Análise Dimensional

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INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
VICTOR MAGALHÃES SILVA
ANÁLISE DIMENSIONAL
VITÓRIA DA CONQUISTA/BA
2017
INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
VICTOR MAGALHÃES SILVA
ANÁLISE DIMENSIONAL
Trabalho entregue como requisito parcial de avaliação da disciplina de Fenômenos de Transporte do curso de Engenharia Civil do IFBA – Campus Vitória da Conquista.
Prof. Camila Cruz da Silva.
VITÓRIA DA CONQUISTA/BA
2017
INTRODUÇÃO
Por apresentar uma série de problemas com inúmeras variáveis, a resolução destes, na Mecânica dos Fluidos, se torna extremamente difícil. Por isso, são desenvolvidos uma série de métodos que permitem com que esses problemas sejam solucionados através de modelos matemáticos aplicados. Brunetti (2008) afirma que através desses modelos, pode-se tirar um maior proveito dos resultados experimentais e racionalizar a pesquisa, diminuindo, portanto, os custos e as perdas de tempo.
A análise dimensional trata-se de um método para diminuir o número e a complexidade das variáveis experimentais que afetam um dado fenômeno físico, pela aplicação de um tipo de técnica de compactação. Se um problema depende de n variáveis dimensionais, a análise dimensional reduzirá o problema a k variáveis adimensionais, em que a redução , dependendo da complexidade do problema (WHITE, 2011). 
ANÁLISE DIMENSIONAL
No sistema internacional, são sete as grandezas, ou dimensões, fundamentais: comprimento, massa, tempo, intensidade de corrente elétrica, temperatura absoluta, intensidade luminosa e quantidade de matéria. A partir delas, grandezas mais complexas podem ser expressas (HALLIDAY et al., 1996). Alguns exemplos são a vazão mássica, que pode ser descrita em função da massa e do tempo, e a aceleração, descrita em função do comprimento e do tempo.
Há vários jeitos de se representar as grandezas fundamentais, como o Sistema Internacional (SI), o sistema inglês, entre outros. A fim de se utilizar uma representação mais genérica, o sistema MLT é muito empregado na análise dimensional (HALLIDAY et al., 1996). Na mecânica dos fluidos, as quatro dimensões básicas são usualmente consideradas como massa, comprimento, tempo e temperatura, podendo a massa, em alguns casos ser substituída pela força. A figura 1, retirada de Brunetti (2008) mostra um exemplo da utilização da força, comprimento e tempo e pede-se a equação dimensional que relaciona uma grandeza derivada com a base completa. 
Figura 1 – Equação dimensional da viscosidade na base cinemática FLT.
Ao encontrar a equação dimensional, também chamada de função dimensional ou identidade dimensional, torna-se possível verificar a consistência e a homogeneidade das dimensões de uma certa grandeza (MARTINS, 2008).
As equações dimensionais apresentam quatro propriedades importantes na sua aplicação em uma análise dimensional. São elas o fechamento, onde todas as grandezas definidas no sistema de unidades adotado pertencem ao sistema analisado; a consistência, onde o sistema de unidades adotado é sempre consistente internamente em relação às grandezas; a neutralidade, propriedade de uma grandeza que apresente dimensão unitária; e a assimetria, na qual se duas grandezas apresentem as mesmas dimensões analíticas, não necessariamente as duas grandezas são iguais (p.e. energia e torque) (GASPAR, 2003).
	White (2011) afirma que se uma equação expressa realmente uma relação apropriada entre variáveis em um processo físico, ela será dimensionalmente homogênea; isto é, cada um de seus termos aditivos terá as mesmas dimensões.
TEOREMA π DE BUCKINGHAM
O teorema π de Buckingham enuncia que, em vez de fazer-se a análise dimensional de uma grandeza que é função f de n variáveis, aplica-se a técnica a uma função g de n – k variáveis auxiliares, aonde k é o número de grandezas fundamentais do sistema. Essas variáveis auxiliares são chamadas de grupos adimensionais π ou números π (BARBOSA, 2014).
Quanto maior o número de grandezas fundamentais envolvidas, mais simples será a resolução do sistema por meio do teorema π. O teorema π de Buckingham segue seis passos simples para a sua aplicação:
a) lista-se todas as n variáveis que influenciam a grandeza a ser analisada;
b) seleciona-se o conjunto mínimo de k grandezas fundamentais necessário;
c) escreve-se as variáveis anteriores em função das grandezas fundamentais escolhidas;
d) seleciona-se k das n variáveis, de forma que todas as grandezas fundamentais estejam representadas. Nessa etapa, não seleciona-se variáveis cuja dimensão é potência de outra (tal como área e volume), nem a própria grandeza analisada. Dá-se preferência a grandezas que possam ser facilmente medidas experimentalmente;
e) para as demais variáveis, toma-se grupos conforme o passo anterior, elevando-se as variáveis escolhidas anteriormente a um expoente incógnita;
f) resolve-se as equações dimensionais resultantes e determina-se os expoentes das incógnitas definidas no passo anterior.
Segundo Incropera e Dewiit (1998), os números π obtidos no teorema π de Buckingham podem ou não ter sentido físico. Muitos dos números adimensionais empregados na engenharia foram obtidos de análises dimensionais. A seguir, tem-se um exemplo da aplicação do teorema de Buckingham para a análise da tensão de cisalhamento em um escoamento em duto circular, para obter-se uma expressão a partir das variáveis. Sabe-se que a tensão de cisalhamento depende da densidade do fluido em escoamento, da ação da gravidade sobre o mesmo, da diferença de altura manométrica medida, do diâmetro da tubulação e da largura total do duto. Assim, tem-se
	
	(1)
As grandezas analisadas tem as seguintes dimensões:
Tensão de cisalhamento – [ML-1T-2]
Densidade (ρ) – [ML³]
Aceleração da gravidade (g) – [LT-2]
Diâmetro da tubulação (D) – [L]
Largura da tubulação (L) – [L]
Altura manométrica (h) – [L]
	Observando-se as dimensões das variáveis, define-se o sistema ternário MLT como o sistema de grandezas fundamentais. Assim, k = 3. Reescreve-se a equação (1):
	
	(2)
	Escolhe-se a densidade, a gravidade e a largura da tubulação como grupo de parâmetros. Define-se, então, três grupos π para análise:
	
	(3a)
	
	(3b)
	
	(3c)
Então, faz-se a análise dimensional das três equações anteriores, chegando-se às equações 4a, 4b e 4c.
	
	(4a)
	
	(4b)
	
	(4c)
Assim, para cada equação, faz-se a análise de cada grandeza fundamental separadamente, chegando-se a 3 equações para cada equação anterior:
	
	(5a)
	
	(5b)
	
	(5c)
	
	(6a)
	
	(6b)
	
	(6c)
	
	(7a)
	
	(7b)
	
	(7c)
Resolvendo-se as nove equações, encontra-se:
a = –1, b = –1 e c = 1
d = 0, e = 0, f = –1
g = 0, h= 0, i = –1
 Isolando-se as dimensões de tensão de cisalhamento na equação (4), e retornando-se na equação (1), tem-se que
	
	(8)
Assim, sabe-se que a tensão de cisalhamento é linearmente dependente de todas as variáveis analisadas, sendo inversamente proporcional ao comprimento da tubulação, e diretamente proporcional às demais variáveis. Vale notar que a tensão de cisalhamento pode não ser numericamente igual à expressão do lado direito da equação, por isso coloca-se a notação de função.
Nota-se também que os números π são parâmetros adimensionais que podem (ou não) ter sentido físico.
	Um outro exemplo mais simples, retirado de Halliday (1996), presente na figura 2, mostra a análise dimensional da força centrípeta.
Figura 2 – Análise dimensional da força centrípeta.
CONCLUSÃO
Após o estudo da análise dimensional, conclui-se que uma correta aplicação dessa teoria matemática na área de Mecânica dos Fluidos, permite com que seja tirado um maior proveito dos resultados experimentais, além de possibilitar uma racionalização da pesquisa, atrelado ao fato
de que haverá ainda uma diminuição de gastos e uma menor perda de tempo. Assim sendo, torna-se mais fácil a interpretação de dados experimentais e fica evidente que esses dados são mais bem apresentados na forma adimensional.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARBOSA, M.P. Mecânica de fluidos – Análise dimensional. Disponível em http://www.demec.ufmg.br/Grupos/Labbio/AnaliseDimensional.pdf. Acesso em 28 ago 2017.
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Ed. São Paulo, SP: Pearson Prentice Hall, 2008.
GASPAR, A. Física, volume 3. 1ª edição, Editora Ática, 2003.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K.S. Fundamentos de Física I. 4ª edição, Editora LTC, 1996.
INCROPERA, F.P.; DEWITT, D.P. Fundamentos de transferência de calor e de massa. 4ª edição, Editora LTC, 1998.
MARTINS, R.A. A busca da ciência a priori no final do século XVIII e a origem da Análise dimensional. 2ª edição, Editora UNICAMP, 2008.
 WHITE. F. M. Mecanica dos fluidos. 6. ed. Porto Alegre: AMGH. 2011.