Estatistica AD1

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UFF – Universidade Federal Fluminense
Curso: Administração Pública
Disciplina: Estatística aplicada a Administração 
Aluno: Rafael Jorge Silva Lopes Machado
Matrícula: 16213110256
Polo: Campo Grande
Avaliação a Distancia 1
Questão 1 – Numa repartição pública, processos são avaliados como tendo algum problema (P) ou não (NP). Os processos são inspecionados e sua condição é registrada. Isto é feito até que dois processos consecutivos tenham algum problema ou após quatro inspeções, o que ocorrer primeiro. Com base nessas informações, faça o que se pede: 
a) Descreva o conjunto que caracteriza o espaço amostral do experimento. 
O conjunto que caracteriza o espaço amostral do experimento é definido por todos os resultados possíveis do experimento, ou seja, o conjunto S={P, NP}, onde P é a probabilidade de um processo ter um problema e NP é a probabilidade de um processo não ter nenhum problema.
b) Com base no espaço amostral, determine a frequência relativa de eventos que façam com que as inspeções sejam interrompidas com até três processos verificados. 
Evento: {(P,P); (NP,P,P); (NP,NP,NP,NP); (P,NP,NP,NP); (P,NP,P,NP); (P,NP,P,P); (P,NP,NP,P); (NP,P,NP,NP); (NP,P,NP,P); (NP,NP,P,NP); (NP,NP,P,P); (NP,NP,NP,P)}
Total de Processos: 12 eventos
Interrupção com até 3 processos: Evento: {(P,P); (NP,P,P)}
Frequência Relativa: 2/12 0,166 17%
Questão 2 – Uma pesquisa foi conduzida a fim de estudar a variabilidade de respostas fisiológicas do fitoplâncton marinho no litoral sul de São Paulo. Diversas variáveis foram investigadas em amostras de água na condição natural e submetidas a quatro situações experimentais definidas de acordo com a luminosidade ambiental (10% e 100%) e a condição da água (N= com nutrientes e SN= sem nutrientes). Os dados da tabela referem-se a medidas de clorofila a (mg.m3).
Quadro: Dados das amostras de água 
a) Calcule a média, a mediana e a moda para cada uma das amostras. 
Amostra 30%SN:
Média= 6,2+4,8+3,0+5,6+7,1+4,8/6 Média= 31,5/6 Média= 5,25
Rol ={3,0; 4,8; 4,8; 5,6; 6,2; 7,1} Md= 4,8+5,6/2 Md= 10,4/2 Md= 5,2
Mo= 4,8
Amostra 30%N:
Média= 12,7+11,3+9,3+9,5+11,7+15,3/6 Média= 69,8/6 Média 11,63
Rol= {9,3; 9,5; 11,3; 11,7; 12,7; 15,3} Md= 11,3+11,7/2 Md= 11,5
Mo= Amodal
Amostra 100%SN:
Média= 7,0+4,4+3,8+5,0+5,5+3,2/6 Média= 28,9/6 Média 4,82
Rol={3,2;3,8;4,4;5,0;5,5;7,0} Md= 4,4+5,0/2 Md= 9,4/2 Md 4,7
Mo= Amodal
Amostra 100%N:
Média= 8,3+7,1+11,7+10,0+8,5+12,4/6 Média= 58/6 Média 9,67
Rol= {7,1; 8,3; 8,5; 10,0; 11,7; 12,4} Md= 8,5+10,0/2 Md= 18,5/2 Md= 9,25
Mo= Amodal
b) Calcule a variância e o desvio-padrão de cada uma das amostras. 
Amostra 30%SN:
Média= 5,25
n=6
S2= (6,2-5,25)2+(4,8-5,25)2+(3-5,25)2+(5,6-5,25)2+(7,1-5,25)2+(4,8-5,25)2/5
S2=9,915/5
S2 1,98
S= 1,98 1,41
 Amostra 30%N:
Média= 11,63
n=6
S2= (12,7-11,63)2+(11,3-11,63)2+(9,3-11,63)2+(9,5-11,63)2+(11,7-11,63)2+(15,3-11,63)2/5
S2= 14,89/5
S2 2,98
S= 2,98 1,73
Amostra 100%SN:
Média= 4,82
n=6
S2= (7-4,82)2+(4,4-4,82)2+(3,8-4,82)2+(5-4,82)2+(5,5-4,82)2+(3,2-4,82)2/5
S2=9,09/5
S21,82
S=1,821,35
Amostra 100%N:
Média=9,67
n=6
S2=(8,3-9,67)2+(7,1-9,67)2+(11,7-9,67)2+(10-9,67)2+(8,5-9,67)2+(12,4-9,67)2/5
S2=21,53/5
S24,31
S=4,312,08
c) Calcule os coeficientes de variação para cada uma das amostras. 
Amostra 30%SN:
Média= 5,25
S= 1,41
g=(S/)*100 =(1,41/5,25)*100=0,2686*100 26,86%
 Amostra 30%N:
Média= 11,63
S= 1,73
g=(S/)*100 =(1,73/11,63)*100=0,1488*100 14,88%
Amostra 100%SN:
Média= 4,82
S=1,35
g=(S/)*100 =(1,35/4,82)*100=0,2801*100 28,01%
Amostra 100%N:
Média=9,67
S=2,08
g=(S/)*100 =(2,08/9,67)*100=0,2151*100 21,51%
d) Faça um histograma considerando os dados de todas as amostras conjuntamente (apresente a tabela de frequência). 
Total= 24 amostras
24= 4,899 5 classes
A= 15,3-3,0= 12,3
c=A/k-1= 12,3/5-1=12,3/4=3,075 3
Limite inf. 1ª classe= Menor valor – c/2= 3-3,075/2=3-1,58=1,421,5
	Classes ( Medidas de Clorofilas)
	fi
	fri
	Fi
	Fri
	1,5 |--- 4,5
	4
	0,17
	4
	0,17
	4,5 |--- 7,5
	9
	0,37
	13
	0,54
	7,5 |--- 10,5
	5
	0,21
	18
	0,75
	10,5|--- 13,5
	5
	0,21
	23
	0,96
	13,5 |--- 16,5
	1
	0,04
	24
	1,00
	Total
	24
	1,00
	 
	 
e) Faça um gráfico de barras para as médias das amostras. 
Questão 3 - Uma prefeitura está fazendo um levantamento para compra de pasta de dentes para as escolas de ensino fundamental. Para essa compra a prefeitura encomendou uma pesquisa sobre o custo mensal (R$) e a eficácia na limpeza dos dentes das crianças (notas de zero a cem). Foi então levantada uma amostra de 38 marcas de pastas de dentes em tubo:
Para cada uma das variáveis, custo e limpeza, faça o que se pede: 
a) Elabore uma tabela que contenha a frequência absoluta, relativa e acumulada. 
Custo:
Total= 38 amostras
38= 6,16 6 classes
A= 4,73-0,44= 4,29
c=A/k-1= 4,29/6-1=4,29/5=0,858 0,86
Limite inf. 1ª classe= Menor valor – c/2= 0,44-0,86/2=0,44-0,4290,01
	Classes ( Custo R$)
	fi
	fri
	Fi
	Fri
	0,01|--- 0,87
	24
	0,6316
	24
	0,6316
	0,87|--- 1,73
	12
	0,3158
	36
	0,9474
	1,73|--- 2,59
	1
	0,0263
	37
	0,9737
	2,59|--- 3,45
	0
	0
	37
	0,9737
	3,45|--- 4,31
	0
	0
	37
	0,9737
	4,31|--- 5,17
	1
	0,0263
	38
	1,00
	Total
	38
	1,00
	 
	 
Limpeza:
Total: 38 amostras
38= 6,16 6 classes
A= 86-28= 58 
c=A/k-1= 58/6-1=58/5=11,6 12
Limite inf. 1ª classe= Menor valor – c/2= 28-12/2=22
	Classes ( Limpeza)
	fi
	fri
	Fi
	Fri
	22|--- 34
	2
	0,0527
	2
	0,0527
	34|--- 46
	2
	0,0527
	4
	0,1054
	46|--- 58
	10
	0,2631
	14
	0,3685
	58|--- 70
	9
	0,2368
	23
	0,6053
	70|--- 82
	12
	0,3158
	35
	0,9211
	82|--- 94
	3
	0,0789
	38
	1,00
	Total
	38
	1,00
	 
	 
b) Construa um histograma. 
c) Construa um polígono de frequência. 
d) Construa uma ogiva. 
e) Calcule a mediana, moda e média. 
Custo:
Média= 0,58+0,66+1,02+0,53+0,57+0,53+0,52+0,71+0,55+0,59+0,51+0,67+0,62+0,66+1,07+0,80+0,79+0,44+1,04+1,12+0,79+0,81+0,64+1,77+1,32+0,64+0,55+0,39+1,22+0,74+0,44+0,97+1,26+4,73+1,29+1,34+1,40+1,77/38 Média= 36,05/38 Média 0,95
Rol= {0,39;0,44;0,44;0,51;0,52;0,53,0,53;0,55;0,55;0,57;0,58;0,59;0,62;0,64;0,64;0,66;0,66;0,67;0,71;0,74;0,79;0,79;0,80;0,81;0,97;1,02;1,04;1,07;1,12;1,22;1,26;1,29;1,32;1,34;1,40;1,77;1,77;4,73} Md= 0,71+0,74/2 Md= 0,725
Mo= 0,44;0,53;0,55;0,64;0,66;0,79;1,77
Limpeza:
Média= 28+29+37+39+48+50+51+53+53+53+55+56+57+57+58+58+60+62+62+62+63+64+69+70+70+71+72+72+72+74+75+76+77+79+80+82+85+86/38 Média= 2365/38 Média 62,24
Rol= {28;29;37;39;48;50;51;53;53;53;55;56;57;57;58;58;60;62;62;62;63;64;69;70;70;71;72;72;72;74;75;76;77;79;80;82;85;86} Md= 62+62/2 Md= 62
Mo= 53,62,72
f) Calcule a variância, desvio-padrão e coeficiente de variação. 
Custo:
Média= 0,95
n=38
S2= (0,58-0,95)2+(0,66-0,95)2+(1,02-0,95)2+(0,53-0,95)2+(0,57-0,95)2+(0,53-0,95)2+(0,52-0,95)2+(0,71-0,95)2+(0,55-0,95)2+(0,59-0,95)2+(0,51-0,95)2+(0,67-0,95)2+(0,62-0,95)2+(0,66-0,95)2+(1,07-0,95)2+(0,80-0,95)2+(0,79-0,95)2+(0,44-0,95)2+(1,04-0,95)2+(1,12-0,95)2+(0,79-0,95)2+(0,81-0,95)2+(0,64-0,95)2+(1,77-0,95)2+(1,32-0,95)2+(0,64-0,95)2+(0,55-0,95)2+(0,39-0,95)2+(1,22-0,95)2+(0,74-0,95)2+(0,44-0,95)2+(0,97-0,95)2+(1,26-0,95)2+(4,73-0,95)2+(1,29-0,95)2+(1,34-0,95)2+(1,40-0,95)2+(1,77-0,95)2/37
S2=19,51/37
S2 0,53
S= 0,53 0,73
g=(S/)*100 =(0,73/0,95)*100=0,7684*100 76,84%
Limpeza:
Média= 62,24
n=38
S2= (28-62,24)2+(29-62,24)2+(37-62,24)2+(39-62,24)2+(48-62,24)2+(50-62,24)2+(51-62,24)2+(53-62,24)2+(53-62,24)2+(53-62,24)2+(55-62,24)2+(56-62,24)2+(57-62,24)2+(57-62,24)2+(58-62,24)2+(58-62,24)2+(60-62,24)2+(62-62,24)2+(62-62,24)2+(62-62,24)2+(63-62,24)2+(64-62,24)2+(69-62,24)2+(70-62,24)2+(70-62,24)2+(71-62,24)2+(72-62,24)2+(72-62,24)2+(72-62,24)2+(74-62,24)2+(75-62,24)2+(76-62,24)2+(77-62,24)2+(79-62,24)2+(80-62,24)2+(82-62,24)2+(85-62,24)2+(86-62,24)2/37
S2=7686,87/37
S2 207,75
S= 207,75 14,41
g=(S/)*100 =(14,41/62,24)*100=0,2316*10023,16%
g) Determine os quartis. 
Custo:
{0,39;0,44;0,44;0,51;0,52;0,53,0,53;0,55;0,55;0,57;0,58;0,59;0,62;0,64;0,64;0,66;0,66;0,67;0,71;0,74;0,79;0,79;0,80;0,81;0,97;1,02;1,04;1,07;1,12;1,22;1,26;1,29;1,32;1,34;1,40;1,77;1,77;4,73}
Pos=K.n/4
Pos1= 1*38/4 = 9,5 10
Pos2= 2*38/4= 19
Pos3= 3*38/4= 28,5 29
Q1= 0,57
Q2=0,71
Q3=1,12
Limpeza:
{28;29;37;39;48;50;51;53;53;53;55;56;57;57;58;58;60;62;62;62;63;64;69;70;70;71;72;72;72;74;75;76;77;79;80;82;85;86}
Pos=K.n/4
Pos1= 1*38/4 = 9,5 10
Pos2= 2*38/4= 19
Pos3= 3*38/4= 28,5 29
Q1=53
Q2=62
Q3=72
h) Repita todos os itens acima considerando agora que os dados estão em intervalos de classe. Para tanto calcule o intervalo de classes adequado. 
Sem Resolução
Questão 4 - Duas moedas M1 e M2 viciadas são tais que a probabilidade de se obter coroa ao jogar a moeda M1 é 0,4 e a probabilidade de se obter coroa ao jogar a moeda M2 é 0,7. Escolhe-se uma das duas moedas e a moeda escolhida é lançada. Utilize os conceitos de probabilidade condicional para determinar a probabilidade da moeda M1 ter sido a usada, sabendo que o resultado obtido foi coroa.
Evento A= Moeda M1
Evento B= Moeda M2
Probabilidade Condicional (A/B): P(A∩B)/P(B)
P(A∩B)= P(A)*P(B)= 0,4*0,7
Então: P(A/B)= 0,4*0,7/0,7
P(A/B)=0,4. A moeda M1 foi utilizada.
Questão 5 - Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 processos aleatoriamente de um lote muito grande de processos para arquivamento. Sabe-se que, em geral, 20% dos processos apresentam algum tipo de irregularidade. 
n=10 processos
p= 20%=0,2
q=80%=0,8
a) Qual a probabilidade de não mais do que 2 processos extraídos estejam irregulares? 
X≤2
P(X≤2)= P(0)+p(1)+P(2)
P(X≤2)= 10!/0!(10-0!)*(0,2)0*(0,8)10-0+10!/1!(10-1!)*(0,2)1*(0,8)10-1+10!/2!(10-2!)*(0,2)2*(0,8)10-2
P(X≤2)= 0,1074+0,2684+0,3020= 0,6778
P(X≤2)= 67,78%
b) Qual a probabilidade de todos os processos estarem regulares? 
P(X=0)= 0,1074
P(X=0)= 10,74%
c) Qual a média de processos irregulares? 
E(X)= Média
E(X)= n.p
E(X)= 10*0,2
E(X)= 2 processos
d) Qual o desvio padrão desses processos irregulares? 
σ= variância
σ= n.p.q
σ= 10*0,2*0,8
σ= 1,2649
Questão 6 - Um vendedor pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade 1/3 ou 2/3, respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um equipamento por $ 25.000,00 (com probabilidade 2/10) ou nenhuma venda (com probabilidade 8/10). Indicando por Y o valor total de vendas diárias desse vendedor, escreva a distribuição de probabilidade de Y e calcule o valor total esperado de vendas diárias.
P(V= v) = P(N = 1)P(V = v|N = 1) + P(N = 2)P(V = v|N = 2 ) para v = 0, 1, 2. Assim: P (V = 0 ) = 1/ 3*8/10 + 2 /3*8/10*8/10 = 104/150 
P (V = 1 ) = 1/ 3*2/10 + 2 (2 /3*2/10*8/10 ) = 2/ 30 + 2 (32/300) = 2/30 + 64/300 = 42/150
P (V = 2) = 1 /3*0 +2/3*(2/10*2/10) = 4/150 
Como Y = 25.000 a distribuição de Y é dada por:
E(V)=0*104/150+25.000*42/150+50.000*4/150= R$ 8.333,33
Questão 7 - Um vazamento de produtos químicos ameaça mais uma vez o Rio Paraíba do Sul. O rompimento do vertedouro da barragem da empresa mineradora Rio Pomba Cataguases Ltda, em Miraí, Minas Gerais, liberou na tarde desta quinta-feira cerca de 80 mil metros cúbicos de resíduos de tratamento de bauxita no Rio Fubá, que deságua no Rio Muriaé, um dos afluentes do Paraíba do Sul (Fonte: http://oglobo.globo.com/online/rio/plantao/2006/03/02/192034140.asp). Sabendo-se que a dispersão da mancha tóxica liberada é influenciada por vários fatores, pode-se assumir que o tempo para a mancha alcançar o rio Paraíba do Sul segue uma distribuição normal. Fotografias por satélite foram tiradas e constatou-se que a média estimada para o tempo de alcance é de 10 dias com desvio-padrão 2. 
Com base nessas informações, determine a probabilidade da mancha alcançar o rio em 1 semana. Determine também o tempo limite para o qual se terá uma probabilidade de 1% da mancha alcançar o rio.
Dados:
µ=10
σ=2
Calculando a variável Z reduzida:
Z=X-µ/ σ = 7-10/2 = -1,50
Utilizando a tabela pag. 154 (Tavares, 2011):
P(X<7)= P(Z<-1,50)=0,5-P(-1,50<Z<0)=0,5-P(0<Z<1,50)
P(X<7)= 0,5-0,43319=0,06681=6,681%
Então 6,681% de chance da mancha alcançar o rio em 1 semana (7 dias)
O tempo limite de 1% de probabilidade da mancha alcançar o rio:
P(X<x)= 0,01=0,5-0,49=0,5-P(0<Z<2,33)=0,5-P(-2,33<Z<0)=P(z<-2,33)
Voltando a variável:
Z=X-µ/ σ 
-2,33=X-10/2
X=10+2(-2,33)=10-4,66=5,34
Então, no prazo de 5,34 dias tem 1% de probabilidade da mancha alcançar o rio.
Questão 8 - Defina e faça a distinção entre variável aleatória discreta e contínua.
A variável aleatória discreta é representada em valores fixos, geralmente inteiros e positivos, usada para contagens simples como, por exemplo, número de pessoas em um ônibus, já a variável aleatória contínua é representada por intervalos entre qualquer número inteiro, como por exemplo, tempo gasto por uma vendedora para atender um cliente. 
Questão 9 - É possível que se tenham as seguintes probabilidades P(A)=1/2, P(B)=1/4 e P(A∩B)=1/3? (Justifique)
Existe dois eventos A e B, eles são independentes sendo assim, P(A ∩ B)=P (A) . P (B) 
1/3= 1/2. 1/4 
1/3 ≠ 1/8
Questão 10 - A tabela a seguir lista a história de 940 pastilhas em um processo de fabricação de semicondutores. Suponha que uma pastilha seja selecionada, ao acaso desta tabela. Faça A denotar o evento em que a pastilha contenha altos níveis de contaminação, B o evento em que as pastilhas estejam no centro de uma ferramenta de produzir faíscas e E o evento em que a pastilha não seja proveniente do centro da ferramenta de produzir faíscas nem contenha altos níveis de contaminação. Determine: P(A), P(B), P(E), P(A∩B), P(AUB)
P(A) = 358/940 = 0,381
P(B) = 314/940 = 0,334
P(A∩B) = 246/940 = 0,262
P(AUB) = P(A) + P(B) - P (A∩B)= 358/940 + 314/940 – 246/940 = 426/940 = 0,453
P(E) = P(AUB)’ = 1 - P(AUB) = 1 – 426/940 = 514/940 = 0,547
Questão 11 – Uma empresa produz televisores de dois tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000 u.m., respectivamente. 
Seja, 
XA: Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo A 
XB: Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo B 
XA~N(10 ; 22) LucroA: 1200 u.m. PrejuízoA: 2500 u.m. 
XB~N(11 ; 32) LucroB: 2100 u.m. Prejuízo B: 7000 u.m. 
a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e nos do tipo B. 
P (restituição de A) = P(XA< 6) = P(Z < (6 -10)/2) = P(Z< -2,0) = 1 - A(2) = 1 -0,9772 = 0,0228 
P (restituição de B) = P(XB< 6) = P(Z < (6 -11)/3) = P(Z< -1,67) = 1- A(1,67) = 1-0,9525 = 0,0475 
A probabilidade de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B, respectivamente, são 2,28 % e 4,75%.
b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B. 
P(não restituição de A) = 1 – P(restituição de A) = 1 – 0,0228 = 0,9772
P(não restituição de B) = 1 - P(restituição de B) = 1 – 0,0475 = 0,9525
Lucro médio de A = 1200 x 0,9772 – 2500 x 0,0228 = 1115,64 u.m. 
Lucro médio de B = 2100 x 0,9525 – 7000 x 0,0475 = 1667,75 u.m.
c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B? 
A empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo B, pois o lucro médio de B é maior que o lucro médio de A.
P (V = v) = P(N = 1)P(V = v|N = 1) + P(N = 2)P(V = v|N = 2 ) p ara v = 0, 1, 2. Assim 
 
P (V = 0 ) = 1/ 3 . 8/10 + 2/3 . 8/10 .8/10 = 104/15 0 
 
P (V = 1 ) = 1/ 3 . 2/10 + 2 (2 /3 . 2/10 . 8/10 ) = 2/ 30 + 2 (32 /3 00) = 2/30 + 64/300 = 42/ 150 
 
P (V = 2) = 1 /3 . 0 +2/3 . (2/10 . 2/10) = 4/150
P (V = v) = P(N = 1)P(V = v|N = 1) + P(N = 2)P(V = v|N = 2 ) p ara v = 0, 1, 2. Assim 
 
P (V = 0 ) = 1/ 3 . 8/10 + 2 /3 . 8/10 .8/10 = 104/15 0 
 
P (V = 1 ) = 1/ 3 . 2/10 + 2 (2 /3 . 2/10 . 8/10 ) = 2/ 30 + 2 (32 /3 00) = 2/30 + 64/300 = 42/ 150 
 
P (V = 2) = 1 /3 . 0 +2/3 . (2/10 . 2/10) = 4/150