio relacionadas que impõem restrições mais fortes coerência nas crenças, 
 
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discutindo brevemente as noções mais fortes de equilíbrio Bayesiano perfeito e, em maiores detalhes, 
o conceito de equilíbrio seqüencial. 
 
Na Seção 9, D, vamos ainda mais longe, perguntando se certas crenças podem ser consideradas como 
"irracional" em algumas situações, permitindo-nos aperfeiçoar ainda mais nossas previsões. Isso nos 
leva a considerar a noção de indução para a frente. 
 
Estudos Apêndice A finito e horizonte infinito modelos de negociação bilateral como uma ilustração 
do uso de subjogo por pés equilíbrio de Nash em um aplicativo de grande importância econômica, 
Apêndice B amplia a discussão em 9.C Seção ao examinar a noção de uma forma extensiva equilíbrio 
de Nash perfeito. 
 
Devemos observar que, seguindo a maior parte da literatura sobre este assunto, toda a análise deste 
capítulo consiste em tentativas de "afinar"o conceito de equilíbrio de Nash. Propondo condições 
suplementares para esse equilíbrio a ser uma previsão "satisfatório", no entanto, as questões que 
discutimos aqui não estão confinados a esta abordagem. Poderíamos, por exemplo, se preocupar com 
nenhuma estratégia credível (crivel), mesmo que nós estávamos dispostos a impor a condição de 
expectativas mutuamente correto de equilíbrio de Nash e queria se concentrar apenas sobre os 
resultados racionalizável. 
 
9.B Racionalidade Seqüencial, indução retroativa e equilibrio em subjogos 
 
Começamos com um exemplo para ilustrar que, em jogos dinâmicos do conceito de equilíbrio de 
Nash pode não dar previsões sensatas. Esta observação leva-nos a desenvolver um reforço do 
conceito de equilíbrio de Nash conhecido como equilíbrio de Nash perfeito em subjogos. 
 
Exemplo 9.B.1: Considere o seguinte jogo de predação. E empresa (entrante) está pensando em 
entrar num mercado que atualmente tem um único (empresa I), logo as ações da empresa entrante é 
“entrar ou não entrar”. A empresa incumbente pode responder de duas formas: pode acomodar a 
entrante e manter o mesmo preço que estava praticando ou pode lutar contra a entrante engajando-se 
em uma guerra que reduz o preço de mercado. 
 
 
 
 
 
 
 
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Examinando a forma normal, podemos ver que este jogo tem duas estratégias puras equilíbrios de 
Nash: (out, fight) e (in, accommodate) 
 
No entanto o equilibrio (out, fight) não é uma previsão sensate para este jogo, pois envolve uma 
estrategia não crivel por parte da firma I, pois se firma e resolver entrar a firma I pode perder 1 ao 
inves de ganhar 1. Portanto sera menhor para a firma I acomodar, por isso a problemas de 
credibilidade da firma I. 
 
O exemplo 9.B.1 ilustra um problema com o conceito de equilíbrio de Nash em jogos dinâmicos. 
Neste exemplo, um dos jogadores faz ameaça vazia, que o outro jogador leva a sério quando escolher 
sua estratégia. 
 
Para descartar as previsões, tais como não criveis, é possivel utilizar o equilíbrio que satisfaz o 
princípio da racionalidade sequencial: Uma estratégia autor deve especificar ações ótimos em todos 
os pontos da árvore do jogo. Isto é, uma vez que um jogador se encontra em algum ponto na árvore, 
sua estratégia deve prescrever jogo que é ótima a partir desse ponto. 
 
No exemplo, existe um procedimento simples que pode ser usado para identificar o equilíbrio de 
Nash plausivel = (in, accommodate). Primeiro, determinar o comportamento ideal para a 
empresa que na fase de pós decisão de entrada do jogo. Quando tivermos feito isso, então, determinar 
o comportamento ótimo. 
 
 
 
Desta forma, é possivel identificar a estratégia de equilíbrio de Nash seqüencialmente racional que é 
 = (entra, acomodar). 
 
Este tipo de procedimento, que envolve achar os equilibrios de Nash e em seguida determinar qual o 
comportamento ideal no nó inícial do jogo, é conhecido como indução retroativa. É um processo que 
está intimamente ligada à idéia de racionalidade seqüencial porque assegura que as estratégias dos 
jogadores especificam o comportamento ideal em cada nó de decisão do jogo. 
 
O jogo em 9.B.l é um membro de uma classe geral de jogos em que o procedimento de indução 
podem ser aplicados para captar a idéia de racionalidade seqüencial com grande generalidade e poder: 
jogos finitos de informação perfeita. Estes são jogos em quecada conjunto de informações contém 
um nó de decisão única (em informação imperfeita existe um conjunto de informações) e não há um 
número finito de nós tal. Antes de introduzir um conceito de equilíbrio formal, primeiro discutir a 
aplicação geral do procedimento de indução para trás, para esta classe dos jogos. 
 
 
 
 
 
 
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Indução retroativa em jogos de informação perfeita e finito 
 
Para aplicar a idéia da indução retroativa em jogos finitos de informação perfeita, vamos começar por 
determinar as medidas ideais para se move em nós de decisão final na árvore (aqueles para os quais o 
sucessor de nós são apenas nós terminais). Assim como na empresa que é a entrada de pós-decisão em 
no exemplo 9.B.l, jogar a esses nós ainda não envolve as interações estratégicas entre os jogadores, e 
por isso a determinação do comportamento ideal nesses nós de decisão envolve um problema de 
decisão simples de uma única pessoa. Então, uma vez que estas serão as medidas tomadas nos nós de 
decisão final, podemos avançar para a próxima decisão que nós ao último e determinar as ações ideal 
para ser tomada lá pelos jogadores que antecipar corretamente as ações que se seguirão na final nós de 
decisão, e assim por diante para trás através da árvore de jogo. 
 
Este processo é facilmente implementado usando jogos reduzidos. Em cada etapa, após a resolução 
ideal para as ações do atual nós de decisão final, podemos derivar um novo jogo reduzido, excluindo 
a parte do jogo a seguir esses nós e atribuindo a esses nós as recompensas que resultam da 
continuação do jogo já determinado. 
 
Exemplo 9.B.2: Considere o jogo com três jogadores finitos de informação perfeita. As setas na 
figura indicam a melhor jogada. 
 
 
 
A figura a seguir é o jogo reduzida formada por substituição destes nós de decisão final pelo payoffs 
que resultam do jogo ideal uma vez que esses nós tenham sido atingidos. 
 
 
A figura a seguir representa o jogo reduzida derivada na próxima etapa do procedimento de indução 
retroativa, quando os nós de decisão final do jogo anterior são substituídos pelos pagamentos 
decorrentes de jogo ideal nestes nós (mais uma vez indicado pelas setas). , 
 
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Apenas o equilíbrios de Nash que resulta do payoff (5,4,4) cumprem o princípio da racionalidade 
sequencial. Para os jogos finitos de informação perfeita, temos o resultado geral apresentado na 
Proposição 9.B.1. 
Proposição 9.8.1: (Teorema de Zermelo) Todo jogo finito de informação perfeita tem uma estratégia 
de equilíbrio de Nash puro que pode ser obtida por indução retroativa. 
 
Equilíbrios de Nash perfeitos em subjogos 
 
É bastante claro como aplicar a principia da racionalidade seqüencial quando aplicado em jogos 
finitos de informação perfeita. Agora vejamos um exemplo de como podemos identificar os 
equilíbrios de Nash que satisfazem o princípio da racionalidade sequencial em mais jogos que 
envolvendo informação imperfeita. 
 
Exemplo 9.B.3: Nós consideramos a mesma situação no exemplo 9.B.l exceto que as empresas de I e 
E agora jogar um jogo que se movem simultaneamente após a entrada, cada um escolhendo quer "não 
acomodar" ou "acomodar" As representações de forma extensiva e normal estão representados 
abaixo. 
 
 
 
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Examinando a forma normal, vemos que neste jogo há três equilíbrio de Nash em estrategias puras: 
 
 
Observe, entretanto, que (acomodar, acomodar) é o único equilíbrio de Nash no jogo que se segue 
movimento simultâneo de entrada. Assim, as empresas devem esperar que ambos irão jogar 
"acomodar". A lógica da racionalidade seqüencial, portanto, sugere que apenas o último dos 
equilíbrios três é uma previsão razoável neste jogo. 
 
A exigência de racionalidade seqüencial ilustrado neste e nos exemplos anteriores é capturado pela 
noção de um equilíbrio de Nash perfeito em subjogos [introduzidas pelo Selten (1965)]. Antes de 
definir formalmente este conceito, no entanto, é preciso especificar o que é um subjogo é. 
 
Definição 9.B.1:. Um subjogo de um jogo na forma extensiva é um subconjunto do jogo com as 
seguintes propriedades (subjogo Gs do jogo completo GT): 
 
1. Gs tem os mesmos jogadores que GT, embora alguns deles possam não fazer nenhum 
movimento em Gs; 
2. O nó inicial de GS é uma sub-raiz de GT. Tendo inicio em um conjunto de informações que 
contém um nó de decisão único; 
3. A árvore do jogo de Gs consiste nessa sub-raiz todos os seus nós sucessores e os ramos entre 
eles. 
 
Note-se que de acordo com a definição 9.B.1, o jogo como um todo é um subjogo. Na Figura 9.B.1, há 
dois subjogos: o jogo como um todo e da parte da árvore de jogo que começa com I. Na Figura 9.B.4 
também tem dois subjogos:. o jogo como um todo e a parte do início do jogo a partir da firma E. 
 
Na figura 9.B.5, as linhas pontilhadas indicam as três partes do jogo de 9.B.4 figura que não estão em 
subjogos. 
 
 
 
 
 
 
 
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Finalmente, note que em um jogo finito de informação perfeita, cada nó de decisão inicia um subjogo. 
 
A principal característica de um subjogo é que, contemplado de forma isolada, é possivel aplicar a 
idéia de predições do equilíbrio de Nash. 
 
Definição 9.B.2: Um perfil das estratégias em uma joga na forma é um 
equilíbrio de Nash perfeito em subjogos (SPNE) se ele induz a um equilíbrio de Nash em cada 
subjogo do . 
 
Considere uma jogo na forma extensiva. Argumentam que: 
 
a) Se o subjogo é só o jogo como um todo, então todo equilíbrio de Nash é subjogo perfeito; 
b) Um equilíbrio de Nash perfeito em subjogos induz a um equilíbrio de Nash subjogo perfeito em 
todos os subjogos do 
 
No exemplo 9.B.1, o equilíbrio de Nash perfeito em subjogos é “acomodar” tomando o nó inicial a 
decisão da firma I. Da mesma forma, em 9.B.3 "acomodar " após a entrada é o equilíbrio de Nash 
único neste subjogo. 
 
Note também que em jogos finitos de informação perfeita, como os jogos de exemplos 9.B.1 e 9.B.2, 
o conjunto de SPNEs coincide com o conjunto de equilíbrios de Nash que pode ser obtido através do 
procedimento de indução retroativa. 
 
Lembre-se, em particular, que em jogos finitos de informação perfeita a cada nó de decisão inicia um 
subjogo. 
 
Proposição 9.B.2: Todo jogo finito de informação perfeita na forma tem uma estratégia pura de 
equilíbrio de Nash perfeito em subjogos. 
 
De fato, para identificar o conjunto de equilíbrios de Nash perfeitos em subjogos em geral do jogo 
finite, dinâmico na forma , podemos utilizar uma generalização do procedimento de indução 
retroativa. Este procedimento de indução generalizada trás funciona da seguinte forma: 
 
1. Início no final da árvore de jogo, e identificar os equilíbrios de Nash para cada um dos 
subjogos final; 
2. Selecione um equilíbrio de Nash em cada um desses subjogos montando uma nova arvore 
com um jogo reduzido; 
3. Repita as etapas 1 e 2 para o jogo reduzido. Até encontrar o SPNE. 
 
A justificativa formal para a utilização desse procedimento de indução retroativa 
generalizada para identificar o conjunto de SPNEs é mostrado na Proposição 9.B.3. 
 
Exemplo 9.B.4: Considere-se uma alteração do exemplo 9.B.3 ao invez de lutar ou 
acomodar, vamos supor que há dois nichos de mercado, um grande e um pequeno. Após a 
entrada, as duas empresas decidem simultaneamente nicho que eles vão atuar. Por exemplo, 
os nichos podem corresponder a dois tipos de clientes, e as empresas podem ter que decidir 
qual o tipo que se dirigem a sua concepção do produto. Ambas as empresas perdem dinheiro 
se quiserem o mesmo nicho. Se optarem por diferentes nichos,a empresa que tem como alvo 
o grande nicho ganha um lucro, e a empresa com o pequeno nicho incorre em uma perda, mas 
uma perda menor do que se atuarem no mesmo nicho. A forma extensiva deste jogo é 
 
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mostrado na Figura 9.B.6. 
 
 
 
 
 
Para determinar o SPNE deste jogo, considere o subjogo pós-entrada em primeiro lugar. Há 
dois equilíbrios de estratégia pura de Nash deste jogo que se movem simultaneamente: (nicho 
grande, pequeno nicho) e (pequeno nicho, nicho grandes). Em qualquer estratégia pura 
SPNE, as estratégias da empresa devem induzir um desses dois equilíbrios de Nash em 
subjogos pós-entrada. 
 
Suponha-se, em primeiro lugar, que as empresas desempenharão (nicho grande, pequeno 
nicho). Neste caso, os retornos de alcançar o subjogo pós entrada é . A firma 
E faz a escolha otima, portanto, é um SPNE quendo = (nicho grande, pequenos 
nichos).???? 
 
 
 
 
Agora, suponha que o jogo pós-entrada seja (pequeno nicho, nicho de grandes) chegando ao 
retorno . Neste caso a melhor estrategia para E é não entrar. 
 
Como os jogos de formação perfeita, um jogo com informação imperfeita pode, em geral, 
têm muitos subjogos, com um subjogo aninhada dentro de outra. 
 
9.C Crenças e Racionalidade Seqüencial 
Embora a perfeição em subjogos é frequentemente muito útil para capturar o postulado da 
racionalidade sequencial, às vezes não é suficiente. Considere o jogo 9.C.l que é uma 
adaptação do jogo 9.B.1. 
 
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Exemplo 9.C.l: Vamos agora supor que existem duas estratégias da empresa E pode utilizar 
“entrar” e “entrar 2”. E que a empresa I é incapaz de dizer qual a estratégia E empresa tem 
utilizado – conjunto de informação. A figura 9.C.l retrata esse jogo e seus retornos. 
 
 
 
No jogo 9.B.l, existem dois equilíbrios de Nash de estratégia pura aqui: (ficar fora, luta se a 
entrada ocorre) e (entrar 2, acomodar se a entrada ocorre). Mais uma vez, no entanto, o 
primeiro destes não parece muito razoável, independentemente da entrada E empresa tem 
usado a estratégia, o operador histórico prefere acomodar uma vez a entrada ocorreu. Mas o 
critério de perfeição subjogos é absolutamente inútil aqui: Porque o subjogo é só o jogo como 
um todo. 
 
Como podemos eliminar o equilíbrio não razoável aqui? Uma possibilidade, é o princípio da 
racionalidade seqüencial e as crença sobre as estratégias de entrada da empresa E. De fato, no 
Exemplo 9.C.l, "lutar se a entrada ocorrer" não é uma escolha ideal para qualquer crença de 
que a empresa que eu poderia ter. Isto sugere que poderemos fazer algum progresso 
formalmente considerar as crenças e usá-los para testar a racionalidade sequencial das 
estrategias dos jogadores. 
 
Vamos agora introduzir um conceito de solução, que chamamos de um equilíbrio Bayesiano 
fraco [Myerson (1991) refere-se a esse mesmo conceito como um fraco equibrio seqüencial], 
que estende o princípio da racionalidade sequencial formalmente introduzindo o conceito de 
crenças. Ela exige, grosso modo, que a qualquer momento no jogo, a estratégia de um 
jogador prescrever ações ótimas a partir desse ponto dado o seu adversário, estratégias e suas 
crenças sobre o que aconteceu até agora no jogo e que suas crenças sejam coerentes com as 
estratégias que estão sendo jogado. 
 
Para exprimir essa noção formal, é preciso primeiro definir formalmente os dois conceitos 
que são seus componentes fundamentais: as noções de um sistema de crenças e a 
racionalidade seqüencial das estratégias. Crenças são simples. 
 
Definição 9.C.1: Um sistema de crenças em forma extensiva jogo é uma 
especificação de uma a probabilidade de cada nó de decisão X em de tal forma 
que 
 
 
para todos os conjuntos de informações H. 
 
Um sistema de crenças pode ser entendido como a especificação, para cada conjunto de 
 
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informações, uma avaliação probabilística pelo jogador que se move a esse conjunto de 
probabilidades relativas de estar em cada um de nós o conjunto de informações de decisão 
diversos, condicionada à execução tendo chegado a essa informação definida 
 
Para definir a racionalidade seqüencial, é útil para deixar utilidade esperada 
 do jogador i denota a partir de sua informação "conjunto H, se suas 
crenças sobre a probabilidade condicional de estar em vários nós em H são dadas por , se 
ela segue a estratégia , e se seus rivais usam estratégias : [Não vamos escrever a 
fórmula para esta expressão de forma explícita, embora seja conceitualmente simples: Fingir 
que o distribuição de probabilidades sobre nós é gerado por natureza, então o 
jogador i do retorno esperado é determinado pela distribuição de probabilidade que é 
induzida a nós terminais pela combinação dessa distribuição inicial, bem como as estratégias 
dos jogadores, a partir deste ponto.] 
 
Definição 9.C.2: Uma perfil de estratégia em forma extensiva jogo é 
seqüencialmente racional em informações do H dado um sistema de crenças se, 
denotando por o jogador que se move em informações do H, temos 
 
 
 
para todas as . Se a estratégia perfil satisfaz essa condição para todas as 
informações conjuntos H, então dizemos que é seqüencialmente determinado sistema de 
crença racional. 
 
Um perfil de estratégia é seqüencialmente racional se nenhum jogador 
acha que vale a pena, uma vez que um dos sets de informação tem sido alcançado, a rever sua 
estratégia dado a ela: crenças sobre o que já ocorreu (tal como consagrado no ) e seu rivais 
estratégias. 
 
Com estas duas noções, podemos agora definir um equilíbrio Bayesiano fraco. A definição 
implica duas condições: primeiro, as estratégias devem ser seqüencialmente racional crenças 
dado. Em segundo lugar, sempre que possível, as crenças devem ser coerentes com as 
estratégias. A idéia por trás a condição de consistência sobre as crenças é o mesmo que a ideia 
subjacente ao conceito de equilíbrio de Nash (ver secção 8.D): os jogadores devem ter 
crenças corretas sobre as escolhas de seus oponentes estratégia. 
 
Para motivar a exigência de consistência específica sobre as crenças a ser feita na definição 
de equilíbrio fraco Bayesiana, pense em como podemos definir a noção de crenças coerente 
no caso especial em que a estratégia de equilíbrio de cada jogador é atribuida uma 
probabilidade estritamente positiva para cada ação possível em cada um dos conjuntos de 
informações (conhecido como uma estratégia completamente misturado). 
 
A noção natural de crenças sejam consistentes com a execução da estratégia de equilíbrio de 
perfil neste caso é simples: Para cada x nó na informação que um dado jogador do 
conjunto H, o jogador deve calcular a probabilidade de alcançar esse jogo determinado nó de 
estratégias , e ela deve, então, atribuir probabilidades condicionais de ser 
ateach desses nós, dado que chegou a jogar esta informação definida usando a regra de 
Bayes. 
 
 
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Como exemplo concreto, vamos supor que no jogo em 9.C.1 exemplo, e empresa está usando 
a estratégia mista, que atribui uma probabilidade de 1/4 "para fora", 1/2 para "entrar 1" e ¼ 
"entrar 2 ". Então, a probabilidade da empresa I atingir um conjunto de informações com os 
dois n´s de decisão é de ¾. 
 
A questão mais difícil surge quando os jogadores não estão usando estratégias 
completamente misas. Neste caso, alguns conjuntos de informações não pode mais ser 
alcançado com uma probabilidade positiva, e por isso não podemos usar a regra de Bayes 
para calcular probabilidades condicionais dos nós nestes conjuntos de informações. Em um 
patamar intuitiva, este problema corresponde à idéia de que mesmo se os jogadoresestavam a 
jogar o jogo várias vezes, o jogo de equilíbrio geraria nenhuma experiência em que se poderia 
basear suas crenças a esses conjuntos de informações. O conceito de equilíbrio frágil 
Bayesiano tem uma visão agnóstica em relação ao que os jogadores devem acreditar, se 
brincar, já que para alcançar estes conjuntos de informações de forma inesperada. 
 
Nós podemos agora dar uma definição formal 
 
Definição 9.C.3: Um perfil das estratégias e sistema de crenças é um equilíbrio 
bayesiano perfeito fraco (PBE fracos) em forma de jogo extensivo se tem as seguintes 
propriedades: 
 
1. O perfil de estratégia é seqüencialmente racional determinado sistema de crença 
; 
2. O sistema de crenças é derivado de um perfil de estratégia por meio de regra de 
Bayes, sempre que possível. Ou seja, para qualquer conjunto de informação H tal que 
 (leia-se como a probabilidade de a informação chegar conjunto H é 
positiva no âmbito das estratégias ), temos de ter 
 
É de notar que a definição formal incorpora crenças, como parte de um equilíbrio, 
identificando um par de estratégia e crenças como um equilíbrio bayesiano perfeito 
fraco. Ou seja, um conjunto de estratégias será conhecido como de equilíbrio se hover 
pelo menos um conjunto de crenças associadas tal que satisfaça exposto na 
definição 9.C.3. 
 
Uma maneira útil de compreender a relação entre o conceito fraco PBE: 
 
Proposição 9.C.1: Uma estratégia de perfil o é um equilíbrio de Nash, do jogo na forma 
extensa , se e somente se existe um sistema de crenças tais que: 
 
1) O perfil de estratégia é seqüencialmente racional e determinado sistema de crença em 
todas as informações conjuntos H tal que ; 
2) O sistema de crenças é derivado do perfil de estratégias através da regra de 
Bayes, sempre que possível. 
 
Exemplo 9.C.l Continuação: Claramente, a empresa I devo jogar "acomodar se a entrada 
 
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ocorrer" em qualquer equilíbrio perfeito Bayesiano fraca porque é a ação ótima a partir de 
sua informação definida para qualquer sistema de crenças. Assim, as estratégias de equilíbrio 
de Nash (fora, a luta ocorre se a entrada) não pode ser parte de qualquer PBE fraco. 
 
E sobre a estratégia pura de equilíbrio de Nash, (entrar, se acomodar se a entrada ocorre), 
para mostrar que este perfil de estratégia é parte de um PBE fracos, precisamos completar 
estas estratégias com um sistema de crenças que satisfazem o critério (2) da definição 9.C.3 e 
que levam estas estratégias a serem sequencialmente racional. Nota que satisfaz o critério 
(2), o operador histórico crenças deve atribuir uma probabilidade de ser no nó da esquerda 
em seu conjunto de informações, porque esse conjunto de informações é alcançado com 
probabilidade positiva diante das estratégias (entrar 1, acomodar a entrada ocorre) uma 
especificação de crenças, nestas informações esta um sistema de crenças, neste jogo. Além 
disso, estas estratégias são, de fato, seqüencialmente racional dado este sistema de crenças. 
Na verdade, esta estratégia par de crenças é o único PBE fraco neste jogo (puro ou misto).