Mecanica do fluidos - cinetica aplicada

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Mecânica dos Fluidos
Aula 4 – Introdução à Cinemática 
dos Fluidos
Prof. Édler Lins de Albuquerque
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Cinemática dos Fluidos
• Escoamento de fluidos:
Movimento de massas fluidas em relação a um dado
referencial. Neste escoamento há, essencialmente,
transporte de massa, mas também ocorrem transportes
da quantidade de movimento e de energia.
Deste modo, nestes escoamentos há associação entre:
- Princípio de Conservação da Massa;
- Segunda Lei de Newton da Dinâmica;
- Primeira Lei da Termodinâmica;
- Segunda Lei da Termodinâmica.
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Cinemática dos Fluidos
Variações do vetor velocidade
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Cinemática dos Fluidos
Formas de Estudo dos Escoamentos Fluidos
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Métodos de Análise de Escoamentos
Método de Euler
• Não há preocupação em descrever partículas
individuais.
• O movimento do fluido é descrito pela especificação
completa dos parâmetros necessários em função do
vetor posição do ponto no espaço e do tempo.
• Adota-se um intervalo de tempo e pontos no espaço.
Observa-se as partículas passando por esses pontos.
• As coordenadas de posição são variáveis
independentes.
)t,z,y,x(V)t,r(VV 

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Método de Euler
t).z,y,(x,fw t);z,y,(x,fv t);z,y,(x,fu
w)v,(u,VV
t)z,y,V(x,t),rV(V
321 




O movimento do fluido é descrito pela especificação
completa dos parâmetros necessários em função do
vetor posição do ponto no espaço e do tempo.
Adota-se um intervalo de tempo e pontos no espaço.
Observa-se as partículas passando por esses pontos.
As coordenadas de posição são variáveis
independentes.
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Métodos de Análise de 
Escoamentos
Método de Lagrange
• O observador desloca-se com a partícula fluida.
• A partícula é seguida e é determinado como as
propriedades das partículas variam com o tempo ao
longo do movimento.
• São descritas as trajetórias de determinadas
partículas bem identificadas. Esta identificação é
caracterizada por um vetor posição inicial r0 = (x0, y0,
z0) num determinado instante de tempo t0.
• De tratamento matemático difícil, mas empregado
quando se requerem as trajetórias de determinadas
partículas.
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• As coordenadas de posição das partículas são funções
do tempo. Assim: Conhece-se a “história” das partículas.
(t)a t]z(t),y(t),a[x(t),a
t
z
a ;
t
y
a ;
t
x
a
t),r(a
t
r
)a,a,(aaa
(t);Vt]z(t),y(t),V[x(t),V
t
z
 w;
t
y
v ;
t
x
u
t),r(V
t
r
w)v,(u,VV
t),z,y,(xfz t);,z,y,(xfy t);,z,y,(xfx
);z,y,(xr com t),,rr(r
const.z
2z
const.y
2y
const.x
2x
0
const.r
2
2
zyx
const.zconst.yconst.x
0
const.r
000300020001
00000
000
0
000
0




















































































222
Método de Lagrange
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Derivada Substantiva
(Total ou Lagrangeana)
)fV(
t
f
Dt
Df
kˆ fjˆ fiˆ ft)z,y,f(x,f zyx






Contribuição local
Contribuição Convectiva
kˆ ) (
z
jˆ ) (
y
iˆ ) (
x
:Onde










 etc. e)(velocidad V ),específica (massa , (pressão) p exemplo, Por
vetorial.ou escalar campo qualquer ser pode f

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Velocidade de uma partícula fluida em movimento de translação. 
Cinemática dos Fluidos
Variações do vetor velocidade
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Deslocamento, Velocidade e Aceleração
VV
t
V
V
Dt
D
a
kwjviutzyxVV




 )(
ˆ ˆ ˆ ),,,(





Aceleração local
Aceleração Convectiva
kˆ ) (
z
jˆ ) (
y
iˆ ) (
x
:Onde










 dt Vkˆ zjˆ yiˆ xr

Vetor Taxa de 
Translação
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Translação
k
z
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y
w
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x
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kajaiaaaatzyxa
z
V
w
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V
Dt
VD
tzyxa
kwjviutzyxVV
z
y
x
zyxzyx
ˆ ˆ 
)(
ˆ ˆ 
)(
ˆ ˆ 
)(
ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆ),,(),,,(
)(
),,,(
ˆˆˆ),,,(
















































































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Translação (Coord. Cilíndricas)
z
z
z
zz
r
z
z
z
z
z
r
r
r
r
z
rr
r
r
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zzrrzr
zr
zzrr
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eaeaeaaaatzra
z
V
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V
Dt
VD
tzra
eueueutzrVV







 
)(
 
)(
 
)(
)()()(
),,(),,,(
)(
),,,(
),,,(
2















































































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
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Referencial Inercial (A = a)
V )V(
t
V
V
Dt
D
a







Referencial Não-Inercial (A ≠ a)
  r
dt
d
rV2
dt
Sd
aA
2
2 







Aceleração do 
referencial
Aceleração de 
Coriolis
Aceleração 
Normal
Aceleração 
Angular
Movimento relativo a um 
referencial não inercial. 
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Linhas de Trajetória
É a trajetória real percorrida por uma partícula de fluido
individual em determinado período de tempo. Lugar
geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em
instantes sucessivos.
Descrição dos Escoamentos dos Fluidos
X
y
z
Partícula no 
instante t1
Partícula no 
instante t2
Partícula no 
instante t3
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Linha de Trajetória
• Fornece o “histórico” das localizações de uma
partícula;
• Uma fotografia de uma linha de trajetória requer um
tempo de exposição de uma partícula iluminada
(sinalizadora).
• A posição da partícula sinalizadora no instante t:
Descrição dos Escoamentos dos Fluidos

t
t
inicial
inicial
dt Vx)t(x

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Linhas de trajetória abaixo de uma onda em um tanque de água.
(Photograph by Wallet and Ruellan. Courtesy of M.C. Vasseur).
Linhas de Trajetória
Descrição do Escoamentos dos 
Fluidos
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Linhas de Emissão
• É o conjunto das posições das partículas de fluido
que passaram seqüencialmente através de um ponto
prescrito do escoamento.
• Linha instantânea, cujos pontos são ocupados por
todas as partículas originadas de algum ponto
específico no campo de escoamento.
Descrição do Escoamentos dos Fluidos
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Linhas de Emissão
• INFORMAM ONDE AS PARTÍCULAS ESTÃO AGORA!!
• Uma fotografia de uma linha de emissão seria uma
foto instantânea do conjunto de partículas iluminadas
que passaram por um determinado ponto.
• A posição da partícula sinalizadora integrada:
Descrição do Escoamentos dos Fluidos

presente
injeção
t
t
injeção dt Vxx

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Linhas de emissão em um escoamento transiente ao 
redor de um cilindro. (Photograph by Sadatashi Taneda.) 
Linhas de Emissão
Ver Vídeos Munson et al.: 4.1, 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 6.4.
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Linhas de Corrente (Conceito teórico)
• São linhas tangentes aos vetores velocidade de
diferentes partículas NO MESMO INSTANTE.
• Uma fotografia de uma linha de corrente não pode ser
efetuada diretamente.
X
y
z
Partícula 1
no instante t
Partícula 2
no instante t
Partícula 3
no instante tv1
v2
v3
Descrição do Escoamentos dos Fluidos
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Linhas de Corrente
Descrição do Escoamentos dos 
Fluidos
Equação para uma Linha de Corrente em um Campo de Velocidade.
0

 rdV
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e Linhas de Corrente
Descrição do Escoamentos dos 
Fluidos
Equação para uma Linha de Corrente em um Campo de Velocidade.
0

 rdV
dz
w
dy
v
dx
u
rd
V
0
dzdydx
wvu
kˆjˆiˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ









rdx V
k dzj dyidx rd
k wj vi uV
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Linhas de Corrente em volta de um arco semicircular. Boa concordância com a
solução de equações diferenciais. Pó de alumínio disperso em glicerina é iluminado
por uma fenda de luz. (Courtesy of The Parabolic Press, Stanford, California.)
Linhas de Trajetória, de Emissão e de
Corrente
• Normalmente não são coincidentes, exceto quando o
escoamento ocorre em regime permanente. Neste caso,
estes três tipos de linhas apresentam o mesmo formato.
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Tubo de Corrente
• No interior de um fluido em escoamento existem infinitas
linhas de corrente definidas por suas partículas fluidas
• A superfície constituída pelas linhas de corrente
formadas no interior do fluido é denominada de tubo
de corrente.
• Nenhuma partícula de fluido conseguirá escapar de um
tubo formado pela linhas de corrente que tangenciam
uma determinada área A arbitrária.
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Cinemática dos Fluidos
Tipos Básicos de Escoamentos Fluidos
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Propriedades Cinemáticas
27
)(
2
1
1
 )(
 )(
).,,,(w e ),,,();,,,( 
ˆ ˆ ˆ),,,(
 dt Vr
V
V
dt
dVol
Vol
dAnVVol
VV
t
V
V
Dt
D
a
tzyxtzyxvtzyxu
kwjviutzyxVV
A



















•

Vetor deslocamento
Vetor taxa de 
translação (velocidade)
Vetor aceleração
Vazão volumétrica
Taxa de dilatação 
volumétrica
Vetor taxa de rotação 
(velocidade angular)
M
e
c
â
n
ic
a
 d
o
s
 F
lu
id
o
s
: 
 P
ro
f.
 É
d
le
r 
L
in
s
 d
e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
28
Tipos de escoamento
Os escoamentos de fluido classificam-se quanto à(ao):
– Efeito da viscosidade do fluido;
– Quanto à rotação das partículas do fluido;
– Compressibilidade do fluido;
– Dimensão do vetor velocidade;
– Variação espacial da velocidade; 
– Variação temporal das propriedades do fluido;
– Número de fases presentes;
– Contato do fluido com a superfície sólida;
– Movimentação das camadas do fluido etc.
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M
e
c
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n
ic
a
 d
o
s
 F
lu
id
o
s
: 
 Pro
f.
 É
d
le
r 
L
in
s
 d
e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
29
Quanto à variação temporal das propriedades
• Escoamento em regime permanente: Todas as
propriedades do fluido permanecem constantes com o
tempo, embora possam variar de um ponto a outro.
Tempo 0 segundos:
T1 = 30, T2 = 28 e T3 = 27 ºC
1 = 4, 2 = 7 e 3 = 8 g cm
-3
1h após o início:
T1 = 30, T2 = 28 e T3 = 27 ºC
1 = 4, 2 = 7 e 3 = 8 g cm
-3
1 2 3 1 2 3
Regime Permanente
Propriedades do fluido são invariáveis em cada ponto com
o passar do tempo. As propriedades podem variar de
ponto para ponto, mas todas as propriedades são
constantes ao longo do tempo para cada ponto.
M
e
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â
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o
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: 
 P
ro
f.
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r 
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s
 d
e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
30
Quanto à variação temporal das propriedades
• Escoamento em regime transiente (transitório ou
variado): Há variação das propriedades do fluido com o
tempo.
Regime variado
As condições do fluido variam com o tempo em alguns pontos
ou regiões de pontos do escoamento.
Tempo 0 segundos:
T1 = 30, T2 = 28 e T3 = 27 ºC
1 = 4, 2 = 7 e 3 = 8 g cm
-3
1min após o início:
T1 = 32, T2 = 29 e T3 = 28 ºC
1 = 3, 2 = 5 e 3 = 4,0 g cm
-3
1 2 3 1 2 3
)t,z,y,x( 
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r 
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s
 d
e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Cinemática dos Fluidos
Regime permanente
Matematicamente falando:
onde  representa qualquer propriedade do fluido.
Assim, para um escoamento permanente:
0


t
V

(1)
(2)
0


t

)z,y,x( 
M
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 P
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q
u
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rq
u
e
32
Quanto à variação espacial da velocidade
• Escoamento uniforme numa seção
A velocidade é a mesma numa dada seção do escoamento.
• Escoamento não uniforme numa seção
Há variação da velocidade numa dada seção do escoamento.
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u
q
u
e
rq
u
e
33
Quanto à dimensão do vetor velocidade
• Escoamento unidimensional
Uma coordenada espacial é necessária para descrição da
velocidade.
• Escoamento bidimensional
A velocidade varia em duas coordenadas espaciais (dimensões)
no sistema de estudo. Por exemplo na seção
convergente/divergente abaixo.
r
x
r
)permanente regime)(r(VV
ou )transiente (regime )t,r(VV




)permanente regime)(x,r(VV
ou )transiente (regime )t,x,r(VV




M
e
c
â
n
ic
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 d
o
s
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 P
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s
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e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
34
Quanto à dimensão do vetor velocidade
• Escoamento tridimensional
A velocidade varia nas três coordenadas espaciais
(dimensões).
)permanente regime)(z,y,x(VV
ou )transiente (regime )t,z,y,x(VV




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u
q
u
e
rq
u
e
35
Quanto ao efeito da viscosidade do fluido
• Escoamento Viscoso: São escoamentos reais, onde os
efeitos da viscosidade dos fluidos são considerados.
• Escoamento não-viscoso ou invíscido ( = 0): São
escoamentos onde é possível de serem desprezados os
efeitos da viscosidade dos fluidos.
Fluxo em volta de uma esfera: (a) Fluxo não viscoso; (b) Fluxo real 
(viscoso).
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rq
u
e
36
• Exemplos de Escoamentos bem modelados como
escoamentos não-viscosos: Escoamentos Externos (ao
redor de corpos sólidos).
Fluxo ao redor de um aerofólio. 
Quanto ao efeito da viscosidade do fluido
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rq
u
e
37
Quanto ao contato do fluido com a 
superfície sólida
• Escoamento Externo: São escoamentos que ocorrem
em torno de corpos imersos num fluido não-contido.
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38
Efeito da viscosidade do fluido no escoamento 
externo ao redor de um cilindro
Fluxo em volta de um cilindro. Fonte: Bird et al. 2002.
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u
e
39
Quanto ao contato do fluido com a 
superfície sólida
• Escoamento Interno ou em dutos: São escoamentos
que ocorrem envoltos por superfícies sólidas.
– Escoamento em canal aberto: Escoamento de líquidos onde
o duto não fica completamente preenchido, havendo uma
superfície livre sujeita a uma pressão constante.
(a) Um rio: (b) dentro de um tubo
Escoamento em Canal aberto
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rq
u
e
40
Quanto à compressibilidade do fluido
• Escoamento Incompressível: Quando não há alteração
significativa na massa específica do fluido em
escoamento.
de)Continuida da (Eq. 0)()(
0)()(
0)( entanto, No
0 













V
t
V
Dt
D
VV
t
V
Dt
D
V
Dt
D
V
tDt
D
















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u
e
41
Quanto à compressibilidade do fluido
• Escoamento Incompressível: Quando não há alteração
significativa na massa específica do fluido em
escoamento.
0)V( ou 0
Dt
Dρ
 
:se ívelincompress será escoamento oAssim,
0)Vρ(
Dt
Dρ
 
ou
0 ρV
t
ρ
Dt
Dρ









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rq
u
e
Deformação Linear
A Taxa de dilatação
volumétrica é nula
em escoamentos
incompressíveis!!
V
z
w
y
v
x
u
dt
Vol
Vol











)d(1 

Divergente do 
Vetor velocidade
ou
Taxa de dilatação
volumétrica
Taxa de variação relativa total do volume devido aos
gradientes de velocidade ∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z:
V
z
uu
rr
ru
rdt
Vol
Vol
zr










 

 
1)(1)d(1
0 V

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rq
u
e
43
Quanto à compressibilidade do fluido
• Escoamento Incompressível: Quando não há alteração
significativa na massa específica do fluido em
escoamento.
• Exemplos: escoamento de líquidos sujeitos a pressões
moderadas, ou gases a baixas velocidades onde o N.
de Mach < 0,3 (D/ < 3% ou p/ o ar qdo. V < 100m/s).
0)( 


 VV
tDt
D  
c
V
M 
Razão entrea velocidade do gás
e a velocidade do som.
M
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u
e
44
Quanto à compressibilidade do fluido
• Escoamento Compressível: Há alteração significativa
na massa específica do fluido. Ocorre no escoamento
de gases.
Exemplos:
Escoamento de gases onde o N. de Mach > 0,3
(D/ > 3% ou para o ar quando V > 100m/s).
0
Dt
D
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u
e
45
Quanto ao número de fases presentes
• Escoamento monofásico: O fluido escoa
estando numa única fase, líquido ou vapor. É o
que ocorre no downcomer mostrado na figura.
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rq
u
e
46
Quanto ao número de fases presentes
• Escoamento multifásico: O
fluido escoa estando presente
em mais de uma fase. É o que
ocorre no riser mostrado abaixo,
onde líquido e vapor escoam
simultaneamente.
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u
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47
Quanto ao número de fases presentes
• Escoamento trifásico: O fluido escoa estando
presente em três fases.
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 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
48
Escoamento quanto à movimentação 
das camadas do fluido
Fonte: Mecânica dos Fluidos – Sylvio Reynaldo Bistafa
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 A
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q
u
e
rq
u
e
(a) Escoamento laminar: As partículas se deslocam em lâminas
individualizadas, sem trocas de massa entre elas.
(b) Escoamento turbulento: As partículas apresentam um
movimento aleatório macroscópico, isto é, a velocidade
apresenta componentes transversais ao movimento geral do
conjunto do fluido.
iuV


k wj vi )'uu(V


Fonte: Mecânica dos Fluidos – Sylvio 
Reynaldo Bistafa
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rq
u
e
Velocidade como uma função do tempo em um escoamento 
laminar: (a) Regime transiente; (b) regime permanente. 
.tetancons eraticamentp é u onde
iuV


.(t) u u onde
iuV



Regimes Laminares
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u
e
Velocidade como uma função do tempo em um escoamento 
turbulento: (a) Regime transiente; (b) regime permanente. 
k w'j 'vi )'uu(V


Oscilações aleatórias em torno 
de um valor médio constante.
Comportamento Errático nas 
três dimensões.
k )w'w(j )'vv(i )'uu(V


Regimes Turbulentos
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u
e
rq
u
e
• Observação:
– Escoamento turbulento é variado (transiente) por
natureza, devido as flutuações de velocidade.
– No entanto, podemos considerá-lo permanente,
caso adotemos uma velocidade média.
Cinemática dos Fluidos
Tempo
v
Valor médio indicado 
pelo controlador
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q
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u
e
Fonte: Mecânica dos Fluidos – Sylvio Reynaldo Bistafa
Transições do Regime Laminar ao Turbulento 
em tubos de seção reta circular
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rq
u
e
Cinemática dos Fluidos
Fonte: Mecânica dos Fluidos – Sylvio Reynaldo Bistafa
𝜏𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜏𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 + 𝜏𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎
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rq
u
e
Fonte: Mecânica dos Fluidos – Sylvio Reynaldo Bistafa
𝜏𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜏𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 + 𝜏𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎
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u
e
56
Quanto à rotação das partículas do fluido
• Escoamento
Irrotacional: É o
escoamento no qual
todas as partículas
fluidas estão isentas
de movimento de
rotação.
Fonte: Çengel & Cimbala (2012)
• Escoamento
Rotacional:
Escoamentos onde se
verifica movimento
rotacional das partículas
fluidas.
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57
Quanto à rotação das partículas do fluido
• Escoamento Irrotacional: É o escoamento no qual todas as
partículas fluidas estão isentas de movimento de rotação.
• Escoamento Rotacional: Escoamentos onde se verifica
movimento rotacional das partículas fluidas.
02

 VVrot
Não ocorre na prática,
mas simplifica bastante
os cálculos !!
02

 VVrot
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e
Movimento angular e Deformação
Rotação e Vorticidade
kˆ
y
u
x
v
jˆ
x
w
z
u
iˆ
z
v
y
w
wvu
zyx
kˆjˆiˆ
Vrot2
kˆ
y
u
x
v
jˆ
x
w
z
u
iˆ
z
v
y
w
2
1
)V(
2
1
)t,z,y,x(
wvu
zyx
kˆjˆiˆ
2
1
)V(
2
1
)t,z,y,x(
)V(
2
1
)Vrot(
2
1
)t,z,y,x(
kˆjˆiˆ),,()t,z,y,x( zyxzyx




































































































Vetor Vorticidade
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30
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u
e
59
Rotação em Coordenadas Cilíndricas


















































z
rzr
r
z
zr
zr
zzrrzr
e
u
r
ru
r
e
r
u
z
u
e
z
uu
r
VVrottzr
uuu
zrr
eee
Vtzr
eeetzr

















)(11
)(),,,(2
1
2
1
)(
2
1
),,,(
);;(),,,(
M
e
c
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 F
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id
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s
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 P
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f.
 É
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L
in
s
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e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
60
Quanto à rotação das partículas do fluido
Fonte: Çengel & Cimbala (2012)
26/02/2018
31
M
e
c
ân
ic
a
 d
o
s
 F
lu
id
o
s
: 
 P
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f.
 É
d
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L
in
s
 d
e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
61
Deformação Angular das partículas do fluido
• A deformação angular no plano xy é determinada pela
variação do ângulo formado entre as linhas OA e OB:
 





















































 y
u
x
v
t
t
y
u
t
x
v
Lim
t
Lim
tt
xy 




 00

Taxa de Deformação por Cisalhamento no Plano xy
M
e
c
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n
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id
o
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 P
ro
f.
 É
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L
in
s
 d
e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
62
Deformação das partículas do fluido



































































z
u
x
w
z
v
y
w
y
u
x
v
zxyzxy   
Deformação Angular:
Taxas de Deformação por Cisalhamento
Deformação Linear:
Taxas de Deformação Normal ou Dilatação Linear

























z
w
y
v
x
u
zzyyxx   
Tensor Taxas de Deformação
 j.i para onde , jiij
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij 













 




26/02/2018
32
M
e
c
â
n
ic
a
 d
o
s
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lu
id
o
s
: 
 P
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f.
 É
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r 
L
in
s
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e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
63
Tensões de Cisalhamento
Tensor Taxa de Deformação por Cisalhamento
j.i para , 
,
2
2
2







































































































jiij
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
onde
z
w
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u





j.i para , 
,
2
1
11
2
1
1
2
























































































































jiij
zzzr
zrr
zrrr
zzzzr
zr
rzrrr
ij
onde
z
uu
rz
u
r
u
z
u
u
rz
u
r
uu
r
u
rr
u
r
r
r
u
z
uu
rr
u
r
r
r
u














Em Coordenadas Cartesianas:
Em Coordenadas Cilíndricas:
M
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: 
 P
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f.
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L
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s
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 A
lb
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q
u
e
rq
u
e
64
Tensões de Cisalhamento
Tensor Tensão de Cisalhamento (Escoamento Laminar, Fluido
Newtoniano e incompressível).
j.i para , 
,
2
2
2







































































































jiij
ij
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
onde
z
w
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u








 
j.i para , 
,
2
1
11
2
1
1
2
























































































































jiij
zzzr
zrr
zrrr
ij
zzzzr
zr
rzrrr
ij
onde
z
uu
rz
u
r
u
z
u
u
rz
u
r
uu
r
u
rr
u
r
r
r
u
z
uu
rr
u
r
r
r
u

























26/02/2018
33
M
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c
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n
ic
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 P
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L
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 A
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q
u
e
rq
u
e
Fim dos 
assuntos para 
a avaliação 1
65
M
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 P
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 A
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u
q
u
e
rq
u
e
Cinemática dos Fluidos
Parte 4
Análise Diferencial de Escoamentos de 
Fluidos
66
26/02/2018
34
M
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a
 d
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o
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 P
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 É
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 A
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u
q
u
e
rq
u
e
67
Equação Diferencial da Conservação 
da Massa
Taxa de 
acúmulo de 
massa dentro 
do VC
Taxa de 
saída de 
massa do VC
Taxa de 
entrada de 
massa no VC
= -
Na ausência de reações químicas:
M
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 É
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 A
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u
e
68
Equação Diferencial da Conservação 
da Massa
26/02/2018
35
M
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 P
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q
u
e
rq
u
e
69
Equação Diferencial da Conservação 
da Massa
M
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 P
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u
q
u
e
rq
u
e
70
Equação Diferencial da Conservação 
da Massa – Equação da Continuidade
0)(
0)()()(







V
Dt
D
VV
t
V
t




26/02/2018
36
M
e
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q
u
e
rq
u
e
71
Equação da Continuidade e a 
compressibilidade do escoamento
 nte.anteriorme ,0)( ou 0 
:se ívelincompress é escoamento O
)(
0)()()(
vistocomoV
Dt
D
V
Dt
D
VV
t
V
t


















M
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 P
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s
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 A
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u
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u
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rq
u
eEquação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
 F = Variação total de momento linear no VC 
 F = - + 
Taxa de 
acúmulo de 
momento 
linear no VC
Taxa de entrada 
de momento 
linear no VC
Taxa de saída 
de momento 
linear no VC
Taxa de acúmulo de momento linear no VC
26/02/2018
37
M
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: 
 P
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f.
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s
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 A
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u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
 F = Variação total de momento linear no VC 
 F = - + 
Taxa de 
acúmulo de 
momento 
linear no VC
Taxa de entrada 
de momento 
linear no VC
Taxa de saída 
de momento 
linear no VC
Taxa líquida de saída de momento linear no VC
M
e
c
â
n
ic
a
 d
o
s
 F
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s
: 
 P
ro
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in
s
 d
e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade 
de Momento Linear
74
Dt
DV
Dt
DV
26/02/2018
38
M
e
c
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n
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in
s
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 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade 
de Momento Linear
75
Dt
DV
Dt
DV
M
e
c
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 P
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s
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 A
lb
u
q
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u
e
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
.aceleração x massa a igual é forças as todas de somatório O
dz dy 
Dt
VD
dV
dF
dx
Dt
VD
F
ol

 
26/02/2018
39
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s
 d
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 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
.aceleração x massa a igual é forças as todas de somatório O
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)()(
)()(
:aalternativ Forma
VV
t
V
Dt
VD
dV
dF
VV
t
V
VVVV
t
V
Dt
VD
VVVV
t
V
t
V
Dt
VD
V
t
VVV
t
V
Dt
VD
ol


































































M
e
c
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 P
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s
 d
e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Conhecendo as forças externas  F:
Forças de campo + forças superficiais
Força da gravidade:
Forças de superfície: tensões normais e viscosas
dzdy dx gFGRAV


 viscosaTensão mecânica Pressão sãoTensor ten 
00
00
00



































zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
P
P
P






26/02/2018
40
M
e
c
â
n
ic
a
 d
o
s
 F
lu
id
o
s
: 
 P
ro
f.
 É
d
le
r 
L
in
s
 d
e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Forças de superfície:
 viscosaTensão mecânica Pressão sãoTensor ten 
00
00
00



































zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
P
P
P






M
e
c
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 É
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L
in
s
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e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Forças de superfície:
26/02/2018
41
M
e
c
â
n
ic
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 d
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 F
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L
in
s
 d
e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Forças de superfície:
M
e
c
â
n
ic
a
 d
o
s
 F
lu
id
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 P
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s
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 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Equação geral para a conservação do momento linear:
Equação de Cauchy:
   VVV
t
g
Dt
VD
pg
Dt
VD
g
ij
ijij












 :aalternativ Forma
26/02/2018
42
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â
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a
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L
in
s
 d
e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Equação geral para a conservação do momento linear:
Equação de Cauchy:
   VVV
t
g
Dt
VD
pg
Dt
VD
g
ij
ij
ij














 :aalternativ Forma
M
e
c
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e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Simplificações da Equação geral para a conservação 
do momento linear:
Equação de Euler: Escoamento invíscido (ausência de 
forças viscosas). Dt
VD
pg
Dt
VD
pg ij








:viscosa tensão há não Como 
 
26/02/2018
43
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c
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s
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e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Simplificações da Equação geral para a conservação 
do momento linear:
Equação de Navier-Stokes: Para fluido Newtoniano e 
incompressível, isotérmico (propriedades constantes):
j.i para , 
,
2
2
2







































































































jiij
ij
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
onde
z
w
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u








 
M
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 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Equação de Navier-Stokes: Para fluido Newtoniano e 
incompressível, isotérmico (propriedades constantes):
j.i para , 
,
2
2
2







































































































jiij
ij
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
onde
z
w
zv
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u








 
Dt
VD
pg ij

  
26/02/2018
44
M
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s
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 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação de Navier-Stokes: Para fluido Newtoniano, 
incompressível e isotérmico (propriedades constantes):

































z
u
x
w
zy
u
x
v
yx
u
x
p
g
Dt
Du
x  222
ijpg
Dt
VD  


u
x
p
g
Dt
Du
z
w
y
v
x
u
xz
u
y
u
x
u
x
p
g
Dt
Du
z
w
xy
v
xx
u
xz
u
y
u
x
u
x
p
g
Dt
Du
z
u
x
w
zy
u
x
v
yx
u
xx
u
x
p
g
Dt
Du
z
u
zx
w
zy
u
yx
v
yx
u
xx
u
x
p
g
Dt
Du
z
u
zx
w
zy
u
yx
v
yx
u
x
p
g
Dt
Du
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2






































































































































































































































































M
e
c
â
n
ic
a
 d
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 F
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: 
 P
ro
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L
in
s
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e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação de Navier-Stokes: Para fluido Newtoniano, 
incompressível e isotérmico (propriedades constantes):
Vμgρ
Dt
VD
ρ 
wμ
z
p
ρg
Dt
Dw
ρ
vμ
y
p
ρg
Dt
Dv
ρ
uμ
x
ρg
Dt
Du
ρ
2
2
z
2
y
2
x
























p
p
ijpg
Dt
VD  


“Equação de Navier-Stokes
incompressível”
26/02/2018
45
M
e
c
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n
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s
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 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equação Diferencial da Quantidade
de Movimento Linear
Simplificações da Equação geral para a conservação 
do momento linear:
Equação de Navier-Stokes: Para fluido Newtoniano e 
incompressível, isotérmico (propriedades constantes):
Dt
VD
V
p
g
Dt
VD
Vpg










2
2



M
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 A
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u
q
u
e
rq
u
e
Equações Diferenciais relacionadas
ao Escoamento de Fluidos
ível"incompress" StokesNavier de Equação
 2


Dt
VD
Vpg

 
 
deContinuida da Equação 
0
1
 


 V
t
V
Dt
D  

26/02/2018
46
M
e
c
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n
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 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equações Diferenciais relacionadas
ao Escoamento de Fluidos
 
     
     
0
11
 
:scilíndrica scoordenada Em
0
v
 
:scartesiana scoordenada Em
deContinuida da Equação 
0
1
 




























z
uu
rr
ur
rt
z
w
yx
u
t
V
t
V
Dt
D
zr 








M
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e
 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equações Diferenciais relacionadas
ao Escoamento de Fluidos
ível"incompress" StokesNavier de Equação
 2


Dt
VD
Vpg

 






































































































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
wwwww
v
ww
vvvvv
v
vv
v
zyxz
p
g
z
w
yx
u
t
zyxy
p
g
z
w
yx
u
t
z
u
y
u
x
u
x
p
g
z
u
w
y
u
x
u
u
t
u
z
y
x



Em coordenadas Cartesianas:
26/02/2018
47
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 A
lb
u
q
u
e
rq
u
e
Equações Diferenciais relacionadas
ao Escoamento de Fluidos
ível"incompress" StokesNavier de Equação
 2


Dt
VD
Vpg

 

































































































































2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
2
22
2
22
2
11
2111
211
z
uu
rr
u
r
rrz
p
g
z
u
u
u
r
u
r
u
u
t
u
z
uu
r
u
rr
u
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Em coordenadas Cilíndricas:
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FIM!!!!