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1 prova de edo.pdf UFPB - CCEN - Departamento de Matemática SÉRIES & EDO prof. MPMatos EXAME No 1 SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS GABARITO - PROVA A 01 CALCULANDO LIMITES Em cada caso, calcule o limite da sequência (an). a an = n p 2n + 3n + p n sen (2=n) b an = 5n (2n)! : SOLUÇÃO a Usando as propriedades básicas do limite: lim an = lim (2 n + 3n)1=n + lim p n sen (2=n) = lim f3n [(2=3)n + 1]g1=n + lim � (2=n) p n sen (2=n) 2=n � = 3 lim [(2=3)n + 1]1=n + lim �� 2= p n � sen (2=n) 2=n � = 3 + lim � 2= p n �� lim sen (2=n) 2=n = 3 + 0� 1 = 3: b Usando o Teste da Razão: L = lim ���an+1 an ��� = lim � 5n+1 (2n+ 2)! � (2n)! 5n � = lim � 5 (2n+ 2) (2n+ 1) � = 0: Como L < 1, segue do Teste da Razão que lim an = 0: 02 VERDADEIRO (V) OU FALSO (F) Assinale V ou F, justi cando as a rmações falsas. a (V) Se (an) é alternada e convergente, então lim an = 0. b (F) Se o valor da soma 1 + 1=x+ 1=x2 + 1=x3 + � � � é 4, então x = 3=4: (justi cativa) A soma 1 + 1=x + 1=x2 + 1=x3 + � � � é a série geométrica 1P n=1 (1=x)n�1 de razão 1=x, cujo valor é 1 1� 1=x . Logo, 4 = 1 1� 1=x ) x = 4=3: c (F) Se (an) é convergente e (bn) é limitada, então (anbn) converge. (justi cativa) Considere as sequências an = 1 (convergente, com limite 1) e bn = (�1)n (limitada). A sequência produto (an � bn) é a sequência (�1)n alternada e divergente. d (V) O valor da soma da série da série 1X n=1 (�1)n n não ultrapassa �0:57. e (F) Se 1X n=1 an converge condicionalmente, então 1X n=1 (an � janj) converge. (justi cativa) Se a série 1P n=1 (an � janj) fosse econvergente, então a série 1P n=1 janj também seria, já que janj = an � (an � janj) e, assim, teríamos convergência absoluta e não condicional da série 1P n=1 an: 03 CALCULANDO UMA SOMA INFINITA Considere a série de encaixe 1X n=3 3 n2 � 3n+ 2 . a Escreva a série na forma padrão 1X n=3 (bn � bn+1) e encontre uma expressão para a soma parcial Sn: b Calcule a soma da série. SOLUÇÃO a Inicialmente, observe que 1X n=3 3 n2 � 3n+ 2 = 1X n=3 � 3 n� 2 � 3 n� 1 � = 1X n=3 (bn � bn+1) : (aqui bn = 3 n� 2 ; n � 3:) b Para n � 3, temos Sn = (b3 � b4) + (b4 � b5) + (b5 � b6) + � � � (bn � bn+1) = b3� bn+1e, considerando que bn+1 = 3 n� 1 ! 0, encontramos 1X n=3 3 n2 � 3n+ 2 = limSn = b3 = 3: A soma pode ser calculada de outra maneira, reindexando a série com k = n� 2. Temos 1X n=3 3 n2 � 3n+ 2 = 1X n=3 � 3 n� 2 � 3 n� 1 � = 1X k=1 � 3 k � 3 k + 1 � = b1 � lim k!1 bk = 3: (aqui bk = 3=k:) 04 TESTANDO A CONVERGÊNCIA Use o critério indicado e investigue a convergência das séries: a 1X n=1 n+ p n n4 + n2 + 1 (Critério da Comparação Direta) c 1X n=1 lnn n2 (Critério da Comparação no Limite) c 1X n=1 � 3n 2n+ 1 � (Critério do n-ésimo Termo) SOLUÇÃO a (convergente) Basta observar que an = n+ p n n4 + n2 + 1 � n+ n n4 + n2 + 1 � 2n n4 = 2 n3 = bn: ( X 2 n3 é uma p-série convergente) 2 b (convergente) Considerando a sequência de prova bn = 1=n3=2, obtemos: lim an bn = lim lnn n1=2 = (usar Lôpital) = lim 1=n 1= (2 p n) = lim 2p n = 0: ( X 1 n3=2 é uma p-série convergente) b (divergente) O termo geral da série é an = 3n 2n+ 1 e, portanto, lim an = lim 3n 2n+ 1 = (usar Lôpital) = lim 3 2 : (lim an 6= 0) X an é divergente) FIM 3 UFPB - CCEN - Departamento de Matemática SÉRIES & EDO prof. MPMatos EXAME No 1 SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS GABARITO - PROVA B 01 QUESTÕES DO TIPO MÚLTIPLA ESCOLHA Escolha apenas uma alternativa. A Se an = n sen (1=n) e bn = 2 + (�1)n n , o valor da expressão lim an + lim bn é: a ( ) �3 b (X) 3 c ( ) 0 d ( ) 1 e ( ) 2. B As séries 1P n=1 sen2 (1=n) e 1P n=1 n sen (1=n) são respectivamente: a ( ) Divergente e Convergente. b ( ) Divergente e Divergente. c ( ) Convergente e Convergente. d (X) Convergente e Divergente. C Se 1P n=1 an e 1P n=1 bn são séries de termos positivos e lim n!1 an bn =1, então: a ( ) As séries são ambas divergentes; b ( ) Se 1P n=1 an é convergente, então 1P n=1 bn é convergente; c ( ) Se 1P n=1 bn é divergente, então 1P n=1 an é divergente; d (X) As alternativas (b) e (c) estão corretas. D Se a série 1P n=1 an converge absolutamente, então: a (X) 1P n=1 (an + janj) e 1P n=1 (an � janj) são convergentes. b ( ) 1P n=1 (an + janj) e 1P n=1 (an � janj) são divergentes. c ( ) 1P n=1 (an + janj) converge e 1P n=1 (an � janj) diverge. d ( ) 1P n=1 (an + janj) diverge e 1P n=1 (an � janj) converge. E Se 1 + 1=x+ 1=x2 + 1=x3 + � � � = 2, então o valor de x é: a (X) 2 b ( ) 3 c ( ) 1=2 d ( ) 1=3 e ( ) 2=3. 02 CONSTRUINDO EXEMPLOS Em cada caso, dê um exemplo para ilustrar a situação. a Uma sequência alternada e convergente. b Uma sequência alternada e divergente. c Duas séries convergentes 1P n=1 an e 1P n=1 bn; tais que 1P n=1 (anbn) seja divergente. d Uma sequência convergente (an) e outra limitada (bn) ; tais que (anbn) seja divergente. e Duas séries divergentes 1P n=1 an e 1P n=1 bn; tais que 1P n=1 (an + bn) seja convergente. SOLUÇÃO a A sequência an = (�1)n n é alternada e convergente. Seu limite é zero. b A sequência an = (�1)n é alternada e divergente. Note que a subsequência par tem limite 1 e a subsequência ímpar tem limite �1. c Considere as sequências an = 1 (convergente, com limite 1) e bn = (�1)n (limitada). A sequên- cia produto (an � bn) é a sequência (�1)n alternada e divergente (a subsequência par tem limite 1 e a subsequência ímpar tem limite �1). d Se an = (�1)np n e bn = (�1)np n , então as séries P an e P bn são convergentes, como consequência do critério de Leibniz e, contudo, a série "produto" P (an � bn) é a série harmônica P 1 n divergente. 03 CALCULANDO UMA SOMA INFINITA Seja S a soma da série 1P n=1 nxn; sendo 0 < x < 1. a Usando o Teste da Razão para sequências, mostre que lim � nxn+1 � = 0: b Mostre que Sn � xSn = x � 1 + x2 + x3 + � � �+ xn�1�� nxn+1 e obtenha uma expressão para Sn: c Calcule o valor da soma, como limite da sequência parcial Sn: SOLUÇÃO a Considerando bn = nxn+1, temos lim ����bn+1bn ���� = lim ����nxn+1nxn ���� = jxj < 1 e, portanto, lim bn = 0. b O termo geral da série é an = nxn e, sendo assim, Sn = a1 + a2 + � � �+ an = x+ 2x2 + 3x3 + � � �+ nxn e xSn = x 2 + 2x3 + 3x4 + � � �+ (n� 1)xn + nxn+1: Logo, Sn � xSn = x+ x2 + x3 + � � �+ xn � nxn+1 = x � 1 + x+ x2 + � � �+ xn�1�� nxn+1 e daí resulta Sn = x 1� x � 1 + x+ x2 + � � �+ xn�1�� nxn+1 1� x = x 1� x � 1� xn 1� x � � nx n+1 1� x : c Considerando que xn ! 0 e nxn+1 ! 0, tomamos o limite na última igualdade, com n ! 1, e obtemos 1X n=1 nxn = limSn = x (1� x)2 : 04 TESTANDO A CONVERGÊNCIA Use o critério indicado e investigue a convergência das séries. a 1X n=1 n n4 + n2 � 1 (Critério da Comparação Direta) b 1X n=1 " 3n 2n+ 1 + (�1)n+1 n # (Critério do n-ésimo Termo) SOLUÇÃO a (convergente) Temos an = n n4 + n2 � 1 � n n4 = 1 n3 = bn: ( X 1 n3 é uma p-série convergente) b (divergente) Temos lim an = lim " 3n 2n+ 1 + (�1)n+1 n # = lim 3n 2n+ 1 + lim (�1)n+1 n = 3=2: (lim an 6= 0) X an é divergente) FIM 6 edo.pdf UFPB - CCEN - Departamento de Matemática Séries & EDO - 09.2 Prof. MPMatos Exame N. 1 Seqüências e Séries Numéricas Gabarito - prova 4 01. (2,0 pts) Falso (F) ou verdadeiro (V). Justi que as a rmativas falsas. (a) Se limn2an = 1, então lim an = 0: (b) Se P an e P bn são séries de termos positivos convergentes, então P anbn converge. (c) Se P an converge, então Pp nan converge. (d) A seqüência (an) de nida pela recorrência: a1 = 1 e an+1 = 1� an é convergente. Solução: (a) Verdadeiro.Temos an = � 1=n2 �| {z } # 0 � n2an �| {z } # 1 �! 0 (b) Verdadeiro. Denote por Sn e Rn as n-ésimas soma de P an e P bn, respectivamente. Se Un é a n-ésma soma de P anbn, então: 0 � Un � SnRn; de onde resulta que a seqüência (Un) e conseqüentemente a série P anbn converge. (c) Falso. Considere an = (�1)n = p n: (d) Falso. A seqüência an é na verdade 1,0,1,0,1,0,. . . que é divergente (a subseqüência par e ímpar convergem para valores distintos). 02. Assinale a alternativa correta. 1) Se an = 2 3n� 4 e bn = (�1)np n + n sen(3=n); então o valor de sup an + 2 inf an + 2 lim bn é igual a: Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce (a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 2. 2) As séries P1 n=1 sen 2 (1=n) e P1 n=1 n sen (1=n) são respectivamente: (a) Convergente e Convergente (b) Convergente e Divergente (c) Divergente e Divergente (d) Divergente e Convergente. 3) Se Sn é a n-ésima soma parcial da série P1 n=1 an de termos positivos, então: (a) P1 n=1 an é convergente se fSng for monótona; (b) P1 n=1 an é sempre convergente; (c) P1 n=1 an é divergente quando limn!1 Sn 6= 0; (d) P1 n=1 an é convergente se fSng for limitada. 4) Com respeito a série P1 n=1 (�1)n n2 pode-se a rmar que: (a) Ela é convergente e sua soma é maior do que �1=4; (b) Ela é convergente e sua soma é menor do que �3=4; (c) Ela é convergente e sua soma está entre �3=4 e �1=2; (d) Ela é divergente. 5) Se 1 < an < 2; então as séries X1 n=1 an e X1 n=1 p nan (a) São ambas convergentes (b) São ambas divergentes (c) A primeira converge e a segunda diverge (d) A primeira diverge e a segunda converge 03. (2,0 pts) Complete os espaços: (a) Se (an) é uma seqüência monótona e limitada, então (an) é convergente. (b) Se lim p n an =1, então a série P an é divergente. (c) A série geométrica P1 n=1 (1� x)n�1 converge para 1=x, se 0< x <2. 2 Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce (d) Se lim jan+1=anj < 1, então a série P an é absolutamente convergente. (e) (e) Se (bn) é decrescente, bn > 0 e lim bn =0, então a série P (�1)n bn convergente. 04. (2,0 pts) Use o critério especi cado e investigue a convergência das séries: (a) X1 n=1 3n 3 p n3 + 1 (critério da comparação ou comparação no limite) (b) X1 n=1 n lnn n3 + 3 (critério da comparação ou comparação no limite) (c) X1 n=1 nrn+1 (critério da razão) (d) X1 n=1 ln � 3n 2n+ 1 � (critério do n-ésimo termo) Solução: (a) an = 3n 3 p n3 + 1 � 3n 3 p n3 + 26n3 = 3n 3 p 27n3 = 1 = bn. Como a série de prova P bn é divergente, então P an diverge. (b) an = n lnn n3 + 3 � n lnn n3 = lnn n2 = bn. Em sala de aula mostramos que a série P bn é convergente usando comparação no limite. De fato, lim (lnn)=n2 1=n3=2 = lim lnnp n = (usar LHôpital) = lim 1 2 p n = 0: Como P 1=n3=2 é convergente (critério da p-série), então P bn converge e por comparaçãoP an também converge. (c) lim n!1 ����an+1an ���� = limn!1 ����(n+ 1) rn+2nrn+1 ���� = jrj limn!1 � n n+ 1 � = jrj. Pelo Critério da Razão a série P an converge absolutamente se jrj < 1 e diverge se jrj > 1. Se jrj = 1, então r = �1 e com esses valores de r a série torna-se P (�1)n n e como o termo dessa série não tem limite zero, a série diverge. Conclusão: a série converge absolutamente se jrj < 1 e diverge caso contrário. (d) lim n!1 an = lim n!1 ln � 3n 2n+ 1 � = ln (3=2) 6= 0 e, sendo assim, a série P an é divergente. 04. (2,0 pts) Siga os seguintes passos para calcular a soma da série P1 n=1 nx n; 0 < x < 1: Passo 1: Mostre que Sn � xSn = x (1 + x+ x2 + � � �+ xn�1)� nxn+1; 3 Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce Admin_ Realce Passo 2: Use 1 + x+ x2 + � � �+ xn�1 = 1� x n 1� x e deduza uma expressão para Sn; Passo 3: Calcule a soma da série Solução: Passo 1: Temos Sn = x+ 2x 2 + 3x3 + � � � (n� 1)xn�1 + nxn xSn = x 2 + 2x3 + 3x4 + � � �+ (n� 1)xn + nxn+1 e subtraindo xSn de Sn chegamos a Sn � xSn = x+ x2 + x3 + � � �+ xn � nxn+1, isto é: (1� x)Sn = x(1 + x+ x2 + x3 + � � �+ xn�1)� nxn+1 (I) Passo 2: Se em (I) substituirmos a expressão 1 + x + x2 + x3 + � � � + xn�1 por 1� x n 1� x , chegaremos a (1� x)Sn = x � 1� xn 1� x � � nxn+1 =) Sn = x (1� x n) (1� x)2 � nx n+1: Passo 3: A soma da série é, por de nição, S = limSn e para calcular o limite da sequência (Sn) observamos que xn ! 0 e nxn+1 ! 0, porque 0 < x < 1: Assim, S = limSn = x (1� limxn) (1� x)2 � lim � nxn+1 � = x (1� x)2 4 Admin_ Realce Gabarito2.pdf UFPB - CCEN - Departamento de Matemática SÉRIES & EDO prof. MPMatos EXAME No 2 SÉRIES DE POTÊNCIAS E SÉRIES DE FOURIER GABARITO - PROVA 1 01 INTERVALO DE CONVERGÊNCIA Considere a função g (x) = 1X n=0 (x� 2)2n+1p n2 + 1 . a Determine o domínio máximo da função g; isto é, o intervalo de convergência da série. b Calcule o valor da expressão g0 (2) + g00 (2) + g(9) (2) + g(20) (2) : SOLUÇÃO a Temos L = lim ����an+1an ���� = lim ������ (x� 2) 2n+3q (n+ 1)2 + 1 � p n2 + 1 (x� 2)2n+1 ������ = jx� 2j2 � lim ������ p n2 + 1q (n+ 1)2 + 1 ������ = jx� 2j2 � lim s n2 + 1 (n+ 1)2 + 1 = jx� 2j2 � lim r n2 + 1 n2 + 2n+ 2 = jx� 2j2 � r lim n2 + 1 n2 + 2n+ 2 = jx� 2j2 : A partir do Teste da Razão, concluímos que a série coverge absolutamente no intervalo jx� 2j < 1, isto é, se 1 < x < 3 e diverge se x > 3 ou x < 1. Nas extremidades x = 1 e x = 3 a série se reduz a extremidade x = 1 : 1X n=0 �1p n2 + 1 (divergente) extremidade x = 3 : 1X n=0 1p n2 + 1 (divergente) CONCLUSÃO A série converge absolutamente no intervalo 1 < x < 3 e diverge se x � 3 ou x � 1. O domínio da função é, portanto, D (g) = (1; 3) : b Observando a série que de ne a função g, vemos que os termos de ordem par são nulos e, sendo assim, g00 (2) = 0 e g(20) (2) = 0. As derivadas de ordem ímpar são calculadas a partir da relação c2n+1 = g(2n+1) (2) (2n+ 1)! , 1p n2 + 1 = g(2n+1) (2) (2n+ 1)! , g(2n+1) (2) = (2n+ 1)!p n2 + 1 : Considerando n = 0 e n = 4, obtemos, respectivamente, g0 (2) = 1 e g(9) (2) = 9!p 17 . Logo, g0 (2) + g00 (2) + g(9) (2) + g(20) (2) = 1 + 0 + 9!p 17 + 0 = 1 + 9!p 17 : 02 DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO Considere a função f (x) = 1X n=0 (n+ 1)xn; � 1 < x < 1. a Se �1 < x < 1; mostre que Z x 0 f (t) dt = x 1� x: b Por derivação, deduza que f (x) = 1 (1� x)2 : c Agora, mostre que X1 n=1 nxn = x (1� x)2 : d Finalmente, calcule a soma da série X1 n=1 (�1)n n2n 3n : SOLUÇÃO a Integrando termo a termo a série de f (x) e usando a soma da série geométrica, encontramos:Z x 0 f (t) dt = 1X n=0 xn+1 = x 1X n=0 xn = x 1� x: (2.1) b Derivando (2.1), usando o Teorema Fundamental do Cálculo1, obtemos: f (x) = d dx Z x 0 f (t) dt = d dx � x 1� x � = 1 (1� x)2 : (2.2) c De (2.2), resulta que: xf (x) = x (1� x)2 () x 1X n=0 (n+ 1)xn = x (1� x)2 () 1X n=1 nxn = x (1� x)2 (2.3) d Considerando em (2.3) x = �2=3, obtemos: 1X n=1 (�1)n n2n 3n = �2=3 [1� (�2=3)]2 = �18=75 03 DESENVOLVIMENTO DE FOURIER Considere a função f : [0; �]! R, de nida por: f (x) = ������ x 2; se 0 � x < �=2 1; se �=2 � x � � a Esboce no intervalo [�2�; 3�] o grá co da extensão par 2�-periódica efP de f: b Determine os quatros primeiros termos da série de Fourier da extensão encontrada em (a). c Se F (x) representa a soma da série no ponto x, calcule o valor de F (3�=2)? SOLUÇÃO a Na gura abaixo ilustramos o grá co, no intervalo [�2�; 3�] ; da extensão par 2�-periódica efP de f . O primeiro passo é estender a função f ao intervalo simétrico [��; �] ; para em seguida considerar a extensão periódica. O grá co da extensão ímpar efI está ilustrado na última página. 1Teorema Fundamental do Cálculo: se f [a; b]! R é contínua, então d dx R x a f (t) dt = f (x) ; a � x � b: 2 b Como estamos tratando com a extensão par, então os coe cientes bn; n = 1; 2; 3; 4; : : : ; são todos nulos e a série de Fourier de efP é uma série de cossenos, isto é, a0 2 + 1X n=1 an cos (nx) e os quatro primeiros termos são, portanto, a0 2 ; a1 cosx; a2 cos 2x e a3 cos 3x: Temos a0 = 2 � Z � 0 f (x) dx = 2 � "Z �=2 0 x2dx+ Z � �=2 dx # = 2 � � �3 24 + � 2 � = 1 + �2=12: an = 2 � Z � 0 f (x) cos (nx) dx = 2 � "Z �=2 0 x2 cos (nx) dx+ Z � �=2 cos (nx) dx # = 2 � � x2 sen (nx) n + 2 n � sen (nx) n2 � x cos (nx) n ���=2 0 + 2 � � sen (nx) n �� �=2 : Considerando sucessivamente n = 1; 2; 3, obtemos da última relação: a1 = 2 � � x2 senx 1 + 2 1 �senx 1 � x cosx 1 ���=2 0 + 2 � hsenx 1 i� �=2 = � 2 � 6 � : a2 = 2 � � x2 sen 2x 2 + 2 2 � sen 2x 4 � x cos 2x 2 ���=2 0 + 2 � � sen 2x 2 �� �=2 = �1 2 : a3 = 2 � � x2 sen 3x 3 + 2 3 � sen 3x 9 � x cos 3x 3 ���=2 0 + 2 � � sen 3x 3 �� �=2 = 22 27� � � 6 : Os quatro primeiro termos da série são: A0 = 1 2 � 1 + �2 12 � ; A1 = � � 2 � 6 � � cosx; A3 = �1 2 cos 2x e A4 = � 22 27� � � 6 � cos 3x: c Observando o grá co, vemos que a extensão efP é descontínua no ponto x = 3�=2 e, sendo assim, temos: F (3�=2) = 12 h efP �x+�+ efP �x��i = 12 h1 + �24 i = 12 + �28 : 3 FIM GRÁFICO DA EXTENSÃO ÍMPAR 4 GABARITO - PROVA 2 01 INTERVALO DE CONVERGÊNCIA Considere a função g (x) = 1X n=1 (�1)n xn�1 n (n+ 1) . a Determine o domínio máximo da função g; isto é, o intervalo de convergência da série. b Calcule o valor da expressão g (0) + g0 (0) + g(6) (0) + g(9) (0) : SOLUÇÃO a Temos L = lim ����an+1an ���� = lim ����� (�1)n+1 xn(n+ 1) (n+ 2) � n (n+ 1)(�1)n xn�1 ����� = jxj lim ���� n (n+ 1)(n+ 1) (n+ 2) ���� = jxj lim n2 + nn2 + 3n+ 2 = jxj : A partir do Teste da Razão, concluímos que a série coverge absolutamente no intervalo jxj < 1, isto é, se �1 < x < 1 e diverge se x > 1 ou x < �1. Nas extremidades x = �1 e x = 1 a série se reduz a extremidade x = 1 : 1X n=0 (�1)n n2 + n (absolutamente convergente) extremidade x = �1 : 1X n=0 (�1)2n�1 n2 + n (absolutamente convergente) CONCLUSÃO A série converge absolutamente no intervalo �1 � x � 1 e diverge se x > 1 ou x < �1. O domínio da função é, portanto, D (g) = [�1; 1] : b Observando a série que de ne a função g, vemos que as derivadas são calculadas a partir da relação cn�1 = g(n�1) (0) (n� 1)! , (�1)n n (n+ 1) = g(n�1) (0) (n� 1)! , g (n�1) (0) = (�1)n (n� 1)! n (n+ 1) : Considerando sucessivamente n = 1; 2; 7 e 10, obtemos, respectivamente, g (0) = �1=2; g0 (0) = 1=6; g(6) (0) = �90=7 e g(9) (0) = (9!) =110. Logo, g (0) + g0 (0) + g(6) (0) + g(9) (0) = �1 2 + 1 6 � 90 7 + 9! 110 = �277 21 + 9! 110 : 02 DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO Seja f a função real de nida por f (x) = x+ 2 1� 2x; x 6= 1=2: a Represente f em série de potências de x+ 2 e determine onde a representação é válida: b Se ��=2 < � < �=6, calcule o valor da soma 1X n=0 2n (2 + sen �)n+1 5n+1 : 5 c Por derivação, obtenha uma série de potências para g (x) = 5 (1� 2x)2 : d Use o resultado encontrado em (c) e calcule a soma da série 1X n=0 (n+ 1) 4n 5n : SOLUÇÃO a Identi quemos f (x) com a soma de uma série geométrica de razão r = 25 (x+ 2). De fato: x+ 2 1� 2x = x+ 2 1� 2 (x+ 2� 2) = x+ 2 5� 2 (x+ 2) = x+ 2 5 " 1 1� 25 (x+ 2) # = = x+ 2 5 1X n=0 � 2 5 �n (x+ 2)n = 1X n=0 2n (x+ 2)n+1 5n+1 e a série é convergente somente quando ��2 5 (x+ 2) �� < 1, isto é, �92 < x < 12 : b Se ��=2 < � < �=6, então x = sen � jaz no intervalo de convergência, tendo em vista que �1 < sen � < 1=2 e, portanto, x+ 2 1� 2x = 1X n=0 2n (x+ 2)n+1 5n+1 (fazer x = sin �) ) 2 + sen � 1� 2 sen � = 1X n=0 2n (sen � + 2)n+1 5n+1 c Derivando a série obtida em (a), encontramos: d dx � x+ 2 1� 2x � = 1X n=0 2n (n+ 1) (x+ 2)n 5n+1 ) 5 (1� 2x)2 = 1X n=0 2n (n+ 1) (x+ 2)n 5n+1 ; (2.4) representação válida no intervalo �92 < x < 1 2 : d Considerando em (2.4) x = 0, encontramos: 1X n=0 4n (n+ 1) 5n = 25 03 DESENVOLVIMENTO DE FOURIER Considere a função f : [��; 0]! R, de nida por: f (x) = ������ �x; se � �=2 � x < 02; se � � � x < ��=2: a Esboce, no intervalo [�3�; 2�] ; o grá co da extensão ímpar 2�-periódica efI de f . b Determine os quatros primeiros termos da série de Fourier da extensão encontrada em (a). c Se F (x) representa a soma da série no ponto x, calcule o valor de F (�5�=2)? SOLUÇÃO 6 a Na gura abaixo ilustramos o grá co, no intervalo [�3�; 2�] ; da extensão ímpar 2�-periódica efI de f . O primeiro passo é estender a função f ao intervalo simétrico [��; �] ; para em seguida considerar a extensão periódica. O b Como estamos tratando com a extensão ímpar, então os coe cientes an; n = 0; 1; 2; 3; 4; : : : ; são todos nulos e a série de Fourier de efI é uma série de senos, isto é, 1X n=1 bn sen (nx) e os quatro primeiros termos são, portanto, B1 = b1 senx; B2 = b2 sen 2x; B3 = b3 sen 3x e B4 = b4 cos 4x: Temos bn = 2 � Z 0 �� f (x) sen (nx) dx = 2 � "Z ��=2 �� 2 sen (nx) dx+ Z 0 ��=2 x sen (nx) dx # = 2 � � �2cos (nx) n ���=2 �� + 2 � hsennx n2 � x cosnx n i0 ��=2 = 2 � ��2 cos (n�=2) n + 2 cos (n�) n � + 2 � � sen (n�=2) n2 + (�=2) cos (n�=2) n � : Considerando sucessivamente n = 1; 2; 3; 4, obtemos da última relação: b1 = 2 � ��2 cos (�=2) 1 + 2 cos 2� 1 � + 2 � � sen (�=2) 12 + (�=2) cos (�=2) 1 � = � 3 � : b2 = 2 � ��2 cos� 2 + 2 cos (2�) 2 � + 2 � � sen� 4 + (�=2) cos� 2 � = 4 � � 1 2 : b3 = 2 � ��2 cos (3�=2) 3 + 2 cos (3�) 3 � + 2 � � sen (3�=2) 9 + (�=2) cos (3�=2) 3 � = � 14 9� : b4 = 2 � ��2 cos 2� 4 + 2 cos 4� 4 � + 2 � � sen 2� 16 + (�=2) cos 2� 4 � = 1 4 : 7 Os quatro primeiro termos da série são: B1 = � 3 � senx; B2 = � 4 � � 1 2 � sen(2x); B3 = � 14 9� sen (3x) e B4 = 1 4 sen (4x) : c Observando o grá co, vemos que a extensão efI é descontínua no ponto x = �5�=2 e, sendo assim, temos: F (�5�=2) = 12 h efI �x+�+ efI �x��i = 12 h�2 + 2i = 1 + �4 : FIM GRÁFICO DA EXTENSÃO PAR 8
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