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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 4 – Questões 07 Questão 1 Suponha que você desejasse fotografar um objeto visto num espelho plano. Se o objeto se encontra a 4,0 m à sua direita e 1,5 m mais próximo do plano do espelho do que você, para que distância você deve focalizar a lente da sua câmera? Suponha que você esteja a 3,5 m de distância do espelho. Resolução: Considere a figura 1.1 abaixo. Figura 1.1 Pode-se observar na figura que a imagem do objeto, que se encontra em D está a 2 m de distância do espelho, estando então a 4 m de distância do objeto. O ângulo em D também vale ߠ, logo, poderemos encontrar a tangente desse ângulo. Assim: ݐ݃�ߠ ൌ Ͷͷǡͷ (1.1) Mas o ângulo em A também vale ߠ. Assim, poderemos utilizar o resultado (1.1) para encontrar o valor de x. Logo: ͵ݔǡͷ ൌ Ͷͷǡͷ � ݔ ؆ ʹǡͷͶ�݉ (1.2) Questão 2 Um panda se encontra em pé sobre uma banco de altura h. Para que o panda possa ver todo seu corpo refletido juntamente com o banco, é necessário que o espelho possua altura 1,20 m. Considere que os olhos do panda estão a 10 cm do topo de sua cabeça. Calcule a altura do banco. Figura 2.1 Resolução: Observa-se da figura 2.1 que os triângulos ACD e ABG são semelhantes. Logo: ݀ʹ݀ ൌ ͳǡʹͲͳǡͺͲ ݄� ݄ ൌ ͲǡͲ�݉ (2.1) Também, pode-se observar que os triângulos ADF e GDE são semelhantes. Logo: ܩܧʹǡ͵ ൌ ݀ʹ݀ � ܩܧ ൌ ͳǡͳͷ�݉ (2.2) Assim, o espelho de 1,20 m de altura deve estar, de acordo com o resultado (2.2), a 1,15 m do solo e o banco, de acordo com o resultado (2.1) teve ter uma altura igual a 0,6 m ou 60 cm. ߠ ߠ ݕ ݕ ͳǡͷ�݉ ͵ǡͷ�݉ Ͷ�݉ ݔ ܣ ܤ ܥ ܦ ܧ ܨ ܩ ͳǡʹͲ�݉ ͳǡͺͲ�݉ ݄ ݀ ݀ ࡰ ࡱ ࡲ ࡳ ߠ ߠ www.profafguimaraes.net 2 Questão 3 A aberração esférica faz a imagem de um espelho esférico ficar borrada. Ela ocorre porque os raios paralelos que atingem o espelho em pontos afastados do eixo ótico são focalizados em pontos diferentes do foco produzido pelos raios paralelos paraxiais. Esse problema pode ser minimizado usando-se apenas a seção central do espelho esférico. A) Mostre que, para um espelho esférico côncavo, o foco se aproxima do vértice à medida que os raios paralelos se afastam do eixo ótico. Qual é o valor de ߠ que produz uma variação de 2% na localização do foco, em comparação com o foco formado quando ߠ é aproximadamente igual a zero? Resolução: A) Considere a figura 3.1. Figura 3.1 Observa-se da figura 3.1 que o triângulo ABF é isóscele. Aplicando a lei dos senos, teremos: ܴ െ ݔݏ݁݊ߠ ൌ ܴݏ݁݊ሺߨ െ ʹߠሻ (3.1) Mas, ݏ݁݊ሺߨ െ ʹߠሻ ൌ ݏ݁݊ʹߠ ൌ ʹݏ݁݊ߠܿݏߠ (3.2) Substituindo (3.2) em (3.1), teremos: ݔ ൌ ܴʹ ʹܿݏߠ െ ͳܿݏߠ ൨ (3.3) A expressão (3.3) mostra que quando ߠ ՜ గଷ, ݔ ՜ Ͳ. Ou seja, o foco (F) tende para o vértice do espelho. B) Para a variação de x, teremos: οݔ ൌ ݔ െ ݔ (3.4) Em que ݔ ൌ ோଶ e οݔ ൌ െʹΨݔ. Utilizando (3.4), teremos: ݔ ൌ Ͳǡͻͺݔ� ݔ ʹܿݏߠ െ ͳܿݏߠ ൨ ൌ Ͳǡͻͺݔ�� ܿݏߠ ؆ Ͳǡͻͺ (3.5) Logo, ߠ ؆ ͳͳǡͶι ou ߠ ؆ Ͳǡʹ�ݎܽ݀. Questão 4 Uma moeda está pousada no fundo de uma piscina com 2,5 m de profundidade. Qual é a profundidade aparente vista de cima da água? O índice de refração da água é 1,33. Resolução: Figura 4.1 Vamos utilizar a seguinte relação: ݊ଵ ݊ଶ݅ ൌ ݊ଶ െ ݊ଵݎ (4.1) Em que ݊ଵ e ݊ଶ são os índices de refração dos meios 1 (origem) e 2 (destino). E r é o raio da superfície refrigente esférica. No nosso caso, ݎ ՜ λ. Logo, teremos, utilizando (4.1): ߠ ߠ ܴ െ ݔ ݔ ܴ ܴ ߠ ܣ ܤ ݔ ܨ www.profafguimaraes.net 3 ݅ ൌ െ ή ݊ଶ݊ଵ (4.2) Substituindo os dados numéricos em (4.2), teremos: ݅ ൌ െʹǡͷ ή ͳͳǡ͵͵ ൌ െͳǡͺͺ�݉ (4.3) A imagem é virtual e se encontra a 1,88 m abaixo da superfície da água. Questão 5 Uma pequena lâmpada está acesa a uma profundidade h abaixo da superfície de uma piscina. Determine a expressão da profundidade aparente h’ em função do ângulo ߠଵ formado entre o raio emergente (que chega ao olho do observador) e a normal à superfície da piscina. Resolução: Figura 5.1 Observa-se da figura 5.1, que: ݏ݁݊ߠଵ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠଶ (5.1) Observa-se também: ߠଵ ߙ ൌ ʹߨ (5.2) De (5.2), teremos: ܿݐ݃ߠଵ ൌ ݐ݃ߙ ൌ ݄Ԣݔ (5.3) De (5.3), pode-se escrever: ݐ݃ߠଵ ൌ ݄ݔԢ (5.4) Para ߠଶ, temos: ݐ݃ߠଶ ൌ ݄ݔ (5.5) Juntando (5.1), (5.4) e (5.5) teremos: ܿݏߠଵ݄Ԣ ൌ ݊ ή ܿݏߠଶ݄ (5.6) Utilizando a relação fundamental da trigonometria para ߠଶ, teremos: ݏ݁݊ଶߠଶ ܿݏଶߠଶ ൌ ͳ (5.7) Utilizando novamente (5.1) e (5.6) em (5.7), teremos: ݏ݁݊ଶߠଵ݊ଶ ൬݄݄Ԣ൰ଶ ܿݏଶߠଵ݊ଶ ൌ ͳ (5.8) Utilizando a relação fundamental da trigonometria para ߠଵ, teremos: ݏ݁݊ଶߠଵ ܿݏଶߠଵ ൌ ͳ (5.9) Agora, utilizando (5.8) e (5.9), teremos: ݏ݁݊ଶߠଵ݊ଶ ൬ ݄݄ᇱ൰ଶ ሺͳ െ ݏ݁݊ଶߠଵሻ݊ଶ ൌ ͳ�� ݄ᇱ ൌ ݄ඨ ͳ െ ݏ݁݊ଶߠଵ݊ଶ െ ݏ݁݊ଶߠଵ (5.10) Obs.: Poderíamos ter encontrado a expressão (5.4) sem o uso do ângulo ߙ. h h’ ߠଵ ߠଶ ߙ x www.profafguimaraes.net 4 Questão 6 Um feixe paralelo incide normalmente sobre uma esfera sólida de vidro. Determine a posiçao da imagem em função do índice de refração n do raio r da esfera. Resolução: Figura 6.1 Podemos observar, da figura 6.1, que: ݊ଵݏ݁݊ߠଵ ൌ ݊ଶݏ݁݊ߠଶ (6.1) Em que ݊ଵ ൌ ͳǢ�݊ଶ ൌ ݊. Considerando ângulos pequenos, teremos para (6.1): ߠଵ ؆ ݊ߠଶ (6.2) Considerando os ângulos ߠଵe ߠଶ em radianos. Ainda, observando a figura 6.1, temos: ߙ ʹߠଶ ൌ ߨ (6.3) E ߠଵ ߙ ߚ ൌ ߨ (6.4) Para ߠଵ, temos: ߠଵ ൌ ܤݎ (6.5) Utilizando (6.5) em (6.2), teremos: ߠଶ ؆ ܤ݊ ή ݎ (6.6) Utilizando (6.3), (6.4) e (6.6), teremos: ߚ ൌ ሺʹ െ ݊ሻܤ݊ ή ݎ (6.7) Mas, ߚ ൌ ܾݎ (6.8) Logo, ܾ ൌ ሺʹ െ ݊ሻܤ݊ (6.9) Da figura 6.1, temos ainda: ߚ ߛ ൌ ߠଵ (6.10) Considerando que os ângulos envolvidos sejam muito pequenos, poderemos escrever: ߚ ൌ ���ߛ ؆ ௫, assim, de (6.10), teremos: ܾݎ ܾݔ ؆ ܤݎ (6.11) Seja ݎ ب ݔ, logo, de (6.11), teremos: ܾݔ ؆ ܤݎ (6.12) Utilizando (6.9) e (6.12), teremos: ܤݔݎ ൌ ሺʹ െ ݊ሻܤ݊ � ݔ ൌ ሺʹ െ ݊ሻݎ݊ (6.13) ߠଵ ߠଶ ߠଵ ߠଶ ߠଵ ߙ ߚ ߛ ݎ ݎ ݎ ݎ ܤ ܾ ݔ ߠߠଶ ߠଶߠଵ ߙ ߚߚݎݎ ݎݎ ܾ www.profafguimaraes.net 5 Questão 7 Um objeto luminoso está a uma distancia D de um anteparo. (a) Mostrar que uma lente convergente de distâcia focal f pode aformar uma imagem real do objeto no anteparo quando colocada em duas posições separadas de ݀ ൌ ඥܦሺܦ െ Ͷ݂ሻ. (b) Mostrar a relação entre as dimensões das duas imagens para essas duas posições da lente é igual a ቀିௗାௗቁଶ. Resolução: Sendo a imagem real, e mantendo o anteparo fixo, bem como o objeto, poderemos escrever: ݅ ൌ ܦ (7.1) Em que i e o são respectivamente as distâncias da imagem e do objeto até a lente. Seja a equação de Gauss aplicada às lentes: ͳ݅ ͳ ൌ ͳ݂ (7.2) Utilizando (7.1), teremos: ͳܦ െ ݅ ͳ݅ ൌ ͳ݂ (7.3) Desenvolvendo (7.3), teremos: ݅ଶ െ ݅ܦ ܦ݂ ൌ Ͳ (7.4) As soluções de (7.4) são: ݅ ൌ ܦ േ ඥܦଶ െ Ͷܦ݂ʹ (7.5) Sendo assim, a distância entre as duas posições será dada por: ݀ ൌ ܦ ඥܦଶ െ Ͷܦ݂ʹ െ ൭ܦ െ ඥܦଶ െ Ͷܦ݂ʹ ൱� ݀ ൌ ඥܦଶ െ Ͷܦ݂ (7.6) b) Seja o aumento linear dado por: ݄Ԣଵ ൌ െ݅ଵଵ ή ݄ (7.7) Em que ݄ǯଵ e ݄ são as alturas da imagem e do objeto respectivamente. Para a primeira posição, de (7.5), teremos: ݅ଵ ൌ ܦ ඥܦଶ െ Ͷܦ݂ʹ (7.8) E utilizando (7.1): ଵ ൌ ܦ െඥܦଶ െ Ͷܦ݂ʹ (7.9) Substituindo(7.8) e (7.9) em (7.7), teremos: ݄Ԣଵ ൌ െ൬ܦ ݀ܦ െ ݀൰݄ (7.10) De forma análoga, teremos, assumindo a segunda posição: ݄Ԣଶ ൌ െ൬ܦ െ ݀ܦ ݀൰ ݄ (7.11) Agora, dos resultados de (7.10) e (7.11), teremos: ݄Ԣଶ݄Ԣଵ ൌ ൬ܦ െ ݀ܦ ݀൰ଶ (7.12) www.profafguimaraes.net 6 Questão 8 A fórmula (7.2) é chamada de forma Gaussiana da equação das lentes delgadas. Outra forma desta equação, a forma Newtoniana, é obtida considerando a distância x do objeto ao primeiro ponto focal e a distância x’ do segundo ponto focal à imagem. Mostrar que ݔݔᇱ ൌ ݂ଶ Resolução: Seja a distância ݔ ൌ െ ݂ e a distância ݔᇱ ൌ ݅ െ ݂. Utilizando a equação (7.2), teremos: ͳݔ ݂ ͳݔᇱ ݂ ൌ ͳ݂ (8.1) Desenvolvendo (8.1), teremos: ݔᇱ ݔ ʹ݂ሺݔ ݂ሻሺݔᇱ ݂ሻ ൌ ͳ݂ ሺݔᇱ ݔ ʹ݂ሻ݂ ൌ ሺݔ ݂ሻሺݔᇱ ݂ሻ ݔݔᇱ ൌ ݂ଶ (8.2) Questão 9 Mostrar que a distância entre um objeto e a sua imagem real, formada por uma lente delgada convergente, é sempre maior que quatro vezes a distância focal da lente. Resolução: Seja a distância entre o objeto e a imagem dada por: ݈ ൌ ݅ (9.1) Utilizando (7.2), teremos: ݈ ൌ ଶ െ ݂ (9.2) Tomando a derivada de (9.2) com relação a o (posição do objeto), teremos: ݈݀݀ ൌ ଶ െ ʹ݂ሺ െ ݂ሻଶ (9.3) Para obter o ponto de màximo, mínimo ou estacionário, vamos igualar a zero a derivada (9.3). Assim, teremos: ൌ ʹ݂ (9.4) Substituindo em (9.2), teremos: ݈ ൌ Ͷ݂ (9.5) Efetuando o teste da segunda derivada, temos: ݀ଶ݈݀ଶ ൌ ʹሺ െ ݂ሻଶ െ ʹሺଶ െ ʹ݂ሻሺ െ ݂ሻଷ (9.6) Utilizando o resultado (9.4) em (9.6), teremos: ݀ଶ݈݀ଶቤୀଶ ൌ ʹ݂ Ͳ (9.7) Em (9.7), a distância focal é positiva (lente convergente). Como o resultado (9.7) é positivo, o valor em (9.4) representa um ponto de mínimo. Questão 10 Uma lente delgada convergente possui distância focal ଵ݂ e está situada a uma distância t de uma outra lente convergente, cuja distância focal é igual a ଶ݂. Deduza uma expressão apropriada para a determinação da distância focal f de uma lente convergente equivalente em função de ଵ݂, de ଶ݂ e de t. Considere o caso em que t, seja simultaneamente, menor do que ଵ݂ e menor do que ଶ݂. Resolução: A figura 10.1 abaixo ilustra a situação onde duas lentes delgadas convergentes formam um sistema ótico, como se fosse uma única lente com distância focal f. www.profafguimaraes.net 7 Figura 10.1 Utilizando (7.2), teremos: ͳ݅ଵ ͳଵ ൌ ͳ݂ଵ (10.1) Em que ݅ଵ, ଵ e ଵ݂ são respectivamente a distância da imagem, a distância do objeto até a primeira lente e a distância focal da primeira lente. Ainda, utilizando (7.2), teremos: ͳݐ െ ݅ଵ ͳ݅ଶ ൌ ͳ݂ଶ (10.2) Em que ଶ ൌ ݐ െ ݅ଵ é a distância da imagem formada pela primeira lente até a segunda lente. A imagem da primeira lente serve de objeto para a segunda lente. E ݅ଶ e ଶ݂ são respectivamente a distância da imagem formada pela segunda lente até a segunda lente e a distância focal da mesma. Vamos somar (10.1) e (10.2): ͳଵ ͳ݅ଵ ͳݐ െ ݅ଵ ͳ݅ଶ ൌ ͳ݂ଵ ͳ݂ଶ (10.3) Se ଵ ՜ λ ֜ ݅ଵ ൌ ଵ݂Ǣ�݅ଶ ൌ ܨ. Em que F é a distância focal da lente equivalente. Assim, (10.3) assume a seguinte forma: ͳ݂ଵ ͳݐ െ ଵ݂ ͳܨ ൌ ͳ݂ଵ ͳ݂ଶ� �ͳܨ ൌ ͳ݂ଶ െ ൬ ͳݐ െ ଵ݂൰ (10.4) Se ݅ଶ ՜ λ ֜ ଵ ൌ ܨǢ �ݐ െ ݅ଵ ൌ ଶ݂. Assim, (10.3) assume a forma: ͳܨ ൌ ͳ݂ଵ െ ൬ ͳݐ െ ଶ݂൰ (10.5) Agora, somando (10.4) e (10.5), teremos: ͳܨ ൌ ͳʹ ͳ݂ଵ ͳ݂ଶ െ ൬ ͳݐ െ ଵ݂ ͳݐ െ ଶ݂൰൨� ͳܨ ൌ ͳʹ ͳ݂ଵ ͳ݂ଶ െ ʹݐሺݐ െ ଵ݂ሻሺݐ െ ଶ݂ሻ ଵ݂ ଶ݂ሺݐ െ ଵ݂ሻሺݐ െ ଶ݂ሻ൨ (10.6) Levando em consideração ݐ ൏ ଵ݂ e ݐ ൏ ଶ݂, em (10.6), teremos: ͳܨ ؆ ͳ݂ଵ ͳ݂ଶ െ ݐଵ݂ ଶ݂ (10.7) Se, ݐ ؆ Ͳ, então, de (10.7), teremos: ͳܨ ؆ ͳ݂ଵ ͳ݂ଶ (10.8) Questão 11 Em conexão com a figura 11.1-2. (a) Mostrar que se o objeto O é deslocado de um ponto focal ܨଵ em direção ao olho, a imagem aproxima-se, vinda do infinito, e o ângulo ߠ (e, portanto, a amplificão angular ݉ఏ) aumenta. (b) Continuando esse processo, em que posição da imagem terá ݉ఏ o seu valor utilizáve máximo? (c) Mostrar que o valor utilizável máximo de ݉ఏ é igual a 1 + (25 cm)/f. (d) Mostrar que, nessa situação, a amplificação angular é igual à amplificação linear, dada pela expressão (7.7). t ଵ݂ ଵ݂ ଶ݂ ଶ݂ O ݄�ܲ ʹͷ�ܿ݉ ͳ ߠ www.profafguimaraes.net 8 Figura 11.1 Resolução: a) Utilizando a equação de Gauss (7.2), teremos: ͳ ͳ݅ ൌ ͳ݂�� ݅ ൌ ή ݂ െ ݂ (11.1) Esse resultado conduz a: ݀݅݀ ൌ െ ݂ଶሺ െ ݂ሻଶ ο݅ ؆ െ ݂ଶ ή οሺ െ ݂ሻଶ (11.2) O resultado (11.1) mostra que, para uma imagem se formar no infinito, o objeto deve se encontrar no foco da lente. E a imagem será virtual. Ao aproximar o objeto da lente, observando o resultado de (11.2), temos ο݅ Ͳ, pois ο ൏ Ͳ. Como a imagem se encontra no infinito e também é virtual, ݅ ൏ Ͳ, ela se aproximará. O ângulo ߠ pode ser dado por: ߠ ؆ ݄ (11.3) Logo, οߠ ؆ െ ݄ଶ ή ο (11.4) Que conduz a οߠ Ͳ. O aumento angular é dado por: ݉ఏ ൌ ߠߠ (11.5) Observando a figura 11.1-1, teremos: ߠ ؆ ݄ʹͷ (11.6) Logo, a expressão (11.5) fica: ݉ఏ ൌ ʹͷ (11.7) Que conduz a: ο݉ఏ ؆ െʹͷଶ ή ο (11.8) A expressão (11.8) mostra que ο݉ఏ Ͳ. b) Para uma situação utilizável, a imagem deve ser formada no ponto próximo (Pp)�ሺ݅ ൌ െʹͷ�ܿ݉ሻ, para maior conforto do olho do observador. c) Com isso, utilizando o resultado de (11.1), teremos: ൌ ʹͷ݂ʹͷ ݂ (11.9) Substituindo (11.9) em (11.7), teremos: ݉ఏೣ ൌ ʹͷʹͷ݂ʹͷ ݂ � ݉ఏೣ ൌ ͳ ʹͷ݂ (11.10) d) O aumento linear é dado por (7.7): ݉ ൌ ݄ᇱ݄ ൌ െ݅ ൌ ʹͷʹͷ݂ʹͷ ݂ � ʹ ܲ ܨଵ ߠ O ݄�݅ ՜ െλ www.profafguimaraes.net 9 ݉ ൌ ͳ ʹͷ݂ ൌ ݉ఏೣ (11.11) Questão 12 Um objeto inclinado. Um lápis com ͳǡͲ�ܿ݉ de comprimento é colocado formando um ângulo de ͶͷǡͲι com a horizontal e seu centro está situado a ͳͷǡͲ�ܿ݉ acima do eixo ótico e a ͶͷǡͲ�ܿ݉ de uma lente com distância focal igual a ʹͲǡͲ�ܿ݉, como indica a figura 12.1. (A figura não se encontra em escala.) Suponha que o diâmetro da lente seja suficientemente grande para que a aproximação de raios paraxiais seja válida. A) Onde está a imagem do lápis? (Indique o local onde se formam as imagens dos objetos puntiformes A, B e C localizados, respectivamente, na extremidade da borracha, na ponta e no centro do lápis.) B) Qual o comprimento da imagem? (Ou seja, qual é a distância entre as imagens dos pontos A e B?) C) Faça um desenho esquemático para mostrar a orientação da imagem. Figura 12.1 Resolução: A) Previamente, determinaremos as posições dos pontos A, B e C. Logo, teremos: ൌ Ͷͷ Ͷξʹ ؆ ͷͳ�ܿ݉; ൌ Ͷͷ െ Ͷξʹ ؆ ͵ͻ�ܿ݉; ൌ Ͷͷ�ܿ݉ (12.1) Agora, utilizando a equação de Gauss, (7.2), poderemos determinar a posição dos pontos A , B e C. Logo, utilizando os dados (12.1), teremos: ݅ ൌ ͷͳ ή ʹͲͷͳ െ ʹͲ ؆ ͵�ܿ݉ ݅ ൌ ͵ͻ ή ʹͲ͵ͻ െ ʹͲ ؆ Ͷͳ�ܿ݉ ݅ ൌ Ͷͷ ή ʹͲͶͷ െ ʹͲ ൌ ͵�ܿ݉ (12.2) Agora, vamos determinar as alturas, das imagens dos pontos, com relação ao eixo ótico da lente. Para isso, vamos utilizar as ampliações lineares para as imagens dos pontos que serão dadas por (7.7). Assim, utilizando os dados (12.1) e (12.2), teremos: ݉ ൌ െ͵ͷͳ ؆ െͲǡͷ ݉ ൌ െͶͳ͵ͻ ؆ െͳǡͳ ݉ ൌ െ͵Ͷͷ ൌ െͲǡͺ (12.3) A posição do ponto A com relação ao eixo ótico da lente vale ͳͷ െ Ͷξʹ�ܿ݉. Assim, a imagem do ponto A estará abaixo do eixo segundo uma distância dada por: ݄Ԣ ൌ Ͳǡͷ ή ൫ͳͷ െ Ͷξʹ൯ ؆ ǡͳ�ܿ݉ (12.4) O ponto B se localiza segundo uma distância do eixo igual a ͳͷ Ͷξʹ�ܿ݉. Assim, a imagem do ponto Bestará abaixo do eixo, a uma distância de: ݄Ԣ ൌ ͳǡͳ ή ൫ͳͷ Ͷξʹ൯ ؆ ʹʹǡ�ܿ݉ (12.5) O ponto C se localiza segundo uma distância do eixo igual a ͳͷ�ܿ݉. Assim, a imagem do ponto C estará abaixo do eixo, a uma distância de: ݄Ԣ ൌ Ͳǡͺ ή ͳͷ ൌ ͳʹ�ܿ݉ (12.6) B) Para determinar o comprimento da imagem tomaremos as diferenças entre as posições dos pontos A e B. Assim, teremos: ݈ᇱ ൌ ඥሺ݅ െ ݅ሻଶ ሺ݄Ԣ െ ݄Ԣሻଶ ͳͷǡͲ�ܿ݉ ͶͷǡͲι ͶͷǡͲ�ܿ݉ ܣ ܥ ܤ www.profafguimaraes.net 10 ݈ᇱ ൌ ඥͺଶ ͳǡଶ ؆ ͳͺ�ܿ݉ (12.7) C) A figura 12.2 abaixo ilustra a situação (fora de escala). Figura 12.2 Questão 13 Para refração em uma interface esférica, a primeira distância focal ݂ é definida como o valor de correspondente a ݅ ൌ λ, como mostra a figura 13.1a. A segunda distância focal ݂ǯ é definida como o valor de ݅ correspondente a ൌ λ, como mostra a figura 13.1b. A) Prove que ೌ್ ൌ ᇱ. B) Prove que a relação geral entre a distância do objeto e a distância da imagem é dada por ݂ ݂Ԣ݅ ൌ ͳ Figura 13.1 Resolução: A) Vamos utilizar a relação (4.1). Na figura 13.1a teremos: ݂݊ ൌ ݊ െ ݊ݎ (13.1) Na figura 13.1b teremos: ݂݊Ԣ ൌ ݊ െ ݊ݎ (13.2) De (13.1) e (13.2), teremos: ݂݊ ൌ ݂݊ᇱ � ݊݊ ൌ ݂݂Ԣ (13.3) B) Se utilizarmos as relações (13.1) e (13.2) em (4.1), teremos: ݊ ݊݅ ൌ ݂݊ (13.4) Como também: ݊ ݊݅ ൌ ݂݊Ԣ (13.5) Somando (13.4) e (13.5) e com auxílio de (13.3), teremos: ʹ݊ ൬݊݊ ή ͳ ͳ݅൰ ൌ ݊ ൬݊݊ ή ͳ݂ ͳ݂ᇱ൰� ʹ ൬ ݂݂ᇱ ή ͳ ͳ݅൰ ൌ ൬ ݂݂ᇱ ή ͳ݂ ͳ݂ᇱ൰�� ݂ ݂Ԣ݅ ൌ ͳ (13.6) ݊ ݊ ܨ ൌ ݂ ݅ ൌ λ ሺܽሻ ݊ ݊ ܨԢ ݅ ൌ ݂Ԣ ൌ λ ሺܾሻ www.profafguimaraes.net 11 Questão 14 Distância focal de uma Lente Zoom. A figura 14.1 mostra uma versão simples de uma lente zoom. A lente convergente possui distância focal ଵ݂ e a lente divergente possui distância focal ଶ݂ ൌ െȁ ଶ݂ȁ. As duas lentes estão separadas por uma distância ݀ variável que é sempre menor do que ଵ݂. O módulo da distância focal da lente divergente satisfaz à desigualdade ȁ ଶ݂ȁ ሺ ଵ݂ െ ݀ሻ. Para determinar a distância focal efetiva da combinação das duas lentes, considere um feixe de raios paralelos com raio ݎ entrando na lente convergente. A) Mostre que o raio do feixe diminui para o valor ݎԢ ൌ ݎ ሺ ଵ݂ െ ݀ሻ ଵ݂Τ no ponto onde ele penetra na lente divergente. B) Mostre que a imagem I’ se forma a uma distância ݅Ԣଶ ൌ ȁ ଶ݂ȁሺ ଵ݂ െ ݀ሻ ሺȁ ଶ݂ȁ െ ଵ݂ ݀ሻΤ à direita da lente divergente. C) Se os raios que emergem da lente divergente e que atingem a imagem puntiforme final são estendidos para trás, para a esquerda da lente divergente, eles acabam se expandindo e atingindo o raio original em algum ponto Q. A distância entre a imagem final I’ e o ponto Q é a distância focal efetiva f da combinação das duas lentes; ou seja, se as duas lentes fossem substituídas por uma única lente situada no ponto Q com distância focal f, os raios paralelos incidentes seriam focalizados formando I’. Mostre que a distância focal efetiva é dada por ݂ ൌ ଵ݂ȁ ଶ݂ȁ ሺȁ ଶ݂ȁ െ ଵ݂ ݀ሻΤ . D) Sabendo que ଵ݂ ൌ ͳʹǡͲ�ܿ݉ǡ ଶ݂ ൌ െͳͺǡͲ�ܿ݉ e que a distância d pode ser ajustada entre zero e ͶǡͲ�ܿ݉, descubra a distância focal máxima e a distância focal mínima para essa combinação. Qual é o valor da distância d para obter ݂ ൌ ͵ͲǡͲ�ܿ݉? Figura 14.1 Resolução: A) Vamos utilizar a semelhança de triângulos para resolver o estreitamento do raio. Observando a figura 14.1, podemos concluir que os triângulos BDG e CDE são semelhantes. Logo, teremos: ݎݎᇱ ൌ ଵ݂ଵ݂ െ ݀�� ݎԢ ൌ ݎሺ ଵ݂ െ ݀ሻଵ݂ (14.1) B) Aplicando a equação de Gauss para a segunda lente, teremos: ͳଶ ͳ݅Ԣଶ ൌ ͳ݂ଶ (14.2) Para a segunda lente, a imagem formada pela primeira lente será seu objeto. A localização desse objeto, de acordo com a figura 14.1, será: െሺ ଵ݂ െ ݀ሻ, pois esse objeto será virtual. Subtituindo em (14.2), teremos: െ ͳሺ ଵ݂ െ ݀ሻ ͳ݅Ԣଶ ൌ െ ͳȁ ଶ݂ȁ ݅Ԣଶ ൌ ȁ ଶ݂ȁሺ ଵ݂ െ ݀ሻȁ ଶ݂ȁ െ ଵ݂ ݀ (14.3) C) Utilizando a semelhança de triângulos para os triângulos AI’Q e CI’E, teremos: ݎݎԢ ൌ ݂݅Ԣଶ (14.4) Com o auxílio dos resultados (14.1) e (14.3), teremos: ଵ݂ଵ݂ െ ݀ ൌ ݂ሺȁ ଶ݂ȁ െ ଵ݂ ݀ሻȁ ଶ݂ȁሺ ଵ݂ െ ݀ሻ ݂ ൌ ଵ݂ȁ ଶ݂ȁȁ ଶ݂ȁ െ ଵ݂ ݀ (14.5) D) Utilizando (14.5), para Ͳ ൏ ݀ ൏ Ͷ�ܿ݉, teremos: ݎ ݎԢ ଵ݂ ܳ ݂ ݀ ݅Ԣଶ ܣ ܤ ܥ ܫԢ ܦ ܧ ܩ www.profafguimaraes.net 12 ݂௫ ൌ ͳʹ ή ͳͺͳͺ െ ͳʹ ൌ ͵�ܿ݉ǡ ݀ ൌ Ͳ (14.6) ݂À ൌ ͳʹ ή ͳͺͳͺ െ ͳʹ Ͷ ؆ ʹͳǡ�ܿ݉ǡ ݀ ൌ Ͷ�ܿ݉ (14.7) ݂ ൌ ͵Ͳ�ܿ݉ ֜ ݀ ൌ ͳʹ ή ͳͺ͵Ͳ െ ݀ ൌ ͷ �ܿ݉ ൌ ͳǡʹ�ܿ݉ (14.8) �
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