Apostila+Teoria+dos+Jogos.2009- Formatado

Prévia do material em texto

�
 
UNIPAM – CENTRO UNIVERSITÁRIO DE PATOS DE MINAS
FACIA – FACULDADE DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
APOSTILA DE TEORIA DOS JOGOS
TEORIA DOS JOGOS
 A Teoria dos Jogos foi desenvolvida com a finalidade de analisar situações competitivas que envolvessem interesses conflitantes. Nessas situações, existem duas ou mais pessoas com objetivos diferentes, sendo que a ação de cada uma influencia, mas não determina completamente o resultado do jogo. Além disso, admite-se que cada jogador sabe os objetivos de seu oponente. A Teoria dos Jogos fornece um resultado para este jogo, admitindo que cada um dos jogadores deseja maximizar seus ganhos.
 A maioria dos jogos recreativos, como jogo da velha, damas, xadrez e outros, pode ser analisada como jogos de estratégia. Os jogos de azar, como roleta e dados não são jogos de estratégia, uma vez que uma pessoa ao jogar fica na dependência da sorte e não de análises racionais. 
 Existem várias situações como não são exatamente jogos e que podem ser analisadas pela teoria dos jogos. Chamamos de jogos a situações que envolvam interações entre agentes racionais que se comportam estrategicamente.
 A seguir são dadas definições importantes para o entendimento da teoria dos jogos:
um jogo é um modelo formal de uma situação de interação estratégica ;
interações são as ações de cada jogador, que afetam todos os participantes;
jogador é qualquer indivíduo, ou grupo de indivíduos, com capacidade de decisão e que se utiliza da racionalidade para agir.
racionalidade é o uso dos meios mais adequados aos objetivos que se pretendem alcançar.
comportamento estratégico é o fato de cada jogador, ao tomar sua própria decisão, leva em consideração o fato de que os jogadores interagem entre si, e que, portanto, sua decisão terá conseqüências sobre os demais jogadores, assim como as decisões do demais jogadores terão conseqüências sobre ele.
ESTRATÉGIAS
 Estratégia é uma descrição completa de como uma pessoa deverá agir sob quaisquer circunstâncias possíveis.
 Quando não há dúvida sobre como o jogador deve agir dizemos tratar-se de uma estratégia pura e quando as decisões baseiam-se em probabilidades estamos diante de uma estratégia mista.
REPRESENTAÇÃO DE UM JOGO
Há principalmente duas formas de se representar um jogo:
1 – Forma estratégia (ou normal)
 A situação em estudo é modelada através de uma matriz de recompensas. Os primeiros números em cada par ordenado representam as recompensas do primeiro jogador (o jogador das linhas) e os segundos números são as recompensas do segundo jogador (o jogador das colunas).
 Este tipo de representação é mais útil em jogos simultâneos e com a participação de apenas dois jogadores.
	 jogador B
jogador A
	estratégia 3
	estratégia 4
	estratégia 1
	2,1
	1,6
	estratégia 2
	5,0
	3,1
2 – Forma estendida
 Os jogos também podem ser representados na forma estendida, utilizando uma árvore de jogos, composta por ramos e nós.
 Este tipo de representação é mais utilizado em fogos seqüenciais.
 Cada nó representa uma etapa do jogo em que um dos jogadores tem de tomar uma decisão. O ramo representa uma escolha possível para o jogador, a partir daquele ponto.
 As recompensas são colocadas ao final de cada linha de ação possível.
CLASSIFICAÇÃO DOS JOGOS
1 – Jogos de soma zero e jogos de sema não-zero
 Os jogos de soma zero são aqueles em que os interesses dos participantes são diametralmente opostos. O ganho de um jogador necessariamente corresponde a uma perda de igual magnitude de outro jogador. Dessa forma não há a criação de riqueza, apenas a transferência de riqueza de um jogador para outro.
 Quando o que um jogador perde pode não ser necessariamente o que o outro jogador ganha, ou seja, quando ambos podem ganhar ou ambos perder, temos um jogo de soma não-zero.
 Os jogos de soma zero podem ser analisados mais facilmente pois o objetivo de cada jogador é claramente obter o máximo de recompensa e portanto prejudicar ao máximo o oponente. Já nos jogos de soma não-zero existem possibilidades que devem ser conhecidas anteriormente, como a intenção em cooperar.
 A matriz de um jogo de soma zero apresenta números opostos em cada célula e por isso podemos indicar apenas as recompensas do jogador das linhas, já as recompensas do jogador das colunas são as mesmas com os sinais trocados.
	 jogador 2
jogador 1
	estratégia c
	estratégia d
	estratégia a
	3,-3
	1,-1
	estratégia b
	-2,2
	-2,2
	 jogador 2
jogador 1
	estratégia c
	estratégia d
	estratégia a
	3
	1
	estratégia b
	-2
	-2
2 – Jogos simultâneos e jogos seqüenciais
 Jogos simultâneos são aqueles em que as escolhas das estratégias acontecem ao mesmo tempo, ou se eles não se movem simultaneamente, ao menos os jogadores desconhecem previamente as ações de seus adversários.
 Jogos seqüenciais são aqueles que se desenvolvem em etapas sucessivas, assim os jogadores tomam suas decisões baseados nas decisões anteriores dos adversários.
3 – Jogos cooperativos e jogos não-cooperativos
 Os jogos cooperativos são aqueles em que a comunicação prévia é permitida entre os jogadores, antes de decidirem as estratégias que irão ser adotadas, sendo que dessa forma os jogadores podem combinar estratégias e dessa forma dizemos que estão cooperando.
 Na situação oposta, ou seja, quando os jogadores não tem oportunidade para estabelecer estratégias comuns, visando o bem geral, são chamados de jogos não-cooperativos.
4 – Jogos de informação perfeita e jogos de informação imperfeita
 Um jogo é de informação perfeita quando todos os jogadores conhecem todas as informações importantes antes de tomarem suas decisões. Se algum jogador, em algum momento do jogo, tem de tomar uma decisão sem conhecer alguma informação importante, o jogo é de informação imperfeita.
5 – Jogos simétricos e jogos assimétricos
 Um jogo é simétrico quando a posição do jogador não é importante, nenhum jogador possui vantagem por ocupar determinada posição no jogo. Caso contrário o jogo é assimétrico.
6 – Jogos repetitivos
 São aqueles em que se realizam em etapas sucessivas em que as opções de estratégias não mudam, de forma que em cada etapa cada jogador deve decidir se mantêm ou altera suas opções.
MÉTODOS DE SOLUÇÕES DE JOGOS
1 – Estratégia dominante
 Se uma das estratégias de um jogador for sempre melhor que as demais, independente das estratégias adotadas pelos oponentes, será escolhida pelo jogador.
2 – Minimax e Maximin
 Bastante útil na solução de jogos estritamente competitivos. Um dos jogadores tenta impor a maior perda possível ao outro (o mínimo dos máximos disponíveis ao adversário) e este tenta se defender garantindo a menor perda possível ( o máximo dos mínimos de que dispõe).
 Quando um jogador possuir informações de que seu opositor tentará lhe infligir o maior prejuízo possível talvez seja conveniente analisar a situação escolhendo o máximo entre os mínimos disponíveis.
 Quando um jogador pretende infligir o maior prejuízo possível a seu adversário pode escolher o mínimo entre as maiores recompensas que o outro possui.
 
 
 Como A pensa que B será o mais desagradável possível e por isso se escolher M, B escolherá Q, que é o pior para A. Se escolher N ou P, B escolherá R. Dentre os piores resultados de que dispõe o jogador A escolherá a estratégia M, que corresponde a recompensa 4, que é o máximo dos mínimos (maxmin).
 Como B pensa que A será o mais desagradável possível e por isso se escolher Q, A escolherá P, que é o pior para B. Se escolher R, A escolherá N. Então B prefere escolher Q, que corresponde a recompensa de 4,que é o máximo dos mínimos (maxmin).
 Quando se opta pelo maxmin diz-se que os jogadores estão utilizando o “nível de segurança” que significa que estão agindo com precaução, mas isso sugere muito pessimismo na análise.
 Vamos utilizar esta estratégia em um jogo de soma zero, onde é mais útil, por ser estritamente competitivo. A matriz a seguir contém apenas as recompensas do jogador das linhas.
 A solução pode ser encontrada escolhendo o maior entre os menores resultados das linhas (jogada do jogador das linhas) e o menor entre os maiores resultados das colunas (jogada do jogador das colunas).
	 empresa B
empresa A
	B1
	B2
	B3
	B4
	Min Linha
	A1
	10
	0
	11
	-1
	-1
	A2
	8
	7
	8
	10
	7
	A3
	0
	6
	-7
	7
	-7
	Max Coluna
	10
	7
	11
	10
	
 Dessa forma a empresa A escolherá a estratégia A2 enquanto que a empresa B escolherá a estratégia B2.
3 – Método da eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas
 Uma estratégia é dita estritamente dominada quando não possui nenhuma recompensa maior que as correspondentes de outra estratégia.
 O jogador sendo racional não escolherá uma estratégia dominada e portanto na análise do jogo podemos elimina-la. Este tipo de análise possibilita a resolução de um certo número de jogos.
	 jogador B
jogador A
	estratégia 3
	estratégia 4
	estratégia 1
	2,3
	3,1
	estratégia 2
	1,5
	2,1
4 – Equilíbrio de Nash
 É uma situação em que nenhum jogador poderia melhorar sua posição escolhendo uma estratégia alternativa disponível, sem que isso implique que a melhor escolha feita particularmente por cada pessoa levará a um resultado ótimo.
 Estando numa posição de equilíbrio de Nash nenhum jogador tem incentivo para mudar de estratégia, de forma que a situação é estável.
 
	 jogador B
jogador A
	esquerda
	direita
	alto
	2,3
	0,1
	baixo
	1,2
	3,0
 A opção alto/esquerda corresponde a um equilíbrio de Nash pois o jogador A não tem incentivo a mudar de estratégia ( o que corresponde a trocar 2 por 1 ) e nem o jogador B ( o que corresponde a trocar 3 por 1).
 Observe que este jogo não poderia ser resolvido por eliminação de estratégias dominadas.
5 – Indução reversa
 Em um jogo seqüencial podemos analisá-lo de trás para frente, indo das recompensas dos jogadores até o primeiro nó de decisão que aparece isoladamente, e procurando identificar as melhores opções para cada jogador. Os piores ramos da árvore do jogo devem ser eliminados para facilitar a análise.
ex.:
Exercícios
Resolva os jogos a seguir:
1 –
	 jogador B
jogador A
	par
	ímpar
	par
	2,3
	0,1
	ímpar
	1,2
	3,0
2 –
	 jogador B
jogador A
	esquerda
	centro
	direita
	alto
	2,1
	1,3
	2,3
	médio superior
	4,1
	3,2
	3,2
	médio inferior
	5,0
	4,1
	1,4
	baixo
	2,2
	3,4
	2,3
3 –
	 jogador B
jogador A
	B1
	B2
	B3
	B4
	A1
	3,3
	2,2
	4,3
	3,4
	A2
	2,0
	1,3
	,02
	2,0
	A3
	3,4
	4,2
	2,2
	0,3
	A4
	4,3
	2,1
	3,1
	4,2
4 –
	 B
A
	descontar 20%
	manter o preço
	aumentar 10%
	aumentar 20%
	descontar 10%
	3,0
	1,1
	5,4
	0,2
	manter o preço
	1,1
	3,2
	6,0
	2,0
	aumentar 10%
	0,2
	4,4
	7,2
	3,0
5 –
	 D
C
	investe em propaganda
	reduz os preços
	não reage
	tenta acordo
	reduz os preços
	3,2
	3,2
	0,3
	0,4
	tenta acordo
	2,0
	0,1
	3,0
	1,1
6 –
	 bonito
limpo
	aumentar gastos com publicidade
	não aumentar gasto com publicidade
	lançar o produto biodegradável
	5,5
	7,3
	não lançar o produto biodegradável
	2,4
	2,7
7 –
	 carro novo
novo auto
	lançar nova versão
	manter o preço
	reduzir o preço
	lançar modelo próprio
	1,4
	4,1
	1,3
	importar da matriz
	2,2
	2,1
	2,3
	não competir
	1,1
	0,6
	1,0
8 –
	 comboio japonês
forças aliadas
	rota sul
	rota norte
	busca na rota sul
	3, – 3
	1, – 1 
	busca na rota norte
	2, – 2 
	2, – 2 
9 –
10 –
	
ÓTIMO DE PARETO
 Quando a recompensa de pelo menos um jogador melhora, sem que a recompensa de nenhum dos outros agentes piore, diz-se que houve uma melhoria paretiana e se uma situação é tal que não é possível melhorar a recompensa de nenhum jogador sem que pelo um outro jogador seja prejudicado diz-se que esta situação é um ótimo de Pareto.
 Quando o jogo encontra-se em um ótimo de Pareto não é possível haver ganhos de eficiência.
 No mercado se uma empresa percebe a possibilidade de uma melhoria paretiana ela pode aumentar sua eficiência sem que a concorrência tivesse razão para se opor, ao menos aparentemente, pois qual é o problema de alguém melhorar se para isso ninguém irá piorar?
 Vamos considerar o jogo do dilema dos prisioneiros,
	 prisioneiro B
prisioneiro A
	confessa
	não confessa
	confessa
	– 4, – 4
	– 1,– 5
	não confessa
	– 5, – 1 
	– 3,– 3 
 Como já vimos o equilíbrio de Nash corresponde às estratégias: confessa/confessa. Se eles concordassem em mudar de estratégia para não confessa/não confessa haveria uma melhora para ambos, então podemos dizer que ocorreu uma melhoria paretiana, pois a melhora de um não correspondeu em piora para o outro. Estando na posição não confessa/não confessa não há como melhorar a situação de ninguém se que haja uma piora a situação do outro, então é um ótimo de pareto.
 Então o ótimo de pareto apesar de ser uma situação ótima para todos os jogadores nem sempre corresponde ao que acontece de fato, ou seja, nem sempre é a solução do jogo. Já o equilíbrio de Nash não tem nada a ver com ótimo de pareto, visto que corresponde às melhores respostas individuais e não coletivamente.
 Com efeito, uma escolha que, do ponto de vista de um agente isoladamente pode ser ótima, caso seja adotada pelos outros agentes pode se revelar um problema. Impor uma tarifa elevada sobre as importações que chegam de outro país pode parecer uma boa idéia para um país isoladamente, como forma de favorecer a produção interna, mas se todos os países tomam a mesma decisão, o comércio internacional se reduz e todos saem prejudicados.
JOGOS COM MAIS DE UM EQUILÍBRIO DE NASH
 Considere que duas empresas de tecnologia são concorrentes no mercado de programas para computador. A empresa Alfa possui um programa anti-vírus e a empresa Beta não possui. A empresa Beta está decidindo se desenvolve ou não um anti-vírus e a empresa Alfa está decidindo se investe em outra versão ou não. Consideremos que a matriz de recompensas seja a seguinte:
JOGO DO PADRÃO TECNOLÓGICO
	 Beta
Alfa
	desenvolve
	não desenvolve
	investe
	2, 1
	– 1,– 2 
	não investe
	0,– 1 
	1, 2
 Existem dois equilíbrios de Nash: investe/desenvolve e não investe/não desenvolve. Nesse caso qual das duas situações irá se concretizar? A resposta não pode ser encontrada apenas com estes dados, vai depender da situação real em as empresas se encontram. Acomodar pode ser uma boa opção pois não há custos, mas esta opção incentiva possíveis concorrentes a entrarem no mercado, pois dá a impressão de que as empresas ou não possuem condições de investir ou que seus administradores são acomodados, sem visão. Quando a concorrência é muito acirrada, como tem sido atualmente, o mais provável é que ambas empresas invistam, ou seja, a solução ficaria sendo investe/desenvolve. Esta situação faz com que as empresas acabem investindo mais do que o necessário em alguns setores, como por exemplo em ativos específicos (máquinas, equipamentosde produção mas que não são facilmente utilizáveis em outros empreendimentos e por isso possuem valor de revenda baixo).
 Vamos ver outro jogo com dois equilíbrios de Nash. Imagine duas empresas, que dominam o mercado, decidindo se adotam campanhas publicitárias agressivas.
JOGO DA CAMPANHA PUBLICITÁRIA
	 Ambev
Schin
	adota campanha agressiva
	não adota campanha agressiva
	adota campanha agressiva
	– 5, – 5 
	2, – 2 
	não adota campanha agressiva
	– 2, 2 
	0, 0
 Há dois equilíbrios de Nash: “adota/não adota” e “não adota/adota”. Ou seja, a melhor resposta diante do concorrente que investe em campanha agressiva é não responder e a melhor resposta diante do concorrente que não investe em campanha agressiva é investir. O problema é saber qual das empresas irá ceder a iniciativa da campanha agressiva para a outra e dada o risco de se perder espaço no mercado, inclusive pela entrada de outras concorrentes, corre-se o risco de que as duas empresas decidam adotar campanhas agressivas maximizando seus prejuízos.
 Nestes dois exemplos não se pode exigir que o equilíbrio de Nash corresponda realmente à solução da situação.
PONTO FOCAL
 Quando se está diante de uma situação em que é necessário optar por um entre vários equilíbrios de Nash, talvez exista alguma possibilidade dos jogadores coordenarem suas ações de forma a cooperarem a fim de obterem um melhor resultado para ambos. Uma possibilidade é a existência de um Ponto Focal.
 Imagine que dois agentes secretos saltam de pára-quedas num país inimigo, no meio de uma selva e devem executar um plano em segredo e rapidamente. O problema é que devido ao mal tempo eles acabam caindo em pontos distantes um do outro no meio da selva e não possuem “celulares”, para não serem interceptados. Ambos possuem um mapa da região, ou seja, conhecem o lugar em que estão.
 Neste caso é de se esperar que, agindo racionalmente, ambos se desloquem para algum ponto que de alguma forma se destaca, ou seja, escolhem um referencial único e não ambíguo. Por exemplo, se eles sabem que existem várias pequenas casas, vários pequenos riachos, várias montanhas e um antigo forte, é mais racional se deslocarem para o forte, que é então um Ponto Focal.
 Este conceito é mais utilizado para pequenos grupos de jogadores, pois exige uma certa proximidade entre as preferências. Uma revista de divulgação tecnológica pode tornar-se um ponto focal se for considerada como modelo e por isso lida por praticamente todos os interessados na área. Nesse caso cada empresa acaba agindo de acordo com o que a revista indicar pois sabe que os concorrentes também devem agir daquela maneira.
 Com o ponto focal é possível haver uma coordenação de ações mesmo que haja um programa oficial nesse sentido. Talvez possamos considerar que a veiculação de muita informação afirmando que criar filhos é difícil (pelo custo, pelas incertezas do futuro, pelos riscos, dificulta encontrar emprego etc) parece ter servido de ponto focal de forma que os brasileiros têm reduzido o número de filhos de maneira contínua e rápida, 6,28 filhos por mulher em 1960 para 1,8 em 2006. 
O JOGO DO COVARDE
 Imagine dois “malucos” que fazem a seguinte aposta: eles vão dirigir, em uma larga avenida, indo um de encontro ao outro em alta velocidade. As opções de cada um são se desviar ou não se desviar (se não forem muito malucos devem combinar para que lado cada um deve desviar). Aquele que desviar primeiro perde a aposta, cujo pagamento é o próprio carro. Se nenhum dos dois desviar irão se chocar destruindo os carros, que não possuem seguro, além de correr o risco de morrerem. A seguir temos a representação desse jogo na forma estratégica:
	 maluco
doido
	desvia
	não desvia
	desvia
	0, 0
	– 1, 2 
	não desvia
	2, – 1 
	– 2, – 2 
 Novamente há dois equilíbrios de Nash, um desviar e o outro não desviar. O problema aqui é até que instante se deve esperar antes de desviar, pois se esperar demais pode ser tarde. Em algumas situações de mercado em que é preferível evitar o confronto, pois ambos saem perdendo muito, o jogo do covarde pode ser usado para entender como os jogadores deverão agir.
 Este jogo foi utilizado para descrever a “guerra fria” entre os Estados Unidos e a extinta União Soviética. Ambas superpotências militares possuíam armas nucleares mais do que suficientes para destruir o inimigo e o resto do mundo, de forma que o melhor era evitar o confronto, que foi o que acabou acontecendo ( ainda bem!). O episódio que ficou conhecido como incidente da baía dos porcos em Cuba é emblemático.
 Em um filme que apresentou uma cena do jogo do covarde, um dos motoristas arrancou o volante de seu carro levantou-o do lado de fora, agitando-o para que o outro motorista visse, e o atirou fora... Esta ameaça fez com que o outro desviasse. Observe que o outro precisa conhecer e acreditar em sua ameaça. Em um filme sobre a guerra fria ocorreu uma situação aproximadamente assim: um militar dos Estados Unidos revoltado com alguma coisa resolveu acionar um botão que disparava uma ogiva nuclear em direção à União Soviética e o sistema era todo automático, ou seja, não era possível evitar o disparo. O presidente dos Estados Unidos liga então para o presidente soviético informando da situação e pedindo que eles não reajam já que não foi intencional e os Estados Unidos se comprometem a repararem todos os danos e além disso pagar uma alta indenização. O presidente soviético porém diz que não será possível porque eles têm um sistema totalmente automatizado que aciona todo o arsenal nuclear, destruindo todo o mundo, caso alguma ogiva nuclear seja lançada contra eles. Após um período de desespero um comandante militar dos Estados Unidos diz a seu presidente que os soviéticos estão blefando, pois uma arma que destrói o mundo todo só é útil se todos souberem da sua existência, para dessa forma ficarem intimidados e não atacarem. Como ninguém sabia que os soviéticos tinham esta arma ela seria inútil.
 O uso de ameaças será visto mais adiante nos jogos seqüenciais. 
Exercícios
1) Considere o jogo do “estado do bem-estar” ou “jogo do bom samaritano” no qual há dois jogadores, o governo, que deseja ajudar o pobre desempregado que se mostra responsável e procura trabalho. Por sua vez, existe o pobre desempregado que é orgulhoso e só procura emprego sem ajuda do governo. Observe a matriz:
	 desempregado
governo
	trabalha
	não trabalha
	ajuda
	3,2
	– 1,3 
	não ajuda
	– 1,1 
	0,0
O deve acontecer?
2) Suponha dois vendedores que vêem, simultaneamente, entrar um cliente em uma loja. Ambos estão perto do cliente. Se um deles aborda o cliente, ele marca um ponto na sua avaliação com o gerente da loja, o que pode lhe render uma promoção ao fim do mês, enquanto o outro que não abordou perde um ponto, pois não mostrou iniciativa, e muito provavelmente perde a promoção. Se nenhum dos dois aborda o cliente, nenhum deles marca pontos com o gerente. Mas se os dois abordam o cliente, ele fica irritado e vai embora e cada um dos dois perde um ponto com o gerente. Modele esse jogo, supondo que nenhum dos dois tem tempo de perceber o que o outro irá fazer.
3) Resolva este jogo estritamente competitivo
	 jogador B
jogador A
	b1
	b2
	b3
	b4
	a1
	5
	2
	1
	7
	a2
	6
	1
	6
	– 2
	a3
	4
	3
	5
	6
	a4
	– 2 
	2
	– 4 
	0
4) Imagine a situação de três políticos A, B e C ( são apenas os três), que votam em voto aberto e em seqüência alfabética o aumento dos próprios salários. O problema é que nenhum gostaria de mostrar a seus eleitores que votou a favor do aumento. O voto contra equivale a ganhar um útil (confiança do eleitor) e o voto a favor equivale a perder um útil. Ter aumento de salário equivale a ganhar um útil e não ter aumento de salário equivale a perder umútil. Modelo o jogo e encontre a solução.
5) Você participa do seguinte jogo de barganha. O jogador A executa o primeiro movimento, fazendo uma oferta ao Jogador B para a divisão de R$100. (Por exemplo, o Jogador A poderia sugerir que ele ficasse com R$60 e o Jogador B levasse R$40). O Jogador B pode aceitar ou rejeitar a oferta. Se ele rejeitar, o montante de dinheiro disponível cairá para R$90; ele, estão, fará uma oferta para a divisão do dinheiro. Se o Jogador A rejeitar essa oferta, o montante de dinheiro cairá para R$80, seguindo-se uma nova oferta do Jogador A para a divisão. Se o Jogador B rejeitar, o montante de dinheiro cairá para 0. Ambos os jogadores são racionais, totalmente informados e querem maximizar seus payoffs. Qual jogador se sairá melhor nesse jogo?
6) Considere o jogo a seguir:
	 jogador B
jogador A
	b1
	b2
	a1
	2,1
	-1,-2
	a2
	0,-1
	1,2
a) Qual é a solução, através de equilíbrios de Nash?
b) Agora suponha que A decida antes de B, qual será a solução?
c ) Agora suponha que B decida antes de A, qual será a solução?
7) O filósofo Rousseau formulou uma situação que atualmente é conhecida por “jogo da caça ao cervo”. Segundo Rousseau as pessoas normalmente agem de acordo com seus próprios interesses, se houver a possibilidade de ganhos pela cooperação mútua, os homens unem-se, mas os vínculos são frágeis: a cooperação dura apenas enquanto existirem as vantagens para todos os participantes. O imediatismo prevalece sobre o planejamento de longo prazo. Imagine que alguns caçadores sabem que devem fazer um cerco a um cervo e todos devem se manter em seus postos. Mas se aparecer uma pequena lebre é bem provável que o caçador que a vir abandonará seu posto, para garantir sua parte, mesmo que todo o grupo saia prejudicado devido a seu ato.
 Suponha que sejam apenas dois caçadores (A e B) caçando o cervo, que se for capturado será divido entre eles. Se um dos caçadores abandonar seu posto para capturar a lebre, este obtêm uma recompensa igual a 1/3 da recompensa resultante da divisão do cervo, sendo que seu amigo nada ganhará, pois o cervo consegue fugir. Na região existem muitas lebres de forma que ambos podem abandonar seus postos e cada um capturar uma lebre.
 Modele o jogo e discuta as possíveis soluções através de equilíbrio de Nash.
O MODELO DE COURNOT COM DUAS EMPRESAS
 Imagine um mercado dominado por duas empresas e cujos produtos são considerados idênticos pelos consumidores, como por exemplo empresas que vendem bujões de gás de cozinha. Como os consumidores não vêem diferenças entre os produtos acabam por decidir em que empresa comprar baseados nos preços.
 Vamos considerar que as empresas buscam maximizar seus respectivos lucros e então temos que definir equações que fornecem os lucros.
 Inicialmente vamos definir a receita, que é dada pelo produto do preço pela quantidade. Suponha que:
, 
onde 
 é o preço de mercado como função da quantidade, 
 é a quantidade total vendida pelas duas empresas, 
 e 
 são constantes, 
 e 
 são as quantidades vendidas pelas empresas 1 e 2, respectivamente. Então 
.
 As receitas das duas empresas serão dadas por:
 Agora vamos criar funções para os custos das empresas e, para simplificar os cálculos, consideraremos que eles sejam idênticos:
onde c é uma constante positiva.
 Neste ponto podemos definir as funções lucros:
 Para encontrarmos as quantidades que levam ao lucro máximo temos que recordar da disciplina de Cálculo, do 1º ano da faculdade. Os pontos de máximos ou de mínimos de uma função ocorrem nos pontos em que a primeira derivada se anula ( e onde a derivada segunda é negativa, no caso de máximo ou positiva, no caso de mínimo). No cálculo das derivadas devemos considerar que para uma empresa a variável é o seu respectivo custo, e o custo da outra empresa é considerado uma constante dada. Assim temos:
 De onde chegamos à conclusão que:
onde o índice e indica que são os custos esperados para cada empresa. Dessa forma as quantidades calculadas são as melhores respostas, constituindo um equilíbrio de Nash, de forma que as empresas acabam produzindo exatamente estas quantidades. Com isso podemos chegar a:
 
 Considere que:
Para este exemplo, calcule a quantidade que cada empresa irá praticar e os lucros correspondentes.
O MODELO DE COURNOT COM MAIS DE DUAS EMPRESAS
 O preço de mercado é dado agora por uma função de demanda linear do tipo:
�� EMBED Microsoft Equation 3.0 
onde q é a quantidade total vendida, sendo 
.
 A receita de cada empresa é: 
 No somatório consideram-se todas as empresas com exceção da empresa cuja receita está sendo calculada.
 Como no caso de duas empresas vamos considerar que os custos sejam:
 Então o lucro de cada empresa será:
 Calculando a derivada e igualando-a a zero temos:
 Como as empresas tem funções lucro idênticas é lógico imaginar que dividem o mercado igualmente, de forma que 
, então:
Por exemplo, vamos analisar o caso de 3 empresas idênticas que dominam o mercado, com:
então A=100, b = 1, c = 4 e n = 3, logo, cada empresa venderá, no equilíbrio, uma quantidade igual a:
A venda total do setor será de 3.24 = 72 unidades, o preço de mercado será 100 – 72 = 28 e o lucro de cada empresa: 
O que aconteceria se ao invés de 3 fossem 23 empresas? Verifique que: 
 Se o número de empresas aumentar, o preço e o lucro caem, até que na situação hipotética com infinitas empresas idênticas o preço ficaria igual ao custo e o lucro tenderia a zero. Essa é a situação conhecida por “mercado perfeitamente competitivo”.
MODELO DE BERTRAND COM DIFERENCIAÇÃO DE PRODUTOS
 Este modelo trata de um processo em que cada empresa determina o preço de seu produto supondo dado o preço do produto da outra empresa, mas as decisões são simultâneas de maneira que uma empresa não sabe qual é o preço do produto da outra empresa. Uma observação interessante é que a demanda pelo produto de uma empresa é uma função inversa de seu preço (quanto maior o preço menor a procura) e uma função direta dos preços dos concorrentes (quanto maiores os preços das outras empresas, maior é a procura pelo nosso produto). Como exemplo vamos considerar duas escolas que concorrem no segmento de cursinho pré-vestibular.
 Suponha que as funções demanda sejam: 
 representam o preço e a quantidade demandada da empresa 1 e 
 o preço e a quantidade da empresa 2.
 Suponha que os custos das empresas 1 e 2 sejam respectivamente
 Os lucros das empresas 1 e 2 são respectivamente:
 Calculando as derivadas e as igualando a zero:
 Resolvendo este sistema obtêm-se:
MODELO DE LIDERANÇA DE QUANTIDADES (STACKELBERG)
 Considere duas empresas decidindo que quantidades produzir, mas, diferentemente do modelo de Cournot, agora uma das empresas (empresa 1) decide antes da outra quanto irá produzir. A empresa que decide primeiro será chamada de “líder”, enquanto a segunda empresa será chamada de “seguidora”. Dessa forma a líder irá escolher uma quantidade que induza a seguidora a produzir uma quantidade adequada à maximização dos lucros da líder. 
 Vamos considerar que o preço de mercado seja dado por:
	
 As receitas totais das empresas serão:
 
 Consideremos que os custos sejam:
 
 A seguidora considera que a quantidade produzida pela líder como sendo dada, ou seja, como uma constante, da mesma maneira que no modelo de Cournot. Então a quantidade produzida pela seguidora, que dá lucro máximo, pode ser obtida da seguinte forma:
 
 
 A líder conhece, ao menos em teoria, essa quantidade que a seguidora deverá produzir, dessa forma o lucro da líder é dado por:
 
 Calculandoa derivada do lucro e igualando-a a zero obtemos:
 
 
 Substituindo este resultado na quantidade da seguidora temos:
 
 Observe que a líder está em melhores condições que a seguidora.
Exercícios
1) Considere duas empresas concorrentes em relação a um produto não-homogêneo. Analisando a situação segundo o modelo de Bertrand encontre os preços e os lucros quando:
a)A = 1000, b = 0,6 , c = 2
b)A = 500, b = 2, c = 6
2)Calcule o equilíbrio de Stackelberg (quantidades e lucros) para duas empresas, empresa 1(líder) e empresa 2 (seguidora),em um mercado em que o preço de mercado é:
 
e os custos são:
TRAGÉDIA DOS COMUNS 
 Se todas as pessoas da cidade forem educadas e não jogarem lixo na rua (papel de bala, toco de cigarro, papel de propaganda, lata de bebida) a cidade fica mais limpa e isso é bom para todos. Mas você está andando na rua e recebe um papel de propaganda de uma festa. Você lê e resolve jogá-lo fora na rua, afinal não está vendo nenhuma lixeira por perto. Este ato é bom para você que não vai precisar atravessar a rua, ou andar um pouco mais para achar uma lixeira e para a cidade como um todo não vai fazer quase nenhuma diferença, pois é apenas um pedaço de papel. 
 O problema é que você não é o único “esperto” que existe na cidade e muitos acabam fazendo a mesma coisa...
 Situações como essa são conhecidas como “tragédia dos comuns” e mostram que são necessárias ações que nos levem a agir para o bem comum. Como exemplo pode-se citar a sonegação de impostos, o famoso “levar vantagem”, o outro famoso “o mundo é dos espertos”. O sistema capitalista gera muitas tragédias dos comuns devido à liberdade de ação que se tem.
Considere o exemplo:
 Suponha que exista uma área de cerrado pertencente à prefeitura e na qual se pretende criar futuramente um parque municipal, para preservação da fauna e flora. Algumas pessoas perceberam que existe uma grande quantidade de pés de gabiroba (fruta nativa do cerrado e muito apreciada) naquela área. Então algumas pessoas começam a coletar as frutas e vender na cidade. Suponha que o preço do quilo de gabiroba é de R$2,00 e que a produção total diária dependa do número n de coletores de acordo com a função: 
. Além disso, há um custo diário de R$4,00 por coletor com transporte e alimentação, de forma que o custo total é dado por c = 4n.
 Existe uma lei da economia conhecida como “lei dos rendimentos marginais decrescentes” que diz que a receita total 
 aumenta quando se aumenta o número de coletores 
 mas que quanto maior for o número de coletores mais lentamente cresce a produção, de forma que em algum instante o aumento de receita total devido ao aumento de um coletor será igual ao aumento no custo de produção (c’):
em que a derivada 
 representa a receita marginal e c’ representa o custo marginal, que neste caso é igual ao custo fixo de R$4,00.
 Para a comunidade dos coletores não é conveniente que se aumente o número de coletores a partir desse ponto pois o aumento na receita será menor que o aumento do custo. Nesse momento temos o lucro total máximo.
 O problema é que cada pessoa analisa a situação apenas em relação ao seu resultado, ou seja, se ele conseguir colher uma quantidade que ao menos cubra seus custos é conveniente ir para a coleta, pouco importando o que ocorre com a receita total do grupo. Dessa maneira o número de coletores irá aumentar até que a receita média de cada um seja igual ao custo individual de produção, ou seja:
 Como conseqüência o lucro médio se reduz a zero e o “mundo fica sendo dos espertos que coletarem mais”. Apesar de ser uma situação ineficiente para a coletividade é um Equilíbrio de Nash pois para cada um é melhor ir coletar, dado que os demais irão.
 Observe que além da ineficiência financeira existe ainda o problema que depredação da área de coleta, mostrando a necessidade de alguma forma de controle.
 
QUESTÕES
Para o exemplo anterior:
a) Qual seria o número ótimo de coletores?
b) Qual o número de coletores que realmente deve ocorrer?
c) Qual é o lucro total e o lucro médio de cada coletor em cada uma das duas situações anteriores?
d) Quantos quilogramas de gabiroba cada coletor colhe em cada uma das duas situações anteriores?
Exercício 
Suponha que foi descoberto ouro em uma região do interior do Brasil, à qual se tem livre acesso para garimpar. Suponha ainda que o preço do grama do ouro é R$50,00, e que a produção total de ouro (em reais) pode ser expressa como função do número de garimpeiros na forma: 
f(n) = 20n – n 2. 
Suponha que o custo do material para garimpagem é de R$5,00. Qual seria o número ótimo de garimpeiros no garimpo? Qual o número efetivo de garimpeiros, dado que o recurso comum é de livre acesso? E qual será o lucro em cada caso?
JOGOS REPETIDOS
 Até este momento vimos casos de jogos simultâneos (quando os jogadores tomam suas decisões sem conhecer as decisões dos demais) e jogos seqüenciais ( quando as decisões são tomadas conhecendo-se as decisões anteriores dos outros jogadores). Agora vamos analisar o caso em que as decisões são tomadas sem o conhecimento das decisões dos demais (simultâneas) mas estes acontecimentos acontecem em mais de uma vez, ou seja, há mais do que apenas uma rodada no jogo. Os jogadores precisam tomar suas decisões um certo número de vezes, que pode ser uma quantidade pré-determinada ou uma quantidade indeterminada ou até infinitas vezes ( teoricamente).
 Estes jogos são simultâneos quando considerada apenas uma interação e seqüenciais quando considerados no todo, vamos chamá-los por jogos repetidos. Estas situações possuem uma história, ou seja, quando somos chamados a tomar uma decisão podemos nos basear no passado dos outros jogadores para tentar compreender como agirão e também devemos nos preocupar com nossa própria reputação, visto que os demais estão nos analisando.
 Como exemplo imagine uma relação comercial entre duas empresas, em que uma das empresas adquire um insumo específico da outra. Este deve ser entregue dentro de um prazo combinado e com especificações bem definidas.Para as duas empresas existem riscos na tomada de decisão, se fecha ou não a negociação. A vendedora pode perder se depois de investir na confecção do produto tiver o pedido cancelado, ou se a compradora receber o produto e não pagar. Do lado da compradora existe o risco da vendedora não cumprir o prazo de entrega ou não confeccionar o produto com as características combinadas. 
 Neste caso as histórias anteriores das duas empresas certamente serão usadas na tentativa de diminuir os riscos. Por isso a importância em se trabalhar honestamente para a garantia de sobrevivência a longo prazo das empresas. Imagine um instituto de pesquisa que se venda a um determinado candidato, forjando resultados de pesquisas eleitorais para induzir o eleitorado a votar neste candidato. Se o resultado da eleição for muito diferente das indicações das pesquisas, este instituto ficará desacreditado no futuro, ou seja, as próximas campanhas podem não querer se basear nos seus trabalhos e isso pode comprometer sua sobrevivência no mercado.
 O mercado funciona em vários casos como um jogo repetido, já que as empresas e os consumidores interagem várias vezes ao longo da vida. Este aspecto induz as empresas a agirem de forma mais honesta, mesmo que naquele instante preferissem tomar uma decisão diferente, não porque são “boazinhas” e sim porque são “racionais”. Dessa forma existe um controle no mercado feito pelos compradores (sejam pessoas ou empresas) e será tanto mais efetivo quanto mais nos lembrarmos do passado ao tomarmos nossas decisões. 
 Entre as empresas de um mesmo setor, a repetição do jogo pode proporcionar uma possibilidade de realizarem maiores lucros se agirem em conjunto. Assim vemos supermercados que se unem na hora de comprarem, de forma a obter melhorespreços devido ao grande volume adquirido. Essa cooperação pode transformar-se em um cartel, o que é proibido por lei. Se todas as empresas de um setor combinarem elevar seus preços para um determinado valor, comum a todas (ou com uma diferença apenas simbólica), obterão maiores lucros, já que os consumidores não terão opção. As empresas ao agirem em conjunto se comportam como se fossem uma empresa monopolista.
 O cartel tem um problema de funcionamento, conhecido como “ética de ladrões”. Suponha um grupo de assaltante que resolve agir em conjunto, pois dessa forma conseguem roubar mais, e dividir igualmente o que roubarem. Cada ladrão acaba percebendo que se conseguir esconder parte do que foi roubado sairá em vantagem. Como todos acabam pensando da mesma forma, o combinado acaba por fracassar. Então é necessário que se estabeleçam punições aos infratores, de modo a promover a cooperação. Por exemplo, o ladrão que for pego por ter escondido parte do roubo, não receberá nada no próximo assalto.
 
 Em um exemplo visto anteriormente quando duas empresas disputavam o mercado de um produto homogêneo, o equilíbrio de Cournot foi obtido com as quantidades q = 16 unidades para cada empresa e os lucros ficaram em L = 512. No mesmo caso, se as empresas formam um cartel as quantidades caem para q = 12 e os lucros sobem para L = 576. Porém, no caso do cartel as empresas são tentadas a traírem o acordo pois nesse caso seus lucros são ainda maiores, L = 640. Veja como fica este jogo na forma estratégica:
 Na prática esta situação se repete indefinidamente, ou seja, pode ser considerada um jogo repetido e nesse caso pode-se introduzir punições para as empresas traidoras do cartel, na tentativa de induzir a cooperação. Em experimentos a tática que mais funciona neste jogo, que é um exemplo de dilema dos prisioneiros, é chamada de “dente por dente” e consiste em cooperar na primeira rodada e a partir da segunda repetir o que o outro tiver feito na rodada anterior. Dessa forma ao mesmo tempo em que pune os desertores está aberto a cooperação, desde que o outro desista de trair e comece a cooperar. Esta estratégia funciona muito bem desde que não se saiba que o jogo está se aproximando do fim, pois senão será vantajoso trair na última rodada, visto que não será mais punido.
O JOGO DA LOCALIZAÇÃO 
 Vamos buscar explicações racionais para explicar o comportamento de candidatos a um cargo majoritário. Considere uma eleição para algum cargo majoritário (prefeito, governador ou presidente). Para simplificar a análise vamos dizer que se trata da eleição para presidência do Brasil, no segundo turno, e que portanto só têm dois candidatos. Para tornar a análise mais interessante vamos considerar que os candidatos possuam carreiras políticas baseadas em ideologias opostas, um é de direita e o outro é de esquerda. Seus nomes são João Canhoto (candidato da esquerda) e José Destro (candidato da direita).
 De acordo com suas trajetórias ao longo dos últimos anos era de se esperar que seus discursos fossem bastante diferentes, com várias propostas conflitantes. Porém o que se observa é que seus projetos de governos são muito semelhantes, praticamente coincidentes em vários itens. O que está acontecendo? Alguém foi “comprado”? 
 Situações como essa são bastante comuns e podem ser explicadas através da Teoria dos Jogos. O objetivo de cada candidato é conquistar o maior número possível de eleitores. As pessoas possuem ideologias diversas, de modo que algumas com certeza votarão no candidato João Canhoto e outras em José Destro, mas uma grande parcela da população não tem posição tão definida de modo que podem votar num ou noutro candidato e se decidirão por aquele cujas propostas mais se aproximem do que considerem certo. Mesmo que não seja estatisticamente estudado, existe uma média no comportamento eleitoral da população e vamos chamar de “eleitor mediano” àquele que divide o eleitorado exatamente ao meio. Pela história, ou por pesquisas, é possível se ter uma idéia de quais são as posições do eleitor mediano em relação a cada tema de importância na campanha e então os candidatos tentam se adequar o máximo possível a esse perfil.
 Na reta a seguir considere que o número – 1 corresponda à posição de extrema esquerda e + 1 à posição de extrema direita enquanto que o 0 é a posição neutra. Consideremos que o eleitor mediano esteja na posição 0. Onde cada candidato deve posicionar seu discurso? Vamos supor que João Canhoto, fiel às suas origens se posicione em – 0,8 e que José Destro em + 0,4. Nesse caso, João Canhoto deve ganhar os votos entre – 1 e – 0,8 e José Destro deve conquistar os votos entre + 0,4 e + 1 e os dois devem disputar os votos entre – 0,8 e + 0,4, sendo que se a população estiver distribuída de forma aproximadamente uniforme os votos devem ser divididos ao meio e nesse caso temos:
 João Canhoto José Destro
 
	
 
 – 1 – 0,8 – 0,2 0 +0,4 + 1
Assim sendo o candidato José Destro vence a eleição com aproximadamente 60% dos votos.
 Como o candidato João Canhoto pode alterar seu discurso para aumentar seus votos? Obviamente aproximando-se do eleitor mediano. O candidato que estiver mais próximo desse local tem mais chances de vitória, portanto, apesar das ideologias, os projetos de governo tendem a ser muito parecidos entre si e próximos do eleitor mediano.
 Observe que quando os dois candidatos estão na posição do eleitor mediano existe um equilíbrio de Nash, pois um candidato não mudará sua posição caso o outro o faça, ou seja, esta é a melhor posição independente da estratégia do outro candidato. Na prática o que se observa são os dois candidatos muito próximos da posição do eleitor mediano, o candidato de esquerda levemente à esquerda e candidato de direita levemente à direita, divergindo apenas ligeiramente.
 Este jogo pode ser utilizado para entendermos a localização de lojas concorrentes, que costumam se estabelecer muito próximas umas das outras. Em Patos de Minas temos três lojas de fotografia na mesma esquina (rua Major Gote com José de Santana). Muitas lojas de sanduíches muito próximas dando até um apelido para a rua Agenor Maciel que é chamada de Rua da Fome.
 LEILÕES
 Os leilões são situações que podem ser analisadas pela teoria dos jogos. São considerados jogos simultâneos de informação incompleta, pois os lances normalmente são dados ao mesmo tempo (mas nem sempre) e os participantes não conhecem as avaliações do bem feitas pelos concorrentes.
 Um tipo importante de leilão é o chamado leilão de envelopes lacrados, que passamos a analisar.Os leilões de bens públicos no Brasil apresentam normalmente a seguinte configuração: cada participante coloca sua proposta em um envelope lacrado que são entregues ao órgão promotor do leilão. Vence o maior lance, que então deve pagar o valor colocado no envelope e obtém a posse do bem leiloado. Para se garantir normalmente o leiloeiro estabelece um preço mínimo para o bem pois se isto não for feito, ou for muito inferior ao valor real do bem existe uma tendência ao valor do maior lance ser também muito menor que o valor real. Vamos verificar esta situação um pouco mais de perto, considerando que não haja preço mínimo, que cada jogador conhece apenas sua avaliação do bem e que os lances são simultâneos e em envelopes lacrados.
 Apesar de não conhecer as avaliações dos demais, cada jogador supõe um valor máximo (v max) e um mínimo (v min ) que sejam válidos para todos os envolvidos e por não poder saber como os lances irão se distribuir neste intervalo pode raciocinar considerando que estes sejam aleatórios, ou que se distribuem uniformemente. O valor do bem atribuído por cada jogador serádesignado por ( v i ) e o lance que este dará é um valor que depende de sua avaliação do bem, ou seja, L(v i). Dessa forma a recompensa de um jogador será:
se vencer o leilão.
se não vencer o leilão.
 
 Observe que se o jogador não der o maior lance ele não vence o leilão e tem uma recompensa nula, visto que não terá nenhuma despesa e nem obterá o bem. Obviamente que poderíamos ter atribuído alguma recompensa negativa neste caso, referente a custos necessários à participação no leilão, mas para simplificar a análise vamos considerá-los desprezível. O jogador que vence o leilão não tem como recompensa o próprio bem visto ter que pagar pelo mesmo. Assim sua recompensa será a diferença entre o valor que atribui ao bem e o valor ofertado, que deverá ser pago.
 O lance de um jogador deve ter o objetivo de maximizar sua recompensa. Além disso o que é preciso acontecer para que vença o leilão é que seu lance seja o maior, de forma que ele deve prever os lances dos demais e então dar seu próprio lance um pouco acima, mas sem se aproximar do valor atribuído por ele ao bem, pois senão sua recompensa tende a zero. Dessa forma todos os jogadores acabam dando lances inferiores às suas avaliações do bem. O chamado leilão holandês é diferente no formato porém em relação à análise e aos lances é equivalente ao leilão de primeiro preço. Agora o leiloeiro fala os valores pelos quais está disposto a vender o bem, reduzindo-os progressivamente, até o momento em que alguém manifeste o interesse de adquirir o bem por aquele valor.
 Vejamos agora o chamado leilão de segundo preço (ou leilão de Vickrey), em que os lances são também depositados em envelopes lacrados, só que o vencedor, aquele que deu o maior lance, recebe a posse do bem mediante o pagamento não do seu, mas do segundo maior lance. Aparentemente há uma vantagem para os participantes do leilão e em conseqüência um prejuízo para o leiloeiro. O que ocorre é que o jogador deve tentar prever os lances dos demais e então fazer seu próprio lance um pouco maior, só que agora diminui a preocupação com o fato de seu lance se aproximar do valor atribuído por ele ao bem, pois afinal ele irá pagar, caso vença, o segundo maior lance e não o seu. Assim os participantes tendem a fazer ofertas que correspondem às suas avaliações do bem. O chamado leilão inglês é realizado no seguinte formato, o leiloeiro anuncia valores crescentes para o bem. Os participantes devem se retirar do recinto quanto o valor ultrapassar o que estão dispostos a pagar. Quando o penúltimo participante se retirar o leilão é encerrado e o vencedor é aquele que permaneceu, que deve pagar o valor referente à saído do penúltimo. Este tipo de leilão é equivalente ao leilão de segundo preço e aqui fica bem claro que o bem será vendido por um preço que corresponde à verdadeira avaliação do penúltimo participante a se retirar e que o vencedor estava disposto a permanecer no recinto até o valor se igualar à sua avaliação, que normalmente deve ser bem próxima da avaliação do penúltimo, já que estes últimos a se retirarem são os mais interessados e, portanto maiores conhecedores do bem.
 Por fim vamos descrever o chamado leilão de espectro, criado com base na teoria dos jogos, que é um leilão de primeiro preço em que os lances são depositados em envelopes lacrados que são posteriormente abertos para conhecimento público. Então se faz nova rodada de lances em envelopes lacrados, que são depois abertos e assim repetidamente até que nenhum participante aumente seu lance, por quantas rodadas forem necessárias. O mais interessante é que os jogadores, a partir da segunda rodada, tomam suas decisões conhecendo as decisões anteriores dos demais.
 Em todos estes exemplos de leilões parece bastante razoável supor que os participantes sejam racionais e que a teoria dos jogos seja aplicável, o que mostra sua utilidade.
 Um último aspecto dos leilões é a chamada maldição do vencedor, que se deve ao fato de o vencedor às vezes pagar pelo bem um valor superior ao que ele realmente vale. Isto pode ocorrer pela dificuldade em se conhecer o verdadeiro valor, como no caso de ações, ou pela vontade de vencer o leilão, como no caso do leilão do dólar.
SEGUROS
 
 Em muitas situações as informações a respeito dos jogadores não são de conhecimento mútuo, afinal existem muitos dados a nosso respeito que ninguém jamais saberá. Quando compramos um produto qualquer de uma empresa também não temos acesso a todas as informações importantes. Diz-se que estamos diante de uma situação de assimetria de informações e quando temos que decidir nesses casos, podemos ser obrigados a nos decidirmos levando em conta apenas uma média da população.
 Suponha que a falta de informação piore a situação do agente, de maneira a lhe reduzir o lucro. Nesse caso diz-se tratar de uma seleção adversa.
 Considere o mercado de carros usados. Os compradores não têm todas as informações importantes sobre a qualidade do carro que estão comprando e por isso acabam pagando pela média dos carros de mesmo modelo e ano.
 Mas dessa forma os vendedores dos carros com qualidade acima da média se recusam a vender seus carros pois o preço médio é inferior ao que seus carros realmente valem. Se os melhores carros saem do mercado, a nova média dos carros cai e os preços também. E então o processo se repetiria até não existir carros usados à venda.
 Este processo não possui ponto de equilíbrio e o mercado funciona com base no preço médio, mas não de maneira fixa. Cada carro é ofertado por um valor um pouco abaixo ou acima da média, dependendo de suas condições e o comprador tenta descobrir se as informações que está recebendo sobre o carro são ou não confiáveis. De qualquer modo a falta de informação diminui o ganho do comprador.
 Vamos observar um caso parecido com o mercado de carros usados que é o mercado se seguros. Inicialmente vamos supor que a empresa seguradora fez uma pesquisa estatística para encontrar o risco médio associado à população alvo do seguro e então fixou seu preço baseando-se nesta média.
 As pessoas que estiverem abaixo da média, ou seja, cujos riscos são menores, considerarão que o preço é muito alto e, no geral, não contratarão o seguro. Por outro lado as pessoas com riscos acima da média acharão os preços atrativos e devem adquirir o seguro. Mas nesse caso a seguradora terá um resultado econômico abaixo do esperado e teria por solução refazer sua pesquisa desconsiderando a parcela da população que não irá adquirir o seguro, ou seja, a parcela de baixo risco. Como resultado o risco médio eleva-se e em conseqüência o valor do seguro. A situação é idêntica à inicial de modo que o processo irá se repetir até um ponto em que o preço estaria tão alto que praticamente ninguém compraria o seguro.
 A solução seria estabelecer o preço individualmente, ou seja, cada cliente pagaria um valor específico de acordo com suas características. Mas como já foi dito as informações não são todas de conhecimento público e, portanto a seguradora não possui meios para definir com precisão o preço justo. Além disso, suponha que você vá comprar um produto, que não seja uma apólice de seguro, por exemplo, um sorvete, e fica sabendo que a sorveteria cobra de acordo com o perfil do cliente, você certamente não aceitaria essa situação, a não ser que se encontre entre aqueles de menores preços.
 Com os seguros existe a diferenciação de preços por perfil, que é aceita até com naturalidade, pois se justifica, pois as características dos clientes são muito relevantes nos custos (é também o caso dos planos de saúde). Para que o processo não seja muito pessoal, dependendo das características de cada pessoa e da habilidade do empregado da seguradora em distingui-las, utilizam-se planilhas de características que fornecem parcelas do preço final. Assim, por exemplo, o seguro de automóvel é mais barato se o motorista for mulher. Se você é homem, jovem, solteiro ereside numa cidade com alto índice de roubo de carros, principalmente do modelo do seu, você se encontra na faixa de alto risco e o preço que pagará será um pouco acima da média.
 jogador B
jogador A�
Q�
R�
�
M�
4,5�
5,9�
�
N�
3,6�
2,3�
�
P�
2,4�
1,10�
�
 
 empresa B
empresa A�
coopera com o cartel�
trai o cartel�
�
coopera com o cartel�
512,512�
480,640�
�
trai o cartel�
640,480�
576,576�
�
 
� EMBED Microsoft Equation 3.0 ���
 A			
B
B
(1,2)
(4,2)
(1,1)
(2,4)
 A			
B
B
(-1,-1)
(1,-2)
(-2,2)
(2,1)
A
B
B
A
A
A
A
(4,0)
(1,1)
(3,2)
(-1,4)
(4,1)
(3,2)
(1,-2)
(2,3)
A
B
B
A
A
A
A
(1,3)
(2,3)
(2,2)
(5,-1)
(3,0)
(3,-1)
(2,1)
(1,2)
_339969380.unknown
_340050984.unknown
_340052264.unknown
_340052584.unknown
_340052904.unknown
_340053224.unknown
_340053544.unknown
_340865132.unknown
_340865452.unknown
_340865772.unknown
_340866092.unknown
_340866412.unknown
_340866732.unknown
_340867052.unknown
_340867372.unknown
_340868012.unknown
_340868332.unknown
_340868652.unknown
_340885616.unknown
_340885936.unknown
_340886256.unknown
_340886576.unknown
_340886896.unknown
_340887536.unknown
_340888176.unknown
_340888496.unknown
_340888816.unknown
_340889136.unknown
_340934772.unknown
_340935092.unknown
_340935412.unknown
_340935732.unknown
_340936372.unknown
_340936692.unknown
_340937012.unknown
_340937332.unknown
_340937652.unknown
_340937972.unknown
_340971640.unknown
_340971960.unknown
_340972600.unknown
_340973240.unknown
_340938292.unknown
_339971620.unknown
_339968100.unknown
_339639520.unknown
_339511580.unknown
_339638880.unknown
_193637564.unknown
_339509340.unknown
_339509660.unknown
_339511260.unknown