Geometria Gráfica Tridimensional Vol 1 Mario Duarte e Alcy Paes

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AUTORES: 
ALCY PAES DE ANDRADE VIEIRA 
COSTA, nascida em Recife, é graduada no 
curso de Licenciatura em Desenho e Plástica, 
pela Universidade Federal de Pernambuco, ck 
cujo Departamento de Desenho era professo~. 
estando atualmente aposentada no nlvel 4 de 
Adjunto. 1 
Durante muitos anos lecionou em curs~s 
de 'Z' grau em várias escolas oficiais do Estado. 
Ê também professora Adjunta em atividade no 
Departamento de Engenhafia da Universidade 
Católica de Pernambuco, onde leciona 
disciplinas da área de Geometrotecnia para 
cursos de Engenharia Quimice e Matemática. 
Exerceu durante anos a coordenação do 
curso de Licenciatura em Desenho e Plástica 
da UFP'E, colaborando com o Departamento 
d• Métodos e Técnicas de Ensino do Centro 
do Educação, como professora responsáv~I 
pnll'I disciplina de Prática de Ensino db 
l>er.enho. 
Participou, como c~autora, da maioria 
""" lrnbalhos didáticos do Prof. Mário Duarte 
ço .. ta 
MÁRIO DUARTE COSTA, nascido em 
Recife, é Professor Titular, por concurso do 
Departamento de Desenho da Universidade 
Federal de Pernambuco, onde se graduou em 
Engenharia Civil e obteve o titulo de Doutor 
em Arquitetura. 
Leciona todas as disciplinas da área de 
Geometrotecnia, na graduação da área de 
ciência e tecnologia - cursos de. Engenharia, 
Matemática e Geologia - e da área de artes -
cursos de Arquitetura, Desenho Industrial o 
Licenciatura em Desenho. 
Participa de cursos de especialização 
locais e de outras regiões do pais, onde 
desenvolve o ensino da Geometria Projetiva. 
~ também Professor Titl1lar - licenciado - do 
Departamento de Engenharia da Universidade 
Católica de Pernambuco. 
Tem larga experi!ncia administrativa na 
UFPE como Chefe do Departamento de 
Desenho e em Direções no Departamento de 
Controle Acadêmico. 
Publicou três teses e artigos cientlficos 
em Simpósios Nacionais, bem como livros 
didáticos sobre vários assuntos, incluindo 
duas edições dos volumes 1 e 2 da Geometria 
Gráfica Tridimensional. 
AC 
r44 
8371 
1 001247 
111/ llf lllllllllllf Ili /l/I 11 lfl 
L0000001250 
Geometria 
Gráfica Tridimensional 
Os que fazem a Editora 
Universitária da Universidade 
Federal de Pernambuco, 
sentem-se honrados, e ex-
pressam-se na pessoa do seu 
Editor, com o lançamento da 
terceira edição do volume 1, da 
Obra dos Professores Mário 
Duarte Costa e Alcy P. de A. 
Vieira Costa, Geometria 
Gráfica Tridimensional 
Sistemas de Representação. 
Essa nova edição é o 
testemunho da competência 
dos autores, tão bem rece-
bidos entre os estudantes qu~ 
aspiram uma vaga nas uni-
versidades, tanto nas áreas da 
Ciência e Tecnologia, quanto 
na área das Artes. Con-
siderando também a utilização 
da Obra por estudantes 
universitários, entendo desne-
cessário ressaltar as quali-
dades do presente trabalho. 
Lembro que já foram 
editados, da presente série, 
pela Editora Universitária da 
UFPE, o volume 2 - segunda 
edição, Geometria Gráfica 
Tridimensional - Ponto, Reta e 
Plano, e volume 3, Geometria 
Gráfica Tridimensional 
Transformações Projetivas. 
Prof· ·Ana Maria 
de França Bezerra 
Editor 
Associação Latino Americano de Educação 
, 
Associação La tino Americano de Educação 
Geometria Gráfica 
Tridimensional 
Vai. 1 - SISTEMAS OE 
REPRESENTA.CÃO 
3º ediçõo 
Associaç~o Latino Americano de Educação 
Maria Duarte Costa 
Alcy Vieira Costa 
Geometria Gráfica 
Tridimensional 
7@ /j Vai. 1 - SISTEMAS DE -~/ / 
REPRESENTACAO //' ;/ 
3Q edição / / li / / ;t 
/ / /! 
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\ 1 
Costa, Mário Duarte 
Geomeeria gráfica tridimensional I Mário Duarte 
C01ta, AJcy Paes de Andrade Vieira Costa. - 3. ed. - Re· 
cif8: Editora Universitária da UFPE, 1996. 
2v.: il. 
ConkKldo: v. 1. Sistema de rapresentação - v. 2. 
Pomos, retas e planoG. 
1. Geometrfa descritiva. 1. Costa. AJcy Paes oe An· 
dlade. li. Tf\llo. 
515 CDU 
518 coo (19. ed.) 
UFPE 
BC92·019 
Reitor: Prof. Mozart Neves Ramos 
Vice-Reitor: Prof. José Luiz Barreira Filho 
Diretora da Editora: Prof. Ana Maria de França Bezerra 
COMISSÃO EDITORIAL 
Presidente: Prof Celia Maria Medieis Maranhão 
Titulares: Ana Maria de França Bezerra, Carlos Teixeira Brandt, Ditosa 
Carvalho de A. Barbosa, Flávio Henrique A. Brayner, Marcelo de A. Figueira Gomes, 
Nelly Medeiros de Carvalho, Roberto Gomes Ferreira, Roberto Mauro Cortez Motta, 
Sylvio LOreto, Valderez Pinto Ferreira. 
Suplentes: Angela Maria Barbosa Neves, Benído de Barros Neto, Célia 
Maria da Silva Salsa, Gilda Maria Uns de Araújo, José Thadeu Pinheiro, José lia Pacheco 
de Santana, Maud Fragoso Perrud, Nadja Maria Uns da Silva, Pedro Lincoln C. L. de 
Matos. 
Revisão: O autor 
Arte Anal: Fablana Carvalho de Sá Leitão 
Supervisão geral : Manoel Cunha 
Impressão: Editora Unlvcrsltárla/UFPE 
INDIC F. 
Al' ll 111 o 1 <•~ Nlli /\ l , lll A DL S SOB A[ OS SISTEMAS DE REPRE-
1 N 1 A l,./1.0 CJl!Áf IC/\ 
1 '1 1 UAÇAO NO CONHECIMENTO HUMANO . ........ ... . 13 
'l A(,( OML fRIA, (.,DESENHO GEOMtTRICO E O DESENHO 
1 l' CNICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 
<.l\Hl\C TERIST ICA DE UM SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO 14 
11 l' llOJL ÇÃO PRINCIPAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 
l 'llOJl ÇÔES SFCUNDÁRIAS...... . . .. . ........... .. 16 
11 !,IS ILMAGRÁFICO-ANALITICO. ....... . .. . ..... . . . . 17 
l Ili BAT IMENTO.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
li 111\HALELEPIPEDO DE REFER~NCIA. . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
f ORMA-MODELO ..... . . . ..... .. .. . ... .. .. ... . .. .. 19 
A l'l I ULO 2 SISTEMAS QUE UTILIZAM APENAS PROJEÇÕES ORTO· 
1:i, llNA IS 
~ 1 !:> IST EMA MONGEANO 
) , 1. 1. Histór ico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
2. 1. 2. Projeção principal do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
). 1. 3. Projeções secundárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
2. 1. 4. i;pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 
2. 1. 5. Notação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 
2. 1. 6. Aplicação do sistema no DESENHO TtCN ICO . . . . . . . 23 
2. 1. 7. Desenho das vistas em presença do objeto . . . . . . . . . . 25 
2. 1. 8. Observações práticas sobre as vistas no desenho técnico . 28 
2. 1. 9. Sistema alemão e sistema norte-americano . . . . . . . . . . 28 
2. 1. 10. Vistas aux iliares . . ............... , . . . . . . . . . 33 
2. 1.11: Formas ci líndricas .. . ............... . ..... . . 34 
2. 1. 12. Exercícios no sistema mongeano . . . . . . . . . . . . . . . 35 
:l. 2. AXONOMETRIA ORTOGONAL 
2. 2. 1. Posição do paralelepípedo de referência. . .. .. .. . .. . 36 
2. 2. 2. Isometria, d imetria e trimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 
2. 2. 3. Redução das arestas do paralelep ípedo . . . . . . . . . . . . 39 
2. 2. 4. Representação axonométr ica da forma·modelo . . . . . . . 43 
2. 2. 5. Axonometr ia do círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 
2. 2. 6. Exercícios em axonometria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 
2. 3. CONVERSÃO DA AXONOMETRIA ORTOGONAL AO SISTEMA 
MONGEANO E V ICE-VERSA 
2. 3. 1. Passagem da axonometria às v istas ortogonais . . . . . . . 46 
:J. :1 2. 1'11sug11m da~ vistas ortogonais à axonometrla . .. .... . 
'J. 3. 3. f;xurdc1os de conversão de sistemas ............. . 
CAPI 1UIO3 SISTEMAS DE PROJEÇÃO CIL(NDR ICA OBLIQUA 
1 1, 'ilS 1 i:MA ORTO·OBLIQUO 
:.! 1 1. Projeção principal ............. ... ........ . . 
3. 1. 2. P101eção secundária ............... .... . . ... . 
3, 1. 3 F-etor de conversão .... . .. .. .. .. ..... . . .. · .. . 
1 1, 4 Direção da projeção ..... ... ... .. . .. .... ... . . 
3. 1, 5. Arestas paralelas ao plano de projeção ............ . 
3 1. 6. 1 raçado das projeções no plano ................ . 
3. 1. 7. Aepresentai:ão da forma-modelo .............. . . . 
:J. 1. 8 . Cr(tlca da representação ... . ................. . 
3. 1. 9. Formas cll<ndricas .............. . ....... ... . 
3 1. 10. Exerc<clos do sistema orto·obllquo .............. . 
1 2. CAVALEIRA 
49 
51 
58 
58 
00 
60 
61 
61 
64 
65 
68 
69 
1 2 1. Perspectiva cavaleira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 
3 2, 2. A cavaleira como sistema de representação. . . . . . . . . . 70 
3 2. 3 Cavaleira isométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 
3 2. 4 Exerc(cios em cavaleira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 
. VISI A ORTOGONAL COM SOMBRA OBLIQUA 
'I. 3. 1 Caráter geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 
~ 3. 2. Diferenças objetivas para o sistema orto-obllquo. . . . . . 75 
... 4 SIS rt;,MAS OBLIQUOS SOB O PONTO DE VISTA NORTE-AMEAI· 
CANO 
3. 4. 1. Sombra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 
3. 4. 2. Sistema orto-oblfquo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 
3. 4. 3. Cavaleira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 
'I , b. EXERCICIOS FINAIS DO CAPITULO.. . . . . . . . . . . . . . . . . 78 
CAPl"r i.JLO 4 - SISTEMAS DE PROJEÇÃO CÔNICA 
4. 1. SISTEMA ORTOCÔNICO 
4. 1. 1. Projeção principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 
4. 1. 2. Projeção secundária ...... . . .. ........... ,. . . . 83 
4. 1. 3. Situação no plano do desenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 
4. 1. 4. Variação da distância do centro de projeção. . . . . . . . . 87 
4. 1. 5. Variação da projeção C1 no plano do desenho. . . . . . . . 87 
4. 1. 6. Representação da forma-modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . 90 
4. 1. 7. Crítica da representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 
4. 1. 8. Representação de cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 
4. 1. 9. Exercfcios no sistema ortocõnico . . . . . . . . . . . . . . . . 94 
1 
l 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
4. ~ . CAVA I 1 IHA CÔNICA 
4 2 1. 'como perspcct1vn ..................... . .. . 
4 } ? . Cavaleira cônica como sistema de representação ..... . 
4 7. 3. Crítica da perspectiva ....................... . 
4. 2. 4 . Variação de C1 ••• • •• • ••.•••.•••.• • • • • · • • · • 
4, 2. 5. Sistema norte-americano ....... . . .... ........ . 
4. 2. 6. Exercícios de cavaleira cônica ........... .... .. . 
4. 3. AXONOMETRIA CÔNICA DE 2 FUGAS 
4. 3. 1. Posição do sólido em relação ao plano de projeção .... . 
4. 3. 2. Direção das arestas na projeção cônica ....... . .... . 
4. 3. 3. Determinação dos vértices na projeção cônicíl ..... . . . 
4. 3. 4. Situação no plano do desenho ............ .. .. . . 
4. 3. 5. Crítica do sistema ............ .. ........... . 
4. 3. 6. Representação da forma-modelo ...... . ... ... .. . . 
4. 3. 7. Exercícios de axonometria cônica de 2 fugas ....... . 
95 
96 
96 
100 
100 
102 
102 
103 
104 
104 
106 
109 
110 
4. 4. AXONOM ETRIA CÔNICA DE 3 FUGAS 
4. 4. 1. Posição do sólido em relação ao plano de projeção. . . . . 110 
4. 4. 2. Representação do paralelepípedo retângulo . . . . . . . . . 111 
4. 4. 3. Crítica do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 13 
4. 4 . 4. Exercícios de axonometria cônica de 3 fugas . . . . . . . . 114 
4, b. SISTEMAS BICÓNICOS 
4. 5. 1. Visão estereoscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 
4. 5. 2. Projeção bicônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 
4. 5. 3. Perspectiva pela disposição norte-americana . . . . . . . . . 116 
4. 5. 4. Anagl ifo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 
4. 5. 5. Estereoscópio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 
11 O. EXERCICIOS FINAIS DO CAPITULO. . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 
PREFÁCIO 
Este trabalho surgiu da necessidade de um texto adaptado às 
atuais condições em que o estudante brasileiro ingressa na Universidade. 
Seja na área de ciência e tecnologia, seja na área de artes, há 
muitos anos que desapareceu do concurso vestibular a prova específica 
de desenho. Mesmo a geometria, dentro da matemática, não é 
devidamente testada no cadidato a ingresso nos nossos cursos de 
graduação. 
Aliada a tal deficiência de base, a quase total ausência da 
inteligência espacial em uma boa parte do corpo discente, que deveria 
mesmo orientá-los para outras áreas de atividade humana, por deixá-los 
incapazes para cursos técnicos ou artísticos que .necessitam da visão 
tridimensional, é um problema que tentamos inutilmente contornar dentro 
da Universidade. 
Foi parte desse eSforço o tentarmos redigir um texto com o mínimo 
de abstração. Apesar de não ser um livro de desenho técnico, os sólidos 
estudados nos diversos sistemas de representação são sempre 
referenciados a um paralelepípedos retângulo - ou ortoedro, como o 
chamaríamos hoje se tivéssemos que reescrever todo o conteúdo deste 
volume. Pareceu-nos tal forma mais simples de visualizar que o simples 
diedro da geometria descritiva clássica, ou mesmo o triedro triortogonal 
que serve de apoio à axonometria e à cavaleira em praticamente todos 
os livros que conhecemos. Essa é uma tendência que se faz notar em 
autores norte-americanos, embora o tratamento por eles dado aos 
sistemas seja demasiadamente técnico, sem o mínimo suporto 
geométrico. 
Na presente obra não utilizamos o apoio teórico que a geomotriu 
projetiva propicia aos diversos sistemas, pois sentimos os nossos ahu10•, 
ainda bastante distantes do desenvolvimento racional necessário pnru 
absorção proveitosa da sua estrutura. Mas nos servimos da geomotr 111 
euclideana para justificar os procedimentos adotados em cada slsto11111, 
não nos limitando a uma simples citação de regras práticas, lugar r:o11111r11 
no pragmatismo que domina nos livros dos Estados Unidos. 
Gostarlamos de ter efetuado algumas mudanças no texto, desde 
a segunda edição. Mas concentramos nosso eSforço em dar continuidade 
à sequência de volumes desta GEOMETRIA GRÁFICA TRIDIMENSIONAL 
e já publicamos por esta mesma editora o terceiro volume, dedicado ã 
TRANSFORMAÇÕES PROJETIVAS. 
Lembramos que o nível em que os problemas são tratados nos 
dois primeiros volumes seria aquele desejável de ser atingido no ensino 
de segundo grau. O mais recente volume da trilogia traz a estrutura 
matemática que a GEOMETRIA PROJETIVA fornece à geometria gráfica 
tridimensional, permitindo um desenvolvimento apropriado ao ensino de 
terceiro grau. 
Projetamos mais dois volumes, um sobre poliedros e outro sobre 
superfícies rurvas. Esperamos pcx:ter oferecê-los aos nossos leitores dentro 
dos próximos anos. 
Os autores 
1. OfNEAALIDADES SOURE OS SISTEMAS DE REPRESENTAÇÃO 
ORÁ FICA 
1. 1. Situaçio no Conhecimento Humano 
O estudo das técnicas de representação gráfica se enquadra na área 
dtt COM UNICAÇÃO. 
Comparemos o desenho a um idioma. Este possui uma G RAMÁTl-
CI\. Para bem se expressar no idioma, seja compondo uma obra literária ou 
11101 ovando um relatório técnico ou ainda elaborando uma tese científica, o 
nutor da mensagem deve ser ENTENDIDO por aqueles que irão recebê-la. A 
ur 111nética deve ser conhecida tanto por quem escreve como por quem lê, pois 
tl ola que permite a devida interpretação das frases. 
O DESENHO igualmente permite uma finalidade artística, técnica 
ou científica. Tem sua gramática justamente nas técnicas de representação 
111 ófica. 
Mas, assim como não aprendemos o idioma apenas estudando as re· 
qros da sua gramática, sem praticar sua leitura e escrita, também não domina-
r omos a linguagem do desenho apenas com o estudo da GEOMETRIA. 
· Também pretender aprender desenho sem desenhar é tão absurdo co-
mo aprender a ier sem escrever. Há umanecessidade de fixação na memória 
Que só a escrita ou a prática de desenho podem satisfazer. Tal como a escrita, 
com esse fim, que não temos a obrigação de fazer com uma caligrafia primo· 
rosa, ma:> apenas legível, o desenho que precisamos executar não nos deve dei-
xar inibidos pela ausência de qualidades estéticas, quando sua preocupação 
maior deve ser a de possuir um grau de precisão suficiente para não modificar 
a idéia que precisa transmitir. 
1. 2. A Geometria, o Desenho Geométrico e o Desenho Técnico 
Um objeto possui FORMA, FUNÇÃO e CONSTITUIÇÃO MATE· 
RIAL. 
A GEOMETRIA estuda apenas a FORMA do objeto, desvinculada 
dos outros dois fatores. Sob esse ponto de vista, o objeto é um SÓLIDO GEG· 
M~TRICO. 
O estudo da geometria pode ser feito axiomática, analítica ou gra-
ficamente. 
Axiomática ou analíticamente, a geometria é estudada em associa-
ção com outros ramos da matemática. Graficamente as disciplinas de desenho 
têm dela se encarregado. 
Tradicionalmente vêm sendo usadas algumas expressões controverti· 
das para designar esse e'Studo gráfico da geometria. DESENHO GEOM~TRI· 
CO é uma denominação reservada a construções de figuras planas, isto é, a 
traçados efetuados no próprio plano do desenho, restringidos ainda ao uso 
13 
exclusivo da régua e do compasso como instrumentos de desenho. Só ao DE· 
SENHO Ti:CNICO se permitiria o uso de esquadros, transferidores, normógra· 
fos ou quaisquer outros instrumentos. A GEOMETRIA DESCRITIVA faria 
o estudo de formas tridimensionais através de desenhos planos, mas é uma ex· 
pressão muitas vezes reservada a apenas um dos sistemas de representação (sis· 
tema diédrico ou mongeano). 
Vamos adotar aqui as seguintes expressões: 
1. 2. 1. GEOMETRIA GRÁFICA - Estudo, através do desenho, de 
qualquer propriedade de forma. Poderá ser BIDIMENSIONAL, estudando 
apenas figuras planas diretamente no plano do desenho, ou TRIDIMENSIO· 
NAL, utilizando os SISTEMAS DE REPRESENTAÇÃO para estudar formas 
de três dimensões em desenhos planos. 
1. 2. 2. DESENHO TÉCNICO - Acrescenta, à forma representada 
no desenho, as convenções que traduzem a função e o material de que é cons· 
tituldo o objeto. i: especificamente dirigido aos diversos setores tecnológicos 
com as denominações de DESENHO MECÂNICO, DESENHO ARQUITETÔ-
NICO, DESENHO DE CONSTRUÇÃO CIVI L, DESENHO DE MÓVEIS, 
DESENHO TOPOGRÁFICO, DESENHO CARTOGRÁF ICO e assim por 
diante. 
1. 2. 3. GEOMETRIA PROJETIVA - Estrutura teórica que permi· 
tiu o desenvolvimento dos sistemas de representação, relacionando o objeto 
representado com as suas projeções sobre o plano, bem como essas proje· 
ções planas entre si. Não deve ser confundida com a expressão GEOMETRIA 
DESCR ITI VA, que evitaremos usar pelas ambiguidades de interpretação que 
tem gerado. 
1. 3. Característica de um Sistema de Representação 
Representar a FORMA de objetos de 3 dimensões em desenho p lano, 
onde apenas 2 dimensões são uti lizáveis, é a final idade de um SISTEMA DE 
R EPR ESENT AÇÃO. 
Esta R EPR ESENT AÇÃO não pode se restringir a uma simp les ima· 
gem visual do objeto, como fornece uma fotografia ou uma pintura. i: indis· 
pensável que, através dessa representação, apenas, todas as propriedades geo· 
métricas do objeto no espaço possam ser obtidas, qualitativa e quantitativa-
mente. 
Assim, qualquer medida linear ou angular desse objeto deve ser conse· 
guida no desenho, diretamente ou através de operações gráficas; também deve 
ser possível seccionar esse objeto por planos ou achar sua intersecção com 
outras formas tridimensionais; projetar outras formas que completem aquele 
objeto; em resumo, deve ser possíve l a alguém, que não o autor da represen· 
tação e sem qualquer esclarecimento deste, construir o objeto representado 
14 
ldl\1Ttir.o 110 lrn1111ln11dn u11 uh\1111111110 por quem o representou e, mais ainda, 
11111di1 Irar 110 próprio d11~011ho , co111plernontando ou seccionando, a forma re· 
pr !ISO Ili Oda . 
Com tal carât11r de COMU N ICACÃO, é impossívelio seu emprego se 
11110 for Igualmente dominado pelo transmissor e pelo receptor da mensagem 
111Mlca. 
À medida em que a representação se destina a um consumidor menos 
r.apocit::ido à sua percepção mais aumenta a responsabil idade de conhecimento 
do seu autor, que deve utilizar mais de um sistema de representação e saber 
osco lher os mais adequados à forma representada. 
Também não é suficiente, a quem precisa transmitir a mensagem grâ· 
fica, conhecer os princípios teóricos e convencionais de funcionamento de 
todos os sistemas de representação existentes. É necessário que consiga aplicar 
convenientemente cada sistema à forma que deseja representar. 
Este trabalho pretende desenvol;er melhor o esquema teórico dos 
principais sistemas e orientar o seu emprego para maior rendimento em fun· 
ção da forma a representar, substituindo assim a obra SISTEMAS DE REPRE· 
SENTAÇÃO, do Prof. MÁRIO DUARTE COSTA, da qual não é urrr simples 
acréscimo. 
1. 4. Projeção Principal 
Qualquer sistema de representação necessita de uma projeção do ob-
jeto sobre o plano do desenho. Daí o seu relacionamento indispensável com a 
GEOMETR IA PROJETIVA, que pode ser mínimo para uma utilização primá· 
ria do sistema, ou aprofundado para explorar ao máximo as suas possibilida· 
des. 
Os sistemas de operação mais simples utilizam um feixe de retas 
paralelas, perpendiculares ao plano do desenho. 
O cubo da figu ra 1 sofre uma projeção desse tipo, d ita PROJEÇÃO 
ORTOGONAL, quando de cada um de seus pontos é baixada uma perpendi· 
cu lar até o plano do desenho. 
A projeção ortogonal é um caso particu lar da PROJEÇÃO CI Lt'N· 
DR ICA, denominação generalizada sempre que o feixe de projetantes é 
paralelo. 
Alguns sistemas de representação utilizam projeção oblíqua, ilustra· 
da na figura 2 onde as projetantes não formam ângulo reto com o plano do 
desenho. Apesar da maior versatilidade que apresentam em relação aos que 
utilizam apenas projeções ortogonais, tais sistemas deformam mais a imagem 
do objeto representado. 
A figura 3 ilustra a PROJEÇÃO CÔNICA de um cubo sobre o plano 
do desenho, quando o feixe de projetantes é concorrente em um centro C, 
ponto fora do plano. Mllitos sistemas de representação util izam tal tipo de 
projeção. Sendo sua operação menos simples que a cilíndrica oblíqua, esse t i· 
V 
pode projeção permite, se convenientemente 1Jsado, uma imagem do objeto 
mais aproximada da visão humana e da fotografia, o que o torna de mais fácil 
entendimento pelo leigo. 
Além dessas projeções usuais nos sistemas de representação de que se 
serve hoje o desenho técnico, outros tipos têm possibilidades de emprego, Pa-
re que sejam desenvolvidos em sistemas práticos é indispensável um conheci· 
mento mais amplo da geometria projetiva, o qual o presente trabalho não pre-
tende proporcionar. 
1. 5. Projeções Secundárias_ 
Apenas uma projeção não é suficiente para representar um objeto tri-
dimensional. Além da projeção principal, alguns sistemas de representação 
necessitam, direta ou indiretamente, de pelo menos uma projeção secundária. 
16 
Ee111 pmfo Mtr, ou 11«0, do m1111no tlJ>O da prtnclpal, pois o lmportan· 
' " 6 o re l1r.lon11mento unira 11111 pro)eçtlea aecund6rles e a projeção principal. 
Slmploamonto p1 oj111111 um 11101010 obje to separadamente de várias 
111111111h na nlo significo roprosontil lo, 11sslm como uma seq"úência de fotograf ias 
ria um rnos1110 objetivo nll'o roconstlw l a sua forma, rigorosamente. Cada sis· 
11111111 do reprosentação se caracteriza n(Jo somente pelos t ipos de projeção que 
111 11110 mas também, e princlpalmente, pe la maneira com que tais projeções 
•a 111 lnclonam entre si. 
1. 6. Slatema Grãfico·Analítico 
Há possibilidade de se representar um objeto apenas através da 
projeção principal, desde que se trabalhe com dados numéricosque comple· 
tom as Informações sobre sua forma tridimensional. O mais conhecido siste· 
rnn dessa espécie é o denominado PROJEÇÕES COTADAS. Permite oper1t· 
ções completamente gráficas para obtenção de qualquer e lemento da forma 
representada, mas oferece opções de solução gráfico-analítica ou inteiramente 
nnalítica. 
1. 7. Rebatimento 
Além de projeções secundárias e das numéricas, há uma operação 
que muito frequentemente completa a p rojeção-principal. 
Trata-se de REBATER um plano qualquer sobre o plano do desenho. 
A figura 4 ilustra o rebatimento de uma das faces (VAB ) de uma 
p irâmide triangular com a base no plano do desenho. Rebater µm plano 
pressupõe que ele tenha uma reta de interseção com.o pl_ano do desenho. No 
ca$o da figura, o lado AB da base é a interseção .da face V AB com o plano do 
desenho. Ela serve de EIXO DE REBATIMENTO O!J CHARNEIRA para gi· 
rar o triângulo VAB até que o vértice V venha pertenc~r.ao plano do desenho; 
em V'. 
Quando um sólido tem todas as suas faces rebatidas sqbre o desenho, 
diz-se que sua superfície está DESENVOLVID·A no plano. 
Na figura 5 a pirâmide triangular da f igura anteri9r tem sua superff. 
cie inteiramente desenvolvida no plano do desenho. A face \(BC usou achar· 
neira BC e a face V.CA a charneir~ CA. 
1. 8. Paralelepípedo de Referência 
As d ireções referenciais são predominantemente perpend icula res na 
maioria das apl icações práticas. 
A vertical é perpendicular às horizontais. No próprio plano horizon-
tal as direções tomadas como referência formam ângulo reto, desde os m!lri-
dianos e paralelos que traduzem longitude a latitude até as margens da folha 
do papel de de.senha. 
17 
.... 
•······· 
... 
.... . .. 
... 
········· .. .. .. 
Assim, no desenho técnico, é freqüente limitar dentro de um parale· 
lepípedo retãngulo o espaço tridimensional a estudar. 
No caso de objetos limitados, tal paralelepípedo pode ser aquele de 
menores dimensões possíveis que envolva toda a sua forma, e em posição tal 
que uma de suas arestas fique vertical. (figura 6) 
A medida dessa aresta vertical traduz irá a ALTURA do objeto. 
As arestas horizontais medem a LARGURA e o COMPRIMENTO, comple· 
mentando as três dimensões características de qualquer só lido. 
Quando a superfície é contínua e somente uma porção sua pode ser 
representada, tal porção é obtida dentro de um paralelepípedo cujas faces sec· 
cionam a superfície contínua. 
~ o caso dos blocos-diagramas, que destacam da superfície da terra 
um trecho limitado até uma profundidade que interesse estudar. (figura 7) 
A--------
B =·== 
e-------
o .••. .•••• .•...••••••••. 
18 
o natudo qun sorti fulto noa cnpftu los seguintes abordarâ o funciona-
111" dll 1 n1t 11 111111rnn do roproscntoção om re lação à posição desse paralele· 
li tM lu "" 111f11r&nclo poronto o plano do desenho e oi; elementos projetantes. 
1'1tr 11 uma melhor compreensão dos diversos sistemas de representa-
' 11111110 Importante dispor de um modelo tridimensional da forma que se· 
• l•l'""""tndo na explicação teórica de todos eles . 
A página n'! 123 contém o desenvolvimento de um sólido que deve 
1 111 11111<10 pera tomar a forma ilustrada em perspectiva. Suas faces foram de· 
11t11d hl para o objeto se comtituir numa maqueta de utn prédio, forma mais 
f1mlll111 n todos. 
O désenho existente nessa página deve ser ampliado, em cartolina, 
11urru1 111r.1tla conveniente, a fim de poder ser recortado e .montado de acordo 
ur11 H Indicações. 
As folhas seguintes trazem o desenvolvimento de outras formas que 
1v111a m objetos também significativos para todos. _ 
Devem ser armados para utilização em exercícios dos sistemas de re· 
1,1 ... 111nçffo que serão desenvolvidos nos demais cap(ti:los. . . Em todas essas folhas, é a seguinte a convençao das linhas (figura 8). 
Tipo A - A folha deve ser recortada segundo essa linha. 
Tipo B - O papel deve ser vincado ao longo dessa linha, para dobra-
gem. 
Tipo C - Linha de ilustração do objeto. Não se deve cortar nem do-
~rar o papel segundo tais linhas. 
Tipo D - Linha que demarca onde uma parte do objeto deve ser co· 
lada em outra. 
2. SISTEMAS QUE UTILIZAM APENAS PROJEÇÕES ORTOGO· 
NAIS 
2. 1. Sistema Mongeano. 
2. 1. 1. - Gaspar Monge, cientista francês, na passagem do século 
)( VI 11 ao X 1 X estruturou e divulgou a primeira técnica de representação grá· 
Ih 11 que pode ser considerada um sistema de representação. 
Foi ele quem utilizou a expressão GEOMETRIA DESCRIT~VA para 
lfaalgnar o seu sistema. A definição que em~regou para tal exp~es~ao abarca 
todos os atuais sistemas de representação gráfica. Surge daí a polem1ca sobre a 
propriedade ou npo de estender essa designação a todo e qualquer sistema que 
ao enquadre na sua definição. 
19 
l 
Evitaremos tomar partido a esse respeito, chamando de MONGEANO 
o primeiro sistema que surgiu. 
Não seria adequaoo apresentar o sistema mongeano com as mesmas 
palavras ou até a mesma metodologia empregada pelo seu autor. 
Usaremos formas de objetos para visualizar melhor, a 3 dimensões, a 
técnica desenvolvida por Monge, enquanto no estudo clássico da geometria 
descritiva é util izado um PONTO; elemento geométrico de abstração máxima, 
para demonstrar o mecanismo do sistema. 
2. 1. 2. - Projeção principal do sistema 
Tomemos a primeira forma-modelo montada no primeiro capítulo. 
Imaginemo-la inscrita no paralelepípedo de referência (ver 1.8). de arestas 
pontilhadas na figura 9. Uma das faces desse paralelepípedo é colooeada no 
plano de desenho, sobre o qual será projetado ortogonalmente todo o sólido. 
O plano do desenho, onde será obtida 'essa projeção principal é designado de 
Para imaginar essa projeção ortogonal em 7T 1 , vamos suspender to· 
do o sólido na mesma vertical, o que não altera tal projeção (figura 10). 
As faces horizontais ABCD, EFGH e IJLMNOPQ se projetarão em 
verdadeira grandeza. 
Como A e J estão na mesma vertical, A1 e J 1 coincidirão. Da mesma 
forma 0 1 coincidirá com L1 , C1 com M1 , E1 com 0 1 , e assim por diante. 
O verdadeiro aspecto da projeção principal é aquele da figura l1 . 
2. 1. 3. - ProjeÇões secundárias 
As projeções secundárias são tomadas em planos paralelos às de-
mais faces do paralelepípedo de referência. A figura 12 mostra um plano 7T2 
onde se projetam ortogonalmente todos os vértices da formà modelo. ~ evi· 
20 
"''íifl""" 
~~t:_y-u 
\ • li, 0,•V, 
fl', 
11 111111 que 7T2 é perpendicu lar a 7T1 • A interseção 7T 1 7T2 desses planos é deno-
111lr111d a LINHA DE TERRA em relação ao plano 7T2 • 
O ve rdadeiro aspecto da projeção secundária em 7T2 é mostrado 
1111 figura 13. 
Mas até aí não estamos d iante de um sistema de representação, 
pois não está visível nenhum relacionamento entre a projeção principal e a se-
111ndária. 
Essa p rojeção mostra o aspecto que a forma apresentaria para o 
observad or que a o lhassse de frente para o plano 7T2 • 
2. 1. 4. - ~pura 
O sistema mongeano leva o plano 7T2 sobre 7T 1 por rebatimento 
cuja charneira é a linha de terra (figura 14) . 
21. 
··' 
Em decorrência de tal operação, a pro)eção prlnclpel e a secun-
dária da forma-modelo ficam com seus elementos correspondentes alinhados 
um em frente do outro {figura 15). 
Nessa posição, as 2 projeções constituem a ÉPURA mongeana 
Vista em seu aspecto real (figura 16) a épura ressalta que os vér-
tices da forma modelo, de rr 1 para rr2, se situam em retas perpendiculares à li· 
nha de terra {A 1 A2, ~1 82 , C1 C2 , ... ) 
Tais linhas são as LINHAS DE CHAMADA do sistema mongea-
no. São elas o elo de ligação entre as duas projeções e que dão à épura mo~ 
geana a condição de SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO. 
•• 
2. 1. 5. - Notação 
Para uma correspondência inequ(voca dos vértices nas duas pro-
jeções é indispensável o usode letras. Já deve ter sido percebida a notação 
que usaremos. A letra maiúscula simples designa um vértice ou ponto isolado 
no espaço. Em qualquer projeção de tal ponto será sua letra acompanhada de 
um índice numérico igual ao do plano onde é projetado, colocada sempre à 
direita e um pouco abaixo da letra. 
No caso de elementos lineares, sejam retos ou curvos, poderão 
ser usadas duas letras maiúsculas juntas {AB, MN, CJ, etc) ou uma letra mi· 
núscula isolada {a, m, t). sempre acompanhadas, nas projeções, do índice nu-
mérico do plano. 
Para elementos superficiais, como uma face de um sólido ou um 
angulo, poderão ser usadas 3 ou mais letras maiúsculas juntas {como no caso 
dos vértices de um polígono), duas letras minúsculas juntas (como no caso dos 
lados de um àn.gulo). ou uma única letra grega, minúscula {a, {3, 8, etc). A le-
tra 1T serã reservada exclusivamente para planos de projeção. 
Quando um problema gráfico vai acarretando o aparecimento 
22 
111 11tl11tlvo du 11ovu& 11 l111111111 111 ~. r,uj,1111 pontos, l1111lo\ ou suµorl(cles, o ordem al-
f,1bôt leu dJs let1 as u111p11•111Kl11\ 1nd1c;,11 :1 u ~~qWli1cia em que tais elementos fo. 
1111~ surgindo no p1oble1na. 
Resta observar que essa notação permite formas mistas de desig-
nnçôo, decorrentes de operações envolvendo os elementos. 
Assim, duas letras gregas ]untas, como na própria linha de terra, 
designam a linha de interseção de duas superf(cies. Uma letra minúscula junto 
a uma grega designa o ponto em que uma 1 inha atravessa uma superfície. Três 
letras gregas juntas podem ser usadas para o ponto comum a três superfícies. 
Outros exemplos surgirão mais adiante em problemas específicos. 
No canto superior direito de uma letra, o índice colocado signi-
fica deslocamento de posição do elemento correspondente no transcorrer do 
problema. É o caso do rebatimento, por exemplo, como aparece no ítem 1.7. 
Tal não se aplica ao re <itimento de planos de projeção. 
2. 1. 6. - Aplicação do sistema no Desenho Técnico 
Uma forma re lativamente simples como o modelo util izado nes-
te cap(tulo jã praticamente esgota o alfabeto quando se atribui uma letra a ca-
da um de seus vértices. 
No desenho técnico têm que ser representados objetos reais nos 
quais a forma, além de mais complexa, tem que ser revestida de sinais conve~ 
cionais relativos à função e ao material constituinte. 
Torna-se impraticável empregar a notação apresentada no ítem 
anterior. 
A ausência de letras nos vértices tem de ser compensada com a 
utilização de outras projeções secundárias. O funcionamento do sistema mon-
geano independe da colocação do plano da projeção secundária, desde que 
este seja perpendicualr a 1T1 • 
Voltando à forma-modelo, podemos projetã-la ortogonalmente 
em um plano rr3 como na figura 17. 
Nessa projeção surge uma observação nova: quando hã no sóli-
do uma aresta que está por trás de uma porção deste só lido, em relação à po-
sição do observador, como é o caso de LM, ela deve ser apresentada na proje· 
ção por um traço interrompido e com a metade ele espessura do traço usado 
para as arestas visíveis. 
O rebatimento de ?T3 em torno da sua linha de terra (figura 18) 
leva para a épura mongeana essa nova projeção secundária. 
Nessa épura {figura 19) a nova projeção persiste em um al inha-
mento com a projeção principal, onde cada vértice nas duas projeções, se situa 
na mesma linha de chamada, agora perpendicular a 1T11T3. 
A forma pode ainda ser cercada por mais dois planos de proje-
ção, 1T'4 e 1Ts, Que se rebatem na épura em torno de suas respectivas linhas de 
terra 1Tt 1T• e 1Ti 1Ts. Essas novas projeções mostram o aspecto da forma quando 
23 
( 
.. ~ 
' 
11'1 
11', 1 
... g9@' "• "• 
"· 
11'4 @) 
observadas em sentido oposto a 1T2 e ?T3 , respectivamente (figura 20). 
. Até a( o desenho técnico nada introduziu em relação ao caráter e~clus1vame~te geométrico do sistema mongeano; apenas eliminou a designa-
çao dos vértices. 
. Mas a_partir do momento em que a forma representada é enri-q~ecrda com a noçao da FUNÇÃO do objeto, passa a ter sentido a orienta-çao. 
Podemos então falar em ofRENTE da forma, e conseqüente-
mente em LADO DIREITO, LADO ESQUERDO, LADO SUPERIOR -e LA-
DO INFERIOR, além do LADO POSTERIOR. 
No exemplo da nossa forma:modelo, tratando-se de um edifício ~ P!Ojeção pri~cipal (em 1T1 na figura 20) seria sua VISTA SUPERIOR; a prC:. 
Jeçao secundária em 1T2 seria sua VISTA DE FRENTE; a projeção em 1T sua 
VISTA Dl~E ITA; a prc;ijeção em 1T4 , sua VISTA POSTERIOR · e em 1T3 ' sua VISTA ESQUERDA. - ' s 
24 
É mais usual o termo VISTA que o termo PROJEÇÃO, no qe-
senho técnico. 
Não se deve pensar que a vista principal seja sempre a SUPE-
RIOR. 
Se a forma for enconstada no plano vertical e a primeira proje-
ção efetuada no plano do desenho for a VISTA DE FRENTE (figura 21), as 
vistas secundárias serão rebatidas em torno dela, e não da superior. 
Abaixo dessa vista (figura 22) ficaria a VISTA SUPERIOR (7T2 ) • 
Aos lados, fi~ariam a VISTA DIREITA (7T3) e a VISTA ESQUERDA (7T5) . 
Acima ficaria a VISTA INFERIOR (7T4). 
Todas essas vistas se relacionam com a VISTA DE FRENTE, de 
modo tal que seus pontos correspondentes ficam sempre em linhas de chama-
da pe~pendiculares à respectiva linha de terra. 
Com o mesmo procedimento poder(amos ter uma das vistas la-
terais, ou a inferior, ou até a posterior como vista principal desde que todas 
as outras se rebatam em torno dela. 
Portanto advertimos, principalmente àqueles que já estudaram 
através de outras publicações: Aqui O PLANO 1T 1 NÃO TEM QUE SER HO-
RIZONTAL; ELE É O PRIMEIRO PLANO DE PROJEÇÃ.0 UTILIZADO, se-
guindo-se 1T2 , ?T3 , etc pela ordem em que as vistas vão sendo necessárias. 
2. 1. 7. - Desenho das vistas em presença do objeto. 
Ao iniciante, que nunca teve a oportunidade de praticar o dese-
nho das vistas ortogonais, recomendamos o segu inte procedimento, EM PRE-
SENÇA DA FORMA-MODELO do 1!' capftulo: 
a - Colocar o objeto sobre a folha de desenho e olhá-lo perpen-
dicularmente ao plano onde vai ser desenhada sua vista principal, da maior 
distllncia possível. (figura 23) 
25 
b - Desenhar ao lado da for 
renta quando olhada d~ssa direção. (figura 2~rmodelo o aspecto que ela apa-
c - Cobrir a vista principal · b · 
modelo para se ajustar ao seu co t ' ~ss1m o tida, deslocando a forma-
t n orno (figura 25) T - . erra 7T1 7T2 paralela a um dos lado d . . . · raçar entao a linha de 
s a vista principal. 
. d - Arrastar a forma-modelo sob 
à linha de terra e até encostar s . re o papel perpendicularmente 
- ua aresta posterior em 7T (f" 2 
. Nao é importante descobrir tod . J ~2 . ig. 6) . 
ca isso pode exigir uma distância m "t d a a v~ sta principal, po is na prãti-
e - F u1 o gran e da linha de terra. 
. azer a forma-modelo tombar 
deixar sua aresta posterior sair d r h d para trás sobre o papel sem 
uma rotação de 90º de todo b~ in a e terra. Essa operação equivale a 
d o o Jeto em tôrno de rr (f " no esenho a posição em que o objeto ficou. 1 7T2 igura 27). Marcar 
f - Olhar a forma-modelo em sua nova posição, ainda perpendi-
26 
cu larmente ao papel do desenho e a grande distância deste. Naturalmente de-
verâ ser arrastado ó objeto do lugar para ser possível o desenho da vista se-
cundária. (figura 28) 
g - Voltar o sólido à prim itiva posição, ajustada à sua vista prin-
cipal, e traçar nova linha de terra 7T 1 7T3 , paralela às arestas laterais (figura 29) . 
h - Arrastar a forma-modelo perpendicularmente a w1 7T 3 até 
que encoste uma aresta nessa nova linha de terra (figura 30) . 
i - Tombar o sólido para trâs de 7T 1 7T3 e desenhar aí o aspecto 
que apresenta a quem olha perpendicularmente ao papel (figura 31). 
j - Adotar proc.edimento análogo para outras linhas de terra, 
obtendq as demais vistas sécundárias que cercama principal. 
27 
~:: 
""'' ·~ ,, 
• 
2. 1. 8. - Observações práticas sobre as vistas no desenho técnico. 
2. 1. 8 . 1. - Os planos de projeção não necessitam de contorno, 
que apenas sobrecarregaria graficamente o desenho. A própria linha de terra 
serve apenas como marco de referência para o início das vistas secundárias, e 
podem ser limitadas à própria dimensão do sólido. 
2. 1. 8. 2. - A distância entre a vista principal e cada vista se-
cundâria é arbitrâria, pois depende do desenhista a escolha da linha de terra. 
Por uma questão de clareza do desenho e para não desperdiçar espaço, tal 
distância nem pode ser exageradamente reduz ida a ponto de quase. encosta-
rem as vistas uma na outra, nem deve extrapolar a ordem de grandeza do obje-
to repres:entado. Também meramente por questões estét icas é recomendável 
manter a mesma d istância separando a vista principal de todas as secundár il s. 
As vistas da form~modelo seriam convenientemente apresentadas como na 
figu ra 32. 
2-. 1. 9. - Sistema alemão e s1stt!ma norte-americano 
Em relação à vista principal, supO-ndo que ela seja a SUPER IOR 
do sólido, não há diferença alguma em seu aspecto se considerarmos que o 
objeto estâ abaixo de 11'1 em lugar de acima, como temos feito até agora (fi· 
gura 33), uma vez que um deslocamento vert ical da forma em nada modifica 
sua projeção ortogonal nesse plano. 
Quando é passada a primeira linha de terra, introduzindo um se-
gundo plano de projeção tr2 (figura 34), o espaço trid imensional f ica div idido 
pelos planos tr 1 e tr2 em 4 regiões, chamadas de 1? diedro, 2? diedro, 39 die-
dro e 4? diedro. 
Nas explicações dadas até agora, o objeto se situa rio 1? diedro, 
sempre, uma vez que a linha de terra é es:olhida depois de efetuada a proje-
ção principal. 
28 
As~ociaç~o 1 ntino AmNkc1no de Edur"ç"o 
0 
e 
Sendo sua projeção princ ipal a superior, a vista em 11'2 será a DE 
FRENTE (figura 35) . Na épu ra, o rebatimento de tr2 para t rás da linha de ter-
ra leva a vista de frente a ficar do outro lado de 11'1 tr2 com relação à vista S U· 
PERIOR . 
O objeto co locado no 2? diedro (figura 36) situará sua _VISTA 
S UPERIOR jã atrãs de tr 1 tr2 . Quando a vista de frente for rebat ida, sempre 
para t rãs da linha de terra, haverã grande probabi lidade de se superpor, na 
épura mongeana, à vista superior. Isso gera a possi bilidade de confusão gráfi· 
ca, prejudicando a clareza da representação. Tal d iedro é evitado no desenho 
técnico. 
O só lido no 3? diedro terà sua vista superior atrás da linha de 
te rra, e a vist a de frente abaixo de tr1 tr2 • (figura 37) 
No movimento do plano tr2 em torno da linha de terra , deven· 
do a parte superior desse -plano sempre tombar para trás 11'21T2, sua parte infe· 
29 
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D 
rior girará para coincidir com a por.cão de ir 1 em frente de 1T 1 ir2. 
Em épura, as duas vistas nunca ficarão superpostas, porém adis· 
posição será contrária à do 1? diedro (figura 38). 
No 4? diedro o sólido volta a apresentar o inconveniente do 2P 
diedro: sua vista de frente, ficando abaixo de tr1 ir2 , girará para a frente da li-
nha de terra, em tr1 , tornando possível sua superposição com a vista superior 
(figura 39). Também não vem sendo utilizado tal diedro nas aplicações técni-
cas. 
Os alemães, e de um modo geral os países que adotam o sistema 
métrico decimal, se utilizam do 1? diedro. Já nos Estados Un idos e em outros 
países de língua inglesa é usual o 3P diedro. As normas brasileiras de desenho 
técnico, apesar da referência aos dois diedros, preconiza o uso do 1P diedro. 
Na realidade, qualquer profissio nal técnico de nível superior de-
veria saber diferenciar perfeitamente, só pela análise das vistas, se a forma re-
presentada tem uma ou outra dessas situações, uma vez que não há alteração 
teórica no sistema, e não se pode falar propriamente em S ISTE MA alemão 
ou SISTEMA americano. 
Para o. principiante, entreta1_1to, e para todo o profissional de n(-
vel médio ou até sem a mínima qualificação profis$ional, é essencial a certeza 
prévia, ao interpretar uma planta, de qual das situações se aplica. 
Quando são utilizadas, no desenho técnico, cinco ou mais vis-
tas ortogonais simultâneas para um mesmo objeto, o critério do diedro não é 
de fácil aplicação para diferenciar um sistema do outro. 
Vamos supor um objeto com a forma de uma paralelepípedo, 
totalmente envolvido por 6 planos de projeção, paralelos às sua~ faces (figura 
40), que formam um cubo. 
No sistema alemão cada uma das suas vistas é obtida no plano de 
projeção que estã por trás do objeto, em relação à d ireção e sentido em que 
tal vista é olhada pelo observador (figura 41 ). Assim a vista de frente é obtida 
30 
~I ~I 
__ -l 
-- ' 
- ' 
' 
1111 face posterior do cubo; a superior na face inferior do cubo; a vista dire ita 
110 face esquerda do cubo. 
Na frente do cubo está a vista posterior do objeto (figura 42) ; 
1111 face direita a vista esquerda; e na face superior a vista inferior. 
Para desenvo lver esse cubo na épura basta escolher qual das vis-
tas é a p rincipal e abri r suas faces em torno dela. Na figura 43 mostramos e~se 
desenvolvimento quando a vista de frente é a principal. Até o plano de p roJe-
çõo oposto à vista principal (o que contém a vista posterior) pode acompa-
nhar uma das faces que se rebatem para o plano da vista de frente. 
Desprezando o contorno das faces, as vistas em épura se apre· 
sentam com a disposição da figura 44, onde a vista posterior pode ocupar 
qualquer uma das posições marcadas em linha pont ilhada. 
No sistema norte-americano o mesmo sólido, igualmente en-
volvido por 6 planos de projeção, tem cada uma d e su as vistas obtida no pla-
no que estã ENTRE O OBJETO E O OBSERVADOR. 
31 
, _ 
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.. 
r-···· ··1 í;J 
l. . ..': .. J ~ 
[!] 
, ....... ] 
: p 
i •••••••• 
Assim, a vista de frente estâ na face frontal do cubo (figur-a 45); 
a superior na face superior; e a direita na face direita. 
A vista que estll na base é a inferior do sólido (figura 46), assim 
·como na esquerda do cubo estâ a vista esquerda do objeto e atrâs do cubo 
sua vista posterior. 
Para gerar a épura, considerando também a vista de frente como 
a principal, o cu~o tem que ser desenvolvido de trãs para a frente, abrindo 
suas faces..em torno da face frontal (figura 47). 
A face da vista posterior também aqui pode acompanhar qual-
quer uma das quatro vizinhas da face frontal. 
Na épura (figura 48), desprezando o contorno das faces do cu-
bo, obtemos a disposição em cruz do sistema norte-americano . 
Comparada com a figura 44, a figura 48 acusa uma troca entre 
as vistas superior e inferior e entre a direita e a esquerda. 
32 
, ......... ... 
f ,. ! 
: •• •••••• _! 
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t::::~:::J 0 0 G L:~:::.1 
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A figura 49 mostra a disposição das vistas nos dois sistemas, 
c1u1ndo a principal é a superior. 
Daqui em diante usaremos apenas o sistema alemão, tomando o 
plano de projeção sempre POR TRÁS do objeto. 
2. 1. 10. - Vistas auxilieres 
O desenho técnico usa essa designação para projeções ortogonais 
MICundérias em planos não paralelos às faces do paralelepípedo de referência. 
No caso da forma-modelo, por exemplo, se quisermos proJetã-la em um plano 
rr i paralelo à face hachuriada, obteremos uma vista secundária na qual aquela 
Inca aparece em verdadeira grandeza. (figura 50). 
É indispensâvel que o plano 1T-i seja ortogonal a 1T1 , pois cada 
dlodro de projeções tem que ter Sl!us planos perpendiculares entre si, no siste-
ma mongeano. A épura apresenta a vista secundãr ia rebat ida em torno de_ 
[Q 
0 
80008 
0 CD 
CCI m 
800BEJ 
m 
QJ 
33 
•·· t' 
•• 
.•r 
1T11T2, mantendo a relação de linhas de chamada perpendicularesà linha de 
terra, entre os elementos na vista principal e na vista aux iliar (figura 51). 
Se a forma-modelo tivesse uma face inclinada como a hachuria-
da na figura 52, para obter uma vista auxiliar que mostrasse tal face em verda-
deira grandeza teríamos que considerar a vista de frente como a principal, 
pois, sendo o plano dessa face oblíquo em relação à oase da forma-modelo, o 
plano de projeção paralelo a ela não formaria ãngulo reto com o plano hori-
zontal. 
Em épura, essa vista auxiliar se relaciona com a vista de frente 
por meio da linha de chamada (figura 53) . 
2.1.11. - Formas CiHndricas 
Uma superfície curva fechada, como no caso de um cilindro, 
gera nas vistas linhas que não são projeção de arestas. 
A figura 54 mostra um cilindro de revolução cuja projeção prin-
cipal é um círculo, igual às bases. Quando projetada em 1T2 , suas bases ficam 
de perfil, pois seu plano é perpendicular a 7r2 • Completando o contorno da 
vista secundária, os planos verticais que tangenciam a superfície delim itam um 
retãngulo em 7r2 , cuja largura é o diãmetro do cil indro e a altura é a mesma do 
cilindro. 
Qualquer outra vista secundãria apresenta o mesmo aspecto. (fi-
gura 55). Se a vista principal for retangular, 2 secundárias também o serão e 
as outras duas serão círculos. (figura 56) . 
O mesmo acontece para ci lindros negativos, isto é, se houver no 
objeto um furo circular que atravesse toda a sua altura, os planos tangentes à 
superfície interna desse furo gerarão nas vistas secundárias linhas tracejadas e 
espaçadas entre si do diãmetro do furo (figura 57). 
34 
D 
DOO 
D 
o 
DDD 
o 
2. 1. 12. - Exercfcioa no sistema mongeano 
Apôs a montagem dos sólidos do 1!' capítulo, imaginar cada um 
deles envolvido em um paralelepípedo de referência e desenhar para todos 
eles o que pedimos a segu ir: 
2. 1. 12. 1.- Tomando a vista de frente como a principal, obter a épura 
com essa vista e suas 4 secundárias. 
2. 1. 12. 2. - Tomando a vista superior com a principal, obter a épura com 
essa vista e suas 4 secundárias. 
2. 1. 12. 3. - Tomando a vist a direita como a principal, obter a épura com 
essa vista e suas 4 secundárias. 
2. 1. 12. 4. - Trocar entre si as vistas secundárias opostas, nos exercícios 
anteriores, para obter a rep~esentação dos sól idos no sistema americano. 
2. 1. 12. 5. - Nas formas que têm faces oblíquas, obter vistas auxiliares 
que mostrem tsís faces em verdadeira grandeza. 
35 
, 
, .. 
.. 
. ~ 
• 
2. 1. 12. 6. - Em todas as épuras dos exercícios anteriores, identificar e 
colocar letras em todos os vértices do sólido representado, nas diversas proje-
ções utilizadas . 
n-n 
LLlJ 
2. 2. Axonometria Ortogonal 
$.' ........................ ········ . 
. 
···········•······ ... 
.. 
11, 
2. 2. 1. - Posição do Paralelepípedo de ReferAncia 
No sistema axonométrico ortogonal também a projeção utili-
zada é unicamente a ortogonal. 
Toda a diferença inicial em relação ao mongeano consiste na 
posição do paralelepípedo que envolve a forma a ser representada. Em vez de 
apoiar uma de suas faces no plano de projeção, a axonometria coloca esse pa-
ralelepípedo com todas as arestas fora de tr1 (figura 58), e de tal forma que 
três arestas que partem de um mesmo vértice, se prolongadas, sempre encon· 
tram o plano da projeção. 
Assim, a projeção ortogonal do sólido em tr1 apresenta três 
faces visíveis (figura 59), sempre aquelas adjacentes ao vértice A mais afastado 
do plano de projeção. 
Sempre se procura fazer com que a aresta vertical do paralele-
pípedo se projete ve_rticalmente no desenho. Conforme pretendamos mostrar 
a face superior ou a inferior, a projeção do paralelepípedo tem um dos aspec-
tos da figura 60. 
A figura 61 mostra um mesmo paralelepípedo em diversas 
axonometrias. Em uma mesma linha horizontal, o sólido gira em torno da 
aresta vertical, ora mostrando melhor a face frontal, ora a direita. Em uma 
mesma coluna o sólido tomba para trás. Na linha c não há propriamente axo-
nometria, uma vez que só aparecem duas faces. Ela foi colocada como posi-
ção de transição entre as duas situações da figura 60. 
36 
·Qj~~~ 
u l?] GJ;J L:B ~ 
cc:J3 LlJ ~ EEJ 
oc;J ~@@ 
2. 2 . 2. - Isometria, Dimetria e Trimetria 
Comparando os ângulos das 3 faces em torno do vértice cen-
tral (ex, ~e 'Y na figura 62), três alternativas existem: 
a - Os três ângulos têm a mesma medida ( et = ~ = 'Y = 
120°) 
. Isso acontece quando as três arestas do paralelepípedo que sae_m 
d mesmo vértice têm a mesma inclinação em relação ao plano de pro1e-
:ou~m conseqüência, as três faces vis íve is se apresentam co~. o ~esmo des-
ç · · etria No caso de um cubo suas três faces v1s1ve1s aparecem 
taque na axonom · ' f ' é h ágono regu 
como losangos iguais, de forma que o contorno da 1gu~a um ex · 
lar. A axonometria se denomina então ISOMETRIA. (figura 63) . . 
b _ Dois dos ângulos têm medidas iguais, mas o terceiro é d1-
ferente. 
37 
...... 
' e< 
.. 
( 
1 
ci 
.. ~1~ 
~"; 
·~ 
.-< 
1.1 
Se {3 = r * a as faces de frente e lateral aparecem com o mes-
mo destaque, enquanto a superior pode aparecer mais reduzida (se a > {3 = 
rl ou mais destacada (se a < {3 = rl (figura 64). 
Se a = {3 :;:. r as faces superior e lateral ficam com igual 
destaque. A face de frente terá maior ou menor destaque conforme r <a = 
{3 ou r >a = {3 (figura 65) . 
Se a: = r :F {3, são as faces superior e de frente que têm o 
mesmo destaque. A face direita será mais ou menos destacada de acordo com 
{3 (figura 66) . 
~ 
' 9 ~ ~ ~ ~ 
OBSERVAÇÃO: Sendo o paralelepípedo retângulo, nenhum 
dos três ângulos a:, {3 ou r pode ser igual ou menor a um ângulo reto. 
Em qualquer um desses casos a axonometria se denomina OI-
META IA. 
c - Os três ângulos têm medidas diferentes ( a: :;:. {3 :;:. rl 
38 
As tr iis tacos vlslveis têm destaques distintos. Aquela que apa· 
1111 o com monor ângulo (nunca igual ou inferior a 90°) é a mais destacada, e a 
q 110 11percce com maior ângu lo é a menos destacada. A f igura 67 ilustra três 
e'"º' diferentes desse tipo de axonometria que se denomina TR IMETR IA OU 
l\N ISOM'ET RIA. 
2. 2. 3. - Redução das Arestas do Paralelepípedo 
Lembramos o primeiro cap ítulo, quando foi dito que uma s6 
111 ojeção não pode se const itu ir num sistema de representação. Exige-se uma 
romplementação de informações sobre a forma representada, seja através 
cln projl?ções secundárias, como faz o mongeano, seja através de rebatimen-
101 ou outras operações auxi liares. 
No caso de axonometria, é indispensável re lacionar a forma 
1 representar com o pJralelep(pedo de referência, de modo a saber as três 
coordenadas cartesianas de cada um de seus vértices em relação às facés 
do para lelepípedo, isto é, a abcissa (distância do ponto à face lateral do para-
lctlopípedo), a ordenada ou afastamento (d istância do ponto à face frontal ou 
r't posterior), e a cota ou altura (d istância do ponto à base do paralelepípedo) 
(figura 68) . 
Pressupondo-se tal situação, a exata reconstituição da forma 
tr ldimensional na axonometria depende da obtenção da verdadeira grandeza 
das arestas do paralelep ípedo. 
~ @ @ 
Voltando a imaginar o paralelepípedo e sua projeção axono-
métrica (figura 69), as três arestas que partem de A (AB, AC e AD ) se proje-
tam ortogonalmente em Ai Bi , Ai Ci e A1 Di. Como essas três arestas são 
oblíquas em relação a '! i . s,uas projeções são reduzidas, pois a projeção orto· 
gonal só mantém o comprimento de um segmento quando este é paralelo ao 
plano de projeçGo. 
39 
,:; 
,.: 
... 
{' 
' 
" 
Para calcular essa redução, vamos fixar na tigura 69 apenas as 
três arestas que partem de A, prolongadas até o encontro com 11'1 (figura 
70), nos pontos E, F e G. Esses pontos formam um triângulo EFG.71). 
Vamos demon9trar que A1 é sempre ortocentro de EFG. 
Prolonguemos GA1 até encontrar em H o lado EF (figura 
O plano AGH, hachurado na figura, é perpendicular a 11'1, por conter a reta AA1 perpendicular a esse plano. Também é perpendicular ao 
plano AEF por conter AG (no paralelepípedo retângulo cada aresta é perpen-
dicular ao plano das outras duas que partem do mesmo vértice). 
Quando um plano é perpendicular a dois outros, é perpendi-
cular' à reta de interseção dos mesmos. Se AGH é perpendicular a 11'1 e a AEF 
então é perpendicular à reta EF, interseção desses dois planos. 
Portanto, as duas retas AH e GH desse plano são perpendicu-
lares à reta EF. Em outrás palavras, AH é a altura do 6AEF e GH é a altura do 
6EFG. 
" 
40 
Com o m11tno rnclocínlo demonstraríamos que EA11 e FA1J 
111n"'m sfo alturas de H<.i . o portanto A1 é o seu ortocentro (figura 72). 
Sando A o vértice do paralelepípedo mais afastado de 1f1, 
ele sempre se projeta no interior do triângulo EFG. Em conseqüência tal 
trlAngu lo será sempre acutângulo, desde que seu ortocentro Ai está no seu 
Interior. 
!: fácil perceber que EFG será equilátero na ISOMETRIA, 
l16sceles nas DIMETRIAS e escaleno nas TRIMETA IAS. 
Es$e triângulo é chamado de FUNDAMENTAL ~m uma axo-
nometria. 
Se o vértice A se aproximar para A' (figura 73), sem se alterar 
11 direção das três arestas que saem desse vértice, o triângulo fundamental 
openas diminui de tamanho (E' F' G'), conservando o ortocentro A1 e ames-
ma proporção do triângulo EFG. 
Para se construir uma axonometria, diretamente no desenho · 
(figura 74), podemos partir sempre do triângulo fundamental. Escolhido um 
segmento horizontal para ser EF, dependerá do .tama~ho de .EG e GF se va-
mos ter uma isometria, uma dimetria ou uma trrmetrra. Na figura 74 obtere-
mos uma trimetria, pois EFG é escaleno. . 
Traçando as alturas do triângulo, d~terminamo~ Ai .. Podem 
ser medidos os ângulos a, (j e 'Y (figura 75) para confirmar que sao .diferentes, 
e o menor deles ( a) se opõe ao maior lado (EF), enquanto o maior ( 'Y) se 
opõe ao menor lado (EG). . _ . 
Voltando a imaginar a situação em 3 d1mensoes (figura 76), 
há condições de rebatermos o triângulo AEF sobre 1f1, usando a ch~rneira, EF 
e obtendo A'EF. Basta notarmos que a altura AH, depois de rebatida (AH}, 
continuará como altura do triângulo rebatido. 
Também sabemos que AEF é retângulo, já que as arestas do 
paralelepípedo formam ângulo reto entre si. 
41 
, ... , 
, ...... , ,; .. 
• .r.-
.. ~ 
t , 
"' 
' 
E 
F 
G 
Então, no plano do desenho (figu 77) A' 
circunferência de diâmetro EF ra • estará numa semi-~~~~ ~~~ : .~~rd:~~~~:1;r:~~~za e~~:a~:~:~á~u~os~~~a~~e~~pne~o~~b~:::~~~~ figura 76). ' i, e erminar 8i sobre Ai E (comparar com a 
A aresta AC também aproveita o rebatimento AEF Mar d 
~~es~u:;~primento real em A 'C' (figura 78), uma paralela .a A1A ; deter~~n: 
Para ~arcar a aresta AD, teremos que rebater o L':iAGE 
torno da ~harne1ra GE.ou ~.L':iAGF em torno da charneira GF. (figura 79) em 
ara constru ir A GE sabemos que A " tá · 
cunferência de diâmetro GE ' .. es em uma semi-cir-
1 " ' uma vez que o triangulo é retângulo em A" e que a a tura A J tem seu pé no ponto J. ' 
1 1 M~~;ado A" D' com a verdadeira grandeza da aresta AD uma para e a a A1 determina D1 em Ai G. A opção pelo rebatimento d~ AGF 
42 
Associl\Ç~O 1 t1M A111 1rifirno de Educi\Çirn 
' 
H 
" E F 
G 
tnmbém conduz à obtenção de Di . Também 8i pode 'ser obtido através de 
A"EG e C1 at ravés de A'" GF . 
Uma vez marC'adas na axonometria as arestas Ai 8 1 , A 1 C1 , e 
A 1 D1, basta completar o contorno das faces vis íveis tirando de 81 , C1 e D1 
para lelas às t rês arestas. (figura 80) . Para completar o sólido poderão ser t raça-
daa em linha interrompida as arestas que estão por trás. Entretanto, na prát ica 
do desenho técnico não é recomendada a representação dessas arestas invisí-
ve is. 
Para conseguir mostrar o para lelepípedo por baixo, basta es-
co lher o vértice G do triângulo fundamental acima do lado horizonta l EF. (f i· 
gura 81 ) . 
2. 2. 4. - Representação Axonométrica da Forma-Modelo. 
Para representá-la em uma dimetria, por exemplo, as dimen-
sões máx imas da forma-modelo (4 cm de largur.a, 3,5 cm de espessura e 5 cm 
de altura) permitem começar representando o paralelepípedo retângulo que a 
envolve, conforme as explicações do ítem 2. 2. 3. 
A figu ra 82 mostra tà l paralelepípedo já representado. Suas 
arestas estão divididas em partes iguais proporciona is aos seus ~omprimentos 
reais. Cada uma dessas d ivisões representa 0,5 cm devidamente reduz ido em 
cada direção de aresta. 
Contando o número de divisões correspondentes, podemos 
desenhar em cada face vis ível do paralelepípedo as faces da forma-modelo ne-
la encostadas, resultando a figura 83. 
A partir dessas faces, observando a fQrma-modelo e traçando 
as paralela's convenientes, completamos o aspecto f inal da axonometr ia (figu-
ra 84). 
As figllras seguintes mostram a forma-mode lo desenhada 
43 
..; 
\. 
G 
!,':::::···· 
.... 
·········· 
.::::::: 
! 
~ 
i 
para outros_valo~es dos ângulos,a, {J e 'Y· Deve ser notado que algumas dessas 
representaçoes sao. melhores que as outras no sentido de mostrarem mais de· 
talhes da forma.·(f1guras 85, 86 e 87) . 
2. 2. 6. - Axonometria do Círculo. 
A projeção ortogonal de um círculo cujo plano não é 
lelo ao plano de projeção é sempre uma elipse (figura 88). para· 
1 d ~~ndo possív~I dispor de um quadrado circunscrito a um cír· 
cu o, ~vi ame~te proietado em rr1 como um paralelogramo, os pontos de 
tangência da elipse projeção com os lados desse paralelogramo estão sempre 
44 
nos pontos médios desses lados, o que fac ilita o traçado a mão livre da elipse 
(figura a9). 
Se for necessária uma maior precisão, basta lembrar que as 
cordas obtidas com esses pontos de tangência em lado' opostos são diâmetros 
conjugados da elipse, o que permite aplicar construções geométricas para ob-
ter qualquer número de pontos dessa curva. 
Portanto, um cilindro em axonometria, para ser obtido, exi· 
ge a prévia representação de um paralelepípedo envolvente (figura 90). Uma 
vez inscritas as elipses iguais nas 2 bases desse paraletepípedo, a axonometria 
do cilindro se completa com o traçado das tangentes comuns a essas e lipses. A 
metade da e lipse inferior será invisível. 
2. 2. 6. - Exercícios em Axonometria. 
Representar as formas montadas no primeiro capítulo em 
45 
... , 
• ;:i:~ 
t .C.·~~ 
.,1t,;. 
... 
, . 
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G' 
.,,.:»,.. 
'~1 ~~ 
·~ 
...... 
(1 
,.( 
e B 
várias axonometrias. Para definir cada sistema, tomar o lado EF do triângulo 
fundamental sempre com 10 cm, completando-os com as seguintes medidas 
GE e GF: 
2. 2. 6. 1. - GE = 10cm GF = 10 cm ( ISOMETRIA ) 
2. 2. 6. 2. - GE = 10 cm GF = Bem ( DIMETRIA ) 
2.2.6.3.- GE = 10cm GF = 13 cm ( DIMETRIA ) 
2. 2. 6.4. - GE = 7cm GF = 10cm ( D IM ETA IA ) 
2.2.6. 5. - GE 13 cm GF = 10 cm ( DIMETRIA ) 
2. 2. 6. 6. - GE = Bem GF = Bem ( DIMETRIA ) 
2. 2.6. 7. - GE = 14 cm GF = 14 cm ( DIMETRIA ) 
2. 2. 6.B. - GE = 7cm GF = 9cm ( TRIMETA IA ) 
2. 2. 6. 9. - GE = Bem GF = 7cm ( TR IMETRIA ) 
2. 2. 6. 10 - GE = 12 cm GF = Bem ( TRIMETA IA ) 
2. 2. 6. 11 - GE = 13 cm GF = 11 cm ( TRIMETRIA ) 
2. 2. 6. 12 - GE 7cm GF ( = = 11 cm TRIMETA IA ) 
2. 2. 6. 13 - GE 11 cm GF = 14 cm ( TRIMETA IA ) 
2. 2. ·6. 14 a 2. 2. 6. 26 - Medidas iguais às dos exercícios de 2. 2. 6. 1. 
ao 2. 2. 6. 13, porém marcando G acima de E F. 
2. 3 . ...:. Conversão da Axonometria Ortogonal ao Sistema Mongeano 
e Vice-Versa. 
2. 3. 1. - Passagem da Axonometria às Vistas Ortogonais. 
. . . O sistema axonométrico é de mais fácil leitura pelo 
técnico mal.quahf1cado do que o sistema mongeano, uma vez que a mensagem 
qu:transmite é bem mais sintética que as vistas mongeanas. Estas decom-
poem a forn:ia em mensagens mais simples, porém para a composição visual 
glob~I do objeto a 3 dimensões exigem uma prática bem maior que a axono-
metna. 
46 
l\s\hll , ohtur u~ vistos ortogonais de uma forma represen· 
tod11 um uxonornotr iu ó uni ux1H cício nials vé lldo apenas como treinamento do 
111 ' u11 lo sistema ax onométrico. Com finalidades profissionais ocorre quase 
u1111pt o o necessidade inversa, isto é, a de desenhar uma axonometria para es-
' h11 11r.ur detalhes que não ficaram bem entendidos nas vistas mongeanas. De-
vumu~ ressalvar que, a um desenhista profissional, é extremamente útil saber 
rhttonhar as vistas·ortogonais de um projeto esboçado axonometricamente pe-
lo 1ou autor. 
Suponhamos uma forma já representada em axonometria (fi-
11111 u 91) . O primeiro passo para obter as suas vistas é reconhecer suas dimen-
1n11s méximas (maior largura, maior espessura e maior altura). 
Com essa éonstatação podemos prolongar as devidas arestas 
11 obter o paralelepípedo que envolve toda a peça (figura 92). 
Prolongando suas arestas . que concorrem no vértice central, 
(figura 93) podemos escolher o ponto E a qualquer distância (é conveniente 
não tomá-lo muito próximo ao paralelepípedo), e traçar EF horizontal, loca-
lizando F na outra .aresta do paralelepípedo. De E ou de F, tirando perpendi-
culares às direções das arestas, determinamos G na aresta vertiCal, completan-
do um triângulo fundamental da axonometria. 
Construindo A'EF e A" EG como foi visto no item 2. 2. 3., 
podemos determinar B', C' e D' a partir de 8 1 , C1 e D1 (figura 94). e assim 
teremos o comprimento real da largura (A'B'), da espessura (A' C') e da altura 
(A" D') do paralelepípedo envo lvente. 
Para construir as vistas ortogonais, onde ta is dimensões apare-
cem em verdadeira grandeza; e escolhida a vista de frente como principal (fi-
gura 95) podemqs demarcar em retângulos o contorno das faces do paralelepí-
pedo, usando como secundárias as vistas SÜperior e direita. 
47 
· ~ •'...>-
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... 
-:: 
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\) 
E 
F' 
F' 
G @ e 
O passo seguinte é identificar na axonometria as faces visíveis 
quando a forma é 9lhada de frente (figura 96). Todas as hachuradas aparecem 
na vista frontal, e suas dimensões devem ser adaptadas proporcionalmente às 
arestas do paralelepípedo. Por exemplo, se uma face tem altura 1/4 da altura 
do paralelepípedo, -aparece na vista com 1/4 da altura total da vista de frente · 
se sua largura é 2/ 5 da do paralelepípedo, ocupa 2/5 da largura da vista; e as'. 
sim por diante. 
Após desenhar assim toda a vista de frente, passamos a imagi-
nar a forma olhada de cima (figura 97). Todas as faces agora hachuradas apa-
recem na vista superior. 
No desenho da vista lateral (figura 98), além das faces hachu-
radas visíveis, é preciso observar a existência de uma aresta por trás de um 
bloco da peça, originando na vista direita uma linha tracejada. · 
48 
@ 
g] 
(!!) 
O aspecto final das 3 vistas (figura 99) jã elim inado o 
contorno do paralelepípedo envolvente, deve ser checado quanto ao alinha-
mento dos detalhes nas vistas vizinhas. 
Outras vistas secundárias poder iam ser obtidas a partir 
dessas três vistas. 
2. 3. 2. - Passagem das Vistas Mongeanas à Axonometria. 
Tomemos as três vistas ortogona is da figura 100, referen-
tes a uma mesma forma. 
Em ponti lhado temos completadas as faces do paralefe-
pípedo envolvente. 
J=~ 1 1 1 1 1 
~ 
@ 
tB ...... Eill .................. ~ . . . . . . . . . . . . 1 ' 1 
LJ HLJ 
8 
Escolh ido o triângulo fundamental e executadas as ope-
rações gráficas de redução das arestas para a axonometria, suponhamos já re-
49 
presentado o paralelep(pedo envolvente da forma (figura 101). 
Daí em diante temos que localizar dentro do paralelepí-
pedo todos os elementos visíveis da forma Não há um modo geral de agir 
para isso, pois dependerá muito da capacidade individual de perceber tridi· 
mensionalmente a forma em questão. 
Quando uma vista da peça não preenche todo o contor-
no da face do paralelepípedo e1:\·.Jlvente, podemos desenhar o contorno EX-
TERNO dessa vista na face correspondente do paralelepípedo, observadas as 
deformações das medidas lineares e angulares. 
Assim, a figura 102 mostra a vista de frente marcada em 
seu contorno externo na face de frente d9 paralelepípedo. 
A partir desse contorno da vista de frente, o paralelepípe-
do pode ser cortado de um lado a outro da sua espessura, gerando o aspecto 
da figura 103. 
Para se conseguir satisfazer o perfil da vista lateral, a me-
tade superior da figura 103 deve ser cortada de um lado a outro n1 sentido da 
largura da peça (figura 104) . 
pecto da figura 105. 
Depois dessa operação a axonometria estará com o as-
Para dar o contorno da vista superior, esse estágio deve 
ser cortado verticalmente segundo a linha pontilhada da figura 105, resultan-
do no ascpecto final da figura 106. 
É preciso advertir mais uma vez que esse procedimento 
nem sempre pode ser aplicado, pelo menos para garantir a forma final da pe· 
ça, sendo freqüentes os casos em que ajuda mas não é o bastante para comple· 
tara forma. 
50 
2. 3. 3 . - E)(erofclo1 dt Converalo de Sistemas 
2. 3. 3. 1. - Para as formas representadas em axonome-
11111 nas figuras de números 107 a 126, desenhar as vistas mongeanas. . 
2. 3. 3. 2 . - Para as formas representadas n~ srste'!'a 
S f ·1guras de números 127 a 146, desenhar uma isometria e várias mongeano na · · T t' 
dlrnetrlas e trimetrias, comparando-as para concluir qual a mars s1gn1 rca rva 
para cada forma. 
51 
52 53 
C:' 
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~ ~ 
e 
e 
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54 
56 
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BD 
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-= ~-º--
RT-1 
D___tj 
57 
@ 
3. SISTEMAS DE PROJEÇÃO CILfNDRICA OBLfOUA 
3. 1. - Sistema Orto·Oblíquo 
3. 1. 1. - Projeção Principal 
A primeira projeção que efetuamos neste sistema é orto-
gonal, tomando o plano do desenho paralelo a uma das faces do paralelepípe-
do envolvente (figura 147). 
Até a( não temos mais que uma vista ortogonal da forma 
que queremos representar. 
3. 1. 2. - Projeção Secundária 
A segunda projeção deste sistema, para complementar as 
58 
informações da principal, é feita oblíquamente (figura 1~) . . 
· Arestas paralelas do sólido se proJetam ainda paralelas 
entre sf, na projeção oblíqua. H • H 
Para definir a direçao dessa proieçao oblíqua basta esco-
lher no plano do desenho a posição A2 em que se projeta um dos vértices A 
do sólido. (figura 149) . H 
Desde que não coincida com a pro1eçao ortogonal A1 , 
o ponto A2 pode ser tomado em qualquer lugar. 
o triângulo AA1 A2 (figura 150) é retângu lo em A1, 
qualquer que seja a posição de .~2 no plano do desenho. 
Com o AA1 é conhecido, já que traduz o afasta~ent~ do 
vértice A do paralelepípedo aa plano do desenho, podemos constru ir o tn:m-
gulo AA1 A2 , em torno da charneir.a Ai A, . 
' Como A2 A1 é a projeção oblíqua do segmento AA1 , o 
vértice B, situado nele, terã sua projeção oblíqua em 8 2 , pertencente a A1 A, . 
59 
(figura 151). 
, .No P!ano do desenho, marcando-se A'8 ' no rebatimento 
A A, (com o comprimento real da aresta A8) uma paralela a A'A t' d d 8' d t · . ~ • 2, ira a e 
, e erm ma essa proieçao 8 2 . 
3. 1. 3. - Fator de Conversão 
A relação entre A2 8 2 e A8 é a mesma entre A1 A2 e 
Essa relação constante entre o comprimento da projeção 
oblíqua e o compri~ento real do segmento perpendicu lar ao plano é 0 FA-TOR DE CONVERSAO do sistema. 
N~ mes'.110 plano do triãngulo AA 1 A2 a projetante oblí-Q~a do ponto A poderia varrar de inclinação em relação ao plano do desenho (figura 152). 
,, Com isso, a projeção A2 se aproximaria de A1 (emA'2 ou A2 , por exemplo) ou se afastaria de A1 (em A2 "', por exemplo). 
. Chamando de K ~tor de conversão, seu valor em cada 
sistema será expresso por K = A2Ai/AA, . De ixando AA fixo A A d 
rá ter qualqu ed'd 1 1 • 2 1 po e-er m 1 a, exc uindo zero (A2 não pode coincidir com A ). 
Ouando K_::_ 1 a projeção A2 A1 tem o mesmo ~ompri­
mento do segmento no espaço (AA 1 ) O triãngulo AA A é · 6 1 
· b · 1 2 1s sce es e as pro-Jetantes o líQuas formam ãngulo de 45º com 0 plano do desenho. 
Quando K > 1 a projeção é ampljada. As projetantes 
formam com o plano do desenho um ângulo menor que 45º. 
. 0 Quando K < 1 a projeção é reduzida. As projetantes fa. 
zem mais de 45 com o plano do desenho. 
. 3. 1. 4. - Direção da Projeção 
. _:ara uma mesma inclinação das projetantes, Ai A ode-
rá ter qualquer direçao no plano do desenho (figura 153). 2 p 
60 
Suponhamos K = 1 na figura, ou seja, A2 A1 = AA1. 
Desenvolvendo com centro em A1 uma circunferência no plano de projeção, 
com raio A1 A2 , podemos escolher A2 em qualquer ponto dessa circunferên-
cia. A'2 , A" 2 e A2 "' são exemplos nos três outros quadrantes do círculo. 
Convencionamos medir a DIREÇÃO pelo àngulo C!Que 
A1 A2 forma com a horizontal do plano de projeção. Tal ãngulo serâ sempre 
medido no sentido horário. Para A2 , na figura 153, o: mede entre 90° e 
180ô para A'2 , mede entre 180° e 270°; para A"2 , entre 270°e 360°; para 
A"2 , entre oº e 90°. 
3. 1. 5. - Arestas Paralelas ao Plano de Projeção 
As arestas do paralelepípedo que são paralelas a AB, isto 
é, todas as perpendiculares ao plano de projeção, já fizemos notar que se pro-
jetam na direção A1 A'l. 
E as arestas paralelas ao plano de projeção, como AC e 
AD (figura 154J? 
Como as projetantes oblíquas são paralelas entre si, a fi-
gura ACC2 A2 é um paralelogramo, e assim A2 C2 é paralelo a AC e TEM A 
MESMA MEDIDA de AC QUAISQUER QUE SEJAM A r»REÇÃQ E tN.CLI· 
NAÇÃO DAS PROJETANTES OBL(OUAS. 
O mesmo acontece para a ar&sta A[}, onckl A2 02 = AO. 
Dessa forma, a própria face ACED do paralelepí.pedo t•' 
rá projeção oblíqua congruente, caracterizando uma translação. 
Em resumo, qualqtJer areita do paralelepípedo paralela 
ao plano de projeção terâ sua projeção oblíqua paralela e de mesmo compri-
mento . 
3. 1. 6. - Traçado das Projeções no PIMO 
O que temos d iscutido até agora sobre o sistema orto-
oblíquo vem sendo ilustrado em axonometria, da figura 147 à figura 154. 
61 
Elas descrevem o procedimento a 3 dimensões para se conseguir a projeção 
oblíqua do paralelepípedo. 
Vejamos agora a tradução de tais explicações no próprio 
plano do desenho (figura 155). 
Partindo da vista ortogonal do paralelepípedo, temos 
que escolher a direção e a inclinação das projetantes oblíquas. Fixando um 
dos vértices na projeção ortogonal (A1 ), basta escolher a posição de A2 em 
qualquer lugar do desenho. Fazendo isso, estaremos definindo o ângulo a que 
caracteriza a DIREÇÃO do sistema e, desde que tenhamos já estabelecida a 
distância de A ao plano do desenho, estaremos também definindo o FATOR 
DE CONVERSÃO (K) do sistema. 
-== De fato, basta c~ruir um ângulo reto em A1 (figura 
156) e marcar A'A1 igual à distância AA1 (do ponto A, no espaço, ao plano 
do desenho - ver figura 150). É claro que tal distância é escolhida à vontade 
do operador, pois o paralelepípedo pode ser imaginado a qualquer distância 
do plano de projeção. 
,.. 
/tJ 
"• 
Marcando~· com a medida real de A8, obtemos 82 
através de uma paralela a A'A2 (ver figura 151). 
O fator K tanto pode ser obtido por ;;;Ã,/A'A1 como 
_ Geralmente é preferível, em vez de escolher a distância 
AA1, estabelecer préviamente o valor de K. 
Se K = A2 82 , então A1 8 2 = K. A'8' 
~ 
A'8' 
~ Com....Q_A'8' é a medida real da aresta A8, podemos escre-
ver também: A1 8 2 = K. A8. 
Uma vez escolhidos A2 no desenho e o valor numérico 
de K, podemos evitar a construção grãfica do tril'mgulo A'A1 A2. Para marcar. 
62 
8 2 em A1 A2 basta usar o comprimento ~2 igual a K. As, onde Ã8 é a 
medida da aresta A8 no próprio sólido. 
A partir da projeção A2 8 2 podemos comp letar facil-
mente a projeção do paralelepípedo (figura 157). De A 2 .tiramos A 2 C.:z para-
lela e igual a Ai C1 , completando a face retangular A2 C2 E2 D2 • De 8 2 é 
construícto um outro retângulo igual, projeção oblíqua da face posterior do 
paralelepípedo. 
Tal aspecto apresentaria o paralelepípedo se fosse trans-
parente ou constituído s6 pelas arestas. Tratando-se de um SÓLIDO GEO· 
MÉTRICO é necessãrio definir um critério de visibilidade. 
Para isso, o observador se imagina olhando o paralela· 
pfpedo na direção das projetantes oblíquas. Como estas estão vindo de cima 
para baixo, o vértice C é o mais próximo ao observador e, portanto, as 3 fa. 
ces vizinhas a C2 , na projeção oblíqua, são as visíveis (figura 158). O vértice 
G2 , oposto a C2 , se tiver que ser representado (o que não é usual no desenho 
técnico), terã as três arestas que nele concorrem desenhadas em linha traceja-
da. 
Ainda na figura 158 podemos notar que a projeção oblí· 
qua cobre parte da ortogonal. Para evitar que isso aconteça, é conveniente es-
colher inicialmente não a posição de A2 , mas sim a de F2 , evitando tomar 
esse vértice no interior de Ai Ci E1 Di. 
A escolha inicial deve recair sobre 8 2 se a for tomado 
menor que 90° (figura 159). Evitando-se 82 no interior da projeção ortogo-
nal, teríamos toda a projeção oblíqua do paralelepípedo sem superposição 
com a vista principal. 
No domínio do DESENHO TÉCNICO se a vista principal 
é a DE FRENTE, nesta posição o sólido mostrarã ainda as faces frontal e su-
perior, como na posição da-figura 158, mas diferirã quanto à face lateral. Na 
figura 158 o par11lelepfpedo mostra a face direita, enquanto na 159 ele mostra 
a face esquerda. 
63 
Quando a é tomado ent re 180u e 270u (f igura 160) é 
H2 quem deve ser escolhido inicialmente para evitar superpos ição de vistas, e 
o sólido mostra visíve is as faces frontal, direita e inferior. 
Quando a estâ entre 270° e 360° é G2 quem deve ser 
escolhido primeiro e o sólido mostra as faces frontal , esquerda e inferior. 
Se a projeção principal é a vista SUPERIOR, é a face de 
cima do paralelepípedo que aparece em verdadeira grandeza na projeção oblí-
qua (figura 161) . 
Conforme a variação de a, podem ser visíveis 2 d ós vis-
tas entre a FRONTAL, a DIREITA, a POSTERIOR e a ESQUERDA . 
Nunca serâ visível a face INFERIOR do para lelepípedo, 
nessa situação, assim como a face POSTERIOR nunca aparece nas situações 
das figuras 158, 159 e 160. 
Qualquer outra das vist as do objeto pode ser ~ornada 
como projeção principal. 
3. 1. 7. - Representação da Forma· Modelo 
Para representar um sólido no sistema orto-obl íquo pre-
cisamos enquadrâ-lo no paralelep(pedo envolvente. 
Escolhida a vista principal e usando uma direção e um fa-
tor de conversão também escolhidos, podemos representar o parale lep(pedo 
envolvente conforme fui explicado no (tem anterior (f igura 162). 
A projeção principal pode logo ser desenhada dentro do 
contorno da face do paralelep(pedo, pois jâ vimos no capítu lo 2 a obtenção 
das vistas ortogonais (figura 163). 
Quanto ao desenho da projeção obl íqua, o proced imento 
muito se assemelha ao que adotamos para o desenho da axonometria, no cap(. 
tulo 2. Como arestas paralelas se projetam paralelas, podemos d.esenhar nas fa-
ces do parale lepípedo as faces da forma-mode lo (figura 164). 
64 
.. 
~~~ ~/ ~ 
Para isso é preciso lembrar que as arestas na d ireção da 
largura e da altura (paralelas ao plano de projeção) estão em seu tamanho r:al 
.(na figura estamos reduz indo tudo pela metade, para caber no espaço padrao) 
mas as arestas na d ireção da espessura est ão todas multipl icadas por K. 
A partir dessas faces, pelo traçado de paralel~s,.p~d~mo.s 
completar a projeção oblíqua, onde não representamos as arestas 1nv1s1ve1s (f i-
gura 165). . 
Depois de conclu ído o desenho, podemos tes~ar ~ ª!'-
nhamento em para lelas entre os vértices na projeção ortogonal e na p ro1eçao 
oblíqua. 
J. 1. 8. - Crítica da Representação 
V imos na axonometr ia a possibilidade de mostrar o obje-
to mais de frente, ou mais de cima, ou mais de lado, dependendo da escolha 
dos àngu los a, p e 'Y formados pelas arestas no desenho. 
65 
No sistema orto-oblíquo podemos conseguir o mesmo 
efeito com a variação do ângulo a e do fator K. 
Para a mesma direção da figura 165 , a simples redução 
do fator K consegue mostrar o vértice M (figura 166) que não aparecia na 
projeção oblíqua. O efeito visual dessa redução de K é o de destacar mais a 
vista de frente na projeção oblíqua, uma vez que reduz igualmente as vistas 
super ior e dire ita. 
Para aumentar o destaque combinado da vista de frente e 
da superior podemos conservar o fator K e d iminuir o ângulo a (figura 167). 
Nessa projeção oblíqua o vértice M também está desco-
berto, mas não houve prejuízo na visibilidade das faces voltadas para cima 
(comparar com a figura 165). Houve o sacrifício das faces laterais. 
Se o ângulo a diminuir demais, haverá a necessidade de 
aumentar o fator K para que as faces laterais sejam destinguidas no desenho. 
Entretanto, se a= 90°, não adianta nada variar K, pois as faces laterais fica-
/ 
/ 
66 
rilo de perfil (figura 168) e a imagem tr idimensional do objeto ficará prejudi· 
e: oda. 
Reduzindo mais ainda o valor de ex, a forma-modelo pas-
tnrll a mostrar, na projeção obl íqua, as faces voltadas para a esquerda (figura 
169). 
Voltando à figura 165, se aumentarmos a, as faces late-
rais ganharão destaque em prejuízo das faces voltadas para cima (figura 170). 
Quando atinge 180° a representação se torna defic iente, à semelhança do que 
11contece para 90°. As faces horizontais do objeto f icam de perfil (f igu ra 
171 ). 
/ 
/ 
/ 
/ 
Conforme iá mostramos na figura 160, quando a > 
180° a formél fica vista por baixo (figuras 172 e 173). Em tais situações ficam 
escondidos mais vértices do que quando o sólido é visto de cima, o que torna 
menos eficiente a representação. Devem ser completamente evitados os valo-
res a = 270° e a = 360°, pelos mesmos inconve nientes que ap resentam os 
o o Angu los de 90 e 180 
1 
1 
1 
67 
l::m resumo, para a vista principal que foi escolhida em 
todos esses casos, a forma modelo fica melhor representada tomando-se a em 
torno de 120° e K um pouco menor que 1. Se tomarmos o fator de conversão 
muito reduz ido haverá um inconve niente grave : a forma fica aparentando uma 
espessura bem menor que a real (figura 174) . 
Quando a projeção principal é a vista superior, as faces 
do sólido voltadas para cima estão sempre em verdadeira grandeza, para qual-
quer valor de a (figura 175) . 
O ângulo adequado na situação da figura deve se situar 
entre 180° e 270°, pois é nessa fa ix a que a projeção obl(qua mostra mais de-
talhes visíveis da forma-modelo. Quanto ao valor de K, o mais adequado está 
sempre entre 0,5 e 1. 
3. 1. 9. - Formas Cilíndricas 
Quando a forma a ser representada é cillndrica, é sempre 
mais simples a representação partindo da vista ortogonal que apresenta a base 
em verdadeira grandeza (figura 176), pois, quaisquer que sejam os valores de 
a e de K, a projeção oblíqua terá as bases circulares. Apenas a altura aparente 
dependerá do fator de conversão. 
Se for escolhida como principal a vista retangular do ci-
lindro (figura 177) a projeção obl íqua terá que ser obtida a partir do paralele-
pípedo circunscrito. As bases circulares se projetam como elipses, que podem 
ser traçadas inscritas nos paralelogramos, tangenciando seus lados nos pontos 
médios. Para maior precisão podem ser determinados outros pontos dessas 
elipses, usando-se o par de diâmetros conjugados paralelos aos lados do 
paralelogramo. Nessa situação, o valor de K contribui para a deformação das 
bases, que será excessiva quando o fator se aproxima de 1. 
Se K > 1, a projeção oblíqua d ificilmen~e será aceita co-
mo imagem de um cil indro de revolução (figura 178). 
68 
3. 1. 10. - Exercícios do Sistema Orto·Oblíquo 
3. 1. 10. 1. - Representar as 4 formas montadas no 1? 
capítulo, tomando a vista de frente como projeção principal e e;;colhendo di-
reções e fatores de conversão d iversos, para concluir quais os mais adequados 
a essa posição. 
3. 1. 10. 2 . - Idem, tomando a vista superior como pro-
jeção principal. 
3. 1. 10. 3. - Idem, tomando uma vista lateral como 
projeção principal. 
3 . 1. 10. 4. - Representar as formas das figuras 107 a 
126, escolhendo direção e fator de conversão para conseguir a projeção oblí-
qua o mais parecida possível com a axonometria usada em cada figura. 
69 
. . 
3. 1. 10. 5. - Representar as formas das figuras 127 a 
146, tomando cada uma das vistas como projeção principal e escolhendo dire-
ções e fatores para obter a projeção oblíqua mais adequada. 
3. 2. - Cavaleira 
3. 2. 1. - Perspectiva Cavaleira 
Antes do surgimento da geometria descritiva de Monge 
ili eram utilizadas outras formas de representação gr6fica. Desde os primitivos 
desenhos encontrados nas cavernas da pré-história até a perspectiva desenvol-
vida no renascimento por Leonardo Da Vinci, todas permitiam uma visualiza-
ção com maior ou menor eficiência da forma tridimensional, se bem que não 
permitissem a reconstituição exata do objeto ilustrado. 
A expressão "perspectiva" é utilizada para um desenho 
que reproduz, o mais fielmente poss(vel, a imagem que a visão humana teria 
ao contemplar a forma em 3 dimensões. 
A perspectiva denominada "à cavaleira" ou simples-
mente " cavaleira", por ter sido utilizada nos meios militares pelos oficiais ca-
valeiros, é resultante de uma única projeção oblíqua. É de f6cil execução, mas 
como perspectiva é uma das que mais deformam a imagem do objeto repre-
sentado. 
3. 2. 2. - A Cavaleira como Sistema de Representação 
. A perspectiva cavaleira é apenas a projeção oblíqua do 
sistema orto-oblíquo. Como tal, exige a escolha prévia da direção (definida 
pelo ãngulo a) e do fator de conversão K que define a deformação das arestas 
paralelas a AB (figura 179). 
A ausência da projeção ortogonal não permite conside-
rar a perspectiva cavaleira como um sistema de representação. Dependendo da 
forma que vai ser representada, se todos os seus pontos podem ser localizados 
pelas su~s coordenadas (abcissa, afastamento e cota), medidas em relação às fa. 
ces do paralelepípedo envolvente, tal como vimos na axonometria ortogonal 
a cavaleira poderá ser considerada um sistema de' representação. ' 
Vamos mostrar um exemplo em que a cavaleira não re-
presenta a forma. 
. Na figura 180, um sólido geométrico está desenhado 
em cavaleira de direção a e fator K = 1. 
Se a interpretação da forma considerar vertical a sua 
face voltada para a frente, o paralelepípedo envolvente inscreverá essa face do 
sólido na sua face frontal (figura 181). 
No sistema orto-obl(quo, a projeção ortogonal seria en-· 
tão um triãngulo isósceles. Outras vistas têm aspecto mostrado na figura 182, 
70 
Associação Latlno Americano de Educaçõo 
B 
que representa a peça no sistema mongeano. 
A mesma cavaleira da figura 180 pode ser interpretada 
como a imagem de um sólido que tem sua face lateral vertical, o que situará 
sua aresta superior na aresta do paralelepípedo envolvente (figura 183). acar, 
retando uma projeção ortogonal completamente diferente. As vistas no siste-
ma mongeano (figura 184) seriam totalmente diferentes, se comparadas com a 
primeira solução. 
Além dessas duas interpretações mais simples, uma in-
finidade de outras soluções poderia ser tomada para a projeção ortogonal, 
poiso triângulo frontal, em ves de isósceles ou retângulo, poderia ser escaleno 
(figura 185) e não precisaria nem mesmo ser acutãngulo, podendo ser inter-
pretado como obtusãngulo (figura 186). 
Podemos fazer da cavale ira um sistema de representa-
ção para qualque~. só-lido geométrico, desde que a projeção oblíqua seja acom-
panhada da projeÇão desse sólido na base do paralelepípedo envolvente. 
71 
/ 
~ 
: 
: 
/ 
/f5J 
. 
. 
. 
Exemplificando com a cavaleira da figura 180, se a 
aresta superior daquele sólido for localizada em sua projeção no plano da ba-
se, deslocando esse plano na mesma vertical para que a projeção não fique in-
visível (f igura 187) ficarã perfeitamente caracterizada a primeira solução (da 
figura 181). 
. Também serã um sistema de representação a projeção 
oblíqua acompanhada da projeção do sólido na face lateral do paralelepípedo 
envolvente, deslocada horizontalmente para evitar invisibilidade (figura 188). 
Se o sólido tiver mais deta lhes voltados para baixo, e a 
projeção oblíqua mostrã-lo por baixo, serã mais simples projetã-lo na face su-
perior do paralelep(pedo em lugar de projetá-lo na base (figura 189). 
Igualmente mais simples seré projetã-lo na face direita 
do paralelepípedo, se a cavaleira projetar o sólido da esquerda (figura f90). 
72 
3. 2. 3 . - Cavaleira Isométrica 
Uma cavaleira pode ser chamada de ISOMÉTRICA 
o o o 3 o quando K = 1eamede45 , 135 , 225 ou 15 
Para ta is situações, as arestas perpendiculares ao plano 
de projeção aparecem em verdadeira grandeza na projeção oblíqua, enquanto 
duas faces do paralelepípedo sempre aparecem .comº. mes~o destaque. 
A isométrica é a cavaleira mais fãc1I de desenhar, mas 
muitos sólidos não ficam com bom aspecto. Basta lembrar as formas cilfn~ri­
cas, que f icam muito deformadas com um .fator ig~al a 1. C~mo pers~ect1va, 
um fator entre o, 5 e 1 torna a cavaleira mais aproximada da imagem visual do 
objeto. 
73 
3. 2. 4. - Exercícios em Cavaleira 
3. 2. 4. 1. - Em cada sólido representado no sistema 
orto·oblíquo nos exercí:ios do ítem 3. 1. 10, eliminar a projeção ortogonal 
e c~mplementar a cavaleira com a projeção do sólido na base ou na face su-
perior do paralelepípedo envolvente. 
. _ . 3. 2. 4. 2. - Idem, complementando a cavaleira com a 
proieçao do sólido na face direita ou na face esquerda do sólido envolvente. 
. 3. 2. 4. 3. - Analisar para cada um dos só lidos dos 
exercício~ 3._ 1. 10, se a perspectiva cavaleira isoladamente permite outras in· 
terpretaçoes para a forma. Em caso positivo, desenhar as vistas ortogonais de 
algumas dessas novas interpretações. 
. 3. 2. 4. 4. - Escolher as melhores formas do final do 
capítulo 2 (figuras 107 a 146) para representar em cavaleira isométrica. 
3. 3. - Vista Ortogonal com Sombra Oblíqua 
3. 3. 1. - Caráter Geométrico 
A sombra projetada por um sólido e decorrente da luz 
solar é ~m~ p~ojeção cilíndrica quase perfeita, tendo em vista que, pelo tama-
nho e d1stanc1a do sol, seus raio s luminosos chegam à terra praticamente para-
lelos. 
Considerando um paralelepípedo em frente ao plano ~o d~se~~º. e com uma das faces paralelas a esse plano, a sua vista ortogonal 
Já coinc1d1r1a :om sua sombra se os raios solares incidissem perpendicularmen-
te ~o plano (f 1g~r~ 191 ). Mas se houver inclinação dos raios solares, a sombra 
proieta~a pel~ sol~do será o contorno de sua projeção oblíqua, onde as proje-
tante~ te~ a d1reçao dos raios luminosos (figu ra 192). Assim, a vista ortogonal 
associada a sombra oblíqua pode constituir um sistema de representação. 
74 
3. 3. 2. - Diferenças Objetivas para o Sistema Orto-Oblíquo 
Embora a sombra possa ser traçada como a projeção 
oblíqua do sistema orto-oblíquo, a primeira diferença é o aspecto que deve 
ser dado à sombra, hachurando-se toda a área dentro do contorno da proje-
ção oblíqua que não apresenta linhas vis íveis ou invisíveis. . 
A segunda diferença na prática é encostar o só lido no 
plano de projeção. Assim, definidos O: e K, o traçado da projeção obl<qua se 
superpõe parcialmente à projeção ortogona l (figura 193). Mas o hachurado da 
sombra é feito apenas na área externa à vista ortogonal, pois não é visível a 
sombra embaixo do sólido. Para representar a forma inscrita no paralelepípe-
do, como a primeira forma-modelo (f igura 194). após traçada a projeção obl í-
... 
... ····· 
.......... .... · 
qua (em linha pontilhada) deve ser hachu rada toda a ârea dentro do seu con-
torno excetuando o contorno da vista principal. 
A terceira diferença, e que torna mais difícil a ap lica-
ção deste sistema, é que uma saliência do sólido pode projetar sombra sobre 
outra parte do sólido. Para entender es~a possibilidade, tomemos a forma-mo-
delo e sua vista superior (figura 195). Coloquemos a própria peça, montada 
no capítulo 1, sobre a vista superior da figu ra 195 e levemos o papel com a 
forma modelo para o sol. Escolhendo a posição adequada, façamos o contor-
no da sombra projetada pelo sólido coincidir com a sombra da figura. Notare-
mos então a sombra que a saliência mais baixa projeta na face horizontal mais 
abaixo (XYWZ). 
A f igura 196 mostra a sombra obtida ainda da vista su-
perior e em out ra direção. Ainda se adiciona uma dificuldade suplementar 
quando a forma apresenta faces inclinadas. Supondo que a fo rma-modelo fos-
se cortada como na figura t97 , dependendo da inclinação dos raios solares, a 
face oblíqua poçleria estar ensombreada por estar volt ada para a Eji reção opos-
ta à dois raios lum inosos. Na vista superior, essa face deveria então ser hachu-
75 
rada (figura 198) não por receber uma sombra projetada de outra parte da 
peça, mas por estar com sombra própria. 
Este sistema só deve ser praticado após um domínio ra-
zoável da cavaleira e do sistema geral orto-obl(quo, pois exige muita capaci-
dade de observação espacial. 
3. 4. - Sistemas Oblíquos Sob o Ponto de Vista Norte-Americano 
3. 4. 1. - Sombra 
Lembrando que o sistema norte-americano considera o 
sól ido colocado sempre por trás do plano de projeção (figura 199) torna-se 
impraticáve l projetar sua sombra sobre o plano. Os raios luminosos t~riam q ue 
vir de trãs para a frente, o que faria com que as faces do sóliclo voltadas para 
o observador ficassem com sombra própria. 
76 
1 
: 1 ~ 
Alem disso, o plano de projeção é considerado transpa-
rente, não tendo sentido prãtico receber uma sombra projetada. 
A única forma de conseguir a sombra é usa r um plano 
por trás do sólido, projetar nele sua sombra (figura 200) e depois projetar or-
togonalmente essa sombra no plano da vista principal. . 
O sistema que utiliza vista e sombra é apropriado ao 
uso pelo procedim:mto alemão. 
3. 4. 2. - Sistema Orto-Oblíquo 
A posição do sólido atrãs do plano de projeção altera 
apenas a visibilidade das suas faces na projeção oblíqua. Assim, qua~do as 
pro]etantes vêm de cima p~ra baixo, a projeção oblíqua fica situada acima da 
vista ortogonal (figura 201). 
Quando as projetantes vêm, de baixo para cima, mostran-
do a face inferior do só lido, a projeção oblíqua fica mais baixa que a vista 
fro nta l. 
Em resumo, para cada valor de a: a visibilidade do sóli-
do na projeção oblíqua é exatamente aquela que o sistema alemão apresenta 
para a: -- 180° (figura 202). 
3 . 4. 3. - Cavaleira 
Em consequencia do que ocorre no sistema geral or-
to-oblíquo, o traçado da perspectiva cavaleira, enquanto no sistema alemão 
deve começar pela face posterior (ou a que estiver enconstada no plano de 
projeção ), no sistema norte-americano deve começar pela face de frente (se .é 
ela que estã encostada no plano). Para ser obtido o mesmo aspecto nos dois 
sistemas devem ser tomados num e noutro angulosa: cuja diferença seja 180° 
(figura 203) . 
OBSERVAÇÃO: Para fac ilidade de comunicação esta-
mos usando linguagemde desenho técnico, fa lando em face de frente ou pos-
77 
6---~ ...... 
llOltTE· F=?1 
..... _L.5'--8 . 
terior, superior ou inferior, direita ou esquerda. Para uma generalidade geo-·' 
métr.ica deveríamos estar sempre falando em face superposta ao plano de pro-
jeção, e sua oposta como face paralela ao plano de projeção. O objeto pode 
estar apoiado pela face inferior, e sua oposta serã a superior; ou pela direita, 
com a esquerda como oposta. 
Para complementar a cavaleira como sistema de represen-
tação, o sistema norte-americano mostraria a proje,ção, de cima do só lao, 
acima da projeção oblíqua; a projeção da direita do só lido, à direita da proje-
ção oblíqua; e assim por diante. 
3. 5. - Exercícios Finais do Capítulo 
As figuras de números 204 a 223 são perspectivas cavaleiras de 
formas tridimensionais. Cada uma delas especifica o valor do fator K que foi 
utilizado na cavaleira. 
tes (tens: 
Para cada uma dessas formas determinar o que se pede nos seguin-
78 
3. 5. 1. - 3 vistas ortogonais no sistema mongeano. 
3. 5. 2. - Em caso de vãrias interpretações possíve is para a forma, 
complementar para o sistema orto-oblíquo ou para o sistema de representação 
li cavalefra, as diversas soluções imaginadas. 
3. 5. 3. - Nova perspectiva cavaleira var iando apenas o valor de 
K, no sentido de melhorar a imagem do sólido. 
3. 5. 4. - Nova perspectiva cavaleira variando o valor de a no sen-
1 ido de melhorar a imagem do sólido, variando ou não o valor de K simulta-
neamente. 
3. 5. 5. - Uma axonometria ortogonal que dê do sólido uma ima-
gem mais próxima possi'vel da cavaleira dada. 
3. 5. 6. - A representação no sistema de vista com sombra oblí-
oua. 
3. 5. 7. - A cavaleira no sistema norte-americano, para os mesmos 
valores de a e de K. 
1(. 1 I(• 1,5 
1(. 1 
1( = º·ª 
79 
1 
' 
80 
1(. 1,2 
K • O,!I 
K• 0,6 
I(• 0,1 
1( . 3/4 
81 
K•0,7 
82 
4. SISTEMAS DE PROJEÇÃO CÔNICA 
4. 1. - Sistema Ortocônico 
4. 1. 1. - Projeção Principal 
Assim como no sistema mongeano e no orto-oblíquo, 
no sistema ortocbnico o paralelep(pedo de referência é colocado com uma fa-
ce paralela ao plano do desenho e projetado ortogonalmente sobre ele (figura 
224). 
Portanto, a projeção principal é a mesma nos três siste-
mas. 
4. 1. 2. ~Projeção Secundária 
A complementação da projeção ortogonal é feita por 
uma projeção cbnica. Toma-se um ponto C, mais afastado do plano que o sóli-
do, para centro dessa projeção (figura 225) . 
A partir de C são projetados todos.os vértices do sólido 
sobre o plano do desenho. 
Para definir a posição de C, é dada sua projeção orto-
gonal C1 no plano, acompanhada da medida CC1 que traduz o afastamento 
do centro de projeção ao desenho (figura 226) . 
Vamos demonstrar que a projeção cbnica de qualquer 
vértice A do sólido, na projetante CA, está situada no ponto A1 onde essa 
projetante encontra C1 A 1 • De fato, como AA 1 e CC1 são paralelas (ambas 
perpendiculares ao plano) determinam um plano a, ao qual pertencem as re-
tas CA e C1 A 1 • Retas coplanares são concorrentes ou paralelas. O parale!is-
mo de CA e C1 A 1 só ocorreria se CC1 fosse igual a ÃÃ1 , hipótese afastada 
83 
quando tomamos e mais afastado do desenho que qualquer dos vértices do 
sól ido. Se CA e C1 A1 são então concorrentes, seu ponto de interseção A2 de-
ve pertencer ao p lano de projeção, jã que toda a re ta C 1A 1 estã contida nesse 
plano. 
Como lembramos no cap (tulo 3 ao analisarmos o siste-
ma orto-obl(quo, as figuras in icia is deste capitu lo estão ilustrando, em axono-
metria, o que acontece a três d ir .... nsões. 
Quando passarmos a executar propriamente este siste-
ma ortocôn ico só poderemos contar com o que est iver contido no plano de 
projeção. Em verdadeira grandeza, o ãngulo CC 1 A2 é reto (figura 227). 
e, 
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/ 
/ /O 
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Ai 
Marcando no plano o segmento C'C 1 = CC 1 formando 
90° com C1 A1, ter( amos o rebat imento de C em torno da charne ira C1 A 1. 
Traçando A1 A' p arale lo a C1 C' , e com o comprimento de AA 1 que traduz 
él d istância em que colocamos o vé rt ice A do plano de projeção, podemos li-
gar C' a A' e determinar A2 no prolongamento de C1 A 1. 
Se p referirmos escolher A2 em primeiro lugar, para evi-
tar que a projeção côn ica fique mu ito distante no desenho, ligando A2 a C' 
determ inar(amos A' e em conseqüência a d istância A'A 1 em que deveríamos 
ter colocado o vért ice A para obter aquela posição que escolhemos para A 2 . 
Para obter a projeção do vértice B, é fãcil perceber que 82 pertence a C1 A 1 
pois a projetante côn ica CB pertence ao plano do tr iàngulo CC1 A2 (figura 
228) . 
No triângulo rebHtido, marcando B' sobre A'A1 e tal 
que A'B' = AB , a reta C'B' determ ina 8 2 • 
Para cada um dos vértices D, E e F da face ADEF (figu-
ra 229)podemos apl icar o mesmo raciocín io usado para demo nstrar que A2 
pertence a C1 A1 ; concluiríamos que 0 2 estã em C1 D1 , que E2 estã em C1 E1 , 
e que F2 estã em C 1 F1. 
84 
Poderi'amos rebater o p lano CC1D1 em torno de C1D1 
para determ inar D2 ou rebater o plano CC 1 E1 para determinar E1 ou ainçla 
rebater CC1F1 para achar F2 . Mas a part ir do vértice A2 , podemos rapida-
mente encontrar 0 2, E2 e F2 . 
Basta notar na figura que AD , sendo parale la ao plano 
de projeção, tem projeção cônica A2 0 2 paralela a si mesma (e a A1 D,) . Da 
mesma forma, 0 2 E2 é paralela a 0 1 E 1 , E2 F2 é paralela a E1 F1, e F2A~ é pa· 
raleia a F 1 A1. Em resumo, a projeção cônica da face ADEF é um retâllJulo, 
se bem que maior que a própria face . 
4. 1. 3 . - Situação no Plano do Desenho 
Apl icando as considerações espaciais do {tem 4. 1. 2. 
ao que realmente temos que executar no plano do desenho, comecemos com 
a projeção ortogonal do paralelepi'pedo (figura 230) fixando a posição de C1 
e a med ida CC1 = 4 cm. 
Vamos escolher em C1 A 1 a posição de A2 (figura 231) . 
Construindo a perpendicu lar em C1, marcamos C'C1 = 4 cm. Completando 
o triãngulo C'C1 A2 • podemos determinar A'A1 paralelo a C'C1, que fornece 
a distànc ia do vértice A ao plano do desenho. 
Aproveitemos o triâ ngu lo C'C1 ~2 para dete rm inar o 
vért ice B do paralelep i'pedo que se projeta ortogonalmente coincidente com 
A 1 (f igura 232) . Para isso, basta marcar A'B' com o comprimento real d a ares-
ta AB , que devemos conhecer do próprio sól ido, e traçar C' B', determinando 
8 2 emC1B1. 
Para os demais vértices podemos evitar rebatimentos de 
C atentando para as considerações finais do ítem 4. 1. 2. O vértice D2 estã em 
C1D1 e na reta A2 0 2 parale la a A 1 D1 (figu ra 233); F2 estã em C1F 1 e na re-
ta A2 F2 paralela a A 1 F 1 ; E2 estâ em C 1E 1 e nas retas 0 2 E1 e F2 Ei, parale-
las respectivamente a D 1E1 e F 1E 1. 
85 
... 
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'· [, 115 f.,./ 8 A1 F, [, 
f.\ 
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/ I 1 \ / e. 0:0: / § '• !1 § 
O retângulo A2 D2 E2 F2 é proporcional aA 1 D1 E1 F 1 (homotetia de centro C1 ). 
A face posterior do paralelep(pedo também se projeta 
como um retângulo semelhante a A 1 D 1 E 1 F 1 (figura 234) . Como já temos um 
de seus vértices (8 2 ), é possível determinar os outros através de paralelas aos 
lados da projeção ortogonal. 
Resta aplicar um critério de visibilidade, pois o sól ido 
não é considerado transparente. Os vértices e faces visíveis são aqueles mais 
próx imos, no espaço, do centro C. No presente caso, a face ADE F é a que 
mais próxima está de C, P o sistema ortocõnico deverá representar o paralele· 
p(pedo com o aspecto da figu ra 235. O vértice oposto a D terá as três arestas 
que ne le concorrem representadas em linha tracejada. No campo do desenho 
técn ico poderão simplesmente desaparecer do desenho. 
86 
Ao 
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4. 1. 4. - Variai;,ão da Distânciado Centro de Projeção 
,e, 
A figura 235 apresenta o inconveniente de superpor 
parte da projeção cônica à projeção principal, ortogonal. Tal superposição 
poderia ter sido evitada se escolhês9emos inicialmente, em lugar de A2 , o vér-
tice do paralelepípedo à d ire ita de 8. 
Chamando de G este vért ice, poderfamos ter partido 
de G2 (figura 236) e rebat ido Cem torno de C1 G 1 , definindo o afastamento 
de G ao plano de projeção pela distância G'G 1 • Acima de G' seria marcado D' 
com o comprimento real da aresta GD e conseq(.ientemente, ter( amos D2 • A 
partir de G2 e de D2 , completaríamos a projeção cõnica do paralelepípedo. 
Para evitar a ampliação excessiva da projeção cônica, 
poderíamos aumentar a distância C7C1 , o que significa aumentar o afastamen· 
to do centro ao plano de projeção. 
A figura 237 mostra um mesmo paralelepípedo em 
quatro representações ortocônicas com a mesma posição de C 1 e d istâncias 
variadas para C'C 1 • que cresce de valor da primeira à últ ima. Quanto maior o 
afastamento do centro C ao objeto, mais de longe este parece estar sendo vis-
to na projeção cônica, e conseqüentemente menor é a sua deformação. 
4. 1. 5. - Variação da Projeção C1 no Plano do Desenho 
A região do plano onde é escolhido C1 influi nas faces 
visíveis do sólido. Considerando a projeção principal como a vista de frente, a 
posição das figuras anteriores mostra vis íveis as faces FRONTAL, SUPERIOR 
e DIREITA. 
Passando C1 para a esquerda da vista ortogonal, a pro-
jeção cônica mostrará a face esquerda em vez da direita (figura 238). Se C1 
for tomado aba ixo da projeção principal o sólido mostrará su~ face inferior 
na projeção cônica. Conforme C1 esteja à esquerda (figura 239) ou à d ireita 
87 
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(figura 240) o sólido niostrarâ a respectiva face lateral. 
,e, ~ .. 3,4cm,c, 
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1 
Observemos que a face FRONTAL é sempre vis(vel, p& 
ra qualquer posição de C1 , .desde que estamos considerando esta vista ortogo-
nal como projeção principal do sistema. Se a vista inicial fosse a SUPERIOR 
a .face de cima•do paralelep(pedo apareceria retangular, para qualquer posiçã~ 
de C1 • 
De qualquer forma, a visibilidade neste sistema é mais 
fãcit 'de .attabelecer que no sistema orto-oblíquo, uma vez que a face do sóli-
do mais próxima de C, ou seja, a face visível na projeção cônica, é sempre a 
RETANG.ULA·A M.AilS AMPUAOA. 
As posições de C1 utilizadas nas figuras 235, 238, 239, 
e 240 acarretam para a ·pr:ojéção cônica do sólido aspecto muito semelhantes 
aos:que 'Oferecem o -si!itema orto-oblíquo. 
Em relação à projeção ortogonal, tais aspectos ocorrem 
quando tomamos C1 .nas quatro regiões hachuradas da figura 241 , limitadas 
pelo pr.ofo(lgamento,dos lados da vista principal. 
88 
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A grande novidade do sistema ortocônico, que não 
apresenta similar no orto-oblíquo, é o aspecto da projeção cônica quando C1 
é tomado numa das regiões numeradas de 1 a 4 na figura 241 . 
Na região 1, C1 faz com que só apareçam visíveis duas 
faces do sólido (figura 242). Dois vértices estarão invisíveis, acompanhados de 
cinco arestas. Não havendo superposição de arestas, esta posição não prejudi-
ca a percep~ão tridimensional da forma. 
Na região 2, C1 igualmente reduz a ·duas as faces vis(· 
veis do sólido, só que a 2~ visível é agora a face supe~ior (considerando a 1~ 
a de frente) (figura 243). Na região 3 as faces vis(ve1s seriam a FRONTAL e a 
ESQUERDA (figura 244) e na região 4 as faces FRONTAL e INFERIOR (fi-
gura 245). 
Hã finalmente uma última região para situar C1 : dentro 
do contorno da vista ortogonal (figura 246) . 
89 
e; 
·e, 
...... 
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li 1 
face visível. 
Em tal posição o paralelep(pedo mostrarã apenas uma 
. . Para representar um sólido convexo essa re ião -
apresenta utll1dade. Mas para sólidos com cav idades como uma . g nao 
colocado no · · ... • · caixa oca C1 
seu mtenor poss1b1hta uma visão interna que nenhum o t • . 
tema é capaz de mostrar (figura 247). u ro s1s-
4
· 
1 
· 
6
· - Representação da Forma·Modelo 
Consideremos agora a representação de uma for . ~~esfigc~r~0 v::~~a t~~:;a=a s~~d~a~~~~~i~~ Paar~mnãqou:~t~ª~e01ªsur aas dd ~r:~:~:~ 
reais. s 1mensoes 
paralelepíped 1 O primeiro passo é representar no sistema ortocônico o 
o envo vente da forma, tendo escolhidas a vista ortogonal que 
90 
serll tomada como projeção principal, a posição de C1 e a sua distãncia Ct;1 • 
bem como a d istãncia do parale lepípedo ao plano (figura 248) . 
A seguir desenhamos a vista principal da forma no con-
torno da projeção ortogonal do paralelepípedo (figu ra 249). 
/ 
1 
1 
1 )--
• e. 
Lembrando que todos os pontos na projeção cônica se 
relacionam com a projeção ortogonal através de linhas convergentes em C1 , 
podemos projetar logo a face da forma que se localiza na face frontal dopa-
ralelepípedo (figura 250), bem como definir a largura da face que estã no 
topo do paralelepípedo e a altura da face que estã 'na face late ral do parale-
lepípedo. 
Para def inir a profundidade de qualquer face temos de 
contar com uma das arestas rebatidas (G'D' na figura 251) e sobre e la estabe· 
lecer um ponto M' correspondente à proporção das seções transversais do só· 
lido. 
1 
1 
1 
1 
1 
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1 
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e 
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1 
. _ A determinação de M2 permite definir na projeção cô-
nica .a ~çao retangular M2 N2 P2 0 2 onde se situam as faces a distância inter-
med1ãria entre a face frontal e a posterior do paralelepi'pedo. 
A partir dessa fase, paralelas horizontais e verticais 
bem como linhas convergentes em C1 , perm item determinar os vértices res.' 
tantes (figura 252). 
4. 1. 7. - Crítica de Representação 
Em relação ao quadrante do plano em que se situa C 
a posição da figura 252 é melhor que a dos outros quadrantes (figuras 253' 
254 e 255). ' 
da distância CC1 
ºe, 
92 
Para a mesma posição de C1 da figura 252, o aumento 
pode melhorar o aspecto da projeção cônica, conforme 
•e, 
•e, 
e, 
mostra a figura 256. Mas convém lembrar o que pode acontecer se tomarmos 
exageradamente grande essa medida CC 1 : tal como no sistema orto-oblfquo 
quando tomamos K muito reduzido, a forma darã uma impressão de achata-
mento no sentido de sua espessura, pois o aumento de CC1 acarreta a redução 
na projeção cônica das faces voltadas para cima e para o lado. 
Para destacar melhor as faces laterais do sólido deve 
ser deslocado C1 para baixo e para a direita, podendo ser tomado mais baixo 
que o topo da forma. A projeção cônica deixarã de mostrar a face mais alta 
do sólido (figura 257). 
•e, 
• e, 
Se o interesse for de mostrar·mefhor de cima que de I• 
do, C1 deve ser deslocado para cima e para a esquerd•, podendo ocupar ul'M 
posição que mostre completamente o espaço entre as duas saliências da for· 
m11 modelo (figura 258). 
4. 1. 8. - Representeçio de Citindro1 
Formas· compostas de · cilindros, completos ou ineom· 
pletos, ficam com representação mais simples, no sistema otocOnlco, quando 
a base de55es cilindros é tomada na visto& p-rincipal (figura 259). Nessa p0siçio, 
as bases na projeção cônica-aparecem como c<rcuk>s h~COS!Ct"I viste·or· 
togonal, sendo visível a mais amplrada. A-·attura do ciHndro depende no ·de• 
nho da distância l'.X1 e do afastamento do citMdro ao pla..a .Sendo necessàl'io tortm' outra vista eÕmo·principal, •· 
rã melhor tomar o paralelepípedo cifcumcnto ao cilindro e efetuar sua proje-
ção cônica (figura 260). 
Os quadrados das baees terfo tra~zbs ·como projeçlo 
cônica. As bases do cil indro serão projetadas como elipses inscritas neues tr• 
pézios. Como as bases circulares tangenciam u bases do parahtlep(pedo nos 
pontos médios dos lados, ess8S'elip1H tangenclarA'o as bases·dos trapézios nos 
93 
o 
e: 
'° ~ 
.. 
QI 
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'-
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' ·; 1 
• e, 
8 ~ 
p~ntos A e B para a base superior e nos pontos C e D para a base inferior. 
Quanto aos pontos médios dos outros dois lados de cada quadrado de ba• 
eles não se projetam na base média de cada trapézio, pois na direÇio da pro: 
fundidade segmentos iguais não se projetam com o mesmo comprimento. Ou 
util izamos a distância CC1 para determinar tais pontos médios ou simples-
~ente traçamos as diagonais dos trapézios e, através de sua interseção, loca· 
hzamos E e F na base superior e G e H na base inferior (figura 261). 
Após traçadas as bases elípticas, as retas verticais tan-
gentes a tais elipses completam a projeção cônica do cilindro (figura 262). 
. A m~ior diferença para o sistema orto-oblíquo, em 8P• 
rênc1a..: é o fato das duas elipses serem diferentes, enquanto na projeção oblf· 
qua sao congruentes. 
94 
/ 
/ 
/ 
D 
4. 1. 9. - Exercícios no Sistema Ortocôn ico 
4. 1. 9. 1. - Para cada forma montada no 1? cao(tulo. 
1 
1 
1 
1 
1 
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•e, 
•e, 
[ A 
1 
8 8 
tomar cada uma de suas vistas ortogonais como projeção principal do sistema 
ortocônico e escolher C1 e CC1 mais apropriados para obter a projeção côni-
ca. 
4. 1. 9. 2. - Representar no sistema ortocônico mais 
conveniente cada uma das peças representadas em axonom~tria ortogonal nas 
figuras de 107 a 126, do 2~ capítulo. 
4. 1. 9. 3. - Idem, para cada uma das formas dadas em 
vistas ortogonais nas figuras de 127 a 146, do 2? capítulo. 
4. 1. 9. 4. - Escolher C1 e CC1 mais adequados are-
presentar cada peça desenhada em cavaleira nas figuras de 204 a 223, do 3? 
capítulo, de forma a que o aspecto da projeção cônica se assemelhe o mais 
possível ao da cavaleira dada. 
4. 2. - Cavaleira Cônica 
4. 2. 1. - Como Perspectiva 
Esta denominação não é tão usada como a cavaleira 
propriamente dita, que é uma projeção cilíndrica conforme vimos no capítu-
lo anterior. Mas, em termos de perspectiva cônica, quando o objeto é tomado 
com uma face no plano do quadro, podemos usar a expressão "cavaleira ce>-
nica" para designar a projeção cônica do sistema ortocônico. 
Assim, em termos gráficos, se tomarmos um paralelepí-
pedo encostado no plano do quadro, sua projeção cônica do sistema ortocôni-
co cobrirâ inteiramente sua projeção ortogonal A 1 8 1 D1 E1 (figura 263). 
Essa projeção cônica, sem a utilização da projeção orto-
gonal que fica coberta, é o que se chama cavaleira cônica do paralelepípedo. 
Portanto, tudo o que foi visto para o sistema ortocôni-
co permanece vlllido para a cavaleira cônica, que é uma parte daquele sistema. 
95 
4. 2. 2. - Çavaleira Cônica como Sistema de Repre98ntação. 
Deixando de usar a projeção ortogonal, a cavaleira cô-
nica não é um sistema de representação, pois só conta com uma pr.ojeção da 
forma representada. Para completar a informação tridimensional, à semelhan-
ça da cavaleira cfündrica, poderíamos projetar o sólido no plano da base, des-
locando-o para baixo para evitar superposição (figura 264}. 
Também poderíamos projetar a forma no plano da face 
lateral, se essa projeção for mais simples que a efetuada na base (figura 265). 
Essas alternativas não são mais simples que complemen-
tar o sistema ortocônico, pois a vista ortogonal não apresenta as deformações 
cônicas das projeções na base e na face lateral. 
Não nos deteremos em -exerc(cios práticos desses siste-
mas, já que o ortocônico é incomparavelmente mais simples ·de·operar. 
4. 2. 3. - Crítica da Perspectiva 
Jã mostramos no cap(tulo 3, que toda perspllctiva ten-
ta reprodu·zir o mais fielmente poss(vel no deseflho a imagem visual que o ob-
servador recebe quando olha para.o obje.to. 
mana. 
Vamos considerar um pouco de fisiologia da .visão hu-
/-'Je' 
/ !/ 
/ / 
/ 
--- / 
r---:z=~V 
Imaginando um corite· vertical· do globo oculaf. de ·um 
obser.vador que o lhe um segmento AB · (figura 266), os ·raios luminasos·que 
atingem o olho vindos· desse segmento convef'g8m para o centro-do CRISTA-
LINO, lente natur-al' situada logo atrás da pl.tf!T~la, e acarretam a percepção da 
imagem na .RETINA em sua porção que reveste o fundo do olkG. 
A mesma figura compar:a tal situação com a projeção 
cônica de AB a partir de um centro C na :posição do cristalin0. Tom9Pldo o 
96 
plano de projeção por trás do segmento, sua projeção A3 6 3 é semelhante a 
A2 6 2 , que obter( amos com um plano de projeção na posição da retina huma-
na. 
• 
Portanto a diferença geométrica entre a imagem visual 
e a projeção côn:ca reside no fato da superfície interna do g!obo ocular ser 
aproximadamente esférica, enquanto que a projeção cClnica é obtida em um 
plano. 
No caso de uma cãmara fotogrãfica a imagem se projeta 
em um filme plano, e o centro C corresponde ao centro da lente objetiva. 
Desprezadas as imperfeições desta lente, a fotografia é praticamente idêntica 
à projeção cônica (figura 267). 
\1oltando ao olho humano, a aproximação do segmen-
to visado, de AB para A'B', aumenta de o: para o:' o ângulo dos raios lumino-
sos que partem dos extremos do segmento (figura 268). 
1 sso acarreta uma maior diferença entre a imagem ocu-
lar e a projeção cônica, pois A' 1 B' 1 está mais diferenciado de A' 2 B' 2 do que 
A1B1 está de A2 B2 . Portanto, a eficiência da perspectiva côn_ica aumenta 
com a distância do centro C ao objeto representado. Quando essa distância é 
bastante grande, o ângulo o: é desprez(vel, podendo. os raios luminosos de A e 
de B serem considerados paralelos. Teríamos assim a situação da perspectiva 
cilíndrica, como a cavaleira propriamente dita. 
Há ainda um detalhe fisio lógico que limita o ângulo a 
na visão humana. Embora teoricamente os raios luminosos consigam entrar no 
olho humano sob um ângulo a próximo a 180°, os pontos da retina que tais 
raios impressionam quase não têm mais sensibilidade (figura 269). 
A concentração das células sensíveis à luz (CONES E 
BASTONETES) é máxima na região em torno do eixo ocular, denominada 
MANCHA AMARELA. Quando a imagem do objeto visado recai inteiramen· 
97 
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te nessa região, todos os detalhes do objeto são percebidos pelo observador. 
Fo~a dessa m~ncha amarela a acuidade visual diminui rapidamente, até que a 
retina só consiga perceber objetos em movimento que perturbam a intensidade 
de luz incidente no olho. 
Combinando os dois fatores que prejudicam a conside-
ração de grandes medidas para o ângulo a, todos os autores de perspectiva cô-
nica limitam o valor desse ângulo. O máximo aceito é de 90° sendo 45º para 
cada lado do eixo ocu lar. ' 
Voltando à projeção cônica no plano do desenho em 
termos de perspectiva o centro c é a posição da pupila do observador. o ~ixo 
ocular se situa na direção CC1 (figura 270), ou seja, C1 é o ponto do plano 
para o qual o observador olha diretamente (denominado comumente de PON-
TO PRINCIPAL da perspectiva. 
Para limitar o ângulo visual a, o objeto a ser projetado 
deve se situar
0 
no interior de um cone de revolução de eixo CC1 e cuja gera-
triz forma 45 com o eixo. 
Naturalmente a projeção cônica do sólido ficará intei· 
ram~te contida no círculo da base deste cone, cujo raio C1 D mede a distân· 
eia CC1 do centro ao plano de projeção, já que o triângulo retângulo CC1 O é isósceles.Vejamos como controlar a situação na cavaleira cônica 
de um paralelepípedo retângulo. 
Partindo da sua face enconstada no plano (figura 271) 
escolhemos C1 e a distância CC1 , traduzida no círculo de base do cone vi'. 
suai, muitas vezes designado de C,.RCULO DE DISTANCIA. 
. Tomando o vértice mais afastado de C1 , no caso A1 , 
podemos determinar A2 rebatendo o plano projetante CC1 A1 e marcando 
A'A1 com a medida da espessura do paralelepípedo. Se completarmos a ca-
valeira cônica, tirando de A2 paralelas horizontais e verticais (figura 272), na-
turalmente a perspectiva do só lido extrapolará o c(rculo de distância, o que 
98 
Associaç~o LC1t ino Americano de Educação 
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D 
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significa que o paralelepípedo tem uma parte fora do cone visual limite. 
Antes mesmo de traçarmos a projeção do sól ido intei· 
ro, ao percebermos que um de seus vértices cai~ fora do círculo de d istância, 
temos duas alternativas para corrigir essa distorção: ou aumentamos o raio 
do c(rculo de distância .. o que significa afastar c do plano de projeção, ou 
aproximamos C1 do paralelep(pedo, mantendo o mesmo raio para o cí rcu lo 
de distância. 
A primeira alternativa está mostrada na figura 273, en-
quanto a segunda aparece na figura 274. Em ambas A2 está contido no círcu-
lo, e consequentemente todo o paralelep(pedo também estará. 
~ claro que poder( amos combinar as duas providências, 
afastando ao mesrno tempo C1 do sólido e C do p lano de projeção. 
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•1 8 (§ 
4. 2. 4. - Variação de C1 
No estudo do sistema o rtocônico já mostramos o aspec· 
to que apresenta a projeção cônica conforme a posição de C1 em re lação à 
vista pr incipal. 
Comentamos que as reg iões hachuradas acarretam si-
tuações semelhantes à cavaleira cilíndrica (figura 275) . Nas reg iões de 1 a 5 o 
sistema cônico mostra aspectos impossíveis ao sistema ci lí ndrico. 
leira cônica. 
Os mesmos comentários cont inuam válidos para a cava· 
Vamos acrescentar uma d iscussão a p ropósito da altura 
de C1 na região 1, quando o sólido está sendo visto de frente. 
Quando C1 está ligeiramente mais baixo que o sól ido 
(figura 276) , a perspectiva dá a impressão de representar um caixote como 
uma cabine telefônica, mais alto que o observador. 
Se C1 está abaixo da metade da altura do sólido este 
aparenta ser um edifício (figura 277). ' 
. Quanto mais próx imo C1 da base do sólido, maior pa· 
rece ser este ediffc io (figura 278) ; até chegarmos ao efe ito máximo de monu-
mentalidade para o sólido quando C1 é tomado na linha de base (f igura 279). 
4 . 2 . 5. - Sistema Norte-Americano 
Desde o início deste capítu lo est ivemos supondo o sóli-
do colocado em frente ao plano de projeção, seja no sistema geral ortocônico, 
onde o sólido está desencostado do plano, até a cavaleira cônica, quando o 
objeto é encostado ao plano de projeção. Este procedimento é t ípico do siste-
ma alemão, adotado pelas normas brasileiras. 
Precisamos lembrar, embora não trabalhemos no siste-
ma norte-americano, que neste sistema o sólido está situado atrás do plano de 
100 
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..__ __ __..__.J_ -~ e, 
projeção. 
Assim, na cavale ira cônica, o sólido está com sua face 
de frente (se esta for a principal) no próprio p lano do desenho. Escolhido C1 
e Cc1 (figura 280), o rebatimento de e em e· ex ig irá a marcação da espessu-
ra do sólido em 'A' A 1, em sentido cont rário ao de C' (lembrar que no nosso 
sistema A2 fica sempre fo ra do intervalo C1A1 ). 
Completando a part ir de A2 a projeção cônica do para-
le lep ípedo (figura 281 ) podemos observar que o mesmo sólido, para a mesma 
d istància CC1, apresenta uma cavaleira cônica mais reduz ida que no sistema 
alemão. 
Uma grande vantagem do sistema norte-americano é a 
escolha de CX1 para que o sólido se enquadre no cone visual, pois bastaria to-
marmos CC 1 > C1 B1 , onde B 1 é o vértice da face frontal mais afastado de 
e,. 
101 
1 1 
e, 
4. 2. 6. - Exercícios de Cavaleira Cônica 
e, __ ,,,,....., 
A, Aa / 
1 
/ 
4. 2. 6. 1. - Desenhar a cavaleira cônica de cada sólido 
representado no sistema ortocônico nos exerc(cios do (tem 4. 1. 9. escolhen· 
do C1 e Cc1 de forma que a perspectiva não extrapole o círculo d~ distancia. 
4. 2. 6. 2. - Desenhar a cavaleira cônica das 4 formas 
montadas no capítulo 1, escolhendo C1 na posição em que um observador 
olharia normalmente para cada um dos objetos na realidade. (Por exemplo, 
sendo a forma 1,1edifício de 10 andares, como seria visto por um .observador 
de pé em frenté ao mesmo, na rua,; sendo a forma 2 uma residência de 1? an· 
dar como seria visto ainda da rua em frente; a forma 3 sendo um barco, co-
mo 'seria visto por um observador em outro barco das mesmas dimensões; 
sendo a forma 4 um trator, como seria visto por um observador em pé na mes-
ma estrada.) 
4. 2. 6. 3. - Desenhar a cavaleira cônica no sistema norte-ameri· 
cano das formas representadas no exercício 4. 2. 6. 1. 
4. 3. - Axonometria Cônica de 2 Fugas 
4. 3. 1. - Posição do Sólido em Relação ao Plano de Projeção 
Vamos usar a denominação de axonometria cônica para 
um sistema que utiliza projeção cônica e aproxima o aspecto do sólido daque· 
leque é conseguido na axonometria ortogonal. 
Diferenciamos duas axonometrias cônicas: a de 2 pon-
tos de fuga e a de 3 pontos de fuga. 
Na axonometria de 2 pontos de fuga o paralelep(pedo 
retângulo deve ser apoiado no plano de projeção por uma de suas arestas AB 
(figura 282), mas as outras arestas devem estar fora desse plano. 
102 
Escolhido o centro de projeção C, podemos passar por 
ele uma paralela à aresta AE, que encontra o plano em F 1, e outra paralela 
à aresta AD, que encontra o plano em F2 • 
F 1 e F2 são os pontos-de fuga do sistema. 
É facil demonstrar que a reta F 1 F2 passa por C1, proje-
ção ortogonal de C. De fato, o plano CF 1 F2 é paralelo à face superior dopa· 
ralelepípedo, por conter retas paralelas. Na posição em que está o paralelepí-
pedo, sua face superior é perpendicular ao plano de projeção, e portanto, seu 
paralelo CF1 ·F2 também é perpendicular ao plano do desenho. Como F1 F2 
é a interseção do plano CF1 F2 com o desenho, deve conter C1 , pé da perpen-
dicular baixada de e ao plano. 
4. 3. 2. - Direção das Arestas na Projeção Cônica. 
As quatro arestas verticais do paralelepípedo, uma vez 
que uma delas (AB) está no próprio P.lano de projeção, são paralelas a esse 
plano. Tal como mostramos no sistema ôrtocônico, suas projeções cônicas se-
rão ainda verticais pois qualquer segmento paralelo ao plano tem sua projeção 
cônica paralela a si mesmo. 
Vejamos a direção em que se projeta a aresta AE (fi-
gura 283). O vértice A se projeta nele mesmo, uma vez que pertence ao p lano. 
A projetante CE e a aresta AE determinam um plano ao qual pertence 
CF1//AE. A interseção desse plano CF1AE com o plano de projeção é a reta 
F 1 A, pois estes pontos pertencem aos dois planos. 
Dessa forma, a projetante CE, só pode encontrar o pla-
no de projeção na reta F 1 A, que contém portanto a projeção A 1 E1 da aresta 
AE. 
O mesmo racioc(nio demonstraria que as outras arestas 
paralelas a AE se· projetam concorrentes em F1 • 
103 
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4. 
o 
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1 
Raciocínio semelhante demonstra que a aresta AD e as 
outras três arestas paralelas a ela se projetam concorrentes em F2. 
4. 3 . 3. - Determinação dos Vértices na Projeção Cônica 
Encontrar E 1 ou D 1 ou qualquer outro vértice na pro· 
jeção cbnica não é tão simples, no plano do desenho, como parece pela figura 
283. Naquela figura aparecem as projetantes CE e CD, que não estão no plano 
de projeção. Não podem, então, ser usadas no desenho da axonometriacôni· 
ca. 
Mas podemos rebater o triângulo CF1 F2 no plano do 
desenho, usando F1 F2 como charneira (figu ra 284). Se traçarmos o segmento 
AE' no plano do desenho, paralelo a F 1 C' e de igual comprimento à aresta 
AE, é .fãcil perceber que a reta C'E' passa em E1. Como F1 C' e AE' são ele· 
mantos do plano do desenho, esta é uma forma praticável de determinar E1 
na reta F 1 A. 
, e F 
4. 3. ~· - Situação no Plano do Desenho 
Passemos essas considerações, feitas até agora em pers-
pectiva ilustrativa da situação no espaço, para o plano do desenho. 
Do sólido, só conhecemos inicialmente a aresta vertical 
AB que estã apoiada no plano (figura 285). Do centro de projeção, temos de 
escolher a projeção ortogonal C1, que define a reta F 1 F2 , conhecida em lin· 
guagem de perspectiva como LINHA DO HORIZONTE. Nesta linha podemos 
escolher livremente a posição de F 1 e de F2. 
Com esses elementos o sistema estâ determinado. Não 
é preciso escolher a distância CC1, pois ela já está definida ao serem escolhi· 
dos os pontos C1 , F 1 e F2 . 
104 
De fato (figura 286). para construir o tr iângulo 
C'F 1 F2 , rebatimento de CF 1 F2 (ver figura 284). sabemos que o ângu lo F 1 C' 
F2 é reto (lembrar que CF 1 e CF2 são as direções das arestas do .paralelepí· 
pedo retângulo). Como ângulo reto, estâ inscrito numa semi-circunferência de 
diâmetro F1 F2. C1 é o pé da altura do triângulo C'F 1 F2, e levantando de C1 
a perpendicular a F 1 F2 determinamos C' na semi-circunferência. . 
A distância C'C1 é o afastamento do centro de proJe· 
ção e ao plano do desenho. 
Se o operador do sistema preferir escolher a d istância 
C'C1 em primeiro lugar, é só definir apenas um dos pontos de fuga (F1 ou 
F2 ) . O segundo desses pontos será obtido graficamente em função da fuga es-
colhida e da medida C'C1. 
Por exemp lo, tomando inicia lmente C1 e F 1 (figu ra 
287) a altura C'C1 definirá o triângulo retângulo C'C1F1. A partir de C', uma perp~ndicular a C'F 1 determinarâ F2 na linha do horizonte. Construção se· 
melhante será usada para achar F 1 se forem dados C1 e F2 . 
A ] 
B 
Voltando à situação da figura 286, vejamos como de· 
terminar E1. Lembrando que A 1 E1 vem de F 1 (figura 288). traçamos AE'// 
F1 C' e com o comprimento real da aresta AE do paralelepípedo que quere· 
mos representar. 
A reta C'E' determina E1 sobre F1A1. 
Para a aresta AD o procedimento é análogo, usando F2 
(figura 289). 
De A traçamos AD'//C' F2 e com o comprimento da 
aresta AD. A reta C'D' determina D1 na reta F2A1. 
A partir de D 1 e F 1 podemos completar a projeção cô· 
nica da face superior do paralelepípedo (figura 290). traçando retas F 1D1 e 
F E Dos vértices dessa face baixamos as arestas verticais do paralelepípedo. 2 1 . . f 
De 8 1 , retas vindas de F 1 e F2 completam a face in e· 
105 
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' •' 1 
1 
/-
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I 
8 •• 8 
, 
rior do paralelepípedo fornecendo . 
lido (figura 291). ' a axonometrra cônica de 2 fugas deste só-
. Notemos a visibilidade das arestas 
três do sólido em relação ao observador situado em C. , pois AB estã por 
4. 3. 5. - Crítica do Sistema 
Como perspectiva a axo t · . 
normalmente se aproxima mais da . ~, . nome rra cônica de 2 fugas 
Mostra a imagem do objeto como ~s=~t'humana do que a cavaleira cônica. 
uma aresta, como um edifício visto de e ive_sse sendo º!h:do de frente para 
deseja ver a face frontal e a lateral ao mes:~·t:~:o.ª pos1çao normal de quem 
As ºb ºl"d d 
d ~ poss1 ' ' a es de variação do aspecto do sól'd presenta o sao bem maiores qu 1 • • 1 o re-
em relação ao objeto, bem com~ :~a~::: Ce1rda côln1ca. dPodemos deslocar C1 
o P ano o desenho. Mas hã 3 
106 
maneiras distintas de afastarmos este centro de projeção do plano: 
ou deslocando F 1 para a esquerda, ou deslocando F'2 para a direita, ou afas-
tando F 1 e F'2 ao mesmo tempo. É claro que as fugas não podem deixar de 
estar na linha do horizonte. 
Na figura 292 podemos ver, de fato,~ o desl~men­
to de F 1 para nova posição F' 1 implica em acréscimo de C1 C' para C1 C", o 
que significa no espaço, que C se afasta do plano do desenho. 
A figura 293 mostra que o mesmo acontece se fixarmos 
F1 e C1 edeslocarmosF2 pàra F'2 ,oqueacarretaacréscimodadistânciaCC1 • 
A terceira maneira de aumentar essa distância estã ilus-
trada na figura 294, onde deslocamos ao mesmo tempo F 1 para F' 1 e F2 para 
F' 2 , conservando a posição'de C1 . 
Mas qual é o efeito de cada uma dessas opções na pers-
pectiva do sólido? 
A figura 295 compara duas axonometrias do mesmo 
paralelepípedo com a única diferença na· posição de F 1 , de uma para a outra. 
Podemos notar que o efeito visual corresponde a um giro do sólido em torno 
da aresta AB, passando a mostrar melhor sua face de frente que a lateral. 
Se usássemos a segunda opção, conservando F 1 e afas-
tando F2 para a direita, obteríamos o efeito oposto: a face lateral seria mais 
destacada em prejuízo da frontal. 
A figura 296 mostrará que o afastamento simultâneo 
de F 1 e F2 , desde que na mesma proporção, não destaca mais uma face 
em relação à outra, porém o efeito total é uma menor deformação do obje-
to representado. 1 sso decorre de ficar o sólido mais no interior do cone vi· 
suai limite, que já analisamos na cavaleira cônica, cuja base no plano do de-
senho é o círculo do centro C1 e raio CtC'. 
107 
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A 
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F,- • e, 
'· A 
® s 
Quanto à altura da linh d h · baixa do que o sólido a axonometr'a ô . a o orizonte, se ela estiver mais 
lelepípedo (figura 297). ' c nica mostrará a face inferior do para-
~ 
, e, F 
® • GlB ,, - ...1.. 
_ A parte inferior da mes f' 
sólido se a linha do horizonte for to ad ~a rgura mostra o aspecto do 
R 
m a a meia altura do paralelepípedo 
esta fazermos uma ad ê - · 
do horizonte. Essa denominação pod 1 vert nc1a sobre o uso da linha 
nha é função da posição do paralel e( e~ar o operador a esquecer que tal li-
AB, que estâ no plano for inclinada ~~·:e º2~~) p lano do desenho. Se a aresta 
rão alinhados numa perpendicular a ~Bura - , o~ pontos de fuga e C1 esta-
será inclinada. A aresta AB horizontal -'e a~s1~ a linha do horizonte também 
uma vertical. rmplrcaria em ser a linha do horizonte 
108 
A/ e, 
./ 
4. 3. 6. - Representação da Forma-Modelo 
Vamos tomar a primeira forma-modelo do primeiro ca-
pítulo para representar em axonometria cônica de 2 fugas. Devido às dimen-
sões da figura modulada, tomemos todas as suas arestas 4 vezes menor. 
O primeiro passo é representar o paralelepípedo cir-
cunscrito. Escolhidos os elementos do sistema, o paralelepípedo estâ represen-
tado na f igura 299. 
Os detalhes do sólido na d ireção vertical devem ser 
marcados em sua altura real na aresta que estã no plano (figura 300), e retas 
convergentes em F 
1 
F
2 
determinam as d iversas seções horizontais do parale-
lepípedo onde estão situadas faces da forma-modelo. As div isões do sólido na 
direção da largura e da profundidade devem ser obtidas a partir de C' e das 
arestas em verdadeira grandeza (figura 301), obtendo-se as seções verticais 
do paralelepípedo onde ex istem faces do sól ido. 
109 
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' ·~ 
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1 
~ 
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' 
' 1 
A complementação da perspectiva é uma questão de 
atenção no traçado de verticais, convergentes em F1 e em F2 (figura 302). 
4. 3. 7. - Exercícios de Axonometria Cônica de 2 Fugas 
4. 3. 7. 1. - Representar em axonometria cônica de 2 
fugas os sólidos desenhados em axonometria ortogonal nos exercícios do 29 
ca~ítulo, escolhendo as fugas de modo a conseguir a mãxima semelhança de 
cada peça nos dois sistemas. 
4. 3. 7. 2. - Desenhar com duas fugas a projeção cô· 
nica dos sólidos desenhados em cavaleira cônica nos exercícios 4. 2. 6. 
4. 4. - Axonometria Cônica de 3 Fugas 
4. 4. 1. -Posição do Sólido em Relação ao Plano de Projeção 
O aspecto do sólido representado em axonometria cô-
nica de 2 fugas só se assemelha à axonometria ortogonal quando a linha do 
horizonte estâ acima ou abaixo do objeto. Quando atravessa o sólido, como 
na figura 297, a linha do horizonte não mostra 3 faces do paralelepípedo, co-
mo sempre acontece no sistema ortogonal. 
A axonometria cônica de 3 fugas, por esse lado, é mais 
perfeita que a de 2 fugas. Para começar, o paralelepípedo, em relação ao pi• 
no de projeção, estâ na mesma posição da axonometria ortogonal, isto é, com 
as 3 retas oblíquas (figura 303). Se tomarmos um dos vértices A no plano, to-
dos os outros vértices estarão fora deste. 
Em conseqüência, tomando um centro de projeção C, 
as paralelas tiradas desse ponto às 3 arestas do paralelep(pedo encontram o 
. plano nos pontos F 1 , F2 e F 3, as três fugas do sistema. 
e, Fz 
s 
Como sempre nos referimos ao paralelepípedo retãngu-
Jo que circunscreve o sólido, o triedro CF 1 F2 F3 será triortogonal, isto é, os 
ângulos F1 CF2, F2 CF3 e F3 CF1 são retos, em verdadeira grandeza. 
Temos assim a mesma situação da axonometria ortogo-
nal. Se projetarmos ortogonalmente Cem C1, este ponto serão ortocentro do 
triângulo F1 F2 F3 (figura 304). 
Portanto, se forem dadas as três fugas do sistema, não 
mais poderá ser escolhido o ponto C1 em qualquer lugar no plano do dese· 
nho. 
Mais ainda: a distãncia êê1 também fica determinada. 
Para obtê-la basta construir o triângulo retângulo CHF 3, do qual se conhecem 
a hipotenusa (altura F3 H do ~iãngulo F 1 F2 F3) e o pé da altura (C1 ). 
e 
4. 4. 2. - Repre•ntação do Paralelepípedo Radngulo 
Jã no próprio desenho, comecemos por escolher a posi· 
ção A do vértice do sólido que esté no plano, e os pontos F1 , F2 e FJ. Ge· 
reimente F1 e F2 são tomadOs numa horizontal. Traçando as alturas do triãn· 
guio F'l F2 F3 determinamos C1 (figura 305) . 
Por um raciocínio análogo ao adotado para os outros 
sistemas cOnicos, demonstraríamos facilmente que as 3 arestas do paralelep(. 
pedo que saem do vértice A se projetam conicamente cada uma na direção de 
uma das fugas do sistema (figura 306) . 
Rebatendo uma das faces do triedro das fugas, isto é, 
construindo o triàngulo F1 C'F2 , determinamos atrav4.s da largura real do só-
lido marcada em AB'//C'F1 a projeção cônica 8 1 de outro vértice do parale· 
lepípedo. 
Um terceiro vért ice 0 1 pode ser encontrado através 
do comprimento do sólido, marcado em AD'//C'F2 (figura 307). A iustific• 
111 
•• 
tiva dessas construções é a mesma mostrada na axonometria de 2 fugas (ver 
4. 3. 3 e 4. 3. 4). 
A altura do paralelepípedo não estarã em verdadeira 
grandeza. Construindo outra face do triedro das fugas (C"F1 F3 ) podemos 
marcar a altura do st>lido em AE'//C" F3 e determinar E1 (figura 308). 
Temos então as três arestas que saem de A representa-
das na projeção cônica. 
Dos vértices 8 1, D1 e E1 saem arestas convergentes nas 
3 fugas, que completam três faces do paralelepípedo, definindo os vértices 
G1 ,H1 e 11 (figura 309), Desses pontos fechamos o sólido no vértice J 1. Deve 
ser notada a visibilidade da projeção, pois o vértice A fica por trãs do sólido e 
as três arestas nele concorrente são invisíveis. 
112 
4. 4. 3. - Crítica do SiSUtma 
Na axonometria cônica de 2 fugas jã hã mais riqueza de 
situações que no sistema or:to·cônico. Na de 3 fugas, ainda é maior essa liber· 
dade de escolha do ângulo e da d istância aparente do objeto representado. 
A figura 310 mostra duas axonometrias do mesmo sóli-
do onde C1 ocupa a mesma posição e a segunda tem as t rês fugas mais afasta-da~ que a pr imeira. Evidentemente o efeito ~e deformação é bem m~r 
na segunda, pois quanto maior o triàngulo F 1 F1 f3 , maior é a d istància CC1 
(lembrar ítem 4. 4. 1) . 
De fato, se determinarmos graficamente essa d istància 
nas duas axonometrias (figura 311), podemos notar que na segunda o cí rculo 
.de distància é bem mais amplo, distanciando·se mais seu perímetro da proie· 
ção do paralelepípedo. 
/ 
I e 
Notem que a axonometria ortogonal é o limite de uma 
axonometria cônica de 3 fugas quando fixamos C1 e fazemos F 1. F1 e f3 se 
afastarem indefinidamente. 
Se fixarmos duas das fugas e afastarmos a terce ira inde· 
finidamente (lembrando que o triângulo F 1 F1 F3 deve ser sempre acutângulo) 
o limite da axonometria de 3 fugas serA uma de 2 fugas. 
F ixando uma só das fugas e afastando as duas outras 
indefinidamente, teremos como limite a cavaleira cônica, pois e, tenderá a se 
confundir com essa fuga fixa. 
Serã obtida uma cavaleira obl íqua se também a terceira 
fuga se afastar indefin idamente do sólido, levando consigo o ponto C1 . 
Portanto a axonometria cônica de 3 fugas é o sistema 
mais genérico possível entre ~aqui estudados, pois todos os outros podem 
ser considerados como casos particulares dele. 
113 
i ~ V 
( 
. 
1 
~ 
4. 4. 4. - Exercíci~s da Axonometria Cônica de 3 Fugas 
4. 4. 4. 1. - Representar as 4 formas-modelo do 1!'.> ca-
p(tulo em axonometria cônica, com as seguintes dimensões para o triãngulo 
F1 F2 F3: 
a) - F 1 F i -= F 2 F 3 = F 1 F 3 = 15 cm 
b) -F1 F2 =F2 F3=15cm F1F3=18cm 
c) - F1F2 =F 1 F3 =18cm F2 F3 =15cm 
d) - F 1 F3 = F2 F3 = 15 cm F 1 F2 = 20 cm 
e)-F 1 F2 =15cm F2 F3=20cm F1 F3 =18cm 
4. 4. 4. 2. - Representar com 3 fugas os sólidos repre-
sentados em 2 fugas no exerc(cio 4. 3. 7. 1., escolhendo F1, F2 e F3 de tal 
forma que o aspecto de cada objeto se aproxime mais da axonometria ortogo-
nal. 
4. 5. - Sistemas Bicõnicos 
4. 5. 1. - Visão Estereoscópica 
Comparamos a projeção cônica com o mecanismo do 
olho humano. Mostramos que a analogia é mais perfeita que a existente para 
as projeções cilíndricas. 
Lembramos agora que possuímos dois olhos. O segundo 
serve apenas de reserva ou reforço para a visão do primeiro? Ou haverá algum 
efeito na visão conjunta dos dois? 
Poucas espécies animais concentram os dois olhos ao 
mesmo tempo no objeto visado. A maioria possui cada olho em um dos lados 
da face. Essa anatomia só permite ver com um olho de cada vez. A vantagem 
disso é um campo visual total mais amplo, pois o olho direito percebe quase 
tudo que está à direita do ànimal e o esquerdo percebe o lado oposto, sem ne· 
cessidade de movimento da cabeça. 
A grande desvantagem é a falta da vi são estereoscóp ~ 
ca, conquista da evolução conseguida pela espécie humana. Quando visamos o 
objeto com ambos os olhos, cada um deles recebe uma imagem um pouco 
diferente de que recebe o outro, uma vez que eles estão separados por uma 
distância situada em torno de 6 a 7 cm. Seria de se esperar que percebêsse· 
mos o objeto com imagem dupla, mas tal não acontece. Pela propriedade 
mental denominada visão estereoscópica, o objeto que olhamos aparenta ser 
único, apesar de visto diferentemente pelos dois olhos. A principal conseqüên· 
eia prática dessa propriedade é a sensação de profundidade do campo visual. 
Graças a ela podemos destinguir de dois objetos qual o mais próximo, ou de 
um mesmo objeto qual o seu ponto mais próximo e qual o mais afástado. 
114 
Há uma experiência recomendada freqüentemente em 
livros de ótica e que ressalta nítidamente a estereoscopia. Tomemos u~ lá· 
pis em cada mão e tentemos tocar a ponta de um na ponta do outro, vindo 
um da direita e 0 outro da esquerda. Com os dois olhos qualquer um acertará 
na primeira tentativa. Mas experimentem fazer is~ com um do~ olhos fecha· 
dos. A visão monocular não dá nenhuma sensaçao de .profundtda~e a curta 
distância. o êxito da tentativa se dará somente com a a1uda do sent.1~0 do ta· 
to. Notem que será muito mais fácil tocar as pontas dos dedos, e a d1f1culdade 
será crescente com o tamanho do lápis. 
Esse efeito estereoscópico diminui rápidamente quando 
0 objeto visado se afasta do observador.i.; claro que quanto mais distante esti· 
ver menor será a diferença de aspecto entre as imagems dos dois olhos. A 
gra~des distâncias passa a predominar o critério de proximidade do ~bjeto 
com um outro de dimensões bem conhecidas. Por exe~plo, p.ara avali arn:i~s 
as dimensões de uma pedra ou de uma árvore que esteia a mais de u.m quilo· 
metro, podemos conseguir uma boa aproximação se junto dela estiver uma 
pessoa, ou um animal de tamanho bem conhe~ido. 
4. 5. 2. - Projeção Bicônica 
Voltando à comparação com as projeções cônicas, qual· 
quer dos sistemas que analisamos neste capítulo só utiliza um cent~o-de pr~~e­
ção. Portanto, todos eles reproduzem com maior ou menor .prectsao a v1sao 
monocular, semelhante também à fotografia simples, ou ao cinema, ou à tele· 
visão. 
Para conseguirmos uma projeção que reproduza a visão 
estereoscópica, o primeiro passo é efetuar uma projeção bicônica do. o~jet.o 
(figura 312). Bastaria tomarmos dois centros D e E separados pela d 1sta~c1a 
entre os centros dos olhos de uma pessoa, projetando conicamente o ob1eto 
no. mesmo plano à partir desses dois pontos. 
Surge a( uma prim"eira dificuldade: a distância DE varia· 
ria com a pessoa a quem seria destinado o desenho, pois cada um tem uma 
distância diferente entre seus olhos. Por sorte essa variação não é mu ito gran· 
de, pois entre a menor e a maior possíveis, em adultos, a diferen?a é pouco 
maior que 1 cm. Tomando-se DE igua l a 6,7 cm teremos uma méd ia razoável. 
Se, após desenhadas as duas projeções cônicas, o obser· 
vador se colocar em frente ao desenho e de tal forma que seu olho d_ireito fi. 
que com a pupi la exatamente em D e seu olh~ esquer~o com a pupila em. E 
(figura 313) , poderá iludir sua mente tendo a 1mpressao de e~ta~ com o ob.Je· 
to presente em frente ao quadro. Basta para isso que o olho d.'re1~0 só co.ns1~a 
ver a projeção cônica fe ita do centro D, e o olho esquerdo so veia a pro1eçao 
fe ita de E. 
Eis a segunda e maior dificuldade : norma lmente cada 
olho vê as duas 'figuras, pois seria quase impossível um treinamento visual que 
115 
~. 
--
chegasse ao ponto de fazer com que cada olho abstraisse a projeção que não 
lhe é destinada. 
Há vários processos de separação das imagens. Os próxi-
mos (tens descrevem os principais. 
4. 5. 3. - Perspectiva pela Disposição Norte-Americana 
Se o objeto for colocado por trás do plano de projeção, 
e a uma distância conveniente, será possível conseguir que as duas projeções 
cônicas, a partir de D e E, fiquem separadas entre si (figura 314). 
t c laro que as dimensões do objeto não deverão supe-
rar a distância DE. Se tomarmos o objeto muito longe, o efeito estereoscópico 
será insignificante. 
Colocando uma p laca opaca em frente ao plano do de· 
senha (figura 31 5) e pass!Jndo e ntre as duas projeções cônicas, é possível ao 
116 
1 
1 
1 
1 
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• .1· ,: ::1!.---::L-"--~ - - 1 1 
1 
1 
observador fazer com que cada olho só veja a figura que foi feita para ele. 
Essa placa pode ser um papel cartão ou uma prancheta de duratex. 
A figura 316 mostra a projeção bicônica da forma mo-
delo do primeiro capítulo. Para obter nela a visão estereoscópica do objeto 
o observador deve olhá-la de uma distância de 25 a 30 cm e bem em frente à 
fgura. O anteparo separando as duas projeções deve ficar perpendicular ao pa· 
pel do desenho. 
t necessário um treinamento visual para conseguir a fu· 
são numa só, dessas duas imagens distintas recebidas uma em cada o lho. 
Quando isso for conseguido, o observador deverá ter a impressão de estar 
olhando para o próprio objeto, visto de cima. Poderá comparar tal sensação 
com a visão direta do sólido, que foi montado no primeiro cap ítu lo. Para 
comparação, colocar objeto a 50 cm dos o lhos. 
4. 5. 4. - Anaglifo 
Para separar as duas projeções cônicas o objeto tem que 
ser muito afastado e o efeito estereoscópico fica um pouoo prejudicado. Há 
outro artifício para separar oticamente uma projeção para cada olho, mesmo 
quando elas se superpõem no desenho. 
Na figura 317 estamos chamando D, no plano, a pro· 
jeção destinada ao olho direito , e E a projeção destinada ao o lho esquerdo. 
l 
Suponhamos que a projeção D foi desenhada com tin· 
ta vermelha e a E com a tinta da cor complementar, ou seja, verde. 
Ao olhar para o desenho na posição correta, se o obser· 
vador colocar em frente ao olho direito um filtro de cor verde na mesma tona-
lidade da figura E este olho não destingu irá essa f igura no papel, que ele vê 
todo verde. 
117 
A figura D, em vermelho, apareceré como desenhada 
em preto para esse olho, pois a luz vermelha não atravessa o filtro verde. 
O olho que está no ponto E recebe um filtro vermelho, 
que o tornará incapaz de perceber a projeção D, já que vê todo o papel verme-
lho. Em compensação a figura E lhe parecerá estar em linha preta, já que a luz 
verde não atravessa o filtro vermelho. 
Dessa forma, cada olho receberá o desenho que lhe foi 
destinado, e será conseguida a ilusão da presença real do objeto. 
Deixamos de exemplificar um anaglifo neste trabalho, 
pelo fato de não contarmos com impressão a cores. Cada um pode tentar ob-
ter esse efeito. Lembramos ser necessário conseguir, para os filtros, papel co-
lorido transparente (celofane ou plástico) da mesma tonalidade da tinta em-
pregada no desenho. 
O mesmo princípio vem sendo empregado no cinema, 
nos filmes chamados de "terceira dimensão". Também alguns livros já tiveram 
até fotografias impressas em anaglifos. 
i: preciso· notar que esse processo acarreta um grande 
cansaço ocular e não pode ser utilizado constantemente por um longo perío-
do. Cada olho, ao passar muito tempo recebendo somente luz verde ou ver-
melha, apresenta grandes desgastes nos seus cones, células da retina sensíveis 
à cor. 
4. 5. 5. - Estereoscópio 
Aqueles que se dedicam à cartografia ou à aerofoto-
grametria, como engenheiros e geólogos, terão oportunidade de lidar com o 
estereoscópio. ~ um instrumento ótico simples, que, por meio de lentes e pris-
mas, consegue separar para cada olho a imagem que se lhe destina. Não inte-
ressa desenvolvê- lo aqui em deta lhes, pois sem tê-lo em mãos tal descrição se-
ria infrutífera. 
4. 6. - Exercícios Finais do Capítulo 
4. 6. 1. - As figuras de número 318 ao número 327 estão dese-
nhadas em cavale ira cônica. Representar os mesmos sólidos nos sistemas dos 
capítulos 2 e 3. 
4. 6. 2. - As figuras do número 328 ao número 335 estão dese· 
nhadas em axonometria cônica de 2 fugas. Representar os mesmos sólidos nos 
sistêmas anteriores. 
4. 6 . 3. - As figuras do número 336 ao número 341 estão dese-
nhadas em axonometria cônica de 3 fugas. Representar os mesmos sólidos nos 
sistemas anteriores. 
118 119 
'e:, 
120 
e:, 
• e:, 
•e, 
e:, 
e, 
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121 
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-
l 
122 
PARA DESTACAR E MONTAR-t 
4 
/~ c/L 
PARTE t 
PARTE 3 
ESQUEMA DE 
MONTAGEM 
/ / 
123 
1~~1 
124 
PARA DESTACAR E MONTAR-2 
ÂSPECTO FRONTAL 
ASPECTO POSTERIOR 
5cm 
1 
2 
Associêçt: Latino Americano de Educaçac 
. PARA D.ESTACAR E MONTAR1-3 
, .. _ · .. 
.... , 
r 
i 
! .~·) l. ..... ·-·-··"··-············-··· 4 
Sem 
' 
125 
126 
6cm 
1 
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