1ºExercício CM AN 2014.1 v1.8

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1º Exercício Escolar 
Complementos de Matemática – 2014.1 (Turma AN)
Prof. Marcus Vinicius A. F. de Figueirêdo
Dado o número complexo z = (1 - j; (dados: ln(10) = 2,3 e )
Passe z para a forma geométrica (representando no plano cartesiano) e para a forma trigonométrica. (1,5)
Através de , mostre quem é “u” e v” (sugestão: utilize a Fórmula de Euler).(1,5)
Seja o círculo unitário positivamente orientado e 
Teste a analiticidade da função (1,0)
Calcule (1,5):
Expanda a função f(z) = , em série de Taylor (Maclaurin) e desenhe a região de convergência com o seu respectivo raio. (1,5)
Utilize o cálculo de resíduo para resolver a integral abaixo, sabendo que C é um círculo de raio 1 centrado na origem. A função é analítica na região anular 0 < |r| < 3. 
Para tal, expandimos a função em uma série de Laurent sobre z=0 nessa região anular, como está mostrado abaixo: (1,0)
 =