Tipos de Variáveis e Tabelas de Distribuição de Frequência

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ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Aline Purcote 
 
 
 
2 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Cada ferramenta fornece um tipo de informação, e o seu uso depende, 
geralmente, do tipo de variável que está sendo investigada. Ao realizar uma 
pesquisa nos deparamos com dois tipos de variáveis, que são características 
observadas e que podem assumir diferentes valores. Estes valores devem ser 
organizados em um conjunto de dados de maneira prática e racional. Mas como 
fazer isso para facilitar a geração de informações? 
É importante conhecermos os principais tipos de tabelas, gráficos e 
medidas para realizar uma boa análise descritiva dos dados. Desta forma, vamos 
verificar como os dados se distribuem e quais observações são mais frequentes. 
Na aula 1 verificamos que há vários tipos de tabelas para apresentação 
de dados, e uma delas é a tabela de distribuição de frequência. Mas o que é uma 
tabela de distribuição de frequência, e como ela auxilia na apresentação dos 
dados? 
Nesta aula vamos classificar e contextualizar os tipos de variáveis, definir 
dado bruto, rol e frequência, e construir tabelas de distribuição de frequência. 
 
CONTEXTUALIZANDO 
Você já realizou uma pesquisa? Já participou de uma respondendo a um 
questionário? Recorda-se das perguntas realizadas? 
Em uma pesquisa encontramos diversas variáveis, e obtemos diferentes 
dados para gerar informações que serão base para tomada de decisão. Por 
exemplo, podemos utilizar em uma pesquisa um questionário para coleta de 
dados, com perguntas referentes a características como sexo, grau de instrução 
e estado civil, e outras que denotam quantidade, como idade e número de filhos. 
Ao finalizar a coleta destes dados, eles ainda não se encontram prontos 
para análise; desta maneira, não conseguimos obter muitas informações com 
uma simples análise. Para facilitar a geração de informação, podemos 
apresentar os dados de diferentes formas, e uma delas é a tabela de distribuição 
de frequência, que constitui o tipo de tabela mais importante para a Estatística 
Descritiva. 
 
 
3 
TEMA 1 – VARIÁVEIS 
Na descrição ou análise de um conjunto de dados estatísticos, podemos 
associar certos tipos de variáveis que podem assumir diferentes valores 
numéricos ou não numéricos. Estas variáveis podem ser classificadas em 
variáveis qualitativas e variáveis quantitativas. 
 
Variáveis qualitativas 
As variáveis qualitativas estão associadas a características que denotam 
qualidade ou atributo, portanto, uma característica não numérica. Exemplos: 
 Sexo: masculino ou feminino; 
 Cor dos olhos: castanhos, verdes etc.; 
 Desempenho de funcionários: ótimo, bom, ruim; 
 Qualidade dos produtos: defeituoso ou perfeito; 
 Grau de instrução; 
 Estado civil. 
 
Quando uma variável qualitativa apresentar uma ordenação natural com 
intensidades crescentes de realização, chamamos de qualitativas ordinais. Caso 
não ocorra uma ordem natural entre seus valores, são classificadas como 
qualitativas nominais. 
 Qualitativas ordinais: classe social: baixa, média ou alta; grau de 
instrução. 
 Qualitativas nominais: sexo: masculino ou feminino; cor dos olhos: 
castanhos, verdes etc. 
 
Variáveis quantitativas 
As variáveis quantitativas estão associadas a valores numéricos; 
representam contagens ou medidas. Exemplos: 
 Altura; 
 Peso; 
 Idade; 
 Número de irmãos; 
 Número de filhos; 
 Número de carros. 
 
 
4 
 
As variáveis quantitativas podem ser classificadas em discretas, quando 
se trata de contagem e números inteiros, ou em contínuas, quando tratamos de 
medidas. 
 Quantitativa discreta: número de irmãos, número de filhos, número de 
carros (0, 1, 2, ...). 
 Quantitativa contínua: altura ( 1,55m, 1,80m, 1,73m...), peso. 
 
Desta forma as variáveis podem receber as seguintes classificações: 
 
 
 
TEMA 2 – DADO BRUTO, ROL, FREQUÊNCIA 
Em uma pesquisa, após a fase de coleta dos dados, obtemos os dados 
originais que precisam ser organizados para realização de análises; a estes 
dados chamamos de dados brutos. Segundo Castanheira (2010), dados brutos 
são a relação dos resultados obtidos em uma pesquisa e que foram transcritos 
aleatoriamente, ou seja, fora de qualquer ordem. 
Vamos supor que uma pesquisa foi realizada em uma turma em relação 
à idade de cada aluno. O primeiro aluno pesquisado possui 14 anos, o segundo 
15 anos e assim sucessivamente, até o último aluno da turma, obtendo-se assim 
os seguintes resultados: 
 
14 15 16 17 18 19 14 15 16 17 14 15 16 14 15 16 15 16 15 15 
 
Com os dados brutos temos interesse em saber qual a idade que mais 
aparece nesta turma, mas uma simples verificação dos dados obtidos nesta 
 
 
5 
pesquisa, transmite pouca informação. Desta forma podemos organizar os 
dados para facilitar a sua interpretação. A organização dos dados em ordem 
numérica, crescente ou decrescente recebe o nome de rol. 
Colocando os dados brutos obtidos em nossa pesquisa em ordem 
crescente temos o seguinte rol: 
 
 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 
 
Agora ficou mais fácil verificar a idade que mais aparece nesta turma, pois 
utilizamos o rol, que facilitou a nossa análise; no entanto, podemos melhorá-la 
ainda mais agrupando os valores iguais. Ao número de vezes que um mesmo 
número se repete, denominamos de frequência. 
Frequência ou frequência absoluta (f) é o número de vezes que um 
mesmo resultado acontece na pesquisa, isto é, quantas vezes que um mesmo 
valor se repete. 
Em nosso exemplo, temos a idade 14 anos se repetindo 4 vezes, e isso 
significa que esta idade possui frequência igual a 4. O mesmo ocorre com a idade 
15 anos, que possui frequência igual a 7; a idade 16 anos possui frequência igual 
a 5; a idade 17 anos, frequência igual a 2; e as idades 18 e 19 anos aparecendo 
uma única vez com frequência igual a 1. Mas o que isso significa? Nossa 
pesquisa foi realizada em uma turma em relação à idade de cada aluno, por isso 
dissemos que 4 alunos possuem idade igual a 14 anos, 7 anos possuem idade 
igual a 15 anos, e assim sucessivamente para as demais idades apresentadas 
na pesquisa. 
Voltando à nossa pergunta inicial, qual a idade que mais aparece nesta 
turma? Verificando a frequência, temos que a idade 15 anos possui frequência 
igual a 7, ou seja, 7 alunos possuem 15 anos. Desta forma, 15 anos é a idade 
que mais aparece na turma pesquisada. 
 
TEMA 3 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
Já definimos dado bruto, rol e frequência, e verificamos como a frequência 
facilita nossa interpretação e análise; porém, a frequência pode ainda ser 
organizada em uma tabela chamada de distribuição de frequência. 
Distribuição de frequência é a apresentação dos resultados de uma 
pesquisa por meio de uma tabela que mostra a frequência de ocorrência de cada 
 
 
6 
resultado. É uma forma de representação da frequência de cada valor distinto da 
variável em estudo. 
Voltando à pesquisa realizada em uma turma em relação à idade de cada 
aluno, tínhamos os seguintes dados brutos e rol: 
 
Dados Brutos: 
14 15 16 17 18 19 14 15 16 17 14 15 16 14 15 16 15 16 15 15 
 
Rol: 
14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 
 
Após o rol, verificamos a frequência que cada dado apareceu na pesquisa, 
e agora colocaremos esta informação em uma tabela que contém duas colunas: 
a primeira com os dados apresentados na pesquisa, e na segunda a frequência 
com que cada dado aparece. Em nossa pesquisa, os dados referem-se às 
idades, desta forma temosa seguinte distribuição de frequência: 
Idade Frequência (f) 
14 4 
15 7 
16 5 
17 2 
18 1 
19 1 
 
Além das frequências simples, podemos incluir na tabela de distribuição 
a frequência acumulada e a frequência relativa. 
A frequência absoluta acumulada ou apenas frequência acumulada (fa) é 
o somatório das frequências. Para calcular a frequência acumulada repetimos o 
primeiro valor e somamos com o próximo até a última frequência. Vamos verificar 
na tabela abaixo o cálculo da frequência acumulada com base no nosso 
exemplo: 
 
 
 
7 
 
Idade Frequência (f) fa 
14 4 4 
15 7 11 
16 5 6 
17 2 18 
18 1 19 
19 1 20 
 
Observe que o valor encontrado na frequência acumulada sempre é igual 
à quantidade de dados que temos na pesquisa. Se contarmos a quantidade de 
valores fornecidos no dado bruto, temos 20 dados, que é exatamente o valor 
final que encontramos. 
Atrelado ao conceito de frequência absoluta, temos o conceito de 
frequência relativa (fr) de uma variável, que é o quociente entre a frequência 
absoluta (f) e o número de elementos (N) da amostra, ou seja: 
N
f
f r 
 
Em que N = 
 f
, isto é, N é igual à soma das frequências. 
 
A frequência relativa frequentemente é representada na forma de 
porcentagem, facilitando a interpretação e gerando informações importantes que 
facilitam a análise dos dados. 
Em nosso exemplo temos N = 20; assim calculamos a frequência relativa 
dividindo cada frequência por 20, e depois multiplicando o valor por 100 para 
encontrarmos o resultado em porcentagem. Se somarmos as porcentagens 
encontradas, o valor final será sempre 100%. 
Idade Frequência (f) fr 
14 4 4/20 = 0,20 x 100 = 20% 
15 7 7/20 = 0,35 x 100 = 35% 
16 5 5/20 = 0,25 x 100 = 25% 
17 2 2/20 = 0,10 x 100 = 10% 
18 1 1/20 = 0,05 x 100 = 5% 
19 1 1/20 = 0,05 x 100 = 5% 
 100% 
 
 
 
8 
Com a tabela de distribuição de frequência com frequência acumulada e 
relativa podemos realizar várias análises que ajudam em nossa tomada de 
decisão. Em nosso exemplo podemos ter as seguintes perguntas: 
 Quantos alunos possuem idade menor ou igual a 16 anos? 
 Qual a porcentagem de alunos que possuem idade menor ou igual a 16 
anos? 
 Qual a idade que aparece com maior porcentagem? 
 
Para responder às perguntas, vamos analisar as tabelas de frequência 
acumulada e relativa que elaboramos acima. 
 
Quantos alunos possuem idade menor ou igual a 16 anos? 
Para responder esta pergunta, analisamos a tabela da fa. Se queremos 
alunos que possuem idade menor ou igual a 16 anos, significa que os alunos 
podem ter 14, 15 e 16 anos; verificando a frequência acumulada, temos um total 
de 16 alunos (4+7+5 =16), conforme a tabela a seguir: 
Idade Frequência (f) Fa 
14 4 4 
15 7 11 
16 5 16 
17 2 18 
18 1 19 
19 1 20 
 
Qual a porcentagem de alunos que possuem idade menor ou igual a 16 
anos? 
Como a pergunta solicita porcentagem, vamos utilizar a tabela de 
frequência relativa. Se queremos alunos que possuem idade menor ou igual a 
16 anos, significa que os alunos podem ter 14, 15 e 16 anos; somando a 
frequência relativa, temos um total de 80% (20%+35%+25% = 80%), ou seja, 
80% da turma possui idade menor ou igual a 16 anos, conforme a tabela que 
segue: 
 
 
 
9 
 
Idade Frequência (f) Fr 
14 4 4/20 = 0,20 x 100 = 20% 
15 7 7/20 = 0,35 x 100 = 35% 
16 5 5/20 = 0,25 x 100 = 25% 
17 2 2/20 = 0,10 x 100 = 10% 
18 1 1/20 = 0,05 x 100 = 5% 
19 1 1/20 = 0,05 x 100 = 5% 
 100% 
 
 Qual a idade que aparece com maior porcentagem? 
Novamente utilizamos a frequência relativa, pois foi solicitada a 
porcentagem de alunos que aparecem com maior frequência. Para encontrar o 
resultado, verificamos qual a idade que apresenta maior porcentagem – que 
neste caso é 15 anos – e que representa 35% dos alunos. Observe: 
Idade Frequência (f) fr 
14 4 4/20 = 0,20 x 100 = 20% 
15 7 7/20 = 0,35 x 100 = 35% 
16 5 5/20 = 0,25 x 100 = 25% 
17 2 2/20 = 0,10 x 100 = 10% 
18 1 1/20 = 0,05 x 100 = 5% 
19 1 1/20 = 0,05 x 100 = 5% 
 100% 
 
Até o momento construímos uma distribuição de frequência para uma 
pesquisa com variáveis quantitativas, mas podemos elaborar uma distribuição 
para uma variável qualitativa utilizando os mesmos procedimentos realizados até 
o momento. 
Por exemplo, consideramos uma pesquisa que pretende conhecer a 
preferência de cor de um determinado grupo. Após a coleta de dados foram 
obtidos os seguintes dados brutos (Fonte: 
<http://www.ebah.com.br/content/ABAAAelsYAD/resumo-bioestatistica>): 
 
 
 
10 
Azul Rosa 
Preto Azul 
Azul Rosa 
Rosa Preto 
Azul Preto 
Rosa Preto 
Rosa Rosa 
Amarelo Azul 
Rosa Azul 
Preto Rosa 
 
Neste exemplo temos as cores: azul, rosa, preto e amarelo, e um total de 
20 dados, ou seja, foram pesquisadas 20 pessoas. 
Com estas informações verificamos quantas vezes cada cor aparece na 
pesquisa, e após isso construímos a distribuição de frequência para a variável 
cor preferida: 
Cor Frequência 
Azul 6 
Rosa 8 
Preto 5 
Amarelo 1 
Total 20 
 
Com base na distribuição de frequência verificamos a cor preferida do 
grupo, e podemos calcular a frequência acumulada e relativa. 
 
TEMA 4 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA POR CLASSE 
Imagine realizarmos uma pesquisa em relação à idade de um grupo de 
1.000 pessoas. Quantas idades diferentes podem aparecer? 
Neste caso, se utilizarmos a tabela de distribuição de frequência vista 
anteriormente, teremos muitas linhas que equivalem às idades diferentes que 
aparecerão na pesquisa. Segundo Castanheira (2010), quando o número de 
resultados obtidos em uma pesquisa é demasiadamente grande, é comum 
agruparmos esses resultados em faixas de valores, denominadas de classes ou 
intervalos. 
Você já respondeu a alguma pesquisa em que não é perguntada a sua 
idade, mas sim a faixa de idade à qual você pertence? Por exemplo, não 
 
 
11 
respondemos que temos 25 anos, mas sim que temos entre 20 a 30 anos de 
idade. 
Suponha que a tabela abaixo demonstre a distribuição de frequência da 
idade de um grupo de 100 pessoas: 
 
 
Verificamos que esta tabela possui, na primeira coluna, faixas de valores, 
e não apenas um valor como a distribuição de frequência trabalhada 
anteriormente. Assim, ela recebe o nome de distribuição de frequência por classe 
ou intervalos. Vamos entender como funciona esta distribuição: 
 Classe – é o intervalo do grupo. A tabela indica que 20 pessoas têm entre 
0 e 10 anos e 40 pessoas têm entre 20 e 30 anos. O primeiro grupo é a 
primeira classe (de zero a 10), a segunda linha é a segunda classe (10 a 
20), e assim por diante. Esta tabela é formada por 4 classes. 
 Limites de um intervalo ou classe – são os números extremos de cada 
intervalo ou classe. Aos valores à esquerda de cada classe, damos o 
nome de Limite inferior (Li), e os valores à direita, chamamos de Limite 
superior (Ls) das classes ou intervalos. Desta maneira, na primeira classe 
temos: 
0 – Limite inferior 
10 – Limite superior 
 O símbolo ├ representa que a classe ou intervalo é fechado à esquerda, 
ou seja, o limite inferior pertence ao intervalo e, se aberto à direita, o limite 
superior não pertence ao intervalo. Em nosso exemplo o limite inferior está 
incluído na classe e o limite superior não. Vamos verificar a segunda 
classe 10|--- 20, o 10 faz parte da segunda classe e não da primeira; já o 
20 não faz parte da segunda classe, mas está sendo considerado como 
sendo da terceira classe. Qualquer que seja a idade, ela se encaixa em 
apenas um dosintervalos. 
 Ao subtrair o limite superior do Limite inferior de determinada classe ou 
intervalo, temos a Amplitude do Intervalo ou classe (A): 
 
 
12 
A = Ls –Li 
 
Por exemplo, na segunda classe temos uma amplitude igual a 10, ou seja, 
A = 20 – 10 = 10. Se calcularmos a amplitude para as demais classes 
observamos que todas as classes têm a mesma amplitude, então, na distribuição 
de frequência apresentada as classes têm amplitude igual a 10, ou seja, A = 10. 
Quando trabalhamos com uma distribuição de frequência por classe ou 
intervalo, assumimos que para todo intervalo o resultado é um valor único igual 
ao ponto medido do respectivo intervalo. O Ponto Médio da Classe ou intervalo 
(Pm) é a soma do Limite superior (Ls) com o Limite Inferior (Li) dividido por 2, ou 
seja, o ponto médio é o valor que está no meio do intervalo: 
2
LiLs
Pm


 
Considerando a primeira classe do nosso exemplo, temos o seguinte 
ponto médio: 
5
2
010
2





LiLs
Pm
 
Utilizando a mesma fórmula encontramos o ponto médio das demais 
classes: 
 
 
A distribuição de frequência por classe ou intervalos facilita na 
representação de uma grande quantidade de dados, mas vale lembrar que 
quando agrupamos os dados em faixa de valores não conseguimos ter a 
frequência exata de dados apenas da faixa de valores. Ao resumir os valores 
individuais em intervalos ou classes, estamos conscientes de que algum erro 
pode estar sendo inserido. 
 
 
 
13 
TEMA 5 – NÚMERO DE CLASSES OU INTERVALOS 
Já estudamos os principais conceitos de uma distribuição de frequência 
por classe ou intervalos; e como determinar a quantidade de intervalos? Como 
construir uma distribuição de frequência por classe? 
Para construção de uma Distribuição de Frequência por classes ou 
intervalos seguimos algumas etapas que vão auxiliar na geração da tabela e 
apresentação dos resultados: 
1. Colocar os valores obtidos em ROL; 
2. Calcular a amplitude total = maior valor – menor valor; 
3. Determinar número de classes: não há uma fórmula exata, mas podemos 
utilizar os seguintes métodos: 
Número de Classes = 
 Método de Sturges: i = 
1+3,3.log n , em que n é o número total de observações. 
 
4. Determinar a amplitude da classe: 
 
5. Construir a Distribuição de Frequência por Intervalo de Classe. 
 
Recomenda-se que o número mínimo de intervalos seja igual a 5 e o 
número máximo igual a 20, o que facilita a construção da tabela com um mínimo 
de precisão e de informação. Lembrando que todos os intervalos precisam ter o 
mesmo tamanho, ou seja, a mesma amplitude. 
Vamos considerar os seguintes dados coletados em uma pesquisa 
referente à idade de um grupo de funcionários de uma determinada empresa e 
construir uma tabela de distribuição por classe. 
Dados Brutos: 
24 23 22 28 35 21 23 23 33 34 
24 21 25 36 26 22 30 32 25 26 
33 34 21 31 25 31 26 25 35 33 
 
Amostra
 
 
14 
1. Colocar os valores obtidos em ROL: 
21 21 21 22 22 23 23 23 24 24 
25 25 25 25 26 26 26 28 30 31 
31 32 33 33 33 34 34 35 35 36 
 
2. Calcular a amplitude total = maior valor – menor valor: 
Verificamos no rol qual o maior e o menor valor encontrado nesta pesquisa 
e depois subtraímos para encontrar a amplitude total. 
Maior valor = 36 
Menor valor = 21 
Amplitude total = 36 – 21 = 15 
 
3. Determinar número de classes: temos dois métodos e podemos escolher 
um deles para aplicação, em nosso exemplo vamos resolver das duas 
formas para verificar as diferenças no cálculo: 
 Número de Classes = 
No exemplo, a amostra é igual a 30, que é a quantidade de dados 
apresentada nos dados brutos. 
Número de Classes = 
 Método de Sturges: i = 1+3,3.log n, em que n é o número total de 
observações. 
No exemplo, temos n = 30, assim aplicamos a fórmula: 
i = 1+3,3.log n 
i = 1+3,3.log 30 
i = 1+3,3.1,47712 
i = 1+ 4,87450 
i = 5,87450 = 6 
 
Nos dois métodos arredondamos o valor obtido para o inteiro mais 
próximo à maior, e obtemos o mesmo número de classes, assim nossa 
distribuição vai conter 6 classes. 
 
4. Determinar a amplitude da classe: para o cálculo precisamos da amplitude 
total e o número de classe já calculados nos passos 2 e 3: 
 
Amostra
647723,530 
 
 
15 
Amplitude total = 15 
Número de Classes = 6 
35,2
6
15
A
 
Sempre que a divisão resultar em um número não inteiro, arredondar para 
o inteiro mais próximo e maior que o encontrado na divisão. Desta forma 
nossa distribuição terá uma amplitude de classe igual a 3. 
 
5. Construir a Distribuição de Frequência por Intervalo de Classe: para 
construção da distribuição utilizaremos o rol e a amplitude da classe. 
Rol: 
21 21 21 22 22 23 23 23 24 24 
25 25 25 25 26 26 26 28 30 31 
31 32 33 33 33 34 34 35 35 36 
 
Amplitude das classes = 3 
 
Como nossa amplitude das classes é igual a 3, significa que precisamos 
agrupar os valores de 3 em 3 e assim formaremos nossas classes para 
construção da distribuição. Para construção da primeira classe consideramos o 
primeiro valor, que é 21, ou seja, nosso limite inferior; para encontrar o limite 
superior, somamos 3 e temos 24. Na segunda, seguimos o mesmo raciocínio, 
mas agora começando em 24 mais 3, e o limite superior será 27. Siga este 
procedimento até chegarmos em 6 classes, que é o número de classe que 
precisamos encontrar. 
Para encontrar a frequência de cada classe verificamos quantas vezes o 
os números daquela classe aparecem. Por exemplo, na primeira classe o limite 
inferior é 21 fechado, ou seja, contamos o 21, mas o superior é 24 aberto, não 
sendo considerado no cálculo da frequência, assim contamos apenas os valores 
21, 22 e 23. Verificamos quantas vezes estes valores aparecem, ou seja, a 
frequência destes valores é igual a 8. Repetimos este procedimento para todos 
os valores do rol, e depois formamos a nossa tabela de distribuição de frequência 
conforme segue: 
 
 
 
16 
 
 
TROCANDO IDEIAS 
Verificamos nesta aula os tipos de variáveis e como apresentar os dados 
coletados em uma pesquisa utilizando distribuição de frequência. Você já 
participou de alguma pesquisa que utilizou variáveis quantitativas e qualitativas? 
Que pesquisa era esta? Você teve acesso aos resultados da pesquisa? 
 
NA PRÁTICA 
A Estatística está presente em nosso cotidiano, e nos deparamos 
constantemente com dados e diferentes tipos de variáveis, por isso, saber 
organizar e apresentar dados é de fundamental importância. 
A apresentação de dados por Distribuição de Frequência auxilia na 
geração de informações para uma tomada de decisão mais precisa; desta forma, 
podemos utilizá-la nas diferentes pesquisas realizadas tanto com dados 
quantitativos como qualitativos. Os cálculos da frequência, frequência 
acumulada e relativa auxiliam na geração das informações, dando base para 
diferentes análises e tomadas de decisão, conforme o exemplo apresentado 
neste link: <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/aplicacao-estatistica-
frequencia-absoluta-frequencia-.htm>. 
 
FINALIZANDO 
Nesta aula conhecemos os tipos de variáveis que podem aparecer em 
uma pesquisa; como organizar um dado bruto; como elaborar uma Distribuição 
de Frequência; e como calcular frequência acumulada e relativa além da 
interpretação dos resultados obtidos. Observamos, ainda, a construção e 
diferenças entre uma Distribuição de Frequência e Distribuição de Frequência 
por classe ou Intervalos.17 
REFERÊNCIAS 
CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2010. 
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Pearson, 
2004. 
MARTINS, G. de A. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010.