[1]matematica-geometria-[2015]

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1 
 
M A T E M Á T I C A 
Geometria 
GEOMETRIA PLANA _______ 2 
ELEMENTOS PRIMITIVOS _______________________________________________________________ 2 
TRIÂNGULOS _______________________________________________________________________ 5 
QUADRILÁTEROS _____________________________________________________________________ 8 
POLÍGONOS QUAISQUER E POLÍGONOS REGULARES _____________________________________________ 9 
ÂNGULOS RELACIONADOS A ARCOS _______________________________________________________ 11 
7.OS PONTOS O,P,Q E R PERTENCEM À UMA CIRCUNFERÊNCIA; SABE-SE QUE P𝑂Q=3X+2 º E QUE P𝑅Q=110º–6X. 12 
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA __________________________________________________ 13 
TEOREMA DE TALLES _________________________________________________________________ 14 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. __________________________________________________________ 15 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. ____________________________________________ 17 
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS. ____________________________________________________________ 19 
ÁREAS DE FIGURAS CIRCULARES __________________________________________________________ 22 
GEOMETRIA ESPACIAL ____ 24 
INTRODUÇÃO ______________________________________________________________________ 24 
PRISMA __________________________________________________________________________ 31 
CILINDRO _________________________________________________________________________ 35 
PIRÂMIDE ________________________________________________________________________ 38 
CONE ___________________________________________________________________________ 42 
ESFERA __________________________________________________________________________ 47 
GEOMETRIA ANALÍTICA ___ 50 
ELEMENTOS PRIMITIVOS: CONCEITOS BÁSICOS E A RETA _________________________________________ 50 
CIRCUNFERÊNCIA ___________________________________________________________________ 52 
 
 
2 
Geometria Plana 
Capítulo 1 
Elementos Primitivos. 
 
Definições De Elementos Básicos Da Geometria 
 
Ponto: É a menor unidade de medida da Geometria. Não existe nada menor do que o ponto na Geometria Plana. 
 
Reta: É formado por infinitos pontos colineares ( isto é, em uma mesma linha). Uma reta não possui origem e destino, portanto é 
um ente geométrico infinito. 
 
Plano: É formado por infinitas retas e consequentemente é também formado por infinitos pontos. 
 
 
 
Semirreta: É uma reta que possui um ponto de origem mas não possuí um ponto de destino. 
 
 
 
Segmento De Reta: É uma reta que possui um ponto de origem e outro ponto de destino. 
 
 
Ângulos 
 
Região Convexa : Uma região é convexa se, se somente se, o segmento determinado por dois pontos quaisquer dessa região 
estiver contido nela. 
 
 
 
Região Côncava: Uma região é côncava se, e somente se, existir algum segmento de reta cujas extremidades pertence a ela, mas 
não esteja contido nela. 
 
 
Ângulos 
 
A união de duas semirretas distintas não opostas de mesma origem chamamos ângulo. Considere as semirretas 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗e 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗não 
colineares da figura. O conjunto união dessas duas semirretas é chamado ângulo. As semirretas 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗e 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗são chamadas lados desse 
ângulo. O ponto P é chamado vértice desse ângulo. 
 
 
Exterior E Interior De Um Ângulo 
 
 Dois semi-planos abertos (semi-plano menos a reta que é a origem) determinados pelas retas que contém os lados do 
ângulo, considere aqueles que não contém pontos do ângulo. O conjunto união desses dois semi-planos é chamado 
exterior do ângulo. O conjunto complementar, em relação ao plano do ângulo, da união desse ângulo com seu exterior é 
chamado interior do ângulo. 
 
 
 
3 
Semirreta Interna A Um Ângulo 
 
 Uma semirreta é interna a um ângulo quando tem origem no vértice do ângulo e pontos internos do ângulo pertencem a ele 
 
Ângulos Consecutivos 
 
 Dois ângulos são consecutivos quando têm o mesmo vértice e têm um lado em comum. 
 
 
 A�̂�B e B�̂�C são consecutivos (têm o lado PB comum). Note que neste caso eles têm apenas os pontos de um lado comum. 
 R�̂�T e R�̂�S são consecutivos (têm o lado RD comum). Note que neste caso eles têm também pontos internos em comum. 
 
Ângulos Adjacentes 
 
 Dois ângulos são chamados adjacentes se são consecutivos e não têm pontos internos em comum. 
 
 
Ângulos Congruentes 
 
 Dois ângulos são congruentes se, e somente se, têm a mesma medida. 
 
Bissetriz De Um Ângulo 
 
 É uma semirreta interna a esse ângulo que o divide em duas partes iguais. 
 
Ângulo Reto 
 
 É o ângulo que tem a sua medida valendo 90o e sua representação é dada por duas semirretas perpendiculares. 
 
 
Ângulo Agudo E Obtuso 
 
 Se um ângulo não nulo for menor que um ângulo reto, ele é chamado ângulo agudo e se um ângulo não raso (180o ) for 
maior que um ângulo reto ele é chamado ângulo obtuso. 
 
 
Ângulos Complementares, Suplementares E Replementares 
 
 Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for 90º. 
 Cada um deles é chamado complemento do outro. 
 Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for 180º. 
4 
 Cada um deles é chamado suplemento do outro. 
 Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas for 360º. 
 Cada um deles é chamado replemento do outro. 
 
Ângulos Nulo, Completo, Raso E Reto 
 
 Ângulo nulo é aquele que tem medida igual a 0º. 
 Ângulo completo é aquele que tem medida igual a 360º. 
 Ângulo raso é aquele que tem medida igual a 180o . 
 Ângulo reto é aquele que tem medida igual a 90o . 
 
Ângulos Opostos Pelo Vértice 
 
 É um par de ângulos formados por duas retas concorrentes e por sua vez , possuem a mesma medida. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1.(FUVEST) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas, o 
ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, 
do ângulo 3 é: 
 
a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100 
 
2.(UEL) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente 
proporcionais aos números 5, 20 e 25, respectivamente. 
 
O suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a 
 
a) 144° b) 128° c) 116° d) 82° e) 54° 
 
3.(UNAERP) As retas r e s são interceptadas pela transversal "t", 
conforme a figura. O valor de x para que r e s seja, paralelas é:
 
 
a) 20° b) 26° c) 28° d) 30° e) 35° 
 
4.(UNIVERSIDADE OBJETIVO) As retas r, s e t são duas a duas 
paralelas e o triângulo EFG é equilátero. 
 
Se AB é congruente a BC e a medida do segmento DE é 5cm então 
a medida de FG é: 
 
a) 7cm b) 3cm c) 5cm d) 2,5cm e) 10cm 
 
5.(CESGRANRIO) Duas retas paralelas são cortadas por uma 
transversal, de modo que a soma de dois dos ângulos agudos 
formados vale 72°. Então, qualquer dos ângulos obtusos 
formados mede: 
 
a) 142°. b) 144°. c) 148°. d) 150°. e) 152°. 
 
6.(CESGRANRIO) As retas r e s da figura são paralelas cortadas 
pela transversal t. Se o ângulo B é o triplo de A, então B - A vale: 
 
 
a) 90° b) 85° c) 80° d) 75° e) 60° 
 
7.(UFF) O triângulo MNP é tal que ângulo M = 80° e ângulo 
P=60°. 
A medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo interno N 
com a bissetriz do ângulo externo P é: 
 
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° 
 
8.(FUVEST) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, 
em graus, é 
 
a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 
 
9.(UFMG) Observe a figura. 
 
Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados 
na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do 
ângulo PQS, em graus, é: 
 
a) 38 b) 63 c) 79 d) 87 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1.E 2.A 3.B 4.C 5.B 6.A 7.C 8.E 9.C 
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5 
Geometria Plana 
Capítulo 2 
Triângulos. 
 
Definição 
 
Dados três pontos A, B e C não de uma mesma reta ( não alinhados ou não colineares )a união dos segmentos AB, AC e BC 
chamamos triângulo ABC e indicamos por DABC . 
 
Elementos De Um Triângulo 
 
 
Classificação Dos Triângulos 
 
Quanto Aos Lados 
 
 Triângulo Equilátero: Possui todos os lados congruentes. 
 Triângulo Isósceles: Possuidois lados congruentes. 
 Triângulo Escaleno: Possui todos os lados diferentes. 
 
Quanto Aos Ângulos 
 
 Triângulo Acutângulo: Todos os seus ângulos são agudos. 
 Triângulo Retângulo: Um de seus ângulos é reto. 
 Triângulo Obtusângulo: um de seus ângulos é obtuso. 
 
Mediana, Bissetriz, Altura e Mediatriz 
 
Mediana: É o segmento cujas extremidades são um vértice e o ponto médio do lado 
oposto a esse vértice. 
 
 AM é a mediana relativa ao lado BC ou mediana relativa ao vértice A. 
 As três medianas de um triângulo concorrem num mesmo ponto G que é chamado baricentro do triângulo. 
 Propriedade do BARICENTRO: 
“O baricentro divide cada mediana na proporção 2 : 1” 
 
Bissetriz: É o segmento contido na bissetriz de um ângulo interno do triângulo, cujas extremidades são um vértice e o ponto de 
intersecção da bissetriz com o lado oposto. 
 
 AS é a bissetriz relativa ao lado BC ou bissetriz relativa ao vértice A. 
 As três bissetrizes de um triângulo concorrem num mesmo ponto O que é chamado incentro do triângulo. 
 Propriedade do INCENTRO: 
 
“O incentro é o centro de uma circunferência inscrita no triângulo” 
 
 
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Altura: É o segmento contido numa reta perpendicular, por um vértice, à reta que contém o lado posto a esse vértice, cujas extremidades 
são esse vértice e o ponto de intersecção dessas retas. 
 
 AH é a altura relativa ao lado BC ou altura relativa ao vértice A. 
 As três alturas de um triângulo concorrem num mesmo ponto P que é chamado ortocentro do triângulo. 
 Propriedade do ORTOCENTRO: 
 
“O ortocentro é o vértice do ângulo reto no triângulo retângulo” 
 
Mediatriz: É a reta perpendicular a cada um de seus lados pelo seu ponto médio. 
 
 As três mediatrizes de um triângulo concorrem num mesmo ponto P que é chamado circuncentro do triângulo. 
 Propriedade do CIRCUNCENTRO: 
 
“O circuncentro é o centro de uma circunferência circunscrita ao triângulo” 
 
Soma Dos Ângulos Do Triângulo 
 
Soma Dos Ângulos Internos 
“A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º”. 
 
Consequência: Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares. 
 
Soma Dos Ângulos Externos 
“A soma dos ângulos externos de um triângulo, é igual a soma dos dois ângulos internos opostos” 
 
Observações: 
 Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. 
 Em um triângulo equilátero os seus ângulos são congruentes e iguais a 60º . 
 
Ângulos de Duas Paralelas Cortadas por uma Transversal 
 
Dadas duas retas r e s paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos determinados por elas são assim determinados: 
 
Alternos Internos: (a e f) e ( d e e) => esses pares de ângulos são congruentes. 
Alternos Externos: (b e g) e ( c e h) => esses pares de ângulos são congruentes. 
Colaterais Internos: (a e e) e ( d e f) => esses pares de ângulos são suplementares. 
Colaterais Externos: (b e h) e (c e g) => esses pares de ângulos são suplementares. 
Correspondentes: (b e e) , (d e g) , (a e h) e (c e f) => esses pares de ângulos são congruentes. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (MACK) Na figura a seguir, os triângulos são semelhantes. 
Então, o valor de x é: 
 
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 
 
2.(MACK) Na figura a seguir, o valor de x é: 
 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 
 
3. (MACK) Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do 
outro. Então a razão entre o maior e o menor dos segmentos 
determinados pela altura sobre a hipotenusa é: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 3/2 e) 5 
 
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4.(CESGRANRIO) Certa noite, uma moça, de 1,50m de altura, 
estava a dois metros de distância de um poste de luz de 4m de 
altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de: 
 
a) 0,75 m b) 1,20 m c) 1,80 m d) 2,40 m e) 3,20 m 
 
5.(UNESP) Na figura, B é um ponto do segmento de reta AC e 
os ângulos DAB, DBE e BCE são retos. 
 
Se o segmento AD=6dm, o segmento AC=11dm e o segmento 
EC=3dm, as medidas possíveis de AB, em dm, são: 
 
a) 4,5 e 6,5. b) 7,5 e 3,5. c) 8 e 3. d) 7 e 4. e) 9 e 2. 
 
6.(UFF) Um prédio com a forma de um paralelepípedo retângulo 
tem 48 m de altura. No centro da cobertura desse prédio e 
perpendicularmente a essa cobertura, está instalado um pára-
raios. No ponto Q sobre a reta r - que passa pelo centro da base 
do prédio e é perpendicular ao seguimento MN - está um 
observador que avista somente uma parte do pára-raios (ver a 
figura). 
A distância do chão aos olhos do observador é 1,8 m e o segmento 
PQ=61,6m. 
O comprimento da parte do pára-raios que o observador NÃO 
consegue avistar é: 
 
a) 16 m b) 12 m c) 8 m d) 6 m e) 3 m 
 
7.(FUVEST) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4cm 
e a altura relativa a essa base também mede 4cm. MNPQ é um 
retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence 
ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, 
é 
 
a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16 
 
8.(UFMG) Observe a figura: 
 
Nela, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango inscrito no triângulo 
ABC. A medida do lado do losango é: 
 
a) 4 b) 4,8 c) 5 d) 5,2 
 
9.(UNIRIO) 
 
Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não 
identificado, em forma de disco, que estacionou a 50m do solo, 
aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a 
aproximadamente 30m acima do objeto, iluminou-o com um 
holofote, conforme mostra a figura anterior. Sendo assim, pode-
se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, 
aproximadamente: 
 
a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 
 
10.(UFRS) Para estimar a profundidade de um poço com 1,10 
m de largura, uma pessoa cujos olhos estão a 1,60 m do chão 
posiciona-se a 0,50 m de sua borda. Desta forma, a borda do 
poço esconde exatamente seu fundo, como mostra a figura. 
 
Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade do 
poço é 
 
a) 2,82 m b) 3,00 m c) 3,30 m d) 3,52 m e) 3,85 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1.A 2.B 3.C 4.B 5.E 6.D 7.B 8.B 9.A 10.D 
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Geometria Plana 
Capítulo 3 
Quadriláteros. 
 
Definição 
 
Considere quatro pontos A, B, C e D coplanares distintos, três a três não colineares (não alinhados), de modo que os segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero. 
 
Propriedades De Um Quadrilátero 
 
1. “A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360o “ 
2. “A soma dos ângulos externos de um quadrilátero convexo é igual a 360o 
 
Trapézio 
 
Um quadrilátero é um trapézio se, e somente se, tem dois lados paralelos. 
 
Os lados paralelos são chamados de bases. 
 
Classificação Do Trapézio 
 
1. Trapézio Isósceles: é o trapézio cujos lados que não são bases são congruentes. 
2. Trapézio Escaleno: É o trapézio cujos lados que não são bases, não são congruentes 
3. Trapézio Retângulo: É o trapézio que tem um lado não base perpendicular às bases e o outro oblíquo às bases. 
 
Paralelogramo 
 
Um quadrilátero que possui os lados opostos respectivamente paralelos. 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1.(UNIFOR-CE) Um criador de animais reservou um terreno retangular 
cuja área é 36m2. Após um período, observou que o terreno não era 
suficiente; sendo assim, ele aumentou 1m no comprimento e 1m na 
largura. O novo terreno retangular ficou com área de 50m2. Então, 
podemos afirmar que o perímetro do primeiro terreno é: 
 
a)23m b)24m c)25m d)26m e)27m 
 
2.(UNIMONTES)Em um quadrilátero convexo ABCD, X, Y, Z e W são 
os pontos médios de seus lados. Analise as afirmações abaixo. 
I. O quadrilátero convexo XYZW é um paralelogramo. 
II. O quadrilátero convexo XYZW é um losango. 
III. O perímetro do quadrilátero convexo XYZW é igual à soma 
das medidas das diagonais do quadrilátero ABCD. 
É correto afirmar que: 
 
a)apenas a I e a II são verdadeiras 
b)apenas a I é verdadeira 
c)todas são falsas 
d)apenas a I e a III são verdadeiras 
 
3.(UFMG) Uma folha de papel quadrada, ABCD, que mede 12cm 
de lado, é dobrada na reta r, como mostrado nesta figura: 
 
Feita essa dobra, o ponto D sobrepõe-se ao ponto N, e o ponto A, 
ao ponto médio M, do lado BC. 
É CORRETO afirmar que, nessas condições, o segmento CE mede 
 
a)7,2 cm. b)7,5 cm. c)8,0 cm. d)9,0 cm. 
 
4.(UDESC SC) No paralelogramo ABCD, conforme mostra a 
Figura 4, o segmento 𝐶𝐸̅̅̅̅ é a bissetriz do ângulo D�̂�B . 
 
Sabendo que 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ =2 e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ =5, então o valor do perímetro do 
paralelogramo ABCD é: 
 
a)26 b)16 c)20 d)22 e)24 
 
5.(UFTM) Uma praça tem a forma de um pentágono convexo, 
mostrado na figura, onde as dimensões estão indicadas em metros. 
 
Existem duas opções para ir do ponto A até o ponto C, 
contornando a praça. São elas: 
I. saindo de A, pode-se seguir em linha reta até E, depois até D 
e finalmente encaminhar-se até C; 
II. saindo de A, pode-se seguir em linha reta até B e depois dirigir-se até C. 
Se nas duas opções a distância total a ser percorrida é a mesma, e 
sendo DE > DC, então a distância entre D e E, em metros, é igual a 
 
a)70. b)80. c)90. d)100. e)110. 
 
GABARITO 
1.D 2.D 3.C 4.E 5.A 
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Geometria Plana 
Capítulo 4 
Polígonos Quaisquer e Polígonos regulares. 
 
Definição 
 
Um polígono simples é um polígono convexo, se e somente se, a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa todas os 
demais (n-2) vértices num mesmo semiplano dos dois que ela determina. Se um polígono não é polígono convexo, diremos que ele é um 
plano côncavo. 
 
Nomenclatura 
 
De acordo com o número n de lados, alguns polígonos convexos recebem nomes especiais. Isto é: 
 
 
 
Observação: O número de vértices de um polígono é igual ao número de lados 
 
Soma Dos Ângulos Internos 
 
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada pela expressão a seguir: 
 
Si = (n - 2)180º 
 
Soma Dos Ângulos Externos 
 
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados é dada por: 
 
Se = 360º 
 
Número De Diagonais 
 
O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado pela expressão a seguir: 
 
Polígonos Regulares 
 
Quando se trata de polígonos regulares podemos verificar as seguintes definições: 
 
1. Polígono equiângulo: É aquele cujos ângulos são congruentes entre si. 
2. Polígono equilátero: É aquele cujos lados são congruentes entre si. 
3. Polígono regular: É o polígono convexo que é equiângulo e também equilátero. 
 
Ângulo Interno ( Ai ) e Ângulo Externo ( Ae ) 
 
Como um polígono regular de n lados tem n ângulos internos congruentes entre si, temos: 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1.(UFSCar) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais 
tem 
 
 a)6 lados. 
 b)9 lados. 
 c)10 lados. 
 d)12 lados. 
 e)20 lados. 
 
2.(UEM) Seja k ∈ 𝑁∗. Se o número de diagonais de um polígono 
convexo é k vezes o seu número de lados, então é correto afirmar 
que o número de lados do polígono é 
 
a)3k + 2 . 
 b)2k – 3 . 
 c)k. 
 d)3k – 2 . 
 e)2k + 3. 
 
3.(UDESC) Considere um polígono convexo de seis lados. 
Sabendo que as medidas dos ângulos internos deste polígono 
formam uma progressão aritmética, e que a proporção entre o 
menor ângulo e a razão desta progressão é igual a 
15
2
 , é correto 
afirmar que: 
 
 a)o menor ângulo mede aproximadamente 34º. 
 b)o menor ângulo mede 90º. 
 c)o menor ângulo mede aproximadamente 6º. 
 d)este polígono é regular. 
 e)não é possível construir um polígono convexo de 6 lados com 
estas características. 
 
4.(FUVEST) A, B, C e D são vértices consecutivos de um 
hexágono regular. A medida, em graus, de um dos ângulos 
formados pelas diagonais 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ é 
 
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10 
a) 90 
b) 100 
c) 110 
d) 120 
e) 150 
 
5.(UNCISAL) Observe a figura. 
 
Na circunferência de centro O, a corda 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é lado de um hexágono 
regular inscrito, e a corda 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , medindo 2cm, é lado de um 
triângulo regular inscrito. O perímetro desse hexágono é igual a 
 
a) 12cm. 
b) 12√2cm . 
c) 12√3cm . 
d) 24cm. 
e) 24√3cm . 
 
6.(ESPM) Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um 
polígono regular com 20 diagonais, cujo lado mede 1. O 
comprimento do segmento AD é igual a: 
 
a) √2 
b) 1+√2 
c) 2√2-1 
d) 2√2+1 
e) 2√2 
 
7.(PUC) A1 A2 ... An é um polígono regular convexo, de n lados, 
inscritos em um círculo. Se o vértice A15 é diametralmente oposto 
ao vértice A46, o valor de n é: 
 
a)62 
b)60 
c)58 
d)56 
e)54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.B 7.A 
 
 
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11 
Geometria Plana 
Capítulo 5 
Ângulos Relacionados a Arcos. 
 
Definições Básicas 
 
1. Corda: Segmento de reta que une dois pontos quaisquer de uma circunferência. 
2. Diâmetro: Qualquer corda que passa pelo centro de uma circunferência. 
3. Arco: Qualquer uma das duas partes em que uma circunferência fica dividida por dois quaisquer de seus pontos. Esses dois 
pontos são as extremidades dos arcos. 
 
Ângulo Central 
 
Dada uma circunferência de centro O, ângulo central é qualquer ângulo que tem vértice em O 
 
Ângulo Inscrito 
 
Dada uma circunferência, dizemos que um ângulo é inscrito nessa circunferência se o seu vértice é um ponto dela e os seus lados 
contém, cada um deles, uma corda. 
 
Ângulo Excêntrico Interior 
 
A medida de um ângulo de vértice interno à circunferência é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelo seus lados 
 
Ângulo Excêntrico Exterior 
 
A medida de um ângulo de vértice externo à circunferência é igual à semi-diferença dos arcos determinados pelo seus lados. 
 
Ângulo de Segmento 
 
A medida de um ângulo de segmento é igual à metade do arco por ele determinado. 
 
Segmentos Tangentes 
 
Toda reta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. 
 
Se de um ponto P conduzirmos os segmentos PA e PB, ambos tangentes a uma circunferência, com A e B na circunferência então 
 
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12 
 
Quadrilátero Circunscrito 
 
Um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à circunferência. Se um quadrilátero 
convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois dos seus lados opostos é igual à soma dos outros dois lados. 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1.(UFRS) Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o 
ângulo que tem medida mais próxima de 1 radiano é: 
 
 
2.(FUVEST) O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo 
central medindo α radianos é igual ao perímetro de um quadrado 
de lado R. Então α é igual a : 
 
a) 𝜋/3 
b) 2 
c) 1 
d) 2 𝜋 /3 
e) 𝜋 /2 
 
3.(UFLAVRAS) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo (figura 
abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede: 
 
a) 90° 
b) 112° 30' 
c) 82° 30' 
d) 120° 
e) 127° 30' 
 
4.(CEFET–MG) A medida do menor ângulo central formado pelos 
ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min, em grau, 
é: 
 
a) 90 
b) 105 
c) 110 
d) 120 
e) 150 
 
5.(UFES) Uma curva numa linha férrea deve ser traçada em 
círculo. O raio que deve ser dado ao círculo para que os trilhos 
mudem 25º de direção numa distância de 40π metros é: 
 
a) 308 m 
b) 268 m 
c) 258 m 
d) 278 m 
e) 288 m 
 
6.Dada a figura abaixo, determine o valor do arco 𝑨�̂�: 
 
a) 65 
b) 70 
c) 54 
d) 75 
e) 81 
 
7.Os pontos O,P,Q e R pertencem à uma circunferência; sabe-se 
que P�̂�Q=3x+2 º e que P�̂�Q=110º–6x. 
 
O valor de x é 
 
a) 15º 
b) 16º 
c) 13º 
d) 12º 
e) 11º 
 
8.Qual o valor do ângulo β na figura abaixo: 
 
a) 55º 
b) 50º 
c) 61º 
d) 60º 
e) 57º 
 
 
 
 
GABARITO 
1.B 2.B 3.D 4.B 5.E 6.B7.D 8.D 
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13 
Geometria Plana 
Capítulo 6 
Relações Métricas na Circunferência. 
 
Relação Entre Duas Cordas 
 
Quando duas cordas se cruzam no interior de um círculo,o produto das medidas dos dois segmentos determinados sobre essas 
cordas é igual ao produto das medidas dos segmentos determinados sobre a outra. 
 
 
 
Relação Métrica das Secantes 
 
Quando duas secantes se cortam externamente a um círculo, o produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte 
externa é igual ao produto da medida da outra secante pela medida de sua parte externa. 
 
 
 
Relação Métrica Entre Secante e Tangente 
 
Quando, de um ponto exterior, traçamos uma tangente e uma secante a um círculo, a medida da tangente é a médiaproporcional 
entre a medida da secante inteira e a medida da sua parte externa. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (EPCAR) De um ponto P, traça-se uma tangente e uma 
secante a um círculo. Se o segmento 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ da secante é o dobro do 
segmento tangente e mede 16 m, qual deve ser, em m, o raio do 
círculo, se a secante contém o diâmetro do mesmo? 
 
a) 2√3 b) 3√2 c) 2√6 d) 5 e) 6 
 
2. Seja R o ponto de tangência da circunferência inscrita no 
triângulo ABC, com o lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . Se AB = 9 cm,BC = 14 cm e AC = 
11 cm, o valor da medida de 𝐶𝑅̅̅ ̅̅ é 
 
a) 7cm b) 6cm c) 8cm d) 9cm e) 10cm 
 
3.O valor da medida do lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ do quadrilátero circunscrito na 
circunferência, sendo AB = 10 cm, CD = 15 cm e AD = 13 cm. 
 
a) 12cm b) 13cm c) 15cm d) 16cm e) 17cm 
 
4.Duas cordas cortam-se no interior de um círculo. Os segmentos 
da primeira são expressos por 3x e x+1 e os da Segunda por x 
e 4x-1. O comprimento da maior corda, qualquer que seja a 
unidade, é expresso pelo número: 
 
a) 17 b) 19 c) 21 d) 30 
 
 
 
 
 
 
5. O Valor de x na figura é: 
 
a) 3 b) 4, 8 c) 7, 5 d) 3 
1
3
 
 
6.Na figura, AB=7m, AD=6m e DE=4m. Então, BC é igual a: 
 
a) 5 m b) 11 m c) 12 m d) NDA 
 
7.Na figura seguinte, são dados: 𝑃𝐶̅̅̅̅ =4cm e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 6cm. A medida 
do segmento PB, em cm é: 
 
 
a) 2 b) 3 c) 1, 5 d) 2, 5 
 
 
 
GABARITO 
1.E 2.C 3.A 4.B 5.A 6.D 7.A
 
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14 
Geometria Plana 
Capítulo 7 
Teorema de Talles. 
 
Definições 
 
1. Feixe de Paralelas: É um conjunto de retas pertencentes a um mesmo plano (coplanares ) paralelas entre si. 
2. Transversal do feixe de retas paralelas: É uma reta do plano do feixe que concorre com todas as retas do feixe. 
3. Pontos correspondentes de duas transversais: São pontos destas transversais que estão numa mesma reta do feixe. 
4. Segmentos correspondentes de duas transversais: São segmentos cujas extremidades são os respectivos pontos 
correspondentes. 
 
 
Teorema De Talles 
 
Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à 
razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. No caso da figura acima, podemos dizer que: 
 
 
 
ou seja, os segmentos correspondentes formam um proporção. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (SARESP) No desenho abaixo estão representados os terrenos 
I, II e III. 
 
Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o 
proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz 
frente com a Rua das Rosas 
 
a) 24 b) 34 c) 32 d) 36 e) 40 
 
2. (FUVEST) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol 
sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a 
sombra, de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual 
a altura do poste. 
 
a) 20 b) 22 c) 24 d) 30 e) 40 
 
3. (MACK-SP) Na figura, sendo a // b //c, o valor de x é: 
 
a) 3/2 b) 3 c) 4/3 d) 2 e) 1 
 
4. (PUC) Na figura abaixo, as retas r, s e t são paralelas entre si. 
 
Se AC=x, BC=8, DE=15, EF=x-10, GI=y e HI=10, então x+y é 
um número 
 
a) maior que 47 
b) entre 41 e 46 
c) menor que 43 
d) quadrado perfeito 
e) cubo perfeito 
 
5. (UEL) Uma construtora fez um loteamento em um terreno cujo 
formato está representado na figura a seguir, onde AB//CD//EF. 
É correto afirmar que a área total do terreno, em m2, é: 
 
a) 525m2 
b) 675 m2 
c) 150 (2+√7) m2 
d) 300 (1+√7) m2 
e) 450√7 m2 
 
6. (UFRRJ) Pedro está construindo uma fogueira representada 
oela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as 
retas r, s e t são paralelas. 
 
A diferença x-y é: 
 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 10 e) 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
1.C 2.A 3.D 4.B 5.C : 6.C
 
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15 
Geometria Plana 
Capítulo 8 
Semelhança de Triângulos. 
 
Definições 
 
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos ( 
correspondentes ) proporcionais. 
 
Dois lados homólogos são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes. 
 
Razão De Semelhança 
 
Sendo k a razão entre os lados homólogos, , k é chamado razão de semelhança dos triângulos. 
 
Se k = 1, os triângulos são congruentes. 
 
Casos Ou Critérios De Semelhança. 
 
1º Caso (AA) - Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes. 
2º Caso (LAL) - Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são 
congruentes, então os triângulos são semelhantes. 
3º Caso (LLL) - Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes. 
 
Consequências Dos Casos De Semelhança: 
 
Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então: 
 
 A razão entre lados homólogos é k; 
 A razão entre os perímetros é k; 
 A razão entre as alturas homólogas é k; 
 A razão entre as medianas homólogas é k; 
 A razão entre as bissetrizes internas homólogas é k; 
 A razão entre os raios dos círculos inscritos é k; 
 A razão entre os raio dos círculos circunscritos é k; 
 A razão entre dois elementos lineares homólogos é k; 
 
E os ângulos homólogos são congruentes. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1.(UFJF)Uma mesquita possui uma abóboda semi-esférica de 4 
m de raio, cujo centro dista 7 m do chão e 5 m das paredes 
laterais. A figura ao lado representa um corte em perfil, em que 
um menino, afastado 6 m da parede lateral, mirando em A, vê o 
ponto B na abóboda. Considerando-se os olhos do menino a 1 m 
do chão e desprezando-se a espessura das paredes para o 
cálculo, a altura do ponto B ao chão é: 
 
 a) 
21−√7
2
𝑚 
b) 
19−√7
2
𝑚 
c) 
17−√7
2
𝑚 
d) 
8+√7
2
𝑚 
e) 8m 
 
2.(UNESP SP)A figura representa uma chapa de alumínio de 
formato triangular de massa 1 250 gramas. Deseja-se cortá-la 
por uma reta r paralela ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e, que intercepta o lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
em D e o lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ em E, de modo que o trapézio BCED tenha 700 
gramas de massa. A espessura e a densidade do material da 
chapa são uniformes. Determine o valor percentual da razão de 
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ por 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 
Dado: √11 ≈ 3,32 
 
a)88,6. 
b)81,2. 
c)74,8. 
d)66,4. 
e)44,0. 
 
3.(UESPI)Na ilustração abaixo, AB é um diâmetro paralelo à 
corda CD, e o ângulo AED mede 60º. Se a área do triângulo ABE 
é 24, qual a área do triângulo CDE? 
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16 
 
a)5 
b)6 
c)7 
d)8 
e)9 
 
4.Duas circunferências de raios R e r são tangentes externas, 
como mostra a figura. Sendo PQ = x temos: 
 
a) x = (R + r) (R – r) 
b) x= 
𝑅+𝑟
𝑅−𝑟
 
c) x=
2𝑟2
𝑅−𝑟
 
d) x=
𝑅2
𝑅+𝑟
 
e) x=
𝑟2
𝑅−𝑟
 
 
5.(UFOP-MG) Uma pessoa, após caminhar 10,5 metros sobre 
uma rampa plana com inclinação de 𝜃 radianos, em relação a um 
piso horizontal, e altura de h metros na sua parte mais alta, está 
a 1,5 metros de altura em relação ao piso e a 17,5 metros do 
ponto mais alto da rampa. 
 
Sendo assim, a altura h da rampa, em metros, é de: 
 
a)2,5 
b)4,0 
c)7,0 
d)8,5 
 
6. (UEPB)A projeção da sombra de um poste vertical sobre um 
chão plano mede 14 m. Neste mesmo instante, a sobra projetada 
de uma criança de 1 m de altura mede 0,7 m. Qual o comprimento 
do poste? 
 
a)24 m 
b)20 m 
c)18 m 
d)15 m 
e)16 m 
 
7. (FUVEST) Na figura, ABC é um triângulo de catetos AB = 4 e 
AC= 5. O segmento 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ é paralelo a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , F é um ponto de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e o 
segmento 𝐶𝐹̅̅̅̅ intercepta 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ no ponto G, com CG = 4 e GF = 2. 
Assim, a área do triângulo CDE é: 
 
a) 
16
3
 
b) 
35
36
 
c) 
39
8
 
d) 
40
9
 
e)
70
9
 
 
8. (FATEC) No sistema cartesiano ortogonal xOy, considere a 
circunferência de centro O e pontos A (2; 0) e Q(√3; 0). 
Sabendo-se que P é um ponto dessa circunferência e que a reta 
𝐴𝑇̅̅̅̅ é tangente à circunferência no ponto A, tal que 𝐴𝑇̅̅̅̅ é paralela a 
𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , então a medida do segmento 𝐴𝑇̅̅ ̅̅ é 
 
a) 
2√3
3
 . 
b) √3 . 
c) 
4√3
3
 . 
d) 
5√3
3
 . 
e)2√3 . 
 
9. (UNESP) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro, 
num terreno plano. Um observador, no pé do edifício X (ponto P), 
mede um ângulo α em relação ao topo do edifício Y (ponto Q). 
Depois disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma que 
RPTS formem um retângulo e QT seja perpendicular a PT, esse 
observador mede um ângulo 𝛽 em relação ao ponto Q no edifício 
Y. 
 
Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3 tg𝛼= 4 tg𝛽, a 
altura h do edifício Y, em metros, é: 
 
a) 
40
3
 
b) 
50
4
 
c)30 
d)40 
e)50 
 
10. (MACK SP) Na figura, se 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅=18cme A, B e C são pontos de 
tangência, o perímetro do triângulo assinalado é igual a: 
 
a)30 cm 
b)32 cm 
c)34 cm 
d)36 cm 
e)38 cm 
 
 
 
 
 
Gabarito 
1.B 2.D 3.D 4.C 5.B 6.B 7.D 8.A 9.D 10.D 
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17 
Geometria Plana 
Capítulo 9 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo. 
 
Elementos 
 
Considerando um triângulo ABC, retângulo em A, e conduzindo AD perpendicular a BC, com D em BC, vamos caracterizar os 
elementos seguintes: 
 
 
 
Relações Métricas 
 
Com base nas semelhanças dos triângulos abaixo e com os elementos já caracterizados acima, temos: 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. O triângulo ABC da figura abaixo, é eqüilátero de lado medindo 
20cm. 
𝐴𝐻̅̅ ̅̅ e 𝐻𝐷̅̅ ̅̅ são, respectivamente, as alturas dos triângulos ABC e 
AHC. A medida de 𝐻𝐷̅̅ ̅̅ , em cm, é: 
 
a) 5√3 
b) 10√3 
c) 
20√3
3
 
d) 6√3 
e) 
12√3
5
 
 
2. (UFV-MG) Numa aula de geometria, um estudante considerou um 
triângulo retângulo. A partir do ponto médio da hipotenusa, traçou 
segmentos de reta perpendiculares aos catetos e concluiu que: 
“Em qualquer triângulo retângulo, o ponto médio da hipotenusa 
é equidistante dos três vértices.” 
Em seguida, o estudante considerou um outro triângulo 
retângulo, no qual fora inscrito um círculo. A partir da 
decomposição desse triângulo em três triângulos, tendo como 
vértice comum o centro do círculo, concluiu que: 
“Em qualquer triângulo retângulo, a medida do raio do círculo 
inscrito é igual ao produto das medidas dos catetos dividido pela 
medida do perímetro do triângulo.” 
Sobre essas duas conclusões do estudante, é CORRETO afirmar que: 
 
a) ambas são verdadeiras. 
b) ambas são falsas. 
c) apenas a primeira é verdadeira. 
d) apenas a segunda é verdadeira. 
 
3. (UNESP) Considere um plano sobre o qual estão localizados 
os pontos X, Y, Z e W, de forma que: 
I. X, Y e Z são colineares; 
II. as retas WX e YZ são perpendiculares; 
III. X é um ponto exterior ao segmento YZ; 
IV. a distância YZ é de 90 cm; 
V. os ângulos WZX e WYX medem, respectivamente, 45ºe 60º. 
Então, a distância ZX é aproximadamente igual a 
(adote √3=1,73) 
 
a)30,3 cm. 
b)70,9 cm. 
c)123,3 cm. 
d)212,8 cm. 
e)295,0 cm. 
 
4. (PUC) Sabendo–se que o triângulo ABC é retângulo e AH = h 
é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas: 
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18 
 
a)a = b•c 
b)a2 = h•c 
c)a2 = b•c 
d)ah = b•c 
e)n.d.a 
 
5.(FGV) O valor mais próximo de x, na figura abaixo, é: 
 
a)5,5 
b)4,8 
c)4,3 
d)5,9 
e)3,8 
 
6. (UNIFOR-CE) Na figura abaixo, têm-se AB = 6 cm, BC = 10 
cm e EC = 4 cm. 
 
A medida de DE, em centímetros, é igual a: 
 
a) 
12
5
 
b) 
5
2
 
c)2√2 
d)3 
e)2√3 
 
7. (UFT) Observe esta figura: 
 
Nessa figura, o triângulo BAC é retângulo em A; o segmento AH 
corresponde à altura relativa à hipotenusa BC; 𝐵𝐻̅̅ ̅̅ mede 1 cm e 
𝐻𝐶̅̅ ̅̅ mede 4 cm. 
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que oca 
teto AC mede 
 
a) 2√5cm 
b) 3√5cm 
c) 4 √5cm 
d) 5 cm 
 
8. (PUC) Na figura abaixo, os segmentos são medidos em m. O 
segmento x vale: 
 
a)11m 
b)105m 
c)impossível, pois 43 não tem raiz exata. 
d)7m 
e)n.d.a 
 
9. (UEPA) No quadrilátero ABCD abaixo, tem–se: AB = 4cm, BC 
= 5cm, CD = 6cm e AC = perpendicular a BD. A medida do lado 
AD vale: 
 
a)7cm 
b)3cm 
c)3√2 cm 
d)3√5 cm 
e)3√3 cm 
 
10. (UFOP-MG) Num triângulo retângulo, a altura relativa à 
hipotenusa e a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa 
são, respectivamente, 4 e 2√2. O produto dos catetos é 
 
a) 24√2 
b) 12√2 
c) 12 
d) 6√3 
e) 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1.A 2.A 3.D 4.D 5.B 6.D 7.A 8.D 9.E 10.A 
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19 
Geometria Plana 
Capítulo 10 
Áreas de figuras planas. 
 
Introdução 
 
Assim como as medidas de segmentos e as medidas de ângulos, a forma rigorosa para se conceituar áreas é vista em um curso de 
terceiro grau. 
 
Vamos aqui enunciar algumas propriedades que nos leva às fórmulas de algumas regiões poligonais. Para simplificar os enunciados 
muitas vezes quando falarmos polígono estaremos querendo dizer região poligonal: área de um polígono vai significar, de agora em 
diante, área da região poligonal que ele determina. 
 
Área Do Triângulo 
 
A área do triângulo é dada pela formula: 
 
 
Área Do Triângulo Em Função De Dois Lados E Do Ângulo 
 
Caso seja fornecido apenas dois lados de um triângulo e o ângulo compreendido por estes lados, podemos calcular a sua área pelas 
expressões abaixo: 
 
 
Área do Triângulo em Função dos Lados 
 
Caso seja fornecido apenas os lados do triângulo, a sua área pode ser calculada através da fórmula de HERÃO. 
 
 
Cálculo do Raio da Circunferência Inscrita 
 
Circunferência inscrita 
 
Seja I o incentro de um triângulo ABC qualquer. Unindo-se o ponto I aos três vértices do triângulo, este fica decomposto nos triângulos 
BIC, AIC e AIB. Logo: 
 
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20 
Área Do Paralelogramo 
 
A área do paralelogramo qualquer é dada pela fórmula: 
 
 
Áreas Dos Paralelogramos Notáveis 
 
Os paralelogramos notáveis são o retângulo, o losango e o quadrado. Suas áreas também são dadas pela fórmula: 
 
 
Porém, como as diagonais do losango são perpendiculares, é possível expressar sua área em função de suas diagonais. 
 
Áreas Do Trapézio 
 
A área de um trapézio qualquer é dada pela fórmula: 
Essa fórmula pode ser obtida facilmente decompondo o trapézio em dois triângulos. 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (UECE) Cada vértice de um heptágono regular, cuja área é 80,25 m2, 
é centro de um círculo cuja medida do raio é 1 m. A área da região 
interior ao heptágono e exterior a cada um dos círculos, em m2, é 
Use 𝜋= 3,14. 
 
a)75,03. 
b)74,16. 
c)73,37. 
d)72,40. 
 
2. (UFU-MG) 
 
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21 
Para que a área do triângulo EBC seja igual a 30cm2, o lado do 
quadrado ABCD deve ser igual a 
 
a) 10cm. 
b) 10√2 cm . 
c) 5√3cm . 
d) 5cm 
 
3.(FGV) De um retângulo de lados 20cm e 14cm, foram 
retirados dois quadrados iguais, como mostra a figura a seguir:
 
Se o perímetro da figura acima é de 92cm, sua área é igual a: 
 
a)152cm2. 
b)182cm2. 
c)208cm2. 
d)230cm2. 
e)248cm2. 
 
4.(FUVEST SP) Dois irmãos herdaram um terreno com a 
seguinte forma e medidas: 
 
AD = 20 m; AB = 60 m; BC = 16 m. 
Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles 
usaram uma reta perpendicular a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Para que a divisão seja feita 
corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros 
deverá ser de: 
 
a)31 b)32 c)33 d)34 e)35 
 
5. (UFCG-PB) Um jornalista anuncia que, em determinado 
momento, o público presente em um comício realizado numa 
praçacom formato do trapézio isósceles ABCD, com bases 
medindo 100m e 140m (vide figura abaixo), era de 20.000 
pessoas. Sabendo-se que 𝜃 =
𝜋
4
 e, considerando-se que em 
aglomerações desse tipo o número máximo de pessoas por metro 
quadrado é igual a 6, o que pode ser concluído a respeito do 
anúncio jornalístico? 
 
a)Falso, pois a praça comporta no máximo 18.000 pessoas. 
b)Falso, pois a praça comporta menos de 15.000 pessoas. 
c)Verídico, pois a praça comporta no máximo 21.000 pessoas. 
d)Falso, pois a praça comporta no máximo 19.000 pessoas. 
e)Verídico, pois a praça comporta mais de 22.000 pessoas. 
 
6. (UEPB) O quadrilátero de vértices A(40, 0) , B(60, 20) , C(20, 
40) e D(0, 20) representa, em m², a área de um terreno que foi 
repartido em herança pelos irmãos Frank e Aguiar. Se o 
testamento destinou a Frank exatos 540 m² do terreno, então sua 
porcentagem na divisão foi igual a: 
 
a)45% b)25% c)35% d)55% e)35% 
 
7.(UFPA) Três triângulos isósceles semelhantes têm como bases 
os lados de um triângulo retângulo. 
Se as áreas dos dois triângulos isósceles menores medem 9 cm2 e 
12 cm2, então a área do triângulo isóscele maior é 
 
a)20 cm2 
b)25 cm2 
c)21 cm2 
d)15 cm2 
e)16 cm2 
 
8.(UEL PR) Sabendo-se que o terreno de um sítio é composto de 
um setor circular, de uma região retangular e de outra triangular, 
com as medidas indicadas na figura ao lado, qual a área 
aproximada do terreno? 
 
 
a)38,28 Km2 
b)45,33 Km2 
c)56,37 Km2 
d)58,78 Km2 
e)60,35 Km2 
 
9.(FGV) Um terreno tem o formato de um trapézio retângulo 
ABCD, conforme mostra a figura abaixo: 
 
O lado AB tem a mesma medida que AD e vale 6 m. O ângulo 𝐵�̂�𝐷 
mede 30°. A área do terreno é igual a: 
 
a) 18(2+√3) 
b) 18(3+√3) 
c) 18(4+√3) 
d) 18(5+√3) 
e) 18(6+√3) 
 
10. (UFMG) Na Figura I, está representado um retângulo, cuja 
base mede 25 cm e cuja altura mede 9 cm. Esse retângulo está 
dividido nas regiões 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾 . 
Sem que haja qualquer superposição delas, essas regiões podem 
ser reagrupadas, formando um quadrado, como mostrado na 
Figura II. 
 
I 
 
II 
Então, é CORRETO afirmar que a área da região 𝛼 mede 
 
a)24 cm2. 
b)28 cm2. 
c)30 cm2. 
d)32 cm2. 
 
 
 
 
GABARITO: 
1.D 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.C 8.D 9.A 10.C 
 
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22 
Geometria Plana 
Capítulo11 
Áreas de figuras circulares. 
 
Área Do Círculo 
 
A área do círculo de raio r é dada pela fórmula: 
 
Área Da Coroa Circular 
 
Considere dois círculos concêntricos, isto é, de mesmo centro, de raios R e r, R > r. 
 
Chama-se coroa circular o conjunto de todos os pontos que pertencem ao circulo maior e que não estão no interior do círculo menor. 
 
 
 
Área Do Setor Circular 
 
Chama-se setor circular a intersecção de um círculo qualquer com um ângulo também qualquer que tenha seu 
 
 
O setor circular é uma fração do círculo. Desse modo, para calcular a área de um setor circular basta descobrir qual é a fração que 
ele representa do círculo. 
 
Área Do Segmento Circular 
 
Chama-se segmento circular qualquer uma das partes em que um círculo fica dividido por uma corda qualquer. 
 
O segmento circular não contém o centro do círculo. 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (UFPE) Num círculo, inscreve-se um quadrado de lado 7cm. 
Sobre cada lado do quadrado, considera-se a semi-circunferência 
exterior ao quadrado com centro no ponto médio do lado e raio 
3,5cm, como na figura a seguir. Calcule a área da região 
hachurada. 
 
a)50 b)49 c)55 d)44 e)45 
 
2. (MACK-SP) A área da figura sombreada, em cm2, é: 
 
a) 100𝜋 b) 100 c) 25 𝜋 d) 25 e) 25(𝜋-2) 
 
 
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23 
3.(UNRIO-RJ) A área da região hachurada vale: 
 
 
a)12 𝜋-2 
b)16-2 𝜋 
c)9- 𝜋 
d)8-2 𝜋 
e)4- 𝜋 
 
4.(UEL-PR) Considere a região hachurada, no interior do circulo 
de centro O, limitada por semicircuferências, conforme mostra a 
figura a seguir. 
 
Se a área dessa região é 108 𝜋cm2 e AM= MN=NB, então a medida 
AO, em centímetros é: 
 
a)9 
b)12 
c)16 
d)18 
e)24 
 
5.(MACK-SP) Na figura, ABCD é um quadrado e o arco AP em 
centro D. Se a área assinalada mede 
4−𝜋
8
, o perímetro do 
quadrado é igual a: 
 
a)2 
b)4√2 
c)4 
d)√2 
e)8 
 
6.(UEL-PR) Na figura a seguir, tem-se a reta r tangente à 
circunferência de centro C e o triângulo equilátero ABC, cujo lado 
mede 8 √3cm. A área da região sombreada, em centímetros 
quadrados, é: 
 
a)52 𝜋 
b)48 𝜋 
c)36 𝜋 
d)30 𝜋 
e)24 𝜋 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
1.B 2.E 3.D 4.D 5.C 6.E
 
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24 
Geometria Espacial 
Capítulo 1 
Introdução 
 
Noções primitivas. 
 
Noções primitivas são aquelas adotadas sem definição. A partir dessas noções, a geometria, de um modo geral, é desenvolvida. 
 
As primeiras noções primitivas na geometria são as de ponto, reta e plano. 
 
 o ponto 
 
 Não possui dimensão. 
 A sua indicação é feita por letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
 
 a reta 
 
 A reta é imaginada sem espessura. 
 A reta não tem começo e em fim. 
 A sua indicação é feita por letra minúscula do nosso alfabeto. 
 
 o plano 
 
 É imaginado sem fronteiras, ilimitado em todas as direções. 
 É impossível representar o plano em sua totalidade, por esse motivo representamos apenas uma parte do plano. 
 A sua indicação é feita por letra minúscula do alfabeto grego: 𝛼(𝑎𝑙𝑓𝑎), 𝛽(𝑏𝑒𝑡𝑎)𝑒𝛾(𝑔𝑎𝑚𝑎),… 
 
Posições relativas de duas retas 
 
Duas retas distintas podem ter as seguintes posições no espaço: concorrentes, paralelas ou reversas. 
 
 Concorrentes 
 
Duas retas distintas são concorrentes se, e somente se, têm um único ponto em comum. 
Podemos afirmas que as retas r e t são concorrentes, pois possuem um único ponto comum. O ponto comum é o ponto P. 
 
𝑟 ∩ 𝑟 = 𝑝 
𝑟𝐶𝛼𝑒𝑡𝐶𝛼 
 
 
 
 
 Paralelas 
 
Duas retas distintas são paralelas se, e somente se, são coplanares e não têm ponto comum. 
Podemos afirmar que as retas r e t são paralelas, pois: 
 
 
 
𝑟 ∩ 𝑡 = ∅ , 𝑟𝐶𝛼𝑒𝑡𝐶𝛼. 
 
B I Z U 
Duas retas são coplanares quando estão situadas no mesmo plano. 
 
 Reversas 
 
Duas retas distintas são reversas se, e somente se, não existir plano que as contenha. 
 
Podemos afirmar que as retas r e t são reversas, pois: 
 
𝑟 ∩ 𝑡 = ∅ e não existe plano que contenha as duas retas ao mesmo tempo. 
 
 
B I Z U 
As retas concorrentes podem ser chamadas de retas secantes. 
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25 
Além dessas posições relativas para retas distintas, existe outra que foge do modelo apresentado. São as retas coincidentes que 
ocupam o mesmo lugar no plano. 
 
B I Z U 
No espaço, o fato de duas retas não serem paralelas não significa necessariamente que elas 
sejam concorrentes, como acontece no plano. Duas retas reversas não são paralelas nem 
concorrentes. 
 
PRÁTICA 
P1) Classifique os itens em certo ou errado. 
(1) ( ) duas retas distintas que têm um ponto em comum são concorrentes. 
(2) ( ) duas retas distintas que não têm ponto comum são retas paralelas. 
(3) ( ) duas retas coplanares são concorrentes. 
(4) ( ) duas retas que estão num mesmo plano são paralelas. 
 
Posições relativas de uma reta e um plano 
 
Uma reta e um plano podem ter as seguintes posições relativas: 
 
A reta está contida no plano, a reta e o plano são concorrentes ou a reta e o plano são paralelas. 
 
 a reta está contida no plano. 
 
Uma reta está contida num plano se, e somente se, todos os pontos da reta estão no plano. 
 
Qualquer ponto genérico A da reta r está contida no plano 𝛼. 
 
𝑟𝐶𝛼, 𝑟 ∩ 𝛼 = 𝑟 
 
 
 a reta e o plano são concorrentes 
 
Uma reta r e um pano são concorrentes ou secantes se, e somente se, eles tiverem um único ponto comum. Esse ponto comum 
chamaremos de o traço da reta no plano. 
 
O ponto P é o único ponto comum entre a reta e o plano. 
𝑟 ∩ 𝛼 = {𝑃} 
 
P é o traço da reta noplano. 
 a reta e o plano são paralelos. 
 
Uma reta e um plano são paralelos se, e somente se, eles não têm ponto comum. 
 
A reta r e o plano são paralelos, pois nenhum outro ponto da reta r esta contida no plano 𝛼. 
𝑟 // 𝛼, 𝑟 ∩ 𝛼 = ∅. 
 
 
PRÁTICA 
P2)Classifique em certo ou errado. 
(1) ( ) Uma reta e um plano secantes têm um ponto comum. 
(2) ( ) Uma reta e um plano paralelos não tem ponto comum. 
P3) Observe o cubo e cite: 
 
a) Cinco retas paralelas ao plano determinado pela ADGH. 
b) Cinco retas que estejam contidas no plano determinado pela face CDGF. 
c) Cinco retas que façam intersecção no plano determinado pela face ABCD. 
 
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26 
Posições relativas de dois planos 
 
Dois planos distintos podem ocupar as seguintes posições relativas: 
Paralelos ou secantes. 
 
 Paralelos 
 
Dois planos distintos são paralelas se, e somente se, eles não têm ponto comum. 
 
𝛼 𝑒 𝛽 𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 
𝛼 ∩ 𝛽 = ∅ 
𝑟 // 𝛼 
 Secantes 
 
Dois planos distintos são secantes se, e somente se, eles se interceptam (ou se cortam). 
A intersecção de dois planos secantes é uma reta. A reta comum também é chamada de traço de um plano no outro. 
 
𝛼𝐶𝛽 𝑠𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠. 
𝛼 ∩ 𝛽 = 𝑟 . 
 
r é a intersecção de 𝛼𝑒𝛽. 
 
PRÁTICA 
P4)Observando o cubo, responda: 
a) Dos planos determinados pelas faces, quais são os pares de planos distintos e paralelos? 
b) Cite três pares de planos secantes. 
c) Os planos determinados pelas faces CDGF e EFGH são secantes? 
 
d) A reta 𝐴𝐷⃡⃗⃗⃗ ⃗ é intersecção dos planos determinados por quais faces? 
 
Perpendicularismo de dois planos 
 
Antes de começarmos a falar sobre perpendicularismo de dois planos, devemos verificar a seguinte definição: 
 
Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma um ângulo reto com qualquer reta do plano. 
 
Observe o cubo: 
 
 
Pela definição de cubo, podemos afirmar que a reta 𝐷𝐻⃡⃗ ⃗⃗ ⃗ é perpendicular ao plano 𝛼. Observe que as retas 𝐷𝐴⃡⃗⃗⃗ ⃗, 𝐷𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗, 𝐷𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗, estão contidas 
no plano 𝛼. Daí, pela definição acima, todas essas retas formam um ângulo reto com a reta 𝐷𝐻⃡⃗ ⃗⃗ ⃗. 
 
Agora, definiremos planos perpendiculares. 
 
Dois planos são perpendiculares se, e somente se, um deles contém uma reta perpendicular ao outro. 
 
Observe o cubo. 
 
Os planos 𝛼𝑒𝛽 são paralelas, pois a reta 𝐶𝐺⃡⃗ ⃗⃗ do plano 𝛽 é perpendicular ao plano 𝛼. 
 
 
 
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27 
PRÁTICA 
P5)Classifique em certo ou errado. 
(1) ( ) Dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são paralelos. 
(2) ( ) Dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si. 
(3) ( ) Se dois planos são paralelos, então todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro. 
(4) ( ) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta perpendicular a um deles é paralela ao outro ou está 
contida neste outro. 
 
Projeção ortogonal 
 
Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano 
 
Traçamos a reta perpendicular ao plano 𝛼 pelo ponto P e encontramos P’. O centro P’ é chamado projeção ortogonal do ponto P 
sobre o plano 𝛼. 
 
 
Projeção ortogonal de uma figura qualquer sobre um plano 
 
As figuras A’ e B’ são as projeções ortogonais das figuras A e B, respectivamente, sobre o plano 𝛼. Elas são formadas pelas projeções 
ortogonais de todos os pontos das figuras A e B sobre 𝛼. 
 
Projeção ortogonal de um segmento sobre um plano 
 
A projeção ortogonal de um segmento sobre um plano pode ser um segmento ou um ponto. 
Se o segmento for perpendicular ao plano, então a projeção ortogonal é um ponto. 
O ponto C é a projeção ortogonal do segmento no plano 𝛼. 
 
 
 
Se o segmento for oblíquo ao plano, então a projeção ortogonal é um segmento 
 
B I Z U 
A projeção ortogonal do ponto P sobre o plano 𝛼 é o “pé da perpendicular” ao plano 𝛼 que 
passa por P. 
 
Ângulo no espaço 
 
Ângulos de retas reversas 
 
Ângulos de duas retas reversas são aqueles formados por uma delas com a reta paralela à outra, conduzida por um ponto da primeira. 
Observe o cubo. 
 
 
Sejam r a reta formada pelos pontos A e B e t a reta formada pelos pontos C e D. 
As retas r e t são reversas, ou seja, não há um plano que as contenha. 
Pela definição, criaremos uma reta a por um ponto de r que seja paralela à reta t. 
Daí, 𝜃 é o ângulo formado entre as retas a e r, conseqüentemente, 𝜃 é o ângulo formado entre as retas reversas r e t. 
 
Ângulo de reta e plano 
 
Ângulo de uma reta em um plano oblíquo é aquele formado pela reta com sua projeção ortogonal sobre o plano. 
Observe o cubo. 
 
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28 
Observe que a reta r que passa pelos pontos A e B é oblíqua ao plano 𝛼. 
A reta t passa pelos pontos B e C é a projeção ortogonal da reta r sobre o plano 𝛼. 
Pela figura, 𝜃 é o ângulo formado entre a reta r e o plano 𝛼. 
 
Ângulo de dois planos 
 
A medida do ângulo entre dois planos P e P' é igual à medida do ângulo formado pelas retas R e R´ pertencentes aos planos P e P' e 
perpendiculares à intersecção entre os dois planos. 
 
 
PRÁTICA 
P6)Classifique em certo ou errado. 
(1) ( ) A projeção ortogonal de ponto sobre um plano é o um ponto. 
(2) ( ) A projeção ortogonal de um reta sobre um plano é uma reta. 
(3) ( ) A projeção ortogonal de um triangulo sobre um plano é sempre um triângulo. 
(4) ( ) Se as projeções ortogonais, sobre um mesmo plano, de duas retas são paralelas, então as retas são paralelas. 
 
Poliedros - Introdução 
 
O estudo dos sólidos geométricos ,na Geometria Métrica Espacial, permite-nos ampliar nosso universo de conhecimentos e ,com o 
uso de técnicas e estratégias apropriadas de resolução de problemas ,estabelecer uma maior interação com situações cotidianas. 
 
B I Z U 
Cada vértice do poliedro é um ponto comum a três ou mais arestas. 
 
Definição 
 
Denomina-se poliedro o solido limitado por polígonos, de modo que: 
 
 dois desses polígonos não estão num mesmo plano. 
 cada lado de um polígono é comum a dois e somente dois polígonos. 
 
 Os polígonos são denominados faces do poliedro. 
 Os lados são polígonos que são denominados arestas do poliedro. 
 Os vértices dos polígonos são denominados vértices do poliedro. 
 
Poliedro convexo e poliedro não – convexo. 
 
Uma região do plano se diz convexa quando o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer dessa região está inteiramente 
contido nela. 
 
B I Z U 
Uma região plana é convexa se qualquer reta r desse plano intersecta seu contorno em, 
no máximo, dois 
 
Agora, um poliedro é convexo quando o segmento que liga dois de seus pontos está sempre contido nele. 
 
Exemplos de poliedros convexos: 
 
Exemplo de poliedro não – convexo: 
 
Observação: O estudo que será feito a partir daqui vai considerar apenas os poliedros convexos. 
 
B I Z U 
Podemos dizer também que um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma das 
faces intersecta suas faces em, no máximo, dois pontos. 
 
 
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29 
PRÁTICA 
P7)Analise o poliedro da figura abaixo e responda: 
 
a) Qual é o número de faces, de arestas e de vértices? 
b) Qual é a forma de cada face? 
c) O vértice C é comum a quantas arestas? 
d) O vértice V é comum a quantas arestas? 
e) Qual é a posição relativa das arestas determinadas pelas arestas 𝑉𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ? 
 
Relação de Euler 
 
A relação de Euler nos mostra uma importante ligação entre o número de vértices(v), o número de arestas (A) e o número de faces 
(F) de um poliedro convexo. 
 
A relação pode ser escrita assim: 𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 2 
 
B I Z U 
Dados três números V, A e F tal que 𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 2, nem sempre existe um poliedro que 
tenha vértices, A arestas e F faces. Por exemplo, V = 1, A = 3 e F = 4. 
 
PRÁTICA 
P8) Em um poliedro convexo de 20 arestas, o numero de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro? 
P9) Um poliedro convexo possui seis faces quadrangularese duas hexagonais. Calcule o número de vértices desse poliedro. 
 
Poliedros regulares 
 
Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares e congruentes e em todos os vértices concorre o 
mesmo número de arestas. 
 
 
B I Z U 
Polígono regular é aquele que possui todos os lados e ângulos congruentes. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (COPEVE) Observe o sólido vazado abaixo. 
 
Então, em relação ao número de faces deste sólido, podemos 
dizer que ele é 
 
a) menor que 50. d) um número ímpar. 
b) igual a 50. e) divisível por 3 
c) maior que 70. 
 
 
 
2.(FCC) A figura abaixo representa um certo corpo sólido vazado. 
 
O número de faces desse sólido é 
 
a) 24 
b) 26 
c) 28 
d) 30 
e) 32 
 
3.(CESPE) A respeito do controle e manutenção dos 48 veículos 
de um órgão público, julgue os itens seguintes. 
Se o porta-malas de um desses veículos tiver capacidade para 
1.143 L, então é correto afirmar que a capacidade do porta-malas 
desse veículo é de 11, 43 dm3 . 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
4.(CESPE) Julgue os seguintes itens, relativos a sistemas 
numéricos e sistema legal de medidas. 
Considere que, para garantir o abastecimento de água durante 
determinado período de seca, tenha sido construído, em uma 
propriedade, um reservatório com capacidade para armazenar 
10.000 dm3 de água. Nesse caso, o reservatório não 
transbordará se nele forem depositados 20.000 L de água. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
5.(NUCEPE) A soma das medidas dos ângulos das faces de um 
poliedro convexo é 1080º. Determine o número de faces, 
sabendo-se que o poliedro tem 8 arestas: 
 
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30 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
6.(CONESUL) O volume de um recipiente é expresso como 
sendo de 0,970 dm3 . Esse volume corresponde no sistema legal 
de medidas a 
 
a) 9,7 cm3. 
b) 0,097 m3. 
c) 0,0097 m3. 
d) 970 cm3. 
e) 9700 mm3. 
 
7.(FGV) Assinale a alternativa que apresente uma figura que 
pode ser construída em um modelo tridimensional real. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
8.(FCC) As seis faces de um dado são quadrados cujos lados 
medem L. A distância do centro de um desses quadrados até 
qualquer um de seus vértices (cantos do quadrado) é igual a D. 
Uma formiga, que se encontra no centro de uma das faces do 
dado, pretende se deslocar, andando sobre a superfície do dado, 
até o centro da face oposta. A menor distância que a formiga 
poderá percorrer nesse trajeto é igual a 
 
a) 2L. 
b) 2L + D. 
c) 2L + 2D. 
d) L + 2D. 
e) L. 
 
9.(CESPE) Julgue os itens seguintes, relacionados a 
conhecimentos de Matemática. 
Em uma empresa, trabalham 40 pessoas e cada uma consome 
1,5 litro de água por dia no local de trabalho. Caso seja comprado 
um estoque de água em vasilhames de 20 litros suficiente para 
durar 22 dias, então a quantidade de vasilhames comprados será 
maior que 65. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
1.E 2.D 3.ERRADO 4.ERRADO 5.C 6.B 7.D 8.A 9.CERTO 
 
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31 
Geometria Espacial 
Capítulo 2 
Prisma. 
 
Definição: 
 
Considere a seguinte situação na figura abaixo: 
Sejam dois planos paralelos 𝛼𝑒𝛽. 
Seja um polígono P contido em 𝛼. 
Seja uma reta r que intercepta 𝛼𝑒𝛽, mas não intercepta. 
 
 
A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta r, com uma extremidade num ponto do 
polígono P e a outra no plano 𝛽, denomina-se prisma. 
 
 
B I Z U 
Os planos 𝛼𝑒𝛽 são paralelos. 
 
Elementos 
 
Num prisma convém destacar os seguintes elementos: 
 
 Bases: são os polígonos convexos ABCDE e A’B’C’D’E’ situados nos planos 𝛼𝑒𝛽. 
 Faces laterais: são os paralelogramos AA’BB’,BB’CC’,CC’D’D,DD’EE’,EE’A’A. 
 Arestas da base: são os segmentos(lados) dos dois polígonos das bases. 
 Arestas laterais: são os segmentos 𝐴𝐴′̅̅ ̅̅ ̅, 𝐵𝐵′̅̅ ̅̅ ̅, 𝐶𝐶′̅̅ ̅̅̅ , 𝐷𝐷′̅̅ ̅̅ ̅𝑒𝐸𝐸′̅̅ ̅̅ ̅. 
 Altura: é a distancia entre os planos paralelos 𝛼𝑒𝛽. 
 
B I Z U 
A altura deve ser perpendicular aos planos das bases. 
 
Natureza de um prisma 
 
A natureza do prisma é indicada de acordo com o polígono da base: 
 
 As base são triângulos → prisma triangular. 
 As bases são quadriláteros → prisma quadrangular. 
 As bases são pentágonos → prisma pentagonal. 
 
B I Z U 
A natureza do prisma depende do numero de lados do polígono da base. 
 
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32 
Classificação de um prisma 
 
O prisma é classificado conforme a inclinação das arestas laterais em relação aos planos das bases: 
 
 prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. 
 prisma oblíquo: as arestas laterais são oblíquas (inclinadas) aos planos das bases. 
 
Prisma reto Prisma oblíquo 
 
 𝜃 ≠ 90° 
Nos prismas retos, as faces laterais são retângulos. 
Nos prismas oblíquos, as figuras laterais são paralelogramos. 
 
B I Z U 
Todo retângulo é um paralelogramo, porém, nem todo paralelogramo é um retângulo. 
 
Prisma regular 
 
Se o prisma for reto e as bases forem polígonos regulares, o prisma é dito regular. 
 
 
 
 
 
Paralelepípedo – retângulo 
 
Um paralelepípedo – retângulo é um prisma reto cujas bases são retângulos. 
 
 
Diagonal de um paralelepípedo – retângulo 
 
Considere o paralelepípedo – retângulo de dimensões a, b e c. 
 
d = medida da diagonal do paralelepípedo. 
d’ = medida da diagonal da base. 
 
Na figura, considere os triângulos HDB e DAB retângulos. 
 
𝑑² = 𝑑′² + 𝑐² (𝐼) 
𝑑′² = 𝑎² + 𝑏² (𝐼𝐼) 
 
Substituindo (II) em (I), temos: 
 
𝑑² = 𝑎² + 𝑏² + 𝑐² 
𝑑 = √𝑎² + 𝑏² + 𝑐²
2
 
 
B I Z U 
Um polígono se diz regular quando todos s seus lados têm a mesma medida e todos os seus 
ângulos internos têm a mesma medida. 
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33 
Cubo 
 
Um cubo é um paralelepípedo – retângulo cujas arestas são congruentes. 
 
Diagonal de um cubo 
 
Considere o cubo de aresta a. 
 
d = medida da diagonal do cubo. 
x = medida da diagonal da base. 
 
𝑥² = 𝑎² + 𝑎² (𝐼) 
𝑑² = 𝑎² + 𝑥² (𝐼𝐼) 
 
Substituindo (I) em (II), temos: 
 
𝑑2 = 𝑎2 + 2𝑎2 
𝑑² = 3𝑎² 
𝑑 = 𝑎√3
2
 
 
B I Z U 
Todo o cubo é paralelepípedo, mas nem todo paralelepípedo é cubo. 
 
Áreas da superfície de um prisma. 
 
Considere o prisma reto cuja base é um triângulo. 
 
Vamos definir a área de algumas partes da superfície desse prisma: 
 
Área da base (𝑆𝑏): é a área de um dos polígonos das bases. 
Área lateral (𝑆𝑙): é a soma das áreas de todas as faces laterais. 
Área total (𝑆𝑡): é a soma da área lateral e das áreas das bases. 
 
𝑆𝑡 = 𝑆𝑙 + 2 ∙ 𝑆𝑏 
 
B I Z U 
A fórmula a seguir vale para qualquer prisma. 
 
PRÁTICA 
P1) Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em forma de prisma hexagonal. Sendo que a 
altura da caixa é de 20cm e que o lado do polígono da base mede 16cm, calcule a área de papelão necessária para se 
construir essa embalagem. Admita que se utilize 25% a mais de material do que o estritamente calculado, para que 
seja possível fazer colagens necessárias a confecção da caixa. Use √3
2
= 1,73. 
 
Volume de um prisma. 
 
O volume de um prisma qualquer é o produto da área da base pela medida da altura. 
V é o volume do prisma. 
V = área da base x altura. 
 
Se um solido S é a reunião de dois prismas 𝑃1𝑒𝑃2, que não têm pontos interiores comuns, então o volume S é a soma dos volumes de 𝑃1𝑒𝑃2. 
 
B I Z U 
Todo o cubo é paralelepípedo, mas nem todo paralelepípedo é cubo. 
Dois sólidos são equivalentes se, e somente se, eles têm volumes iguais na mesma unidade de volume. 
 
PRÁTICA 
P2) Calcule o comprimento da aresta e a área total de um cubo equivalente a um paralelepípedo retângulo, cujas 
dimensões são 8 cm, 27 cm e 125 cm. 
P3) Calcule a área do triângulo que se obtém unindo-se o centro de uma face de um cubo com as extremidades de 
uma aresta da face oposta, sabendo que a medida da aresta do cubovale 5 cm. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (VUNESP) Em uma jarra de fundo quadrado, medindo 8 cm 
de lado e 30 cm de altura, foram despejadas 5 canecas, todas 
contendo 320 mL de água, fazendo com que a jarra não ficasse 
totalmente cheia, conforme mostra a figura. 
 
A distância d, em cm, entre o nível da água na jarra e a borda 
superior é 
 
a) 6. 
b) 5. 
c) 4. 
d) 3. 
e) 2. 
 
2. (VUNESP) Uma tenda de lona foi montada no pátio da 
penitenciária, com suas medidas em metros e a forma de um 
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34 
prisma reto indicadas na figura. A área total da lona usada na 
montagem foi 252 m², correspondendo à frente, ao fundo, às 
laterais e à cobertura. 
A altura lateral (x) dessa tenda mede 
 
 a) 3,0 m. 
 b) 3,2 m. 
 c) 3,5 m. 
 d) 2,0 m. 
 e) 4,0 m. 
 
3. Determinado cubo possui volume de 729 cm2. Cada face desse 
cubo possui área de: 
 
a) 3 cm2. 
b) 9 cm2. 
c) 27 cm2. 
d) 54 cm2. 
e) 81 cm2. 
 
4. (UEL) A figura, a seguir, mostra um pedaço de cartolina que 
será dobrado e colado ao longo das bordas para formar uma 
embalagem na forma de um prisma hexagonal regular reto. 
 
Supondo que l = 2 cm e h = 5 cm, qual é o volume dessa 
embalagem em cm3? 
 
a) v3 cm³ 
b) v3/2 cm³ 
c) 30 v3 cm³ 
d) 6 v3 cm³ 
e) 3 v3 cm³ 
 
5. (FUNCAB) Polícia Militar apreende mais de 3 kg de pasta base 
de cocaína em Linhares 
Em uma mochila foram apreendidos 84 tabletes plastificados de 
cocaína e um tablete grande medindo 20 x 10 cm da mesma 
substância, totalizando cerca de 3 quilos de cocaína, e R$ 91,00 
em espécie. 
(Fonte: <<?.?>http://www.pm.es.gov.br/noticia/noticia.aspx>) 
Caso o tablete grande mencionado tenha o formato de um 
paralelepípedo reto retângulo com 6 cm de altura, o valor do 
volume total de cocaína desse tablete, em cm³, será de: 
 
a) 400 
b) 600 
c) 800 
d) 1.000 
e) 1.200 
 
6. (ESPP) O volume de um paralelepípedo cuja largura é o dobro 
do comprimento e a altura é o triplo da largura, sabendo- se que 
a largura tem a mesma medida da aresta de um cubo cujo volume 
é igual a 216 cm3 , é, em cm3 : 
 
a) 162 
b) 216 
c) 432 
d) 324 
 
7. (VUNESP) Uma piscina tem a forma de um bloco retangular 
de base quadrada. Sua altura mede 2,8 m e o lado da base 
quadrada mede 11 m. A piscina deve conter, no máximo,
3
4
 de 
água para que as pessoas possam entrar e essa não transbordar. 
Assim sendo, a quantidade máxima de litros de água que essa 
piscina pode conter é 
 
a) 338,8. 
b) 220,5. 
c) 400,5. 
d) 308,0. 
e) 254,1. 
 
8. Uma caixa em formato de paralelepípedo reto retângulo possui 
largura igual ao dobro da medida da altura, e comprimento igual 
ao dobro do comprimento da largura. Sabe-se que o volume 
dessa caixa é igual a 216 cm3. A largura dessa caixa mede: 
a) 2 cm. 
b) 3 cm. 
c) 6 cm. 
d) 12 cm. 
e) 18 cm. 
 
9. (FUNCAB) João vai dividir um tablete de doce de leite que tem 
a forma de um paralelepípedo de dimensões 8 x 10 x 6 cm, em 
cubinhos iguais. 
O número total de cubinhos de doce de leite, de aresta igual a 2 
cm, obtidos por João, depois da divisão, será de: 
 
a) 50 
b) 60 
c) 70 
d) 80 
e) 90 
 
10. (UFPR) A figura ao lado apresenta uma planificação do cubo 
que deverá ser pintada de acordo com as regras abaixo: 
 
Os quadrados que possuem um lado em comum, nessa 
planificação, deverão ser pintados com cores diferentes. Além 
disso, ao se montar o cubo, as faces opostas deverão ter cores 
diferentes. De acordo com essas regras, qual o MENOR número 
de cores necessárias para se pintar o cubo, a partir da planificação 
apresentada? 
 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1.B 2.A 3.E 4.C 5.E 6.D 7.E 8.C 9.B 10.B 
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35 
Geometria Espacial 
Capítulo 3 
Cilindro. 
 
Definição 
 
Consideremos um círculo de centro O e não r num plano ∝ e um segmento de reta 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , cuja reta – suporte intercepta 𝛼, mas não 
intercepta o circulo de centro O. Tomemos segmentos de reta paralelos e congruentes a 𝑃𝑄, cada um deles com uma extremidade 
nos pontos do circulo e todos com a outra extremidade num plano 𝛽 paralelos a 𝛼. 
 
A reunião de todos esses segmentos é um sólido chamado cilindro circular. 
 
B I Z U 
Reta – suporte é aquela que sustenta ou onde se firma um segmento ou semi-reta. 
 
Elementos 
 
Em um cilindro convém destacar os seguintes elementos: 
 
 os círculos de centro O e O’ e raio r, situados em planos paralelos, são as bases do cilindro. 
 os segmentos paralelos a 𝑂𝑂′̅̅ ̅̅ ̅ com extremidades em pontos das circunferências das bases são as geratrizes (g). 
 a reta 𝑂𝑂′⃡⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ é o eixo do cilindro. 
 a distancia entre os planos das bases é a altura (h) do cilindro. 
 
B I Z U 
Dois planos distintos são paralelos se, e somente se, eles não têm ponto comum. 
 
Classificação de um cilindro 
 
Um cilindro pode ser classificado conforme a inclinação da geratriz em relação aos planos das bases: 
 
 o cilindro circular é oblíquo, quando a geratriz é oblíqua às bases. 
 o cilindro circular é reto, quando a geratriz é perpendicular às bases. 
 
Cilindro reto Cilindro oblíquo 
 
 𝜃 ≠ 90° 
 
B I Z U 
Num cilindro reto, a geratriz e a altura possuem a mesma medida. 
No cilindro oblíquo, o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é a projeção ortogonal da geratriz sobre o plano da base. 
 
Cilindro de revolução. 
 
O cilindro circular reto também é chamado cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo 
que contém um dos lados do retângulo. 
 
 
 
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36 
B I Z U 
Rotação: giro, movimento giratório, movimento que a terra executa em torno de seu próprio eixo. 
 
Área da superfície de um cilindro reto 
 
Considere o cilindro circular reto r e altura h. 
 
Vamos definir a área de algumas partes da superfície desse cilindro. 
 
Área da base (𝑆𝑏): é a área do cilindro de raio r. 
 
𝑆𝑏 = 𝜋𝑟² 
 
Área lateral (𝑆𝑙): é a área do retângulo de dimensões 2𝜋𝑟 e h. 
 
Sl = 2𝜋𝑟 ∙ ℎ 
 
Área total (𝑆𝑡): é a soma da área lateral com as duas bases do cilindro. 
 
𝑆𝑡 = 𝑆𝑙 + 2 ∙ 𝑆𝑏 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟² = 2𝜋𝑟 ∙ (ℎ + 𝑟). 
 
B I Z U 
O comprimento de qualquer circunferência, conhecido o comprimento r do seu raio, é dado 
por C = 2𝜋𝑟. 
 
PRÁTICA 
P1) Um tanque, na forma de cilindro circular reto, tem altura igual a 3 m e área total igual a 20𝜋m². Calcule, em metros, 
o raio da base deste tanque. 
P2) A área lateral de um cilindro de revolução de 10 cm de raio é igual à área da base. Calcule a altura do cilindro. 
 
Secção meridiana e cilindro equilátero 
 
Secção meridiana é a intersecção do cilindro com um plano que contém a reta 𝑂𝑂′⃡⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ determinada pelos centros das bases. 
 
A secção meridiana de um cilindro oblíquo é um paralelogramo. 
A secção meridiana de um cilindro reto é um retângulo. 
Cilindro equilátero é um cilindro cuja secção meridiana é um quadrado. 
 
 
B I Z U 
O comprimento de qualquer circunferência, conhecido o comprimento r do seu raio, é dado por C = 2𝜋𝑟. 
Perímetro é a soma dos lados de um polígono. 
 
PRÁTICA 
P3) O perímetro da secção meridiana de um cilindro reto é 36 cm e a área total vale 130𝜋 cm². Determine a altura do cilindro. 
 
Volume de um cilindro. 
 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = á𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒𝑥𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎. 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑟² ∙ ℎ 
 
B I Z U 
Duas figuras planas são equivalentes se, e somente se, possuem a mesma área interna. 
 
PRÁTICA 
P4) Um líquido que ocupa uma altura de 10 cm num determinado recipiente cilíndrico será transferido para outro 
recipiente, também cilíndrico, com diâmetro duas vezes maior que o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido 
nesse segundo recipiente? 
 
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37 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1.(FUNCAB) Supondo as dimensões internas de cada pino 
plástico utilizado na embalagem de cocaína como sendo um 
cilindro de raio 0,5 cm e altura 4 cm, o valor do volume total de 
cocaína, desse pino plástico, completamente cheio,em cm³, será 
de: 
(Adote o valor aproximado de 𝜋 = 3) 
 
a) 2,5 
b) 3 
c) 3,5 
d) 4 
e) 4,5 
 
2.(VUNESP) A quantidade de certo líquido, correspondente 
a 
3
4
 de um litro, será colocado em um recipiente de modo que ele 
fique completamente cheio. Para isso foram selecionados 3 
recipientes com formas geométricas e medidas internas descritas 
a seguir: 
I. Um paralelepípedo reto retângulo de dimensões: comprimento 
15 cm, largura 2,5 cm e altura 20 cm. 
II. Um cilindro reto de raio da base 5 cm e altura 10 cm. (use 𝜋 =3) 
III. Um cubo de aresta igual a 5 cm. 
Dos 3 recipientes oferecidos, atende ao que foi proposto 
 
a) I e II, apenas. 
b) I, II e III. 
c) I, apenas. 
d) I e III, apenas. 
e) II e III, apenas. 
 
3.(EXATUS) Dados um cilindro circular reto e um cone circular 
reto de mesma altura e mesmo raio, é correto afirmar que o 
volume do cone é igual a: 
 
a) três vezes o volume do cilindro. 
b) duas vezes o volume do cilindro. 
c) metade do volume do cilindro. 
d) terça parte do volume do cilindro. 
e) sexta parte do volume do cilindro. 
 
4.(UFPR) 
 
Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de raio 5, como 
indica a figura ao lado. Obtenha o maior valor de x, de modo que 
o volume desse cilindro seja igual a 72𝝅. 
 
a) √13 - 2. 
b) 3. 
c) 3 √2. 
d) 2 √5. 
e) 4. 
 
5. Laura cultiva flores em um canteiro com formato de 
semicírculo, cujo diâmetro mede 16 m. A área ocupada por esse 
canteiro é igual a: 
 
a) 256 𝝅 cm2. 
b) 128 𝝅 cm2. 
c) 64 𝝅 cm2. 
d) 32 𝝅 cm2. 
e) 16 𝝅 cm2. 
 
6.(CESGRANRIO) Um tonel cilíndrico de 80 cm de diâmetro e 
90 cm de altura contém óleo até a metade de sua capacidade. Na 
parte inferior do tonel, há uma torneira, inicialmente fechada, 
cuja vazão é de 6 L por minuto. 
Considerando 𝝅 = 3,1, se essa torneira for aberta, o tonel 
esvaziará completamente em 
 
a) menos de meia hora 
b) pouco mais de 37 minutos 
c) cerca de uma hora 
d) uma hora e 15 minutos, aproximadamente 
e) mais de uma hora e meia 
 
7. (CESGRANRIO) Uma fita retangular de 2 cm de largura foi 
colocada em torno de uma pequena lata cilíndrica de 12 cm de 
altura e 192 𝝅 cm3 de volume, dando uma volta completa em 
torno da lata, como ilustra o modelo abaixo. 
 
A área da região da superfície da lata ocupada pela fita é, em 
cm2 , igual a 
 
a) 8p 
b) 12p 
c) 16p 
d) 24p 
e) 32p 
 
8.(CESGRANRIO) Maria encheu um copo cilíndrico, cujo raio da 
base mede 3 cm, e a altura mede 12 cm, com água até 2/3 de 
sua capacidade. Depois, sem que houvesse desperdício, 
transferiu toda a água para outro copo, também cilíndrico e 
inicialmente vazio, de 4 cm de raio da base. Qual foi, em cm, a 
altura atingida pela água no segundo copo? 
 
a) 2,25 
b) 4,50 
c) 5,00 
d) 6,00 
e) 6,75 
 
9.(CESGRANRIO) Maria encheu um copo cilíndrico,cujo raio da 
base mede 3 cm, e a altura mede 12 cm, com água até 2/3 de 
sua capacidade. Depois, sem que houvesse desperdício, 
transferiu toda a água para outro copo, também cilíndrico e 
inicialmente vazio, de 4 cm de raio da base. Qual foi, em cm, a 
altura atingida pela água no segundo copo : 
 
a) 2,25 
b) 4,50 
c) 5,00 
d) 6,00 
e) 6,75 
 
10.(VUNESP) Exposto em uma feira de ciências, um recipiente 
de vidro com a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro 
da base mede 10 cm, contém água e óleo. Sabe-se que a altura 
do nível da água, indicada por x na figura, é igual a 2/5 da altura 
do recipiente, e que o óleo ocupa a altura restante, preenchendo 
totalmente o recipiente. 
 
Pode-se afirmar, então, que o volume do óleo contido nesse 
recipiente é, em centímetros cúbicos, igual a 
 
a) 900p 
b) 750p 
c) 600p 
d) 580p 
e) 400p 
 
 
 
GABARITO 
1.B 2.A 3.D 4.E 5.D 6.B 7.C 8.B 9.B 10.A 
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38 
Geometria Espacial 
Capítulo 4 
Pirâmide 
 
Definição 
 
Considere um polígono convexo ABCDE de cinco lados num plano 𝛼 e um ponto V fora de 𝛼. Tomemos segmentos de reta, todos com 
uma extremidade em V e a outra extremidade nos pontos do polígono ABCDE. A reunião desses segmentos é um sólido chamado 
pirâmide pentagonal. 
 
Elementos 
 
Considerando a pirâmide representada ao lado, temos: 
 
 V é o vértice da pirâmide. 
 O polígono ABCD é a base da pirâmide. 
 Os segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ são as arestas da base. 
 Os segmentos 𝑉𝐴̅̅ ̅̅ , 𝑉𝐵̅̅ ̅̅ , 𝑉𝐶̅̅̅̅ , 𝑉𝐷̅̅ ̅̅ , 𝑉𝐸̅̅ ̅̅ são as arestas laterais. 
 
 Os triângulos VAB, VBC, VCD E VDA são as faces laterais. 
 A distância do vértice da pirâmide ao plano da base é a altura da pirâmide. 
 
B I Z U 
A altura da pirâmide deve ser perpendicular ao plano da base. 
 
PRÁTICA 
P1) Identifique minuciosamente os elementos da pirâmide a seguir: 
 
 Base: 
 Faces laterais: 
 Arestas da base: 
 Aresta lateral: 
 Altura: 
 
Natureza de uma pirâmide 
 
A natureza da pirâmide pode ser indicada de acordo com o polígono da base. 
 
 A pirâmide é triangular, quando a base é um triângulo. 
 A pirâmide é quadrangular, quando a base é um quadrilátero. 
 A pirâmide é pentagonal, quando a base é um pentágono 
 ⋮⋮⋮ 
B I Z U 
A classificação da pirâmide depende do numero de lados do polígono da base. 
 
Pirâmide regular 
 
Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular. 
 
m (apótema da base) 
Pirâmide hexagonal regular 
(a base é um hexágono regular) 
 
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39 
A projeção ortogonal do vértice de uma pirâmide regular sobre o plano da base é o centro O da base. 
Numa pirâmide regular, as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. 
Chama-se apótema de uma pirâmide regular a altura de uma face lateral relativa do lado da base. Chamaremos o apótema da 
pirâmide de g. 
Chama-se apótema da base a distância entre o centro do polígono até o ponto médio de um lado do polígono regular. 
O ponto médio divide um lado (ou segmento) em duas medidas congruentes. 
Chamaremos o apótema da base de 𝑚. 
Daí, em qualquer pirâmide regular vale a relação: 𝑔² = ℎ² + 𝑚² 
 
B I Z U 
A projeção ortogonal de um ponto (do vértice) sobre um plano é um ponto. 
O ponto médio divide um lado (ou segmento) em duas medidas congruentes. 
 
PRÁTICA 
P2) Calcule a aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular , sabendo que o apótema da pirâmide mede 6 cm 
e a aresta lateral 10 cm. 
P3) Numa pirâmide triangular regular, a aresta da base mede 12 cm e a aresta lateral, 10 cm. Calcular: 
a) A medida do apótema da pirâmide. 
b) A medida do apótema da base. 
c) A altura da pirâmide. 
 
Áreas da superfície de uma pirâmide 
 
Considere a pirâmide triangular ao lado. 
 
 Área da base (𝑆𝑏): é a área do polígono da base. 
 Área lateral (𝑆𝑙): é a soma das áreas de todas as faces laterais. 
 Área total (𝑆𝑡): é a soma da área lateral com a área da base. 
 
𝑆𝑡 = 𝑆𝑙 + 𝑆𝑏 
 
B I Z U 
As faces laterais de uma pirâmide são triângulos. 
 
PRÁTICA 
P4) Vamos calcular a área da base, a área lateral e a área total de um pirâmide regular quadrangular, sabendo que o 
lado da base mede 4 cm e a altura da pirâmide tem 4√2
2
 cm. 
P5) Uma pirâmide tem por base um retângulo cujas dimensões medem 10 cm e 24 cm, respectivamente. As arestas 
laterais são iguais a diagonal da base. Calcule a área total da pirâmide. 
 
Tetraedro regular 
 
Se uma pirâmide possui as suas quatro faces sendo triângulos equiláteros. Ela é chamada tetraedro regular. 
As arestas 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. 
Qualquer uma das faces pode ser considerada a base do tetraedro regular. 
O ponto O é o baricentro do triângulo BCD. Esse ponto está a 
1
3
 do lado e 
2
3
 do vértice. Daí, podemos afirmar que o segmento 𝐵𝑂̅̅ ̅̅ vale 
2
3
 de 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ e o segmento 𝑂𝑀̅̅ ̅̅̅ vale 
1
3
 de 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅. 
 
 
 
 
 
PRÁTICA 
P6) Calcule a altura de um tetraedro regular, sabendo que o perímetro da base mede 9 cm. 
P7) Determine a medida da aresta de um tetraedro regular,