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Tópicos de Cálculo Noções básicas de álgebra elementar 2ª Aula Prof.: José Fernando Santiago Prates Universidade de Franca – UNIFRAN Franca - 2018 Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 2 1.Operações com Polinômios Um polinômio é representado por Pn(x) = an.xn +......+ a4.x4+ a3.x3+ a2.x2+ a1.x1+ a0 onde é o grau do polinômio. Exemplos: P7(x) = x7 - x6 + 3x3 - 3x2 + 14 R(x) = x5 – x4 + 8x3 - 5x2 + x - 9 A(x) = x3 – 5x2 + 7x + 5 1.1. Agrupamento de termos iguais (coeficientes de mesma potência) Exemplos: a). 4x – 3y + z – 3x + 5y – 3z = x + 2y – 2z b). x2 + 5x + 7 + 8x2 + 9x + 4 = 9x2 + 14x + 11 c). x6 + 3x2 + 3x6 + 4x2 + 5x6 + 2x2 = 9x6 + 9x2 d). 4x5 - 2x2 + 6x5 - 3x3 + 5x6 + 2x3 = 5x6 + 10x5 – x3 - 2x2 1.2. Soma (subtração) Agrupamento dos coeficientes de mesma potência. Exemplos: a) Sejam os polinômios A(x) = x3 + 3x2 + 7 e B(x) = x2 – 2x, obter A(x) + B(x). Solução: A(x) + B(x) = (x3 + 3x2 + 7) + (x2 – 2x) = x3 + 3x2 + 7 + x2 – 2x = x3 + 4x2 – 2x + 7 b) Sejam os polinômios A(x) = x7 + 3x3 + 7 e B(x) = x6 + 3x2 – 7, obter A(x) + B(x). Solução: A(x) + B(x) = (x7 + 3x3 + 7) + (x6 + 3x2 – 7) = x7 + 3x3 + 7 + x6 + 3x2 – 7 = x7 + x6 + 3x3 + 3x2 c) Sejam os polinômios A(x) = x7 + 3x3 + 7 e B(x) = x6 + 3x2 – 7, obter A(x) – B(x). Solução: A(x) – B(x) = (x7 + 3x3 + 7) – (x6 + 3x2 – 7) = x7 + 3x3 + 7 – x6 – 3x2 + 7 = x7 – x6 + 3x3 – 3x2 + 14 d) Sejam os polinômios A(x) = x2 + 3x + 5 e B(x) = x3 + 3x2 + 2, obter A(x) – B(x). Solução: A(x) – B(x) = (x2 + 3x + 5) – (x3 + 3x2 + 2) = x2 + 3x + 5 – x3 – 3x2 – 2 = –x3 – 2x2 + 3x + 3 Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 3 e) Sejam os polinômios X = a 2 +2ab+b 2 , Y = a 2 -2ab+b2 e Z = a 2-b2 . O bt e r a s im pl i f i c ação d e X- (Y+Z) Solução: X-(Y+Z) = a 2 + 2ab + b 2 - (a2- 2ab +b2 + a2 -b 2 ) = a 2 + 2ab + b 2 – a2 + 2ab - b2 - a2 + b2 = a 2 + 2ab + b 2 – a2 + 2ab - b2 - a2 + b2 = b 2 – a2 + 4ab Logo, X-(Y+Z) = b 2 – a2 + 4ab 1.3. Produto (distributiva) Exemplos: a) Sejam os polinômios A(x) = x – y e B(x) = x + y, obter A(x) B(x). Solução: A(x) B(x) = (x – y)(x + z) = x2 + xz - yx – yz b) Sejam os polinômios A(x) = x2 – 3 e B(x) = x + 5, obter A(x) B(x). Solução: A(x) B(x) = (x2 – 3)(x + 5) = x3 + 5x2 – 3x - 15 c) Sejam os polinômios A(x) = x3 – 3x e B(x) = x + 7, obter A(x) B(x). Solução: A(x) B(x) = (x3 – 3x)(x + 7) = x4 + 7x3 - 3x2 - 21x d) Sejam os polinômios A(x) = 2x2 – 3 e B(x) = 3x + 5, obter A(x) B(x). Solução: A(x) B(x) = (2x2 - 3)(3x + 5) = 6x3 + 10x2 - 9x - 15 e) (a + b + c)(a + b + c) = a2 + c2 + b2 + 2ab + 2ac + 2bc f) (a + b + c)(a – b + c) = a2 + 2ac – b2 + c2 g) Sejam os polinômios: baX , baY e 2)ba(Z . Obter o valor simplificado de: 2b2ZY.X Solução: 2b2ZY.X = (a - b)(a + b)-(a - b)2 + 2b2 = a2 + ab – ba - b2 –(a2 -2ab +b2) + 2b2 = a2 + ab – ba - b2 – a2 +2ab - b2 + 2b2 = 2ab Logo, 2b2ZY.X = 2ab Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 4 1.4. Divisão Tem a finalidade de obter um polinômio quociente Q e outro polinômio resto R da divisão dos polinômios, P1 e P2. Com P1=P2.Q+R. P1 P1 P2 P2 R Q Exemplos: 1) Efetue a divisão de 1 2 2 x xx identificando o quociente e resto. Solução: 2x2 + x 2x2 + x x + 1 x + 1 2x2 + 2x 2x 2x2 + x x + 1 -(2x2 + 2x) 2x -x 2x2 + x x + 1 -(2x2 + 2x) 2x - 1 -x -(-x - 1) 1 Logo, o quociente é Q = 2x - 1 e o resto R = 1, e ainda 2x2 + x = (x + 1).(2x 1) + 1 Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 5 4) Efetue a divisão de 1 423 x xx identificando o quociente e resto. Solução: x3- 2x + 4 x3- 2x + 4 x - 1 x3- 2x + 4 x - 1 x - 1 x2 x3 - x2 x2 x3- 2x + 4 x - 1 x3- 2x + 4 x - 1 -(x3 - x2) x2 -(x3 - x2) x2 + x x2 – 2x + 4 x2 – 2x + 4 x2 - x x3- 2x + 4 x - 1 x3- 2x + 4 x - 1 -(x3 - x2) x2 + x -(x3 - x2) x2 + x -1 x2 – 2x + 4 x2 – 2x + 4 -(x2 - x) -(x2 - x) -x + 4 -x + 4 -x + 1 x3- 2x + 4 x - 1 -(x3 - x2) x2 + x -1 x2 – 2x + 4 -(x2 - x) -x + 4 -(-x + 1) 3 Logo, o quociente é Q= x2 + x - 1 e o resto R = 3, e ainda (x2-4) = (x+2).(x-2) + 3 Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 6 Frações Em operações que envolvem frações, existem a maneira CORRETA e a ERRADA de se realizar os cálculos. Cabe o aluno aplicar, de modo correto, as definições e propriedades para obter os acertos! 26 Erros Mais Comuns de Matemática que Fazem Você parecer um Idiota https://www.youtube.com/watch?v=ruZm22FYfIg https://youtu.be/0m4HV2iQQg8 https://paginas.uepa.br/seer/index.php/web-mat/article/download/265/229. Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 7 Operações entre Frações 1.5. Soma: oCompensaçã da Lei y b x a xy bx xy ay = xy bxay Exemplos: 1) 3 zyx 3 z 3 y 3 x , mesmo denominador somam-se os numeradores. 2) 6 y3+x2 2.3 y3 2.3 x2 2 y 3 x 3) 60 727580 4.3.5 4.3.6 5.3.4 5.3.5 5.4.3 5.4.4 5 6 4 5 3 4 4) yx yx 2 = yx yx yx )yx(2 = 1.6. Subtração oCompensaçã da Lei y b x a xy bx xy ay = xy bx-ay Exemplos: 1) 5 zyx 5 z 5 y 5 x , mesmo denominador subtraem-se os numeradores. 2) 6 y3x2 2.3 y3 2.3 x2 2 y 3 x 3) x x x 1x 1 x 1x = 1.7. Produto Linha em Multiplica y b x a xy ab Exemplos: 1) 6 xy 2 y 3 x 2) 3 10 6 20 2.3 5.4 2 5 3 4 3) 2 5.4.3 6.5.4 5 6 4 5 3 4 1.8. Divisão Cruz em Multiplica y b x a xb ay Exemplos: 1) y3 x2 2 y 3 x 2) 15 8 5.3 2.4 2 5 3 4 3) 3 4 5.6 4.10 4 5 6 10 y b x a ou y b x a Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 8 Exemplos: 1) Efetue e simplifique a expressão algébrica 1 x 1x x 1x Solução: x 1 x x x 1x 1 x 1x x 1x = x x x 1x x 1x = x 1 x 1x x 1 x 1x = x + 1 Logo, 1 1 1 x x x x = x + 1 2) Efetue e simplifique a expressão algébrica 3x 1 3x 3x 3x 3x Solução: 3x 1 3x 3x 3x3x = 3x 1 )3x)(3x( )3x)(3x( )3x)(3x( )3x)(3x( = 3x 1 3x )33.x.2x( 3x )33.x.2x( = 3x 1 3x 6x2 = 3x 5x2 Logo, 3x 1 3x 3x 3x 3x = 3x 5x2 Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 9 3) Efetue e simplifique a expressão algébrica 18a12 x6x4 x4 3a2 2 6x3 2x x4x 23 Solução: )3a2(6 )3x2(x2 x4 3a2 2 )2x(3 2x )4x(x 2 = )3a2.(6.x.4 )3x2.(x.2).3a2( )2x.(3).2x( 2).2x)(2x(x = 12 3x2 3 x.2 = 4 1x2 Logo, 18a12 x6x4 x4 3a2 2 6x3 2x x4x 23 = 4 1x2 Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 10 Exercícios de Polinômios 1) Considere os polinômios A(x) = 2x3 + 3x2 – 5x + 2, B(x) = 4x2 + 3x + 7 e C(x) = 5x4 + 3x3 – 5. Efetue as operações abaixo. a) A(x) + B(x) – C(x) – 5x4 – x3+7x2 – 2x+14 b) A(x) – [2B(x) – 3C(x)] 15x4 + 11x3 – 5x2 – 11x – 27 c) 3[A(x) – 2B(x)] – C(x) – 5x4 + 3x3 – 15x2 – 33x – 31 d) 2(A(x)+2B(x)) –2(A(x) –2C(x)) 20x4 + 12x3 + 16x2 + 12x + 8 2) Efetue as operações entre os polinômios: a) )cba)(cba( 222 2 cbcba b) )xyyx)(xyyx( 2222 4224 yyxx c) )cb)(acb()ca)(cba()ba)(cba( )cba( 2222 d) )ac)(cb)(ba()ba(c)ca(b)cb(a 222 – 2a2c + 2ba2 + 2ac2 – 2bc2 e) )ac)(cb)(ba()ba(c)ca(b)cb(a 222 2ab2 – 2b2c 3) Represente as divisões de polinômios )x(B )x(A abaixo na forma de )x(R)x(Q).x(B)x(A . a) 1x x2xxx2x 2 2346 (x⁴ – x² – x)(x² – 1)+x b) 5x2 3x2x10xx2 2 357 (x⁵ – 2x³)(2x²+5)+2x+3 c) 1x 1x3 (x – 1)(x2+x+1) d) 3x 27x3 (x – 3)(x2+3x+9) e) 3x2 27x8 3 (2x+3)(4x2 – 6x+9) 4) Determine os valores de A, B e C de modo que 1x3x3x 7x43x15 23 2 = 32 )1x( C )1x( B 1x A A=15, B=13, C= – 21 Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 11 5) Determine os valores de A, B, C e D de modo que 23 133223 24 23 xx xxx = 21 22 x DCx x BAx A=10, B=-3, C=13 e D=5 Exercícios de Frações 1) Efetue e simplifique a expressão algébrica )1x)(1x( 2x4 1x 3 1x 2 1 1x 2) Efetue e simplifique a expressão algébrica 5 12 . 3 1 2 1 3 x 3 x 2 x 10 29 3) Efetue e simplifique a expressão algébrica 4 )3x)(1x( )3x)(3x( )1x)(1x( )1x)(1x( 1x x48 4) Efetue e simplifique a expressão algébrica 1 x 1 x2 x1 2 1 5) Efetue e simplifique a expressão algébrica ax a 1 x 1 1 ax 6) Efetue e simplifique a expressão algébrica a b b ba a ba b a 1 7) Efetue e simplifique a expressão algébrica 1a 1 1a 1 1a 1a 1 a1 8) Efetue e simplifique a expressão algébrica 1x x 1x x 1x x 1x x 1 x 9) Efetue e simplifique a expressão algébrica 5x 10x 5x 5x 5x 5x Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 12 5x x 10) Efetue e simplifique a expressão algébrica x 1 1 1 1 1x 1 22 x 11) Sabendo 3y e 1y efetue a operação 6 3y4y 1y 1y 3y y2 22 2 12) Efetue e simplifique a expressão algébrica yx yx 1 yx yx 1 x y 13) Efetue e simplifique a expressão algébrica 222 42 2 23 y.b xa y.b xa ba2 yx5 ab3 yx15 3 14) Efetue e simplifique a expressão algébrica 22 422 2 2 2 2 yx x4xyyx x y4 xy yx y x4 2 2 x y4 15) Efetue e simplifique a expressão algébrica 18a12 x6x4 x4 3a2 2 6x3 2x x4x 23 4 1x2 16) Efetue e simplifique a expressão algébrica 4 2 2 x1 x4 x1 2 x1 1 x1 1 2x1 4 17) Efetue e simplifique a expressão algébrica 2x x x 2x )1x(2 1x 3x 1x
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