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Distribuições de Probabilidade
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Modelagem Estatística Variáveis Aleatórias Ref. Slides elaborados do materiais dos professores. Antônio Cesar Bornia, Dalton Francisco de Andrade e Amintas Paiva Afonso Variável Característica que pode ser observada (ou mensurada) nos elementos da população, devendo ter um e apenas um resultado para cada elemento observado. Variáveis Qualitativas - O resultado da variável é uma resposta não numérica. Exemplo: sexo, grau de instrução etc. Quantitativas - O resultado é um número. Exemplo: idade, altura etc. Variável Aleatória Quando os resultados de uma variável são determinados pelo acaso, trata-se de uma variável aleatória. “Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance.” Stevenson, W. (Estatística aplicada à administração) Exemplos Selecionando-se uma pessoa de um município através de sorteio, o peso é uma variável aleatória. Sorteando-se uma empresa de um setor, o número de funcionários é uma variável aleatória. Exercício Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras. Distribuição de Probabilidades Resultados Possíveis Probabilidade 0 0,5 1 0,5 Total 1 Distribuição de Probabilidades k P(X=k) 0 0,5 1 0,5 Total 1 0 1 0,50 0,50 Probabilidade Evento - Qualquer situação ou resultado que nos interessa. Ex. Ocorrer faces iguais em lançamento de 2 dados. Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não alterar a probabilidade de ocorrência do outro. Regra da Multiplicação A probabilidade de que dois eventos independentes ocorram é igual à multiplicação das probabilidades individuais. P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B) Exercício Considerando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras. Exercício Resultados numéricos 0 1 1 2 Resultados possíveis Coroa Coroa Cara Coroa Coroa Cara Cara Cara Probabilidade 0,5 x 0,5 = 0,25 0,5 x 0,5 = 0,25 0,5 x 0,5 = 0,25 0,5 x 0,5 = 0,25 1o lanç. 2o lanç. Probabilidade Regra da Adição A probabilidade de que um entre dois eventos mutuamente excludentes ocorra é igual à soma das probabilidades individuais. P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) Distribuição de Probabilidades Resultados Probabilidade Possíveis 0 0,25 1 0,50 2 0,25 Total 1 Distribuição de Probabilidades k P(X=k) 0 0,25 1 0,50 2 0,25 Total 1 0,50 0 1 2 0,25 0,25 Probabilidade Dois eventos são mutuamente excludentes, ou exclusivos, se a ocorrência de um impedir a ocorrência do outro. Exemplo: No problema anterior, havia basicamente 4 resultados possíveis (KK, CK, KC e CC). Estas quatro situações são excludentes, isto é, somente uma delas poderá ocorrer. MODELOS PROBABILÍSTICOS Modelos Probabilísticos Em problemas práticos, normalmente não é necessário deduzir as probabilidades de ocorrência, pois existem alguns modelos probabilísticos que se aplicam a várias situações práticas, fornecendo a regra de determinação das probabilidades. Distribuição de Bernoulli A distribuição de Bernoulli apresenta apenas dois resultados possíveis (sim ou não), com probabilidade de sucesso igual a “p”. Distribuição de Bernoulli k P(X=k) 0 (1-p) 1 p Total 1 E(X) = x = p VAR(X) = p.(1-p) Distribuição Binomial No modelo binomial: São efetuados n experimentos iguais e independentes. Cada um dos experimentos tem apenas 2 resultados possíveis e excludentes (sim e não). Consequentemente, a probabilidade de sim (p) para cada experimento é constante. A variável aleatória de interesse é o número de sim obtidos nos n experimentos. Equação da Binomial P(X=k) = pk.(1- p)(n-k) ( ) n k = ( ) n k n! k! (n-k)! Distribuição Binomial k P(X=k) 0 P(X=0) 1 P(X=1) ... ... n P(X=n) Total 1 E(X) = x = np VAR(X) = n.p.(1-p) Exercício Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente. Distribuição Binomial O exemplo apresentado pode ser representado por uma distribuição binomial. n = 3 p = 0,6 (item com defeito = sim) (Deseja-se o número de itens com defeito) Exemplo n = 3 p = 0,6 P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k) ( ) 3 k ( ) 3 0 P(X=0) = 0,60.(1- 0,6)(3-0) = 1.0,60.0,43 = 0,064 = ( ) 3 0 3! 0! (3-0)! = 1 1 Exemplo n = 3 p = 0,6 P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k) ( ) 3 k ( ) 3 1 P(X=1) = 0,61.(1- 0,6)(3-1) = 3.0,61.0,42 = 0,288 = ( ) 3 1 3! 1! (3-1)! = 3 Exemplo n = 3 p = 0,6 P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k) ( ) 3 k ( ) 3 2 P(X=2) = 0,62.(1- 0,6)(3-2) = 3.0,62.0,41 = 0,432 = ( ) 3 2 3! 2! (3-2)! = 3 Exemplo n = 3 p = 0,6 P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k) ( ) 3 k ( ) 3 3 P(X=3) = 0,63.(1- 0,6)(3-3) = 1.0,63.0,40 = 0,216 = ( ) 3 3 3! 3! (3-3)! = 1 1 0,064 0 1 2 3 0,216 0,432 0,288 Exercício k P(X=k) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 Distribuição Acumulada k P(X=k) Prob. Acumulada 0 0,064 0,064 1 0,288 0,352 2 0,432 0,784 3 0,216 1,000 Total 1 - Exercício 2 Considerando a mesma situação do exemplo anterior, construir a distribuição de probabilidades para o caso de 5 itens. n = 5 p = 0,6 Exercício k P(X=k) Probab. Acumul. 0 0,01024 0,01024 1 0,07680 0,08704 2 0,23040 0,31744 3 0,34560 0,66304 4 0,25920 0,92224 5 0,07776 1,00000 Total 1 - Tabela Binomial As probabilidades para algumas binomiais podem ser encontradas em tabelas nos livros de estatística. Também podem ser utilizados softwares. Exercício 3 Em um grande lote, sabe-se que 10 % da peças são defeituosas. Qual é a probabilidade de, ao se retirarem 6 peças ao acaso: a) Apenas uma ser defeituosa? (0,3543) b) No máximo uma ser defeituosa? (0,8857) c) Pelo menos duas serem defeituosas? (0,1143) Exercício 4 Os produtos de uma empresa sofrem inspeção de qualidade, através de uma amostra com 12 peças, antes de serem enviados aos consumidores, podendo ser classificados em A (de ótima qualidade), B (bons) e C (de 2ª categoria). Se 70 % de um grande lote forem do tipo A, 20 % forem do tipo B e o restante for do tipo C, qual é a probabilidade de que a amostra apresente no máximo 5 peças tipo B ou C? (0,8822) 0,8822 Exercício 5 Sabe-se que 1% dos produtos fabricados por uma empresa apresentam problemas de qualidade. Dois clientes encomendam um grande lote cada um, mas as remessas têm que passar pela inspeção de qualidade no recebimento. O cliente A seleciona ao acaso 10 produtos e o lote é aceito se não existir nenhuma peça com problema de qualidade. O cliente B toma uma amostra com 20 produtos e aceita o lote se no máximo 1 peça apresentar problemas de qualidade. Qual é a probabilidade dos dois lotes serem aceitos pelos clientes? Exercício Cliente A Cliente B n = 10 n =20 P(X=0) =0,9040 P(X=0) + P(X=1) =0,9831 P(A e B) = 0,9040 * 0,9831 = 0,8891 ou 88,91% p =1%= 0,01 VARIÁVEIS CONTÍNUAS Quando se usa as distribuições contínuas? A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados; A variável aleatória em questão é contínua. Os ponteiros de um relógio podem parar em qualquer dos infinitos pontos do círculo logo A probabilidade de parar em um ponto definido é zero Distribuições Contínuas DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS UNIFORME OU RETANGULAR NORMAL BIVARIADA NORMAL EXPONENCIAL LOGNORMAL WEIBULL QUI-QUADRADO 2 t DE STUDENT F DE SNEDECOR GAMA BETA ERLANG ( formas) Distribuições Contínuas Peso da população adulta n = 5000 µ = 75 kg s = 12 kg Altura de universitários n = 3000 µ = 152 cm s = 5 cm Comprimento de uma régua n = 1000 µ = 30cm s = 0,15cm Pessoas num restaurante µ = 250 por dia s = 20 por dia Distribuição Normal - Exemplos IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Retrata com boa aproximação, as distribuições de freqüência de muitos fenômenos naturais e físicos Serve como aproximação das probabilidades binomiais (sim ou não) quando n é grande Representa a distribuição das médias e proporções em grandes amostras, o que tem relevante implicação na amostragem (a mais importante) Distribuição Normal Curva normal típica Média = µ Desvio padrão = média Forma de uma boca de sino 50% 50% Área sob a curva = 1 (0,5 + 0,5) Distribuição Normal A curva normal tem a forma de sino É simétrica em relação a média Prolonga-se de - a + (apenas em teoria) (assintótica) Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão; há uma distribuição normal para cada par (média e desvio padrão) A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 1 A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos A probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída tomar exatamente determinado valor (pontual) é zero (característica da distribuição contínua) A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto Distribuição Normal - Características A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal entre aqueles pontos µ a b P (a < x < b) = área hachurada sob a curva OBSERVAÇÃO: x - µ = distância do ponto considerado à média x - µ z = número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5 desvios padrões z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para valores de x inferiores à média e f(x) = x – ponto considerado da distrib. µ - média da distribuição - desvio padrão da distribuição -1 2 ( ) x - µ 2 2 1 A distância entre a média e um ponto qualquer é dado em número de desvios padrões (z) Normal padronizada Normal não padronizada z = x - µ µ x 0 z P P 70 80 90 100 110 120 130 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 µ = 100,0 = 10,0 escala efetiva escala padronizada Escala efetiva X Escala padronizada Como calcular Z ? µ x x - µ (x - µ)/ = z média desvio padrão valor considerado diferença diferença relativa 40 1 42 2 2 30 2,5 37,5 7,5 3 25 2 23 -2 -1 22 4 22 0 0 18 3 13,5 -4,5 -1,5 37 38 39 40 41 42 43 escala efetiva -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 (42 – 40)/1 = 2 S = 1 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 68% 95,5% 99,7% Determinando a área entre dois pontos quaisquer Exemplos Determinando a área (probabilidade) sob a curva entre dois pontos entorno da média 0,1359 0 +1 +2 0,3413 0,4772 -1 0 +1 0,3413 0,3413 Cálculo da probabilidade 1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistência compressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuição normal com desvio-padrão de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar um pacote de cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi? N(;) = N(4000,120) psi X = 3850psi 3850 4000 -1,25 P(z ≤ -1,25) Exemplos N(,) = N(50;15) dias X = 31 dias 2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem acessas continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desvio-padrão de 15 dias. Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas, aproximadamente quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro? Consultando tabela: Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas X Z f(x) 0 31 -1,27 35 20 Exemplos 3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo comprimento pode ser considerado uma variável normalmente distribuída com média =10,00 metros, e desvio padrão igual a = 0,09 metros. Quanto refugo a indústria espera produzir se o comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo, igual a 10,20 m? N(,) = N(10;0,09) metros X = 10,20m f(x) X 10,20 0 2,22 Z Exemplos Consultando tabela temos: 4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMPR de Medianeira atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desvio-padrão de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma variável normalmente distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 minutos. CASO PRÁTICO DO USO DA ESTATÍSTICA NA QUESTÃO LOGÍSTICA DA PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS Consultando a tabela: N(,) = N(8;3) minutos X < 4 minutos f(x) X 8 0 4 Z -1,33 Exemplos 5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrão de 0,01”. As peças que se afastam da média por mais de 0,03” são consideradas defeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa? ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL f(x) X 2 0 3 Z 2,03 1,97 -3 N(,) = N(2,00;0,01) X1 = 2,03 e X2=1,97 Consultando tabela: Distribuição Normal - Exemplos 6) A vida média de uma marca de televisão é de 8 anos com desvio-padrão de 1,8 anos. A campanha de lançamento diz que todos os produtos que tiverem defeito dentro do prazo de garantia serão substituídos por novos. Se você fosse o gerente de produção, qual seria o tempo de garantia que você especificaria para ter no máximo 5% de trocas. ESTATÍSTICA E A ASSISTÊNCIA TÉCNICA N(,) = N(8;1,8) anos X=? Exemplos Gráf9 0 0.0004 0.0016 0.0046 0.011 0.0268 0.0554 0.0978 0.1404 0.1602 0.1592 0.1478 0.0972 0.051 0.0274 0.0108 0.006 0.0014 0.0006 0.0004 Plan1 0.0 0.2 156.4 168.9 Bloco Freqüência 81.0 Coluna1 Bloco Freqüência 1.0 0.3 147.3 134.9 133 0 83.7 25 0.00 2.0 0.3 148.2 34.0 135 1 75.3 Média 70.0494467376 30 0.00 3.0 0.15 154.9 2 137 2 48.6 Erro padrão 0.1683163441 35 0.00 4.0 0.05 153.3 133 139 7 61.9 Mediana 70.0633417585 40 0.00 150.6 135 141 28 66.8 Modo 69.0926289684 45 0.01 152.9 137 143 56 94.7 Desvio padrão 11.9017628329 50 0.03 151.2 139 145 133 71.0 Variância da amostra 141.6519585301 55 0.06 143.7 141 147 228 64.7 Curtose 0.1865759888 60 0.10 156.0 143 149 369 91.6 Assimetria 0.0407219811 65 0.14 154.4 145 151 387 64.8 Intervalo 90.8738002181 70 0.16 152.0 147 153 503 85.0 Mínimo 27.2383239865 75 0.16 151.4 149 155 454 61.1 Máximo 118.1121242046 80 0.15 146.6 151 157 333 73.4 Soma 350247.233688242 85 0.10 155.2 153 159 252 69.1 Contagem 5000 90 0.05 152.4 155 161 148 83.0 95 0.03 147.6 157 163 61 600 0.20 64.9 90.8738002181 100 0.01 148.9 159 165 23 500 0.17 81.7 5 105 0.01 160.6 161 167 11 400 0.13 68.4 25 110 0.00 149.0 163 169 4 300 0.10 57.4 30 115 0.00 148.0 165 Mais 0 200 0.07 66.6 35 120 0.00 135.7 Bloco Freqüência 146.2 167 100 0.03 63.7 40 Mais 0.00 138.0 167.1 134 0 152.3 169 3000 1.00 56.4 45 5000 138.2 135.7 136 1 152.4 51.3 50 138.4 31.4 138 0 152.4 60.8 55 0 139.6 k 20 140 5 163.2 77.5 60 2 139.9 h 1.5717523638 142 16 145.9 56.7 65 8 140.0 2 144 35 148.2 81.6 70 23 140.5 1 134 146 68 144.4 66.6 75 55 140.5 2 136 148 108 153.2 59.0 80 134 140.6 3 138 150 110 153.8 76.8 85 277 140.6 4 140 152 176 155.4 53.2 90 489 140.6 5 142 154 136 154.7 68.7 95 702 140.8 6 144 156 132 151.5 61.4 100 801 140.8 7 146 158 96 151.1 74.6 105 796 140.8 8 148 160 59 145.3 61.6 110 739 141.0 9 150 162 31 146.4 62.2 115 486 141.3 10 152 164 20 146.8 68.8 120 255 141.4 11 154 166 6 151.2 74.8 137 141.4 12 156 168 1 155.4 69.4 54 141.8 13 158 Mais 0 146.7 81.9 30 141.9 14 160 157.8 72.7 7 141.9 15 162 155.3 65.9 3 142.1 16 164 165.4 84.8 2 142.2 17 166 141.5 68.7 0 142.2 18 168 144.3 77.2 142.3 157.1 66.2 142.3 152.1 68.8 142.4 155.0 64.8 142.5 149.1 58.1 142.6 142.4 67.8 142.6 158.1 74.8 142.7 151.8 70.2 142.8 148.9 91.1 142.8 151.2 61.2 142.9 146.7 51.6 142.9 151.7 71.1 143.1 149.9 45.2 143.2 160.9 95.2 143.2 153.3 101.2 143.3 148.4 63.8 143.4 160.5 75.8 143.4 154.0 52.6 143.5 149.7 68.4 143.6 151.6 79.7 143.6 155.4 74.6 143.7 155.6 52.3 143.7 152.7 64.4 143.7 157.8 34.6 143.8 155.9 61.5 143.8 146.6 68.3 143.8 148.3 64.8 143.9 155.8 85.2 143.9 149.2 79.1 143.9 144.1 56.3 144.0 144.2 69.5 144.0 159.8 72.1 144.0 155.2 58.1 144.1 147.6 66.8 144.1 148.3 71.3 144.1 153.5 69.0 144.2 151.5 64.5 144.2 158.0 55.6 144.3 148.9 66.6 144.3 144.4 88.8 144.3 153.4 77.0 144.3 149.8 86.8 144.4 145.3 75.7 144.4 152.9 84.7 144.4 156.0 70.1 144.6 157.7 62.7 144.6 155.2 77.3 144.7 149.4 80.1 144.7 144.6 71.7 144.7 143.0 47.9 144.7 158.1 89.1 144.7 160.5 88.1 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