Matemática Básica 01

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Matemática Básica
Aula 1: Conjuntos Numéricos
Apresentação
Nesta aula estudaremos os conjuntos numéricos (N,Z,Q,R);2. o objetivo é realizar operações com esses conjuntos e
apresentar as suas principais propriedades. Também iremos conhecer o conceito de dízima periódica simples e composta
e suas frações geratrizes, como também compreender o conceito de intervalos e veremos as operações básicas com
esses intervalos.
Objetivos
Identi�car os diferentes tipos de conjuntos numéricos e realizar operações.
Teoria dos conjuntos
Na teoria dos conjuntos, existem três noções aceitas sem de�nição: conjunto, elemento e pertinência.
Conjunto nos transmite a ideia de coleção. Por exemplo:
Conjunto das vogais do nosso
alfabeto;
Conjunto das letras da palavra
ARARA;
Conjuntos dos números ímpares
positivos.
Imediatamente, pensaríamos nos conjuntos:
a) A = {a,e,i,o,u}
b) B = {a,r}
c) C = {1,3,5,7,...}
Você não deve esquecer que:
1
Os conjuntos são representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto;
2
Os elementos são representados por letras minúsculas;
3
Os elementos de um conjunto são escritos entre chaves e separados por vírgulas. Note que não repetimos elementos em
um conjunto e que a ordem dos elementos é irrelevante;
4
Na letra c, lançamos mão de um recurso, a saber (...), para indicar que não existe um último elemento nesse conjunto.
Cada membro de um conjunto é chamado de elemento.
8 A∈
Para mencionarmos que um elemento pertence a um determinado conjunto,
utilizaremos a chamada relação de pertinência, que é de�nida como o
elemento para um conjunto e é indicada pelo símbolo matemático 
(pertence). Quando o elemento não pertencer ao conjunto, utilizaremos .
∈
∉
Descrição de um conjunto:
1
Descrição pela enumeração de seus
elementos
A = {a,e,i,o,u}
2
Descrição por compreensão
A = { x I x tem a propriedade P}
Exemplo
A = { x I x é vogal do nosso alfabeto}
B= { x I x é cor da bandeira brasileira}
C= { x I x é um número ímpar positivo}
Podemos ainda ter o conjunto e o conjunto unitário.
Conjunto vazio é aquele que não apresenta elementos.
Conjunto unitário é aquele que possui apenas um único elemento.
Para esclarecer melhor essa ideia, consideremos os exemplos:
Exemplo
A = { x I x é uma pessoa com mais de 400 anos}
A= { x I x é um número primo par e positivo}
Para indicar o conjunto vazio utilizaremos duas formas: { } ou .
Nunca utilize { }, pois não representa o conjunto vazio.
Ø
Ø
Quando tratamos de conjuntos, é necessário que deixemos claro quem é o nosso universo.
Por exemplo, se vou falar sobre jogadores de futebol, é importante deixar claro qual o clube; se vou comentar a respeito de
palavras, é importante mencionar de que língua estamos falando, alunos de qual colégio, estados de qual país, etc.
Representamos o universo pela letra U.
Conjuntos iguais
Quais são os conjuntos iguais?
Dois conjuntos são ditos iguais quando apresentam os mesmos elementos. Em outras palavras, podemos dizer que se todo
elemento pertence a um conjunto A pertence também a um conjunto B e vice-versa, então A=B. Em símbolos poderíamos
escrever:
A = B ( x)(x A x B)
A = {1,3,5} e B = {5,3,1}; logo A = B
A = {r,o,m,a} e B = {a,m,o,r}; logo A = B
⇔ ∀ ∈ ⇔ ∈
Subconjuntos
Dizemos que u conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento pertencente ao conjunto A pertence ao conjunto
B. Dizer que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B é o mesmo que dizer:
A está contido em B (relação de inclusão); utilizamos o
símbolo .
A é uma parte de B.
Simbolicamente:
⊂
A B ( x)(x A x B)⊂ ⇔ ∀ ∈ → ∈
Comentário
A relação de incluso é de�nida para dois conjuntos. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Para negar a incluso,
utilizaremos o símbolo (não está contido).
Exemplos: {1,2,3} {1,2,3,4,5} e {1,2,3} {2,3,4,5,6}
⊄
⊂ ⊄
Operações com conjuntos:
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Dados dois conjuntos A, determinamos a união de A e B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem pelo
menos a um dos conjuntos A ou B. Simbolicamente: A   B = {x | x A ou x B}
Propriedades da união:
a) A A = A (idempotente)
b) A = A (elemento neutro)
c) A B = B A (comutativa)
d) (A B) C = A (B C) (associativa)
Exemplo
Dados os conjuntos:
A ={1,2,5,6} e B = {1,5,9,10}
Temos: A B = {1,2,5,6,9,10}
União ou reunião 
∪ ∈ ∈
∪
∪ ∅
∪ ∪
∪ ∪ ∪ ∪
∪
Dados dois conjuntos A e B, denominamos de interseção entra A e B e representamos por A ∩ B ao conjunto formado
pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B. simbolicamente:
A B = {x | x A e x B}
Obs.: Quando a interseção entre dois conjuntos é vazia, dizemos que os dois conjuntos são disjuntos.
Propriedades da interseção:
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedade:
a) A A = A (idempotente)
b) A (elemento neutro)
c) A B = B A (comutativa)
d) A (B C) = (A B) C (associativa)
Exemplo
Dados os conjuntos:
A ={1,2,5,6} e B = {1,5,9,10}
Temos: A B = {1,5}
Interseção de conjuntos 
∩ ∈ ∈
∩
∩ ∪
∩ ∩
∩ ∩ ∩ ∩
∩
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença em ter A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não
pertencem a B. simbolicamente:
A – B = {x | A e x B}
Exemplos
1) {1,3,5,6} – {2,3,6} = {1,5}
2) {1,2,3,4,5,6} – {2,3,4,5,6,7,8} = {1}
3) {a,b,c} – {c,a,b} = { }
Diferença de conjuntos 
∈ ∉
Dados dois conjuntos A e B, tais que B A, chama-se complementar de B em relação à A o conjunto A – B, isto é, o
conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
 ou B (DG: colocar um travessão e cima do segundo B)
Exemplo
A = {1,2,3,4,5,6} e B = {1,2,3,4}
B = {5,6} (G: colocar travessão em cima do B}
Complementar de B em relação à A 
⊂
C B
A
Conjuntos númericos
Conjunto dos números naturais
Nesse conjunto são de�nidas duas operações fundamentais: a adição e a multiplicação. Isso signi�ca que, dados dois números
naturais, a e b, é sempre possível encontrar um outro número natural c = a+b e também um número c = a.b.
Para todos a, b e c naturais temos:
N = {0,1,2,3,...}
1
Associativa
(a + b) + c = a + (b + c)
2
Comutativa
a + b = b + a
3
Elemento neutro da adição
a + 0 = a
4
Associativa da multiplicação
(ab)c = a(bc)
5
Comutativa da multiplicação
ab = ba
6
Elemento neutro da multiplicação
a.1 = a
7
Distributiva da multiplicação em relação à
adição
a(b + c) = ab + ac
Comentário
Observe que a subtração nem sempre é possível no conjunto dos números naturais, o que justi�ca a ampliação do conjunto N.
Conjunto dos números inteiros
Z = {...-3,-2,-1,0,2,3,...}
Subconjunto de Z
Z = {0,1,2,3,...} = N (Conjunto dos números inteiros não
negativos)
Z = {0,1,3,3,...] (Conjunto dos números inteiros não
positivos)
Z = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...} (Conjunto dos inteiros não nulos)
+
-
*
Conjunto dos números racionais
Q ={x | x = , Z e b Z
Número racional é todo número que pode ser escrito em
forma de fração. São exemplos de números racionais:
todo número natural;
todo número inteiro;
os números decimais exatos;
as dízimas periódicas.
a
b
a ∈ ∈ *
Dízimas periódicas simples
1/3= 0,333... (período 3)
2/7= 0,285714285714...(período 285714)
Cálculo da fração geratriz de uma dízima periódica simples
a) Vamos calcular a fração geratriz da dízima 0,444...
Seja  x = 0,444... multiplicando os dois membros da equação por 10, teremos:10 x = 4,444...
Subtraindo da segunda equação a primeira teremos:
10 x – x = 4,444...-0,444...9 x = 4     x = 4/9
Comentário
Note que o fato de multiplicarmos a equação por 10 ocorre porque a dízima apresenta apenas 1 algarismo no seu período. Se o
período fosse composto de dois algarismos, multiplicaríamos por 100 e assim por diante.
Exemplo
Vamos calcular a fração geratriz da  dízima  0,343434...
Seja x = 0,343434...
Multiplicando os dois membros da equação por 100, teremos:
100 x = 34,3434...
Subtraindo da segunda equação a primeira, teremos:
100 x – x = 34,3434...-0,3434..
99 x = 34   x  = 34/99
Regra para determinação da fração geratriz de uma dízima periódica:escrevemos uma fração onde o numerador é o período e
o denominador é formado por um número que possui somente algarismos nove tanto quanto forem os algarismos do período.
Exemplo
1) 0,111... =  1/9     2) 0,525252... =  52/99     3) 2,345345345... = 2 + 345/999
Dízima periódica composta
São aquelas que apresentam um algarismo ou um grupo de algarismos antes do período.
Exemplo
1) 0,2333... 2) 0,12444... 3) 0,3451212...
Para determinarmos a fração geratriz de uma dízima periódica composta, podemos utilizar o mesmo recurso utilizado para as
simples. Vejamos:
1) X = 0,2333...
Multiplica-se a equação por 10 com a �nalidade de transformar a dízima composta em simples
10 x = 2,333...
Multiplica-se por 10, pois a dízima simples possui um único algarismo no período
( )100x = 23,333...( )
De ( )- ( ): 100 x -10x = 23,333...-2,333...90x = 21    x = 21/90 = 7/30
I II
II I
2) X = 0,12444
Multiplica-se a equação por 100 com o propósito de transformar a dízima composta em simples
100 x  = 12,444... ( )
Multiplica-se a equação por 10, pois a dízima tem um algarismo no período
1000x =124,44...( )
De ( ) - ( ): 1000x -100x = 124,444...-12,444...
900 x = 112
x = 112/900 = 28/225
I
II
II I
Regra para determinação de uma dízima periódica composta
A geratriz de uma dízima periódica composta é uma fração que tem para numerador a diferença entre a parte não periódica
seguida de um período e a parte não periódica, e para denominador um número formado de tantos noves quantos forem os
algarismos do período seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.
Exemplo
a) 0,2333...   X = 23-2/90 = 21/90 = 7/30
b) 0,123434...   X = (1234-12)/9900 = 1222/9900
Números Irracionais
Existem números cuja representação decimal é in�nita, mas não é periódica. Esses números são chamados de números
irracionais. A união do conjunto dos números racionais com o conjuntos dos números irracionais nos fornece o conjunto dos
números reais.
= R Q U  I
Exemplo
1) 1,2345678910111213...
2) 3,40400400040000400000...
Intervalos
Dados dois números reais a e b, com a b, de�nimos:
a) Intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto ]a,b[ = { x a x b}
b) Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto [a,b]={ x a x b}
c) Intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b é o conjunto [a,b[ = {x a x b}
d) Intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b é o conjunto ]a,b] ={ x a x   b}
e) ]- ,a[ = { x x a}
f) ]- ,a] = { x x a}
g) ]a,+ [ = { x x a}
h) [a,+ [= { x x a}
i) ]- ,+ [ = R
<
∈R I < <
∈R I ≤ ≤
∈RI ≤ <
∈R I < ≤
∞ ∈R I <
∞ ∈R I ≤
∞ ∈R I >
∞ ∈R I ≥
∞ ∞
Operações com intervalos
Sejam os intervalos  A =[1,5[ e B = ]-1,2], vamos determinar:
A B∪
A B = ]-1,5[
A B = [1,2]
∪
∩
Notas
Título modal 1
Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente
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Título modal 1
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Referências
Próxima aula
Potenciação, Radiciação e Expressões algébricas.
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