Lista 4 Classe Gabatito

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MAE 116 - Noções de Estatística
Grupo D - 2o semestre de 2014
Gabarito dos exercícios de classe - Aula Probabilidade II
Exercício 1
Em um edifício há 24 apartamentos. Sabe-se que há cachorros em 8 apartamentos e há gatos
em 6 apartamentos. Em quantos apartamentos deve haver gatos e cachorros para que os eventos
"haver cachorros" e "haver gatos" sejam independentes?
Vamos definir dois eventos:
A : haver cachorros;
B : haver gatos.
Pelos dados fornecidos no enunciado, vamos assumir que:
PpAq �
8
24
�
1
3
PpBq �
6
24
�
1
4
Para que os eventos A e B sejam independentes devem satisfazer:
PpAXBq � PpAqPpBq �
1
3
�
1
4
�
1
12
�
2
24
.
Então, em 2 apartamentos devem haver gatos e cachorros para que os eventos "haver cachorros" e "haver
gatos" sejam independentes.
Exercício 2
Uma urna contém 5 bolas azuis, 3 brancas e 8 vermelhas. Retiram-se 2 bolas ao acaso e sem
reposição. Considere os seguintes eventos:
A - a primeira bola retirada é azul;
B - a segunda bola retirada é vermelha;
C - as duas bolas retiradas são da mesma cor.
Calcule as seguintes probabilidades: P pAXBq e P ppB X Cqcq.
Primeiro queremos calcular PpAXBq. Pelos dados fornecidos no enunciado, vamos assumir que:
PpAq �
5
16
PpB|Aq �
8
15
.
Assim:
PpAXBq � PpB|AqPpAq �
8
15
�
5
16
�
1
6
.
Agora, queremos calcular PppB X Cqcq. Pelos dados fornecidos no enunciado, vamos assumir que:
1
Figura 1: Diagrama de arvore de probabilidades.
Por outro lado, temos que:
PppB X Cqcq � 1� PpB X Cq
Pela figura 1, podemos inferir que:
PpB X Cq �
8
16
�
7
15
�
7
30
,
portanto:
PppB X Cqcq � 1�
7
30
�
23
30
.
Exercício 3
Uma companhia de seguros acredita que pessoas possam ser divididas em duas classes: aquelas
que são propensas a acidentes e aquelas que não são. A companhia sabe que uma pessoa propensa
a acidentes tem probabilidade de 0, 4 de sofrer um acidente dentro de um período fixo de 1 ano,
enquanto que essa probabilidade cai para 0, 2, no caso de uma pessoa não propensa a acidentes.
Se 30% das pessoas são propensas a acidentes, qual é a probabilidade de que um novo segurado
sofra um acidente no período de 1 ano após a compra da apólice?
Vamos definir dois eventos, com respeito a um novo segurado:
A : o novo segurado é propenso a acidentes;
B : o novo segurado sofreu um acidente no primeiro ano.
Queremos calcular PpBq. Pelos dados fornecidos no enunciado, vamos assumir que a probabilidade nesse
espaço satisfaz:
PpAq � 0, 30 PpB|Aq � 0, 4 PpB|Acq � 0, 2
Utilizando a regra da probabilidade total, obtemos que:
PpBq � PpB XAq � PpB XAcq
� PpB|AqPpAq � PpB|AcqPpAcq
� 0, 4� 0, 3� 0, 2� 0, 7
� 0, 12� 0, 14 � 0, 26
2
Exercício 4
Lança-se um dado com 6 faces. Se sair face par uma moeda é lançada. Ao final do experimento,
se sair "cara"anota-se o valor do dado somado a 1 e se sair "coroa"anota-se apenas o valor do
dado. Se sair face ímpar, anota-se o valor do dado. Seja X a variável aleatória que representa o
número anotado. Forneça a distribuição de probabilidade de X e a EpXq.
Listando todos os resultados possíveis do experimento, podemos montar a seguinte tabela:
Face do dado Lado da moeda Probabilidade Valor de X
1 - 1{6 1
2
cara 1{12 3
coroa 1{12 2
3 - 1{6 3
4
cara 1{12 5
coroa 1{12 4
5 - 1{6 5
6
cara 1{12 7
coroa 1{12 6
Se juntarmos os valores repetidos para X podemos montar essa tabela que descreve a sua distribuição:
x PpX � xq
1 1{6
2 1{12
3 1{4
4 1{12
5 1{4
6 1{12
7 1{12
Com essa tabela podemos calcular a esperança de X como:
EpXq � 1
1
6
� 2
1
12
� 3
1
4
� 4
1
12
� 5
1
4
� 6
1
12
� 7
1
12
�
15
4
� 3, 75
3