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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CET 220 – Matemática TEORIA DOS CONJUNTOS HISTÓRICO: O estudo sobre a Teoria dos Conjuntos tem uma história bem diferente de outros ramos da Matemática que, em geral, se desenvolveram por meio de um longo processo. Essa teoria é a criação do matemático alemão George Cantor (1845 – 1918). Sua descoberta foi muito arrojada para a época e fez com que boa parte dos seus comtemporâneos não aceitasse sua teoria e dificultasse inicialmente a sua assimilação. Entretanto, o matemático ingles George Boole (1815 – 1864) viu aplicações da teoria dos conjuntos em outros ramos da Matemática e desenvolveu um sistema chamado hoje de álgebra de Boole. Esse sistema tem atualmente numerosas aplicações, servindo de base para circuitos digitais de computador e para buscas em banco de dados. CONJUNTO Entende-se por conjunto toda coleção de objetos, de animais, de palavras, de números, ou seja, de qualquer coisa. Se desejarmos representar o conjunto formado pelos algarismos 2, 5 e 7, basta colocá-los entre chaves, sem repetição, e separá-los por vírgula. Assim temos {2, 5, 7} Cada um desses algarismos recebe o nome de elemento do conjunto. Podemos indicar um conjunto por uma letra maiúscula A = {2, 5, 7}. Para relacionarmos os elementos com o conjunta usamos a relação de pertinência, ou seja, 2 A. Podemos ainda representar os conjuntos na forma de diagrama CONJUNTO UNITÁRIO Exmplo: {16} CONJUNTO VAZIO Exemplo: {} = O CONJUNTO UNIVERSO Exemplo: U = {todos os animais carnívoros} 2 5 7 A Diagrama de Venn B A U SUBCONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se e somente se todo elemento do conjunto B é também elemento do Conjunto A. Exemplo: A = {2, 5, 7, 9 , 10} e B = {5, 7, 9}, logo B está contido em A, ou A contém B. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B, é indicada por A – B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Exemplo: A = {2, 5, 7, 11, 13, 25, 33} e B = {5, 7, 25} A – B = {2, 11, 13, 33} INTERSECÇÃO ENTRE CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A com B, é indicada por A ∩ B, o conjunto formado pelos elementos que encontram-se simultaneamente no conjunto A e no conjunto B. Exemplo: A = {2, 5, 7, 11, 13, 25, 33} e B = {5, 7, 13, 25, 77} A ∩ B = {5, 7, 13, 25} UNIÃO ENTRE CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião ou união de A com B, é indicada por A U B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. Exemplo: A = {2, 5, 7, 11, 13, 25, 33} e B = {5, 7, 13, 25, 77} A U B = {2, 5, 7, 11, 13, 25, 33, 77} COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO Se A e B são conjuntos tais que A está contido em B, então a diferença B – A é chamada de complementar e A em relação a B e é indicada por C A. Observação: Em particular, se A é subconjunto do conjunto universo U, o complementar de A em relação a U pode ser representada por A´ ou por A. Assim: A´ = A = C = U – A. CONJUNTOS DISJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos, quando a intersecção entre A e B é o conjunto vazio, ou seja, A ∩ B = {} = Ο. CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS NÃO-NULOS Representado por N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...........} CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS Representado por N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...........} CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Representado por Z = {......... , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...........} Observação: O conjunto N está contido no conjunto Z, logo N é subconjunto Z. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS NÃO-NULOS Representado por Z = {......... , -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...........} Observação: O conjunto N* está contido no conjunto logo N* é subconjunto Z. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Os números inteiros também são insuficientes para indicar todas as situações, então surgiram os números racionais. Um número racional é todo aquele que pode ser escrito na forma q p , com p e q inteiros e q não-nulo.Logo, Q = *ZqeZp q p x . CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS Como os números racionais também não são suficientes para indicar todas as situações, então surgiram os números irracionais. De um modo geral, toda raiz cuja representação decimal não é exata assim como todo número que a forma decimal não é exata nem períodica não são números racionais. A esse tipo de número chamamos de números irracionais. Exemplos: 0,373373337....; 4,412413414....; = 3,14159....; 2 3 2 ;4;5 3 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS A reunião dos números racionais com os números irracionais constitui o conjunto dos números reais, que é representado por . Q Números Irracionais N Z R R = {racionais U irracionais} -5 a b a b INTERVALOS REAIS Muitos subconjuntos de R podem ser indicados por meio de desigualdades. Exemplos: A = { 5xx } = [-5, +∞[ ou INTERVALO FECHADO [a, b] ou INTERVALO ABERTO ]a, b[ ou CET 220 – Matemática Profa. Ruth Exalta da Silva
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