Lista 10 Classe Gabarito

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MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo D - 2º semestre de 2014 
Lista de exercícios 10 – Testes de Hipóteses II - C L A S S E 
 
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Exercício 01 
Segundo estudos realizados a proporção de machos numa determina espécie é 0,4, em seu 
habitat natural. Um biólogo acredita que alterando-se as condições ambientais essa proporção 
aumentará. Para testar sua hipótese ele submete uma subpopulação desta espécie às 
condições ambientais modificadas, e após um tempo razoável seleciona uma amostra aleatória 
de 20 animais, encontrando 13 machos dentre os 20 animais selecionados. 
 
(a) Formule o problema como um teste de hipóteses estatístico, identificando claramente o 
parâmetro estatístico em questão. 
 
Seja p a proporção de machos na espécie em questão sob condições ambientais modificadas. 
 
 H: p = 0.4 (a crença do biólogo não procede) 
 A: p > 0.4 (a crença do biólogo é procedente) 
 
 
(b) Com base no nível descritivo, há indícios de aumento na proporção de machos ao nível de 
significância de 5%? 
 
%101,099,01)28,2(1)28,2(
206,04,0
4,065,0
==−=−=≥=






×
−≥≅ AZPZPP 
 
Como P < α = 5%, rejeitamos H no nível de significância de 5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 02 
Uma empresa de mineração afirmou que 90% da área de uma região contém hematita. Para 
verificar se a afirmação da empresa é verdadeira, foram coletadas 150 amostras no local, 
sendo encontradas 125 amostras com hematita. 
 
(a) Formule este problema com um teste de hipóteses, identificando o parâmetro estatístico em 
questão, e conclua com base no nível descritivo e nível de significância de 7%. 
 
Seja p a proporção da área da região em questão que contem hematita. 
 
 H: p = 0.9 (a afirmação da empresa é procedente) 
 A: p < 0.9 (a afirmação da empresa não procede) 
 
 
%3,0003,0997,01)72,2(1)72,2(
1501,09,0
9,065
==−=−=−≤=






×
−≤≅ AZPZPP 
 
Como P < α = 7%, rejeitamos H no nível de significância de 7%. 
 
 
 
(b) Qual o significado dos erros de tipo I e de tipo II no problema? 
 
Erro I: Rejeitar H quando H é verdadeira: deixar de dar crédito à empresa, quando ela está certa 
 
Erro II: Deixar de rejeitar H quando ela é falsa: dar crédito indevido à empresa 
 
 
 
(c) Determine a região crítica do teste e calcule a probabilidade do erro do tipo II para o caso de 
a incidência de hematita na área em questão ser de 80%. 
 
A RC deve ter a forma [0,x], onde x satisfaz 
 
 
 








×
−≤=
1501,09,0
9,007,0 xZP . 
 
 
 
 
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Logo, z
x
−=
×
−
1501,09,0
9,0
, onde A(z)=0,93. Logo z = 1,48, e x = 0,9 – 1,48 × ��,����� = 0,864, 
 
e RC = [0; 0,864]. 
 
A probabilidade do erro do tipo II então vale 
 
 
��	̂ � �
|	 � 0,8� � � �� � 0,864 � 0,8�0,8 � 0,2 150⁄ � ��� � 1,96� � 1 � "�1,96�� 1 � 0,975 � 0,025 � 2,5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 03 
Sabe-se através de experiências passadas que se uma determinada máquina estiver ajustada, 
então 10% dos itens por ela produzidos serão defeituosos. Neste caso, a produção será 
considerada sob controle. Se a proporção de peças defeituosas aumentar, então a produção 
estará fora de controle. Em determinado dia, não se sabe se a produção está ou não sob 
controle, então decide-se inspecionar uma amostra de itens produzidos como evidência. 
 
(a) Descreva esta situação em termos de um teste de hipóteses, identificando o parâmetro 
estatístico em questão. 
 
Seja p a proporção de itens defeituosos produzidos pela máquina em questão. 
 
 H: p = 0,1 (a máquina está sob controle) 
 A: p > 0,1 (a máquina está fora de controle) 
 
(b) Qual o significado dos erros de tipo I e de tipo II no problema? 
 
Erro I: Rejeitar H quando H é verdadeira: concluir indevidamente que a máquina está fora de 
controle 
 
Erro II: Deixar de rejeitar H quando ela é falsa: concluir indevidamente que a máquina está sob 
controle 
 
(c) Se os responsáveis pela produção desejarem que o teste tenha nível de significância de 4%, 
e que a probabilidade de cometer erro do tipo II seja de 9% caso a proporção de itens 
defeituosos subir para 20%, qual deve ser o tamanho da amostra a ser tomada? 
 
Seguindo o raciocínio visto na aula anterior, concluímos que 
 
√& � '(√�,���,�)'(**√�,+��,,�,+-�,� , 
 
onde "�.�� � 1 � 4% � 0,96 e "�.�**� � 1 � 9% � 0,91; logo .� � 1,75 e .�** � 1,34. 
 
Concluímos que 
 
√& � 2,34√(,2�(,562,78√(,9�(,:(,9;(,2 <��,=�, e & � 112,6 � 113.