planejamento e analise estatistica de experimentos agronomicos rasterizado

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Décio Barbin
 Planejamento e Análise Estatística
de Experimentos Agronômicos
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2003
Décio Barbin
Planejamento e Análise Estatística
de Experimentos Agronômicos
 Editora Midas Ltda.
Arapongas, PR
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Planejamento e Análise Estatística de
Experimentos Agronômicos
Décio Barbin
2003
Todos os direitos reservados.
Nenhuma parte deste livro pode ser reproduzida ou transmitida de
qualquer forma ou por quaisquer meios eletrônico, mecânico,
totocopiado, gravado ou outro sem autorização prévia por escrito
da Editora Midas Ltda.
Capa, Projeto gráfico e Editoração eletrônica
André Henrique Santos
Impressão
Mid i ograf
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Bibliotecãriaz Neide Maria Jardinette Zaninelli CRB-9 / 884
B237p Barbin, Décio
Planejamento e análise de experimentos agronômicos/
Décio Barbin. - Arapongas: Midas, 2003.
208p. : il. ; 24cm
ISBN 85.89687~O1-5
1. Estatística Agrícola. 2. Experimentos Agronômicos.
3. Estatística - Análise. I. Título.
CDU 519.23.7
Copyright © 2003
Direitos desta edição reservados à
EDITORA MIDAS LTDA.
Rua Beija-Flor, 511 - sala 1
Fone/Fax (43) 275-5342
86701-200 - Arapongas - Pr - Brasil
site: wwvv.editoramidas.com.br
e-mail: editoramidas@e-ditoramidas.com.br |mPf<-2550 '10 5fflSÍ| Í Pfinfed Ífl Bfalíi
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Sobre o Autor
Décio Barbin. Engenheiro-agrônomo; Doutor em
Agronomia, Área de Concentração em Estatística e
Experimentação Agronômica; Professor Livre-
docente e Professor Titular pela Escola Superior de
Agricultura "Luiz de Queiroz" da Universidade de São
Paulo. Professor da ESALQ/USP, responsável por
disciplinas de Estatística Experimental na graduação
e na pós-graduação e por Componentes de Variância
na pós-graduação. Foi Coordenador da Area de
Ciências Agrárias I junto ao Conselho Técnico
Científico da CAPES/l\/LEC. Desenvolve pesquisa nas
áreas de Estatística Experimental e de Componentes
de Variância, com aplicações ao melhoramento
genético animal de gado de corte. Autor do livro
Componentes de Variância-Teoria e Aplicações e um
dos co-autores do livro Manual de Ecologia dos
Insetos. E também, um dos co-autores do capítulo
Estatística e Genética Quantitativa do livro
Melhoramento Genético de Plantas.
M
9/
Sumário
INTRODUÇÃO ..............................................................................................."1
nuVariaçao do Acaso, 1
Variância e Desvio Padrão, 3
Variância da Média e Erro Padrão da Média, 4
Coeficiente de Variação, 5
Intervalo de Confiança para a Média, 7
UNIDADE EXPERIMENTAL OU PARCELA .......................................... .. 8
Bordadura, l0
I I RI
PRINCIPIOS BASICOS DA EXPERIMENTAÇAO .............................. .. 11
Repetição, ll
Casualização, ll
Controle Local, ll
ENSAIOS INTEIRAMENTE AO ACASO ............................................... .. 13
Introdução, 13
Modelo Matemático e Esquema de Análise da Variância, l3
Um Exemplo, 14
Teste de Lilliefors para Normalidade, 26
TEsTEs DE coMPARAçôEs MÚLTIPLAS (ou TEsTEs DE coMPA-
RAÇÕEs DE MÉDIAS) .............................................................................. ..3o
Teste de Tukey, 30
Teste de Duncan, 36
Teste t, 39
Teste de Scheffé, 44
VI
VII
VIII
IX r
X
Décio Barbin _
ENSAIOS INTEIRAMENTE AO ACASO COM PARCELAS PERDIDAS
(OU ENSAIOS INTEIRAMENTE AO ACASO COM NUMEROS DIFE-
RENTES DE REPETIÇOES POR TRATAMENTO) ............................. .. 46
Introdução, 46
Modelo Matemático e Esquema de Análise, 46
Um Exemplo, 46
Teste de Tukey na Comparação das Médias de Tratamentos, 48
ENSAIOS EM BLOCOS CASUALIZADOS ............................................ .. 52
Introdução, 52
Modelo Matemático, Esquema de Análise da Variância e Estimadores de Míni-
mos Quadrados dos Efeitos de Tratamentos e Blocos, 52
Um Exemplo, 55 
Análise de Variância para Ensaios em Blocos Casualizados nos Casos de
Parcelas com Mais de Um Indivíduo, 61
ENSAIOS EM BLOCOS CASUALIZADOS COM UMA PARCELA PER-
DIDA ............................................................................................................... .. 64
Introdução, 64
Um Exemplo, 65
Teste de Tukey na Comparação das Médias de Tratamentos, 67
Deduções das Expressões de y, U e V (Y ), 68
ENSAIOS EM BLOCOS CASUALIZADOS COM DUAS PARCELAS
PERDIDAS ..................................................................................................... ..76
›~'Introduçao, 76
Um Exemplo, 76
Estimativa das parcelas perdidas, 77
Comparações de Médias de Tratamentos pelo Teste de Tukey, 81
Extensão aos casos k > 2 parcelas perdidas, 85
ENSAIOS EM QUADRADOS LATINOS ................................................ .. 86
Introdução, 86
Um Exemplo, 89
VIII
"_
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
XI ENSAIOS FATORIAIS ................................................................. .-. .......... ..
Caracterização dos Experimentos Fatoriais, em Parcelas Subdivididas e em
Faixas, 92
Esquemas de análise, 93
Fatoriais, 94
Vantagens e Desvantagem dos Ensaios Fatoriais, 96
Um Exemplo, 98
XII ENSAIOS FATORIAIS DAS SÉRIES 2" E 3” ..................................................................... ..
Fatoriais 2”, 106
Um Exemplo, 110
Eatoriais da série 3". Confundimento, 114
Confundimento (total) no fatorial 23, 115
O Confundimento no fatorial 33, 119
Um Exemplo, 121
XIII ENSAIOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS (“SPLIT PLOT”) .......... ..
Introdução, 132
Modelo Matemático e Esquema de Análise da Variância, 132
Planejamento e Instalação do Ensaio (Comparando-se com
equivalente fatorial), 133
Desdobramento de g.l. no “split-plot' e Resíduos apropriados, 134
Um Exemplo, 137
Análise de Regressão no Ensaio em Parcela Subdividida, 141
XIV ANÁLISE DE GRUPOS DE EXPERIMENTOS .................................. ..
Introdução, 155
Modelo Matemático e Esquema de Análise da Variância, 155
Um Exemplo, 157
XV TABELAS .................................................................................................... ..
I I
XVI EXERCICIOS ...............................................................................................
XVII BIBLIOGRAFIA ....................................................................................... ..
IX
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
APREsENTAçÃo
Este livro contém parte de nossa experiência em assessorias e consultorias em
planejamento e análise de experimentos na área de ciências agrárias. E um material que
vem sendo usado em nossas aulas de Estatística Experimental nos níveis de graduação
›we de pós graduaçao.
Há algumas abordagens mais teóricas que, para aqueles que irão dedicar-se apenas
às aplicações da Estatística, não serão importantes e nem necessárias. No entanto, para
aqueles que se preocupam com justificativas de fórmulas e de algumas afirmações, há
alguma resposta ou indicação de onde encontrá-las.
Esta obra contém os tópicos mais utilizados no dia a dia do pesquisador da área de
agrárias. Aborda, muitas vezes, o aspecto do planejamento e alerta o pesquisador para
as condições de validade de uma análise de variância. O leitor irá encontrar, em um dos
exemplos, o significado econômico para o produtor, de uma diferença mínima significativa
(dms) obtida pelo teste de Tukey, na comparação das médias de tratamentos.
Há que se comentar que algumas justificativas teóricas, nele contidas, foram obtidas
de aulas do Prof. Dr. Izaías Rangel Nogueira.
E oportuno apresentarmos os agradecimentos a todos que nos incentivaram a
publicar este livro. Agradecimentos especiais a Rosa Maria Alves, Silvio Sandoval Zocchi,
Clarice Garcia Borges Demétrio, Sônia Maria de Stefano Piedade e Antonio Augusto
Franco Garcia.
Críticas e sugestões serão sempre bem vindas.
Décio Barbin
e-mail: debarbin@carpa.ciagri.usp.br
xi
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
PLANEJAMENTO E ANÁLISE ESTATÍSTICA
DE EXPERIMENTOS AGRoNôMIcoS
D. Barbin.
I-INTRODUÇÃO
Variação do Acaso
Variação do acaso é toda variação devida a fatores não controláveis. Consideremos
uma área experimental plana, de solo bem homogêneo. Tomemos sementes selecionadas
de um híbrido simples de milho. Façamos a semeadora de maneira que as sementes
sejam colocadas no Solo, na mesma posição e na mesma profundidade. Essas sementes
irão germinar. As plantas crescerão e, no momento que emitirem o pendão (inflorescência
masculina) vamos medir suas alturas do solo até a inserção da folha “bandeira” (última
folha).
Verificamos que, dificilmente, iremos encontrar duas plantas com a mesma altura.
Então, se tudo que estava ao nosso alcance (do pesquisador) foi controlado, depreende-
se que a variação nas alturas dos pés de milho foi devida a fatores impossíveis de serem
controlados, ou seja, foi devida à variação do acaso. Sob este aspecto, o estatístico deve
sempre alertar o pesquisador sobre todas as fontes controláveis em seu experimento,
evitando que fatores possíveis de serem controlados venham a inflacionar a variação do
acaso. Talvez esteja aí o sucesso ou fracasso de um experimento.
Mas, como se pode medir a variação do acaso?
Uma vez anotados os dados relativos a uma determinada característica, calcula-
se a média aritmética desses dados e, a seguir, os desvios de cada dado em relação a
essa estimativa. Esses desvios são, a seguir, colocados em um gráfico para melhor
visualização de sua dispersão espacial. Temos, assim, uma idéia do grau de dispersão
dos dados: quanto maior a dispersão, maior é a variação do acaso, ou seja, maior é a
presença dos fatores não controlados da variação. `
Vejamos um exemplo: sejam os seguintes valores de alturas de pés de milho, em
cm: 203, 208, 198, 200, 202, 192, 197.
A média aritmética desses dados é 200 cm o que nos permite obter os seguintes
desvios na amostra de dados anterior: 3, 8, -2, 0, 2, -8, -3.
1
Décio Barbin
Se chamarmos de y. os valores ou dados observados, de m a média verdadeira1
dos dados e de e. os desvios em relação à média, podemos admitir o seguinte modelol
matemático para representar esses dados:
yi = m + ei
E claro que a estimativa da média é indicada por m e os desvios estimados por êi.
Vejamos como fica o gráfico proposto acima:
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Vejamos a seguir uma outra amostra de dados de alturas de pés de milho, com
a finalidade de confronto de situações diferentes: 203, 198, 199, 200, 201, 202, 197.
Verifica-se que a média aritmética é a mesma da amostra anterior, ou seja, fil = 200 cm,
o que nos pemiite obter os seguintes desvios: 3, -2, -1, 0, 1, 2, -3.
O gráfico para esta nova amostra é o seguinte:
A
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9 201T zoo
0T O 199 ó
._ 198 197
-1
Da comparação dos dois gráficos pode-se verificar que na amostra 2 houve
menor variação do acaso (menor dispersão dos dados ao redor da média).
2
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
Além dessa visualização gráfica é possível quantificarmos a variabilidade dos
dados experimentais através das medidas de dispersão, a saber:
IA FI'Varlancia e Desvio Padrao
Quando se conhece a média verdadeira, a variância é obtida por:
Il
Ze?
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S í;1__.._
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Porém, o mais comum é dispormos de uma estimativa de média e, neste caso,
a expressão é:
T1
2261
S2 :i-l
n-1
em que, ei são os desvios,
avn o número de observaçoes e
n-1 o número de graus de liberdade.
Em nossas amostras temos:
512 = 25,67 cmz e Sã = 4,67 cm2 ,
mostrando que na amostra 2 a variabilidade é menor, ou Sej a, que na amostra 2 a variação
do acaso é menor.
O Desvio Padrão é a raiz quadrada da variância. Tem-se a vantagem, do
ponto de vista do leitor, por ter a mesma unidade que os dados originais. Em nossas
amostras temos:
sl :¬/ 25,67 =5,07 cm e
S2 =¬/ 4,67 =2,16 cm.
3
Décio Barbin
Uma expressão mais usada para variância é:
 n 2
n 2%
1=l
_ IlS2 :1-lg ,
n-1
em que, yi são os valores observados.
Em nossas amostras temos:
280154 - 9400)"
S12 I- 71 7 _ 25,67 cm2 e,
280023 - ---W
sã 2 aaaaaa ~ _/_ 1 ~ -4,67 cm?
Variância da Média e Erro Padrão da Média
A estimativa da variância da média estimada é calculada pela expressão:
-<f› B›
2
S)z.._.._.,
Il
em que, n é o número de observações e
S2 é a estimativa da variância.
A estimativa do erro padrão da média é a raiz quadrada da estimativa da
variância da média estimada, logo,
^ :LS(1'H) X/Í
4
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
Em nossas amostras temos:
V,(n`i)=3,67 cmz, com s,(m)=1,9lcm e,
V2(n`f1)= 0,67 cmg, com s2(m) = 0,82 cm
E usual escrever-se mi s(rÍ1), logo, pode-se ter 200i 1,91 cm para a 1”.
amostra e 200 i 0,82 cm, para a 23. .
Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação é calculado pela expressão:
100.s
C.V. = í,._ ,
m
em que: S é a estimativa do desvio padrão e
53> ('D\ S30 estimativa da média.
Tem a vantagem sobre as demais medidas por se tratar de número puro.
Em nossas amostras temos:
100. 5,07
C.V. _ 200 = 2,53% para a primeira amostra e,
cv 10O"2”16 iosfr S d..- 200 _, 0 paraasegun a.
naObservaçoes:
1 - Para dados relativos, isto é, positivos e negativos, o C.V. não tem sentido, pois a
média poderá se aproximar de zero e, com isso, o C.V. tenderá ao 0°, ou seja.
hm cv- Aiii->0 ' '_
Será +00 se iii tender a zero pela direita e - az, se tender pela esquerda.
Pode-se, nesses casos, somar-se uma constante positiva a todos os dados, tornando-os
positivos.
5
Décio Barbin
2 - A soma de uma constante a todos os dados não altera o valor da variância, mas, altera
o da média e, por conseguinte, o do coeficiente de variação. Fica claro, portanto, que se o
valor da constante (positivo) for alto, abaixa-se o coeficiente de variação, podendo-se até
mesmo fazer com que se aproxime de zero aumentando-se indefinidamente o valor da
constante. Convém lembrar que não se alterando a variância nãose irão alterar os resultados
dos testes estatísticos; resulta daí, a importância relativa do C.V.
If m C.V.=== 0. (é uma assíntota horizontal)
ITI-)°°
Vejamos um exemplo.
Sejam os dados: 1, 2, 3, 4, 5, para os quais temos:
iii = 3,
S2 = 2,5 e
C.V. = 52,70%
Somemos a esses dados uma constante k = 10, temos, pois, uma nova amostra:
ll, 12, 13, 14, 15, paraaqual
rh = 13,
S2 = 2,5 e
C.V. = 12,15%.
Somemos agora a constante k = 50; temos portanto, 51, 52, 53, 54, 55, para a qual
rn = 53,
S2 = 2,5 e
C.V.= 2,98%
jç _
0 1 10 A 50 100
ff, 3. j 13 N, 53 103
S2 2,5 ` 2,5 2,5 F 2,5
C.V.(%) 52,70 I 12,15 ~ 2,98 1,53
Observe o que ocorreu com S2 e com o C.V.
6
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
Intervalo de Confiança para a Média
O Intervalo de Confiança para a média nos dá idéia da precisão da estimativa
da média, em termos probabilísticos.
E obtido por: m Í t s(fi1), em que:
fn é a estimativa da média,
t é o valor do teste t, obtido em tabelas bilaterais, com (n-1) g.1. e em um nível de
probabilidade e
nus(1'Í'1) é o erro padrao da média.
Em nossas amostras temos:
200 -'L 2,45 . 1,91 cm, ou,
200 1 4,68 cm, ou ainda, 195,32 < m < 204,68 cm,
para a primeira amostra e,
200 1 2,45 . 0,82 cm, ou,
200 1 2,01 cm, ou ainda 197,99 < m < 202,01 cm
para a segunda amostra.
9
7 .
Décio Barbin
II - UNIDADE EXPERIMENTAL OU PARCELA
Unidade Experimental (ou parcela) são os indivíduos (plantas ou animais) aos
quais será aplicado um tratamento. A resposta que eles apresentarem a esse tratamento
irá constituir um dado ou observação que será utilizadona análise estatística. Um conjunto
de parcelas envolvendo dois ou mais tratamentos pode constituir-se em um experimento.
Vejamos alguns exemplos:
- Em gramíneas (cana-de-açúcar, arroz etc), são usadas de 3 a 5 linhas de 10
m de comprimento cada uma.
- Em café usam-se de duas a quatro linhas com 7 a 10 plantas cada uma.
-A Com gado de corte, 1 ou mais animais, de acordo com a disponibilidade, já
que é muito difícil encontrar vários animaiscom características iguais para
compor uma parcela.
- Com animais de pequeno porte, como por exemplo coelhos, frangos,
poedeiras etc, podem-se usar vários indivíduos para a constituição de uma
parcela.
- Com árvores frutíferas, uma a duas plantas são o suficiente, dependendo
do grau de homogeneidade dessas árvores.
- Em psicultura, usam-se tanques de 2 x 2m, com 1 a 2m de profundidade.
No caso de experimentos com gado leiteiro (vacas), devem ser tomados
cuidados especiais. Existe toda uma técnica experimental visando a esse tipo de
experimento.
E sabido, por exemplo, que as vacas atingem o pico de lactação mais ou menos
aos quarenta e cinco dias após o parto. Portanto, esses animais só deverão entrar no
experimento após esse pico, o qual é característico para cada animal, conforme mostra
o gráfico abaixo:
Curva de Lactação
T
16 Pico de lactação
14
dução(k
I*-¡P--¡
<:>r×›.t>o\ooc>i×›
s)
Pro
1 I
Ii Í 1 i
I
ç Lê---À Período experimental -4¡
izz-_-...__.______...l.._._____...z_z.z;z_;.z..__...._____ ,___,_,_,_,_-_-_;__-,_-_z______________-___-_-_;-__,-___;,_-___,__-_, _________________________________ ______________›
0 50 100 150 200 250 300 350
dias
8
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
Geralmente, o pesquisador faz as seguintes perguntas ao estatístico:
- Qual deve ser o tamanho da parcela? O
- Quantas repetições devo fazer?
Quando não se conhece o tamanho da parcela para uma determinada espécie
em estudo, deve-se em primeiro lugar, verificar se já foi feito algum ensaio com aquela
espécie. Caso contrário, deve-se conversar com o pesquisador procurando-se obter
informações sobre a homogeneidade do material em estudo (se homogêneo, a parcela
pode ser pequena) sobre disponibilidade de material, tamanho da área experimental,
número de pessoas habilitadas para ajudarem na condução do experimento etc. Se já
foram feitos experimentos com essa espécie, verificar se os valores do coeficiente de
variação e as conclusões a que o pesquisador chegou foram satisfatórias. Em caso
positivo, pode-se adotar o mesmo tamanho de parcela usado nesses trabalhos; em caso
contrário, deve-se aumentar o tamanho da parcela. Um fato porém, pode ser demonstrado:
é sempre preferível aumentar o número de repetições a aumentar o tamanho da parcela.
Uma alternativa muito usada é a instalação de ensaios visando ao tamanho da
parcela. Nestes casos trabalha-se com as estimativas dos erros dentro e entre parcelas.
O erro dentro de parcelas é proveniente da variância entre indivíduos dentro da parcela
(o2d) e o erro entre é proveniente da variância entre parcelas ou variância residual ((526).
Se, 62d > (S20 deve-se aumentar o tamanho da parcela;
Se, ozd S 626, pode-se manter o tamanho da parcela, ou, até mesmo, diminuir.
A A A
1~~~~~~~~~~-~t 6;, t t
A2 A2 A2
9a1 Õdz Õzu
Importante: Sempre que possível, o pesquisador deve anotar todos os dados
individuais de seu experimento, ou seja, anotar o resultado para cada indivíduo dentro da
parcela para que, se necessário, possa obter a estimativa do erro dentro da parcela e
proceder a estudos de tamanho ideal de parcela. Q
Finalmente, para a determinação do tamanho da parcela, tem-se usado também,
simulação de dados em computadores. Parte-se de informações sobre ensaios já
realizados, usando-se a seguir, o Método da Curvatura Máxima, apresentado por
9
Décio Barbin
FEDERER (1955). Trata-se de um gráfico onde, no eixo das abscissas (x) colocam-se os
valores referentes ao tamanho da parcela e, no das ordenadas, os valores dos coeficientes
de variação correspondentes. Traça-se a curva e admite-se como tamanho ideal da parcela,
a abscissa que corresponde ao ponto de curvatura máxima, conforme gráfico ilustrativo a
seguir: A
Gráfico Relativo ao Método da Curvatura Máxima
100 ¬
80 e
Ponto de curvatura máxima
60 ~(%)
-* Tamanho ideal da parcelaC.V isO
l\J
OO _L_..___.___L__-. Í' 'Il I ' i
O 20 40 60 80
Tamanho da parcela
Bordadura
Quando o tratamento aplicado a uma parcela pode influenciar o tratamento
aplicado a uma parcela vizinha, devem-se desprezar as observações relativas às plantas
da periferia das parcelas, evitando-se distorções nas respostas dos tratamentos. Estas
plantas desprezadas constituem o que chamamos de bordadura. Aquelas da parte central
da parcela, cujos dados serão analisados, são chamadas de plantas úteis.
| I I I I - 1 I
Plantas úteis
Bordadura
10
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
À*III - PRINcÍI>Ios BÁSICOS DA ExPERI1vIENTAçAo
São três os princípios básicos da experimentação, a saber:
1 - Repetição
Consiste em se terem várias parcelas com o mesmo tratamento. Estaríamos
com isso, procurando confirmar a resposta que o indivíduo dá a um determinado
tratamento.
1512 - Casualizaçao
Consiste em se distribuírem os tratamentos pelas parcelas através de sorteio.
Com isso, estaremos oferecendo a mesma chance a todos os tratamentos de ocuparem
uma determinada posição ou parcela na área experimental. Elimina-se com isso, a
intuição ou desejo involuntário de proteger determinado ou determinados tratamentos.
Estes dois princípios, casualização e repetição são obrigatórios em todos os experimentos.
3 - Controle Local
E usado quando a área experimental é heterogênea. Nestes casos, ela é
subdividida em áreas menores e homogêneas. Em cada uma devem-se colocar todos os
tratamentos, de preferência em igual número. Caracteriza-se assim, o que iremos chamar
de blocos.
É o caso, por exemplo, de terrenos em declive onde se espera que haja um
gradiente de fertilidade, ou seja, que as partes mais baixas do terreno Sej am mais férteis
que as partes mais altas. Devemos, portanto, respeitar as linhas de nível do terreno e
colocar os tratamentosao longo dessas linhas onde se espera que haja homogeneidade;
estaremos, conforme será visto, constituindo os blocos que é a forma mais simples de se
realizar o controle local. Está aí a idéia dos experimentos em Blocos Casualizados, onde
se espera que cada bloco, constituindo uma repetição por conter todos os tratamentos
uma única vez, seja o mais homogêneo possível, oferecendo as mesmas condições a
todos os tratamentos que o compõem.
Quando a área experimental for homogênea, por exemplo, uma área plana,
dispensa-se o controle local; todos os tratamentos com todas as suas repetições são
11
Décio Barbin
dispostos por sorteio nessa área de modo que todos têm a mesma chance de ocupar
qualquer posição. Estes são os que chamamos de Experimentos Inteiramente ao Acaso.
Porém, se o terreno apresentar heterogeneidade em dois sentidos, o controle
local deve acompanhar essas duas fontes de variação, ou seja, devemos fazer blocos
perpendicularmente a esses dois sentidos. Eles serão chamados de linhas e colunas e
estaremos assim, caracterizando os Experimentos em Quadrados Latinos. .
A esta altura é importante salientar que à medida que aumentamos o controle
local diminuímos o número de graus de liberdade do Resíduo de uma análise de variância.
Como este número é um indicador da precisão da análise, só se deve fazer o controle
local quando realmente for necessário, ou Sej a, controle local desnecessário somente irá
causar menor sensibilidade à análise da variância.
Por outro lado, como o Quadrado Médio do Resíduo é a estimativa da Variância
Residual ou do Acaso, ao planejarmos um experimento devemos ter sempre em mente
que essa estimativa deve ser a melhor possível: ela deve ser realmente uma medida
representativa da Variação do Acaso. Portanto, todo cuidado deve ser levado em conta
ao se planejar e, principalmente, ao se instalar o experimento no campo. Erros ou
descuidos, nessa fase da experimentação, irão acarretar em aumento da variância residual
e, como já dissemos, tornando a análise da variância menos sensível.
12
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
IV - ENSAIOS INTEIRAMENTE AO ACASO
AufIntroduçao
Os ensaios inteiramente ao acaso são o tipo mais simples de experimentos.
Levam, em conta, como vimos, apenas os princípios da repetição e da casualização.
São, por isso, muito usados em laboratórios, casas de vegetação, viveiros etc.
Voltemos àquele caso de um canteiro bem homogêneo, onde foram usadas
semente de um milho híbrido simples. Foi um exemplo de variação do acaso, relativo à
altura de pé de milho. O modelo era:
yi= m+ei , comi=l,2,...,n,
ou seja, tínhamos n pés de milho.
Nesse modelo, yi é a altura da planta, m é a média geral e ei é o erro ou desvio
em relação à média (desvio devido ã variação do acaso).
Vamos “perturbar” essa aparente homogeneidade do canteiro, através de, por
exemplo, 3 doses distintas de N, deixando também plantas sem nitrogênio (dose 0).
Subdividamos o canteiro em, por exemplo, 12 parcelas de tal modo que 3 não recebam
N, 3 recebam a dose 1 de N, 3 a dose 2 e 3 a dose 3. Temos, portanto, 3 repetições de
cada tratamento.
As doses 0-1-2-3 de N serão distribuídas ao acaso (por sorteio) nas parcelas.
Modelo Matemático e Esquema de Análise da Variância
O modelo matemático para essa nova situação é:
yi¡=m+ti+ei¡
em que yij é a altura da planta;
ti , comi = 1, 2, ..., I é o efeito de tratamento (doses de N);
en, com j = l, 2, J - repetições é o erro experimental ou desvio.
13:
Décio Barbin
No caso I = 4 doses de N e J = 3 repetições.
O esquema da análise da variância é:
__________.___._._._-----í
CAUSAS (OU FONTES) DE VARIAÇÃO G.L.
 
Tratamentos A I I- 1 = 3
Resíduo I(J - l)(*) = 8
 
Total IJ - l = ll
 
(*) Por diferença: IJ - 1 - (I a 1) =lJ- 1 -1+ 1 =I(J- l).
Veja-se a relação entre o modelo matemático e o esquema de análise. Como
causas ou fontes de variação da altura dos pés-de-milho (yii), no modelo, têm-se ti e en,
pois m é comum a todas as observações. No esquema de análise, têm-se, como causa
de variação, Tratamentos (que correspondem aos ti) e Resíduo, que corresponde aos eü
(efeitos da variação do acaso). A
Um Exemplo 
.nv
. Consideremos, como exemplo, os dados adaptados de ZAMBAO; SAMPAIO;
BARBIN, 1982, onde o pesquisador pretende comparar 4 cultivares de pêssego quanto
ao enraizamento de estacas.
N.° de tratamentos: I = 4
N.° de repetições: J = 5
Tamanho da parcela: serão plantadas 20 estacas de cada cultivar
4 x 5 = 20 parcelas em todo o ensaio.
Tipo de experimento: como vai ser instalado no viveiro (condições controladas)
pode ser inteiramente ao acaso.
14
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
Sorteio de tratamentos (croqui do ensaio):
_ V4 20 estacas do cultivar 4
vz I v vz
<Il .<l <1 I... <Í
. Vj
20 estacas do cultivar 3.Ígz-tI-«J `-I-'- Í??
II
É Ê. 
Depois de instalado o experimento, passado o tempo necessário, o pesquisador
anota o n° de estacas enraizadas.
O resultado foi: .
..._;_____ _ z,______ - - _ -7,... âizff
TRATAMENTOS - 2, REPEÊÍÇOES 5, ToTAL
_. 0 ó
- 1 3
_ 11 ó4
__ 10 49 U-l>uJ[\J=-~ UOUIJDP \15›-1\> \.o5c:>r×J aeee 00:»-=›-L
122-
PERGUNTAS :
la) E possível fazer a análise da variância nesse caso?
23) Como fazer a análise da variância?
A análise da variância só é possível se forem satisfeitas certas condições, ou
seja, certas exigências do modelo matemático. São elas:
la) O modelo deve ser aditivo, isto é, os efeitos devem se somar (não há interação);
2**) Os erros (en) devem ter distribuição normal;
38) Os erros (e..) devem ser independentes;
1.1
a4 ) Os erros (en) devem ter a mesma variância, ou seja, deve existir homocedasticidade.
E comum a reunião das três últimas exigências na seguinte expressão:
média
eq zw N I D (0,õ2)
I LD distribuída
distr.
- independentemente
N orm al
on, eu m NID (0, ea).
variância
15
Décio Barbin
A condição de aditividade pode ser verificada pelo teste de não-aditividade de
Tukey, originalmente apresentado para ensaios em blocos casualizados (DEMETRIO,
1978).
A n_g1;1;nali.dade dos .erros ou dos dados pode ser verificada por um teste de
normalidade como o X2 ou deiilliefors (CAMPOS, 1983), ou ainda, o de Shapiro Wilk
(sAs,1994). "I
A independência dos erros é, até certo ponto, garantida pelo princípio da
casualização.
A homogeneidade das variâncias pode ser verificada através dos testes: Fmáx
(ou teste de Hartley ou da razão máxima); de Cochran e de Bartlett, cujas expressões
são:
máx 2
S min
consulta-se a tabela correspondente, com k = n° de tratamentos e 1/ == n - 1, número de
g.l. por szi.
Teste de Cochran
2
S maxC=T”*›
2251
1:1
consulta-se tabela adequada com k e (n- 1) g.l., onde k é o n° de estimativas de variância
e (n - 1) é o n° de g.l. associado a essas estimativas.
O teste de Bartlett é dado por:
(k l)gl
7 Mfã
16
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
em que:
k k
Iiíxllí -1) lOg §2 _2 (nl -1) 10g S51
c 1 i 1
..- --
6
4 1 K 1 1%
C=l+ 3(k-1) ni'1 Ê(ni_1)
lg i=l _
¡_¡
sendo: 3:2 a média ponderada das estimativas das variâncias S2, e k = n° de estimativas
de variâncias.
No caso de estimativas de variâncias com mesmo número de graus de liberdade
a elas associado temos:
k
Mz2,3oó (n-1) I<1°a šz - 2 1°8Sâ2I
1:1
6
l<+1
Uma outra alternativa que vem ganhando maior ênfase em função dos pacotes
estatísticos é a análise dos resíduos. De acordo com vários autores (PARENTE,
1984), os erros padronizados:
Êij _ Ôij
d.. = _ 21.1 ¬I QMRes. ¬/S
quando colocados em um gráfico, contra os valores estimados (yü), podem nos dar as
seguintes orientações (padrões):
la) du A
~I›- 3 ¬ -_-1-:ÍÍ-1
í; condição ideal
O §¿;z¿_,____ ff-`Êíff5§§§f§Í§Ê§Ê§Ê§§ das exigências
_Í.Í_§hiíi7ÍTíi.-__-dub'-daHH_--H______-H"-W-______-fífíiffifƒdgmgdgjg
_ 3 .
P Yij
17
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
3) . I
ou d,, A
a da À
+ 3 _ , , , , , , H
$ correlação
* positiva entre os
O `````````77" 777777777''''''''''''''_' erros, portanto os
erros não são
= independentes
- 3
7 W T+ Yu
+3* _ _ . . . ..
‹_. correlaçao negativa
entre os erros, portantr
O '''''''''""` """"""""""""" T' `````````" os erros nãosão
independentes
_3' z **** “
7 T DO › É/1_¡
Geralmente, porém, essas verificações não têm sido feitas na prática. Ocorre
que, de experiência sabe-se que, por exemplo, dados de produção geralmente satisfazem
a essas exigências; sempre que possível trabalha-se com médias por parcela, o que até
certo ponto, garante a distribuição normal. Quando se têm dados de contagem ou de
porcentagem, já se fazem transformações de dados.
No nosso exemplo:
ç Tratamentos __ Totais ni, s2¡ C.V.(%) m/52
' 1- A ó 1,2 0,7 69,72 1,7
2 W B 3 o,ó 0,3 91,29 2,0
_ 12,3 7,7 21,ós 1,7
_ 9,s 9,7 ,,31,7s _ _ 1,0
o=122 úâ =ó,1 §2 =4,ó
-thus UG -l>cJ\xo-l>~
Façamos a verificação das condições de homogeneidade de variâncias e da
normalidade dos erros, para os dados de nosso exemplo.
Sabe-se que
B› 'I' ..".`*›Yij :
19
Décio Barbin
r"+>r"'Y*)r"'f) Oea:>Ei)
Mas, = 6,1
=-4,9
=-5,5
=6,7 e
ID =3,7, logo,
yA_ =l,2; §`fB_ =0,6; §/C = 12,8 e yu =9,8.
Por outro lado,
Ae A
dij = --_”- em que êi. = yi. -rh-ti e QMRes : 4,60
r/QMRes J J
Logo, usando-se os valores de êij apresentados na página 28, temos os dij, na
tabela a seguir
du
A E 0,37 0,37 -0,09 -0,09 -0,56
B 0,19 -0,28 -0,28 0,19 0,19
C -0,37 -1,31 0,56 1,96 -0,84
D -1,31 -0,37 2,42 -0,84 0,09
O gráfico para os dij apresentados no quadro acima fica:
fuGráfico de dispersao
2,5 ' 9
2 _.
1,5 '
Resíduospadronizados
bi
l
0,5 - O
0 0
O 'IT' 71 "1 r' I* Í I *Í
.. O-0,5 0 2 4 ó s .10 12 - 14
O
_]-1 . .
__1,5 _ Í .
Y estimado
Observa-se, pelo gráfico, a heterogeneidade de variâncias: a variância cresce
com o crescimento de yu .
Verifica-se pelos coeficientes de variação, que não há proporcionalidade entre
as médias e os respectivos desvios padrões, o que, se houvesse, nos orientaria para uma
transformação de dados do tipo logaritmo: log (yu + k), onde k = constante positiva.
20
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
avA 2Se compararmos as colunas mi e si , notamos que os dados estao,
provavelmente, seguindo uma distribuição de Poisson, pois as médias estão próximas
›~' flfl
1.das variâncias (na Poisson: S2 _ m). Há indicaçoes, portanto, para uma transformaçao
de dados do tipo ¬/X +k ou ¬IyíJ- +k .
Façamos agora o teste Fmáx para homogeneidade de variâncias:
2
F :,if)IfiQ<_ Z : 32,33
max Sgnin 0,3
111,,,,;,, <.,,,,,,,, 1< = 4 variâncias k 20,6 => 5%
v=4g.1.(p@1~S,2) 4 49,0=>1%
_ em = 32,33*
Como Em é significativo em nível de 5% de probabilidade, rejeitamos a hipótese
HU, ou seja, as variâncias não são homogêneas. A não verificação de uma só exigência
do modelo já é suficiente para a não validade da análise da variância. Porém, foi verificada
também a normalidade através do teste de Lilliefors (ver pág. 28), chegando-se a conclusão
que os dados não seguem a distribuição normal.
Como alternativas para torná-la válida, temos:
a) transformação dos dados, cujas mais usadas são: \/É , onde k20 é uma
constante, para dados de contagem; arc sen ,Ip/ 100 , onde p = porcentagem, para
dados de porcentagem, geralmente entre 0 e 30% ou entre 70 e 100%; log (x + k),
quando há proporcionalidade entre médias e desvios padrões;
Pode-se, no entanto, de acordo com BOX e COX (1964), determinar
analiticamente, que tipo de transformação pode ser usado. Estabelece-se uma regressão
linear entre log S2, como variável dependente e log m, como independente.
Determina-se 19 e, a seguir,
A = 1 - É .
2
O valor de A nos indica que tipo de transformação deve ser feito.
21
Décio Barbin
Se MO, temos Y*= Y* e
Se 7\z=O, temos Y*= log Y.
Em nosso exemplo, temos Í) =1,131()
X = l - = l-0,5655 == 0,4345
Isso nos permitiu usar 7»=O,5, por ser uma transformação de uso corrente, ou
seja,
Y* z Yfizfi z \/Ç.
Resumo de várias possibilidades de transformação de dados:
É À Transform ação
0 l nenhuma
se na J; ou J;
2 O logxoulogy
3 -i/2 _1_Ou¿__
~/Í E
4 -1 1 1
X Y
 
b) Testes não paramétricos.
c) Modelos lineares generalizados.
Portanto, em nosso exemplo, vamos usar a transformação ¬/X +O,5 ou
¬ / yij + 0,5 . A constante k = 0,5 é usada porque temos várias observações com valores
baixos, inclusive nulos. 1
Com essa transformação, temos:
22
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
UOEDIID
1,58
1,22
3,53
2,74
1,58
0,71
3,24
3,08
1,22
0,71
3,81
3,94
1,22
1,22
4,18
2,91
0,71
1,22
3,39
3,24
6,31
5,08
18,15
15,91
1,262
1,016
3,630
3,182
28,35
27,39
10,26
0,1276
0,0780
0,1386
0,2144
9,9
13,0
26,2
14,56 14,8
(A transformação J; sempre abaixa o C.V.
S2 z 0,2144 _,F _ max_ç _ ;2,75n
maix S2 .
1T111'l
homogeneidade das variancias, o que toma valida, sob esse aspecto, a analise da variancia
O teste de normalidade, por Lilliefors, apresentou D = 0,0983, não significativo, indicando
Como F , é não significativo, não rejeitamos HO, isto é aceitamos a
45,45 2,272
para
0,1196
š 2
5 a metade)
max '
que a distribuição dos dados ¬/ x + 0,5 , não difere da normal
ç A análise de variância para os dados transformados em ¬/x + 0,5 , nos dá o
seguinte resultado:
Causas de Variaçaozu o.L. s.Q. QM. F
Tratamentos 03 26,3495 8,7832 62,87
Resíduo t 16 2,2349 0,1397
Total 19 28,5844
Yij
1,; G12 1 zSQTota1=Zyš- É ,emque:@= 2 IJ' :N
i,j
(45,45 2
SQTota1= (1,58)2 + + (3,24)2 ~ T2-= 28,5844
1 1 2
SQTrat. = T 2; Ti - (13
1
z z (45,45›21= _ 6,31 . .. 15,91 - -i_= =26,3-4955 1< > + +‹ › 1 20
Décio Barbin
SQRes. = SQTotal - SQTrat. = 2,2349
sonar 26,3495._ --4 = Í 8,7832
QMTIM' _ g.l.Trat. 3
SQRes. 2,2349__ ---- = -A 0,1397
QMReS` _ g.1.Res. 16
QMTrat.
F = QM Re S = sob a hipóteses de nulidade (HU)
HO:r,=t,=t,==t1_= O
Portanto,
8,7832
F: 0,1397 = 62:87
Isto significa que a variabilidade dos tratamentos é 62,87 vezes superior ã
variabilidade natural, que seria dos resíduos. Significa que os efeitos de tratamentos não
são iguais. Quanto mais E se distancia de 1, mais estaremos observando efeito dos
tratamentos.
Veja-se que, sob a hipótese HO, não havendo efeito de tratamentos, QMTrat. e
QMRes. devem dar valores semelhantes (lembrar que QM = s2), logo, sob HO, E 5 1.
A medida que encontramos valores de F afastando-se de 1, no sentido maior, significa
que devemos rejeitar Ho, ou seja, aceitar a hipótese alternativa Ha, de que os efeitos dos
tratamentos são diferentes de zero e diferentes entre si.
Sob o ponto de vista de Esperança Matemática dos QM”s, admitindo o modelo
fixo, temos:
E (QMTrat.) = s2 + JÔ,
Z Í?
em que: (1),, = ;_ e E (QMRes.) = oz
I-1
24
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
Se admitirmos, como estimativas:
QMTrat. =Ô2 +J(Í)t , como yêt :
1-1...F4
.-›>
P-*N
-1
QMRes. = ô2 ,
1Í€l'I1OSÍ 2 J A2
F: QMTfar. :__ H Li; __: Hlgi
QMRes. Ô2 62
Por essa expressãäo, vemos que o valor de E próximo ou afastado de 1 dependerá
do valor da expressão ti , que é a medida da variação entre os tratamentos.
Para dizermos se aqueles efeitos de tratamentos são significativos, isto é, não
são devidos ao acaso, devemos consultar astabelas de E
É comum usarmos tabelas aos níveis de 5% e 1% de probabilidade. Devem
ser consultadas, nos casos de Experimentos Inteiramente ao Acaso com (1-1) g.l. de
tratamentos no numerador e I(J-1) g.l. do resíduo (no denominador).
Em nosso exemplo, temos:
F3- ló-5% : 324 6 F3;1ó-1% : 529
O E calculado e 62,86**. Logo, F e significativo ao nível de 1% de probabilidade
e devemos rejeitar HO. Portanto, concluímos que os tratamentos diferem entre si. Há,
portanto, necessidade da aplicação de um teste de comparação de médias de tratamentos.
Região do acaso Região do acaso
95% 5% 99% 10/O
.xl 'I 'I 'i \" ' f_"._ ¬'._ _-.I-._ ._ _ ._
3,24 5,29
Observações:
la) Os pacotes estatísticos nos dão as probabilidades de significância dos testes E
Consideramos, no entanto, como significativos, os valores de F cujas probabilidades sejam
menores ou iguais a 0,05.
25
Décio Barbin
23) A análise da variância, para os dados não transformados de número de estacas de
pessegueiro enraizadas nos dá:
Tratamentos 3 I 564,20 18 8,07 40,88**
Resíduo 73,60 4,60
Total 19 Í 637,80 __.í¬1ií-_-í
Causas de Variação 3 GL SQ QM I F
16
. 1
\I/
cv. = 35,16% o F é robusta
Teste de Lilliefors Para Normalidade
Uma das exigências do modelo matemático e, portanto, da validade da análise
da variância, é que os erros ei, tenham distribuição normal.
Como vimos, a verificação dessa exigência pode ser feita pelo teste de X2 ou
pelo de Lilliefors.
O teste de Lilliefors consiste em se obter
D = supr I F(Z,) - S(Z,)I
ou
D = supr I F(Z,) - S(Z,_¡) I
em que, F(Z¡) são as probabilidades da variável normal reduzida
x,¬fà
Z¡=_~i-'_' ,
S
em que X, em nosso caso são os erros en, na e a estimativa da média dos eij estimados e,
portanto, e igual a zero e s e a estimativa do desvio padrão dos en.
elJ . .Zi: W = di, = desvios padronizados,
S _
S(_Z,) = ä- , onde k é o número de observações S Xi, ou, em nosso caso, é o número de
desvios S eíj. '
Devemos, inicialmente, obter os erros eij.
Como yu = m + ti + ei, , temos que
611: yij T m ` t1
26
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
naMas, nao conhecemos m e ti, logo, devemos trabalhar com suas estimativas
/\
611:)/ij' U1 _ ti
Veremos, posteriormente, que
23/11'
iii = il” OU Ê :IJ U
A Ae 1, = _-m
J
No nosso exemplo, temos:
TRATAMENTOS
7 7 ' ' '”"* .nvREI->ETiçoEs
_ 33
Pal
|=-=
IL\J
:==__--._- . 5“ TOTAIS
-Il*-U~>l\-7*-'
im W
U(`)Ud3>
-ez.
›-w CDB-3
0
l
11
10
P"~"'*
`~°‹:>
I'-" _¡,_c::› lí “Fi12
7 WW 15 8
6=T¡
3:-'T2
ó4zT,
49=T4
i22zG
122 .
6 1 A
fl: ÍA: š " 6,1: -4,9 -_ tl:-4,9
A 3 A
Í2:tB:šu_691:_5s5 '. 1:2:-595
A 64 A
Ê3:tC=Í"6a1:6s7 .'. t3:6,7
A 49 A
E4:tD:Í~691:3›7 .'. t423,7
HM*o1›S.z Í1 = 0jil
-4,9 + (-5,5) + 6,7 + 3,7 = 0
27
Decio Barbin
Com essas estimativas, obtemos as estimativas dos erros eij.
TRATAMENTOS 1,, ga 32
RE1=~ETiçõEs I25” S*41
1--K
UOU:1;>
o “oo
-I>-uam
0,4
-0,8
-2,8
0,8
-0,6
-2,8
-0,8
-0,2
-0,6
1,2
5,2
-1,2
0,40
-1,8
0,2
0,7
0,3
7,7
9,7
-0,2
0,4
4,2
-1,8
j 4,ó =
-2
Por exemplo:
êi
s2¡= -í-IL ou š2 = -«ie-2S1
- 4
l = 2 - 6,1 - (-4,9) = 0,8
Ze? 2
i(J 11
Observações:
33) O teste de Lilliefors irá nos dizer que a distribuição dos dados (erros) difere ou não da
la) 1
,, É2) iaj ij
92” ê,¿ z o
›l
ê.2. z 73,6
logo,
IJ
I
O 0
" i<J-1) ` ió
gz,/4,6 E 2,1448
Os 16 g.l. correspondem a 4 + 4 + 4 + 4 (de cada parcela), ou,
(-i)=4×4=1ó.
distribuição normal.
A seguir, consulta-se a tabela de probabilidade da distribuição normal reduzida,
A2
š2 2 Êij 73,6 _ 4,6
obtendo-se antes, as variáveis reduzidas Zi:
Zi
-OU-O
S
Por exemplo,
Zi
: 9”_8_f£ ._-_ 0,37
2,1448
28
M- 
S 1
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
Colocando-se os êii (ordenados) e respectivos Zi numa tabela, obtemos:
A
Cij :rh .N F(Z1) S IIZÍ) IF(Z1)-S(Z1)I IF(Z1)-S(Z 1)I
-2,8
-1,8
-1,2
-0,3
-0,6
-0,2
0,2
0,4
0,3
' 1,2
4,2
5,2 1-^1-1-*l\.)L.›-11-‹~l\Jl\Jl\J›-^1\)l\J
-1,30
-0,34
-0,56
-0,37
-0,28
-0,09
0,09
0,19
0,37
0,56
1,96
2,42
Cg0968
0,2005
112877
Cg3557
0,3897
0,4641
C¿5359
Cg5753
0,6443
0,7123
0,9750
0,9922
12121012112
1252012112
0,25‹:›‹c
121,3 512112
L.)
1,5 512112
:›,60‹:«‹:
21U
E3(Í)AT 1:-
MI\IOO\l21LDc_1Q)
(3(`öCA)5901211
1,9 51211("¬› Ç3
545121121
11 F
Em-¿
\I O C2 (_) (_)
0 0032
1: 0005
^ 0377
. 0057
10603
.›,0s59
1,0641
11747
0,2057
0,1877
0,0025
0,0073
cf)ÉÍ):)c:__
\J\I\Il\J
cl)
A1U
(_)(-3C5(A3(A3(_)LA)(T)C3(A)
V1
g0968
g1005
g0877
g1057
10397
g0141
g0141
g0247
g1057
51377
g0750
0,0422
obtemos:
k
S(Z,) = 'n_
onde k é o número de desvios S êü.
Porexemploz
S z -Ê _ 0 10001 1)' 20 ”
4
: _* :
S(Z2) 20
O maior valor de IF(Zi) - S(Z,)I e IF(Z,) - S(ZH)I é 0,2057, logo
D = suprem IF(Z,) - S(Z,)I = 0,2057
Consultando a tabela de Lilliefors com n = 20 e oc = 0,05 ou oc = 0 01
D1z115(o,05) : O>19O 6 D1âb(0,‹›1) : 03231
Como Dm > Dmmos), rejeitamos HO, isto e, a distribuiçao dos ei, nao pode
ser aceita como distribuição normal.
C 1 ' t t ”onc uimos, por an o, que os erros eu nao têm homogeneidade de variâncias
(teste Fmáx) e também não têm distribuição normal.
Portanto, não são verificadas duas das 4 exigências do modelo.
Para maiores informações consultar “Estatística Experimental Não-
Paramétrica” (CAMPOS, 1983).
Décio Barbin
nl I
v - TESTES DE coMPARAçoES MULTIPLAS (ou TESTES DE
COMPARAÇÕES DE MÉDIAS)
Vimos, em nosso exemplo, que o teste F foi significativo ao nível de 1% de
probabilidade, logo, rejeitamos HO: tl = t2 = ... = tl = O, ou Sej a, os efeitos de tratamentos
São estatisticamente diferentes de zero.
Pode-se concluir, também, que deve existir pelo menos um contraste entre
médias de tratamentos que difere de zero.
A verificação da significância desses contrastes de medias de tratamentos é
na
feita através dos testes de comparaçoes múltiplas.
1. Teste de Tukey
Este teste serve para testar todo e qualquer contraste entre duas médias. A
sua expressão é:
1 A A
A = q ,/- V(Y)
2
A = d.m.s. = diferença mínima significativa;
em que:
q ç é a amplitude total estudentizada (“studentized range”) obtida em tabelas,
aos níveis de 5 e 1%, com n = n° de tratamentos (ou médias) e n” = n° de graus de
liberdade do resíduo;
Í/(Y) é al estimativa da variância da estimativa do contraste entre duas médias
de tratamentos. S
No caso de médias serem obtidas com o mesmo número de repetições, a
expressão fica:
M R .A :__ q f Q es
r
onde r == n°. de repetições.
É conveniente lembrar que, quando o número de repetições não for o mesmo
para todos os tratamentos, o teste de Tukey é aproximado.
Antes da aplicação desse teste, vejamos o que são um contraste, sua
variância e contrates ortogonais.
30
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
Contraste de medias de tratamentos é uma função linear de medias que tera
valor nulo, uma vez admitida a hipótese de nulidade
HU: ml =m2= =mI
pv avEntao a funçao
y] = a.11Tl1+ azfnz + 'Í' anflln
será um contraste se, admitida HO, tivermos ai = O.
1
São contrastes os exemplos seguintes:
y1=m¡ +m,-2m,
›×z=m1-mz
pois, se ml = m2 = m3 = m, temos:
yl = m + m - 2m = O
y2 = m - m = O
Variância de um Contraste
Consideremos uma estimativa de contraste
§f1= alfiil +a2fi'12 + + an mn
em que: ria, foi calculada com rl repetições;
mlfil 2 foi calculada com rg repetiçoes ;
fñ H foi calculada com rn repetições.
31
Décio Barbin
Então, se as médias forem independentes:
v(y 1) = a21v(f`n,) + â2,v(fi1,) + + zt2nv(fi1n)
2 2 2Õ O' G= af-_1+aâ-2-+...+aä_“-
rl r2 rn ”
Uma estimativa da variância da estimativa do contraste é:
2 2 2^ A 2 S1 2 S2 2 SV(y1)=a1--+a2 --+...+an -ll-
I`1 T2 In
onde S2, , com i = l, 2, ..., n são estimativas de variâncias.
Quando se tem uma análise de variância, onde se admitiu a homogeneidade de
variâncias,temos
2 _ 2 _ _ 2 _ 2si-S2-...-sn-s
e, consequentemente,
S21: S22 = = s2n = S2 = QM Resíduo
Logo,
2A A aiv(y,) = 2 -_ QM Res.
1 fi
Contrastes Ortogonais
Dois contrastes
yl = a,m1+ a2m2 + + anmn
e
y, = blm1+ b2m2 + + bnmn
são ortogonais se
.b. ç A A
21%-l = 0, oriunda de Cov(y1,y2) = O
. .
32
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
No caso de médias com o mesmo número de repetições a condição de
ortogonalidade é
2 ai bi = O
Vejamos se
yl: ml + B› + B>2 3"3m4
§z2= ml +m2-2m3
Ê
ya: m1_m2
são ortogonais. Admitindo o mesmo número de repetições r temos:
lim fiiz ñnz 1i`"14
Coeficientes
*<>"<>"<> L»na›-
+1
4+_
+1
+1 +1 -3
+1 -2 O
-1 O O
§¡1€`›§'2
§'1€Í\/3
ífzeys
+1
+1
+_
+1 -2 O O
-1 O O O
-1 0 O O
nu
soma dos
produtos
Logo, os três contrastes sao ortogonais entre si.
Do ponto de vista prático, significa que os contrastes são independentes, ou
seja, a variação de um independe da variação do outro.
Vejamos, agora, como fica o teste de Tukey na comparação das médias de
tratamentos de nosso exemplo sobre enraizamento de estacas.
As médias (dados transformados) são:
fi12
ñilz 1^'hA=1,2ó2
= ú`zB=1,o1ó
33
Décio Barbin
fhçz-_ fi1C=s,63o
fn,= â1D= 3,1s2
O valor de A , ao nível de ot = 0,05 de significância é:
0 1397jQMReS _ j ,
A5%:q ---_r-_"_ - *T
A 5,, = 0,677
d T ke com ot = 0 05 n = 4 tratamentosonde: q = 4,05 foi obtido da tabela para o teste e u y, , ,
ou médias e n” = 16 g.l. do Resíduo (Ver tabela 3, p. 167-168).
Para a = 0,01, temos
1 0,1397
A1%=5,19 --Ê-- 2 0,867
A 1,, = 0,867
' Os contrastes envolvendo duas médias apresentam os seguintes resultados em
valores absolutos:
91-_-z ml- 61,:-_ 1,262-1,o16=o,246
§z,= fizl- fi1,.-=1,262-3,63o=2,36s .
e assim, sucessivamente.
Logo, o quadro dos valores absolutos dos contrastes estimados fica:
iii,
1,920*
2,166*
_ ç Iii, ç 0,246 ç E W 2,368*
Iñ 2 ' "
. "\
0,448
34
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
A seguir, comparamos cada valor do contraste com A, a 5% e/ou 1% de
probabilidade.
Se: Í, 2 A0, H Ê/¡ ésignificativo, ou seja, rejeitainos HO ITI = ITI edizemos
que yi difere de zero, ou seja, que ITI, ¢ SITIJ- , ao nível ot de probabilidade
Se: < A -› não é significativo. Logo, aceitamos HO In = In ,ou1 ot 1 J
seja m. não difere de m. .9 l
Em nosso quadio de contrastes, se compararmos cada valor j`/ com A OO ,
devemos colocar um asterisco em cada valor j`f¿ que for 2 A O
As conclusões são, pois:
1) mi e m2 diferem estatisticamente ao nível de 5% de probabilidade de m e m
2) ml não difere de mz;
3) nia não difere de m4.
É comum também esses resultados se apresentarem sob a seguinte forma
61, =1,0i6 6
iii1=l,262 a
fa, z3,is2 6
úh., :3,630 6
em que: médias seguidas da mesma letra não diferem entre si.
Vejamos como fica o teste de Tukey na comparação das medias de tratamentos,
:sv
para os dados NAO transformados.
As médias são:
1a,zi,2
r'i`i2 = 0,6
m3 :12,8
m4 =9,8
465% = 4,05, /z-gi z 3,ss
A5% = 3,88
O quadro das estimativas dos contrastes é:
^ A
Yi TI1 1513 1314
,0
ñii
fiiz
fiiâ
0,6 11,6* S
12,2*
s,6*
9,2*
3,0
35
Décio Barbin
Vemos pela significância dos contrastes, que chegamos às mesmas conclusões
que aquelas obtidas para os dados transformados, mesmo não tendo sido satisfeitas as
condições de normalidade dos erros e homogeneidade das variâncias. Isso, no entanto,
não é geral.
2. Teste de Duncan
À semelhança do Tukey, o teste de Duncan serve para testar contrastes entre
duas médias de tratamentos. É menos rigoroso que o de Tukey, chegando a mostrar
contrastes como significativos, que pelo Tukey não são. O de Tukey mantem o mesmo
nível de significância (5 % ou 1%) para todos os contrastes, ao contrário do de Duncan
onde o nível (1 - ot)“'*, varia conforme o número (n) de médias envolvidas no contraste.
A expressão do teste é
1 ^ A
Di = Z ¡ - V (yi)
2
em que: D, é a diferença mínima significativa (d.m.s.)
Zi é o valor da tabela, obtido com n = n° de médias envolvidas no contraste ei n”
= n° de g.l. do resíduo
<> /¬ '~<> 1./ (`D\ QD estimativa da variância da estimativa do contraste.
: , _<>_i.f¿š_.-.V(y,)= tl T2, QMR66
No caso de mesmo número de repetições o teste é exato e a expressão ez
QM Res.
Di = Zi -'_-'_
I"
Neste teste, as médias devem ser ordenadas e começa-se pelo contraste entre
a maior e a menor médias. Se ele não for significativo, isto é, se
y Í, < Di,
não se deve aceitar qualquer outro contraste como significativo, mesmo que
yi >D,. 1
36
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
Vejamos como fica a aplicação desse teste no nosso exemplo.
As médias, em ordem crescente, são (dados transformados):
fii, = 1,016
fii, =i,262
rh, =3,1s2 6 ni, = 3,630
951131,- 13,31 =|1,0i6-3,6301 =2,614
Cálculo de D,
Para j`1¡ , temos as quatro médias abrangidas, logo
M R _DEZA /2_râ
/0,1397
D4=3,23*T = 9,540
Como jil =2,614 §`11>D4 3 m2¢m3, ou seja,rejeitamos Ho: m2=m
O próximo contraste pode ser
j`/2 = I 111111 - fih I = |l,262- 3,6301: 2,368 5
Este abrange três médias, logo:
QM Res _ 0 1397 _15:23 4-_' ..3,i5 -”-_ _ 0,526
3 r 5
j`f2 > D3 => rejeitamos HO, ou seja, ml ¢ m3.
No caso de j`/3: m4- m3 =0,448
M R _ 0,1397D2: zz ,/-Q--ii =3,00,/ ---- = 0,501
r 5
Como j`/3 < D2 :> m4 não difere de m3.
37
Décio Barbin
Os demais contrastes são:
§/ll: ml- ml =2,166 ,
que envolve três médias, logo, usa-se D3 = 0,526. Portanto, ml 1-/z ml;
gzlz ia,z0,246,
abrangendo duas médias, logo, usa-se D2 = 0,501. Portanto, ml não difere de ml;
§,6:fi1l'I,ñ.4:1,92O ,
abrangendo duas médias, logo, usa-se Dl = 0,501. Portanto, ml at ml.
Conclusões Finais:
ú`zl=1,016
úi l _-z 1,262 .
r'f1,=3,is2
fi1,=3,630
É usual, neste teste, ligar através de barras, as médias que não diferem entre
si. Pode-se também usar o sistema de letras.
Observações:
la) Neste exemplo, o resultado de Duncan foi o mesmo do de Tukey.
2“) IMPORTANTE: Cada contraste testado por Duncan, tem uma probabilidade de que
“não apontemos como significativa uma diferença realmente nula” dada por (1 - ot)“'l,
em que ot é o nível de significância e n é o número de médias abrangidas no contraste.
Logo, para ot = 0,05 e n = 4, temos (1 - 0,05)4'1 = (0,95)3 = 0,8574 ou 85,74%;
para n = 3, (1 - 0,05)2 = 0,9025 ou 90,25%;
e para n = 2, (1 - 0,05)1= 95%.
Verificamos que A (Tukey) é maior que qualquer dos Dl (Duncan), ou seja,
Aslll = 0,677 e o maior dos Dl é Dl = 0,540.
Então, confirma-se, pelo exemplo, que Tukey é mais rigoroso que Duncan.
38
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
3. Teste t
É, talvez, o menos usado de todos devido às suas exigências, e porque as
mesmas comparações podem ser feitas pelo teste F, na própria análise da variância.
Características:
1. É usado para testar um grupo de contrastes ortogonais;
2. Os contrastes devem ser estabelecidos “a priori”, isto é, antes do conhecimento dos
resultados experimentais;
3. Os grupos de contrastes ortogonais devem conter um n° de contrastes igual ao n° de
g.l. de Tratamentos.
A expressão do teste é
/\Z 3/F01
\/ V(Ê`/1)
em que: j`/l é a estimativa do contraste; fz ( jf l) é a estimativa da variância da estimativa
do contraste.
O valor calculado de t é comparado com o valor de t, obtido em tabelas com n”
g.l. do Resíduo e ao nível ot = 0,05 ou ot = 0,01.
Se tlllllll > tlllll=> yl âfi O, ou Seja, é significativo, logo, as médias diferem entre si.
Se tclllc < tlllll :> yl não difere de zero, logo, as médias não diferem entre si.
Em nosso exemplo, podemos ter o seguinte grupo de 3 (que são os g.1. de
tratamentos) contrastes ortogonais:
j`/l=ii`fil+i'i`il-(ii`il+ii`il)=>(l+2) vs(3+4)yl=ml-ml =>lvs 2
y3=ml-ml => 3vs 4.
Obs: vs significa versus
Outro grupo poderia ser:
^=-5ú=1_<z-'à+úâ 61) ^=-61 Â ^ ^ ^y1_ 1 2 3+ 4 ou yi_ i`3(m2+m3+m4)
yl=2 ml-(ml+ ml)
513,: Iñs" lñzt
39
Décio Barbin
Se tivéssemos 2 inseticidas clorados e 2 inseticidas fosforados, os contrastes
do 1° grupo seriam indicados:
clorados vs fosforados
clorado 1 vs clorado 2
fosforado 1 vs fosforado 2
Consideremos, para efeito de aplicação, o 1° grupo de contrastes. Logo:
É/l= fÍll+ 1112-(I113+ 1'/Íll)=-4,534
.. A 12 12 -12 -12
il
A 4
V (y l) = É (0,1397) = 0,11176
- _ll _
tz yll -. 4534 --13,56/Vlyll ,/0,11176
Consulta-se a tabela de t com l(J - 1) g.l. do resíduo.
tllllll = 2,12 , com n” = 16 g.l. e ot = 0,05
Como tllll > tlllll :> y l at 0, logo ml + ml difere de ml + ml, ou seja, a média das
médias dos tratamentos 1 e 2 difere da média das médias de 3 e 4.
Para o 2° contraste:
gzlz úâl- ú~1l=0,246
Í? (y 2) = 0,05588
tllll = 1,04 < tllll = 2,12 :> ml não difere de ml.
Para o 3° contraste:
j`/ll: ml- ii'1l=0,448
ff (yl) = 0,05588
tllll = 1,89 < tllll :> ml não difere de ml.
40
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
Entretanto, esse mesmo estudo de contrastes pelo teste t, pode ser feito, de
modo talvez mais elegante, na própria análise da variância. Esse procedimento é conhecido
por: “desdobramento de graus de liberdade de tratamentos” ou “repartição da SQ
tratamento s ”.
Usando-se os mesmos contrastes testados por t, temos:
Causa de Variação g.l. S.Q. QM F
(Tfaram6nr6S) (3) (26,3495) 7
(A+B) vs (C+D) 1 25 ,6964 25,6964 183,94**
AvsB 1 0,1513 0,1513 1,08”
C vs D 1 0,5018 05018 3,59”
Resíduo 16 2,2349 0,1397
T6061 E 19 1
Dados transformados em ¬/ x + 0,5 :
Repetições Í;
Tratamentos 1
la 2a 3a 4” 52'
Totais
A 1,58
E 1,22
c 3,53
D f 2,74
1,58
0,71
3,24
3,08
1,22
0,71
3,81
3,94
1,22
1,22
4,18
2,91
0,71
1,22
3,39
3,24
6,31
5,08
18,15
15,91
lz 11,3
}34,0
9
6
45,45
1 45 45 2
SQ (A + B) vs (C + D) z É [(11,39) 2 + (34,06) 2] --É---É-ól I 25,6964
n° de elementos envolvidos
em cada parcela
1 11 2soxvssz É [(6,31)2 + (5,0s)2] % z 0,1513
1 34,06 2socvsnz É [(1s,15)2 + (15,91)2] -É-mi = 0,5013
2E _ ~ 5”6964 -133,941” contraste 0,1
41
Décio Barbin
F 0,1513_ _ lllll
2° contraste _ 9
F 0,5018 _ 3 59
3° contraste _ ,
111 ff- 1E iz› 4,49 59 3,53 (193)*ab 1112 = 16 gi. 1 0)
AllConclusoesz
la) O total dos tratamentos A + B difere do total C + D;
28) A não difere de B;
3a) C não difere de D.
Observações:
la) O teste F para contrastes (1 g.l.) eqüivale a testes de comparações de médias, logo,
com 1 g.l. para tratamento não é necessária a aplicação de teste de comparações de
médias, caso F seja significativo.
24) SQ(A+B)vs (C+D)+SQAvsB +SQCvsD=SQTrat.
25,6964 + 0,1513 + 0,5018 + 0,1397 = 26,3495
SQ Trat
33) As somas de quadrados dos contrastes poderiam ter sido obtidas pelas seguintes
expressões:
SQ(A+B)vs(C+D)= ,
Í
em que: yl = valor do contraste para totais de tratamentos;
r = n° de repetições ou n° de observações somadas para obtenção dos totais
de tratamentos que entraram no contraste;
2 cfll = soma dos quadrados dos coeficientes do contraste.
42
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
Em nosso exemplo, temos:
(11,39 z 34,06)2 _ 25 llll
SQ(A+B)vs(C+D)- lO×2 - 5
2
SQ A vs E - 16131-593 1 z 0,1513
5><2
2
SQ C vs D _- (18,15 15,91 ) ~= 0,5018
5 >< 2
Se o número de repetições é diferente, complica bastante o cálculo por essa
expressão.
43) Nos casos de contrastes, portanto, com 1 g.l., \/É = t ou E = t2. Verifiquemos:
Contraste (A + B) vs (C + D): t = -13,56
t2 = 183,87 E F = 183,94
Contraste A vs B: t = 1,04
t2= 1,08 = F = 1,08
Contraste C vs D: t = 1,89
t2 =3,57 5 F = 3,59
5a) Importante: Quando se aplica o teste t ou se decompõem g.l. de tratamentos numa
análise de variância, o nível de significância conjunto é dado por
[1 - (1 - 0fl)“1
em que ot é o nível de significância individual, geralmente 0,05 ou 0,01; n é o número de
contrastes ortogonais.
Em nosso exemplo, para ot = 0,05 e como temos n = 3 contrastes, o nível
conjunto de significância é
1 - (1 - 0,05)3 = 0,1426 => 14,26%
Isto é, para 3 contrastes tem-se 14,26% de chances de que ocorra uma diferença
por acaso, enquanto que, sem desdobramento da soma de quadrados, tínhamos essa
probabilidade igual a 5%.
Pode-se obter uma boa aproximação desse nível conjunto de significância por
1 - (1 - ot)“ E not
43
Décio Barbin
No exemplo:
not = 3 x 0,05 = 0,15 :> 15%
Uma alternativa para essa situação é usar o teste de Bonferroni, que é um
1 7 no nível conjunto de significância. Ele usateste t procurando corrigir essa a teraçao
ot' = ot / n , para cada contraste pois se o nível desejado é ot, então ot == not”.
0 05
OU: -°~ = 0,0167,
3
para cada um dos 3 contrastes de nosso exemplo.
4. Teste de Scheffé
tratamentos. Se, porém, o contraste envolver apenas u
O teste de Scheffé serve para comparar qualquer contraste entre médi
as de
d as médias, deve-se preferir o
teste de Tukey ou o de Duncan.
A expressão do teste de Scheffé é
S = 4/01-11 Fab <f0>
em que n = n° de tratamentos;
F é o valor do teste F, obtido em tabelas com nl g.l. de tratamentos e nl g.l. do
resíduo
<› /5 '-<> ) é a estimativa da variância da estimativa do contraste.
Vejamos a aplicação desse teste nos contrastes:
/\Y.-=< fi11+1'/Í'12)`(T/Í13+1'/Í`l4) 6
A À À A /\
3/2:
vivi)
ml +m¿l+m3 - 3ml
l2 2 _ 2 _ 2
= 4 +1 +(1) + (-L 0,1397 = 0,111765 5 5 5
n=4.'.n-l=3
44
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
=3Flll lnl =› 3,24 6 5%
112 =16
.~.Sl,l= J (4-1) 3,24">< 0,11176 -z 1,0423
c6m61yl1 z 1-4,5341 = 4,534 => 1yl1 > Sll.
Logo, rejeitamos Hll, ao nível de ot = 0,05, então concluímos que a média de ml e
ml difere estatisticamente da média de rnl e ml. Isso concorda com os resultados de t e E
Para o contraste
ízl =-5,43.
ÍÊITIOSÍ
0 (yl) = 0,3353.
Logo,
gll z J (4-1) 3,24 ×0,3353 z 1,s052
Como 1 Êfl 1 > S => rejeita se Hll, logo, a média entre ml, ml e ml difere de ml.
Observações:
la) Há autores (PERES; SALDIVA, 1982) que preferem estabelecer intervalos de
confiança para os contrastes e concluir do seguinte modo: se o intervalo contiver o zero,
aceita-se Hll, nos casos contrários, rejeita-se Hll).
2a) Além desses testes apresentados temos o teste de Dunnett (STEEL; TORRIE,
1960) que serve para comparar médias de tratamentos com a(s) média(s) de um
AUpadrao (ou +).
A expressão desse teste é:
dl: ll/2 QM Res.
r
quando tem-se o mesmo n° de repetições, onde t é o valor da tabela de Dunnett, obtido
com p = n° de tratamentos, excluído o padrão, e n = n° de g.1. do resíduo (ver tabelas em
STEEL; TORRIE, 1960)
45
Décio Barbin
vi _ ENsAios INTEIRAMENTE Ao AcAso coM PARCELAS PERDIDAS
(ou ENSAIOS INTEIRAMENTE Ao ACASO coM NÚMEROS DLEERENTES
DE REPETIÇÕES PoR TRATAMENTO)
Introdução l ,
Considera-se uma parcela como perdida quando por algum motivo não dispomos
de informações (dados) dessa parcela. Pode ter ocorrido uma doença ou praga destruindo
toda a parcela; pode ter havido esquecimento do auxiliar do pesquisador em anotar os
dados daquela parcela etc. É comum, também, considerar como parcelas perdidas valores
discrepantes (“outliers”). A
É importante saber que do ponto de vista de cálculo, as parcelas perdidas
pouco alteram a elaboração de uma análise de variância, neste modelo. Porém, a cada
parcela perdida diminui-se 1 g.l. no total e, consequentemente, no resíduo também.
Modelo Matemático e Esquema de Análise
O modelo matemático é o mesmo apresentado para o caso onde não há perda
de parcela, ou seja,
yll=m+tl+ell ;
em que: i= 1, 2, I;j = 1, 2, nl = n°de repetições para o tratamento i.
Causa de Variação G.L.
Tratamentos I- 1
Resíduo N-I
T6rzz1 N-1
em que: N = 2 Ui
1
Um Exemplo
Consideremos a título de exemplo, os dados de enraizamento de estacas,
transformados em l/ y + 0,5 , já analisados no capítulo anterior.
Suponhamos que foram perdidas as parcelas correspondentes a:
1° tratamento ou tratamento A, na 4° repetição; .
3° tratamento (tratamento C), na 4° repetição; e
3° tratamento na 5° repetição; 
46
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
conforme a tabela a seguir:
Tratamentos ll 23
Repetições _ll ll ll Totais inA
1,53
1,22
l 3,53
l 2,74U(')tIJ3>
1,58
0,71
3,24
3,08
1,22 x
0,71 1,22
3,81 x
3,94 2,91
0,71
1,22
x
3,24
5,09
5,08
10,58
15,91
1,272
1,016
3,527
3,182
Análise da variância
36,66 2,156
C a u S a d e V a ri aç ã 0 g . l. _____l_lS__._Q__._________________________________________________________________________________________________l___l_____lf____
7'''''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ..................................7 29 l5 1 9 8 6 l 8 3 9 9 48 _3 O 3 4
Resíduo 13 1,8406 0,ll4ll.l6l
Total 16 22,3604
so T6t61= Xylzl - C
1.1
SQ Total = (l,58)2 + + (3,24)2 -Í = 22,3604
SQ Trat. =
1 1= -ll <5,09)2 + -š [(5,03)2 + (15,91)2] + Ê (10,53)2 -C
y-¡» ...Me:_-s
p-l
i
= 20,5l98
so R6S. z SQ T6161- SQ Tf6t. z 22,3604 _ 20,5193 zz 1,3406
(3660)-2
--T3 -c
SQ Trat. 20,5 198QM Trat. - A I -, 6,8399
QM R6S. = --M = --_ z 0,1416
g.l. Trat. 3
SQ Res. 1,8406
g.l. Res. 13
QM Trat.F -_ ‹ , sob a hipótese de nulidade (HO)
M Res.Q
47
Décio Barbin
HQII1=l2=l3=...=l1=O
Portanto,
6,3399F =i = 48,30
0,1416
z 314,, ll" z> 3,41(5%) 5,74(1%)
nz =l3
Clvl š 100 ¬/QM Res. : l002l/l(;,6l416 : l6lll5%
1Tl ›
Obs.: No caso de dados sem parcela perdida, C.V. = 17,45%
Como F foi significativo, rejeitamos Hll: tl tl tl tl 0, logo, deve haver
pelo menos um contraste entre médias de tratamentos, que difere de zero.
Teste de Tukey na Comparação das Médias de Tratamentos
A expressão geral é:
Azq l/ äf/(51)
ln 4 tratamentos _
C1t61›‹0,05) ln, lllgl lesldllo => 4,15
a) Al, para contrastes de médias com 5 repetições, ou seja, para o contraste
Yi : I/112- 1'/1:14
j`/l=1,016-3,182:-2,166
2 2
V(y,)=l É-1l)_ + QM Res. zš. 0,1416
48
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
1 2Al=4.i5 l/ É . É (0,1416) = 0.698 => Al = 0,693
b) Al, para contrastes envolvendo médias com 5 repetições e média com 4 repetições,
ou seja, para os contrastes: 
ylz fiil- fiil = 1,016-1,272=-0,256 6
gzlz fiil- fiilz 3,132-1,272=1,910
A ,. A ,. (U2 (*1)2
1 1 1 7A = 4,15 -. - + - 0,1416 = 0,741 =:› A :0,741
2 2 5 4 2
c) Al, para contrastes envolvendo médias com 5 repetições e média com 3 repetições:
yl=ml-ml=2,5ll e
jts: ml- ml=0,345
, A ,, A 12 12V(yl)= V(yl)= + LB)-lQMRes.
ll lg .llolzsó z 6,666 A 1, z
d) Al, para contrastes envolvendo média com 4 repetições e média com 3 repetições:
j`/l= fill - ri1l=2,255
A A l2 _ 2
V(yl)=l:-(-ll)-+(;š)-l QMRes. ~
49
Décio Barbin
1 1 1Al=4l15 lj all + 5) 0,1416 = 0,343 z> Al z 0,343
Quadro de Contrastes
ii`1,(4)<*) IÍ12(5) Ú`f1,(3) ff1.l(5)
l-'ill (41 - 0,256 2,255* 1,910*
filz 1° l - - 2,511* 2,166*
1513 (3) - _ _ 0,345
^ (51ml __ _ _ _
(+) o número entre-parênteses indica o número de repetições.
Al=0,693; Al=0,741 ; Al=0,306 ; Al=0,343
Obs.: À medida em que se têm menos repetições envolvidas nas médias, exige-se
maior diferença para indicar como significativo o contraste.
Conclusões:
1°) ml e ml diferem estatisticamente de ml e ml.
2°) ml não difere de ml.
3°) ml não difere de ml.
É importante salientar que, no pacote SAS, o procedimento é o cálculo da
média harmônica dos números de repetições:
I
1721111
em que rll é a média harmônica dos números de repetições;
50
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
I é o n°. de tratamentos do experimento;
ri, com i = 1, 2, ..., I é o n°. de repetições do tratamento i.
A expressão de Tukey, a ser usada é:
Azq fQMRes.
rh
Em nosso exemplo temos
4rh-1 1 1 1-4,0678
+ + +
4 5 3 5
logo,
A = 4,15 EA-r-1-Ê A = 0,774.
4,0678
Com esse valor, aplicado aos 6 contrastes, verificam-se os mesmos resultados
já obtidos pelos valores de A. .
1
51
Décio Barbin
VII - ENSAIOS EM BLOCOS CASUALIZADOS
Introdução
øwOs ensaios em blocos casualizados, além dos princípios da casualizaçao e da
repetição, levam em conta o controle local, na sua forma mais simples. Reportemo-nos,
mais uma vez, àquela situação que serviu para conceituarmos variação do acaso, na
qual, posteriormente, “perturbamos” a homogeneidade, a fim de caracterizarmos os
experimentos inteiramente ao acaso. Suponhamos, agora, que esse terreno ou área, seja
em declive. Há, portanto, conforme vimos em princípios básicos da experimentação, a
necessidade de se realizar um controle local. O controle local, neste caso, consiste em
se repartir a área experimental heterogênea em subáreas homogêneas. Num terreno
em declive, essas subáreas são ao longo das curvas de nível. Cada subárea recebe todos
os tratamentos, uma vez cada e, esse conjunto constitui um bloco (completo). Fica claro,
portanto, que nesse tipo de delineamento cada bloco é uma repetição.
É importante salientar que dentro de cada bloco deve haver o máximo possível
de homogeneidade a fim de que sejam oferecidas as mesmas condições a todos os
ÍYEIÍEÍHIGHÍOS.
Observação: Quando não for possível colocarem-se todos os tratamentos num mesmo
bloco, podemos caracterizar os blocos incompletos.
Modelo Matemático, Esquema de Análise da Variância e Estimadores de
Mínimos Quadrados dos Efeitos de Tratamentos e Blocos
O modelo matemático referente aos ensaios em blocos casualizados é
yiJ.=m+t¡ +b¡ +e,J.
em que:
yä é a observação referente ao tratamento i no bloco j;
m é a média geral (ou constante comum a todas as observações);
ti , com i = 1, 2, I, é o efeito de tratamento;
bj , comj = 1, 2, ..., J, é o efeito de bloco;
em é o erro experimental, admitindo-se eij rw N I D (Og G2)
52
Planejamento e Análise Estatística de Experimentos Agronômicos
O esquema da análise da variância é:
Causa de Variação G.L. S.Q. Q.M. E(Q.M.) E
Tratamentos I- 1 QI V1 G2 + JCIDÍ V1/V3
Blocos Í - 1 Q2 V2 G2 + IG2b
Resíduo (I- l)(J-1) Q V3 G2
3 .I as
Total :J - 1 Q,
at?_ _ 1em que. <I>[ _ I_1
Sob HO: tl = t2 = = tl = O, o teste F para tratamentos é
V1F = *-
V3
Os graus de liberdade do resíduo são obtidos por diferença:
IJ-l-(I-l)-(J-1) = IJ-l-I+l-J+l = I(J-l)-(J-l) = (I-l)(J-1)
Obs.:
la) Se ocorrer a situação de presença de interação tratamentos x blocos, não é adequada
a utilização deste esquema de análise. Neste caso, o resíduo terá incluído, além da variação
do acaso, esta interação (modelo não aditivo).
23) Embora os graus de liberdade do Resíduo possam ser obtidos pelo produto
(I - l)(J - l) como se fosse uma interação Tratamentos x Blocos, não deve ser entendido
como tal, pois no Resíduo só devem aparecer variações do acaso.
A presença da interação pode ser detectada pelo teste da não-aditividade do
modelo. 1
Quando é constatada a interação o Q.M. do Resíduo fica inflacionado podendo
resultar valores do teste F menores que l. Q
33) Nos casos de parcelas com mais de um indivíduo, o modelo matemático é:
yíj = m + ti + bj + eij + em
onde os termos têm o mesmo significado que no modelo anterior (casos de um só indivíduo
por parcela, ou de total de parcela, ou de média de parcela) e eijk, com k = l, ..., K é o
erro dentro de parcelas ou erro entre indivíduos dentro de parcelas, ou erro amostral.
53
Décio Barbin
Considera-se
amp NID (0, õfi)
Esse caso, conforme comentamos, é