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 RESOLUÇÕES DO VOLUME 2null nullPROJETO DESAFIOS MATEMÁTICA A 12.º ANO
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TEMA 2 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II 
 
2.1 Funções exponenciais e logarítmicas 
 
 
1. 
1.1 
  652165236520 12
0
N
 
O número inicial de indivíduos é 652. 
 
1.2 
  89836525,3 12
5,3
N
 
Ao fim de 3 horas e 30 minutos existem, aproximadamente, 898 indivíduos. 
 
1.3 Para qualquer instante t tem-se 
   tNtN
tttt
336523336523652365212 12312
1
1212
12







 
 c. q. d. 
 
2. 
a)
2
2
2
2
1
4
1 
 b) 
  3
2
3
1
23
1
2
3 33
3
1
9
1  






 c) 
2
55
3
3
1






 
 
3. 
a) 
3
3
4
4
1
64
1 
 b) 525 33243  c) 
4
4
10
10
1
10000
1 
 
d) 
5232 
. 
 
4. 
a) 
4
1
3
1
3 
x
x
 b) 
24332  x
x c) 
  64433 333  xx
 
d) 
3
4
3
1
4333 11   xx
 
 
5. 
Da observação do gráfico vem que: 
 
3
4
4
31
4
3
100
75
75,075,01 111   a
a
aaaf
 
 
6. 
Por observação do gráfico constata-se que o gráfico representado a verde (f) é o único que 
pode representar uma função exponencial de base positiva inferior a 1. Então, este gráfico 
corresponde à expressão x
y 







1
 . 
O gráfico a castanho é o único que pode representar a função simétrica de uma exponencial de 
base maior do que 1. Então, a expressão da função que pode ser representada por este gráfico 
é 
xy 2
. 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 2
Potências com o mesmo expoente positivo são tanto maiores quanto maior for a base. Assim, a 
base da função g é, necessariamente, superior à base da função j. Então, 
xy 4
 é a 
expressão analítica de g e 
xy 2
, a de j. 
 
7. 
a) Da tabela sabe-se que: 
     36
44
36
4
36436442 4
22
4
2
42 a
aa
bab
a
bababff
 
   33
9
4
33
4
9
4
364
4
2
2
2
2
2
 aabaa
a
ba
a
ba
a
b
, 
Então, como
0a
, vem 
9
4
b
e 
3a
. 
  3263
9
4
6 6 f
, 
  29163
9
4
8 8 f
. 
 
b) Da tabela sabe-se que: 
     1
44
1
10
11014102 4
22
4
2
42 a
aa
bab
a
bababff
 










10
1
10
110
10
110
110
10
2
2
2
2
2
aa
a
ba
a
ba
a
b
, Então, como 









10
10
10
10
10
1
10
aab
 como 
0a
, vem 
100b
e 
10
10
a
. 
  1,0
10
1
10
1
100
10
10
1006
3
6









f
,
  01,0
10
1
100
10
10
1008
4
8









f
. 
 
8. 
8.1 
  4
2
2048
2048220483
9
33   kkkH
. Então 
  233 224  rrrH
. 
Assim, 
  131072225 17253  H
 
 
8.2 A área de uma coroa circular cujo raio difere de um quilómetro é dada em função de r por 
         rrrrrrrA 21211 2222 
De acordo com o modelo, o número de habitantes nessa coroa circular é dado, em função de r 
por 
        rrrrrrrrrHrH 3228222222222221 3252353235323213  
 
Portanto, a densidade populacional em cada coroa circular, de acordo com o modelo, é dada 
em função de r por 
 
 


r
rD
r
2
228 3
. 
 
8.3 
r 1 2 3 4 5 6 7 8 
 rD
 24 114 652 4056 26550 179723 1246083 8795877 
 
Este modelo não parece ser adequado. O número de habitantes por quilómetro quadrado 
cresceria de forma exponencial quando nos afastássemos do centro da cidade. O normal seria, 
a densidade populacional diminuir quando nos afastamos, de forma significativa do centro da 
cidade. 
 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 3
9. 
a) 
32112512515625125 211   xxxx
. 
 3S
; 
b) 
100101,033
100
300
33003100 01,001,001,0  xxxxx
. 
 100S
; 
 
c) 
    10625322532 7777497 222 xxxxxxxxx
 
 
646401081062 22  xxxxxxx
 
 64;64 S
 
d) 
  003033 222   xxxxxx eeeeeee
. Impossível em 
R
. 
 S
; 
 
e) 
1
2
1
212
4
91
201222122 212 

 xxxxxxxx
; 
 
 1S
 
 
f) 
  0011 21 xxx
x
xxx eeeeee
e
e
eeee
 
 
 
 



2
411
01
2
2 eeeeeeee xxx
 
    







2
11
2
11
2
211
22 ee
e
ee
e
eee
e xxx
 
 
011
2
11
2
11




 xxeee
ee
e
ee
e xxxx
. 
 
 1,0S
 
 
10. 
  



















 13337213322
372
312
732
11 yyyx
yx
yx
yx 
 
 








































1
242
13315351333214 y
x
y
x
yyyy
; 
  1,2S
 
 
11. Para determinar o(s) ponto(s) de interseção dos dois gráficos faz-se: 
      262
2
32222 233 

 xxx
x
xxgxf
x
xxx
. 
  ,2S
. 
 
12. 
a) 
0232242 233  xxxxxxx
; 
  ,0S
. 
b) 
  






2
3
,03220646455255 226434
22
xxxxxxxxxxx
. 
c) 
03835328
1 225328
53
28 2
2






 

 xxxxee
e
e xx
x
x
 
Cálculo auxiliar: 
3
1
3
6
1008
0383 2 

 xxxxx
. 
  





 ,
3
1
3,S
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 4
d) 
0826208264 2  xxxx
. Fazendo 
xy 2
, obtém-se, 
0862  yy
 
Cálculo auxiliar: 
420862  yyyy
. Como o coeficiente do termo de grau 2 é positivo, tem-se, 
420862  yyyy
. Assim, voltando à variável x vem, 
214222  xxxx
. 
 2,1S
 
e) 
4
9
937333332793 93793242331223   xxxxxxxxxxx
 







4
9
,S
. 
 
f) 
   2,2040420242022 222222   xxxxx xxxx
 
 2,2S
 
 
13. 
Cálculo auxiliar: 
01033  xee xx
 
2
3
22084 32  xxx
 
Quadro de sinais 
x 

 0 
2
3
 

 
33 xe
 - 0 + + + 
84 x
 - - - 0 + 
84
33


x
xe
 + 0 - n.d. + 
 
  








,
2
3
0,0
84
33
x
e
x
x
. 
    ,30,S
 
 
14. 
14.1 Sabe-se que: 
Rxx  ,09
 e que 
x9
assume todos os valores do intervalo 
 ,0
 
quando x varia em 
R
. Então, 
  669  xxf
 e 
 xg
 assume todos os valores de 
  ,6
 
quando x varia em 
R
. Então, 
  ,6'gD
. 
Analogamente, 
Rxx  ,03
, logo,Rxx  ,3 1
 e 
Rxx  ,223 1
 e 
23 1 x
 assume 
todos os valores reais superiores a 2 quando x varia em 
R
. Portanto, 
  ,2'gD
. 
 
14.2 
a)
    813383233
3
81
3823
3
81
38 21 xxx
x
x
x
xg
 
219333
6
32436
308133633 2 

 xxxxxxx
; 
 2,1S
 
b) 
        04333023690 21   xxxxxgxf
 
Fazendo 
xy 3
, tem-se 
1404304333 22  yyyyxx
. 
Então, 
    01343043332 xxxx
 
013 x
, porque, 
Rxx  ,043
. 
Ora, 
013013  xxx
. 
  ,0S
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 5
c) 
 
  2
3
323302790
23
279
0
21 32
1






xx
xg
xf xx
x
x
 






 ,
2
3
S
 
 
14.3 
  6lim 

xf
x
 (a reta de equação 
6y
 é assíntota horizontal do gráfico de f em 

) 
 
 
  2lim 

xg
x
 (a reta de equação 
2y
 é assíntota horizontal do gráfico de g em 

). 
 
15. 
15.1 Sabe-se que: 
    9130  ff
 
Então, 































 1
3
3
33
93
_____
9
3
9
3
1 b
a
aaaa
a
a
a b
b
b
b
b . 
Os valores de a e b são 3 e 1, respetivamente. 
 
15.2 
a) A reta de equação 
2y
 será assíntota do gráfico de h de 
2k
, uma vez que o gráfico de h 
é obtido do gráfico de f pela translação associada ao vetor de coordenadas 
 k,0
. 
 
b) Para que h tenha um zero, a equação 
  0 kxf
 tem de ter uma solução, ou seja, a 
equação 
kx 13
 tem de ter uma solução. Como 
03 1 x
, para todo x real, a equação 
kx 13
 só é possível se 
0k
, ou seja, 
0k
. 
 
c) Como o gráfico de h é obtido do gráfico de f pela translação associada ao vetor de 
coordenadas 
 k,0
, o contradomínio de h é 
 ,k
. Então, 
1k
. 
 
d) 
    6333030  kkkfh
. Então, o valor de k é -3. 
 
16. 
O gráfico de q é obtido por uma reflexão do de g em relação a Oy, pelo que uma possível 
expressão analítica de q é 
  xexq 
. 
O gráfico de h pode ser obtido do de g por translação associada ao vetor de coordenadas 
 1,0 
, portanto, uma possível expressão analítica para h é 
  1 xexh
. 
O gráfico de f pode ser obtido por reflexão, de eixo Oy, do gráfico de g. Então, uma possível 
expressão analítica é 
  xexf 
 . 
O gráfico de p é obtido por translação do gráfico de f associada ao vetor 
 0,3
, pelo que uma 
possível expressão analítica para p é 
    33   xx eexp
. 
 
 
17. Sabe-se que 
  02,0 QtQ 
, ou seja, 
2,02,0 00012,00
00012,0
0 
 tt eQeQ
. 
Determinado, na calculadora gráfica, o ponto de interseção da curva definida pela equação 
tey 00012,0
 com a reta de equação 
2,0y
, obtém-se 
 
Portanto, há 
41034,1 
 anos, aproximadamente, a quantidade de 
carbono 14 da amostra era igual à quantidade de carbono 14 na 
planta viva, ou seja, a amostra tem, aproximadamente, 13,4 mil 
anos. 
 
 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 6
 
 
18. 
a)  
  



























14
13
28
2628
28
26
28
261
280
1
0
BBB e
A
e
A
eA
eA
R
R
 
Intersetando a curva definida pela equação 
xey 
 com a reta de equação 
14
13
y
 obtém-se 
 
Então, o valor aproximado de B é 0,074. 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
2
1
1428
2
1 074,0074,0
0 
 eeQtQ t
 
 
A semivida da substância é, aproximadamente, 9,367 horas, ou 
seja, 9 horas e 22 minutos. 
 
 
 
 
 
19. 
19.1 Intersetando o gráfico de f, definida em 
R
 por 
  xxf 15,1
, com a reta de equação 
2y
 
obtém-se: 
 
Observa-se, assim, que a solução da equação 
215,1 x
 
é, aproximadamente, 5, ou seja, são necessários 5 anos 
para que, com uma inflação de 15 %, o preço dos 
produtos duplique. 
 
 
 
 
 
19.2 Se atualmente custa 8 euros, daqui a sete anos custará 
28,2115,18 7 
euros. 
 
 
20. 
20.1 Para encontrar a solução da equação 
  63000tP
, determina-se graficamente a interseção 
do gráfico de P com a reta de equação 
63000y
. A 
abcissa do ponto de interseção é, aproximadamente, 
22,1. Observa-se, assim, que é durante o 22.º dia que 
a população atinge os 63000 indivíduos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 7
20.2 
Como 
02lim 1,0 

t
t
, tem-se que 
    7680002,164000lim 

tP
t
 
Então, a população tende a estabilizar nos 76800 indivíduos. 
 
21. 
a) 
 
 
 
 
 
 
As abcissas dos pontos de interseção da curva 
definida por 
xy 2
 e da curva 
2xy 
 são 
77,0
(valor aproximado), 4 e 16. Assim, do gráfico 
observa-se que a solução da equação 22 xx  é 
    ,164;8,0S
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
A abcissa do ponto de interseção da curva 
definida por 
xey 
 e da curva 
2xy 
 é 
7,0
(valor aproximado). 
Assim, a solução da condição 
2xex 
 
  ;7,0S
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
A abcissa do ponto de interseção da curva 
definida por 
xy 3
 e da curva 
2xy 
 é 
7,0
(valor aproximado). 
Assim, a solução da condição 
23 xx 
 
  ;7,0S
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 8
22. 
a) 

 x
ex
x
l im
 (limite notável e>1. 
b) 
  011limlimlim
2
2
2 





x
ee
x
xe
xxxx
x
x
 (

 2
l im
x
ex
x
 limite notável e>1. 
c) 
0
3
1
lim 
 xx
. (


x
x
3lim
 e o inverso de um infinitamente grande é um infinitésimo). 
d) 
  

 55
2
lim
2
lim
xx
x
x
x
x
 (

 5
2
lim
x
x
x
limite notável); 
e) 







x
x 
5
lim
 porque 
1
5


; 
f) 
x
x
x
x








2lim
2
1
lim
, fazendo 
xy 
 tem-se 
02lim2lim 



y
y
x
x
. 
Note-se que dizer 
x
 é o mesmo que dizer que 
y
, uma vez que 
xy 
 
 
23. 
a) 
26636636log 26  yy
yy
. Então, 
236log6 
; 
b) 
1
22 22
2
1
log5,0log 





 yyy
. Então, 
12log 12 

; 
c) 
01101log10  yy
y
. Então, 
01log10 
; 
d) 
233
9
1
3
9
1
log 23 




  yy yy
. Então, 
2
9
1
log3 





 
e) 
  31212121212log 33
123
 yy
y
y. Então, 
312log3 12 
. 
 
24. 
a) 
  243322 553log3log5 22 
 
b)   151522 17log15log15log7log5 7227  
c) 
    110log10log 05
1log
5
3 
 
d) 
  1164log 2log2log64 33 
 
e) 
        4222
13
2
111311
13log11log169log121log 
 
 
25. 
a) 
  555 1251\1251\1255125log   xRxxRxx
x
. 
 5 125S
 
b) 
   
3
1
1\
811
1\
81
1
81
1
log4
4


xRxxRxx
x
. 







3
1
S
 
c) 
 
2
9
03222log 23  xxxx
. 







2
9
S
 
d) 
792812181log 2  xxxx
. 
 79S
. 
 
26. 
a) 
 
3
1
6
1
2
55555log 6
1
266
5
 x
x
x
x
x
. 







3
1
S
. 
b) 
03099lnln 222  xxxxx
; 
 3,3S
; 
c) 
  43381
3
1
81log 4
3
1 





  yy y
y. 
 4S
 
d) 
 
2
5
2
1005
052100052352log  mmmmm
. 







2
1005
S
. 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 9
 
27. 
a) 
12log123 3 x
x  12log3S
; ou 
 4log1 3S
 
b) 
2
2ln
2ln222  xxe x
, 







2
2ln
S
, ou
 2lnS
 ; 
c) 
  6ln6020620232 1   xeee xxxxxxx
, 
 6lnS
; 
 
d) 





2
15
206252052
2
6
2526 2
02
xxxx
x
xx
x
 
 
13log2232 2  xx
xx
; 
 3log,1 2S
. 
 
28. 
28.1 Como a função é estritamente decrescente, é, necessariamente, injetiva, pelo que admite 
inversa. 
28.2 
a) Por definição de inversa sabe-se que 
    111  xgxg
. Graficamente observa-se que 
o objeto que tem por g imagem 1 é 0, ou seja, 
  011 g
 
b) Analogamente, 
  111 g
. 
 
28.3 O gráfico de 
1g
 pode ser obtido por reflexão do gráfico de g tendo como eixo de reflexão 
a reta de equação 
xy 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29. 
29.1 
O gráfico de g é o transformado do gráfico de f pela translação 
 2,0 a

: Figura B 
O gráfico de h é o transformado do gráfico de f pela translação 
 0,2b
 : Figura D 
O gráfico de i é o transformado do gráfico de f por reflexão de eixo Ox: Figura A 
O gráfico de j é o transformado do gráfico de f por composição da reflexão de eixo Oy com a 
translação 
 1,0a

: Figura C. 
29.2 
  ,0gD
; 
  ,2hD
; 
 0,iD
; 
  ,0gD
. 
 
30. 
    ,404: xRxDf
; 
RDg 
 (função polinomial). 
         ,44,4:: 2xRxRxDxgDxRxD fggf 
 
          4ln4ln 2  xxgxgfxgf 
 
Então, 
    Rgf  ,44,:
 definida pela expressão analítica 
    4ln 2  xxgf 
 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 10
31. 
31.1 Do gráfico sabe-se que 
  29 f
, ou seja, 
2929log aa 
, com 
1\Ra
. Portanto, 
3a
. 
31.2 Se 
   xfxh  1
 e 
  ,0fD
, então, 
 1,hD
 
 
32. 
a) 
    ,202: xRxDf
; 
b) 
   3,03:  xRxDg
; 
c) 
  RRxD xh  02:
 (
02 x
 é uma condição universal em 
R
) 
d) 
   3,309: 2  xRxDi
 . 
e) 
 












 ,0
2
1
,02
1
:
x
RxDh
 
Cálculo auxiliar: 
0
2
1
0
21
02
1


 xx
x
x
x
 
x 

 
2
1

 0 

 
x21
 
- 0 + + + 
x - - - 0 + 
x
x21
 + 0 - n.d. + 
 
33. 
a) 
  1,0  gg DD
 
 
 
2
13ln
3ln1233
3
12
12 
 
 y
yyxeyy
e
y x
x . 
Assim, 
1g
 é a função de domínio 
 ,0
 definido pela expressão 
 
 
2
13ln1 
x
xg
 . 
 
 
b) 
1 hh DRD
 
    33 102021022log
3
2log3
yy
xxxx
y
xy 
. 
Então, 1h é a função de domínio R definida pela expressão   31 102
x
xh 
. 
 
34. 
a) 
 



 0
1
ln
lim
1
ln
lim
x
xx
x
x
x
 
b) 
 
000
ln
lim
1
lim
lnln
lim
ln
lim 


 x
x
xx
xe
x
ex
xxxx
 
c)   0001limlnlimlnlim1lnlimlnlim 




























x
ex
x
e
x
x
x
e
xex
xxxxxxx
x
x
 
35. 
a) 
110log
21
210
log21log210log21log7log30log 






; 
b) 
24log
25
100
log25log100log 2222 






; 
c)   6888 6log32loglog3log 88288   ; 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 11
d) 4999 4log4
12
log
4log12log 9
9
99 






 
 
e) 
277 2log2log1log 777 
. 
 
36. 
a) 
  15log53log3log5log3log
2
10
log12log10log 33333333 






 
b) 



























2
ln2
4
ln2ln
4
ln2ln4lnln2ln4ln3
333
3 eeee
 
c) 
 









6
10
log6log10log2log3log01,0
01.0
01,0
 
 
37. 
a) 
  baa  2log4log4log 222
 
b) 
bba
a






0log1log
1
log 222
 
c) 
 
2
5
2
3
12log
2
1
log2log8log5,0log
8
5,0
log 322
1
2222 




  bbaa
a
 
 
38. Dizer que 
x49log3
 é o mesmo que dizer que 
x23 7log
, ou seja, 
2
7log3
x

. 
Então: 
a) 
 
2
17log3log73log21log 3333
x

 
b) 
x





 49log
7
343
log
7
1
log343log 3333
 
c) 
2
4
27log
2
1
9log7log
9
7
log 33
2
1
33 






 x
 
 
39. 
a) 










3 23
3
2
32
1
lnlnlnlnln
3
2
ln3ln
2
1
zy
x
zyxzyx
 
b) 
     














npnm
npnmpnnnpnnm
a
aaaaaaa
2
2
log
logloglog
2
1
loglog2log
2
1
log
 
c) 
  







 





 





 
 3
3
1
1
log
1
log
1
log
3
1
log1log
3
1
x
x
x
x
x
x
xx
 
 
40. 
(A) Falso. Por exemplo 
2
3
4log
8log
2
2 
 e 
12348log 22  loh
. 
(B) Verdadeira, se m >0. Propriedade 1. 
(C) Falso. Por exemplo, 
  12log93log 33 
 e 
  3219log3log 33 
 
(D) Verdadeira, se 
4x
. Propriedade 2. 
 
 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 12
41. 
a) 
  853logloglog  yxxy aaa
 
b) 
156loglog2logloglog 2
2









yxyx
y
x
aaaaa
 
c) 
        1171039logloglog9log3 3  zxxzxZ aaaa
 
d) 
     
5
4
106
5
1
loglog2
5
1
loglog
5
1
loglog 2
5
1
2
5
2









 zxzx
z
x
z
x
aaaaaa
 
 
42. 
a) 
  
4
1
8
2
7log
8
1
10log
49log
10log
8
1
49log10log
8
1 2
7
7
7
77 
 
b) 
6398log915log
15log
8log
915log8log9 22
2
2
215 
 
 
43. 
a) 
1
log
log
log
log
log
log
logloglog 
a
c
c
b
b
a
cba
a
a
a
a
a
a
acb
 
b) 
0logloglog
log
log
 aaa
b
a
bbb
c
c
 
c) 
4log2
log
log2
loglog 22  b
b
a
ba a
a
a
ab
 
d) 
121loglog 2  ab ab
. 
 
44.   xfx
xxx
xxg
2
1
log
2
1
2
log
3log
log
9log
log
log 3
3
2
3
3
3
3
9 
 
Como 
 RDD gf
, a igualdade é válida para todo Rx c.q.d. 
 
45. 
a) Como só definimos logaritmos de números positivos tem-se 
  ,1D
. 
  154121log 24  xxx
, como 
  ,115
, o conjunto solução da equação é 
 15S
 
 
b) 


















 ,
5
1
,
3
7
,
5
1
D
 
    482731573log15log 99  xxxxxx
 
 4S
 
 
c) 
      ,3,3,3D
 
         251692log33log43log3log 2242222 xxxxxx
 
55  xx
. 
     5,35,5 S
. 
 
d)  RD 
01log2log 2  xx
, fazendo 
xy log
, vem: 
2
1
1
4
91
012 2 

 yyyyy
 
Assim, 
10
10
1
1010
2
1
log1log 2
1
1   xxxxxx
. 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 13
Ambas as soluções são números reais positivos. 
Portanto, 






 10,
10
1
S
 
 
e) 
















 ,
2
7
030
72
2
: x
x
x
RxD
 
      





























13
72
2
log13log
72
2
log3log1
72
2
log 22222 x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
  









 0
72
209
02
72
65
2
72
32 22
x
xx
x
xx
x
xx
 
4507202092  xxxxxx
 
 5,4S
 
 
f) 
     2,17,2, D
 
        xxxx 17log4log2log17log12log 44242
 
     
 
   

 xx
x
xxx 468log2log2
4log
468log
2log468log2log 22
2
2
242
 
    886446844468log2log 222
2
2  xxxxxxxx
 
 8S
 
 
46. 
46.1 
      xxx
x
x
xxxf 2222
2
22
2
2 log3log8log8log
8
loglog8log 









. C. q. d. 
46.2 
32025loglog38 522  xxxxx
. 
A abcissa do ponto de interseção do gráfico de f com a reta de equação 
8y
 é 32. 
 
47. 
47.1 
    30,895log10log5log105log 99  
. Então, o vinagre tem pH 8,3. 
 
47.2 Uma solução é básica se o seu pH for superior a 7. 
0107log7log 7   xxgxx
. 
Um solução é básica se a concentração de iões for inferior a 
37 /10 dmmol
. 
 
47.3 
8108log8log  xxx
 . Então a concentração de iões da água do mar é 
38 /101 dmmol
. 
 
47.4
  2
2
1
1
2
1
2
212121 101002log2loglog2loglog2









x
x
x
x
x
x
xxxxpHpH
48. 
48.1 Sabe-se que 
    0430  hh
, ou seja, 
  
  
























2
1
8
1148
8
114
3log
014log
30log 2
2
2
b
a
b
a
ba
a
ba
ba
 c. q. d. 
 
48.2 Pretende-se determinar t tal que 
  2th
, ou seja, 
82
2
1
82
2
1
8log 42 





 ttt
. 
São necessárias 8 horas para que a altura no reservatório seja igual a 2 metros. 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 14
49. 
O ponto A tem coordenadas 
    3,22,2 eefe 
 
    3ln22ln22  eeeef
 
O ponto B tem coordenadas 
  32ln, ea
, sendo a tal que 
  32eaf 
. 
              3323233 2lnlnlnlnln2ln22ln eeaeeeaeeeaeaf
 
eaeaeae 33 32 
 
 
 
 
Tem-se então, que a base menor e a base maior, do 
trapézio, têm medida de comprimento,
3AC
e 
 32ln eBD
 e a altura relativa a estas bases tem medida 
de comprimento 
eeeCD 23 
. 
 
 
Então a área do trapézio é: 
 
       32
1
66
333
2ln2ln2ln
2
1
2
2lnln
2
2ln3
eeeeeee
ee
e
e




 
 
50. 
a) 
    ,log: 100 3 xxRxD
 
110 333  xxx logloglog
 
    33110 33333333  xxxxx loglogloglogloglogloglog
 
    ,, 33 DS
 
 
b) 
    ,: 101xRxD
 
   
3
1
433433231 2222  xxxx loglogloglog
 












 ,,
3
1
3
1
DS
 
 
c) 
    ,: 00130 xxRxD
 
   


















 


,,
loglogloglog
6
131
6
131
0131313013 223
2
333
x
xxxxxxxx
 





































 
 ,,,
6
131
6
131
6
131
DS
 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 15
d) 
      ,,: 22042xRxD
 
      ,,loglog
.
33095454 22
5
1
2
5
1 xxxx
dec
 
         ,,,, 3333 DS
 
 
e) 
    404 2  \: RxRxD
 
         
 08
08016416416444 222
2
2
2
2
,
logloglog


x
xxxxxx
     40808  \,, DS
 
51. 
a) 
   
110
100
222
2


xxx
xxRxD
logloglog
,log:
 
 
b) 
     
0010100
1100
2222
22


xxxxxx
xxRxD
ln
,,ln:
 
 
52. 

0
RD
 
            
     122104242224412
44124412441
2
1
22
2
2
22
2
222
2
2


,
logloglogloglogloglog
ttttt
tttttt
Então, 
 1220  ,S
 
831122 ,
 e 0,83 anos é, aproximadamente, 10 meses. 
Assim, conclui-se que a cidade Alfa tem menos habitantes do que a cidade Beta 
durante o primeiro ano e 10 meses, aproximadamente. 
53. 
a) 
323020 555   xxx eee
, então, 
 3,fD
 
b) 
RDg 
 
c) 
133301 101   xxx
, então, 
  ,1hD
 
54. 
54.1 
a) 
9818800 )(T
 
A temperatura inicial é 98 oC. 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 16
b) 
451809518012 12  ,)(T
 
Ao fim de 12 minutos, a temperatura era, aproximadamente, 45 oC. 
 
c) 
51608430
84326
80
7
80
7
09512518095180 0951







 
,
,log,, , tt
tt 
A temperatura é de 25 oC, ao fim de 26 minutos e 51 segundos, aproximadamente. 
54.2 
  1818018
0951
80
18095180 











 tt
t
t ,
lim,lim
 
A temperatura ambiente é de 18 oC. 
 
55. 
55.1 
 
64422642
2
6640 101010
100
10 ,,,,  dd
d
 
Então, 2091010 3222
644
 ,
,
d . 
A distância da Terra à Estrela Polar é, aproximadamente, 209 parsecs. 
 
55.2 
 
 dMm
MdmMdmdm
d
m
dd
M
MM
mMm
log
log,log,loglog,
log,
,
,,
,,,

















15
554022401040
10
40
1010
10
100
10
4022
402
2
402
2
40
2
4040
 
56. 
Recorrendo à calculadora, obtém-se uma representação gráfica de C e determina-se 
uma das interseções do gráfico de C com a reta de equação 
1y
 . 
 
 
 
 
3960650,
 
Após 6 horas e 39 minutos, a concentração é inferior a 1mg/L, ou seja, deve efetuar a 
administração seguinte às 15 horas e 9 minutos. 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 17
 
57. 
57.1 
4068753570160020 68753  peppp ,,ln,ln,,
 
O peso do Zoe é, aproximadamente, 40 kg. 
 
 
57.2 Sejam 
1p
 e 
2p
 os pesos dos dois cães. Sabe-se que 
21 21 pp ,
 , então, 
     
  0302116021160
16021160160020160020
22
222121
,,ln,lnln,ln,
ln,,ln,ln,,ln,,


pp
pppppApA
 
58. 
58.1 
    111010  kQ klog
 
 
58.2 

0
RD
 
9190
1
9
01
1
10
1
1
10
0
1
10
0 













 ttt
t
t
ttt
tQ log)(
 
O recipiente fica vazio ao fim de 9 horas. 
 
59. 
59.1 

0
RD
  6
260
5
5
1
260
5
1
4015040 260260 





 
,
ln
ln,)( ,, tteetv tt
 
Demora 6 segundos, aproximadamente. 
 
59.2 
  5005050505050
260
260 








 tt
t
t e
e
,
, limlim
 
A velocidade terminal é de 50 m/s. 
 
 
60. 
60.1 
240120 2
3
8  log)(;log)( BA
 
A cidade A tinha 1000 habitantes e a cidade B, 2000. 
 
60.2 

0
RD
 
       
 
      24452445244
8
52
3
445234452
222
2
2
282
3
8




tttttt
t
tttttBtA
logloglog
log
log
loglogloglog)()( 
A cidade A é a mais populosa a partir do 2.º ano. 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 18
 
61. 
61.1 
148118642011 
 
99
8121
86
53148
14800360
,
,
,
,)(
,



e
p
 
A população seria de 9,9 milhões. 
 
 
61.2 
 
226
64
165
0360
64
165
562208620
8121
86
73
8121
86
53
0360
0360
03600360
,ln,
,,,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,,















tte
e
ee
t
t
tt
 
818372261864 ,, 
 
Em 1837, a população era de 3,7 milhões. 
 
62. 
62.1 Utilizando valores com três casas decimais, obtém-se: 
te
tN
47607841821
894724
,,
,
)(


 
 
62.2 
100077504760
007750254835300894724300
7841821
894724 47604760
4760





tt
ee
e
tt
t
),ln(,
,,,
,
, ,,
,
 
Ao fim de 10 dias. 
 
Mais exercícios 
(Pág. 48 a 51) 
Escolha múltipla 
 
63. 

















1
2
1
13
10
11
a
b
ba
ba
f
f
)(
)(
 
Resposta: B 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 19
 
 
64. 
11
1221224
2
1 2211
1

 

)(g
xxxxxx
x
 
Resposta: B 
 
65. 
ttP 210291 ,,)( 
 é a população da Índia, em milhares de milhões, em função de t 
(número de décadas após o início do século). 
4817612102912 2 ,,,)( P
 
Resposta: C 
 
66. 
f é estritamente crescente em 






2
3
2
1
,
. 
Então, como 
8644
2
3
24
2
1 3 











fef
 , o contradomínio de f é 
 82,
. 
Resposta: D 
 
67. 
1321222222242 3212122121212   bababababa
 
Resposta: C 
 
68. 
03
3
1
0031030
3
3103
3
10 2
2
1 







  bbbbbb
b
bb
bb
 
Como f é crescente tem-se 
1b
, ou seja, 
3b
. 
Resposta: B 
 
69. 
425022
4
1
251222048
204820480
2505050 

 xx
km
xxx ,
)(
,,,
 
Resposta: D 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 20
 
 
70. 
23232 3aaaa aa  loglog
 
Resposta: A 
 
71. 





























3
1
9
3
1
33
2
2
2
a
b
aaa
ab
ab
ba
____
log 
Resposta: D 
 
72. 
225 5log p
p
 
  2222222254254100 5
2
55555  ploglogloglogloglog
 
Resposta: D 
 
73. 
  101  aCBC ,
 
 
 
2
1
2
11
111





aa
Área
ABaAaag a ,log)( 
Resposta: A 
 
74. 
399
2
1
2
1
9  xxxxlog
 
Resposta: C 
 
75. 
      1
1
10 


 b
b
b
abbaabbaabbaabba loglog
 
Sabe-se que 
0a
, então, 
0
1

b
b
 e como 
0b
 conclui-se que 
1b
. 
Resposta: B 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 21
 
 
76. 
 
    0410610616
06
2222
2


xxxx
RxRxD
logloglog
:
 
   2222 ,,  DS
 
Resposta: A 
 
77. 
  eeeef 22 212   lnlnln
 
Resposta: B 
 
78. 
  0
1
100  b
b
aababba logloglog
 
Resposta: A 
 
79. 
6939
333
1071010710
107
9
107
6
1073
2


















xx
xxx
loglog
 
80. 
      
6
5
333 6
5
3
3
33
22
3  loglogloglog yxyxyx
 
Resposta: B 
 
81. 
 9
90
999
1
2
22
33
2
333
2
33


 
S
xx
x
x
x
xxxxx
RD
logloglogloglogloglog
 Resposta: D 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 22
 
Resposta aberta 
82. 
a) 
 












 

ye
x
ye
eyeeyeey
e
e xxxx
x
x
22
22
2
3
4
3
4
4343
43
ln










ye
xf
2
1
3
4
ln)(
 
 2
2
30
3
4
1 e
xe
RxD
f
,: 









 
b) 
0
13
2
13
2
3
2
13
22
3 








 
xx
xxx
x
y
x
x
y
yyylog
 
13
21


x
xg )(
 
   00131 \: RRxD xg 
 
 
83. 
83.1 
13618030 30020 ,)()( ,  ef
 
Consegue digitar, aproximadamente, 36 palavras por minuto. 
 
83.2
   
020
16
3
16
3
020
16
3
16
13
16518065 020020020
,
ln
ln,,,,












  tteeetf ttt
84
020
16
3








,
ln
 
Deve praticar pelo menos 84 horas. 
 
83.3 
  80080808080 020  

t
x
e ,lim
 
Aumentando o número de horas de prática, o número de palavras por minuto que uma 
pessoa consegue digitar, de acordo com este modelo, aproxima-se das 80 palavras 
por minuto. 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 23
 
 
84. 
a) 
0
13431404304333439 2
3
21




x
yyyy xx
y
xxxx
x
 
 0S
 
 
b) 
525
2
4
5425 2log x
x
x
x
xx
 
 52logS
 
 
c) 
    ,: 0002 xxRxD
 
      3132121212 2233333  xxxxxxxxxx logloglogloglog
D 3
 
1S
 
 
d) 
1
224393490365043
9
5
3
9
1
0354305
3
4
3345334
3
5
3
222
3
24
2224
22
222231
1
1
2








x
xyyyy xx
y
xx
xx
x
xxxx
x
x
x
 
1S
 
 
e) 
  RRxD xx   013079 22:
 
       
   
2393273927
03
9
4
81
1
4347943479
1347913279
2
3
222
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2






xxyy
yy
xx
y
xxxx
xxxx
x
loglog
logloglogloglog
 
 32,S
 
 
85. 
a) 
2142224208608264 2
2


xxyyyy xx
y
xx
x
 
 21,S
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 24
b)  RD 
  010  xx exxxe lnlnln
 
0101
10


xee
xx
xx
ln
 
x 0 1 

 
xln
 n.d. - 0 + 
1xe
 0 + + + 
 1xexln
 n.d. - 0 + 
 10,S
 
 
c) 
      ,,: 13130132xRxD
 
   
          413134131344
44016313113 2223
,,,,,
,log


S
xxxx
 
 
d) 



















 ,,:
2
3
2
1
0
4
32 xxRxD 
 2102
4
5
4
3
4
5
4
3
45
4
3
25
4
3
22
2
2
222
2
22
2
2
,
logloglogloglogloglog


























xxxxx
xxxxxx
  





























 2
2
3
2
1
1
2
3
2
1
21 ,,,,,S
 
 
e)  RD 
5
22222 2251323232
 xxxxxxx logloglogloglog
 





 ,, 2
32
1
0S
 
 
f)  RD 
  222 2121023023 exexxxyyyyxx
xy


lnlnlnln
ln
    ,, 20 eeS
 
 
 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 25
86. 
 
 
 
 
 
 
 
      xxxAxxP lnln,  5
 
O ponto de ordenada máxima tem coordenadas 
 292572 ,;,
e, então, a abcissa de P 
para a qual a área do retângulo é máxima é 2,57. 
 
87. 
 
 
 
 
O nível máximo foi 35 e o nível de ácido úrico foi superior ao permitido durante 4 
meses e meio, ou seja, no intervalo 
 9541 ,;,
. 
 
88. 
88.1 
a) 
  0502504250 2503 ,,, ,  eA
mg/L 
b) 
 
3120
30
2
02020
0202022024
30
70
7037037033
,
,
ln
)()(
,
,
,,,





ttttet
e
e
t
eeteetetettBtA
t
t
t
tttttt
1960310 ,
 
As concentrações voltam a ser iguais ao fim de 2 horas e 19 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 26
88.2 
 
 
 
 
 
Através da análise dos gráficos, conclui-se: 
A concentração do medicamento no sangue do Carlos ultrapassa os 7,5 miligramas 
por litro de sangue em 0,3 miligramas, no máximo. 
A Ana deve ser a primeira a tomar nova dose do medicamento, cerca de 4 horas antes 
do Carlos. 
 
89. 
76272670424242 2
2
2
log

xyyyy xx
y
xx
x
 
  727 72 2 
loglogg
 
As coordenadas do ponto de interseção são 
 772 ,log
. 
 
90. 
a) 
00360
10
363749
377249
363749
377249
37724936374937724910 1010 ,
ln
)( 






 rreeA rr
A taxa de crescimento foi de 0,4% , aproximadamente. 
 
b) 
23809126313110 10010   ,)( eA
 
A população da cidade do Porto em 2011 será de 238091 habitantes, 
aproximadamente. 
 
91. 
91.1 























5
3
15
3
45
31
44
30
a
kk
k
k
f
f
aa
a
loglog
log
)(
)(
 
 
91.2 
Determinar 
)( 21 g
 é determinar o valor de x tal que 
2)(xg
. 
   
125
124
513103122 355 
 xxxxxf loglog)(
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 27
 
92. 
92.1 
2350 m =2,35 km 
76101352 352120   ,,),( eP
 
A pressão atmosférica é, aproximadamente, 76 quilopascal. 
 
92.2 
85
120
2
1
2
1
2
1
101
101
2
1 120
120
120120
,
,
ln
)()( ,
,
,,








 


xe
e
e
hPxhP x
h
xh 
Quando a altitude aumenta cerca de 5,8 quilómetros, a pressão atmosférica diminui 
para metade. 
 
Autoavaliação 4 
(Pág. 52 e 53) 
Grupo I 
 
1. 
486922
4 C
 
Resposta: A 
 
2.  
11
7
28
11
28
7



)(
)(
|
AP
ABP
ABP
 
Resposta: C 
 
3. 
 33091 29
2
, xxex
 
Resposta: C 
 
4. 
      cbbaba aaaa 32323232  loglogloglog
 
Resposta: D 
 
5. 
  8223
3
6
3363 3 lnlnlnln)ln()ln( eee
e
e
eeeeA 






 
Resposta: B 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 28
Grupo II 
 
1. 
 
11
1
11
1
0









)()()()()()(
)()()(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)|(
)(
BAPBPAPBAPBPAP
BPAPBAP
AP
BPAP
AP
BAP
AP
BP
ABP
AP
 
Como 
1 )( BAP
 é uma condição universal, a desigualdade verifica-se. 
 
2. 
1.º 2.º Par Ímpar 
Par 3 pontos 2 pontos 
Ímpar 4 pontos 3 pontos 
 
2
1
2
1
2
1
23
4
1
2
1
2
1
42


)(
)()(
XP
XPXP
 
ix
 2 3 4 
)( ixXP 
 
4
1
 
2
1
 
4
1
 
 
3. 
3.1 
5% da quantidade inicial é 
0050 Q,
. 
75824
1210
050
050050050 12100
1210
00 ,
,
,ln
,,,)( ,, 

  teQeQQtQ tt
 
O fóssil terá aproximadamente 24 758 anos. 
 
3.2 
783512010 101210 ,)( ,  eQ
 
A quantidade de carbono 14 é, aproximadamente, 35,78. 
 
4. 
4.1 
11
2
1
21221   yy exexyxyx )ln()ln(
 
11
2
1   yexf )(
 
RD
f
1
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 29
4.2 
  






3
4
003402 ,: xxRxD
 
 
32
4
432
3423423423421



e
xex
xexxexxxexx )ln()ln()ln()ln(ln)ln()ln( 








3
4
32
4
,
e
S
 
 
4.3 
Pretende-se encontrar os valores de x que verificam a condição 
2
x
xf )(
. 
Basta, então, determinar as abcissas dos pontos de interseção do gráfico de f e da 
função definida analiticamente por: 
2
x
y 
. 
 
 
 
 
 
 
 
As coordenadas dos pontos A e B são, respetivamente, 
 1020 ,;,
 e 
 693397 ,;,
. 
 
2.2 Teoria dos limites 
 
 
93. 
Os limites resultam diretamente da observação da representação gráfica de g: 
a) -2 
b) 0 
c) 

 
d) -1 
e) 0,5 
 
94. 
a) 
303
1
3 






n
lim
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 30
b) 
623
1
2
1
3 


















nn
lim
 
c) 
1
1
1
1











 
nn
n
limlim
 
d) 
3211
3
2
2
1
1
1
2



















nnn
lim
 
 
95. 
a) Por exemplo, 
n
an
1
1
 
b) Por exemplo, 
nbn
1
2 
 
c) Por exemplo, 
n
cn
1

 
d) Por exemplo, 
n
dn
1

 
 
96. 
a) Considerando uma sucessão 
 nu
tal que: 
 01 \Ruu nn 
 
  0
12
11
2
1






n
n
n
u
u
uf
 
Então, 
0
1


)(lim xf
x
. 
 
b) Considerando uma sucessão 
 nu
tal que: 
 01 \Ruu nn 
 
 
 
1
12
11
2
1






n
n
n
u
u
uf
 
Então, 
1
1


)(lim xf
x
. 
 
c) Considerando uma sucessão 
 nu
tal que: 
 0\Ruu nn 
 
 
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1



nn
n
n
uu
u
uf
 
Então, 
2
1


)(lim xf
x
. 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 31
97. 
a) 
  22nlim
 
b) 
2
1
2 






n
lim
 
c) 
2
3
2
12
3
2
2










n
lim
 
d) 
5
1
3
2
1
1
2
3
2 














n
lim
 
 
98. 
98.1 
a) 






 3
1
3
n
lim
 
b) 






 3
2
3
2n
lim
 
c) 
3
1
3 






n
lim
 
d) 
3
1
3
2
1
2
3
2
1
2

















n
lim 
 
98.2 
Como 
nw
tem-se que: 
   1
2
1
3







n
wf n limlim
 
 
98.3 
Não, porque a definição de Heine aplica-se a todas as sucessões, no domínio de f, 
que tendam para 

 e não apenas a um caso particular. 
 
99. 
a) Como 
 3na
, 
então, 
   

)(limlim xfanf
x 3
 
 
b) Como 
 3na
, 
então, 
   

)(limlim xfanf
x 3
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 32
 
c) Como 
na
, 
então, 
   2

)(limlim xfanf
x
 
100. 
100.1 
 
 
 
 
 
 
100.2 Por exemplo, 
2nxn 
 
 
100.3 
a) 















 202
2
1
2
n
lim
 
b) 






 2
5
2
n
lim
 
c) 
0424
2
1
2 2
2



























n
lim
 
d) 
82232
5
23 












n
lim
 
 
100.4 Não existe, porque: 
)(lim)(lim xfxf
xx  

22
 
 
101. 
Considere-se uma sucessão 
 nx
 tal que 
11  nn xNnx ,
 , então, 
  



 3
1
1
3
1
3
nn
n
xx
xf )(
, ou seja, 


)(lim xf
x 1
 
Considere-se uma sucessão 
 ny
 tal que 
11  nn yNny ,
 , então, 
32 nn yyf )(
, ou seja, 
3
1


)(lim xf
x
. 
Assim, não existe 
)(lim xf
x 1
porque 
)(lim)(lim xfxf
xx  

11
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 33
 
102. 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
103. 
a) Considerando uma sucessão 
 nu
, tal que: 
 00 \Ruu nn 

 
    


2
1
6
1
2
1
6
13
nn
n
n
uu
u
uf
 
Então, 


 x
x
x 6
13
0
lim
. 
 
b) Considere-se uma sucessão 
 nx
 tal que 
11  nn xNnx ,
, então, 
  




 2
1
1
2
1
2
nn
n
xx
xf )(
, ou seja, 



 1
2
1 xx
lim
 
Considere-se uma sucessão 
 ny
 tal que 
11  nn yNny ,
, então, 
  




 2
1
1
2
1
2
nn
n
yy
yf )(
, ou seja, 



 1
2
1 xx
lim
 
Assim, não existe 
1
2
1 

 xx
lim
, porque, 
1
2
1
2
11 




  xx xx
limlim
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 34
 
104. 
a) Considerando uma sucessão 
 nu
tal que: 
aun 
e 
 Rkkxf )(
 
  kkuf n 
 
Então, 
kk
ax


lim
. 
b) Considerando uma sucessão 
 nu
tal que: 
aun 
e 
xxf )(
 
  auuf nn 
 
Então, 
ax
ax


lim
. 
 
105. 
a) 
4
39
8
6
9
13
22
3








 x
x
x
x
lim
 
b) 
 
5
1
5
1
1
2
2
2



 x
x
x
lim
 
c) 
  1
2
1
2
2
13
24
0















 x
x
x
x
lim
 
 
106. 
a) 
  361032 4
2


xx
x
lim
 
b) 
2
1
3
34
4
3
1



 x
xx
x
lim
 
 
107. 
a) 
   660
000


)(lim)(limlim xgxfxgf
xxx
 
b) 
 
 
  















x
x
x
x
x
x
x
xfxgxfg
x
xxxxx
2
1
2
1
2
0
22
lim
limlim)(lim)(lim)(lim
 
c) 
5
9
1
5
9
3
3
3













 )(lim
)(lim
)(lim
xg
xf
x
g
f
x
x
x
 
d) 
 
3
5
5
3
1
111


)(lim)(lim)(lim xgxfxgf
xxx
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 35
e) 
  
 
222
33
)(lim)(lim xgxg
xx
 
 
108. 
a) 


 0
343
20 x
x
x
lim
 
b) 
0
1
0
2
12
1



 x
x
x
lim
 
c) 




  0
3
2
1
2 x
x
x
lim
 
d) 

   0
4
3
4
3 xx
lim
 
e) 




  0
6
9
2
2
3 x
x
x
lim
 
f) 
0
11





 xx
lim
 
 
109. 
a) 
2
2
4
00



 x
xf
xx
lim)(lim
 
b) 
0
4
2
4





 x
xf
xx
lim)(lim
 
c) 




  0
4
2
4
22 x
xf
xx
lim)(lim
 




  0
4
2
4
22 x
xf
xx
lim)(lim
 
Não existe 
)(lim xf
x 2
, porque 
)(lim)(lim xfxf
xx  

22
. 
 
110. 
a) 
      

)(lim)(lim)(lim xgxfxgf
xxx
 
b) 












 0
3
3
3
3 )(lim
)(lim
)(lim
xg
xh
x
g
h
x
x
x
 
c) 
      

)(lim)(lim)(lim xhxfxhf
xxx
 
d) 












 0
1
3
3
3 )(lim
)(lim
)(lim
xf
xg
x
f
g
x
x
x
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 36
e) 
      













1
19
19
2
22
xx
xxxxhf
xxx
limlim)(lim
 
 
111. 
a) 
  

323 3 xxx
xx
limlim
 
b) 
      

336531 323 xxxx
xx
limlim
 
c) 
      

666 323 xxx
xx
limlim
 
 
112. 
a) 
    

323 53 axxxaxxf
xxx
limlim)(lim
 se 
0a
 
b) 
    

323 53 axxxaxxf
xxx
limlim)(lim
 se 
0a
 
 
113. 
a) 
  
0
7
34
7
34
34
34
3434
34
2222
22
22
2222
22














 




 





 


xxxx
xx
xx
xxxx
xx
xx
xx
limlim
limlim
 
b) 
0
6
6
6
6
6
6
66
6
22
22
2
22
2















 




 





 


xxxx
xx
xx
xxxx
xx
xx
xx
limlim
limlim
 
c) 
  

4382 34 xx
x
lim
 
d) 
  

434 4 xxx
xx
limlim
 
e) 












  0
2221
2
0
2
0 x
x
xx xx
limlim
 
f) 











   0
15
9
33
9
3
3 2
2
3
2
3 x
xx
xx
x
xx
limlim
 
 
114. 
a) 
       



eeeee x
x
xx
x
111 limlim
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 37
b) 
      






























0x
x
x
x
e
x
x
xe
xe
x
x
x
x
x
x
ln
lim
ln
limlnlim
 
 
115. 
a) 
  









































111
10
a
b
x
x
xx
x
x
x
xx
x a
b
a
a
b
aba limlimlim
 
b) 
    









































111
10
b
a
x
x
xx
x
x
x
xx
x b
a
b
b
a
bba limlimlim
 
 
116. 
a) 
0
3
12
3



 xx
lim
 
b) 
5
3
5
3
5
3
25
13



 xxx x
x
x
x
limlimlim
 
c) 
0
55525
4
3
4
3




 xx
x
x
x
xxx
limlimlim
 
d) 





 33
7
3
7
123
357 2
2
4
2
4 x
x
x
xx
xx
xxx
limlimlim
 
 
117. 
a) 
0
3
12
2
2
2
2



 bx
ax
xbx
xax
xx
limlim
, se 
 00 \Rba 
 
b) 



 2
2
2
2
3
12
bx
ax
xbx
xax
xx
limlim
 , se 
0  bRa
 
c) 
2
3
12
2
2
2
2



 bx
ax
xbx
xax
xx
limlim
, se 
ba
b
a
22 
( se 
0 ba
, tem-se 
também 
2

)(lim xh
x
) 
 
118. 
a) 
2
1
2
3
1
1
2
3
1
1
23
1






















x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
e
e
e
e
e
e
e
e
limlimlim 
b)  






















1010
2
3
2
133
2
33 22
x
xx
x
xx
xx
x
limlimlim
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 38
119. 
a) 
000
22








 xx
x
x
x
xx
ln
lim
ln
lim
 
b) 
2
1
203
1
23
1
1
23
1
1
23
1
2
1
3



























x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xxxx ln
lim
ln
lim
ln
lim
ln
lim
 
c) 
3
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
13
1
22
22
2
2
2
2



















































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xxxx
limlim
limlimlimlim
 
d) 
3
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
13
1
22
22
2
2
2
2



















































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xxxx
limlim
limlimlimlim
 
 
e) 
 
2
2
4
4
11
4
4
11
4
4
1
4
4
1
4
4
1
4
4
1
4
4
4
4
4
4
44
4
22
2
2
22
2
22
2

















































 




 





 



xx
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
xxx
xxx
xxxx
xxx
limlimlim
limlimlimlim
limlimlim
 
120. 
a) 
 
   8
5
4
5
44
45
16
205
4424









 xxx
x
x
x
xxx
limlimlim
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 39
b) 
 
   2
1
1
3
2
3
11
1
3
2
3
1
253
112
2
1





















 x
x
xx
xx
x
xx
xxx
limlimlim
 
Cálculo auxiliar: 
1
3
2
0253 2  xxxx
 
 
c) 
  
 
   
 
  21
1
11
1
11
12
1
12
2
12
2
12
23
1










x
x
xx
x
xx
xx
xxx
xxxx
limlimlimlim
 
Cálculo auxiliar: 
 1 -1 -1 1 
 
1 1 0 -1 
 1 0 -1 0 
 
d) 
   









  0
2121222
3
0
4
0
4
2
0 x
x
x
xx
x
xx
xxx
limlimlim
 
 
121. 
Para que o limite seja um número real, 2 tem de ser um zero de 
22  kxx
, ou seja, 
36202222  kkk
. 
 
122. 
a) 
  
  
 
     
10
1
265
1
2651
1
2651
2625
2651
265265
1
265
1
1111

















x
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
x
xxxx
.
lim
limlimlimlim
 
b) 
  
  
 
  
  
 
   2
1
4
2
62
2
622
22
622
42
622
62
622
6262
2
62
222
222




















xxxxx
x
xxx
x
xxx
xx
xxx
xxxx
x
xx
xxx
xxx
limlimlim
limlimlim
 
c) 


  0
11
0
2
0
2
0 xx
x
x
x
xxx
limlimlim
 








  0
11
0
2
0
2
0 xx
x
x
x
xxx
limlimlim
 
Então, 

 20 x
x
x
lim
. 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 40
d) 
0
4
0
2
42
2



 x
x
x
lim
 
 
123. 
a) 
     




















0
1
2
1
22
2
22
2
22
22
2
2
2
22
2
2
2
22
xx
xxx
x
xxx
x
xxx
xx
xx
x
xf
x
xxxxx
lim
limlimlimlim)(lim
     
 
  1242
2
422
2
422
2
8 2
2
2
2
2
2
3
22










 
xx
x
xxx
x
xxx
x
x
xf
xxxxx
limlimlimlim)(lim
 
Cálculo auxiliar: 
 1 0 0 -8 
 
2 2 4 8 
 1 2 4 0 
 
Como: 
)(lim)(lim xfxf
xx  

22
 não existe 
)(lim xf
x 2
 
 
b) 
  






2
33
2
8
x
x
x
x
x
xf
xxxx
limlimlim)(lim
 
 
c) 
     
0
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
22
2
22
2
22
22
2
2
22




































x
x
xx
x
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
xxx
xx
xx
x
xf
xxxx
xxxxx
limlimlimlim
limlimlimlim)(lim
 
 
124. 
a) 
       105
5
55
25
5
1
55
2
5










 
x
x
xx
x
x xxx
limlimlim
 
b) 
1
00

  x
x
x
x
xx
limlim
 
1
00



  x
x
x
x
xx
limlim
 
Não existe 
x
x
x 0
lim
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 41
c) 
0
11
2
2




x
ee
x
xxxx
limlim
 
d) 























2
0
1212
x
x
xxx
x
xx lnln
lim
lnln
lim
 
 
125. 
125.1 
a) 
0
22 2

 x
xp
x
)(
lim
, se o grau de p for inferior a 2. 
 
b) Se 
22 2  x
xp
x
)(
lim
 não é um número real, isso significa que é 

ou 

, ou seja, o 
grau de p tem de ser superior a 2. 
 
125.2 
a) Por exemplo, 
23xxp )(
. 
b) 
 
 
 
4
4
16
12
16
112
116
112 111









  )(
lim
)(
lim
)(
)(
lim
xxx
x
xx
xp
xxx
. 
Por exemplo, 
1616  xxp )(
. 
 
126. 
a) 
1
1
3
3
3
3



n
n
nn
n
limlim
 
 
b) 
   525 6 nnn limlim
 
c)  
2
1
1
1
1
1
11
1
1
11
1
2
22
22
2
22
2















 




 











 
n
nn
n
nn
nnn
nn
nnnnn
nnn
lim
limlimlimlim
 
d) 3
1
03
1
3
3
3
1
3
33
3
13
3
3
33
31





















































e
e
e
e
e
e
e
e
n
n
n
n
n
n
nn
nn
limlimlim 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 42
127. 
127.1 
3
1


)(lim xf
x
 
Não existe 
)(lim xg
x 1
 e 
1
1


)(lim xh
x
. 
 
127.2 A função f é contínua em 
1x
. 
 
127.3 Não garante porque, por exemplo, existe 
)(lim xh
x 1
 mas h não é contínua em 
1x
 
 
128. 
a) 
2x
 
b) Não existem. 
c) 
2x
 
d) 
2x
e 
2x
 
 
129. 
a) A função não é contínua nem à esquerda nem à direita de 
2x
 
b) Não existem pontos de descontinuidade 
c) A função não é contínua nem à esquerda nem à direita de 
2x
 
d) A função é contínua à direita de 
2x
 e contínua à esquerda de 
2x
 
 
130. 
 
00
0
11
1
0
2
0
2
2
00
00













)(
limlimlim)(lim
lim)(lim
f
x
x
xx
x
xx
x
xf
x
xf
xxxx
xx
 
Então, f é descontínua em 
0x
 mas é contínua à esquerda nesse ponto. 
 
131. 
a) 
)(lim 1
2
1
1
32
2
2
1
f
x
xx
x




, então, f é contínua em 
1x
. 
 
b)   
      4
1
2
1
24
4
24
22
4
2
4444











  xxx
x
xx
xx
x
x
xxxx
limlimlimlim
 
  )(lim 462
4
gx
x


 
g é descontínua em 
4x
e contínua à esquerda nesse ponto. 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 43
 
c) 
)(limlim 01
00
h
x
x
x
x
xx

 
 
1
00



  x
x
x
x
xx
limlim
 
h é descontínua em 
0x
 e contínua à direita nesse ponto. 
 
132. 
  
4
2
22
2
4
2
2
2






 x
xx
x
x
xx
limlim
 
af  )( 2
 e, então, para que f seja contínua em 
2x
 tem-se 
4a
 
 
133. 
Gráfico (B). 
A função representada graficamente em (A) não é contínua em 
1x
. 
A função representada graficamente em (C) não é contínua à esquerda em 
4x
. 
A função representada graficamente em (D) não é contínua à direita em 
3x
. 
 
134. 
Para 
51  x
, a função é contínua pois é polinomial. 
Para 
85  x
, a função é contínua pois é racional. 
Para 
5x
, 
  1734
55

 
xxf
xx
lim)(lim
 
)(lim)(lim 5
7
10
2
2
55
f
x
x
xf
xx



 
 
Então, f é contínua em 
   581 \,
e é contínua à direita em 
5x
. 
 
135. 
  333
00

 
kxxg
xx
lim)(lim
 





  0
9
3
9
3
2
00 xx
x
xg
xx
lim)(lim
 
Como 


)(lim xg
x 0
, a função é descontínua em 
0x
 seja qual for o valor de k. 
 
 
 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 44
136. 
136.1 
A função h não é contínua porque é descontínua em 
2x
 pois, 
)(lim)(lim xhxh
xx  

22
. 
 
136.2 
Por exemplo, 






20
211
xse
xse
xj )(
 
 
136.3 
 
  










24
2
2
432 2
xsep
xse
x
xx
xgh )(
 
 
   
    28232
2
2232
222




 
xx
x
xxx
xgh
xxx
limlim)(lim
 
    ppxgh
xx
44
22

 
lim)(lim
 
Se 
gh
é contínua, então, 
7284  pp
. 
 
137. 
a) Para 
1x
, f é contínua porque é o quociente de funções contínuas. 
Para 
1x
, f é contínua porque é a soma de funções contínuas. 
Para 
1x
, 
  
      2
1
1
1
11
1
11
11
1
1
1111











  xxx
x
xx
xx
x
x
xxxx
limlimlimlim
 
  )(lim 11
1
feex x
x


 
Então, f é contínua em 
1\R
 e contínua à esquerda em 
1x
. 
 
b) 
 10,\RDg 
 
Para 
10  xx
 , g é contínua porque é o quociente de funções contínuas. 
Para 
0x
, g é contínua porque é o quociente de funções contínuas. 
Então, g é contínua. 
 
c) Para 
0x
, h é contínua. 
Para 
20  x
, h é contínua porque é constante. 
Para 
32  xx
, h é contínua porque é o quociente de funções contínuas. 
DESAFIOS ∙ MatemáticaA ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 45
Para 
0x
, 
242
0


x
x
lim
 
22
0

x
lim
 
 h é contínua em 
0x
porque 
)()(lim 02
0
hxh
x


. 
Para 
2x
, 
)(lim 222
2
h
x


 






  0
3
65
32
2
2
2 xx
xx
x
lim
 
h é descontínua em 
2x
 e contínua à esquerda nesse ponto. 
Então, h é contínua em todos os pontos do seu domínio 
  3\R
, exceto no ponto 
2x
 
 
138. 
a) Seja 
 
1

x
x
xi
 e 
xexj )(
, então, 
ijf 
. Como i e j são contínuas, então, f é 
contínua. 
b) Seja 
  xxxi 42 
 e 
xxj ln)( 
, então, 
ijg 
. Como i e j são contínuas então g é 
contínua. 
c) Seja 
  eexi x  2
 e 
xxj log)( 
, então, 
ijh 
. Como i e j são contínuas então h 
é contínua. 
 
139. 
139.1 




















333
333
09
3
9
309
3
9
2
2
2
2
xxsex
xsex
xf
xse
x
x
xxse
x
x
xf )()( 
Para 
33  x
 , f é contínua, porque é polinomial. 
Para 
33  xx
, f é contínua, porque é polinomial. 
Para 
3x
, f é contínua, porque, 
03
3


)()(lim fxf
x
. 
Então, f é contínua. 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 46
139.2 
 3 \RDf
 
 
  63
63
3
3






x
x
x
x
lim
lim 
Não existe nenhum prolongamento de f a 
R
 contínuo, porque não existe 
)(lim xf
x 3
. 
 
139.3 
a) Por exemplo, 






36
3
xse
xsexf
xg
)(
)(
 
 
b) Por exemplo, 






36
3
xse
xsexf
xg
)(
)(
 
 
140. 
a) 










  0
54
9
27
0
54
9
27
2
3
3
2
3
3 x
x
x
x
xx
lim;lim
 
Não é possível um prolongamento contínuo a 
R
. 
b) 
  
   2
9
3
93
33
933
9
27 2
3
2
32
3
3









 x
xx
xx
xxx
x
x
xxx
limlimlim
 
Cálculo auxiliar: 
 1 0 0 -27 
 
3 3 9 27 
 1 3 9 0 
 
Um prolongamento pode ser, por exemplo: 
3
932



x
xx
xi )(
 
 
141. 
141.1 
a) Uma solução. 
b) Duas soluções. 
c) Uma solução. 
d) Nenhuma. 
 
141.2 
a) Verdadeira, porque f é contínua e 
  fD84,
. 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 47
b) Falso. Se, por exemplo, 
56,k
 não existe 
  kcgc  )(:,51
. 
 
142. 
A função f é contínua em 
R
 (soma de funções contínuas), em particular, é contínua 
em 
 21,
. 
7641 ,)(  ef
 
41582 2 ,)(  ef
 
)()( 2101 ff 
 
Pelo Teorema de Bolzano a equação 
10)(xf
 é possível em 
 21,
. 
 
143. 
Apenas a afirmação d) é verdadeira porque está nas condições do Teorema de 
Bolzano. Relativamente às outras afirmações nada se pode concluir sobre a 
veracidade das mesmas. 
 
144. 
A função g é contínua em 
R
, então, também é contínua em 
 31,
. 
Sabe-se que 
01 )(g
e 
03 )(g
, então, 
)(
)(
)( 3
2
3
1 g
g
g 
. 
Pelo Teorema de Bolzano, a equação 
2
3)(
)(
g
xg 
 é possível no intervalo 
 31,
. 
 
145. 
A função h é polinomial e então é contínua em 
 23  ,
 e em 






2
2
3
,
. 
32
32
93
2
3
321323







)(
)()(
hh
hh 
Tem-se, 
023  )()( hh
 e 
02
2
3






)(hh
 
Pelo Corolário do Teorema de Bolzano h admite pelo menos um zero em cada um dos 
intervalos dados. 
 
146. 
Mostrar que os gráficos de f e de g se intersetam num ponto de abcissa pertencente 
ao intervalo 
 21,
 é provar que a equação 
)()( xgxf 
é possível no intervalo 
 21,
. 
Seja h a função definida por: 
)()()( xgxfxh 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 48
A função h é contínua em R (diferença de funções contínuas), em particular, é 
contínua em 
 21,
. 
12522
4511
2
0
,log)(
log)(


eh
eh
 
021  )()( hh
 , então, pelo Corolário do Teorema de Bolzano, h tem pelo menos um 
zero em 
 21,
, ou seja, a equação 
)()( xgxf 
é possível no intervalo 
 21,
. 
 
147. 
Seja h a função definida por: 
)()()( xgxfxh 
 
A função h é contínua em 
 ba,
 pois é a diferença de funções contínuas. 
0
0


)()()(
)()()(
bgbfbh
agafah
 
Então, 
0 )()( bhah
. 
Pelo Corolário do Teorema de Bolzano, h tem pelo menos um zero em 
 ba,
, ou seja, 
a equação 
)()( xgxf 
é possível no intervalo 
 ba,
. 
 
148. 
f é contínua em 
 21,
. 
 
 
 
 
03125020625006250312513751
37513125100803125110375120251
3751251103751202515051
51251202515051601
5115051122601
,,;,,,
,;,,),(;,),(;,),(
,;,,),(;,),(;,),(
,;,,),(;,),(;,)(
,;,),(;,)(;,)(





fff
fff
fff
fff
 
O zero com erro não superior a 0,05 é: 
32
43
2
375131251

 ,,
 
 
149. 
Seja g a função definida por 
)()()( 1 xfxfxg
. 
A função g é contínua em 
 10,
, pois é a diferença de funções contínuas em 
 20,
. 
 )()()()()()()(
)()()(
)()(
1001211
0100
02
ffffffg
ffg
ff



 
Então, como 
)(0g
e 
)(1g
são simétricos e não nulos, tem-se, pelo Corolário do 
Teorema de Bolzano, que g tem pelo menos um zero em 
 10,
, como se pretendia 
demonstrar. 
 
 
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 49
150. 
150.1 A função T é contínua, porque é a soma de duas funções contínuas (a função constante 
e o produto de uma polinomial e uma exponencial), pelo que, T é contínua em qualquer 
intervalo do seu domínio, em particular é contínua no intervalo 
 13,8
. 
Por outro lado, 
  92,1681,0158 815,02  eT
 e 
  404,17131,01513 1315,02  eT
, 
pelo que, 
   13178 TT 
. 
Então, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um 
 13,8c
 tal que 
  17cT
, ou seja, 
existiu um instante, entre as 8 horas e as 13 horas, em que a temperatura foi igual a 17 ºC. 
 
150.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A temperatura atinge os 17 graus às 8 horas e 24 minutos (valor arredondado à unidade de 
minuto). 
 
151. 
151.1
 2\RDf 
 
 
151.2 
Em 
   2\,0 
, a função é contínua porque é racional. 
Em 
 0,
, a função é contínua porque é a composta de duas funções contínuas (uma 
logarítmica e uma exponencial). Note-se que 
2ln02  xex
 e 
     0,0,2ln, 
. 
No ponto 0 temos 
    01ln2ln0 0  ef
, 
  0
2
0
2
4
limlim
3
00






  x
xx
xf
xx
 e 
      02ln2lnlimlim 0
00

 
eexf x
xx
. Então, 
   0lim
0
fxf
x


, pelo que f é contínua no ponto 
0. 
Portanto, f é contínua em qualquer ponto do seu domínio, ou seja, é uma função contínua. 
 
151.3 
Sim, basta fazer 
  82 f
, uma vez que: 
 
       













 2
22
lim
2
22
lim
2
4
lim
2
4
limlim
22
2
2
3
22 x
xxx
x
xxx
x
xx