Gabarito Lista 6 Casa

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MAE 116 - Noções de Estatística
Grupo D - 2
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semestre 2014
Gabarito da Sexta Lista de Exercícios
Exercício 1.
(a) Calcule P (Y ≤ 2, 3) para Y ∼ N(2; 1).
(b) Calcule P (X > 2, 3) para X ∼ N(2; (0, 3)2).
(c) Calcule P (U < −0, 6) para U ∼ N(1; 42).
(d) Ache z tal que P (Z ≤ z) = 0, 4 onde Z ∼ N(0; 1).
(e) Ache z tal que P (Z ≤ z) = 0, 6 onde Z ∼ N(0; 1).
Solução.
(a) Temos que Y ∼ N(2; 1), então:
P (Y ≤ 2, 3) = P
(
Y − 2
1
≤ 2, 3− 2
1
)
= P (Z ≤ 0, 3) = 0, 6179
(b) Temos que X ∼ N(2; (0, 3)2), então:
P (X > 2, 3) = 1− P (X ≤ 2, 3)
= 1− P
(
X − 2
0, 3
≤ 2, 3− 2
0, 3
)
= 1− P (Z ≤ 1) = 1− 0, 8413 = 0, 1587
(c) Temos que U ∼ N(1; 42), então:
P (U < −0, 6) = P
(
U − 1
4
≤ −0, 6− 1
4
)
= P (Z < −0, 4) = 0, 3446
(d) z é tal que A(z) = 0, 4. Pela tabela, z = −0, 2533.
1
(e) z é tal que A(z) = 0, 6. Pela tabela, z = 0, 2533.
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Exercício 2.
(a) Compare, sem fazer contas, os valores de p1 e de p2, sendo que p1 = P (X ≤ 3)
para X ∼ N(4; 1), enquanto que p2 = P (Y ≤ 3) para Y ∼ N(5; 1). Justifique sua
resposta (sem fazer contas).
(b) Compare, sem fazer contas, os valores de z1 e de z2, sendo que z1 satisfaz 0, 8 =
P (X ≥ z1) para X ∼ N(4; 1), enquanto que z2 satisfaz 0, 8 = P (Y ≥ z2) para
Y ∼ N(5; 1). Justifique sua resposta (sem fazer contas).
Solução.
(a) A variância de X e Y é a mesma, por isso só precisamos analisar as médias das
variáveis. O valor de referência (3), é menor que a média das variáveis. Assim,
como o valor de referência é mais próximo da média de X, podemos dizer que
p2 = P (Y ≤ 3) < p1 = P (X ≤ 3).
(b) A variância de X e Y é a mesma, por isso só precisamos analisar as médias das
variáveis. Neste caso temos que a média de Y é maior que a média de X. Assim,
como queremos um valor de referência de tal forma que acumule à direita 0.8, temos
que z1 < z2.
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Exercício 3. Um bom indicador do nível de intoxicação por benzeno é a quantidade
de fenol encontrada na urina. A quantidade de fenol na urina de moradores de uma
certa região segue, aproximadamente, uma distribuição normal de média 6 mg/L e desvio
padrão 2 mg/L.
(a) Defina-se como "valor de referência" a quantidade de fenol tal que 80% da população
têm quantidade de fenol maior ou igual a esse valor. Qual é o valor de referência
para a população da região do enunciado?
(b) Uma pessoa é considerada "atípica" se a quantidade de fenol em sua urina for
superior a 8 mg/l ou inferior a 3 mg/L. Sorteado um morador ao acaso da população
da região, qual é a probabilidade de ele ser "atípico"?
(c) Sorteadas 5 pessoas da referida população, ao acaso e com reposição, qual é a
probabilidade de se ter no máximo 3 "atípicas"?
(d) Sorteamos ao acaso uma pessoa da referida população e fomos informados por essa
que a quantidade de fenol em sua urina é superior ao valor da referência. Qual
é a probabilidade da pessoa ser atípica? (A mesma pergunta sendo formulada em
outros termos: Sabendo que a quantidade de fenol na urina de uma pessoa escolhida
ao acaso e superior ao valor de referência, qual é a probabilidade condicional desta
pessoa ser atípica?)
Solução. X : quantidade de fenol na urina de moradores de uma certa região.
(a) Temos que
P (X ≥ x1) = P
(
X − 6
2
≥ x1 − 6
2
)
= P
(
Z ≥ x1 − 6
2
)
= 1− P
(
Z ≤ x1 − 6
2
)
= 0, 8
Então:
P
(
Z ≤ x1 − 6
2
)
= 0, 2
Assim, z = x1−6
2
é tal que A(z) = 0, 2. Pela tabela,
z =
x1 − 6
2
= −0, 84
Portanto,
x1 = 6 + 2× (−0, 84) = 4, 32.
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(b) Temos que:
P (X ≤ 3) + P (X ≥ 8) = P (X ≤ 3) + 1− P (X < 8)
= 1 + P
(
X − 6
2
≤ 3− 6
2
)
− P
(
X − 6
2
<
8− 6
2
)
= 1 + P (Z ≤ −1.5)− P (Z < 1)
= 1 + 0, 0668− 0, 8414 = 0, 2255
(c) Seja Y : número de pessoas que são consideradas atípicas.
Pela pergunta anterior, temos a probabilidade de que uma pessoa é considerada
"atípica" (p = 0, 2255) e assumindo que a seleção de cada pessoas é independente
e cada uma delas tem a mesma probabilidade de ser atípica, então
Y ∼ Bin(5, 0.2255)
Assim, P (Y ≤ 3) = P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2) + P (Y = 3) = 0.2787 +
0.4057 + 0.2362 + 0.0688 = 0.9894
(d) Temos que:
P (X ≤ 3 ∪X ≥ 8|X ≥ 4, 32) = P ((X ≤ 3 ∪X ≥ 8) ∩ (X ≥ 4, 32))
P (X ≥ 4, 32)
=
P (X ≥ 8)
P (X ≥ 4, 32)
=
1− P (X < 8)
1− P (X < 4, 32)
=
1− P (X−6
2
< 8−6
2
)
1− P (X−6
2
< 4,32−6
2
)
=
1− P (Z < 1)
1− P (Z < −0, 84)
=
1− 0, 8413
1− 0.2005 =
0, 1587
0, 7995
= 0, 1985
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Exercício 4. Uma empresa reorestou uma imensa área por árvores de certo tipo que
após 15 anos serão cortadas e usadas na produção de papel. Sabe-se que as árvores
com a idade 15 anos têm seu diâmetro distribuido aproximadamente de acordo com a
distribuição normal com média 8, 8 polegadas e desvio padrão 2, 8 polegadas.
(a) Qual será, após 15 anos, a proporção de árvores com o diâmetro de no mínimo 10
polegadas (A mesma pergunta sendo formulada em outros termos: Se após 15 anos,
escolhermos ao acaso uma árvore da plantação, qual é a probabilidade dessa ter o
diâmetro de no mínimo 10 polegadas?)
(b) A empresa analisa a possibilidade de cortar, após 15 anos, só 20% da plantação. O
plano é que o corte afete só as árvores menores e as árvores maiores. De acordo
com este plano, é preciso achar o valor de c tal que as árvores com o diâmetro no
intervalo (8, 8− c; 8, 8 + c) contemplem 80% da plantação. Calcule c.
Solução.
(a) Temos que:
P (X ≥ 10) = 1− P (X ≤ 10)
= 1− P
(
X − 8, 8
2, 8
≤ 10− 8, 8
2, 8
)
= 1− P (Z ≤ 0, 4286) = 1− 0, 6658 = 0, 3341
(b)
P (8, 8− c ≤ X ≤ 8.8 + c) = 0, 8←→ P (8, 8− c− 8, 8
2, 8
≤ X − 8, 8
2, 8
≤ 8, 8 + c− 8, 8
2, 8
) = 0, 8
←→ P
(−c
2, 8
≤ Z ≤ c
2, 8
)
= 0, 8
←→ P
(
c
2, 8
≤ Z
)
− P
(−c
2, 8
≤ Z
)
= 0, 8
←→ 1− P
(
c
2, 8
> Z
)
− P
(−c
2, 8
≤ Z
)
= 0, 8
←→ 1− P
(−c
2, 8
< Z
)
− P
(−c
2, 8
≤ Z
)
= 0, 8
←→ 1− 2P
(−c
2, 8
≤ Z
)
= 0, 8
←→ P
(−c
2, 8
≤ Z
)
= 0, 1
Assim, z = −c
2,8
= −1, 28, então
c = (−1, 28)× (−2, 8) = 3, 584
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