Apostila de Áreas e Volumes

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE – CÂMPUS RIO DO SUL 
CURSO – FÍSICA-LICENCIATURA 1ª FASE SEMESTRE 2014-1 
DISCIPLINA – Pré-Calculo PROFESSOR – Guilherme 
Alunos: Vinicius Marquez 
 
 
 
ÁREAS E VOLUMES DE FIGURAS GEOMÉTRICAS REGULARES 
 
 
 
1. POLÍGONOS REGULARES 
Polígonos regulares são aqueles que possuem todos os seus lados e ângulos internos 
congruentes. O número de ângulos internos de um polígono é igual ao número de lados do mesmo. 
Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. 
 
1.1. ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR 
A área de um polígono regular pode ser calculada a partir do seu número de lados e da 
medida dos mesmos: 
Qualquer polígono regular inscrito em uma circunferência pode ser divido em n triângulos 
congruentes, onde n é o número de lados do polígono. Por exemplo, no quadrado n = 4. 
Para calcular a área de qualquer polígono regular precisamos primeiro calcular o ângulo 
do mesmo. Se obtém a medida do ângulo com a seguinte formula: 
 
𝜃 = 
360°
𝑛
 
 
Agora vamos usar à lei dos cossenos para escrever uma equação para calcularmos o valor 
do lado l em função dos lados r e do ângulo α. 
A lei dos cossenos nos diz que: 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙ cos 𝜃 
 
Substituímos as variáveis e a equação fica desse modo: 
 
𝑙2 = 𝑟2 + 𝑟2 − 2𝑟 ∙ 𝑟 ∙ cos(
360°
𝑛
) ⇒ 
 
𝑙2 = 2𝑟2 − 2𝑟2 ∙ cos(
360°
𝑛
) ⇒ 
 
𝑙2 = 2𝑟2 ∙ (1 − cos(
360°
𝑛
)) ⇒ 
 
𝑙2 = 2𝑟2 ∙ (2 ∙ (
1 − cos(
360°
𝑛 )
2
)) ⇒ 
 
𝑙2 = 2𝑟2 ∙ (2 ∙ sin2(
180°
𝑛
)) ⇒ 
 
√𝑙2 = √2𝑟2 ∙ (2 ∙ sin2 (
180°
𝑛
)) ⇒ 
 
𝑙 = 2𝑟 ∙ (2 ∙ sin(
180°
𝑛
)) 
 
Agora recorrendo ao Teorema de Pitágoras e novamente à trigonometria, vamos escrever 
o apótema a em função de um lado r e de metade do lado l: 
 
𝑟2 = 𝑎2 + (
1
2
)
2
⇒ 
 
𝑎2 = 𝑟2 − (
1
2
)
2
⇒ 
 
𝑎2 = 𝑟2 − (
2𝑟 ∙ sin (
180°
𝑛 )
2
)2 ⇒ 
 
𝑎2 = 𝑟2 − 𝑟2 ∙ (sin2(
180°
𝑛
)) ⇒ 
 
𝑎2 = 𝑟2 (1 − sin2(
180°
𝑛
)) ⇒ 
 
𝑎2 = 𝑟2 ∙ cos2(
180°
𝑛
) ⇒ 
 
√𝑎2 = √𝑟2 ∙ cos2 (
180°
𝑛
) ⇒ 
 
𝑎 = 𝑟 ∙ cos (
180°
𝑛
) 
 
Isolando o raio r nas duas equações: 
 
𝑙 = 2𝑟 ∙ (2 ∙ sin(
180°
𝑛
)) ⇒ 
 
𝑟 = 
𝑙
2 ∙ sin(
180°
𝑛 ) 
 
 
E 
 
𝑎 = 𝑟 ∙ cos (
180°
𝑛
) ⇒ 
 
𝑟 = 
𝑎
2 ∙ cos (
180°
𝑛 ) 
 
 
Logo, o apótema a escrito em função do lado l e do ângulo α é igual a: 
 
𝑙
2 ∙ sin(
180°
𝑛 ) 
= 
𝑎
2 ∙ cos (
180°
𝑛 ) 
 ⇒ 
 
𝛼 = 
𝑙 ∙ cos (
180°
𝑛 ) 
2 ∙ sin(
180°
𝑛 )
 
 
Agora já podemos calcular a área do referido triângulo: 
 
𝐴𝑠 = 
𝑏 ∙ ℎ
2
 ⇒ 
 
𝐴𝑠 = 
𝑙 ∙ 
𝑙 ∙ cos (
180°
𝑛 ) 
2 ∙ sin(
180°
𝑛 )
2
⇒ 
 
𝐴𝑠 = 
 
𝑙2 ∙ cos (
180°
𝑛 ) 
2 ∙ sin(
180°
𝑛 )
2
⇒ 
 
𝐴𝑠 = 
𝑙2 ∙ cos (
180°
𝑛 ) 
2 ∙ sin(
180°
𝑛 )
 ∙ 
1
2
⇒ 
 
𝐴𝑠 = 
𝑙2 ∙ cos (
180°
𝑛 ) 
4 ∙ sin(
180°
𝑛 )
 
 
A fórmula acima se refere à área de apenas um dos triângulos, mas como o polígono 
regular possui n lados devemos multiplicar esta área por n para obtermos a área total do polígono: 
 
𝐴𝑡 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑛 ⇒ 
 
𝐴𝑡 = 
𝑛𝑙2 ∙ cos (
180°
𝑛 ) 
4 ∙ sin(
180°
𝑛 )
 
 
Assim temos uma formula geral para calcular a área de qualquer polígono regular: 
 
𝑨 = 
𝒏𝒍𝟐 ∙ 𝐜𝐨𝐬 (
𝟏𝟖𝟎°
𝒏 ) 
𝟒 ∙ 𝐬𝐢𝐧(
𝟏𝟖𝟎°
𝒏 )
 
 
2. GEOMETRIA ESPACIAL 
Um sólido geométrico é uma figura geométrica que possui três dimensões, as dimensões 
de latitude, longitude e altitude. Os sólidos são, por exemplo, a esfera, o cubo, o cilindro, o cone e 
a pirâmide. Um sólido é limitado por um ou mais planos ou superfícies, assim como as superfícies 
são limitadas por uma ou mais linhas. 
 
3. ÁREA E VOLUME DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS 
 
3.1. PRISMA 
Consideremos o prisma como um sólido geométrico formado pelos seguintes elementos: 
base, altura, vértices, arestas e faces laterais. Os prismas podem apresentar diversas formas, mas 
algumas características básicas definem esse sólido geométrico. Por exemplo, o número de faces 
do prisma será exatamente igual ao número de lados do polígono que constitui suas bases 
(superior e inferior), dessa forma, sua classificação quanto ao número de lados pode 
ser: Triangular, Quadrangular, Pentagonal, Hexagonal, Heptagonal e Octogonal. 
Os prismas também podem ser classificados como retos ou oblíquos. Os prismas retos são 
aqueles em que a aresta lateral forma com a base um ângulo de 90º, os oblíquos são aqueles em 
que as arestas formam ângulos diferentes de 90º. 
Todos os prismas possuem área da base, área lateral, área total e volume. Todas essas 
medidas dependem do formato do polígono que se encontra nas bases; por exemplo, os prismas 
acima possuem em sua base um pentágono, portanto, para calcularmos a área dessa base devemos 
determinar a área do pentágono. No caso do prisma pentagonal reto, as faces laterais constituem 
retângulos e a do prisma oblíquo é formada por paralelogramos. 
 
3.1.1. ÁREA DO PRISMA 
A área total do prisma será a soma do valor da área das duas bases mais a área de todas 
as suas faces laterais. 
Independentemente de um prisma ser reto ou oblíquo, a soma das áreas de todas as 
suas faces laterais pode ser obtida multiplicando-se o perímetro de uma das faces base pela 
medida da sua altura. 
Usaremos a formula geral para calcular a área da base, parra assim fazer uma formula 
geral da área dos prismas: 
 
𝐴𝑡 = 2 ∙ (
𝑛𝑙2 ∙ cos (
180°
𝑛 ) 
4 ∙ sin(
180°
𝑛 )
) + (𝑛 ∙ 𝑙 ∙ ℎ ∙ 
𝑛𝑙2 ∙ cos (
180°
𝑛 ) 
4 ∙ sin(
180°
𝑛 )
) 
 
Sendo n o número de lados da base, l o valor dos lados da base e h a altura do prisma. 
 
3.1.2. VOLUME DO PRISMA 
O volume do prisma pode ser calculado multiplano a área da base pela altura 
(usaremos a forma geral da base dos polígonos regulares) 
 
𝑉 = 
𝑛𝑙2 ∙ cos (
180°
𝑛 ) 
4 ∙ sin(
180°
𝑛 )
 ∙ ℎ 
 
Sendo n o número de lados da base, l o valor dos lados da base e h a altura do prisma. 
 
3.2. PIRÂMIDE 
Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas 
as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une 
todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O número de faces laterais de uma 
pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base e a altura de qualquer face lateral 
denomina-se apótema do tronco. Como exemplos das pirâmides da geometria espacial no dia-a-
dia temos as pirâmides do Egito, uma das sete maravilhas do mundo antigo. 
Uma pirâmide é classificada como reta quando todas as arestas laterais são congruentes, 
caso contrário ela é classificada como oblíqua. Uma maneira mais fácil de identificar uma 
pirâmide reta é quando o centro da base da pirâmide está alinhado com o vértice superior da 
pirâmide, em outras palavras, é possível traçar uma reta do vértice ao centro do polígono na base 
da pirâmide. Uma outra maneira fácil de identificar uma pirâmide oblíqua é quando não existe 
esse alinhamento do vértice superior com o centro do polígono na base da pirâmide, ou seja, se 
traçarmos novamente a reta, ela não terminará no centro do polígono da base. 
 
3.2.1. ÁREA DA PIRÂMIDE 
A área total da pirâmide será a soma do valor da área da base com a área de todas as 
suasfaces laterais. Como as faces laterais são todas triângulos, precisamos calcular a área de 
cada um deles. Como sabemos, a área de um triângulo qualquer pode ser obtida multiplicando-
se a medida da sua altura pela medida da sua base e dividindo-se este produto por dois: 
 
𝐴 = 
𝑏 ∙ ℎ
2
 
 
Sabendo que todas as laterais da pirâmide são triangulares podemos fazer uma formula 
mais abrangente: 
 
𝐴𝑡 = 𝐴𝑏 + 𝑛 ∙ 
𝑏 ∙ ℎ
2
 
 
Onde Ab é a área da base e n é o número de lados da base (Se a base for um triangulo 
usamos o Ab como a formula da área de um triangulo e caso a base seja um polígono regular 
usamos a formula geral dos polígonos regulares). 
 
3.2.2. VOLUME DA PIRÂMIDE 
Independentemente de uma pirâmide ser reta ou oblíqua, regular ou irregular, a medida 
do seu volume é igual a um terço do produto da área da sua base pela sua altura, o qual pode 
ser expresso através da seguinte fórmula: 
 
𝑉 = 
𝐴𝑏 ∙ ℎ
3
 
Onde h é a altura da pirâmide (a altura da pirâmide é a distância do seu vértice ao 
plano da sua base). 
 
3.3. CILINDRO 
Em matemática, um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de 
revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. De maneira mais prática, o cilindro é 
um corpo alongado e de aspecto redondo, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o 
comprimento. 
Um cilindro circular reto possui o seu eixo e as suas geratrizes perpendiculares aos planos 
das bases e o eixo e as geratrizes são congruentes à sua altura. 
A projeção ortogonal do centro de uma das bases no plano da outra é o centro da outra 
base, ou seja, visto o cilindro de cima os centros se sobrepõe, na verdade as bases se sobrepõem. 
Um cilindro circular oblíquo possui o seu eixo e as suas geratrizes oblíquas aos planos das 
bases e o eixo e as geratrizes não são congruentes à sua altura. 
A projeção ortogonal do centro de uma das bases no plano da outra não é o centro da outra 
base, isto é, observado o cilindro de cima os centros das bases não se sobrepõem. 
 
3.3.1. Área do cilindro 
A área total da superfície de um cilindro circular é a soma da área da superfície 
lateral com a área dos dois círculos das bases. 
A área da superfície lateral é igual ao produto do perímetro da base pela altura do 
cilindro: 
 
𝐴𝑙 = 2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ 
 
A área de cada base é igual ao produto de 𝜋 pelo quadrado do raio da base, visto que 
as base são círculos: 
 
𝐴𝑏 = 𝜋 ∙ 𝑟
2 
 
Para não precisarmos calcular as áreas separadamente, podemos utilizar uma única 
fórmula: 
 
𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 2 ∙ 𝐴𝑏 ⇒ 
 
𝐴𝑡 = 2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ + 𝜋 ∙ 𝑟
2 ⇒ 
 
𝐴𝑡 = 2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ (ℎ + 𝑟) 
 
 
h se refere à altura do cilindro e r ao raio das suas bases. Al, Ab e At se referem 
respectivamente a área lateral, a área das bases e a área total. 
 
3.3.2. VOLUME DO CILINDRO 
Independentemente de um cilindro circular ser reto ou oblíquo, a medida do seu 
volume é igual ao produto da área da base pela altura do cilindro, o qual podemos expressar 
através da seguinte fórmula: 
 
𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ ⇒ 
 
𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟2 ∙ ℎ 
 
3.4. CONE 
Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma 
extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer 
de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva suave, a base). 
Um cone circular reto possui o seu eixo perpendicular ao plano da base e o eixo é 
congruente à sua altura. As geratrizes são congruentes entre si. 
A projeção ortogonal do vértice no plano da base é o centro da base, ou seja, visto o cone 
de cima o vértice sobrepõe o centro da base. 
Um cone circular oblíquo possui o seu eixo oblíquo ao plano da base e o eixo não é 
congruente à sua altura. As geratrizes não são congruentes entre si. 
A projeção ortogonal do vértice no plano da base não é o centro da base, isto é, visto o 
cone de cima o vértice não sobrepõe o centro da base. 
 
3.4.1. ÁREA DO CONE 
A área total da superfície de um cone circular é a soma da área da superfície lateral com 
a área do círculo da base. 
Quando conhecemos o raio e o comprimento do arco podemos calcular a sua área 
através da seguinte fórmula: 
 
𝐴 = 
𝑟 ∙ 𝑎
2
 
 
Onde r é a medida do raio e a é a medida do arco. 
Como a área da superfície lateral de um cone circular reto é igual a área de um setor 
circular cujo raio é a medida da geratriz g e o comprimento do arco é o comprimento da 
circunferência da base do cone, isto é, 2𝜋 ∙ 𝑟, onde r é a medida do raio da base, temos que 
a área da superfície lateral é dada por: 
 
𝐴𝑙 = 
𝑔 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑟
2
⇒ 
 
𝐴𝑙 = 𝑔 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 
 
A área da base é igual ao produto de 𝜋 pelo quadrado do seu raio, já que a base é um 
círculo: 
 
𝐴𝑏 = 𝜋 ∙ 𝑟
2 
 
Em vez de utilizarmos duas fórmulas, uma para calcular a área da superfície lateral e 
uma outra para calcular a área da base circular e depois as somarmos, podemos fazer uso de 
apenas uma fórmula: 
 
𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏 ⇒ 
 
𝐴𝑡 = 𝑔 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 + 𝜋 ∙ 𝑟
2 ⇒ 
 
𝐴𝑡 = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ (𝑔 + 𝑟) 
 
3.4.2. VOLUME DO CONE 
Independentemente de um cone circular ser reto ou oblíquo, a medida do seu volume 
é igual a um terço do produto da área da base pela altura do cone, o qual podemos expressar 
através da seguinte fórmula: 
 
𝑉 = 
𝐴𝑏 ∙ ℎ
3
⇒ 
 
𝑉 = 
𝜋 ∙ 𝑟2 ∙ ℎ
3
 
 
3.5. ESFERA 
A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superfície curva 
contínua cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado centro"; ou seja, é 
uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu 
centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma. 
Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo 
se refere à superfície de uma bola. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa de 
sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço. 
 
3.5.1. ÁREA DA ESFERA 
A formula da área da esfera é dada pela seguinte formula: 
 
𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 
 
3.5.2. VOLUME DA ESFERA 
A formula para calcular o volume da esfera é a seguinte: 
 
𝑉 = 
4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟3
3
 
 
4. REFERENCIAS 
http://www.matematicadidatica.com.br/AreaPoligonoRegular.aspx 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/Solidos-Geometricos-Area-Volume-Prisma.aspx 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/Solidos-Geometricos-Area-Volume-Piramide.aspx 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/Solidos-Geometricos-Area-Volume-Cilindro.aspx 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/Solidos-Geometricos-Area-Volume-Cone.aspx 
 
http://www.brasilescola.com/matematica/esfera.htm