Aula_01_Vetores e Espaços Vetoriais

Prévia do material em texto

/
DEFINIÇÃO
O conceito de vetores e espaço vetorial no plano e no espaço.
PROPÓSITO
Compreender o conceito de vetor e espaço vetorial, aplicando as propriedades e operações
vetoriais no plano e no espaço.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora
científica, ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
/
OBJETIVOS
 
Identificar o conceito de vetor, suas caracterizações e operações básicas
 
Identificar o conceito de vetor no plano e no espaço
 
Aplicar os produtos escalares, vetoriais e misto
/
 
Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade
 Identificar o conceito de vetor, suas caracterizações e operações básicas.
INTRODUÇÃO
Em várias aplicações da ciência e da Matemática, torna-se necessária a definição de um
elemento que requer na sua concepção, além de seu tamanho, sua orientação (direção e
sentido).
Por exemplo, ao se afirmar que um veículo está se locomovendo a uma velocidade de 80km/h,
falta a informação de direção e sentido que ele está se encaminhando, para que se tenha um
dado completo do problema.
Este elemento, que tem na sua concepção o tamanho e a orientação, é o vetor. O conjunto dos
vetores, atendendo a algumas operações básicas, irá definir o espaço vetorial.
/
 
Fonte:Pixabay
Neste estudo, vamos definir o espaço vetorial, o vetor e as suas operações básicas e,
posteriormente, aplicar estes conceitos na resolução de alguns problemas
ESPAÇO VETORIAL
O espaço vetorial V consiste em um conjunto, não vazio, de elementos (objetos) que atendem
a operações da adição e de multiplicação por um número real.
SEJAM U E V ELEMENTOS DE V, NÃO VAZIO. ASSIM, V SERÁ
UM ESPAÇO VETORIAL, SE E SOMENTE SE:
Se u e v pertencem a V então u + v pertence a V;
Se u pertence a V e k é um número real, então ku pertence a V.
Estas duas propriedades nos dizem que o espaço vetorial é fechado para operação da adição
e multiplicação por real, pois ao operarmos com elementos do espaço, o resultado fornece um
outro elemento do mesmo conjunto.
Na Álgebra, podemos definir espaços vetoriais de vários tipos de elementos, como por exemplo
de matrizes de n linhas e m colunas, de funções reais de variável real e o espaço vetorial real
de n dimensões (Rn).
/
Um espaço vetorial muito trabalhado nas aplicações em Geometria Analítica e de Álgebra
Linear é o espaço vetorial Rn. Este espaço vetorial será composto por elementos de n-
dimensões reais, isto é
RN = X1, X2, …, XN ∈ R
N, I = 1,2, …, N , N ≥ 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para n = 2 e n = 3, consegue-se associar uma análise geométrica ao estudo analítico do Rn. A
partir de n > 3 as representações geométricas não são mais possíveis.
Desta forma, particularmente para problemas no plano e no espaço, trabalharemos com R2 e
R3, respectivamente.
R2 = (X, Y) ∈ R2; X E Y REAIS 
 
R3 = (X, Y, Z) ∈ R3; X, Y E Z REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
1. Seja o conjunto C = {(x , 5) / x número real}. Verifique se o conjunto C é um espaço
vetorial.
SOLUÇÃO
Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas
operações básicas.
{( ) }
{ }
{ }
/
Quando x = 2, o elemento (2,5) pertence a C, assim prova-se que o conjunto C é um conjunto
não vazio.
Seja um número real k = 2.
Se u = (2, 5), então 2u = (2.2, 5.2) = (4, 10) = v.
Mas v (4, 10) ≠(𝑥,5) para todo x. Portanto, v não pertence ao conjunto C.
Desta forma, a operação de multiplicação por real não é fechada para o conjunto C. Então, C
não é espaço vetorial.
Pode-se também verificar que a operação de adição igualmente não é fechada para o conjunto
C.
Se u = (2, 5) e v = (3, 5), ambos pertencem a C. Mas u + v = (2+3, 5+5) = (5, 10) não
pertencerá a C.
2. Seja o conjunto M composto de todas as Matrizes 2 x 2 com elementos reais. Verifique
se o conjunto C é um espaço vetorial.
SOLUÇÃO
Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas
operações básicas.
Seja m =
x y
z w o elemento do conjunto M, onde x, y, z e w são reais.
Fazendo x = y = z = w = 1 tem-se o elemento m =
1 1
1 1 demonstrando que pelo menos um
elemento existe no conjunto m, portanto ele não é vazio.
Vamos supor k real.
Ao multiplicarmos uma matriz por um número real, multiplica-se cada elemento da matriz por
este número. Assim n = k. m =
kx ky
kz kw .
Mas kx, ky, kz e kw são número reais, portanto, n também é um elemento do conjunto M
demostrando que a operação de multiplicação por real é fechada no conjunto M.
Sejam m =
x y
z w e n =
a b
d c dois elementos de M e p = m + n.
Ao somarmos duas matrizes, somamos elemento a elemento, assim:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
/
p = m + n =
x + a y + b
z + d w + c
Como x + a, y + b, z + d e w + c são número reais, então p pertence a M, demonstrando
também que a operação da adição é fechada para o conjunto M.
Desta forma, verifica-se que o conjunto M é um espaço vetorial.
VETORES E OPERAÇÕES BÁSICAS
Existem dois tipos de grandeza: escalares e vetoriais.
GRANDEZA ESCALAR
A grandeza escalar é um ente matemático definido completamente pelo seu valor (magnitude,
módulo, valor ou amplitude). A temperatura de uma sala ou a massa de um objeto são
exemplos de grandezas escalares.

GRANDEZA VETORIAL
A grandeza vetorial, denominada de vetor, é um ente matemático que, para ser definido
completamente, necessita, além da sua magnitude (módulo, valor ou amplitude), da definição
da direção e do sentido. A velocidade de um carro ou a força atuante em um objeto são
exemplos de grandeza vetorial.
O vetor é amplamente utilizado na Geometria Analítica e na Álgebra Linear e será o objeto
(elemento) do espaço vetorial Rn, definido no item anterior. O vetor será representado pelos
seus componentes.
 ATENÇÃO
Assim sendo, um vetor de Rn será definido por n componentes reais, representado por (x1, x2,
..., xn). Cada componente real xi representa um tamanho da projeção do vetor na i-ésima
[ ]
/
dimensão. A combinação das n-componentes do vetor irá definir a orientação deste, dentro do
espaço vetorial Rn.
Para nosso caso particular do R2 e R3 podemos dar uma definição geométrica para o vetor
através de um segmento de reta orientado.
Seja o seguimento orientado de reta 
→
𝐴𝐵 , no plano ou no espaço, que seria um segmento de
reta que apresenta um sentido definido.
O ponto A é denominado de origem ou ponto inicial. O ponto B é chamado de extremidade ou
ponto final. Este segmento orientado é definido pelo seu módulo (tamanho), direção e sentido.
SE DOIS SEGMENTOS ORIENTADOS TIVEREM MÓDULOS, DIREÇÕES E
SENTIDOS IGUAIS SERÃO SEGMENTOS EQUIPOLENTES OU EQUIVALENTES.
 
Fonte:Autor
→
AB : 
Direção : Reta ∆
Sentido : A para B
Módulo : Medida de 
¯
AB
 IMPORTANTE!
( )
{
/
O conjunto de todos os segmentos orientados equivalentes é denominado de vetor. Assim,
vetor será representado geometricamente por um segmento orientado que apresenta um
módulo, uma direção e um sentido determinado.
O vetor será representado por vetor →v ou pelos dois pontos que são suas extremidades na
ordem do seu sentido, vetor 
→
AB.
Dessa forma, os vetores 
→
AB e 
→
BA são dois vetores diferentes. Eles terão mesmo módulo,
mesma direção, mas sentidos opostos.
OPERAÇÕES BÁSICAS
Como já visto, os vetores são objetos do espaço vetorial. Logo, podemos definir algumas
operações básicas contidas no espaço vetorial:
1- IGUALDADE ENTRE VETORES
Sejam →u x1, x2, . . . , xn e 
→v y1, y2, . . . , yn vetores do R
n.
Assim →u = →v ⇔ x1 = y1 , x2 = y2, . . . . , xn = yn, para todo i = 1, 2, ..., n
2 - ADIÇÃO ENTRE VETORES
Sejam →u x1, x2, . . . , xn e 
→v y1, y2, . . . , yn dois vetores pertencentes ao R
n.
Se →w = →u + →v ⇒ w1, w2, . . . , wn = x1 + y1, x2 + y2, . . . . , xn + yn , para todo i = 1, 2,
..., n
w também pertenceao Rn.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
/
3 - MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO REAL
Seja →u = x1, x2, . . . , xn vetor do R
n e k um número real.
Se →w = k →u ⇒ w1, w2, . . . , wn = kx1, kx2, . . . , kxn , para todo i = 1, 2, ..., n
w também pertence ao Rn.
Algumas propriedades podem ser definidas através da adição e multiplicação por um número
real k:
Associativa na Adição: →w + →u + →v = →w + →u + →v = →w + →u + →v
Comutativa: →u + →v = →v + →u
Existência do Elemento Neutro na Adição (0, denominado de elemento nulo): →u + 0 = →u
Existência do Elemento Oposto na Adição: →u + - →u = 0
Distributiva por Vetor: 
→
k →u + →v = k→u + k→v
Distributiva por Escalar: k + h →u = k→u + h→u
Associativa na Multiplicação por Real: kh →u = k h→u = h k→u
Existência do Elemento Neutro na Multiplicação (1, denominado de elemento unitário): 
1→u = →u
 IMPORTANTE!
Para realizar a subtração de dois vetores →u - →v , seria semelhante a multiplicar o vetor →v por -1
e somar ao vetor →u
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
/
EXEMPLO
1. Determine o valor de b e d para que os vetores →u( 4, b + d, 0, 1) e →v( 4 , 5 , 0, b – d)
sejam iguais.
SOLUÇÃO
Para que dois vetores sejam iguais, todos os seus elementos devem ser iguais.
Assim: 
b + d = 5
b - d = 1
Resolvendo o sistema, através da segunda equação tem-se b = 1 + d
Substituindo na primeira, 1 + d + d = 5 → 2d = 5 – 1 = 4 → d = 2
Então, b = 1 + d = 1+ 2 = 3
 ATENÇÃO!
Este exercício só foi possível porque o primeiro componente, que vale 4, e o terceiro, que vale
0, eram iguais nos dois vetores. Se um dos dois fosse diferente, o exercício seria impossível.
TEORIA NA PRÁTICA
Em uma determinada região do espaço, um avião tem velocidade, em km/h, dada por vetor →v1
(100, b, 300). Um segundo avião apresenta uma velocidade, em km/h, dada por →v2 (50+a, 80,
300). Determine o valor de a + b para que os aviões tenham a mesma velocidade.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
{
/
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
MÃO NA MASSA
1. UM CONJUNTO B É UM ESPAÇO VETORIAL. MARQUE A ALTERNATIVA
QUE NÃO ESTÁ CORRETA EM RELAÇÃO AO CONJUNTO B.
A) Tem pelo menos um elemento.
B) É fechado em relação à operação de adição.
/
C) Se u e v pertencem a V então u - v pode não pertencer a V.
D) Se u pertence a V e k é um número real, então ku pertence a V.
2. SEJAM OS VETORES →U 2, 3, 0, - 1, 1 E →V - 1, 2, 1, 3, 0 .
DETERMINE O VALOR DE →W = 2→V - →U
A) (–4, 1, 2, 7, -1)
B) (4, 2, 1, 6, 0)
C) (2, 3, 2, -1, 1)
D) (0, 2, 7, 1, 1)
3. A FORÇA 
→
F = 10, X + Y AGE EM UM OBJETO. ESTE OBJETO DE
MASSA (M) DE 1KG ADQUIRE UMA ACELERAÇÃO IGUAL À 
→A = 2X - Y, 5 . SABENDO QUE 
→
F = M→A, DETERMINE O VALOR DE X E
Y RESPECTIVAMENTE.
A) 5 e 0
B) 0 e 5
C) 10 e 15
D) 2 e 4
4. SEJAM OS VETORES →U A, B , →V B, A E →W 2 - 2B, 0 , COM A E B
NÚMEROS REAIS. DETERMINE A E B RESPECTIVAMENTE, SABENDO
QUE 3 →U + →V + →W = 0
A) 0 e 0
B) -1 e 1
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
/
C) 1 e -1
D) 0 e 1
5. QUATRO VETORES DO 
R3, →U( A , A + B , A - C), →V( 1 , C , - B), →W ( 1 , 0 , 2C + B) E →M( B , 8, 5),
COM A E B REAIS, SATISFAZEM A SEGUINTE EQUAÇÃO: 
→U - 3→V = 2 →W + →M. DETERMINE O VALOR DE A + B + C.
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
6. SEJAM OS VETORES →U A, B, C , →V B, A, C E →W 2B, 0, B + C ,
COM A, B E C NÚMEROS REAIS. DETERMINE A SOMA DE A + B + C,
SABENDO QUE O VETOR →M = 2→U + 3→V - 2 →W É EQUIVALENTE AO VETOR
(2, 3, 3).
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
GABARITO
1. Um conjunto B é um espaço vetorial. Marque a alternativa que NÃO está correta em
relação ao conjunto B.
A alternativa "C " está correta.
 
( ) ( ) ( )
/
Parabéns! Você entendeu o conceito de espaço vetorial
Se o conjunto B é um espaço vetorial, então consiste em um conjunto, não vazio, de elementos
(objetos) que atendem a operações da adição e de multiplicação por um número real.
Assim, a letra A, B e D são verdadeiras
Em relação à letra C , u - v é uma operação de multiplicar um elemento por –1 e depois somar
dois elementos do conjunto, logo, obrigatoriamente, este resultado pertence ao conjunto B.
Esta afirmativa é verdadeira.
2. Sejam os vetores →u 2, 3, 0, - 1, 1 e →v - 1, 2, 1, 3, 0 . Determine o valor de 
→w = 2→v - →u
A alternativa "A " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
→w x , y , z , m , n = 2→v - →u = – 1. 2, 2. 2, 1. 2, 3. 2, 0. 2 – 2, 3, 0, – 1, 1
Assim,
x = - 2 - 2 = - 4 
y = 4 - 3 = 1 
z = 2 - 0 = 2 
m = 6 - ( - 1) = 7 
n = 0 - 1 = - 1
Portanto,
→w - 4, 1, 2, 7, - 1
3. A força 
→
F = 10, x + y age em um objeto. Este objeto de massa (m) de 1kg adquire
uma aceleração igual à →a = 2x - y, 5 . Sabendo que 
→
F = m→a, determine o valor de x e
y respectivamente.
A alternativa "A " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
/
4. Sejam os vetores →u a, b , →v b, a e →w 2 - 2b, 0 , com a e b números reais. Determine
a e b respectivamente, sabendo que 3 →u + →v + →w = 0
A alternativa "B " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Usando as propriedades vistas:
3 →u + →v + →w = 0 → 3→u + 3→v + →w = 0
Usando as operações vetoriais e sabendo que 0 é representado por (0,0):
3a + 3b + (2 - 2b) = 0
3b + 3a + 0 = 0 → 
3a + b + 2 = 0
3b = - 3a → 
3a + b = - 2 
b = - a 
Assim, substituindo a segunda questão na primeira se tem
3a – a = – 2 → a = – 1 
b = – a → b = 1
5. Quatro vetores do 
R3, →u( a , a + b , a - c), →v( 1 , c , - b), →w ( 1 , 0 , 2c + b) e →m( b , 8, 5), com a e b reais,
satisfazem a seguinte equação: →u - 3→v = 2→w + →m. Determine o valor de a + b + c.
A alternativa "C " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
( ) ( ) ( )
( )
( )
{ { {
/
6. Sejam os vetores →u a, b, c , →v b, a, c e →w 2b, 0, b + c , com a, b e c números
reais. Determine a soma de a + b + c, sabendo que o vetor →m = 2→u + 3→v - 2→w é
equivalente ao vetor (2, 3, 3).
A alternativa "B " está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Usando as propriedades vistas, se o vetor →m é equivalente ao vetor (2, 3, 3), eles terão as
mesmas coordenadas.
Usando as operações vetoriais para se obter as coordenadas do vetor →m = 2→u + 3→v - 2→w
= 
2a + 3b - 2(2b) = 2a + 3b - 4b = 2a - b
2b + 3a - 2.0 = 2b + 3a
2c + 3c - 2(b + c) = 2c + 3c - 2b - 2c = 3c - 2b
Igualando ao vetor (2, 3, 3)
2a - b = 2
2b + 3a = 3
3c - 2b = 3
→ 
Multiplicando a primeira equação por 2: 4a−2b=4, somando a segunda equação
4𝑎 + 3𝑎 = 4 + 3 → 7𝑎 = 7 → 𝑎 = 1 e 𝑏 = 2𝑎 − 2 = 2 − 2 = 0
Substituindo na terceira equação 3𝑐 = 3 + 2𝑏 = 3 + 0 = 3 → 𝑐 = 1
Assim,
a + b + c = 2
( ) ( ) ( )
{
{
/
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA O VETOR →M1 150, A + B, 100 E O VETOR 
→M2 150, 450, A - B .
DETERMINE O VALOR DE 2A – B, ONDE A E B SÃO NÚMEROS REAIS,
PARA QUE →M1 = 
→M2.
A) 175
B) 215
C) 375
D) 470
2. SEJAM OS VETORES U, V E W ELEMENTOS DO ESPAÇO VETORIAL
R4. SABE-SE QUE 2U – 3V + W É EQUIVALENTE AO ELEMENTO NULO.
DEFINIMOS U(0, 1, A, B + C), V(1, B, 2, B – C) E W(3 , – 13A, 8C, 0), COM A,
B E C NÚMEROS REAIS. DETERMINE O VALOR DE A + B + C.
A) 1
B) 3
C) 5
D) impossível 2u - 3v + w = 0
GABARITO
1. Seja o vetor →m1 150, a + b, 100 e o vetor 
→m2 150, 450, a - b . Determine o valor de
2a – b, onde a e b são números reais, para que →m1 = 
→m2.
A alternativa "C " está correta.
 
( ) ( )
( ) ( )
/
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Para que →m1 = 
→m2, as componentes devem ser iguais nas três dimensões.
Assim a + b = 450 e a – b = 100
Somando as duas equações 2a = 550 → a = 275
Então, b = 450 – a = 450 – 275 = 175
Assim, 2a – b = 2.275 – 175 = 375
2. Sejam os vetores u, v e w elementos do espaço vetorial R4. Sabe-seque 2u – 3v + w é
equivalente ao elemento nulo. Definimos u(0, 1, a, b + c), v(1, b, 2, b – c) e w(3 , – 13a, 8c,
0), com a, b e c números reais. Determine o valor de a + b + c.
A alternativa "C " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu a operação e propriedades dos vetores.
Para que →v1 =
→v2 , as componentes devem ser iguais nas três dimensões.
2u – 3v + w = 0 
Assim:
2. 0– 3. 1 + 3 = 0 → 0 = 0 (ok, se aqui desse algo diferente disso a resposta seria
impossível) 
2. 1 – 3. b - 13a = 0 → 3b + 13 a = 2 
 2. a – 3. 2 + 8c = 0 → 2a + 8c = 6 
 2. (b + c) – 3. (b – c) + 0 = 0 → 2b + 2c – 3b + 3c = 0 → 5c – b = 0 → b = 5c
Substituindo a quarta equação na segunda se tem:
3. 5c + 13 a = 2 → 15c + 13a = 2
Mas na terceira equação:
2a = 6 – 8c → a = 3 – 4c
Substituindo na anterior:
15c + 13(3 – 4c) = 2 → 15 c + 39 – 52 c = 2 → 37 c = 37 → c = 1
Se
c = 1 → a = 3 – 4. 1 = 3 – 4 = – 1 
/
E
b = 5c = 5. 1 = 5
Portanto
a + b + c = – 1 + 5 + 1 = 5 
 Identificar o conceito de vetor no plano e no espaço.
INTRODUÇÃO
NAS APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA, UTILIZA-SE UMA
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA, ALÉM DO CÁLCULO ANALÍTICO. ASSIM,
PARA SE TRABALHAR NO PLANO OU NO ESPAÇO, USA-SE OS ESPAÇOS
VETORIAIS R2 E R3.
Os vetores, sujeitos às mesmas operações descritas no módulo anterior, terão neste caso uma
representação por segmento orientado de reta e necessitarão de referências para serem
definidos. Dessa forma, será apresentado o sistema cartesiano como um sistema de
representação e referência para nossos estudos.
Por fim, a definição de direções e sentidos é importante em várias aplicações, sendo
necessária, portanto, a definição de vetores unitários que terão este objetivo.
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Como já visto no módulo anterior, a representação geométrica de um vetor será um segmento
orientado de reta. Desse modo, torna-se necessário definir direções e sentidos, isto é, definir
/
referências. Estas referências devem ser tanto para posição quanto para direção/sentido. Por
isso, vamos adotar o sistema cartesiano para referenciarmos o espaço vetorial R2 e R3.
No caso do R3, serão utilizados três eixos ortogonais, x, y e z, com valores reais, para
referenciar as três dimensões. Qualquer direção/sentido no espaço pode ser definida por três
direções ortogonais. A origem do sistema será definida no cruzamento dos eixos, ponto 0. O
eixo x é denominado de abscissa, o eixo y de ordenada e o eixo z de cota. A seta de cada
eixo define o sentido positivo de cada direção de referência.
 
Fonte:Autor
No caso do R2, serão utilizados apenas dois eixos ortogonais, x e y, com valores reais, para
referenciar as suas duas dimensões. Qualquer direção/sentido no plano pode ser definida por
duas direções ortogonais.
 ATENÇÃO
Antes de definirmos como representar um vetor no plano ou no espaço, necessitamos definir a
representação de um ponto nestas regiões. Um ponto P do R3 será representado por 3
componentes, que denominaremos de coordenadas. Cada coordenada representa as
distâncias que o ponto tem em relação aos três planos que definem o espaço.
Seja o Ponto P (X, Y, Z), com X, Y e Z números reais. X representa a distância de P ao plano
YZ, Y a distância de P ao plano XZ e Z a distância de P ao plano XY.
/
Se o ponto estiver do lado oposto do plano, antes da origem, os sinais serão negativos.
Na figura ao lado estão representados os pontos
P (1, 2, 2), Q (–1, –2, 1), R (1 , 2, –2) e S (1, –2, –2).
A origem dos eixos será representada por O (0, 0, 0)..
 
Fonte:Autor
O R2 é um caso particular do R3, assim, os pontos no R2 apresentam apenas valores para
abscissa e ordenada, ou seja, P(X,Y).
Para representarmos um vetor, é preciso conhecer a sua projeção nas três direções
representadas pelos eixos que definem o sistema de coordenadas. Veja a figura, o vetor →v
projetado na direção do eixo x apresenta um tamanho vx, na direção do eixo y apresenta um
tamanho vy e na direção do eixo z um tamanho vz.
/
 
Fonte:Autor
Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido positivo do eixo, o sinal
da coordenada será negativo. Portanto, o vetor →v terá coordenadas (vx, vy , vz) , em que vx, vy
e vz são número reais. No caso do R2, caso particular do R3, o vetor não terá a componente vz.
Podemos representar, também, as coordenadas de um vetor através de uma matriz coluna, ou
seja, →v =
vx
vy
vz
Na figura a seguir temos a representação, no plano, dos vetores →v (3, 1), →w (−1, 1) e →u (1, −3).
( )
/
 
Fonte:Autor
Podemos observar que os segmentos 
→
OP e 
→
AB apresentam o mesmo módulo, mesma direção
e mesmo sentido, sendo representações, portanto, do mesmo vetor →v. Por isso, terão as
mesmas coordenadas (3, 1).
 IMPORTANTE!
A notação de Grassmann nos mostra que as coordenadas de um vetor podem ser obtidas com
as coordenadas dos seus pontos extremos, isto é, sua origem e sua extremidade.
Assim, 
→
AB = B - A
Se a origem do vetor for a origem dos eixos coordenados O(0, 0, 0), a coordenada do vetor
será igual à coordenada de sua extremidade.
Logo, 
→
OP = P - O = P
HERMANN GRASSMANN (1809-1877)
Matemático e físico alemão responsável pela criação da Álgebra Linear.
javascript:void(0)
/
EXEMPLO
1. Represente no sistema cartesiano os pontos P(1, 2), Q(-1, 2) e R(1, -1)
SOLUÇÃO
 
Fonte:Autor
2. Represente no sistema cartesiano os vetores:
a) →v(1, 0) com ponto inicial no ponto (1, 2);
b) →w(0, -2) com ponto inicial no ponto (1, 0);
c) →u(1, -1) com ponto inicial no ponto (-1, 2).
SOLUÇÃO
/
 
Fonte:Autor
3. Determine as coordenadas do vetor →u que tem origem no ponto A(2, 3, -1) e extremidade no
ponto B(0, 2, 1). Determine também o vetor →v = -→u.
SOLUÇÃO
Usando a notação de Grassmann:
→u =
→
AB = B - A = ( 0 - 2 , 2 - 3 , 1 - (-1)) = - 2, - 1, 2
→v = - →u =
→
BA = A - B = ( 2 - 0 , 3 - 2 , - 1 - 1) = 2, 1, - 2
Como →v = -→u poderia também se usar a propriedade de multiplicação por real:
→v = - →u =
→
BA = A - B = ( 2 - 0 , 3 - 2 , - 1 - 1) = 2, 1, - 2
MÓDULO OU NORMA DE UM VETOR
DENOMINAMOS O TAMANHO DE UM VETOR POR MÓDULO OU NORMA. O
MÓDULO DO VETOR →V SERÁ REPRESENTADO POR →V OU V.
( )
( )
( )
| |
/
Observe a figura do item anterior, que apresenta as componentes do vetor. O módulo do vetor
será dado pelo tamanho do segmento OP, assim →v = 
¯
OP.
 
Fonte:Autor
Ao aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo OPQ e verificar que o tamanho de PQ é a
componente z do vetor →v, isto é, vz tem-se que
|V|2 = 
¯
PO
2
 = 
¯
PQ
2
 + 
¯
OQ 
2
= V2Z + 
¯
OQ
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo OQR, obtém-se.
¯
OQ 
2
= 
¯
QR
2
 + 
¯
OR
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
| |
/
O tamanho de OR será a componente x do vetor →v, isto é, vx e o tamanho de QR será igual ao
tamanho de OS que é a componente y do vetor →v, isto é, vy.
Desta forma:
 
¯
OQ
2
 = 
¯
QR
2
 + 
¯
OR
2
 = vy
2 + vz
2
→v 2 = vz
2 + 
¯
OQ
2
 = vz
2 + vy
2 + vz
2
Obtendo-se, assim, a fórmula que determina o módulo ou norma através das componentes do
vetor:
→v = v2z+ v
2
y + v
2
z
EXEMPLO
Determine o módulo dos vetores →u 0 , - 3 , 4 e →v -2, 1 , √3 :
SOLUÇÃO
→u = u2z+ u
2
y + u
2
z = √02 + (-3)2 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
→v = v2z+ v
2
y + v
2
z = (-2)
2 + 12 + √3 3 = √4 + 1 + 3 = √8 = 2√2
SAIBA MAIS
Seja um triângulo ABC
| |
| | √
( ) ( )
| | √
| | √ √ ( )
/
 
Fonte:Autor
Na Geometria existe um teorema que diz que o comprimento de um dos lados é sempre menor
do que a soma dos outros dois lados. Repare que, se um dos lados fosse a soma dos outros,
não haveria um triângulo formado.
Se →u = 
→
AB e →v = 
→
BC, então AC será a soma dos dois vetores: →u + →v =
→
AC
Dessa forma, os lados dos triângulos serão os módulosdos vetores →u , →v e →u + →v .
Usando o mesmo teorema da Geometria, obtemos →u + →v ≤ →u + →v , que é denominada de
Desigualdade Triangular.
Desta desigualdade podemos definir outras:
a) Se substituirmos →v por -→v
→u + →v ≤ →u + →v
→u - →v ≤ →u + -→v
Então
→u - →v ≤ →u + →v
b) Se substituirmos o vetor →u por →u -→v
→u + →v ≤ →u + →v
→u - →v + →v ≤ →u - →v + →v
→u ≤ →u - →v + →v
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
/
→u - →v ≥ →u - →v
OPERAÇÕES BÁSICAS NO PLANO OU NO
ESPAÇO
Retornando às operações básicas dos vetores, vistas no módulo anterior, vamos agora aplicá-
las para o caso do R2 e R3. Assim, temos:
MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO REAL
Seja →u xu, yu, zu e 
→w xw, yw, zw = 
→
ku, onde k é o número real.
Então: 
xw = kxu
yw = kyu
zw = kzu
, k real
 
Fonte:Autor
A multiplicação por um número real positivo tem como resultado um vetor de mesma direção,
mesmo sentido e de tamanho alterado para k vezes o módulo do vetor original. Caso o k seja
negativo, o vetor altera também o sentido. Se |k| > 1, o novo vetor aumenta em relação ao
anterior, porém, se |k| < 1, ocorre uma redução do tamanho.
ADIÇÃO ENTRE VETORES
| | | | | |
( ) ( )
{
/
Seja
→u xu, yu, zu , 
→v xv, yv, zv e 
→w xw, yw, zw = 
→u + →v
Então 
xw = xu + xv
yw = yu + yv
zw = zu + zv
Se →w xw, yw, zw = 
→u - →v, seria semelhante a multiplicar o vetor →v por -1 e somar ao vetor →u
Então 
xw = xu - xv
yw = yu - yv
zw = zu - zv
Geometricamente, podemos representar a soma e a subtração de vetores, no plano ou no
espaço, pela regra do paralelogramo.
 
Fonte:Autor
Pode-se usar a Lei de Cossenos para calcular o módulo da soma dos vetores, →u + →v = 
→
QS, e
da diferença dos vetores, →u - →v = 
→
RP.
→u + →v 2 = →u 2 + →v 2 - 2 →u →v cos(π - α)
→u + →v 2 = →u 2 + →v 2 + 2 →u →v cos α
e
( ) ( ) ( )
{
( )
{
| | | | | | | || |
| | | | | | | || |
/
→u - →v 2 = →u 2 + →v 2 - 2 →u →v cosα
EXEMPLO
1. Determine o módulo do vetor →w = 2→u + →v, sendo →u(1 ,2 , −1) e →v (0 ,1 ,3).
SOLUÇÃO
→w = 2→u + →v = 2. 1 + 0, 2. 2 + 1, 2 - 1 + 3 = 2, 5, 1
Assim,
→w = w2z + w
2
y + w
2
z = √ 22 + 52 + 12 = √4 + 25 + 1 = √30
VERSOR DE UM VETOR
ÀS VEZES TORNA-SE NECESSÁRIO DEFINIR-SE UM VETOR UNITÁRIO EM UMA
DETERMINADA DIREÇÃO E SENTIDO. ESTE VETOR UNITÁRIO É CONHECIDO
POR VERSOR.
Um vetor →v pode ser representado pela forma →v= →v v̂, isto é, seu módulo multiplicado pelo
versor que define a sua direção e sentido.
Por exemplo, imagine que eu queira um vetor →w que tenha a mesma direção e sentido do que o
vetor →v, mas que tenha módulo k. Se eu definir →w = k →v estaria errado, pois →w = k →v , e o
módulo de →w só seria k se o módulo de →v fosse unitário.
Preciso, portanto, definir o vetor unitário que tenha a direção e o sentido do vetor →v, com
notação →v' ou v̂, que é denominado de versor: v̂ =
→v
→v
Como 
1
→v
 é uma constante positiva, v̂ terá a mesma direção e sentido do que →v, mas com
módulo v̂ =
→v
→v
= 1
Retornando ao nosso exemplo, o correto, então, é definir que →w = kv̂, pois →w = k v̂ = k.
Agora, sim, ele teria a mesma direção e sentido do que v̂, que são os mesmos do que →v e
módulo k.
| | | | | | | || |
( ( ) ) ( )
| | √
| |
| | | |
| |
| |
| | | || |
| | | |
/
 ATENÇÃO!
Uma aplicação direta do versor é a definição dos vetores unitários canônicos que definem as
direções e sentidos do sistema cartesiano. Desse modo, a direção de x é definida pelo vetor 
x̂ = 1, 0, 0 , a direção de y por ŷ = 0, 1, 0 e a direção de z por ẑ = 0, 0, 1 . No caso do
plano, haveria os vetores x̂ = 1, 0 e ŷ = 0, 1 .
Qualquer vetor pode ser representado através dos vetores unitários canônicos, pois podemos
considerar um vetor como sendo a soma de três vetores ortogonais.
Seja →v xv, yv, zv , vamos definir os vetores 
→vx xv, 0, 0 , 
→vy 0, yv, 0 e 
→vz 0, 0, zv , assim, 
→v = →vx +
→vy +
→vz
Mas, podemos definir estes vetores através dos vetores unitários
→v = vxx̂ + vyŷ + vzẑ
EXEMPLO
1. Determine o versor do vetor →u(3, 0, -4):
 
SOLUÇÃO
→u = u2z+ u
2
y + u
2
z = √32 + 02 + ( - 4)2 = √9 + 16 = √25 = 5
û =
→u
→u
=
1
5 (3,0, - 4) =
3
5 , 0, -
4
5
TEORIA NA PRÁTICA
Uma caixa de 2√2kg de massa percorre um piso liso com uma aceleração de 2m/s2. A direção
e o sentido do movimento são definidos pelo vetor unitário 
√2
2 , -
√2
2 . A força que gera o
movimento tem vetor representado por 
→
F a, b , com a real. Determine o valor de a e b.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
| | √
| | ( )
( )
( )
/
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
MÃO NA MASSA
1. O VETOR →U TEM ORIGEM NO PONTO D (4, 6, -2) E EXTREMIDADE NO
PONTO C (2, 0, 1). DETERMINE O VETOR →V = -→U.
/
A) (-2, -6, 3))
B) (0, 6, 3)
C) (2, 6, -3)
D) (6, 1, -3)
2. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR (2, 4, - 5).
A) 3√5
B) 45
C) 1
D) 5√3
3. SEJA Û O VERSOR DO VETOR →U (3, 0. −4). DETERMINE AS
COORDENADAS DO VETOR Û.
A) (3, 0, - 4)
B) 
3
5 , 
1
5 , 
4
5
C) 
3
5 , 0, -
4
5
D) -
3
5 , 0, 
4
5
4. DETERMINE O VETOR →W QUE TEM MÓDULO 6 E TEM A MESMA
DIREÇÃO E SENTIDO DO VETOR→U = 2X̂ - Ŷ + Ẑ.
A) − 2√6, √6, − √6
B) 2√6, √6, − √6
( )
( )
( )
( )
( )
/
C) - 2√6, √6, √6
D) 2√6, - √6, √6
5. DETERMINE O MÓDULO DA DIFERENÇA DE →V POR →U. SABE-SE QUE O
MÓDULO DE →U VALE 5 E O MÓDULO DE →V VALE 12. OS DOIS VETORES
SÃO ORTOGONAIS.
A) 12
B) 15
C) 13
D) 10
6. DETERMINE O MÓDULO DA DIFERENÇA DE →U POR →V. SABE-SE QUE O
MÓDULO DE →U VALE 3 , O MÓDULO →V VALE 4 E O ÂNGULO FORMADO
POR ELES VALE 60°.
A) √15
B) √13
C) √17
D) √11
GABARITO
1. O vetor →u tem origem no ponto D (4, 6, -2) e extremidade no ponto C (2, 0, 1).
Determine o vetor →v = -→u.
A alternativa "C " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de vetores no plano e espaço.
( )
( )
/
→
𝑢 =
→
DC = 𝐶 − 𝐷 = 2 − 4, 0 – 6, 1 – – 2 = − 2, − 6 , 3 → 
→
𝑣 = −
→
𝑢 = 2 , 6 , − 3
 
Outra forma de fazer é que como
→
𝑣 = −
→
𝑢 = 
→
𝐶𝐷 = 𝐷 − 𝐶 = 4 − 2, 6 − 0, − 2 − 1 = 2 , 6 , − 3
2. Determine o módulo do vetor (2, 4, - 5).
A alternativa "A " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor.
Se 
→
𝑣 2, 4, − 5
→
𝑣 = √ 22 + 44 + ( − 5)2 = √4 + 16 + 25 = √45 = 3√5
3. Seja û o versor do vetor →u (3, 0. −4). Determine as coordenadas do vetor û.
A alternativa "C " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
4. Determine o vetor →w que tem módulo 6 e tem a mesma direção e sentido do vetor
→u = 2x̂ - ŷ + ẑ.
A alternativa "D " está correta.
( ( ) ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
| | (
/
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de versor de um vetor.
→
𝑢 = 2x̂ - ŷ + ẑ = 2, – 1, 1
→
𝑢 = 𝑢2z + u
2
y + u
2
z = √22 + ( - 1)2 + 12 = √4 + 1 + 1 = √6
û =
→u
→u
=
1
√6
(2, - 1 , 1) =
2
√6
, -
1
√6
,
1
√6
→w = 6û = 6
2
√6
, -
1
√6
,
1
√6
= 2√6, - √6, √6
5. Determine o módulo da diferença de →v por →u. Sabe-se que o módulo de →u vale 5 e o
módulo de →v vale 12. Os dois vetores são ortogonais.
A alternativa "C " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
6. Determine o módulo da diferença de →u por →v. Sabe-se que o módulo de →u vale 3 , o
módulo →v vale 4 e o ângulo formado por eles vale 60°.
A alternativa "B " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor.
Usando a Lei dos cossenos
→u + →v 2 = →u 2 + →v 2 + 2 →u →v cosα = 32 + 42 + 2.3. 4cos60° = 9 + 16 + 24.0,5 = 37
( )
| | √
| | ( )
( ) ( )
| | | | | | | || |
/
Assim, →u + →v = √37
→u - →v 2 = →u 2 + →v 2 - 2 →u →v cosα = 32 + 42 - 2.3. 4cos60° = 9 + 16 - 24.0,5 = 13
Assim, →u - →v = √13
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR →U QUE TEM ORIGEM NO PONTO
A(–2, 4, 1) E EXTREMIDADE NA ORIGEM DOSEIXOS.
A) 21
B) √21
C) 3
D) √3
2. O VETOR →W(0, 2A, 2B), COM A E B REAIS POSITIVOS, TEM MÓDULO 10
E APRESENTA A MESMA DIREÇÃO E SENTIDO DO QUE O VETOR →V.
DETERMINE O VALOR DE (A + B), SABENDO QUE O VETOR →V(0, 𝑝, 4)
TÊM MÓDULO 5.
A) 1
B) 7
C) 9
D) 11
GABARITO
| |
| | | | | | | || |
| |
/
1. Determine o módulo do vetor →u que tem origem no ponto A(–2, 4, 1) e extremidade na
origem dos eixos.
A alternativa "B " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de vetores no plano e no espaço e módulo de um vetor.
→u =
→
AO = O - A = 2 , - 4 , - 1 
→u = u2z+ u
2
y + u
2
z = √(2)2 + - 4)2 + ( - 1)2 = √4 + 16 + 1 = √21
2. O vetor →w(0, 2a, 2b), com a e b reais positivos, tem módulo 10 e apresenta a mesma
direção e sentido do que o vetor →v. Determine o valor de (a + b), sabendo que o vetor →v(0,
𝑝, 4) têm módulo 5.
A alternativa "B " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo de um vetor.
→v = v2z+ v
2
y + v
2
z = √02 + p2 + 42 = √p2 + 16 = 5
p2 + 16 = 25 → p2 = 9 → p = ± 3
v̂ =
→v
→v
=
1
5 (0, p, 4) =
1
5 (0, ± 3, 4) 
→w = 10v̂ = 
10
5 (0, ± 3, 4) = 0, ± 6, 8 , mas como a e b são positivos, 2a = 6 e 2b = 8, então
a = 3 e b = 4.
Assim, a + b = 7
( )
| | √ (
| | √
| |
( )
/
 Aplicar os produtos escalares, vetoriais e misto.
INTRODUÇÃO
A operação matemática de multiplicação (produto) entre dois vetores não é definida. Em
compensação, definimos três tipos de produtos entre dois elementos vetoriais:
PRODUTO ESCALAR

PRODUTO VETORIAL

PRODUTO MISTO
Neste módulo, iremos definir estes produtos e apresentar algumas de suas aplicações.
PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO
INTERNO
Sejam os vetores →u xu, yu, zu e 
→v xv, yv, zv do R
3.
Define-se o produto escalar entre →u e →v como:
→u. →v = xuxv + yuyv + zuzv
COMO FOI OBSERVADO, O PRODUTO ESCALAR TEM COMO RESULTADO UM
ESCALAR, ISTO É, UM NÚMERO QUE PODE SER POSITIVO, NEGATIVO OU
ZERO. O PRODUTO ESCALAR PODE SER DEFINIDO PARA VETORES DO RN.
PARA N > 3, ESTA OPERAÇÃO SERÁ DENOMINADA APENAS DE PRODUTO
INTERNO.
O produto escalar apresenta algumas propriedades:
( ) ( )
/
COMUTATIVA MULTIPLICAÇÃO POR REAL DISTRIBUTIVA
→u · →v = →v · →u
k →u · →v = k→u · →v = →u · k→v ,
onde k é real
→u · →v + →w = →u · →v + →u · →w
 IMPORTANTE!
Repare que →u · →u = xuxu + yuyu = x
2
u + y
2
u =
→u 2
Assim, →u = x2u + y
2
u = √→u · →u
EXEMPLO
1. Dados os vetores →u(2, 2) e →v(– 1, 3), determine o produto escalar entre os vetores 3→u e -
→v.
SOLUÇÃO
3→u. -→v = (3)(-1) →u. →v = (-3)[2. (-1) + 2.3] = (-3)[-2 + 6] = - 12 
PRODUTO VETORIAL OU PRODUTO
EXTERNO
Sejam os vetores →u xu, yu, zu e 
→u xu, yu, zu do R
3. Considere que o ângulo entre →u e →v vale
α.
Define-se o produto vetorial entre →u e →v, com notação →u X →v, tal que:
| →u x →v| = →u →v sen ∝
direção →u X →v ortogonal a →u e a →v
( ) ( ) ( ) ( )
| |
| | √
( ) ( )
( ) ( )
| || |
/
sentido: regra da mão direita
COMO O NOME INFORMA, O RESULTADO DO PRODUTO VETORIAL É UM
VETOR QUE TEM DIREÇÃO PERPENDICULAR AOS DOIS VETORES INICIAIS,
SENDO, PORTANTO, UM VETOR PERPENDICULAR AO PLANO FORMADO
PELOS VETORES →U E →V.
 
Fonte:ShutterStock
A regra da mão direita permite identificarmos o sentido do vetor →u x →v.
/
 
Fonte:ShutterStock
Na regra da mão direita, o dedo indicador fica na direção/sentido do primeiro vetor do produto e
o dedo médio do segundo vetor. Assim, →v x →u será apontado para baixo, diferente de →u x →v.
O produto vetorial, de forma diferente do produto escalar, só é definido para o R3.
 IMPORTANTE!
O vetor →u x →v ≠ →v x →u. Eles terão mesmo módulo e mesma direção, mas pela regra da mão
direita, mudando a ordem de →u e →v, terão sentidos contrários.
O produto vetorial apresenta algumas propriedades
a) Multiplicação por real: k (→u x →v) = (k→u x →v) = (→u x k→v), onde k é real
b) Distributiva pelo produto vetorial: →u x (→v + →w) = →u x →v + →u x →w
c) Se →v = k→u, isto é, se →v é paralelo a →u: →u x →v = 0
d) →u x →u = 0
/
e) →u x →v = (→u x →v)
 
Seja →w = →u x →v, ao se resolver analiticamente a busca do vetor →w que atende às definições de
produto vetorial, obtêm-se que:
xw = yuzv - zuyv
yw = zuxv - xuzv
zw = xuyv - yuxv
 DICA
O sistema acima pode ser representado pelo cálculo de um determinante:
→u x →v =
x̂ ŷ ẑ
xu yu zu
xv yv zv
EXEMPLO
1. Determine o vetor →u x →v, sabendo que →u( 1, 2, −1) e →v (0, 1, −2)
SOLUÇÃO
Você pode aplicar diretamente as equações, mas fazendo através do determinante, fica mais
prático: →u x →v =
x̂ ŷ ẑ
1 2 -1
0 1 -2
= 2. (-2)x̂ + 0. (-1)ŷ + 1.1 ẑ - 1. (-1)x̂ - 1. (-2)ŷ - 0.2 ẑ = - 3x̂ + 2ŷ + ẑ = - 3, 2, 1
{
| |
| | ( )
/
PRODUTO MISTO
Sejam os vetores →u xu, yu, zu , 
→v xv, yv, zv , 
→w xw, yw, zw do R
3.
O produto misto, cuja notação é →u , →v , →w , é definido através de uma combinação entre
produto escalar e produto vetorial.
[→u, →v, →w] = (→u x →v) . →w = →u . (→v x →w)
 ATENÇÃO!
O produto misto só é definido no R3, e por ser o resultado de um produto escalar, fornece como
resultado um escalar.
Ao se resolver analiticamente o produto misto, obtém-se uma expressão que pode ser
representada pelo cálculo do seguinte determinante:
→u , →v , →w = 
xu yu zu
xv yv zv
xw yw zw
 IMPORTANTE!
Se o produto misto é nulo, quer dizer que um dos três vetores é combinação linear dos outros
dois. Em outras palavras, os três vetores fazem parte de um mesmo plano no espaço. Assim,
três vetores serão coplanares, isto é, pertencerão ao mesmo plano, se e somente se, 
→u , →v , →w = 0
O produto misto apresenta algumas propriedades:
a) Multiplicação por real (k): k →u , →v , →w = k→u , →v , →w = →u , k→v , →w = →u , →v , k→w
b) →u , →v , →w = →w , →u , →v = →v , →w , →u
( ) ( ) ( )
[ ]
[ ] | |
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
/
c) →u , →v , →w = - →u , →w , →v = - →v , →u , →w = - →w , →v , →u
EXEMPLO
1. Dados os vetores →u(0, 2, –5 ), →v(1, –1, 2) e →w(2, 0, –1 ). Determine o produto misto entre
os vetores →u, →v e →w, nesta ordem.
SOLUÇÃO
→u , →v , →w =
xu yu zu
xv yv zv
xw yw zw
=
0 2 -5
1 -1 2
2 0 -1
=
= 0. ( − 1). ( − 1) + ( − 5). 1. 0 + 2. 2. 2 – 0. 0. 2 – (– 1). 1. 2 – (– 5). ( – 1). 2 = 8 + 2 – 10 = 0 
TEORIA NA PRÁTICA
Três aeronaves, que realizam um movimento retilíneo, têm velocidades dadas pelos vetores →u
(a, 1, –1), →v(0, 2, 1) e →w(1, 0, 2 ). Elas desejam voar de tal forma que as direções de seus
movimentos formem um plano. Determine o valor de a, real, para que isso ocorra.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] | | | |
/
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
MÃO NA MASSA
1. SEJAM →U(1, 2, –3) E →V(2, –2, 4). DETERMINE O PRODUTO ESCALAR
ENTRE 2→U E -3→V:
A) -14
B) 70
/
C) -84
D) 84
2. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR →U + →V , SABENDO QUE QUE →U(0, 12
, –5) E →V(0 , –4, 3).
A) √68
B) √78
C) 144
D) 68
3. DETERMINE O VALOR DE 2→U X (-4→V). SENDO →U(1, –1, 0) E →V(2, 2, 1):
A) (8, 8, -32)
B) (-8, -8, 32)
C) (24, 24, -32)
D) (8, -12, -32)
4. DADOS OS VETORES →U 1, 2, 3 , →V 1, 1, 0 E →W 2, 1, - 1 ,
DETERMINE O PRODUTO MISTO ENTRE OS VETORES →U, →V E →W, NESTA
ORDEM:
A) 2
B) -4
C) -2
D) 4
( ) ( ) ( )
/
5. SEJAM OS VETORES →U K, K, K , →V 2, 2, 1 E →W 2, - 1, 2 .
DETERMINE O VALOR DE K, SABENDO QUE O PRODUTO MISTO 
→U, →W, →V VALE O PRODUTO ESCALAR →U · →V SOMADO A 6.
A) 
3
4
B) -3
C) 3
D) 
1
2
6. SEJAM OS VETORES →U 1, 2, 1 E →V 2, 1, 1 . SABE-SE QUE →W VALE
DUAS VEZES O PRODUTO VETORIAL DE →U COM →V. DETERMINE O
MÓDULO DO VETOR →W:
A) √11
B) 2√11
C) 2√13
D) √13
GABARITO
1. Sejam →u(1, 2, –3) e →v(2, –2, 4). Determine o produto escalar entre 2→u e -3→v:
A alternativa "D " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
2→u. -3→v = 2. (-3)→u. →v = 6→u · →v
→u. →v = 1.2 + 2. (-2) + (-3). 4 = 2 - 4 - 12 = - 14
Assim, 2→u · -3→v = →u · →v = - 6· - 14 = 84
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
/
2. Determine o módulo do vetor →u + →v , sabendo que que →u(0, 12 , –5) e →v(0 , –4, 3).
A alternativa "A " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
→u + →v = (0 + 0,12 - 4. - 5 + 3) = 0,8, - 2
→u + →v . →u + →v = 0.0 + 8.8 + (-2). (-2) = 64 + 4 = 68
→u + →v = √ →u + →v . →u + →v = √68
3. Determine o valor de 2→u x (-4→v). Sendo →u(1, –1, 0) e →v(2, 2, 1):
A alternativa "A " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto vetorial.
2→u x (-4→v) = 2 . (-4) →u x →v = (-8) (→u x →v)
→u x →v = 
x̂ ŷ ẑ
xu yu zu
xv yv zv
=
x̂ ŷ ẑ
1 -1 0
2 2 1
= (-1). 1 x̂ + 2.0 ŷ + 1.2 ẑ - 0.2 x̂ - 1.1 ŷ - 2. (-1) ẑ
= x̂ - ŷ + 4 ẑ
(-8) (→u x →v) = ((-8). (-1. (-8). (-1). (-9). 4) = (8, 8, - 32)
4. Dados os vetores →u 1, 2, 3 , →v 1, 1, 0 e →w 2, 1, - 1 , determine o produto misto
entre os vetores →u, →v e →w, nesta ordem:
A alternativa "C " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
( )
( ) ( )
| | ( ) ( )
| | | |
( ) ( ) ( )
/
5. Sejam os vetores →u k, k, k , →v 2, 2, 1 e →w 2, - 1, 2 . Determine o valor de k,
sabendo que o produto misto →u, →w, →v vale o produto escalar →u · →v somado a 6.
A alternativa "B " está correta.
 
→u, →w, →v =
xu yu zu
xw yw zw
xv yv zv
=
k k k
2 -1 2
2 2 1
→u, →v, →w = k. (-1). 1 + 2.2. k + 2.2. k - 1.2. k - 2.2. k - 2. (-1)k = 3k
→u · →v = k. 2 + k. 2 + k. 1 = 5k
Assim, 3k = 5k + 6 → 2𝑘 = − 6 → 𝑘 = − 3
6. Sejam os vetores →u 1, 2, 1 e →v 2, 1, 1 . Sabe-se que →w vale duas vezes o produto
vetorial de →u com →v. Determine o módulo do vetor →w:
A alternativa "B " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
( ) ( ) ( )
[ ]
[ ] | | | |
[ ]
( ) ( )
/
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SENDO →U 1, 3, - 2 , →V 2, 0, 2 E →W 1, 1, 1 , DETERMINE O
PRODUTO ESCALAR ENTRE O VETOR 2→U + →V E O VETOR →W:
A) 4
B) 6
C) 10
D) 8
2. SENDO →U B, A, - 1 E →V 2, 0, 2 , DETERMINE O VALOR DE A+B
SABENDO QUE →U × →V = 2, 4, - 2 :
A) -2
B) -4
C) 2
D) 4
GABARITO
1. Sendo →u 1, 3, - 2 , →v 2, 0, 2 e →w 1, 1, 1 , determine o produto escalar entre o vetor
2→u + →v e o vetor →w:
A alternativa "D " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
/
2→u + →v . →w = 2→u. →w +
→
v. →w
→u. →w = 1.1 + 3.1 + (-2). 1 = 1 + 3 - 2 = 2
→v. →w = 2.1 + 0.1 + 2.1 = 2 + 0 + 2 = 4
Assim 2.2 + 4 = 8
2. Sendo →u b, a, - 1 e →v 2, 0, 2 , determine o valor de a+b sabendo que 
→u × →v = 2, 4, - 2 :
A alternativa "A " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto vetorial.
→ux→v =
x̂ ŷ ẑ
xu yu zu
xv yv zv
=
x̂ ŷ ẑ
b a -1
2 0 2
= 2. a x̂ + 2. (-1)ŷ + 0. b ẑ - 0. (-1)x̂ - 2. bŷ - 2. aẑ
= 2ax̂ + (-2 - 2b)ŷ - 2aẑ
(2a, – 2 – 2b, – 2a) = ( 2, 4, - 2)
Assim
2a = 2 → a = 1 , – 2 – 2 b = 4 → 2b = – 6 → b = – 3 e – 2a = – 2 → a = 1
a + b = 1 – 3 = – 2 
 Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade
( )
( ) ( )
( )
| | | |
/
INTRODUÇÃO
O CONHECIMENTO DO ÂNGULO FORMADO POR DOIS VETORES PODE TER
ALGUMAS APLICAÇÕES PRÁTICAS, POR EXEMPLO, A VERIFICAÇÃO SE OS
VETORES SÃO PARALELOS OU ORTOGONAIS.
Assim, torna-se necessária uma forma de obter o ângulo através das coordenadas vetoriais.
ÂNGULO ENTRE VETORES
O ângulo entre dois vetores é aquele definido entre suas orientações positivas, ou seja, suas
setas.
 
Fonte:Autor
No módulo anterior, aprendemos a usar a Lei de Cossenos, então, uma forma para obter o
ângulo dos vetores é através desta solução:
→u + →v 2 = →u 2 + →v 2 + 2 →u →v cosα
cos ∝ =
→u + →v 2 - →u 2 + →v 2
2 →u →v
ou
→u - →v 2 = →u 2 + →v 2 - 2 →u →v cosα
| | | | | | | || |
| | ( | | | | )
| | | |
| | | | | | | || |
/
cos ∝ =
→u 2 + →v 2 - →u + →v 2
2 →u →v
No entanto, existe uma forma mais simples para cálculo do ângulo entre vetores através do
produto escalar. Pode ser provado que →u. →v = →u →v cos ∝
Assim, cos ∝ =
→u . →v
→u →v
Se conhecemos o ângulo entre dois vetores, podemos verificar o sinal do produto escalar
através da equação dada:
a) Se 0 ≤ α < 900 se tem cos α > 0 , então →u. →v > 0
b) Se α = 900 se tem cos α = 0 , então →u. →v = 0
c) Se 900 < α ≤ 1800 se tem cos α < 0 , então →u. →v < 0
EXEMPLO
1. Determine o cosseno do ângulo formado entre os vetores →u(2, 2) e →v(-1, 3):
SOLUÇÃO
→u. →v = 2. (-1) + 2.3 = - 2 + 6 = 4 
→u = u2z+ u
2
y = √22 + 22 = √4 + 4 = 2√2
→v = v2z+ v
2
y = √( - 1)2 + 32 = √1 + 9 = √10
cos ∝ =
→u . →v
→u →v
=
4
2√2 .√10
=
2
√20
=
2
2√5
=
√5
5
PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO
Uma aplicação direta do produto escalar, versor e ângulo entre vetores é a determinação da
projeção de um vetor sobre o outro. Sejam dois vetores →u e →v que formam um ângulo α entre si.
A projeção de →u sobre →v será denominada de 
→
Puv
( | | | | ) | |
| | | |
| || |
| | | |
| | √
| | √
| | | |
/
 
Fonte:Autor
→
PUV =
→u cos ∝ e
→
PUV =
→
PUV 
∧
v
Mas cosα =
→u . →v
| u | | v |
→
PUV =
→u cosα 
∧
v = →u 
→u . →v
→u →v
 
∧
v = →u. →v
∧
v
→v
EXEMPLO
1. Determine a projeção do vetor →u(1, 1, 1) sobre o vetor →v (3, 0, −4):
SOLUÇÃO
→v = v2z+ v
2
y + v
2
z = √32 + 02 + ( - 4)2 = √9 + 16 = √25 = 5
v̂ =
→v
→v
=
1
5 (3 ,0 , - 4) =
3
5 , 0, -
4
5
→u. →v = 1 .3 + 1. 0 + 1. (-4) = 3 - 4 = - 1, 
Assim,
→
PUV =
→u. →v
∧
v
| v | = -
3
5 , 0,
4
5
| | | | | |
| | | | ( | | | | ) ( ) | |
| | √
| | ( )
( ) ( )
/
CONDIÇÃO DE PARALELISMOS E
ORTOGONALIDADE
A equação dada no item anterior nos permite conhecer o ângulo através do produto escalar,
assim: cos ∝ =
→u . →v
→u →v
Desse modo, se dois vetores →u e →v são ortogonais, isto é, com ângulo entre si de 90o, então 
→u. →v = 0 sendo esta a condição de ortogonalidade.
Se dois vetores →u e →v são paralelos entre si, então →v = k→u, com k real.
Como já visto, neste caso →u x →v = 0. Sendo esta uma possível condição de paralelismo.
Outra opção é que se →v = k →u, k real, usando as propriedades básicas do vetor:
xv
xu
=
yv
yu
=
zv
zu
= k
 IMPORTANTE!
As condições de ortogonalidade e paralelismo podem ser extrapoladas para a dimensão do Rn.
Assim, dois vetores em Rn serão ortogonais se seu produto interno for zero e serão paralelos
se suas coordenadas forem proporcionais.
EXEMPLO
1. Determine o valor de b para que os vetores →u(2, b, 0) e →v(–1, 1, 3) sejam ortogonais.
SOLUÇÃO
→u. →v = 2. (-1) + b. 1 + 0.3 = - 2 + b 
Para serem ortogonais,
→u. →v = 0 → - 2 + b = 0 → b = 2
| | | |
/
2. Determine o valor de a e b para que os vetores →u(2, b, a) e →v(–1, 1, 3) sejam paralelos.
SOLUÇÃO
Se u e v são paralelos, então
xv
xu
=
yv
yu
=
zv
zu
→
- 1
2 =
1
b =
3
a
Assim,
b = -2 e a = (-3) . 2 = -6
TEORIA NA PRÁTICA
O trabalho de uma força (w), medido em Joule (J), é um conceito de Física que mede o efeito
de uma força sobre um deslocamento, logo, w =
→
F.
→
d, em que 
→
F é a força aplicada ao objeto e 
→
d o vetor deslocamento feito pelo objeto. Uma caixa de massa 2kg sofre o efeito de uma força 
→
F(2, −2, 2)N. Com a aplicação desta força, a caixa se desloca do ponto A(– 1, 0, 2) até o ponto
B (3, 0, 1). Determine o trabalho provocado por esta força na caixa durante este deslocamento.
 Clique no botão para ver as informações.
SOLUÇÃO
/
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE O ÂNGULO FORMADO PELOS VETORES →U 1, 1, 1 E 
→V 
1
2 , 
1
2 , 0 :
A) arccos
√3
2
B) arccos
√2
2
C) arccos
√6
3
D) arccos
√2
3
2. DETERMINE K + P PARA QUE OS VETORES 
→U 3, K, P + 1 E →V 1, 2, - 2 SEJAM PARALELOS:
A) 0
B) 1
C) -1
( )
( )
( ) ( )
/
D) -2
3. DETERMINE K PARA QUE OS VETORES →U 3, K, K + 1 E →V 1, 2, - 1
SEJAM ORTOGONAIS:
A) 0
B) 1
C) -1
D) -2
4. DETERMINE O MÓDULO DA PROJEÇÃODO VETOR →U 4, 0, 2 SOBRE
O VETOR →V 2, 1, - 1 :
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
5. DOIS VETORES, 
→
K E 
→
H , SÃO ORTOGONAIS ENTRE SI. SABE QUE 
→
K 2, 1, 2 E QUE 
→
K - 
→
H VALE 5. DETERMINE O VALOR DA CONSTANTE
A, SABENDO QUE 
→
H A, 0, B , COM A E B REAIS.
A) ±2√3
B) ±√2
C) ±2√2
D) ±√3
( ) ( )
( )
( )
( ) | |
( )
/
6. O ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES →U 𝑒 →V VALE 45°. O MÓDULO DO
VETOR →U VALE √2. QUANTO VALE O PRODUTO ESCALAR ENTRE →U E O
VERSOR DO VETOR →V?
A) 2
B) 1
C) 0
D) -1
GABARITO
1. Determine o ângulo formado pelos vetores →u 1, 1, 1 e →v 
1
2 , 
1
2 , 0 :
A alternativa "C " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
2. Determine k + p para que os vetores →u 3, k, p + 1 e →v 1, 2, - 2 sejam paralelos:
A alternativa "C " está correta.
 
Se u e v são paralelos, então 
xv
xu
=
yv
yu
=
zv
zu
→
1
3 =
2
k =
- 2
p + 1
Assim, k = 2. 3 = 6 e p + 1 = (– 2). 3 = – 6 → p = – 7 
Então, k + p = 6 – 7 = – 1 
( ) ( )
( ) ( )
/
3. Determine k para que os vetores →u 3, k, k + 1 e →v 1, 2, - 1 sejam ortogonais:
A alternativa "D " está correta.
 
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
4. Determine o módulo da projeção do vetor →u 4, 0, 2 sobre o vetor →v 2, 1, - 1 :
A alternativa "C " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
→v = v2z+ v
2
y + v
2
z = √22 + 12 + ( - 1)2 = √4 + 1 + 1 = √6
v̂ =
→
v
→v
=
1
√6
(2,1, - 1) =
√6
3 ,
√6
6 , -
√6
6
→u. →v = 4.2 + 0.1 + 2. (-1) = 6 
assim, 
→
PUV =
→u. →v
∧
v
| v | = 2√6, √6, - √6
O módulo do vetor vale 2√6 2 + √6 2 + -√6 2 = √24 + 6 + 6 = √36 = 6
5. Dois vetores, 
→
k e 
→
h , são ortogonais entre si. Sabe que 
→
k 2, 1, 2 e que 
→
k - 
→
h vale 5.
Determine o valor da constante a, sabendo que 
→
h a, 0, b , com a e b reais.
A alternativa "C " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de ortogonalidade entre os vetores.
Se os vetores são ortogonais então 
→
k · 
→
h = 0
( ) ( )
( ) ( )
| | √
| | ( )
( ) ( )
√( ) ( ) ( )
( ) | |
( )
/
Assim, 2. a + 1. 0 + 2. b = 0 → 2a + 2b = 0 → a = - b
→
k = √22 + 12 + 22 = √4 + 1 + 4 = √9 = 3
Se os vetores são ortogonais, usando o teorema de Pitágoras 
→
h = √52 - 32 = 4
 
Fonte: Autor
Assim, 
→
h = √a2 + 02 + b2 = 4 → a2 + b2 = 16 → a2 + ( - a)2 = 16 → a2 = 8 → a = ± 2√2
Se não fosse observado o triângulo retângulo, poderia ser achado o vetor 
→
k -
→
h = 2 - a, 1, 2 - b
Assim, 
→
k -
→
h = √(2 - a)2 + 1 + (2 - b)2 = 5 → (2 - a)2 + 1 + (2 - b)2 = 25
(2 - a)2 + (2 - b)2 = 24 → (2 - a)2 + (2 - ( - a))2 = 24
4 - 4a + a2 + 4 + 4a + a2 = 24 → 8 + 2a2 = 24 → 2a2 = 16 → a = ± 2√2
Dando o mesmo resultado.
6. O ângulo entre dois vetores →u 𝑒 →v vale 45°. O módulo do vetor →u vale √2. Quanto vale o
produto escalar entre →u e o versor do vetor →v?
A alternativa "B " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
cos ∝ =
→u . →v
→u →v
= cos450 =
√2
2 → 
→u . →v
→v
=
√2
2 . √2 = 1
| |
| |
| |
( )
| |
| | | | | |
/
Mas →u. v̂ = →u.
→v
→v
=
→u . →v
→v
= 1
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O COSSENO DO ÂNGULO FORMADO PELOS VETORES 
→U 1, 3, - 2 E →V 2, 0, 2 .
A) -
√7
14
B) 
√7
14
C) -
√3
14
D) 
√37
14
2. DETERMINE O VALOR DA CONSTANTE K PARA QUE OS VETORES 
→U 1, K, - 2 E →V ( 1, 1, 1) SEJAM ORTOGONAIS.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
GABARITO
1. Determine o cosseno do ângulo formado pelos vetores →u 1, 3, - 2 e →v 2, 0, 2 .
A alternativa "A " está correta.
 
( | | ) | |
( ) ( )
( )
( ) ( )
/
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
→u. →v = 1.2 + 3.0 + (-2). 2 = 2 - 4 = - 2 
→u = u2z+ u
2
y + u
2
z = √12 + 32 + ( - 2)2 = √1 + 9 + 4 = √14
→v = v2z+ v
2
y + v
2
z = √22 + 02 + 22 = √4 + 0 + 4 = √8
cos ∝ =
→u . →v
→u →v
=
- 2
√14√8
=
- 2
4√7
= -
√7
14
2. Determine o valor da constante k para que os vetores →u 1, k, - 2 e →v ( 1, 1, 1) sejam
ortogonais.
A alternativa "B " está correta.
 
Parabéns! Você entendeu a condição de ortogonalidade .
→u. →v = 1.1 + k. 1 + (-2). 1 = 1 + k - 2 = k - 1 
Para serem ortogonais
→u. →v = 0 → k - 1 = 0 → k = 1
CONCLUSÃO
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
| | √
| | √
| | | |
( )
javascript:void(0);
/
REFERÊNCIAS
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman,
2012. p. 119-180.
APOSTOL, T. M. Cálculo, Volume 1. Espanha: Editorial Reverte SA, 1985. p. 519-536.
HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Linear Algebra. 2. ed. Nova Jersey: Prentice-Hall, 1971. p. 28-39.
PEREIRA, Paulo. Cálculo é fácil - Cálculo 1: aulas 2 a 15, In: Equaciona com Paulo Pereira,
Youtube. Publicado em: 8 mar. 2019
SANTOS, R. J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Belo Horizonte:
Imprensa Universitária da UFMJ, 2012. p. 132-208.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise na internet.