História da Trigonometria

Prévia do material em texto

História da Trigonometria
A história da trigonometria surge na medida em que os astrônomos precisavam calcular o tempo, sendo também muito importante nas pesquisas sobre navegação.
Entretanto, Hiparco de Niceia, (190 a.C.-120 a.C.), astrônomo grego-otomano, foi quem introduziu a Trigonometria nos estudos científicos. Por isso, ele é considerado o fundador ou o Pai da Trigonometria.
Curiosidade
O termo "trigonometria", do grego, é a união das palavras trigono (triângulo) e metrein(medidas).
Biografia de Hiparco
Um dos matemáticos e astrônomos mais importantes do período alexandrino, Hiparco é considerado o fundador da astronomia científica. Hiparco nasceu no século II a.C em Nicéia, na Bitínia. Viveu em Alexandria, mas trabalhou sobretudo em Rodes, entre 161 e 126 a.C. Destacou-se pelo rigor de suas observações e segurança das conclusões a que chegou, descobertas fundamentais para a astronomia. Rejeitou a visão heliocêntrica do universo proposta por Aristarco de Samos e descartou os ensinamentos da astrologia. Num catálogo com 850 estrelas, determinou as coordenadas celestes de cada uma delas e dividiu-as em seis magnitudes, de acordo com a luminosidade. O trabalho foi inspirado pela descoberta de uma estrela nova em 134 a.C. Calculou a duração do ano com uma aproximação de 6min30s, inventou um dioptro especial que usou para medir com precisão as variações no diâmetro aparente do Sol e da Lua, introduziu na Grécia a divisão babilônica do círculo em 360o e a divisão do grau em sessenta minutos de sessenta segundos e inventou um método para a resolução de triângulos esféricos.
É conhecido, principalmente, pela descoberta da precessão dos equinócios, fenômeno causado por um deslocamento anual dos pontos equinociais, ou seja, as interseções da eclíptica (plano da órbita da Terra) e do equador celeste (resultante da projeção do equador terrestre). Hiparco observava a posição das estrelas e comparava os resultados de suas medições com as de Timócaris de Alexandria, que vivera 150 anos antes, ou com as dos astrônomos babilônicos, ainda mais antigos. Descobriu assim que as longitudes celestes obtidas divergiam muito e atribuiu esses resultados à precessão, que calculou em 45" ou 46" de alteração anual. Os valores aproximam-se do que se aceita modernamente (50"26) e superam o valor proposto por Ptolomeu (36"). Hiparco criticou a obra geográfica de Eratóstenes e empregou rigorosos princípios matemáticos para a localização de pontos na superfície da Terra. Inaugurou o sistema de localização pelo cálculo de longitude e latitude e dividiu em zonas climáticas o mundo habitado então conhecido. 
Para a cartografia, criou um método de projeção estereográfica. As últimas notícias a respeito da vida de Hiparco datam de 127 a.C. Acredita-se que tenha morrido em Rodes, pouco depois dessa data. 
Biografia de Pitágoras
Pitágoras (582 - 497 a.C.) foi um matemático e filósofo grego. Autor do "teorema de Pitágoras": "Num triangulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos". Desenvolveu trabalhos na área da filosofia, música, moral, geografia e medicina.
Pitágoras (582 - 497 a.C.) nasceu na ilha de Samos, no mar Egeu, Grécia, por volta de 582 a. C. Desde jovem impressionava os mestres das melhores escolas de Samos. Aos 16 anos foi enviado para Mileto, para estudar com Tales, o maior sábio da época. Logo, Tales reconheceu que nada mais tinha que ensinar ao jovem e passou ele, o mestre, a estudar as descobertas geométricas e matemáticas do aluno.
Adulto, em busca de novos Conhecimentos, Pitágoras foi para a Síria, Arábia, Caldeia, Pérsia, Índia e Egito, onde se fixou e passou mais de 20 anos. Para conhecer melhor os Mistérios da religião egípcia, se fez sacerdote. Quando Cambises conquistou o Egito, Pitágoras foi obrigado a seguir para a Babilônia, onde passou a estudar e descobrir como se desenvolviam as ciências naquela região.
De volta à Samos, Pitágoras encontra a ilha governada pelo ditador Polícrates, que não queria saber nem de escolas nem de templos. Pitágoras é expulso da Grécia e parte para Crotone, no sul da Itália, onde se dedica a ensinar aos filhos dos aristocratas. Finalmente funda sua escola, onde leciona aritmética, geometria, música, astronomia, religião e moral.
Pitágoras conseguiu criar uma comunidade religiosa, filosófica e política. Os alunos formados ocupavam altos cargos no governo local. Cientes de sua sabedoria desprezavam as massas ignorantes e apoiavam os partidos aristocráticos. As massas revoltadas incendiaram a escola e Pitágoras foi exilado para Metaponto, ao norte, na Lucânia.
O matemático não se contentava em dizer frases, provava e verificava geometricamente um enunciado matemático, ou seja, expressava como teorema. Entre eles os mais conhecidos são: a soma dos ângulos internos de um triângulo, é igual à soma de dois ângulos retos; a superfície de um quadrado é igual à multiplicação de um lado por si mesmo, surgindo a expressão "elevar ao quadrado"; o volume de um cubo é igual a sua aresta multiplicada três vezes por si mesma, originando a expressão elevar ao cubo.
Para Pitágoras a música era o melhor meio de purificar a alma. Os termos criados por ele são usados até hoje, como "média harmônica" e "progressão harmônica". Como astrônomo, seu principal mérito foi conceber o universo em movimento. Como teórico de medicina, achava que o corpo humano era construído basicamente por uma harmonia: homem doente era sinal de harmonia rompida. Como filósofo, deu origem a uma corrente, que inspirou vários pensadores gregos, entre eles Platão.
Pitágoras morreu, na Lucânia, Itália, provavelmente em 479 a. C.
4 situações do seu dia a dia em que você vê a trigonometria
1. Escadas e rampas
Você já deve ter visto em provas, escadas encostadas em paredes. Diversas rampas também já foram utilizadas nesses exercícios. A ideia é sempre a mesma calcular o tamanho dessa escada/rampa. Se pensarmos que essa escada é a hipotenusa de um triângulo retângulo, podemos utilizar uma das relações trigonométricas (seno ou cosseno) para encontrá-la.
2. Aviões
Ou deseja-se saber a altura de um avião ou a distância que ele percorreu. Dependendo dos dados do problema e do pedido, podemos encontrá-lo utilizando a tangente, o seno ou o cosseno de um ângulo do triângulo formado.
3. Margens de um rio
Como calcular a distância entre as margens de um rio? Pergunta lá no posto Ypiranga? Precisa não, eu te conto: Trigonometria! Basta fixar um ponto na outra margem (uma árvore, por exemplo), medir o ângulo que se enxerga esse ponto e caminhar até ficar na mesma direção dele. Formou-se um triângulo onde sabemos o ângulo, o cateto adjacente (distância que se caminhou) e queremos saber o cateto oposto (distância entre as margens do rio). Só utilizar a tangente do ângulo.
4. Prédios, torres ou morros
Calcular essas alturas é tão simples quanto as das pirâmides (aliás, é mais fácil. Lá é bem mais quente que aqui). Basta utilizar o ângulo e tamanho da sombra no solo e utilizar a tangente do ângulo.
O Teorema de Pitágoras Aplicado no Estudo da Trigonometria
Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com o Teorema de Pitágoras, pois através de sua aplicação determinamos valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo de 90°).
a = hipotenusa 
b = cateto 
c = cateto 
O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 
a2 = b2 + c2 
Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais). 
Diagonal do quadrado. 
O quadrado ABCD é uma figura que possui lados iguais e ângulos com medidas iguais a 90º graus.
O cálculo da sua diagonal (reta que parte do ponto B ao C ou do A ao D) será feito da seguinte forma:
Como não conhecemos o valor dos lados iremos chamá-los de l. A diagonal forma no quadradoum triângulo retângulo ACD e é a partir daí que iremos calcular o valor da diagonal.
Aplicando o teorema de Pitágoras (d é a hipotenusa e l são os catetos), teremos:
Portanto, a diagonal do quadrado pode ser calculada por: 
d = l √2 
Altura do triângulo equilátero 
Dado um triângulo equilátero ABC, com lados e ângulos iguais.
Traçando uma reta que parte de A e é perpendicular ao segmento BC teremos a altura desse triângulo (h). Os lados serão chamados de l. Como todos os lados são iguais, a reta AH irá dividir a base BC em duas partes iguais.
Traçando a altura no triângulo equilátero formaremos um triângulo retângulo AHC. 
A partir daí encontraremos o valor da altura do triângulo equilátero que coincide com o cateto do triângulo retângulo.
Portanto, a altura do triângulo equilátero será calculada por:
Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico.
As principais funções trigonométricas são: função seno, função cosseno, função tangente
No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto da circunferência.
Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos
Funções Periódicas
As funções periódicas são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo.
O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição de determinado fenômeno.
Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que
f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A
O menor valor positivo de p é chamado de período de f.
Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam certos fenômenos periódicos.
Função Seno
A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
função f(x) = sen x
No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente.
O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R.
Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < sen x <1.
Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x).
O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide:
Gráfico da função seno
Função Cosseno
A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
função f(x) = cos x
No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente.
O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R.
Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < cos x < 1.
Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x).
O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide:
Gráfico da função cosseno
Função Tangente
A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa por: função f(x) = tg x
No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positivo quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico.
O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ.
Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais.
Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(-x).
O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide:
Gráfico da função tangente
Círculo Trigonométrico
Exercícios Sobre Razões Trigonométricas
Determine os valores de x, y, w e z em cada caso:
Respostas:
a) Através do cosseno de 30°, temos:
 cos 30° = cat. adjacente a 30°
                hipotenusa
√3 = 16
2     x
√3 • x = 16 • 2
x = 32
     √3
x = 32•√3
     √3•√3
x = 32•√3
     3
 
Portanto, a hipotenusa mede  32•√3 unidades.
                                                3
b) Através do seno de y:
sen y = cat. oposto a y
            hipotenusa
sen y = 13
            26
sen y = 1
            2
O seno de y é ½. Podemos então concluir que y = 30°
Trabalho
De
Matemática 
Nome: Wendell Alves de Jesus Nº35 Ano:1ªC