PA de ordem N

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PA de ordem � 
Professor Narciso Busatto 
 
1 
 
PA de ordem n 
 
PA de ordem 2 
Observe a seqüência abaixo: 
(3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, … ) 
 Trata-se de uma seqüência crescente infinita. Iniciando o nosso estudo, surge o 
primeiro questionamento: Essa seqüência é uma PA? Ao testarmos a constância da razão, logo 
notamos que não se trata de uma PA, já que a razão entre o primeiro e segundo termos é 3 e a 
razão entre o segundo e terceiro é 5. Assim, como a razão não é constante, podemos descartar 
a possibilidade de ser uma PA. 
 No entanto, note o que acontece com a razão dessa seqüência: 
 
 
(3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, … ) 
 Note que, a partir da seqüência inicial, obtemos uma segunda seqüência. 
 
(3, 5, 7, 9, 11, 13, … ) 
 Trata-se de uma PA infinita. Assim, a primeira seqüência não é uma PA, mas as 
diferenças entre termos consecutivos geram uma PA. A essa primeira seqüência chamamos de 
PA de ordem 2. 
 
Definição: 
“Considere que a seqüência �: (��, ��, ��, … , ��, … ) não constitua uma PA, mas que a 
seqüência �: (��, ��, ��, … , ��, … ) obtida pelas diferenças de seus termos consecutivos seja 
uma PA. Logo, a seqüência � é denominada progressão aritmética de ordem 2 ou progressão 
aritmética de 2ª ordem.” 
 
Note algumas propriedades dessa definição. 
 
 
Propriedades: 
 
(1) Note que o elemento �� é a diferença entre �� e ��. Assim, temos que 
�� = �� − �� 
Ao fazermos a mesma análise para ��, temos que 
�� = �� − �� 
Então, de forma geral, podemos gerar a fórmula 
�� = ���� − �� 
 
 
 
 
3 5 7 9 11 13 
PA de ordem � 
Professor Narciso Busatto 
 
2 
 
(2) Dada a observação da propriedade anterior, note que, se �� = �� − ��, podemos 
reescrever essa expressão como 
�� = �� + �� 
Usando a mesma análise para ��, temos que 
�� = �� + �� 
Como já sabemos o valor de ��, ao substituirmos temos: 
�� = �� + �� + �� 
Assim, note que podemos gerar a seguinte fórmula: 
�� = �� + �� + �� + ⋯ + ���� 
Não se esqueça que: 
�� = �� + �� + �� + ⋯ + ���������������� 
! #$%& '$# ��� ()*%+*)$#
,+)%$# '& -!
 
Aplicando a fórmula da soma, temos: 
�� = �� +
(�� + ����)(� − 1)
2 
Substituindo a fórmula do termo geral ���� = �� + (� − 2)., temos: 
�� = �� +
(�� + �� + (� − 2).)(� − 1)
2 
= �� +
(2�� + (� − 2).)(� − 1)
2 
= �� +
2��(� − 1) + (� − 1)(� − 2).
2 
�� = �� + ��(� − 1) +
(� − 1)(� − 2).
2 
________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
Qual é o 20º termo da seqüência (3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, … )? 
 
O termo geral da seqüência acima é �� = �� + 2. Logo, ��/ = 20� + 2 = 402. Vamos testar 
se a fórmula acima leva ao mesmo resultado: 
A partir da seqüência acima, obtemos pela razão dos seus termos consecutivos a seqüência 
(3, 5, 7, 9, 11, 13, … ) 
Assim, temos os seguintes dados necessários para a fórmula: 
�� = 3 , �� = 3 , . = 2 
Substituindo na fórmula, temos: 
�� = �� + ��(� − 1) +
(� − 1)(� − 2).
2 
�� = 3 + 3(� − 1) +
(� − 1)(� − 2)2
2 
�� = 3 + 3(� − 1) + (� − 1)(� − 2) 
Como queremos o 20º temos, temos: 
��/ = 3 + 3(20 − 1) + (20 − 1)(20 − 2) 
��/ = 3 + 3(19) + (19)(18) 
��/ = 3 + 57 + 342 = 402 
_____________________________________________________________________________ 
PA de ordem � 
Professor Narciso Busatto 
 
3 
 
 
 
 
(3) Aproveitando uma dica dada no exemplo anterior, vale ressaltar que toda fórmula que 
define o termo geral de uma PA de ordem 2 é, necessariamente, uma equação do 2º grau. Por 
exemplo, é necessário saber se uma seqüência cujo termo geral é 2� = �� + 2� − 2 é uma PA 
de ordem 2. Como o termo geral é uma equação do 2º grau, isso é suficiente para concluirmos 
que realmente é. Para testarmos, teríamos: 
 
Para � = 1, 
2� = 1� + 2.1 − 2 = 1 
Para � = 2, 
2� = 2� + 2.2 − 2 = 6 
Para � = 3, 
2� = 3� + 2.3 − 2 = 13 
Para � = 4, 
24 = 4� + 2.4 − 2 = 22 
 
Observe que a seqüência (1, 6, 13, 22, … ) realmente é uma PA de ordem 2, pois a diferença 
dos seus termos consecutivos gera a PA (5, 7, 9, … ). 
 
 
(4) Caso seja necessária, a soma dos n primeiros termos de uma PA de ordem 2 é: 
5� = ��. � +
��
2 �(� − 1) +
.
6 �(� − 1)(� − 2) 
 
 
 
PA de ordem 3 
 
 
 
Observe a seqüência 
� = (1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, … ) 
Não é uma PA, pois não possui razão constante. Note que as diferenças entre seus termos 
consecutivos geram a seqüência 
� = (7, 19, 37, 61, 91, 127, … ) 
que também não é uma PA. Mas a seqüência gerada pelas diferenças dos termos da seqüência 
anterior 
6 = (12, 18, 24, 30, 36, … ) 
é uma PA. Assim, podemos afirmar que a seqüência � é uma PA de ordem 2 e, portanto, 
denominamos a seqüência � como PA de ordem 3. 
 
 
PA de ordem � 
Professor Narciso Busatto 
 
4 
 
CURIOSIDADE: 
No exemplo acima, o termo geral da seqüência 6 é 2� = 6� + 6. Como o termo é uma 
equação do 1º grau o que indica uma PA (“PA de ordem 1”). O termo geral da seqüência � é 
�� = 3�� + 3� + 1 o que indica uma PA de ordem 2 (propriedade (3)). Por fim, o termo geral 
da seqüência � é �� = �� o que caracteriza uma equação do 3º grau e, conseqüentemente, 
uma PA de ordem 3. 
 
 
 
PA de ordem n 
 
Define-se uma PA de ordem � como sendo uma seqüência, que não constitua uma PA, mas 
que as diferenças dos seus termos gerem uma PA de ordem � − 1. Dando continuidade ao 
processo, chegamos a uma PA de ordem 3, que gera uma PA de ordem 2, que, por fim, gera 
uma PA (processo em cadeia). 
 
 
Propriedades: 
 
(1) Toda fórmula que define o termo geral de uma PA de ordem n é, necessariamente, uma 
equação de grau n. 
 
 
(2) A soma dos 7 primeiros termos de uma PA de ordem n é: 
58 = ∆� : 7� + 1; + ∆��� :
7
�; + ⋯ ∆� :
7
2; + �� :
7
1; 
sendo 
∆� a diferença entre os dois primeiros da PA de ordem �, ou seja, é o primeiro elemento da PA 
de ordem � − 1 
∆� a diferença entre os dois primeiros da PA de ordem � − 1, ou seja, é o primeiro elemento 
da PA de ordem � − 2 
... 
∆��� a diferença entre os dois primeiros da PA de ordem 2, ou seja, é o primeiro elemento da 
PA. 
∆� a diferença entre os dois primeiros da PA, ou seja, é a razão da PA. 
 
e 
 
:�<; é a representação do número binomial cuja fórmula é 
:�<; =
�!
(� − <)! <! 
 
 
A demonstração dessa fórmula está disponível no ANEXO I 
PA de ordem � 
Professor Narciso Busatto 
 
5 
 
 
_____________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
Temos a seqüência 
(1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, … ) 
Trata-se de uma PA de ordem 5. Desejamos criar uma fórmula para a soma dos n primeiros 
termos dessa seqüência, para isso, temos: 
• �� = 1 
• ∆�= 32 − 1 = 31 
• ∆�= 211 − 31 = 180 
• ∆�= 570 − 180 = 390 
• ∆4= 750 − 390 = 360 
• ∆>= 480 − 360 = 120 
 
Usando a fórmula, temos: 
58 = ∆> :76; + ∆4 :
7
5; + ∆� :
7
4; + ∆� :
7
3; + ∆� :
7
2; + �� :
7
1; 
58 = 120 :76; + 360 :
7
5; + 390 :
7
4; + 180 :
7
3; + 31 :
7
2; + 1 :
7
1; 
 
Para os 7 primeiros termos: 
1 + 32 + 243 + 1024 + 3125 + 7776 + 16807 = 29008 
Pela fórmula: 
58 = 120 :76; + 360 :
7
5; + 390 :
7
4; + 180 :
7
3; + 31 :
7
2; + 1 :
7
1; 
58 = 120.7 + 360.21 + 390.35 + 180.35 + 31.21 + 1.7 
58 = 840 + 7560 + 13650 + 6300 + 651 + 7 = 29008 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
 
Termo Geral 
 
 Em alguns casos, é necessária a obtenção do termo geral de uma PA de ordem �. Uma 
dica para facilitar o processo de obtenção é conhecendo os termos gerais das PAs de ordem 
� + 1 ou � − 1. O segredo está na fórmula: 
�� = ���� − ��(1) De cima para baixo. 
 
Temos a seqüência 
� = (1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, … ) 
PA de ordem � 
Professor Narciso Busatto 
 
6 
 
cujo termo geral é �� = ��. A seqüência obtida pelas diferenças dos termos consecutivos é: 
� = (7, 19, 37, 61, 91, 127, … ) 
Para obtermos seu termo geral, temos: 
�� = ���� − �� 
 
 
Note que �� = �� e ���� = (� + 1)�. Substituindo: 
�� = (� + 1)� − �� 
�� = �� + 3�� + 3� + 1 − �� 
cancelando 
�� = 3�� + 3� + 1 
O que é esperado já que trata-se de uma PA de ordem 2. 
 
 
 
(2) De baixo para cima. 
 
Temos a seqüência 
? = (1, 5, 9, 13, 17, … ) 
cujo termo geral é @� = 4� − 3. Trata-se de uma PA de razão 4. Desejamos utilizá-la para 
obtermos uma PA de ordem 2. Lembre-se aqui que é necessária a escolha do primeiro termo 
da PA de ordem 2. Portanto, considere que A� = 2. 
Para obtermos o termo geral da PA de segunda ordem, partimos do princípio de que esse 
termo geral é uma equação do 2º grau (propriedade (3)). Assim, escreveos: 
A� = ��� + �� + 2 
Por conseqüência, 
A��� = �(� + 1)� + �(� + 1) + 2 
Assim, tomando a equação 
@� = A��� − A� 
temos, 
4� − 3 = �(� + 1)� + �(� + 1) + 2 − (��� + �� + 2) 
4� − 3 = �(� + 1)� + �(� + 1) + 2 − ��� − �� − 2 
Desenvolvendo, temos: 
4� − 3 = ��� + 2�� + � + �� + � + 2 − ��� − �� − 2 
Cancelando, temos: 
4� − 3 = 2�� + � + � 
Dessa equação obtemos o seguinte sistema 
BC − D = EFC + F + G 
H 4 = 2�−3 = � + �I 
Resolvendo, obtemos � = 2, � = −5 
Assim, chegamos à 
A� = 2�� − 5� + 2 
Aqui entra a importância da escolha de A�. Sem essa escolha, não conseguimos obter o valor 
de 2. Considerando � = 1, temos 
PA de ordem � 
Professor Narciso Busatto 
 
7 
 
A� = 2. 1� − 5.1 + 2 = 2 
2 − 5 + 2 = 2 
2 = 5 
e o termo geral 
A� = 2�� − 5� + 5 
 
Fazendo um teste, a PA de ordem 2 obtida pelo A� escolhido e pela PA em questão é: 
(2, 3, 8, 17, 30, 47, 68, … ) 
 
Para o teste, note que AJ = 68. Pelo termo geral obtido, temos: 
AJ = 2. 7� − 5.7 + 5 
AJ = 98 − 35 + 5 = 68 
 
 
Curiosidade 
 
O Triângulo de Pascal apresenta uma curiosidade interessante: 
 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1 
1 6 15 20 15 6 1 
.... 
 
Note que a primeira coluna possui apenas valores 1. Já a segunda, é uma PA. Como a terceira 
coluna se apóia na segunda, trata-se de uma PA de ordem 2. A quarta, uma PA de ordem 3. E 
assim sucessivamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PA de ordem � 
Professor Narciso Busatto 
 
8 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. (UnB) Julgue os itens abaixo como certo ou errado. 
 
Se uma seqüência de números reais {��}, � = 1, 2, 3, … é uma progressão aritmética de razão 
., então �� = �� + (� − 1).. Dessa forma, os pontos do plano cartesiano que têm 
coordenadas (1, ��), (2, ��), (3, ��), … estão alinhados. Para essa seqüência, a soma de seus 7 
primeiros termos é igual a 
(&M�&N)8
� . 
Suponha agora, que a seqüência de números reais {��}, � = 1, 2, 3, … não constitua uma PA, 
mas que a seqüência {2�}, formada pelas diferenças de seus termos consecutivos, isto é, 
2� = ���� − �� seja uma PA. Nesse caso, {��} é denominada progressão aritmética de ordem 
2. Com base nesses conceitos e considerando {��}, � = 1, 2, 3, … uma PA de ordem 2 e {2�} a 
seqüência formada pelas diferenças de seus termos consecutivos, como definido 
anteriormente, julgue os itens que se seguem: 
(1) A seqüência 1, 4, 11, 22, 36, 53, 73 é um exemplo de uma PA de ordem 2. 
(2) A seqüência cuja fórmula do termo geral é A� = �� − �, para � = 1, 2, 3, …, é uma PA 
de ordem 2. 
(3) �� = �� + 2� + 2� + ⋯ + 2���. 
(4) 28 = 2� + (7 − 1)., em que . = �� − 2�� + ��. 
 
 
 
02. Considere a seqüência com formato triangular 
2
 4 6
 8 10 12 14 16 18 20
…
 
(a) Qual é o primeiro elemento que está na 22ª linha? 
(b) Qual é o último elemento da 25ª linha? 
 
 
03. (UENF) Observe a seqüência numérica a seguir 
(0, 3, 8, 15, 24, … ) 
Determine, em relação a esta seqüência: 
(a) seu 6º elemento; 
(b) a expressão do termo de ordem n. 
 
 
 
 
 
 
 
PA de ordem � 
Professor Narciso Busatto 
 
9 
 
04. (UnB) Considere a construção de escadas, em diversos estágios, efetuada empilhando-se 
cubos de mesmas dimensões, como mostrado na figura seguinte, na qual os cubos que servem 
de apoio para as aparentes estão ocultos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Com referência a situação descrita e representando por �� o número total de cubos 
empregados no n-ésimo estágio, julgue os itens. 
(1) �O > 60. 
(2) No n-ésimo estágio, existem � (���)� cubos na escada n. 
(3) ��/ = (�/��)� + �R. 
(4) Se @� representa o número de cubos da escada n no n-ésimo estágio, então a 
seqüência das diferenças A� = @� − @���, para � ≥ 2, forma uma progressão 
aritmética. 
 
 
05. (UCB) Observe a seqüência de triângulos ����6�, em que � = 1, 2, 3, … 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No vigésimo triângulo da seqüência acima, triângulo ��/��/6�/, teremos T triângulos 
não hachurados. Com base nessas informações, determine o valor da expressão 
U
� − 40. 
 
 
 
1º estágio 
2º estágio 
3º estágio 
escada 1 escada 2 escada 3 
escada 1 
escada 2 escada 1 
�� 
�� 6� 
�� 
�� 6� 
�� 
�� 6� 
�4 
�4 64 
PA de ordem � 
Professor Narciso Busatto 
 
10 
 
GABARITO 
 
01. E, C, C, C. 
02. (a) 464 (b) 650 
03. (a) 35 (b) �� = �� − 1 
04. E, C, C, C. 
05. 87 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PA de ordem � 
Professor Narciso Busatto 
 
11 
 
ANEXO I 
Demonstração da Soma dos n primeiros termos de uma PA de ordem k 
 
Para darmos início à demonstração, façamos a seguinte suposição: Considere uma PA de 
ordem n: 
(��, ��, ��, … , �8) 
Suponha que a seqüência gerada pelas diferenças dos termos consecutivos da seqüência 
anterior seja: 
(��, ��, ��, … , �8��) 
Ou seja, uma PA de ordem � − 1. Continuando o processo, obtemos uma PA de ordem � − 2: 
(2�, 2�, 2�, … , 28��) 
e assim por diante, até obtermos a PA de ordem 2: 
(V�, V�, V�, … , V8����) 
e a PA: 
(T�, T�, T�, … , T8����) 
de razão .. 
 
Nosso interesse é a soma dos 7 primeiros termos da PA de ordem �. Assim, considere que: 
58 = �� + �� + �� + … + �8 
Utilizando as equações observadas na propriedade (1), temos: 
�� = �� + �� 
�� = �� + �� + �� 
... 
�8 = �� + �� + �� + �� + ⋯ + �8�� 
Substituindo, temos: 
58 = �� + �� + �� + … + �8 
58 = �� + (�� + ��) + (�� + �� + ��) + … + (�� + �� + �� + �� + ⋯ + �8��) 
Juntando, temos: 
58 = 7�� + (7 − 1)�� + (7 − 2)�� + … + �8�� 
 
Fazendo o mesmo processo com os elementos da PA de ordem � − 1 em relação aos 
elementos da PA de ordem � − 2, temos: 
�� = �� + 2� 
�� = �� + 2� + 2� 
... 
�8�� = �� + 2� + 2� + 2� + ⋯ + 28�� 
Substituindo, temos: 
58 = 7�� + (7 − 1)�� + (7 − 2)�� + (7 − 3)�� + ⋯ + �8�� 
58 = 7�� + (7 − 1)�� + (7 − 2)(�� + 2�) + (7 − 3)(�� + 2� + 2�) + ⋯ + (�� + 2� + 2�
+ 2� + ⋯ + 28��) 
Juntando, temos: 
58 = 7�� + 
7(7 − 1)
2 �� +
(7 − 1)(7 − 2)
2 2� + 
(7 − 2)(7 − 3)
2 2� + ⋯ + 28�� 
 
PA de ordem � 
Professor Narciso Busatto 
 
12 
 
Continuando, temos: 
2� = 2� + A� 
2� = 2� + A� + A� 
... 
28�� = 2� + A� + A� + A� + ⋯ + A8�� 
Substituindo, temos: 
58 = 7�� + 
7(7 − 1)
2 �� +
(7 − 1)(7 − 2)
2 2� + 
(7 − 2)(7 − 3)
2 2� +
(7 − 3)(7 − 4)
2 2� …
+ 28�� 
58 = 7�� + 
7(7 − 1)
2 �� +
(7 − 1)(7 − 2)2 2� + 
(7 − 2)(7 − 3)
2 (2� + A�)
+ (7 − 3)(7 − 4)2 (2� + A� + A�) … + (2� + A� + A� + A� + ⋯ + A8��) 
 
Juntando, temos: 
58 = 7�� + 
7(7 − 1)
2 �� +
7(7 − 1)(7 − 2)
6 2� + 
(7 − 1)(7 − 2)(7 − 3)
6 A�
+ (7 − 2)(7 − 3)(7 − 4)6 A� + ⋯ + A8�� 
Podendo ser reescrito como: 
58 = :71; �� + :
7
2; �� + :
7
3; 2� + :
7 − 1
3 ; A� + :
7 − 2
3 ; A� + ⋯ + A8�� 
Observe que no próximo passo, teremos: 
58 = :71; �� + :
7
2; �� + :
7
3; 2� + :
7 − 1
3 ; A� + :
7 − 2
3 ; A� + ⋯ + A8�� 
58 = :71; �� + :
7
2; �� + :
7
3; 2� + :
7 − 1
3 ; A� + :
7 − 2
3 ; (A� + @�) + ⋯ + @8�4 
Note que: 
58 = :71; �� + :
7
2; �� + :
7
3; 2� + W:
7 − 1
3 ; + :
7 − 2
3 ; + ⋯ + :
3
3;X A� + ⋯ + @8�4 
Usando uma das propriedades do Triângulo de Pascal: 
58 = :71; �� + :
7
2; �� + :
7
3; 2� + :
7
4; A� + ⋯ + @8�4 
Terminando o processo, temos: 
58 = :71; �� + :
7
2; �� + :
7
3; 2� + :
7
4; A� + ⋯ + :
7
� − 1; V� + :
7 − 1
� − 1; T� + :
7 − 1
� − 2; T�
+ :7 − 1� − 3; T� + ⋯ + T8���� 
58 = :71; �� + :
7
2; �� + :
7
3; 2� + :
7
4; A� + ⋯ + :
7
� − 1; V� + :
7 − 1
� − 1; T� + :
7 − 2
� − 1; (T� + .)
+ :7 − 3� − 1; (T� + 2.) + ⋯ + (T� + (7 − �).) 
58 = :71; �� + :
7
2; �� + :
7
3; 2� + :
7
4; A� + ⋯ + :
7
� − 1; V� + :
7
�; T�
+ W:7 − 2� − 1; + :
7 − 3
� − 1; 2 + ⋯ + :
� − 1
� − 1; (7 − �)X . 
 
É válida a relação: 
:7 − 2� − 1; + :
7 − 3
� − 1; 2 + ⋯ + :
� − 1
� − 1; (7 − �) = :
7
� + 1; 
PA de ordem � 
Professor Narciso Busatto 
 
13 
 
+ 
Isso ocorre, pois: 
 :� − 1� − 1; = :
�
�;
 :� − 1� − 1; + :
�
� − 1; = :
� + 1
� ;
 :� − 1� − 1; + :
�
� − 1; + :
� + 1
� − 1; = :
� + 2
� ;…
 :� − 1� − 1; + :
�
� − 1; + ⋯ + :
7 − 3
� − 1; = :
7 − 2
� ;
:� − 1� − 1; + :
�
� − 1; + ⋯ + :
7 − 3
� − 1; + :
7 − 2
� − 1; = :
7
�;
 
 :7 − 2� − 1; + :
7 − 3
� − 1; 2 + ⋯ + :
� − 1
� − 1; (7 − �) = :
7
� + 1; 
 
 
Logo, 
58 = :71; �� + :
7
2; �� + :
7
3; 2� + :
7
4; A� + ⋯ + :
7
� − 1; V� + :
7
�; T� + :
7
� + 1; . 
Por fim, considere que exista uma seqüência {∆Y}, com Z = 1, 2, … , � formada pelos primeiros 
elementos de cada seqüência utilizada nessa demonstração, exceto a própria PA de ordem 7, 
mais a razão . da seguinte forma: 
(∆�, ∆�, ∆�, … , ∆���, ∆�) = (��, 2�, A�, … , T�, .) 
Assim, substituindo, temos: 
58 = �� :71; + ∆� :
7
2; + ⋯ + ∆��� :
7
�; + ∆� :
7
� + 1; 
De forma reduzida, 
58 = �� :71; + [ ∆* :
7
\ + 1;
�
*]�
 
∎