Cinematica_Aula5

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Aula 5Vetores
	
Vetores
Objetivos	desta	Aula
Aprender o conceito de vetor e suas propriedades como instrumento 
apropriado para estudar movimentos não-retilíneos;
Entender a operação de adição de vetores e a multiplicação de um 
vetor por um escalar; 
Entender os conceitos de base e componentes de um vetor e 
compreender o significado geométrico da projeção de um vetor ao 
longo de uma dada direção.
cinemática Vetores
Considere dois pontos distintos P1 e P2, eles determinam uma única reta r que 
passa por eles. Além disso, o segmento de reta entre os pontos P1 e P2 também 
é único. Nesse segmento de reta, são possíveis dois sentidos de percurso: o 
de P1 para P2 e o de P2 para P1. O segmento de reta ao qual atribuímos um 
sentido é chamado de segmento de reta orientado. Para abreviar a linguagem, 
chamamos um segmento de reta orientado simplesmente de seta. 
Ao fazer o desenho de uma seta, indicamos que ela tem sentido, ou orientação, 
de P1 para P2 , desenhando uma ponta no seu ponto final, como mostra a 
Figura 2.1. 
 Figura 2.1: Segmento de reta orientado ou seta . 
Nesse caso, o ponto P1 é chamado de ponto inicial da seta, ou origem da 
seta, e o ponto P2 , de ponto final da seta. Vamos representar a seta acima 
por P1P2. 
A reta na qual está uma seta (como a reta r na figura acima) é chamada de 
reta	suporte	da seta. Essa reta tem uma direção com relação a outros objetos, 
como por exemplo, a direção horizontal, ou vertical, ou inclinada de um ângulo 
com relação a outra reta. Definimos a direção da seta como sendo a direção 
de sua reta suporte.
Em cada direção há dois sentidos, por exemplo, na direção vertical, há os 
sentidos para cima e para baixo, e na horizontal, o que chamamos de sentidos 
para a esquerda e para a direita (especificados, é claro, em relação à superfície 
da Terra e ao observador). Uma seta ou segmento de reta orientado tem sempre 
um dos sentidos dentre os dois possíveis ao longo de sua direção. 
Uma seta tem também um certo comprimento, dado em alguma unidade. Esse 
comprimento é também chamado de módulo da seta.
Talvez agora você possa estar se perguntando:
- Será que uma seta e um vetor são a mesma coisa?
A resposta é:
- Não são! Não necessariamente.
Mas talvez você queira argumentar:
- Ora, mas uma seta não é definida por seus módulo, direção e sentido!? Isso 
não é exatamente o mesmo que um vetor, um segmento de reta orientado?
PP
1 2
 Aula 5Vetores
Bem, deixe-nos explicar isso direito:
Vamos dizer que setas com a mesma direção, o mesmo sentido e o 
mesmo módulo são setas equipolentes. Considere agora o conjunto de 
todas as setas equipolentes à seta P1P2 , algumas estão ilustradas na 
Figura 2.2.
 Figura 2.2: Setas equipolentes que representam o vetor a em diferentes pontos do espaço. 
Todas têm o mesmo módulo, direção e sentido, mas cada	 seta	 tem	
uma	origem	diferente. Por outro lado, o vetor associado à seta PP1 2 
é justamente esse conjunto, ou seja, o conjunto de todas	 as	 setas	
equipolentes	é	o	que	chamamos	de	vetor!
Em nosso curso, um vetor será normalmente denotado por uma única letra 
em negrito, por exemplo, a. Eventualmente, um vetor também poderá ser 
representado pela conhecida notação: 
 
r
a .
Já o módulo de um vetor a será denotado por |a| ou 
 
r
a
 
Também poderemos 
representar o módulo de um vetor abolindo o negrito da letra, ou seja, 
simplesmente por a. 
Agora considere um vetor a. O vetor que tem a mesma direção e o mesmo 
módulo que a, porém sentido oposto ao de a, é chamado vetor oposto a 
a e é representado por −a. A Figura 2.3 mostra um vetor a e seu oposto 
−a.
 Figura 2.3: Vetor a e seu oposto −a.
Também é conveniente definir o que chamaremos de seta nula. Uma seta 
nula é simplesmente um ponto. A seta nula constituída pelo ponto P é 
representada por PP. Por definição, uma seta nula tem módulo igual a 
zero. Uma vez que não podemos atribuir uma direção e um sentido a 
uma seta nula, dizemos que ela tem direção e sentido indeterminados. 
Cada ponto do espaço é uma seta nula e todas as setas nulas são, por 
definição, equipolentes entre si. Chamamos o conjunto	 de	 todas	 as	
setas	nulas	de	vetor	nulo. Em nosso curso, o vetor nulo será denotado 
cinemática Vetores
por 0 ou 
 
r
0 .
Adição	de	vetores
Dados dois vetores a e	b, consideremos uma seta qualquer que represente 
a. Tomemos o ponto final dessa seta como o ponto inicial de uma seta que 
represente b. Definimos a soma de a com b, que representamos por a+b, 
como sendo o vetor representado pela seta que tem por ponto inicial o ponto 
inicial da seta que representa a, e por ponto final o ponto final da seta que 
representa b, como mostra a Figura 2.4.
 Figura 2.4: Adição de vetores a e b de acordo com a regra do triângulo.
A operação que associa aos vetores a e b, o vetor a+b, é chamada de adição	
de	vetores, ou adição	vetorial. Os vetores a e b que formam a soma a+b são 
chamados componentes vetoriais do vetor a+b. Essa regra de obter a soma 
de dois vetores é chamada de regra do triângulo. Na figura acima fica claro 
porque a adição vetorial é chamada assim. 
A adição vetorial goza de algumas propriedades muito importantes que 
enunciamos a seguir.
1. A adição vetorial é comutativa, isto é, para quaisquer vetores a e b, temos: 
 (2.1.1)
2. A adição vetorial é associativa, isto é, para quaisquer vetores a, b e c, 
temos:
 (2.1.2)
3. O vetor nulo 0 é o elemento neutro da adição vetorial, isto é, para qualquer 
vetor a, temos:
 (2.1.3)
4. Para cada vetor a existe o vetor oposto -a, que satisfaz a igualdade: 
 (2.1.4)
A demonstração da propriedade da Eq. (2.1.1) é evidente a partir da Figura 
2.5.
a b b a+ = + .
a b c a b c+( ) + = + +( ) .
a 0 a+ = .
a a 0+ −( ) = .
 Aula 5Vetores
 
 Figura 2.5: a+ b= b+ a
o triângulo superior na figura mostra a adição de b com a, e o triângulo inferior, 
a adição de a com b. A soma é a mesma e está ao longo do lado comum aos 
dois triângulos. Esse lado comum é uma diagonal do paralelogramo formado 
pelos dois triângulos. Essa propriedade nos permite obter a soma de dois 
vetores por meio de uma outra regra, que você já deve conhecer, a regra	do	
paralelogramo.
Multiplicação	de	um	número	por	um	vetor
Vamos agora definir uma operação que, a partir de um número real e um vetor, 
produz um vetor.
Seja λ um número real não nulo e a um vetor não nulo. A esse número e a 
esse vetor associamos um vetor, que simbolizamos por λa: 
I. com a mesma direção de a; 
II. com módulo igual ao módulo de λ vezes o módulo de a;
III. com o mesmo sentido de a, se λ é positivo, mas com sentido oposto ao de 
a, se λ é negativo.
Entretanto, se λ= 0 ou se a= 0, definimos λa como sendo o vetor nulo.
Essa operação é chamada multiplicação de um número por um vetor. 
No contexto dessa operação, o número costuma ser chamado de escalar. 
Podemos então chamar essa operação de multiplicação de um escalar por 
um vetor. A Figura 2.6 mostra alguns exemplos de produto de um número por 
um vetor, 
 Figura 2.6: exemplos de produtos de um número por um vetor.
cinemática Vetores
O produto de um número por um vetor também é um múltiplo	do	vetor, com
 (2.1.5)
Note que se λ>1, o vetor estica, e quando 0<λ<1, o vetor se contrai!
Uma outra propriedade que vale a pena mencionar é que o vetor −a, oposto ao 
vetor a, pode ser obtido como o produto de −1 por a, isto é, (−1)a= −a. 
Interessante também é notar que podemos obter um vetor unitário através da 
multiplicação de um escalar por um vetor. De fato, um vetor é chamado unitário 
se o seu módulo é igual a 1 (na unidade de medida que estiver sendo usada), 
isto é, o vetor u é unitário se, e somente se, |u|=1. Assim, dado um vetor a 
não nulo, o seu módulo |a| é um número diferente de zero e, portanto, tem um 
inverso 1/|a|. Multiplicando-se esse número por a, obtém-se o vetor unitário 
(1/|a|) a. Logo, pela propriedade (2.1.5),
 
 (2.1.6)
Bases	e	Componentes	de	um	vetor
É fácil ver que, usando-se apenas a operação do produto de número por vetor, 
demonstra-se que todos os vetores em uma mesma direção podem ser escritos 
como múltiplos de um único vetor unitário que tem essa direção. Podemos 
expressar essa afirmação do seguinte modo: se a é um vetor qualquer na 
direção de um vetor unitário u, então: 
 (2.1.7)
Vamos usar agora um sistema de eixos coordenados OXYZ e considerar um 
vetor unitário na direção de cada eixo, com sentido igual ao sentido positivo 
do eixo. Vamos denotar por ux, uy e uz os vetores unitários com a direção e 
sentido dos eixos OX, OY e OZ respectivamente, conforme ilustrado na Figura 
2.7. 
 Figura 2.7: Os vetores unitários ux, uy e uz.
Qualquer vetor a no espaço tridimensional pode ser escrito em termos dos três 
1 1
1
a
a
a
a= = .
a a u= ± .
λ λa a= .
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vetores unitários ux, uy e uz. (Uma demonstração dessa afirmação pode ser 
vista na Aula 8 da Apostila Física 1A, Módulo 1.
A partir da Eq. (2.1.7), também é fácil perceber que um vetor a, em termos dos 
vetores ux, uy e uz, deve ser escrito como
 (2.1.8)
onde ax, ay e az são as componentes	escalares do vetor a na base de vetores 
ux, uy e uz. Aliás, os vetores ux, uy e uz formam uma base	ortonormal de 
vetores tridimensionais.
- O quê!? Você não sabe o que é uma base de vetores!? Também não sabe o 
que é uma base ortonormal!?
- Tudo bem. Dizemos que três vetores e1, e2 e e3 formam uma base quando:
I. qualquer vetor a pode ser escrito em termos de e1, e2 e e3, de acordo com 
a expressão a= a1e1+ a2e2+ a2e3 , na qual a1, a2 e a3 são números; e
II. não existe mais do que uma trinca de números a1, a2 e a3 que permita 
escrever a citada expressão para a.
O conjunto dos vetores ux, uy e uz satisfaz as duas propriedades acima e, 
portanto, podemos afirmar que formam uma base. Estes três vetores também 
são unitários	 e	 perpendiculares	 entre	 si, portanto, formam uma base 
ortonormal.
O uso de uma base reduz vários cálculos que fazemos com vetores a cálculos 
com as suas componentes escalares. Isso constitui uma grande vantagem, 
pois as componentes escalares são números que podemos manipular 
matematicamente com mais facilidade.
Por exemplo, como a trinca de componentes escalares é única, dados dois 
vetores a e b, escritos na base ux, uy e uz como
eles só serão iguais se
 (2.1.9)
Se um vetor c for a soma de a e b, isto é, c= a+b, suas componentes na base 
ux, uy e uz são
 (2.1.10)
Se a= λb, temos
 
a u u u= + +a a a
x x y y z z
 ,
a u u u b u u u= + + = + +a a a b b b
x x y y z z x x y y z z
 e ,
a b a b a b
x x y y z z
= = =, e .
c a b
c a b
c a b
x x x
y y y
z z z
= +
= +
= +
;
;
.
cinemática Vetores
 
 
 (2.1.11)
O vetor nulo 0 é escrito na base ux, uy e uz como 0= 0ux + 0uy + 0uz, isto é, 
suas componentes são todas iguais a zero. 
Devemos apreciar a importância do conceito de base. Existem infinitos vetores 
no espaço tridimensional, mas todos eles podem ser escritos em termos de 
apenas três vetores, os vetores de uma base. Para isso, basta saber como 
encontrar as componentes de um vetor qualquer na base que se está usando. 
Vamos aprender como fazer isso no caso de uma base ortonormal na seção 
seguinte.
Projeções	e	componentes	de	um	vetor
Seja a um vetor diferente de zero, u um vetor unitário e θ o ângulo entre eles. 
Definimos a projeção do vetor a ao longo do vetor unitário u como sendo o 
número dado pelo produto do módulo do vetor a pelo cosseno do ângulo entre 
os vetores,
 (2.1.12)
A Figura 2.8 ilustra o caso em que 0< θ< π/2, com as setas de a e u desenhadas 
a partir de uma origem comum, que chamamos de O,
Figura 2.8: Vetor a e o vetor unitário u e o ângulo θ entre eles.
Pelo triângulo retângulo mostrado na figura acima, o comprimento do cateto 
OP ' é igual a projeção do vetor a ao longo do vetor unitário u.
Entretanto, a projeção não é exatamente um comprimento. Embora no caso 
em que 0< θ< π/2, a projeção de a ao longo de u seja um número positivo, no 
caso em que π/2< θ< π, a projeção é um número negativo! Além disso, pela 
definição em (2.1.12), se a for perpendicular a u, a projeção é nula, e se a for 
paralelo a u, a projeção é |a| ou −|a|, se a tiver o mesmo sentido de u ou o 
sentido oposto a u respectivamente. 
Seja agora a seta OP ' , e chamemos de a’ o vetor a ela associado. A Figura 
2.9 abaixo mostra os vetores a, u e a’ no caso em que 0< θ< π/2.
a b
a b
a b
x x
y y
z z
=
=
=
λ
λ
λ
;
;
.
a cos .θ
 Aula 5Vetores
 Figura 2.9: Os três vetores a, u e a’, ilustrando a projeção de a ao longo de u.
Usando apenas a definição de produto de um número por um vetor, você pode 
verificar que
 (2.1.13)
E podemos aplicar o resultado acima aos vetores unitários ux, uy e uz, que 
foram vistos na seção anterior.
Consideremos a Figura 2.10 abaixo, que exibe agora os ângulos θx, θy e θz 
entre a e ux, uy e uz respectivamente, 
 Figura 2.10: Vetor a, unitários vetores unitários ux, uy e uz e os ângulos θx, θy e θz.
Usando a Eq. (2.1.13), não é difícil concluir que 
 (2.1.14)
Portanto, pela Eq. (2.1.8), as componentes escalares de um vetor a escrito na 
base ux, uy e uz são as projeções deste vetor ao longo desta base ortonormal, 
ou seja, 
 (2.1.15)
Como apllicação, vamos considerar uma situação muito comum, na qual todos 
os vetores de um problema estão em um mesmo plano. 
Vamos escolher os eixos OX e OY para representar os vetores nesse plano. 
Pelo resultado acima, qualquer vetor a do plano pode então ser escrito como
 (2.1.16)
onde os ângulos θx e θy podem ser vistos na Figura 2.11.
a a u a u a u= ( ) + ( ) + ( )cos cos cosθ θ θx x y y z z .
a a a
x x y y z z
= = =a a acos cos cos .θ θ θ ; e 
a a u a u= ( ) + ( )cos cos ,θ θx x y y
a a u' cos .= ( )θ 
cinemática Vetores
 Figura 2.11: Vetor a no plano OXY.
Analogamente, podemos definir o ângulo θ como sendo o ângulo que o vetor a 
faz com o eixo OX e escrever as componentes de a na Eq. (2.1.16) como
 (2.1.17)
onde usamos o fato de que θ= θx e que θy= π/2 - θx.
É possível também encontrar o módulo de a e θ quando conhecemos as 
componentes de a:
 (2.1.18)
Terminamos esta seção com uma observação de caráter prático. Temos 
procurado distinguir o conceito de vetor do conceito de seta. Para cada vetor 
há uma infinidade de setas que o representam e é o conjunto de todas elas que 
define o vetor. Entretanto, seguiremos doravante a prática comum de se referir 
a uma seta como sendo o vetor a ela associado, e vice-versa. 
a = + =a a
a
ax y
y
x
2 2 e tan .θ
a a
x y
= =a acosθ θ e sen ,
 Aula 1Velocidade Média
CRÉDITOS
Texto adaptado por Lizardo H. C. M. Nunes da apostila Física 1A, de Carlos 
Farina de Souza, Marcus Venicius C. Pinto e Paulo Carrilho Soares Filho.
Revisão
Mônica dos Santos Dahmouche
Equipe do Portal da Educação
Programação	Visual
André Nogueira
Ilustração
Fabiana Rocha
Fabio Muniz
André Nogueira