Cap1 (Introdução à Lógica Proposicional)

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Capítulo 1 
 
A linguagem da Lógica 
Proposicional 
Origem da Lógica 
Na Grécia Antiga, 342 a.C, em meio a 
embates filosóficos, Aristóteles sistematizou 
a Lógica com o intuito de verificar que 
argumentos eram válidos, elevando-a assim 
à categoria de ciência. 
 
Em sua obra chamada Organum 
(“ferramenta para o correto pensar”), 
estabeleceu princípios tão gerais e sólidos 
que até hoje são considerados válidos. 
Origem da Lógica 
Aristóteles se preocupava com as formas de 
raciocínio que, a partir de conhecimentos 
considerados verdadeiros, permitiam obter 
novos conhecimentos. 
A partir dos conhecimentos tidos como 
verdadeiros, caberia à Lógica a formulação 
de leis gerais de encadeamentos de 
conceitos e juízos que levariam à 
descoberta de novas verdades. Essa forma 
de encadeamento é chamada, em Lógica, 
de argumento. 
 
Argumento 
Um argumento é uma seqüência de 
proposições (declarações/afirmações) na 
qual uma delas é a conclusão e as demais 
são premissas. 
Uma proposição (ou declaração/afirmação) 
é uma sentença que pode ser verdadeira ou 
falsa 
O objeto de estudo da lógica é determinar 
se a conclusão de um argumento é ou não 
uma consequência lógica das premissas. 
 
Validade de um argumento 
Em um argumento válido, as premissas são 
consideradas provas evidentes da verdade 
da conclusão, caso contrário não é válido. 
 
Quando é válido, podemos dizer que a 
conclusão é uma consequência lógica das 
premissas, ou ainda que a conclusão é uma 
inferência decorrente das premissas. 
 
Validade de um argumento 
Inferência é a relação que permite 
passar das premissas para a conclusão 
(um “ encadeamento lógico”) 
 
A palavra inferência vem do latim, 
Inferre, e significa “conduzir para” 
 
Validade de um argumento 
Exemplo 1: O argumento que segue é 
válido? 
 
 Se eu ganhar na Loteria, serei rico. 
 Eu ganhei na Loteria. 
 Logo, sou rico. 
 
É Válido 
 (a conclusão é uma decorrência 
 lógica das duas premissas.) 
 
Validade de um argumento 
Exemplo 2: O argumento que segue é 
válido? 
 
Se eu ganhar na Loteria, serei rico 
Eu não ganhei na Loteria 
Logo, não sou rico 
 
 Não é Válido 
 (a conclusão não é uma decorrência 
 lógica das duas premissas.) 
 
Validade de um argumento 
A lógica se preocupa com o relacionamento 
entre as premissas e a conclusão, com a 
estrutura e a forma do raciocínio. A verdade 
do conteúdo de cada premissa e da 
conclusão é estudo das demais ciências. 
 
A validade do argumento está diretamente 
ligada à forma pela qual ele se apresenta 
(Lógica Formal – estuda a forma dos 
argumentos). 
 
Introdução 
Alfabeto da Lógica Proposicional 
 
Definição 1.1 (alfabeto) O alfabeto da 
Lógica Proposicional é constituído por: 
símbolos de pontuação: (, ); 
 símbolos de verdade: true, false; 
 símbolos proposicionais: 
 P; Q; R; S; P1; Q1; R1; S1; P2; Q2; ...; 
 conectivos proposicionais:  ,  ,  ,  ,  . 
Fórmulas da Lógica Proposicional 
Definição 1.2 (fórmula) As fórmulas da 
linguagem da Lógica Proposicional são 
construídas, de forma indutiva, a partir 
dos símbolos do alfabeto conforme as 
regras a seguir. O conjunto das fórmulas 
é o menor conjunto que satisfaz as 
regras: 
todo símbolo de verdade é uma fórmula; 
 todo símbolo proposicional é uma fórmula; 
se H é uma fórmula, então (H), a negação 
de H, é uma fórmula; 
Fórmulas da Lógica Proposicional 
Definição 1.2 (fórmula) 
se H e G são fórmulas, então a disjunção de H e 
G; dada por: (H  G); é uma fórmula; 
se H e G são fórmulas, então a conjunção de H e 
G; dada por: (H  G); é uma fórmula; 
se H e G são fórmulas, então a implicação de H 
em G; dada por: (H  G); é uma fórmula. Nesse 
caso, H é o antecedente e G o conseqüente da 
fórmula (H  G); 
 se H e G são fórmulas, então a bi-implicação de 
H e G; dada por: (H  G); é uma fórmula. 
 Nesse caso, H é o lado esquerdo e G o lado 
direito da fórmula (H  G). 
Fórmulas da Lógica Proposicional 
Exemplo 1.1 (construção de fórmulas) 
 A partir das fórmulas P e Q, obtemos 
(P  Q) 
Utilizamos as fórmulas (P  Q) e true, 
obtemos a fórmula 
 
((P  Q)  true) 
Fórmulas da Lógica Proposicional 
Exemplo 1.2 (construção de fórmulas) 
 As concatenações dos símbolos a seguir 
não constituem fórmulas 
PR 
(Rtrue) 
(true   (Rtrue)) 
Notação: 
Neste livro, os parênteses ou símbolos de 
pontuação das fórmulas são omitidos quando 
não há problemas sobre a sua interpretação. 
Além disso, as fórmulas podem ser escritas em 
várias linhas para uma melhor leitura. Assim, a 
fórmula: 
 
(((P  R)  true)  (Q  S)) 
pode ser escrita como 
 
(P  R)  true 
 
Q  S 
ou ainda como 
 
((P  R)  true)  (Q  S). 
Ordem de Precedência 
Definição 1.3 (ordem de precedência) 
Na Lógica Proposicional, a ordem de 
precedência dos conectivos 
proposicionais é definida por: 
 maior precedência: ; 
precedência intermediária:  , ; 
menor precedência:  , . 
Linguagem-objeto e Metalinguagem 
Variáveis 
Notação. Os símbolos proposicionais são 
representados por variáveis do tipo: 
 P#, com possíveis subíndices. 
Neste caso, temos a letra P com um pequeno 
risco na parte de cima. 
 Isso significa, por exemplo, que P#1 pode 
representar qualquer um dos símbolos 
 P, Q, R, S, P1, Q1, R1, S1, P2 ... 
As variáveis A, B, C, D, E, H e G com possíveis 
subíndices representam fórmulas. 
 A variável H2 pode representar, por exemplo, 
a fórmula (P  Q). 
 
Linguagem-objeto e Metalinguagem 
Letras como P, A, B, C, D, E e H são 
elementos da metalinguagem que 
representam símbolos proposicionais e 
fórmulas em geral da Lógica 
Proposicional. 
Isso significa que, a rigor, 
 (P1  P2) 
 não é uma fórmula da Lógica 
Proposicional. 
Essa expressão é a representação de 
fórmulas do tipo 
 (P  Q), (R  S), etc. 
Linguagem-objeto e Metalinguagem 
Do mesmo modo, (H  G) não é uma 
fórmula, mas a representação de 
fórmulas do tipo 
 ((PQ)  (RS)), 
 onde H é substituída por (P  Q) 
 e G por (R  S). 
Geralmente, expressões do tipo 
 (P1  P2) e (H  G) 
 são denominadas esquemas de fórmulas. 
Alguns Elementos Sintáticos das 
Fórmulas 
Definição 1.4 (comprimento de uma fórmula) 
Seja H uma fórmula da Lógica Proposicional. 
O comprimento de H, denotado por comp[H], 
é definido como se segue. 
Se H = P ou é um símbolo de verdade, então 
comp[H] = 1; 
Comp[H] = comp[H] + 1; 
comp[H  G] = comp[H] + comp[G] + 1; 
comp[H  G] = comp[H] + comp [G] + 1; 
comp[H  G] = comp[H] + comp[G] + 1; 
comp[H  G] = comp[H] + comp[G] + 1. 
Exemplo 1.3 (Comprimento de uma 
fórmula) 
 comp[(PQ)] = 3 
 comp[((P  Q)R)] = 5 
Definição 1.5 (subfórmula) Seja H uma 
fórmula da Lógica Proposicional, 
então: 
 H é uma subfórmula de H; 
se H é uma fórmula do tipo (G), 
 então G é uma subfórmula de H; 
se H é uma fórmula do tipo: (G  E), 
(G  E), (G  E) ou (G  E), 
 então G e E são subfórmulas de H; 
se G é subfórmula de H, então toda 
subfórmula de G é subfórmula de H. 
Exemplo 1.4 (subfórmulas) 
 As subfórmulas de (((P  S)  Q) R) 
são: 
 (((P  S)  Q) R), ((P  S)  Q), R, Q, P, 
S, (P  S)