PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - AULA 1+2+3+4+5+6

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PROBABILIDADE E 
ESTATÍSTICA 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Aline Purcote Quinsler 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
A estatística está presente no nosso dia a dia e nas diferentes áreas, 
sendo que muitas vezes recorremos a ela para tomar decisões. Mas o que é 
estatística e onde podemos utilizá-la? 
Toda ciência que utiliza dados experimentais necessita da estatística 
como método de análise para que o pesquisador chegue a conclusões que 
tenham validade científica. A estatística possui uma vasta aplicação nas 
engenharias e é extremamente importante para qualquer engenheiro, pois 
auxilia no planejamento de novos produtos e sistemas, na melhoria de projetos 
e processos existentes, além de ajudar a entender a variabilidade. 
Martins (2010) comenta que somos expostos a uma quantidade de 
informações numéricas, e que, dependendo das situações, ora somos 
consumidores de informações numéricas, ora precisamos produzi-las. Diante 
disso, necessitamos de conhecimentos e capacitações para compreender 
informações numéricas produzidas por outros, bem como nos habilitar a 
construí-las. Os procedimentos, técnicas e métodos estatísticos são 
fundamentais para o auxílio à execução dessas tarefas. 
Para entender a importância da estatística e a utilização em diferentes 
áreas, aprofundaremos nosso estudo, abordando: 
• a importância da estatística em diferentes campos (leia o artigo: 
<http://www.estatconsultoria.org/2017/06/14/a-importancia-da-
estatistica-em-diferentes-campo/>.); 
• a importância da estatística na engenharia (assista ao vídeo: 
<https://www.youtube.com/watch?v=ahccyeXOxFQ>). 
Nesta aula, estudaremos os principais conceitos da estatística, os 
diferentes tipos de variáveis e como elaborar uma distribuição de frequência e 
uma distribuição de frequência por classe. Além disso, conheceremos as séries 
estatísticas e os tipos de gráficos utilizados na apresentação de dados. 
TEMA 1 – ELEMENTOS DA ESTATÍSTICA 
A estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir 
de dados que fornece métodos para coleta, organização, análise, interpretação 
e apresentação de dados. Podemos representar a estatística como meio entre 
 
 
3 
os dados e a geração das informações, obtendo melhor compreensão das 
situações. 
 
Divide-se basicamente a estatística em duas áreas: descritiva e 
indutiva. A estatística descritiva se preocupa em organizar e descrever um 
conjunto de observações. De acordo com Castanheira (2010), a estatística 
descritiva é um número que, sozinho, descreve uma característica de um 
conjunto de dados, ou seja, é um número resumo que possibilita reduzir os 
dados a proporções mais facilmente interpretáveis. 
Segundo Castanheira (2010), a estatística indutiva, ou inferência 
estatística, é a parte da estatística que, baseando-se em resultados obtidos na 
análise de uma amostra da população, procura inferir, induzir ou estimar as leis 
de comportamento da população da qual a amostra foi retirada. 
A população, utilizada na estatística indutiva, é um conjunto de dados 
que possui certa característica comum; já a amostra é uma pequena parte da 
população. Martins (2010) define população ou universo como a totalidade de 
itens, objetos ou pessoas sob consideração, e amostra, como uma parte da 
população que é selecionada para análise. Por exemplo, quando temos uma 
pesquisa eleitoral, a população é formada por todos os eleitores, e a amostra 
pode ser um grupo de eleitores de uma determinada região, cidade ou bairro. 
Na figura a seguir temos a representação da população e a amostra: 
 
 
4 
 
Considere a produção de parafusos de uma determinada 
empresa cujo comprimento planejado é de 5 cm com uma variação de 
0,02 cm. Um conjunto de 36 parafusos fabricados foi retirado da 
produção para análise de qualidade. Podemos dizer que todos os 
parafusos produzidos estão dentro da especificação? Nesse exemplo, 
temos que a população é o conjunto de todos os parafusos produzidos 
e a amostra é o grupo dos 36 parafusos selecionados. Para responder à 
pergunta anterior, utilizaremos os métodos de inferência estatística, 
analisando a amostra e inferindo o resultado para toda a população, ou 
seja, analisaremos a amostra e, caso esteja dentro da especificação, 
poderemos dizer que toda a produção foi aprovada. 
Quando utilizamos a estatística indutiva, temos associada uma 
margem de incerteza. Isso ocorre pelo processo de generalização. 
Analisamos uma amostra e as características obtidas na amostra são 
inferidas para toda a população, mas como não analisamos toda a 
população, surge a margem de erro, que está associada ao tamanho da 
amostra estudada. 
A estatística descritiva e a estatística indutiva podem ser 
utilizadas em conjunto. Essa utilização pode ser observada na figura a 
seguir: 
 
 
5 
 
Castanheira (2010) comenta que quando pretendemos realizar um 
estudo estatístico em determinada população ou amostra, o trabalho que 
realizamos deve passar por várias fases, que são desenvolvidas até chegarmos 
aos resultados que procurávamos. Para realizar um estudo estatístico e tratar 
dados numéricos, utilizamos o método estatístico, o qual fornece conclusões 
que servirão de base para a tomada de decisão e é dividido nas seguintes 
fases: 
• definição do problema: definir com clareza o que pretendemos 
pesquisar, o objetivo de estudo que desejamos alcançar; 
• delimitação do problema: responder às seguintes perguntas: onde será 
realizada a pesquisa? Com que tipo de pessoas? Em que dias e/ou 
horários?; 
• planejamento: como resolver o problema? Que dados serão 
necessários? Como obtê-los? Será utilizado um questionário? Qual será 
a amostragem? Qual será o tamanho da amostra? Qual será o 
cronograma das atividades? Quanto se gastará para realizar a 
pesquisa?; 
• coleta dos dados: fase operacional, colocar o que foi planejando em 
prática; obtenção dos dados; 
• apuração dos dados: criticar os dados coletados, excluindo os dados 
incompletos ou com erros. Realizar um resumo dos dados por meio de 
uma contagem, fazer separação por tipo de resposta e de agrupamento 
de dados semelhantes, realizar tabulação de dados; 
 
 
6 
• apresentação dos dados: representação dos dados em tabelas e/ou 
gráficos; 
• análise dos dados: ligada ao cálculo de medidas para descrever o 
fenômeno analisado; 
• interpretação dos dados: encontrar as conclusões para o problema. 
TEMA 2 – VARIÁVEIS 
Na utilização de métodos estatísticos e na descrição ou análise 
de um conjunto de dados, dependemos de uma variável que pode 
assumir diferentes valores numéricos ou não numéricos. Essas variáveis 
podem ser classificadas em variáveis qualitativas e variáveis 
quantitativas. 
As variáveis qualitativas estão associadas a uma característica 
que denota qualidade ou atributo, uma característica não numérica. 
Exemplos: 
• sexo: masculino e feminino; 
• cor dos olhos: castanhos, verdes...; 
• desempenho de funcionários: ótimo, bom, ruim; 
• qualidade dos produtos: defeituoso e perfeito; 
• grau de instrução; 
• estado civil. 
Quando uma variável qualitativa apresenta uma ordenação 
natural com intensidades crescentes de realização, ela é chamada de 
qualitativa ordinal. Por exemplo: 
• classe social: baixa, média ou alta; 
• grau de instrução: ensino fundamental, ensino médio, ensino superior, 
pós-graduação. 
A variável que não apresenta uma ordem natural entre seus 
valores é classificada como qualitativa nominal. Exemplos: 
• sexo: masculino ou feminino; 
• cor dos olhos: castanhos, verdes... 
 
 
7 
As variáveis associadas a valores numéricos que representam 
contagens ou medidas são chamadas de variáveis quantitativas. 
Exemplos: 
• altura; 
• peso; 
• idade; 
• número de filhos; 
• número de carros. 
As variáveis quantitativas são classificadas em discretas quando se trata 
de contagem, números inteiros. Exemplos: 
•número de filhos; 
• número de peças produzidas por uma máquina; 
• número de defeitos encontrados em determinado produto; 
• número de carros (0, 1, 2,...). 
Quando a variável trata de medidas, temos as variáveis quantitativas 
contínuas, ou seja, essa variável está associada às medições. Exemplos: 
• altura (1,55m; 1,80m; 1,73m...); 
• peso; 
• comprimento dos parafusos fabricados por certa máquina; 
• resistência à ruptura de cabos produzidos. 
Considerando as definições anteriores, temos que as variáveis recebem 
as seguintes classificações: 
 
 
 
 
8 
TEMA 3 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
Estudamos no Tema 1 o método estatístico, que é composto de 
várias fases, sendo a coleta e a apuração dos dados duas etapas do 
método. Após a fase de coleta dos dados, obtemos os dados originais, 
também chamados de dados brutos, que precisam ser organizados 
para a realização das análises, pois foram transcritos aleatoriamente, 
fora de qualquer ordem. Um conjunto de observações de certo fenômeno 
não organizado fornece poucas informações de interesse do 
pesquisador, por isso precisamos organizá-lo para gerar informações 
úteis e conclusões mais assertivas. 
Suponha que uma pesquisa tenha sido realizada em uma 
máquina em relação à quantidade de peças produzidas com defeito e 
para essa pesquisa tenham sido coletadas 20 amostras diferentes de 
100 peças. Na primeira amostra, foram inspecionadas as 100 peças e 
separadas 14 com defeito; na segunda amostra, após a verificação das 
100 peças, foram separadas 15 com defeitos, e assim sucessivamente 
até a última amostra, obtendo-se os seguintes resultados: 
14 15 16 17 18 19 14 15 16 17 14 15 16 14 15 16 15 16 15 15 
Podemos organizar os dados brutos em ordem numérica, 
crescente ou decrescente. Essa organização recebe o nome de Rol. 
Colocando os dados em ordem crescente, temos o seguinte Rol: 
14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 
O Rol é a nossa primeira organização, mas podemos melhorar 
ainda mais agrupando os valores. Ao número de vezes que um mesmo 
número se repete, denominamos de frequência ou frequência 
absoluta (f). 
No nosso exemplo, 14 defeitos se repetem 4 vezes; isso significa 
que esse número de defeitos possui frequência igual a 4. O mesmo 
ocorre com 15 defeitos que possuem frequência igual a 7, 16 defeitos 
que possuem frequência igual a 5, 17 defeitos que possuem frequência 
igual a 2, e os defeitos 18 e 19, aparecendo uma única vez cada, com 
uma frequência igual a 1. Ou seja, 4 amostras apresentaram quantidade 
 
 
9 
de produtos com defeito igual a 14, 7 amostras igual a 15 defeitos, e assim 
sucessivamente para as demais amostras analisadas na pesquisa. 
Para facilitar ainda mais a interpretação, a frequência pode ser 
organizada em uma tabela chamada de distribuição de frequência. Uma 
distribuição de frequência é a apresentação dos resultados de uma pesquisa 
por meio de uma tabela que mostra a frequência de ocorrência de cada 
resultado. 
Voltando na pesquisa em relação à quantidade de defeitos produzidos 
por certa máquina, já encontramos a frequência de cada defeito e agora vamos 
organizar os dados e as frequências na tabela de distribuição de frequência. 
Essa tabela contém duas colunas: a primeira com os dados apresentados na 
pesquisa e a segunda com a frequência com que cada dado aparece. Em nossa 
pesquisa, os dados se referem aos defeitos. Dessa forma, temos a seguinte 
tabela de distribuição de frequência: 
 
Defeitos 
 
Frequência (f) 
14 4 
15 7 
16 5 
17 2 
18 1 
19 1 
 
Analisando a tabela de distribuição de frequência anterior, temos que 4 
amostras analisadas apresentaram 14 peças com defeitos, 7 amostras 
apresentaram 15 peças com defeitos, 5 amostras apresentaram 16 peças com 
defeitos, 2 amostras apresentaram 17 defeitos, 1 amostra apresentou 18 
defeitos e 1 amostra apresentou 19 defeitos totalizando as 20 amostras 
analisadas. 
Além das frequências simples, podemos incluir na tabela de distribuição 
a frequência acumulada e a frequência relativa. A frequência absoluta 
acumulada, ou apenas frequência acumulada (fa), é o somatório das 
frequências. Para calcular, repetimos o primeiro valor e somamos com o 
próximo até a última frequência. Verifique na tabela abaixo o cálculo da 
frequência acumulada com base em nosso exemplo: 
 
 
10 
Defeitos Frequência (f) fa 
14 4 4 
15 7 11 
16 5 6 
17 2 18 
18 1 19 
19 1 20 
 
Observe que o valor final encontrado na frequência acumulada 
sempre é igual à quantidade de dados que temos na pesquisa. Se 
contarmos a quantidade de valores fornecidos no dado bruto, temos 20 
dados, que é exatamente o valor final que encontramos. 
Atrelado ao conceito de frequência absoluta, temos o conceito de 
frequência relativa (fr) de uma variável, que é a divisão entre a frequência 
absoluta (f) e o número de elementos (N) da amostra, ou seja: 
 
onde N = , isto é, N é igual a soma das frequências. A frequência relativa 
frequentemente é representada na forma de porcentagem, facilitando a 
interpretação e gerando informações importantes que facilitam a análise dos 
dados. 
No nosso exemplo, temos N = 20, assim calculamos a frequência 
relativa dividindo cada frequência por 20 e depois multiplicando o valor 
por 100 para encontrarmos o resultado em porcentagem. Se somarmos 
as porcentagens encontradas o valor final será sempre 100%. 
Defeitos Frequência (f) fr 
14 4 4/20 = 0,20 x 100 = 
20% 
15 7 7/20 = 0,35 x 100 = 
35% 
16 5 5/20 = 0,25 x 100 = 
25% 
N
ff r =
å f
 
 
11 
17 2 2/20 = 0,10 x 100 = 
10% 
18 1 1/20 = 0,05 x 100 = 
5% 
19 1 1/20 = 0,05 x 100 = 
5% 
Total 20 100% 
 
Com base na tabela de distribuição de frequência, com as frequências 
acumulada e relativa podemos realizar várias análises. No nosso exemplo, 
podemos ter as seguintes perguntas: 
• quantas amostras apresentaram quantidade de defeitos menor ou igual 
a 16? 
• qual é a porcentagem de amostras que possui defeitos menores ou 
iguais a 16? 
• qual é a quantidade de defeitos que aparece com maior porcentagem? 
Para responder às perguntas, analisaremos a tabela de frequências 
acumulada e relativa que elaboramos anteriormente. 
• quantas amostras apresentaram quantidade de defeitos menor ou igual 
a 16? 
Para responder a essa pergunta, analisaremos a tabela da fa. Se quisermos 
quantidade de defeitos menor ou igual a 16, significa que podemos ter 
quantidade de defeitos de 14, 15 e 16, verificando a frequência acumulada há 
um total de 16 amostras (4+7+5 =16), conforme tabela a seguir: 
Defeitos 
Frequência 
(f) 
fa 
14 4 4 
15 7 11 
16 5 16 
17 2 18 
18 1 19 
19 1 20 
• qual é a porc 
 
 
12 
 
Como a pergunta solicita porcentagem, utilizaremos a coluna de frequência 
relativa. Como queremos porcentagem de defeitos menor ou igual a 16, 
significa que podem ter 14, 15 e 16 defeitos, somando a frequência relativa, 
temos um total de 80% (20% + 35% + 25% = 80%), ou seja, 80% das amostras 
apresentaram quantidade de defeitos menor ou igual a 16, conforme tabela a 
seguir: 
 
Defeitos Frequência (f) fr 
14 4 4/20 = 0,20 x 100 = 
20% 
15 7 7/20 = 0,35 x 100 = 
35% 
16 5 5/20 = 0,25 x 100 = 
25% 
17 2 2/20 = 0,10 x 100 = 
10% 
18 1 1/20 = 0,05 x 100 = 
5% 
19 1 1/20 = 0,05 x 100 = 
5% 
 100% 
• qual é a quantidade de defeitos que aparece com maior porcentagem? 
Novamente, utilizamos a frequência relativa, pois foi solicitada a 
porcentagem de defeitos que aparecem com maior frequência. Para 
encontrar o resultado, verificamos qual é a quantidade de defeitos que 
apresenta maior porcentagem, que nesse caso é 15, que representa 
35% das amostras: 
Defeitos Frequência (f) fr 
14 4 4/20 = 0,20 x 100 = 
20% 
15 7 7/20 = 0,35 x 100 = 
35% 
 
 
13 
16 5 5/20 = 0,25 x 100 = 
25% 
17 2 2/20 = 0,10 x 100 = 
10% 
18 1 1/20 = 0,05 x 100 = 
5% 
19 1 1/20 = 0,05 x 100 = 
5% 
 100% 
 
A apresentaçãode dados por meio de distribuição de frequência auxilia 
na geração de informações. Dessa forma, podemos utilizá-la nas diferentes 
pesquisas realizadas tanto com dados quantitativos quanto com dados 
qualitativos. Vamos verificar um exemplo da utilização de distribuição de 
frequência em dados qualitativos, conforme exemplo no artigo de Noé (S.d.), 
disponível em: <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/aplicacao-
estatistica-frequencia-absoluta-frequencia-.htm>. 
TEMA 4 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA POR CLASSE 
Você já respondeu alguma pesquisa em que não é perguntada a sua 
idade, mas sim a faixa de idade em que você se encontra? Por exemplo, não 
respondemos que temos 25 anos e, sim, que temos entre 20 e 30 anos de 
idade. A mesma situação pode ocorrer quando a pesquisa gira em torno de 
salário; não respondemos o valor do salário que recebemos e, sim, a faixa 
salarial, ou seja, que recebemos entre 1 e 3 salários mínimos ou entre 4 e 6 
salários mínimos, por exemplo. 
Imagine realizar uma pesquisa em relação à idade de um grupo de 1.000 
pessoas. Quantas idades diferentes podem aparecer? Nesse caso, se 
utilizarmos a tabela de distribuição de frequência, teremos muitas linhas que 
equivalem às idades diferentes que aparecerão na pesquisa. Segundo 
Castanheira (2010), quando o número de resultados obtidos em uma pesquisa 
é demasiadamente grande, é comum agruparmos esses resultados em faixas 
de valores, denominadas de classes ou intervalos. 
Suponha que a tabela a seguir demonstre a distribuição de frequência 
da idade de um grupo de 100 pessoas: 
 
 
14 
Classe f 
0 |-- 
10 
20 
10 
|-- 20 
30 
20 
|-- 30 
40 
30 
|-- 40 
10 
 
Verificamos que essa tabela possui, na primeira coluna, faixas de 
valores e não apenas um valor como a distribuição de frequência. 
Quando isso ocorre, chamamos de distribuição de frequência por classe 
ou intervalos. Nessa distribuição, temos: 
• classe: é o intervalo do grupo. A tabela indica que 20 pessoas têm entre 
0 e 10 anos e 40 pessoas têm entre 20 e 30 anos. O primeiro grupo é a 
primeira classe (de zero a 10), a segunda linha é a segunda classe (10 
a 20), e assim por diante. Essa tabela é formada por 4 classes; 
• os limites de um intervalo ou classe são os números extremos de cada 
intervalo ou classe. Aos valores à esquerda de cada classe, damos o 
nome de limite inferior (Li), e aos valores à direita, limite superior (Ls). 
Na primeira classe, temos: 
0 – limite inferior 
10 – limite superior 
• o símbolo ├ representa que a classe ou o intervalo é fechado à esquerda, 
ou seja, significa que o limite inferior pertence ao intervalo, e, aberto à 
direita, então, o limite superior não pertence ao intervalo. Analisando a 
segunda classe 10|--- 20 temos que 10 faz parte da segunda classe e 
não da primeira, já o 20 não faz parte da segunda classe, mas está 
sendo considerado na terceira. Qualquer que seja a idade ela se encaixa 
em apenas um dos intervalos. 
• ao subtrair o limite superior do limite inferior de determinada classe ou 
intervalo, temos a amplitude do intervalo ou classe (A): 
 
 
15 
A = Ls –Li 
Na segunda classe, temos uma amplitude igual a 10, ou seja, A = 20 – 
10 = 10. Se calcularmos a amplitude para as demais classes, observaremos 
que todas as classes têm a mesma amplitude, então, na distribuição de 
frequência apresentada, as classes têm amplitude igual a 10, ou seja, A = 10. 
Quando trabalhamos com uma distribuição de frequência por classe ou 
intervalo, assumimos que para todo intervalo o resultado é um valor único igual 
ao ponto médio da classe ou intervalo (Pm), que é a soma do limite superior 
(Ls) com o limite inferior (Li) dividido por 2, ou seja, o ponto médio é o valor 
que está no meio do intervalo: 
 
Considerando a primeira classe de nosso exemplo, temos o seguinte 
ponto médio: 
 
Utilizando a mesma fórmula, encontramos o ponto médio das demais 
classes: 
 
Classe f PM 
0 |-- 
10 
20 5 
10 
|-- 20 
30 15 
20 
|-- 30 
40 25 
30 
|-- 40 
10 35 
 
A distribuição de frequência por classe ou intervalos facilita na 
representação de uma grande quantidade de dados, mas vale lembrar que 
2
LiLsPm +=
5
2
010
2
=
+
=
+
=
LiLsPm
 
 
16 
quando agrupamos os dados em faixa de valores não conseguimos ter 
a frequência exata do dado apenas da faixa de valores. 
Já estudamos os principais conceitos de uma distribuição de 
frequência por classe ou intervalos, mas como construir uma distribuição 
de frequência por classe? 
Para a construção de uma distribuição de frequência por classes 
ou intervalos, seguimos algumas etapas que auxiliarão na geração da 
tabela e na apresentação dos resultados: 
1. coloque os valores obtidos em Rol; 
2. calcule a amplitude total = maior valor – menor valor; 
3. determine o número de classes: não há uma fórmula exata, mas 
podemos utilizar os seguintes métodos: 
• número de classes = 
• método de Sturges: i = 1+3,3.log n , onde n é o número total de 
observações. 
4. determine a amplitude da classe: 
 
5. construa a distribuição de frequência por intervalo de classe. 
Recomenda-se que o número mínimo de intervalos seja igual a 5 
e o número máximo, igual a 20, o que facilitará a construção da tabela 
com um mínimo de precisão e de informação. Lembrando que todos os 
intervalos precisam ter o mesmo tamanho, ou seja, a mesma amplitude. 
Considere os seguintes dados coletados em uma pesquisa 
referente à idade de um grupo de funcionários de uma determinada 
empresa e construa uma tabela de distribuição por classe. 
Dados brutos: 
24 23 22 28 35 21 23 23 33 34 
24 21 25 36 26 22 30 32 25 26 
33 34 21 31 25 31 26 25 35 33 
Amostra
 
 
17 
1. coloque os valores obtidos em Rol: 
21 21 21 22 22 23 23 23 24 24 
25 25 25 25 26 26 26 28 30 31 
31 32 33 33 33 34 34 35 35 36 
2. calcule a amplitude total = maior valor – menor valor: 
Verificamos no Rol qual é o maior e qual é o menor valor encontrado 
nessa pesquisa e depois subtraímos para encontrar a amplitude total. 
Maior valor = 36 
Menor valor = 21 
• amplitude total = 36 – 21 = 15 
3. determine o número de classes: temos dois métodos e podemos 
escolher um deles para aplicação. Em nosso exemplo, resolveremos das 
duas formas para verificar as diferenças no cálculo: 
• número de classes = 
No exemplo, a amostra é igual a 30, que é a quantidade de dados 
apresentados nos dados brutos. 
• número de classes = 
• método de Sturges: i = 1+3,3.log n, onde n é o número total de 
observações. 
No exemplo, temos n = 30. Assim, aplicamos a fórmula: 
i = 1+3,3.log n 
i = 1+3,3.log 30 
i = 1+3,3.1,47712 
i = 1+ 4,87450 
i = 5,87450 = 6 
Nos dois métodos, arredondamos o valor obtido para o inteiro mais 
próximo à maior e obtivemos o mesmo número de classe. Assim, nossa 
distribuição vai conter 6 classes. 
Amostra
647723,530 ==
 
 
18 
4. determinar a amplitude da classe: para o cálculo, precisamos da 
amplitude total e o número de classe já calculados nos passos 2 e 3: 
Amplitude total = 15 
Número de classes = 6 
 
Sempre que a divisão resultar em um número não inteiro, 
arredonde para o inteiro mais próximo, maior que o encontrado na 
divisão. Dessa forma, nossa distribuição terá uma amplitude de classe 
igual a 3. 
5. construa a distribuição de frequência por intervalo de classe: para a 
construção da distribuição, utilizaremos o rol e a amplitude da classe. 
• rol: 
21 21 21 22 22 23 23 23 24 24 
25 25 25 25 26 26 26 28 30 31 
31 32 33 33 33 34 34 35 35 36 
• amplitude das classes = 3 
Como nossa amplitude das classes é igual a 3, significa que 
precisamos agrupar os valores de 3 em 3 e assim formaremos nossas 
classes para a construção da distribuição. Para a construção da primeira 
classe, consideramos o primeiro valor, que é 21, ou seja, nosso limite 
inferior. Para encontrar olimite superior, somamos 3 e temos 24. Na 
segunda, seguimos o mesmo raciocínio, mas agora começando em 24 
mais 3. O limite superior será 27. Siga esse procedimento até chegar em 
6 classes, que é o número de classe que precisamos encontrar. 
Para encontrar a frequência de cada classe, verificamos quantas 
vezes os números daquela classe aparece. Por exemplo, na primeira 
classe, o limite inferior é 21 fechado, ou seja, contamos o 21, mas o 
superior é 24 aberto, não sendo considerado no cálculo da frequência. 
Assim, contamos apenas os valores 21, 22 e 23. Verificamos quantas 
vezes esses valores aparecem, ou seja, a frequência desses valores é 
igual a 8. Fazemos esse procedimento para todos os valores do rol e, 
35,2
6
15
===A
 
 
19 
em seguida, formamos a nossa tabela de distribuição de frequência conforme 
o modelo a seguir: 
 
Classe f 
21 |-
- 24 
8 
24 |-
- 27 
9 
27 |-
- 30 
1 
30 |-
- 33 
4 
33 |-
- 36 
7 
36 |-
- 39 
1 
Total 30 
 
Analisaremos mais um exemplo em que temos uma tabela que 
representa o tempo (segundos) para inicialização de um aplicativo. Com base 
nos dados brutos e os passos apresentados anteriormente, elabore a tabela de 
distribuição de frequência por classe e intervalos para praticar o que 
aprendemos até agora: 
3,5 1,9 2,1 1,6 3,1 1,0 1,4 1,8 1,2 1,3 
0,8 1,1 0,5 2,5 1,3 0,7 1,7 1,4 1,3 1,6 
Rol: 
0,5 0,7 0,8 1,0 1,1 1,2 1,3 1,3 1,3 1,4 
1,4 1,6 1,6 1,7 1,8 1,9 2,1 2,5 3,1 3,5 
Distribuição de frequência: 
Tempo (s) f 
0,5 |-
- 1,1 4 
 
 
20 
1,1 |-
- 1,7 9 
1,7 |-
- 2,3 4 
2,3 |-
- 2,9 1 
2,9 |-
-| 3,5 2 
 
Observação: para elaborar a tabela foi utilizado no cálculo do número de 
classes a raiz quadrada da amostra. Caso utilize o método de Sturges, é 
possível elaborar a tabela com 6 classes. 
TEMA 5 – SÉRIES E GRÁFICOS 
Uma das fases do método estatístico, estudado no Tema 1, é a 
apresentação de dados em que podemos utilizar tabelas e gráficos para 
auxiliar na obtenção das conclusões que servirão de base para a tomada 
de decisão. Os gráficos têm como finalidade representar os resultados 
de forma simples, permitindo uma leitura rápida e global dos fenômenos 
estudados. Demonstra a evolução do fenômeno em estudo, e permite 
observar a relação dos valores da série, representar a relação entre 
variáveis e facilitar a compreensão de dados. 
Existem várias maneiras de se representar graficamente os dados 
estatísticos de acordo com o tipo de série. De acordo com Castanheira 
(2010), série estatística é a denominação que se dá a uma tabela na qual 
há um critério distinto que a especifica e a diferencia. Para diferenciar 
uma série estatística de outra, temos que levar em consideração três 
fatores: tempo, local e espécie. Assim, as séries estatísticas são 
classificadas em: 
• séries temporais, históricas ou cronológicas: os dados são apresentados 
em uma faixa de tempo, são produzidos ou observados ao longo do 
tempo. Exemplo: produção anual, faturamento mensal. 
Tabela 1 – Produção de automóveis no Brasil no período de 1980-1982 
 
 
21 
 
Fonte: Fundação Getúlio Vargas, 1986. 
• séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização: os dados são 
apresentados em uma ou mais regiões. Exemplo: produção por região, 
venda por cidade, faturamento por estado. 
Tabela 2 – População mundial, em milhões, segundo o continente 2000 
 
Fonte: Almanaque Abril Mundo, 2001. 
• séries categóricas ou específicas: os dados são agrupados segundo a 
modalidade de ocorrência, têm como característica a variação do fato. 
Exemplo: vendas por produto, faturamento por marca, oferta de trabalho 
por área. 
Tabela 3 – Ofertas de trabalho em São Paulo. Semana de 13-06 a 19-06 de 
1986 
 
 
22 
 
Fonte: Data Folha. 
• séries mistas, conjugadas ou tabelas de dupla entrada: combinação 
entre as séries temporais, geográficas e específicas. Exemplo: 
faturamento mensal dividido por estados, veículos vendidos por regiões 
nos últimos anos. 
Tabela 4 – Evolução da arrecadação de IPVA, em milhões de reais, nos 
Estados do Sul do Brasil, de 2002 a 2005 
 
Fonte: SEFA/RS/SC/PR 
• tabelas de distribuição de frequências: é a apresentação dos resultados 
de uma pesquisa por meio de uma tabela que mostra a frequência de 
ocorrência de cada resultado. 
 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nos diferentes tipos de série, podemos indicar a utilização de 
cada tipo de gráficos. Os principais são: 
• linhas: representa observações feitas ao longo do tempo e são utilizadas 
nas chamadas séries históricas ou temporais. 
Figuras 1, 2 e 3 – Gráficos de linhas 
 
Fonte: Banco Central do Brasil – Balanço de pagamentos. 
 
 
 
Defeitos Freqüência (f) 
14 4 
15 7 
16 5 
17 2 
18 1 
19 1 
 
Tempo (s) f 
0,5 |-- 1,1 4 
1,1 |-- 1,7 9 
1,7 |-- 2,3 4 
2,3 |-- 2,9 1 
2,9 |--| 3,5 2 
 
 
 
24 
 
 
 
 
 
 
• setores: dividem em setores os termos da série e é mais utilizado para 
séries específicas ou geográficas com pequeno número de termos e 
quando se quer salientar a proporção de cada termo em relação ao todo. 
Esse gráfico também é conhecido como gráfico em forma de pizza. 
Figuras 4 e 5 – Gráficos de setores 
 
 
 
 
 
• colunas: representação de uma série por retângulos verticalmente, ou 
seja, representamos a série em colunas e pode ser utilizado nas 
diferentes séries. 
 
 
25 
Figuras 6 e 7– Gráficos de colunas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: IBGE, Atlas geográfico escolar, 7 ed, 2016. 
• barras: representação de uma série por retângulos horizontalmente, ou 
seja, representamos a série em barras e pode ser utilizada nas 
diferentes séries. 
 
 
26 
Figura 8 – Gráfico de barras 
 
Segundo Martins (2010), o gráfico de barras e o gráfico em forma 
de pizza são os gráficos mais comuns para a descrição de dados 
oriundos de variáveis qualitativas. Basicamente, eles mostram as 
frequências de observações para cada nível, ou categoria, da variável 
que se deseja descrever. 
• histograma: representação utilizada nas distribuições de frequências, 
cujos dados foram agrupados em classes ou intervalos de mesma 
amplitude. Cada classe é representada por um retângulo, cuja base é 
igual à amplitude da classe e a área é proporcional à frequência da 
classe. Esse gráfico é o mais adequado para a descrição de dados 
oriundos de variáveis quantitativas com elevada quantidade de 
elementos. 
Figura 9 – Histograma 
 
Para construir um histograma, temos os seguintes passos: 
1. marcar no eixo x (horizontal) às classes; 
2. marcar no eixo y (vertical) as frequências; 
 
 
27 
3. para cada classe, levante as colunas de acordo com cada frequência. 
Considere as idades de 50 funcionários de uma empresa, agrupados 
conforme a tabela a seguir, e, utilizando os passos anteriores, elabore o 
histograma da distribuição. 
 
No eixo x (horizontal), identificamos as classes e no y (vertical), as 
frequências. Note que no eixo x começamos em 18 e identificamos todos os 
valores das classes, finalizando em 66. Já no eixo y, iniciamos com 2, que é a 
nossa menor frequência, e vamos até 13, que é a maior frequência. 
 
Com os eixos prontos, levantaremos as colunas e finalizaremos o 
histograma. Iniciando com a primeira classe de 18 a 25, em que devemos 
levantar a coluna até a frequência 6. Seguindo a mesma orientação para as 
demais classes, obteremos o seguinte histograma: 
 
 
28 
 
Considerando a tabela que obtivemos no exemplo analisado no 
Tema 4, em que elaboramos uma distribuição de frequência que 
representa o tempo (segundos) para inicialização de um aplicativo, 
representaremos a distribuição utilizando o histograma: 
 
Tempo (s) f 
0,5 |-
- 1,1 4 
1,1 |-
- 1,7 9 
1,7 |-
- 2,3 4 
2,3 |-
- 2,9 1 
2,9 |-
-| 3,5 2 
 
 
 
29 
 
Na elaboração dos gráficos, precisamos indicar os seguintes elementos: 
título, escala e fonte que forneceu os dados (que deve ser exibida norodapé 
do gráfico). Esses elementos são importantes, pois auxiliam na interpretação 
dos dados sem a necessidade de inúmeras explicações. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, verificamos que a estatística é dividida em estatística 
descritiva e estatística indutiva. Vimos também que, para gerar informações, 
utilizamos o método estatístico, que é composto de diversas fases para facilitar 
o tratamento de dados numéricos. 
Estudamos os tipos de variáveis que podem aparecer em uma pesquisa, 
como organizar um dado bruto, elaborar uma distribuição de frequência, 
calcular frequência acumulada e relativa além da interpretação dos resultados 
obtidos. Observamos, ainda, a construção e diferenças entre uma distribuição 
de frequência e distribuição de frequência por classe ou intervalos. 
Fechando a nossa aula estudamos os tipos de séries e gráficos que 
facilitam a compreensão, tornando as informações e decisões cada vez mais 
precisas. 
 
 
 
30 
REFERÊNCIAS 
A importância da estatística em diferentes campos. ESTAT, 14 jun. 2017. 
Disponível em: <http://www.estatconsultoria.org/2017/06/14/a-importancia-da-
estatistica-em-diferentes-campo/>. Acesso em: 5 mar. 2020. 
A importância da estatística na engenharia. Yuri Rocon, 9 dez. 2016. 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=ahccyeXOxFQ>. Acesso 
em: 5 mar. 2020. 
CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: Ibpex, 
2010. 
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Pearson, 
2004. 
MARTINS, G. A. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
NOÉ, M. Aplicação de estatística: frequência absoluta e frequência relativa. 
Brasil Escola, S.d. Disponível em: 
<https://brasilescola.uol.com.br/matematica/aplicacao-estatistica-frequencia-
absoluta-frequencia-.htm>. Acesso em: 5 mar. 2020. 
WALPOLE, R. E. et al. Probabilidade e estatística para engenharia e 
ciências. São Paulo: Pearson, 2009. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE E 
ESTATÍSTICA 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Aline Purcote 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Anteriormente, vimos os elementos de estatística, estatística descritiva e 
estatística indutiva, suas variáveis e também como trabalhar com as distribuições 
de frequência. Nesta aula, estudaremos as medidas de posição, com o objetivo 
de apresentar os dados com um valor único, proporcionando a compreensão e 
interpretação das informações que servirão como base para análises e decisões. 
Uma das medidas de posição mais conhecidas e utilizadas é a média. Por 
exemplo, calculamos o consumo médio de combustível de determinado veículo; 
o consumo médio de energia numa residência; a velocidade média durante uma 
viagem; o tempo médio de processamento de um aplicativo; e o preço médio de 
determinado produto. 
TEMA 1 – MEDIDAS DE POSIÇÃO 
Um conjunto de dados pode ser apresentado de forma mais sintética se 
utilizarmos apenas um valor que represente em termos “médios” todo o conjunto 
que tende a se localizar no centro em torno do qual os dados se concentram. 
As principais medidas de posição – também chamadas de medidas de 
tendência central – são a média, a mediana e a moda. Essas medidas podem 
ser aplicadas nos três tipos de dados que já estudamos: dados não agrupados, 
distribuição de frequência e distribuição de frequência por classe ou 
intervalo. 
• Dados não agrupados: dados não apresentados nem agrupados numa 
distribuição de frequência. 
12 13 10 14 16 15 17 14 12 13 
 
 
 
3 
• Dados agrupados numa distribuição de frequência: tabela que 
demonstra a frequência de ocorrência de cada resultado. 
 
• Dados agrupados numa distribuição de frequência por classe: tabela 
que apresenta os dados em faixas de valores, indicando a frequência com 
que cada faixa aparece na pesquisa. 
 
Agora vamos estudar a diferença entre média, mediana e moda, e como 
calcular as medidas para cada tipo de dado apresentado. 
TEMA 2 – MÉDIA 
A média aritmética é uma medida estatística que representa o grau de 
concentração dos valores numa distribuição, ou seja, é nela que a maioria dos 
valores se posiciona. Segundo Oliveira (1999), é o protótipo das medidas de 
tendência central definida como o quociente entre a soma de todos os valores 
da variável e seu número de elementos. 
A média (ou média aritmética) é a medida de posição mais comum, 
representada pelo símbolo X . Ela é definida pela soma dos resultados obtidos 
numa pesquisa dividida pela quantidade de resultados; ou seja, somamos todos 
os valores e o dividimos pela quantidade de dados que temos na pesquisa. 
Quando trabalhamos com dados não agrupados, utilizamos a seguinte 
fórmula para calcular a média: 
N
X
X

= 
Sendo X os dados, e N a quantidade de observações. 
Salário Nº Funcionários
1000|--- 2000 20
2000|--- 3000 18
3000|--- 4000 9
4000|--- 5000 3
 
 
4 
Exemplo 1: uma indústria pretende determinar a duração de certo 
equipamento eletrônico medindo 10 aparelhos (em horas), obtendo os seguintes 
resultados: 
123 116 122 110 175 126 125 111 118 117 
Com base nos dados coletados, determine a média de vida útil do 
equipamento. 
Para calcular a média, precisamos somar os dados e dividi-los por 10, 
descobrindo a quantidade de equipamentos avaliados, ou seja: 
10
117 118 111 125 126 175 110 122 116 123 +++++++++
=X 
3,124
10
1243
==X
 
Logo, o equipamento dura em média 124,3 horas. 
Exemplo 2: uma loja apresentou, durante um ano, o seguinte volume de 
vendas (R$): 2.500, 2.600, 3.100, 15.100, 4.600, 4.000, 4.100, 3.700, 3.400, 
3.600, 3.900 e 4.200. Qual a média mensal de vendas? 
Somamos os valores fornecidos e dividimos por 12: 
12
4200390036003400370041004000460015100310026002500 +++++++++++
=X
67,566.4
12
54800
==X 
Assim, a média mensal de vendas da empresa é R$ 4.566,67. 
Exemplo 3: as exportações de determinado porto brasileiro registraram o 
seguinte movimento durante um ano (em bilhões de reais) (Castanheira, 2010). 
Qual foi a média mensal de exportações (em bilhões de reais)? 
 
 
 
5 
Para encontrar a média, devemos somar os valores mensais de 
exportações segundo a coluna (R$) e depois dividi-los por 12, pois temos 12 
meses: 
 
 
A média mensal de exportações é de 3 bilhões de reais. 
A média é a medida de posição mais utilizada, mas tem um ponto 
negativo, já que é influenciada pelos extremos. Precisamos sempre observar se 
os dados coletados têm valores baixos e altos, pois influenciarão no cálculo da 
medida. 
TEMA 3 – MÉDIA PONDERADA 
Quando os dados se agrupam numa distribuição de frequência, 
calculamos a média aritmética ponderada (ou apenas média ponderada), pois 
cada grandeza envolvida no cálculo tem uma importância diferente, ou seja, 
acontece um número diferente de vezes. Para calcular essa medida, usamos a 
seguinte fórmula e os seguintes passos: 
N
)f.X(
X

= , sendo N =  f 
1. Multiplicamos os dados (X) pela frequência (f) para cada um dos valores 
da distribuição; 
2. Somamos os valores obtidos no Passo 1, ou seja, os resultados da 
multiplicação X.f; 
3. Encontramos o valor de N somando a coluna de frequências; 
4. Dividimos o valor encontrado no Passo 2 pelo valor de N. 
Exemplo 1: uma pesquisa obteve a seguinte distribuição quanto à idade 
dos integrantes de um grupo. Calcule a idade média na seguinte distribuição de 
frequências: 
 
Idade Freqüência
4 4
5 6
6 6
7 4
3
12
36
==X
 
 
6 
1. Multiplique os valores (X), que representam as idades, pela frequência (f), 
representada na segunda coluna, para cada um dos valores da 
distribuição: 
 
2. Some os valores obtidos na multiplicação X.f: 
 
3. Encontre o valor de N somando a coluna de frequências: N= 20. 
Idade Frequência x.f 
4 4 16 
5 6 30 
6 6 36 
7 4 28 
 20 110 
4. Divida o valor encontrado na soma de X.f pelo valor de N. 
Idade Frequência x.f 
4 4 16 
5 6 30 
6 6 36 
7 4 28 
 20 110 
 
 
5,5
20
110
==X 
Assim, a idade média dessegrupo é de 5,5 anos. 
Idade Freqüência x.f
4 4 16
5 6 30
6 6 36
7 4 28
110
 
 
7 
Exemplo 2: uma indústria avaliou 30 aparelhos produzidos, apresentando 
os seguintes números de defeitos por aparelho: 
 
Qual o número médio de defeitos? 
Vamos primeiro multiplicar X.f e, depois de somar os valores obtidos, 
encontrar o valor de N; por último, dividimos para encontrar a média: 
Número de 
defeitos 
f X.f 
0 12 0 
1 8 8 
2 7 14 
3 1 3 
4 2 8 
 30 33 
 
 
1,1
30
33
==X 
A média de defeitos nos aparelhos inspecionados é de 1,1 defeito. 
Quando temos uma distribuição de frequências representada em 
intervalos ou classes, a média ponderada é calculada ao substituirmos os valores 
de X, na fórmula, pelo ponto médio (PM) de cada intervalo, ou seja: 
X = 
N
)f.PM(
 
Para calcular a média numa distribuição de frequência por classe, 
consideramos os passos a seguir. 
 
 
Número de 
defeitos
f
0 12
1 8
2 7
3 1
4 2
 
 
8 
1. Calculamos o ponto médio de cada classe aplicando a seguinte fórmula: 
2
LiLs
Pm
+
= 
2. Para cada um dos valores da distribuição, multiplicamos o ponto médio 
(PM) pela frequência (f); 
3. Somamos os valores obtidos na multiplicação PM.f ; 
4. Somamos a coluna de frequências para encontrar o valor de N; 
5. Dividimos o valor encontrado na soma de PM.f pelo valor de N. 
Exemplo 1: uma pesquisa indicou a altura dos funcionários de 
determinada empresa. Com base nos dados obtidos na pesquisa, calcule a 
média das alturas. 
 
Para calcular a média numa distribuição de frequência por classe, 
aplicamos os seguintes passos: 
• Calculamos o ponto médio de cada classe. 
Primeira classe: 
152
2
304
2
150154
2
==
+
=
+
=
LiLs
PM 
Aplicando o mesmo cálculo para as demais classes, temos: 
 
 
 
 
9 
• Para todas as classes, multiplicamos o ponto médio (PM) pela 
frequência (f): 
 
• Somamos os valores obtidos na multiplicação PM.f: 
 
• Somamos a coluna de frequências para encontrar o valor de N: 
 
• Dividimos o valor da soma de PM.f pelo valor de N: 
 
 
 
161
40
6440
==X 
A média da altura dos funcionários é 161 cm. 
 
 
10 
Exemplo 2: uma empresa inspecionou 50 componentes eletrônicos para 
determinar seu tempo de vida útil, obtendo a seguinte distribuição. 
• Calculamos o tempo médio de vida desse componente. 
Tempo (horas) Frequência 
1200 |--- 1300 1 
1300 |--- 1400 3 
1400 |--- 1500 11 
1500 |--- 1600 20 
1600 |--- 1700 10 
1700 |--- 1800 3 
1800 |--- 1900 2 
Iniciamos calculando o ponto médio e depois o multiplicamos pela 
frequência. Somados os resultados obtidos na multiplicação, dividimos por N 
para encontrar a média. 
Tempo (horas) Frequência PM PM.f 
1200 |--- 1300 1 1250 1250 
1300 |--- 1400 3 1350 4050 
1400 |--- 1500 11 1450 15950 
1500 |--- 1600 20 1550 31000 
1600 |--- 1700 10 1650 16500 
1700 |--- 1800 3 1750 5250 
1800 |--- 1900 2 1850 3700 
 50 77700 
1554
50
77700
==X 
O tempo médio de vida útil dos componentes eletrônicos é 1.554 horas. 
TEMA 4 – MEDIANA 
A segunda medida de posição é a mediana, que representamos por Md e 
indica o elemento que ocupa a posição central. Essa medida divide a distribuição 
em 50%, ou seja, é o valor que divide o conjunto de dados em duas partes iguais. 
 
 
 
11 
Figura 1 – Mediana 
 
Para dados não agrupados, a mediana é o valor que divide a série 
ordenada em dois conjuntos de igual tamanho, ou seja, com o mesmo número 
de valores. Segundo Castanheira (2010), é necessário observar que a 
quantidade de dados pode ser par ou ímpar. Sendo ímpar, o valor da mediana é 
o valor que está no centro da série; sendo par, a mediana será a média aritmética 
dos dois valores no centro da série. 
Quando temos os dados não agrupados, os passos para calcular a 
mediana são: 
• Colocar os dados em ordem; 
• Encontrar o valor de N, que é igual ao número de observações, 
quantidade de dados da série; 
• Verificar se N é ímpar ou par; 
• Encontrar a posição da mediana pela fórmula: posição = 
2
N
; 
• Calcular a mediana, considerando se N é par ou ímpar: 
o Ímpar = valor central; 
o Par = média dos valores centrais. 
Exemplo 1: calcule a mediana da série 2, 5, 6, 8, 10, 13, 15, 16, 18. 
• Ordenar a série: nesse exemplo os dados já estão ordenados; 
• Encontrar o valor de N, contando quantos dados temos na série. Nesse 
caso, N = 9; 
• Verificar se N é ímpar ou par: N = 9 é ímpar; 
• Calcular posição. 
Posição = 55,4
2
9
2
===
N
 
Observação: caso a posição apresente um número com vírgula, 
arredonde para o inteiro mais próximo. 
 
 
12 
• Procure na série ordenada o número na posição 5. Assim, o número 2 
está na primeira posição, o número 5 na segunda etc. Seguindo esse 
processo, temos o número 10 na quinta posição: 2, 5, 6, 8, [10], 13, 15, 
16, 18. 
Como N é ímpar, a mediana é o valor central. Assim, a mediana é igual a 
10, pois abaixo de 10 temos 4 números (2, 5, 6, 8), e acima de 10 também (13, 
15, 16, 18). 
Exemplo 2: calcule a mediana da série: 1, 6, 3, 10, 9, 8. 
Passos: 
• Ordenar a série: 1, 3, 6, 8, 9, 10; 
• Encontrar o valor de N, contando quantos dados temos na série. Logo, 
N = 6; 
• Verificar se N é ímpar ou par: N = 6 é par; 
• Calcular posição. 
3
2
6
2
==N 
• Como N é par, precisamos encontrar dois valores centrais. Logo, vamos 
procurar na série ordenada o número que está na posição 3 e a próxima 
posição, que é a 4. Na posição 3 temos o número 6, e na posição 4, o 
número 8: 1, 3, [6], [8], 9, 10. 
Para encontrar a mediana, calculamos a média entre os dois valores 
centrais, somando-os e dividindo-os por 2: 
Md = 7
2
14
2
86
==
+
 
A mediana também pode ser calculada numa distribuição de frequências 
pelos seguintes passos: 
1. Encontre o valor de N, que é igual à soma das frequências; 
2. Determine se N é par ou ímpar; 
3. Calcule a frequência acumulada (fa); 
4. Calcule a posição N/2; 
5. Identifique na frequência acumulada a posição calculada no Passo 4. 
Sempre busque um valor igual ou maior que a posição calculada; 
 
 
13 
6. Calcule a mediana: 
o Ímpar = valor central; 
o Par = média dos valores centrais. 
Exemplo 3: uma indústria avaliou 30 aparelhos produzidos, apresentando 
os seguintes números de defeitos por aparelho: 
 
Qual a mediana dessa distribuição? 
Para determinar a mediana, seguimos os passos indicados: 
1. Encontre o valor de N; para isso, somamos as frequências, e temos 
N = 30: 
 
2. Determine se N é par ou ímpar; N = 30, então N é par; 
3. Calcule a frequência acumulada; para isso, repetimos a primeira 
frequência e somamos com a seguinte frequência: 
Número de defeitos f fa 
0 12 12 
1 8 20 
2 7 27 
3 1 28 
4 2 30 
 
 
 
 
14 
4. Calcule a posição: 
Posição = 15
2
30
2
==
N
 
5. Identifique, na frequência acumulada, a posição encontrada no Passo 4. 
Como N é par, precisamos de dois valores centrais;, ou seja, vamos 
encontrar o valor que está na posição 15 e na 16. Na coluna da frequência 
acumulada, procuramos valor igual ou maior que a posição; nesse caso, 
procuramos valores iguais ou maiores que 15 e 16. Esses números (15 e 
16) estão na frequência acumulada igual a 20, que tem dado igual a 1. 
 
 
Posição 15 = 1; 
Posição 16 = 1. 
6. Some os dados encontrados nas posições para calcular a mediana: 
Md = 1
2
2
2
11
==
+
 
A mediana dessa distribuição é igual a 1, ou seja, 50% dos aparelhos 
avaliados têm até 1 defeito. 
Exemplo 4: uma pesquisa foi feita em diferentes lojas para avaliar o preço 
de determinado produto. Com base na seguinte distribuição, calcule a mediana: 
 
 
 
Preço Frequência
73 2
75 10
77 12
79 5
81 2
Número de defeitos f fa 
0 12 12 
1 8 20 
2 7 27 
3 1 28 
4 2 30 
 
 
15 
1. Inicialmente, encontramos o valor de N, que é a soma das frequências: 
 
2. Verificamos se o valor de N encontrado no Passo 1 é par ou ímpar; como 
N é 31, então é ímpar; 
3. Com base na coluna de frequências, calculamosa frequência acumulada: 
 
4. Calculamos a posição da mediana utilizando a seguinte fórmula: 
Posição = 165,15
2
31
2
===N 
5. Identificamos a posição na coluna de frequência acumulada, procurando 
um valor igual ou maior que 16. Esse número está na frequência 
acumulada igual a 24, que tem dado igual a 77; 
6. Como N é um número ímpar, a mediana será o valor encontrado na 
posição 16; ou seja, a mediana é igual a 77. 
Assim, 50% dos locais comercializam o produto por até R$ 77. 
Quando temos uma distribuição de frequência com os dados agrupados 
por classes, utilizamos os seguintes passos para calcular a mediana: 
1. Some as frequências para encontrar o valor de N; 
2. Calcule a posição da mediana pela divisão 
2
N
; 
3. Calcule frequência acumulada (fa); 
Preço Frequência
73 2
75 10
77 12
79 5
81 2
31
Preço Frequência fa
73 2 2
75 10 12
77 12 24
79 5 29
81 2 31
31
 
 
16 
4. Identifique a posição calculada no Passo 2 na frequência acumulada. 
Lembre-se que buscamos um valor igual ou maior que a posição calculada 
no Passo 2; 
5. Calcule a mediana aplicando a seguinte fórmula: 
Md = Li + 
A
f
fN
Md
ant .
)2/( − 
Sendo: 
• Li = limite inferior da classe que contém a mediana; 
• N = número de observações, ou seja, soma das frequências; 
•  antf = soma das frequências anteriores à classe que contém a mediana; 
• A = amplitude das classes: A = Ls − Li; 
• Mdf = frequência da classe que contém a mediana. 
Exemplo 5: uma empresa inspecionou 50 componentes eletrônicos para 
determinar seu tempo de vida útil, obtendo a distribuição a seguir. Calcule a 
mediana. 
Tempo (horas) Frequência 
1200 |--- 1300 1 
1300 |--- 1400 3 
1400 |--- 1500 11 
1500 |--- 1600 20 
1600 |--- 1700 10 
1700 |--- 1800 3 
1800 |--- 1900 2 
Vamos aplicar os passos para calcular a mediana dessa distribuição: 
 
 
 
 
 
 
 
17 
• Encontre o valor de N, que é igual à soma das frequências: 
Tempo (horas) Frequências 
1200 |--- 1300 1 
1300 |--- 1400 3 
1400 |--- 1500 11 
1500 |--- 1600 20 
1600 |--- 1700 10 
1700 |--- 1800 3 
1800 |--- 1900 2 
 50 
• Calcule a posição: 
Posição = 25
2
50
2
==
N
 
• Calcule a frequência acumulada (fa): 
Tempo (horas) Frequência fa 
1200 |--- 1300 1 1 
1300 |--- 1400 3 4 
1400 |--- 1500 11 15 
1500 |--- 1600 20 35 
1600 |--- 1700 10 45 
1700 |--- 1800 3 48 
1800 |--- 1900 2 50 
• Identifique a posição calculada no Passo 2, na frequência acumulada. 
Temos que a posição é 25, então buscamos um valor igual ou maior na 
coluna de frequência acumulada: 
Posição = 25, identificada na quarta classe. 
 
 
 
 
 
18 
 antf
Tempo (horas) Frequência fa 
1200 |--- 1300 1 1 
1300 |--- 1400 3 4 
1400 |--- 1500 11 15 
1500 |--- 1600 20 35 
1600 |--- 1700 10 45 
1700 |--- 1800 3 48 
1800 |--- 1900 2 50 
• Aplique a fórmula para obter a mediana: 
Md = Li + 
A
f
fN
Md
ant .
)2/( − 
Identificamos no Passo 4 a posição na quarta classe. Assim, essa classe 
será utilizada como base para os cálculos, sendo: 
• Li = 1500; 
• 25
2
50
2
==
N
;
 
•  antf = soma das frequências anteriores à classe que contém a mediana. 
Consideramos o valor anterior à classe na coluna de frequência 
acumulada. Assim, o valor procurado é igual a 15. 
• Mdf = frequência da classe que contém a mediana = 20. 
Tempo (horas) Frequência fa 
1200 |--- 1300 1 1 
1300 |--- 1400 3 4 
1400 |--- 1500 11 15 
1500 |--- 1600 20 35 
1600 |--- 1700 10 45 
1700 |--- 1800 3 48 
1800 |--- 1900 2 50 
A = Ls − Li = 1600 − 1500 = 100 
Com os valores descritos, aplicamos a fórmula para encontrar o valor da 
mediana: 
 
 
19 
A
Md
f
ant
fN
i
LMd .
)2/( −
+=
 
100.
20
)1525(
1500
−
+=Md
 
100.
20
)10(
1500 +=Md
 
 
1550501500 =+=Md 
A mediana é igual a 1.550, ou seja, 50% dos componentes têm tempo de 
vida útil de até 1.550 horas. 
Exemplo 6: A tabela a seguir representa as notas obtidas por um grupo 
de 58 alunos matriculados em determinada disciplina. Calcule a mediana. 
 
Fonte: Purgote, 2020, com base em Shiguti; Shiguti, 2006. 
Para calcular a mediana, seguimos os passos já mencionados: 
• Encontre o valor de N, que é igual à soma das frequências: 
 
• Calcule a posição: 
Posição = 29
2
58
2
==
N
 
20
1000
1500 +=Md
 
 
20 
• Calcule a frequência acumulada (fa): 
 
• Identifique na frequência acumulada a posição calculada no Passo 2. 
Posição = 29, identificada na terceira classe. 
 
• Calcule a mediana utilizando a fórmula: 
Md = Li + 
A
f
fN
Md
ant .
)2/( − 
Como a posição foi identificada na terceira classe, essa classe será 
utilizada como base para os cálculos, sendo: 
• Li = 55; 
• 29
2
58
2
==
N
;
 
•  antf = soma das frequências anteriores à classe que contém a mediana 
= 17; 
• Mdf = frequência da classe que contém a mediana = 18; 
• A = Ls − Li = 65 − 55 = 10. 
 
 
21 
 antf
 
Com todos os dados necessários, aplicamos a fórmula para encontrar a 
mediana: 
 
Temos que a mediana é igual a 61,67, ou seja, 50% dos alunos obtiveram 
nota de até 61,67 pontos. 
No Tema 2 vimos que a média tem um ponto negativo, já que é 
influenciada pelos extremos. Na mediana isso não ocorre, pois ela reflete a 
tendência central, de modo que não é influenciada por valores extremos ou 
discrepantes. 
TEMA 5 – MODA 
Nos demais temas vimos a diferença entre média e mediana; agora vamos 
trabalhar com a moda. Representada por Mo, a moda indica o valor que ocorre 
o maior número de vezes, ou seja, que mais se repete. É aquele valor que tem 
a maior frequência. 
Quando calculamos a moda, podemos ter três situações: 
1. Distribuição modal: quando temos apenas uma moda, ou seja, ao 
calcular a moda, temos apenas um valor; 
2. Distribuição bimodal: quando temos dois ou mais valores para moda; 
3. Distribuição amodal: não há repetição de valores, logo, não temos 
moda. 
Para obter a moda numa série de dados formada por dados não 
agrupados, verificamos o valor que mais se repete. 
Exemplo 1: vamos observar a seguinte série: 7, 10, 9, 8, 12, 10, 11, 10. 
Verificamos que o número 10 aparece 3 vezes; portanto a moda é igual a 10. 
 
 
22 
Exemplo 2: encontre a moda da seguinte série: 3, 5, 8, 10, 12. 
Observando a série, percebemos que todos os valores aparecem uma única vez. 
Logo, a série não apresenta moda, isto é, a série é amodal. 
Exemplo 3: qual a moda da seguinte série? 4, 3, 2, 4, 5, 7, 6, 4, 7, 9, 8, 7. 
Tanto o número 4 quanto o número 7 aparecem 3 vezes; assim, temos duas 
modas (Mo = 4 e Mo = 7); logo, a série é bimodal. 
De acordo com Martins (2010), para distribuições simples, sem 
agrupamento em classes, a identificação da moda é facilitada pela simples 
observação do elemento que apresenta maior frequência. Assim, verificamos na 
coluna de frequência o maior valor, e a moda será o valor de X, que está na 
primeira coluna. 
Exemplo 4: uma indústria avaliou 30 aparelhos produzidos, apresentando 
os seguintes números de defeitos por aparelho. Com base nos dados obtidos, 
calcule a moda. 
Número de defeitos F 
0 12 
1 8 
2 7 
3 1 
4 2 
Como temos uma distribuição de frequência, vamos verificar na coluna de 
frequência o maior valor. Assim, temos que a maior frequência é 12. A moda é 
identificada pelo dado da primeira coluna; ou seja, a moda é igual a zero 
(Mo = 0). 
Número de defeitos F 
0 12 
1 8 
2 7 
3 1 
4 2 
 
Para calcular a moda numa distribuição de frequências com dados 
agrupados em classes, aplicamos os seguintes passos: 
 
 
23 
1. Identificamos em que classe se encontra a moda; 
2. Determinamos o valor da moda utilizando a seguinte fórmula: 
Mo = Li + 
postant
post
ff
A.f
+
 
Sendo: 
• Li = limite inferior da classe que contém a moda; 
• postf = frequência da classe posterior à classe que contém a moda; 
• antf = frequência da classe anterior à classe que contém a moda; 
• A = amplitude das classes: A = Ls – Li. 
Exemplo 5: a tabela a seguir representaas notas obtidas por um grupo 
de 58 alunos matriculados numa determinada disciplina. Calcule a moda. 
 
Fonte: Purgote, 2020, com base em Shiguti; Shiguti, 2006. 
Passos para determinar a moda: 
1. Identificamos a classe que apresenta a maior frequência de ocorrência. A 
maior frequência é 18, assim, a moda se localiza na classe: 55|---- 65. 
 
2. Considerando a classe identificada no Passo 1 (55|----65), determinamos 
o valor da moda utilizando a fórmula, sendo: 
o Li = 55 
o postf = frequência da classe posterior à classe que contém a moda = 14 
 
 
24 
o antf = frequência da classe anterior à classe que contém a moda = 12 
 
o A = Ls − Li = 65 − 55 = 10 
o 
1412
10.14
55
+
+=Mo
 
o 
26
140
55+=Mo
 
o 38,6038,555 =+=Mo 
A nota que aparece com mais frequência (ou que mais se repete) é 60,38; 
ou seja, a moda é igual a 60,38. 
Exemplo 6: uma empresa inspecionou 50 componentes eletrônicos para 
determinar seu tempo de vida útil, obtendo a distribuição a seguir. Calcule a 
moda. 
 
Tempo (horas) Frequências 
1200 |--- 1300 1 
1300 |--- 1400 3 
1400 |--- 1500 11 
1500 |--- 1600 20 
1600 |--- 1700 10 
1700 |--- 1800 3 
1800 |--- 1900 2 
• Identifique em que classe se encontra a moda. A maior frequência é 18; 
assim, a moda está localizada na classe: 1500 |--- 1600; 
• Determine o valor da moda utilizando a fórmula, sendo: 
o Li = 1500 
o postf = frequência da classe posterior à classe que contém a moda = 10 
 
post
f
 
ant
f
 
 
25 
o antf = frequência da classe anterior à classe que contém a moda = 11 
o A = Ls − Li = 1600 − 1500 = 100 
o 
1011
100.10
1500
+
+=Mo
 
o 
21
1000
1500 +=Mo
 
o 62,154762,471500 =+=Mo 
FINALIZANDO 
Nesta aula, verificamos a diferença entre cada medida de posição (média, 
mediana e moda), seus cálculos, aplicações e interpretações dos resultados 
para dados não agrupados, distribuição de frequência e distribuição de 
frequência por classe. 
 
 
 
26 
REFERÊNCIAS 
CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2010. 
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Pearson, 
2004. 
MARTINS, G. A. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
OLIVEIRA, F. E. M. Estatística e probabilidade. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
SHIGUTI, W. A.; SHIGUTI, V. S. C. Apostila de estatística. Brasília, DF: [S.n.], 
2006. Disponível em: 
<http://www.inf.ufsc.br/~paulo.s.borges/Download/Apostila5_INE5102_Quimica.
pdf>. Acesso em: 20 out. 2020. 
WALPOLE, R. E. et al. Probabilidade e estatística para engenharia e 
ciências. São Paulo: Pearson, 2009. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE E 
ESTATÍSTICA 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Aline Purcote Quinsler 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Na Aula 2, estudamos as medidas de posição, chegando a um único 
valor que apresenta uma ideia de todo o conjunto, mas essas medidas não 
descrevem detalhadamente o comportamento dos dados. Assim, podemos 
utilizar as medidas de dispersão para complementar nossas análises e tomar 
decisões mais assertivas. 
Segundo Castanheira (2010, p. 78), as chamadas medidas de dispersão 
são medidas utilizadas para verificar o quanto os valores encontrados em uma 
pesquisa estão dispersos ou afastados em relação à média. 
As medidas de dispersão verificam o grau de variação existente entre os 
dados, ou seja, se os valores apresentados estão dispersos ou afastados uns 
dos outros. Por exemplo, considere o valor de um equipamento eletrônico nos 
últimos cinco meses: 
Mês Valor 
1 500 
2 1.500 
3 1.800 
4 2.200 
5 2.500 
 
Se calcularmos a média dos últimos cinco meses, teremos um valor 
médio de R$ 1.700,00, mas, analisando os valores apresentados na tabela, 
percebemos que há valores diferentes, abaixo e acima da média calculada, ou 
seja, existe uma dispersão. Mas qual é essa variação? Para responder a essa 
questão será necessário utilizar as medidas de dispersão, pois só as medidas 
de posição não são conclusivas. 
Nesta aula, estudaremos as medidas de dispersão e como calcular e 
interpretar os resultados obtidos, além das medidas de assimetria e curtose. 
TEMA 1 – MEDIDAS DE DISPERSÃO 
A análise realizada pelas medidas de posição pode ser complementada 
com a utilização das medidas de dispersão. Segundo Castanheira (2010), as 
medidas de dispersão servem para verificar com que confiança as medidas de 
 
 
3 
posição resumem as informações fornecidas pelos dados obtidos em uma 
pesquisa. 
As medidas de dispersão indicam se os dados estão afastados da região 
central, medindo o grau de variação existente entre os valores, e servem 
também para medir a representatividade da média. 
Considere uma pesquisa que represente o preço de dois produtos (A e 
B) em diferentes pontos de venda: 
A: 20, 20, 20 
B: 15, 10, 20, 25, 30 
Ao calcular a média de preço, obtemos o valor igual a R$ 20,00 para os 
dois produtos, mas, analisando os valores, temos que no produto A não há 
variação entre os preços; já no produto B, temos preços diferentes, ou seja, a 
média é de R$ 20,00, e encontramos o produto por R$10,00 e R$30,00. Logo, 
para o mesmo produto, encontramos diferenças entre os preços. Assim, os 
valores apresentam dispersão em torno da média. 
Dentre as medidas de dispersão, podemos citar a amplitude total, o 
desvio médio, a variância e o desvio padrão. 
A amplitude total é considerada a medida de dispersão mais simples, e é 
calculada pela diferença entre o maior e o menor valores de uma série de 
dados: 
A = maior – menor 
Se o resultado encontrado para a amplitude for um número elevado, 
significa que os valores da série estão afastados uns dos outros. Caso o valor 
encontrado seja baixo, os valores da série estão próximos uns dos outros. 
Dessa forma, quanto maior a amplitude, maior a dispersão dos valores. 
Exemplo 1 
Considere os valores 40, 45, 48, 62 e 70. Calcule a amplitude total. 
Para encontrar a amplitude, precisamos do maior e do menor valor para 
depois realizar a diferença: 
Maior valor = 70 
Menor valor = 40 
Amplitude = 70 – 40 = 30 
 
 
4 
Exemplo 2 
Qual é a amplitude do preço pago por um equipamento eletrônico nos últimos 
cinco meses? 
Mês Valor 
1 500 
2 1.500 
3 1.800 
4 2.200 
5 2.500 
Maior valor = 2.500 
Menor valor = 500 
Amplitude = 2.500 – 500 = 2.000 
Segundo Castanheira (2010), para o caso de os dados estarem 
agrupados em classes, o cálculo da amplitude total pode ser realizado de duas 
formas: 
1. pelos pontos médios das classes. Nesse caso, a amplitude total é igual 
ao ponto médio da última classe, menos o ponto médio da primeira 
classe; 
2. pelos limites das classes. Nesse caso, a amplitude total é igual ao limite 
superior da última classe, menos o limite inferior da primeira classe. 
Exemplo 3 
Qual é a amplitude da seguinte distribuição? 
 
 
 
 
5 
Calcule a amplitude considerando as duas formas citadas anteriormente: 
1. pelo ponto médio das classes. Nesse caso, para calcular a amplitude 
total, precisamos encontrar o ponto médio da última classe e o ponto 
médio da primeira classe para depois realizar a diferença. Lembre-se de 
que o ponto médio é calculado pela fórmula: 
2
LiLs
Pm

 
Ponto médio da última classe: 
172
2
344
2
170174


Pm 
Ponto médio da primeira classe: 
152
2
304
2
150154


Pm 
Amplitude = 172 – 152 = 20 cm 
2. pelos limites das classes. Para calcular a amplitude total, precisamos 
encontrar o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira 
classe para depois realizar a diferença: 
Limite superior da última classe = 174 
Limite inferior da primeira classe = 150 
Amplitude = 174 – 150 = 24 cm 
A amplitude total apresenta algumas restrições, pois considera apenas 
os valores extremos da série, desprezando os valores intermediários. Segundo 
Martins (2010, p. 52), a utilização da amplitude total comomedida de dispersão 
é limitada, pois, sendo uma medida que depende apenas dos valores 
extremos, não capta possíveis variações entre seus limites. 
TEMA 2 – DESVIO MÉDIO 
O desvio médio é uma medida de dispersão que analisa a média dos 
desvios em torno da média de cada um dos valores da série e é calculado pela 
 
 
6 
média dos valores absolutos dos desvios. Representa a média das distâncias 
entre cada elemento da amostra e seu valor médio. 
Chamamos Dm o desvio médio e o calculamos pela fórmula: 
Dm = 
N
f.xx 
 
onde é o módulo de cada desvio em relação à média e N é igual à soma 
das frequências. O módulo (| |) utilizado no cálculo do desvio médio possui a 
função de tornar o número positivo, assim, se a diferença entre o dado e a 
média resultar em um número positivo, ao se retirar o módulo ele continua 
positivo, e se for negativo, vira positivo. 
Como o desvio médio verifica o afastamento em relação à média, o 
primeiro passo é calcular a média. Depois, aplicamos a fórmula para encontrar 
o desvio médio. 
Exemplo 1 
Suponha os seguintes dados que representem a quantidade de anos de vida 
útil de um equipamento eletrônico e determine o desvio médio desse conjunto 
de dados: 
3 7 8 10 11 
Para calcular o desvio médio, calculamos primeiramente a média. 
Lembre-se de que para calcular a média em dados não agrupados somamos 
todos os valores e dividimos pelo número de observações: 
N
X
X

 
8,7
5
39
5
1110873


X 
O segundo passo é aplicar a fórmula do desvio médio: 
Dm = 
N
f.xx 
 
Primeiro, calculamos o desvio de cada valor em relação à média, ou 
seja, cada valor menos a média, que é 7,8. Os valores encontrados, 
xx 
 
 
7 
multiplicamos pela frequência, que é o número de vezes que o valor aparece. 
Por exemplo, se considerarmos o primeiro valor, que é 3, temos |3 – 7,8|.1, ou 
seja, o número 3 menos a média, que é 7,8 vezes 1, pois o número 3 aparece 
apenas uma vez. Repetimos esse processo para cada valor da série e, depois, 
dividimos por 5, que é o número de observações, ou seja, a quantidade de 
dados apresentados: 
 
 
Resolvendo a subtração dentro de cada módulo, temos: 
 
 
Agora, precisamos retirar os valores do módulo, lembrando que se o 
número for positivo ele continua positivo e o número negativo torna-se positivo, 
assim: 
 
 
Multiplicamos os valores pela frequência, somamos e dividimos por 5: 
 
 
 
 
Esse resultado indica que, em média, a vida útil desse equipamento 
eletrônico se desvia em 2,24 anos da média, que é de 7,8 anos. 
Exemplo 2 
Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por 
uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis, como mostra 
a tabela a seguir. Calcule o desvio médio. (Adaptado de Shiguti; Shiguti, 2006.) 
 
5
18,71118,71018,7818,7718,73 
Dm
5
12,312,212,018,018,4 
Dm
5
1.2,31.2,21.2,01.8,01.8,4 
Dm
5
2,32,22,08,08,4 
Dm
24,2
5
2,11
Dm
 
 
8 
 
O primeiro passo é calcular a média. Lembre-se de que, nesse exemplo, 
temos uma distribuição de frequência e que a média é calculada pela fórmula: 
N
fX
X


.
 
 
6,2
10
26
X 
Agora, calculamos o desvio em relação à média. Para facilitar, incluimos 
uma nova coluna na tabela, identificando o cálculo |x – média|, assim para o 
primeiro valor da tabela, temos: |1 – 2,6| = |-1,6| = 1,6. Seguimos esse mesmo 
processo para os demais valores da tabela: 
 
 
Encontrados os valores dos desvios, devemos multiplicá-los pelas suas 
respectivas frequências, incluindo mais uma coluna chamada |x – média|*f. 
Para o primeiro valor, temos: 1,60 * 1 = 1,60. Seguimos esse processo para os 
demais valores da tabela e, depois, somamos todos os valores encontrados: 
 
 
9 
 
 
Para finalizar, aplicamos a fórmula do desvio médio: 
Dm = 
N
f.xx 
 
 
A quantidade de veículos negociados por cada vendedor possui um 
desvio médio de 0,68 em torno dos 2,6 veículos comercializados em média. 
Para dados agrupados em classes ou intervalos, substituímos o X na 
fórmula do desvio médio pelo ponto médio de cada classe (Pm). 
N
fxx
Dm
 

.
 N
fxPm
Dm
 

.
 
Dessa forma, para calcular o desvio médio em uma distribuição de 
frequência por classe, temos os seguintes passos: 
1. calcular o ponto médio de cada classe; 
2. calcular a média; 
3. calcular o desvio em relação à média: 
4. calcular o desvio médio. 
Exemplo 3 
A tabela a seguir representa as notas obtidas por um grupo de 58 alunos 
matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o desvio médio. 
(Adaptado de Shiguti; Shiguti, 2006.) 
O primeiro passo é calcular o ponto médio de cada classe. Lembre-se de 
que, para calcular o ponto médio, utilizamos a fórmula: 
2
LiLs
Pm

 
68,0
10
80,6
Dm
  fxPm .
 
 
10 
Considerando a primeira classe, temos: 
40
2
3545


Pm 
Seguindo o mesmo processo para as demais classes, obtemos: 
 
 
No próximo passo, calculamos a média da distribuição de frequência 
utilizando a fórmula: 
N
fPm
X


.
 
 
 
 
Encontrada a média, precisamos calcular os desvios em relação a esse 
valor: 
 
Para primeira classe, temos: 
|40 – 62,24|*5 
| -22,24|*5 = 22,24*5 = 111 
24,62
58
3610
X
  fxPm .
 
 
11 
Seguindo esse cálculo para as demais classes, e após somarmos os 
valores obtidos, temos: 
 
Por fim, aplicamos a fórmula do desvio médio: 
N
fxPm
Dm
 

.
 
 
 
A nota de cada aluno possui uma distância de 10,29 pontos do 
desempenho médio, que foi de 62,24 pontos. 
TEMA 3 – VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
A dispersão dos dados também pode ser calculada considerando os 
quadrados dos desvios médios. Segundo Castanheira, à média aritmética dos 
quadrados dos desvios damos o nome de variância, que pode ser calculada de 
duas formas: considerando uma população ou uma amostra. 
População: 
N
f.)xx(
S
2
2   
No cálculo da variância de uma amostra, o denominador deverá ser (N –
1), ou seja: 
1N
f.)xx(
S
2
2




 
onde x representa os dados, x é a média do conjunto de dados, f é a 
frequência com que o dado aparece e N é o número de observações. Como a 
29,10
58
597
Dm
 
 
12 
variância utiliza o quadrado dos desvios médios, o primeiro passo é calcular a 
média para depois aplicar as fórmulas indicadas. 
Ao analisar o resultado da variância, temos que, quanto maior for o seu 
valor, mais distante da média estarão os dados, e quanto menor, mais 
próximos os valores estarão da média, ou seja, se os desvios forem baixos, 
teremos pouca dispersão, e se forem altos, teremos elevada dispersão. 
Segundo Martins (2010), para melhor interpretar a dispersão de uma 
variável, calcula-se a raiz quadrada da variância, obtendo-se o desvio padrão. 
O desvio padrão também será calculado para uma população ou uma amostra: 
 população: 
N
f.)xx(
S
2 
 
 amostra: 
1N
f.)xx(
S
2




 
Podemos utilizar as fórmulas anteriores ou calcular a variância e, depois, 
tirar a raiz quadrada, assim: 
²SS  
Exemplo 1 
Suponha o conjunto de tempo de serviço de 5 funcionários e determine a 
variância e o desvio padrão desse conjunto de dados, considerando uma 
amostra. 
3 7 8 10 11 
O primeiro passo é calcular a média. Lembre-se de que, para dados não 
agrupados, somamos os dados e dividimos pela quantidade de observações: 
N
X
X

 
8,7
5
39
5
1110873


X 
 
 
13 
Depois de encontrada a média, calculamos a variância, verificando que o 
enunciado solicita a variância considerando uma amostra. Assim, utilizamos a 
seguinte fórmula: 
1N
f.)xx(
S
2
2




 
15
1.)8,711(1.)8,710(1.)8,78(1.)8,77(1.)8,73( 222222


S 
4
1.)2,3(1.)2,2(1.)2,0(1.)8,0(1.)8,4( 222222 S 
4
1.24,101.84,41.04,01.64,01.04,232 S 
4
24,1084,404,064,004,232 S 
7,9
4
80,382 S 
Para finalizar, calculamos o desvio padrão tirandoa raiz quadrada da 
variância. 
11,37,92  SS 
Exemplo 2 
Considere os seguintes dados e calcule a variância e o desvio padrão 
considerando uma população. 
40 45 48 52 54 62 70 
Calcule a média desse conjunto de dados: 
53
7
371
7
70625452484540


X 
Depois de encontrada a média, calculamos a variância, verificando que o 
enunciado solicita a variância considerando uma população. Assim, utilizamos 
a seguinte fórmula: 
N
f.)xx(
S
2
2   
 
 
14 
7
1)².5370(1)².5362(1)².5354(1)².5352(1)².5348(1)².5345(1)².5340(2 S
7
289811125641692 S 
90
7
6302 S
 
Para finalizar, calculamos o desvio padrão tirando a raiz quadrada da 
variância: 
4868,9902  SS 
Exemplo 3 
Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por 
uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis, como mostra 
a tabela a seguir. Calcule a variância e o desvio padrão. (Adaptado de Shiguti; 
Shiguti, 2006.) 
 
 
Nesse exemplo, temos uma distribuição de frequência e precisamos 
calcular a variância. Logo, o primeiro passo é o cálculo da média. Lembre-se 
de que a média em uma distribuição de frequência é calculada pela fórmula: 
N
fX
X


.
 
 
 
15 
 
6,2
10
26
X 
Após o cálculo da média, calculamos o quadrado dos desvios em 
relação à média e multiplicamos o valor encontrado por sua respectiva 
frequência. Para o primeiro valor, temos: 
(1 – 2,6)². 1 = (-1,6)² . 1 = 2,56 . 1 = 2,56 
Seguindo esse cálculo, para os demais valores da distribuição, temos: 
 
Somamos o valor encontrado em (x – x )².f e aplicamos a fórmula da 
variância para uma amostra, encontrando o seguinte valor: 
1N
f.)xx(
S
2
2




 
71,0
9
4,6
110
4,62 

S 
Tiramos a raiz quadrada da variância para encontrar o desvio padrão: 
84,071,02  SS 
 
 
16 
Para uma distribuição de frequência por classe ou intervalos, 
substituímos na fórmula da variância o valor de x pelo ponto médio (Pm) de 
cada classe. Dessa forma, o primeiro passo será o cálculo do ponto médio, 
para depois calcular a média e a variância. 
 população: 
N
fxPm
S
 

.)( 2
2 
 amostra: 
1
.)( 2
2




N
fxPm
S 
Exemplo 4 
A tabela a seguir representa as notas obtidas por um grupo de 58 alunos 
matriculados em uma determinada disciplina. Calcule a variância e o desvio 
padrão da amostra. (Adaptado de Shiguti; Shiguti, 2006.) 
 
 
Nesse exemplo, temos uma distribuição de frequência por classe. 
Iniciamos calculando o ponto médio (Pm) e a média da distribuição: 
 
 
 
 
17 
N
fPm
X


.
 
 
 
Agora, calculamos os desvios: (Pm– x )². O resultado, multiplicamos 
pela frequência. Para a primeira classe, temos: 
(40 – 62,24) ² = (-22,24) ² = 495 
495 . 5 = 2.473 
Seguindo o mesmo processo para as demais classes e somando os 
valores obtidos, temos: 
 
 
Agora, calculamos a variância solicitada da amostra: 
1
.)( 2
2




N
fxPm
S 
158
94092

S 
1,165
57
94092 S 
Para calcular o desvio padrão, tiramos a raiz quadrada da variância: 
85,121,1652  SS 
No desvio padrão, obtemos valores altos sempre que ocorrem 
mudanças consideráveis nos dados analisados e valores baixos quando os 
dados são mais estáveis. Segundo Martins (2010), quanto maior o desvio 
padrão, maiores a dispersão e a amplitude total da distribuição. 
24,62
58
3610
X
 
 
18 
TEMA 4 – MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
De acordo com Castanheira (2010), a média corresponde ao centro de 
gravidade dos dados; a variância e o desvio padrão medem a variabilidade, 
mas a distribuição dos pontos sobre um eixo ainda tem outras características 
que podem ser medidas – uma delas é a assimetria. A assimetria complementa 
as medidas de posição e dispersão, pois proporciona uma descrição e a 
compreensão mais completa das distribuições de frequências, já que as 
distribuições também se diferenciam quanto à sua forma. 
Definimos assimetria como o grau de afastamento de uma distribuição 
da unidade de simetria, pois indica o grau de deformação de uma curva de 
frequências. Quando uma distribuição é simétrica, temos a igualdade dos 
valores de média, mediana e moda, conforme figura abaixo: 
Figura 1 – Distribuição simétrica 
 
Uma distribuição assimétrica pode ser assimétrica positiva, também 
chamada de assimétrica à direita, ou assimétrica negativa, também chamada 
de assimétrica à esquerda. 
Em uma distribuição assimétrica positiva a média é maior que a mediana 
e a moda, ou seja, X >Md > Mo, conforme observamos na figura a seguir: 
Figura 2 – Assimetria à direita ou positiva 
 
 
 
19 
Na distribuição assimétrica negativa, temos que a média é menor que a 
mediana e a moda, assim, X < Md < Mo, conforme observamos na figura a 
seguir: 
Figura 3 – Assimetria à esquerda ou negativa 
 
Existem várias fórmulas para o cálculo do coeficiente de assimetria. 
Dentre eles, estudaremos o coeficiente de assimetria de Pearson. O 1º 
coeficiente de assimetria de Pearson é calculado por: 
S
MoX
As

 
Além do 1º coeficiente, podemos calcular o 2º coeficiente de Pearson 
aplicando a seguinte fórmula: 
S
MdX
As
).(3 
 
Analisando o valor do coeficiente, temos: 
 AS = 0, a distribuição é simétrica; 
 AS > 0, a distribuição é assimétrica positiva ou à direita; 
 AS < 0, a distribuição é assimétrica negativa ou à esquerda. 
Exemplo 1 
Uma empresa inspecionou 50 componentes eletrônicos para determinar o 
tempo de vida útil desse componente, obtendo a distribuição que vemos a 
seguir. Calcule o 1º coeficiente de assimetria de Pearson. 
 
 
 
 
 
 
20 
Tempo (horas) Frequências 
1200 |--- 1300 1 
1300 |--- 1400 3 
1400 |--- 1500 11 
1500 |--- 1600 20 
1600 |--- 1700 10 
1700 |--- 1800 3 
1800 |--- 1900 2 
 
Para calcular o 1º coeficiente de Pearson, precisamos dos valores de 
média, moda e desvio padrão. Na Aula 2, calculamos a média e a moda 
obtendo os seguintes resultados: 
 média: 
Tempo (horas) Frequências PM PM.f 
1200 |--- 1300 1 1250 1250 
1300 |--- 1400 3 1350 4050 
1400 |--- 1500 11 1450 15950 
1500 |--- 1600 20 1550 31000 
1600 |--- 1700 10 1650 16500 
1700 |--- 1800 3 1750 5250 
1800 |--- 1900 2 1850 3700 
 50 77700 
1554
50
77700
X 
 moda: 
 
1011
100.10
1500

Mo
 
 
21
1000
1500 Mo
 62,154762,471500 Mo 
Para calcular o desvio padrão, seguimos os passos indicados no Tema 3 
desta aula: 
 
 
21 
 desvio padrão: 
Tempo (horas) Frequências PM (PM – Média)² (PM – Média)².f 
1200 |--- 1300 1 1250 92416 92416 
1300 |--- 1400 3 1350 41616 124848 
1400 |--- 1500 11 1450 10816 118976 
1500 |--- 1600 20 1550 16 320 
1600 |--- 1700 10 1650 9216 92160 
1700 |--- 1800 3 1750 38416 115248 
1800 |--- 1900 2 1850 87616 175232 
 50 719200 
55,14677
49
719200
² S 
15,12155,14677² S 
Agora, calculamos o 1º coeficiente de assimetria de Pearson aplicando 
os valores obtidos na fórmula: 
S
MoX
As

 
15,121
62,15471554 
sA 
0052662,0
15,121
38,6
sA 
Exemplo 2 
Considere uma distribuição de frequência que apresente média igual a 88, 
mediana igual a 82 e desvio padrão igual a 40. Calcule o 2º coeficiente de 
Pearson. 
Com os valores fornecidos no enunciado, calculamos o coeficiente 
aplicando a fórmula: 
S
MdX
As
).(3 
 
40
)8288.(3 
sA 
45,0
40
18
40
)6.(3
sA 
 
 
22 
TEMA 5 – MEDIDAS DE CURTOSE 
Segundo Castanheira (2010), a curtose indica o quanto uma distribuição 
de frequências é mais achatada ou mais afilada do que uma curva padrão, a 
qual é denominada de curva normal. A curva normal ou distribuição normal 
será estudada na Aula 5. 
Ao realizar a análise em relação ao achatamento, temos que a 
distribuição normal é chamada de mesocúrtica, em que os dados estão 
uniformemente distribuídos. As distribuições mais achatadas que a normal são 
as platicúrticas, em que os dados estão bem dispersos em relação à média. Às 
distribuições