Solução P2-PROBEST_2013-2

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P2 - Probabilidade e Estatística – 2013.2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza, Roxana Jimenez Contreras e Alexandre Street 
 
Problema 1 (1.6 pts) 
a) (0.4 pt) Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo 
exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo. 
SOLUÇÃO 
 
DISTRIBUIUÇÃO EXPONENCIAL – É uma variável aleatória contínua, que modela tempos de 
duração de um determinado experimento. 
Ex.: - o tempo entre chegadas de carros num pedágio; 
 - o tempo entre a chegada de pessoas num caixa de banco; 
 - o tempo de duração de equipamento. 
 
 
b) (0.4 pt) - Se X é uma 
),( 2N
, qual seria a distribuição de 
XeY 
? Qual o domínio de 
“X” e “Y”? 
SOLUÇÃO 
 
),(~
2NormalX
 , 
),(~
2LogNormalY
 
Domínio de X=(-∞,+∞) 
Domínio de Y=(0,+∞) 
 
c) (0.4 pt) Seja 
nXXX ,..., 21
 uma sequência de v.a.’s independentes com distribuição N(μ,
)2
. Se 
nXXXY  ...21
, qual é a distribuição de Y e de 
nY
? 
 SOLUÇÃO 
- 
),(~
2
yyNY 
, onde 
iy  
 e 
22
iy  
 
-
),(~
2
yyN
n
Y

, onde 
n
i
y




 ou
i
 e 
n
i
y
2
2 

 
 
 
c) (0.4 pt) Mostre que o coeficiente de correlação é igual a 1 quando e 
 . 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 , logo, 
 
 
 
 
Problema 2 (2 pt) Suponha e dois valores de probabilidade conhecidos. Assumindo duas 
v.a.’s discretas com distribuição conjunta , para , mostre 
como encontrar: 
 
a) (1 pt) O valor de , em função de e , para que seja uma distribuição conjunta. 
Solução 
 
 
  yx qpcxf ).()( 
 > 0, qualquer que seja x,y =1,2,3….. 
Sabemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  yx qp
qp
qp
yxf ).(
.
)1).(1(
),(


 
 
 
b) (0.5 pt) (1.0 pt) A marginal de e de e indique qual o nome (modelo) destas 
distribuições. 
  
  yx qp
qp
qp
yxf ).(
.
1.1
),(


 
Solução b.1) 
 
Densidade marginal de “X” 
 
  
  yx qp
qp
qp
yxf ).(
.
1.1
),(


 
  
    





 

1.
1.1
)(
y
yx
qp
qp
qp
xf
 
  
   
  













q
qp
qp
qp
xf
x
1
1
.
.
1.1
)(
1
 
 xp
p
p
xf


1
)(
 
 
 
 
 
 
 
1 que desde 
1
1
 ....)1(..... 32
1
32 









a
a
aaaaaaaaa
k
k
1 que desde 
1
1
.....1
0
32 




a
a
aaaa
k
k
   




1)(),(
11 y
yx
x
qpcyxf
qp
qp
c
.
)1).(1( 
 













1
1
.
1
.
q
q
p
p
c
 
Solução b2) 
 
 
 - Densidade marginal de “Y”
 
 
 
  
  yx qp
qp
qp
yxf ).(
.
1.1
),(


 
  
    





 

1.
1.1
)(
x
xy
pq
qp
qp
yf
 
  
   
  













p
pq
qp
qp
yf
y
1
1
.
.
1.1
)(
1
 
 yq
q
q
yf


1
)(
 
 
 
Ambas seguem um modelo geométrico. 
 
c) (0.5 pt) Podemos afirmar que e são independentes? Justifique sua resposta. 
 
 
Solução 
 
Para ser independentes: 
)().(),( yfxfyxf 
 
 
  
  yx qp
qp
qp
yxf ).(
.
1.1
),(


 
 xp
p
p
xf


1
)(
 
 yq
q
q
yf


1
)(
 
   
  
   yxyx qp
qp
qp
q
q
q
p
p
p
yfxf ..
.
1.1
.
1
..
1
)().(






 





 

 
 
Conclusão: 
)().(),( yfxfyxf 
, então, X e Y são independentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3 (2.1 pts) A vazão instantânea de um rio (m3/s) em um determinado momento do 
mês de março (mais úmido) pode ser modelada por uma v.a. normal com média e variância 
iguais a 100. Por motivos de auditoria, exige-se uma memória de cálculo para todos os 
passos do projeto (explicação formal dos cálculos realizados). Assim, responda as seguintes 
questões: 
a) (0.7 pt) Desejamos dimensionar a potência de uma hidrelétrica a ser construída na 
cabeceira deste rio. Para isso, precisamos encontrar o valor crítico de vazão instantânea 
do mês mais úmido que não é excedido com 95% de probabilidade. Calcule este valor. 
 
Solução 
 
X ~ (100;102) 
Pr (X) = 2,5% 
 Φ(Z) = 5% = 0,05 
 95% 
 
Z = 1,645 Φ(Z) = 5% 
 
 Z = 

X 
 X = (1,645 x 10) + 100 = 116,45 
 
 X = 116,45 m3/s Z 
 
Interpolando conforme tabela: 
 
1,64 - 0,0505 
 Z - 0,05 
1,65 - 0,0495 
 
   
 0505,00495,0
64,165,105,00495,0
65,1



x
Z 
 
   
 
645,1
001,0
01,00005,0
65,1 



x
Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) (0.7 pt) Calcule a probabilidade da vazão de um dado momento do mês de março 
apresentar valores entre 88 e 110 m3/seg. 
Solução 
X ~ (100;102) 
 
Pr(X<88) Pr(X<110) 
 Pr
)11088(  X
 = Pr 




 




10
100110
10
100
10
10088 X 
 
 = Pr 




 


10
100110
10
10088
Z 
 
 80 100 120 
88 110 
 =Pr(--1,200<Z<1,000) 
 
 
 
Tabela lado esquerdo 
 
 
Pela tabela: Ф (-1,200) = 1 – 0,8849 = 0,1151 
 
Pela tabela: Ф (1,000) = 0,8413 
 
 Zo=-1,200 0 Zo=1,000 
Pr (88<X<110) = 0,8413 – 0,1151 = 0,7262 = 72,62% 
 
 
OuPela tabela: Ф (-0,1,200) = 0,1151 
 
Pela tabela: Ф (1,000) = 0,1587 
 
 Zo=-0,4375 0 Zo=0,625 
 
Pr (88<X<110) = 1- (0,1151 + 0,1587) = 0,7262 = 72,62% 
 
 
 
 
 
 
c) (0.7 pt) Suponha que tenhamos uma amostra de 6 medições de vazões instantâneas dos 
meses de março. Calcule a probabilidade da média destas vazões ser superior a 110 
m3/seg. 
 
Solução 
X ~ (100;102) 
 
 
X
 ~ NORMAL 






6
10
,100
2 
 
 
)24500Pr( X
 
 Pr
)110( X
 = Pr 













6
10
100110
6
10
100X 
 
 = Pr 












6
10
100110
Z 
 = Pr  449,2Z 
 
 = 1 - Ф (2,449) = 1 – 0,9929 = 0,0071=0,71% 
 
 Pr 
)110( X
 = 0,71% 
 
 
Interpolando conforme tabela: 
 
2,44 - 0,9927 
2,449 - X 
2,46 - 0,9931 
 
   
 44,246,2
9927,09931,0449,246,2
9931,0



x
X 
 
   
 
9929,0
02,0
0004,0011,0
9931,0 
x
Z 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 4 (1.8 pts) A duração (X) de componentes eletrônicos é às vezes modelada pela 
densidade Rayleigh, mostrada a seguir. 
 
 
 
Deduza a densidade da v.a. 
2
3
2
XY 
 e apontar o nome (modelo) desta distribuição. 
 
SOLUÇÃO 
 
A densidade da v.a:
 
2
3
2
XY 
 
 
 





 








2
.exp.
2
)(
xx
xf 
 
v.a: 
2
3
2
xy 
 é injetora 
 
Cálculo de g(y) 
2
3
2
xy  yx 32 2  
2
32 yx 






2
3y
x 
2
1
2
3







y
x 










2
3
.
2
3
2
1 2
1
y
y
x 
yy
x
3.22
3


 
 
dy
dx
xfyg ).()( 
 

















 
y
x
e
x
yg
x
..
2
)(
2

 
 
y
e
y
yg
y
3.22
3
..
2
3
.2
2
3



































 

 
 








y
e
y
yg
y
3.22
3
..
2
32
)( 2
3


 
 







 

2
3
.
.2
3
y
eyg
 
 
 
Modelo: X~EXPONENCIAL (ʎ=3/2Ө) 
 
 
 
 
  0 x onde exp
2 2













 
xx
xf
 
 
Problema 5 (2.6 pts) Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta: 
yxyyxf ..2
4
3
),( 
, onde 0≤x≤2 e 0≤y≤1 
Dados: 
Marginal de “X” : 
2
1
)(  xxf 
Marginal de “Y” : 
yyyf
2
3
4)( 
 
Pede-se: 
a) (0,5 pt) Densidade condicional de Y dado X=x 
b) (0,5 pt) Média condicional de Y dado X=x, e calcule o valor quando x=1,5. 
c) (0.5 pt) Variância condicional de Y dado X=x, e calcule o valor quando x=1,5. 
 
 
Solução 
 
a) Densidade condicional de Y dado X = x. 
 
)(
),(
)(
xf
yxf
xXYf 
 , onde 
]1,(
]2,0(
xy
x


 
 
2
1
..2
4
3
)(



x
yxy
xXYf 
2
12
..2
4
3



x
yxy
 
12
..4
4
6



x
yxy 
 
 
12
..166



x
yxy
 24
..83



x
yxy 
 
b) Calcule a Média condicional de Y dado X=x, e calcule o valor quando x=1,5. 
 
- Cálculo da média Condicional de Y dado X: 
  dyxyfyxXYE
y
y
).(.
1
0




 , onde 
]1,0(
]2,0(


y
x
 
  dy
x
yxy
yxXYE .
2
1
..2
4
3
1
0















  
  dyyxyy
x
xXYE ...2
4
3
2
1
1
1
0
 








 
 
 
  dyyxy
x
xXYE ...2
4
3
2
1
1
1
0
22
3
 









 
1
0
3
2
5
3
.2.
10
3
2
1
1 y
xy
x



 
1
0
3
2
5
3
.2.
10
3
2
1
1 y
xy
x



 
1
0
3
2
5
3
1
.21.
10
3
2
1
1
x
x



 


 x
x
.
3
2
10
3
2
1
1
 
 
2
1
10
3
.
3
2



x
x
xXYE 
 
2
12
10
3
.
3
2



x
x
 
12
10
3
.
3
2
2









x
x
 
 
 1530
920



x
x
 
- Cálculo da média, quando x=1,5. 
 
Substituindo x=1,5   7,0
2
1
5,1
10
3
5,1.
3
2
5,1 


XYE 
 
 
c) Cálculo da Variância condicional de Y dado X=x, e calcule o valor quando x=1,5. 
 
- Calculo da Variância condicional de Y dado X 
 
 
   22 )()( xXYExXYExXYVAR 
 , onde 
]1,0(
]2,0(


y
x
 
 
  dyxyfyxXYE
y
y
).(.
1
0
22




 , onde 
]1,0(
]2,0(


y
x
 
  dy
x
yxy
yxXYE .
2
1
..2
4
3
.
1
0
22














  dyxyy
x
.2
4
3
2
1
1
1
0
32
5
 








 




1
0
4
2
7
4
.2
14
3
2
1
1 y
xy
x
 
 
214
3
2
1
12 x
x
xXYE 



 
 
 714
37



x
x
 
 
 
Substituindo x=1,5   536,0
2
1
14
3
22 



x
x
xXYE 
 
 
   2)()( xXYExXYExXYVAR 
 
 
2
2
1
10
3
.
3
2
2
1
14
3
2






























x
x
x
x
xXYVAR 2
2
2
1
10
3
.
3
2
2
1
.
14
37






























 

x
xx
x
 
   
 25,0
09,04,0444,0107,0214,025,05,0
2
22



xx
xxxxx
 
 
    
 25,0
017,0064,0056,0
2
2



xx
xx
xXYVAR
 
 
 
 
- Cálculo da Variância, quando x=1,5. 
 
 
Substituindo x=1,5 
    
 
047,0
25,0
017,0064,0056,0
2
2




xx
xx
xXYVAR
 
ou 
 
Substituindo x=1,5 
    047,07,0536,0 2  xXYVAR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela da N(0,1) (Ф(
0Z
) = Pr(Z≤
0Z
) 
 
 
 
 
 
 
z z) z z) z z) z z)
0.00 0.5000 0.62 0.7324 1.24 0.8925 1.86 0.9686
0.02 0.5080 0.64 0.7389 1.26 0.89621.88 0.9699
0.04 0.5160 0.66 0.7454 1.28 0.8997 1.90 0.9713
0.06 0.5239 0.68 0.7517 1.30 0.9032 1.92 0.9726
0.08 0.5319 0.70 0.7580 1.32 0.9066 1.94 0.9738
0.10 0.5398 0.72 0.7642 1.34 0.9099 1.96 0.9750
0.12 0.5478 0.74 0.7704 1.36 0.9131 1.98 0.9761
0.14 0.5557 0.76 0.7764 1.38 0.9162 2.00 0.9772
0.16 0.5636 0.78 0.7823 1.40 0.9192 2.02 0.9783
0.18 0.5714 0.80 0.7881 1.42 0.9222 2.04 0.9793
0.20 0.5793 0.82 0.7939 1.44 0.9251 2.06 0.9803
0.22 0.5871 0.84 0.7995 1.46 0.9279 2.08 0.9812
0.24 0.5948 0.86 0.8051 1.48 0.9306 2.10 0.9821
0.26 0.6026 0.88 0.8106 1.50 0.9332 2.12 0.9830
0.28 0.6103 0.90 0.8159 1.52 0.9357 2.14 0.9838
0.30 0.6179 0.92 0.8212 1.54 0.9382 2.16 0.9846
0.32 0.6255 0.94 0.8264 1.56 0.9406 2.18 0.9854
0.34 0.6331 0.96 0.8315 1.58 0.9429 2.20 0.9861
0.36 0.6406 0.98 0.8365 1.60 0.9452 2.22 0.9868
0.38 0.6480 1.00 0.8413 1.62 0.9474 2.24 0.9875
0.40 0.6554 1.02 0.8461 1.64 0.9495 2.26 0.9881
0.42 0.6628 1.04 0.8508 1.66 0.9515 2.28 0.9887
0.44 0.6700 1.06 0.8554 1.68 0.9535 2.30 0.9893
0.46 0.6772 1.08 0.8599 1.70 0.9554 2.32 0.9898
0.48 0.6844 1.10 0.8643 1.72 0.9573 2.34 0.9904
0.50 0.6915 1.12 0.8686 1.74 0.9591 2.36 0.9909
0.52 0.6985 1.14 0.8729 1.76 0.9608 2.38 0.9913
0.54 0.7054 1.16 0.8770 1.78 0.9625 2.40 0.9918
0.56 0.7123 1.18 0.8810 1.80 0.9641 2.42 0.9922
0.58 0.7190 1.20 0.8849 1.82 0.9656 2.44 0.9927
0.60 0.7257 1.22 0.8888 1.84 0.9671 2.46 0.9931
μ X 
σ
Z