EAD350 Aula2 2014 2sem alunos

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EAD 350
 Pesquisa Operacional
Aula 02
Prof. Cesar Alexandre de Souza
calesou@usp.br
FEA/USP
Preço Sombra: Exemplo 1 – PL – Wyndor Glass Co. (Hillier e Lieberman, 2010) 
Modelo Matemático
Função Objetivo
Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2
Sujeito à (restrições):
1X1 + 0X2 <= 4
0X1 + 2X2 <= 12
3X1 + 2X2 < =18
X1, X2 >= 0
X2
Lembrando...
X1
A
B
C
D
E
(Fábrica 1)
(Fábrica 2)
(Fábrica 3)
Resolvendo:
0X1 + 2X2 = 12
3X1 + 2X2 =18
2X2 = 12  X2 = 6 
3X1 + 2(6) =18  
X1 = (18-12)/3 = 2
Z = 3X1 + 5X2 = 3.2 +5.6 =36 
C (2;6)
Ex A. Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de ligas de metal. A tabela abaixo ilustra as composições das ligas, seus preços e as limitações na disponibilidade de matéria-prima.
Itens/
Atividades
Liga
tipo A
Liga
tipo B
Matéria-prima
disponível
Cobre
2
1
16
Zinco
1
2
11
Chumbo
1
3
15
Preço unitário
de venda
R$30
R$50
Atividade 1 - Ex A 
A) Formule o modelo de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
Modelo de PL – Ex. 1A
Variáveis Decisão
	x1 = Qtde Liga A (em Kg) x2 = Qtde Liga B (em Kg)
Função Objetivo
 Max Z = 30x1 + 50x2
Restrições
 2x1 + x2 < 16 (Cobre)
 x1 + 2x2 < 11 (Zinco)
 x1 + 3x2 < 15 (Chumbo)
 x1, x2 > 0
Solução Gráfica – Ex. 1-A
5
10
15
5
10
15
A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
Z = 30x1 + 50x2
x2
x1
F
G
Z = 150
O ponto D é o ponto de máximo.
As coordenadas (x1=7; x2=2) podem ser verificadas graficamente
Ou, podem ser obtidas a partir da solução do par de equações das retas limites das restrições de Cobre e Zinco:
	2x1 + x2 = 16
	x1 + 2x2 = 11
16
5,5
Solução Gráfica – Ex. 1-A
5
10
15
5
10
15
A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
x2
x1
F
G
240
0
8
E
310
2
7
D
290
4
3
C
250
5
0
B
0
0
0
A
R
x2
x1
Pto
16
5,5
A Ozark Farm usa no mínimo 800 quilos de ração especial por dia. Essa ração é uma mistura de dois componentes, milho e soja, com as composições nutricionais apresentadas na tabela abaixo
Os requisitos nutricionais da ração exigem que sua composição possua no mínimo 30% de proteína e no máximo 5% de fibra.
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
(TAHA, 2008)
Exemplo - Minimização
Hipóteses do Modelo PL	
Proporcionalidade: a contribuição de cada atividade (xi) ao valor da função objetivo Z e para o consumo de recursos bi é proporcional ao seu valor (parâmetros ci e ai)
Aditividade: toda função em um modelo PL é a soma das contribuições individuais das diversas atividades
Divisibilidade: as variáveis de decisão (xi) em um modelo de PL podem assumir quaisquer valores, inclusive valores não inteiros
Certeza: o valor atribuído a cada parâmetro (ci, ai, bi) são assumidos constantes e certos (é um modelo determinístico)
Análise de “Pós-Ótimo”
Análise Qualitativa / Verificação Gerencial dos Resultados
Preços-Sombra
Análise de Sensibilidade da PL
Programação Linear Paramétrica (realizada por meio de softwares de simulação)
Preços-Sombra
Os valores bi (quantidades máximas de recursos) podem ter sido definidos a partir de valores iniciais, mas com possível flexibilidade
Parte dos valores bi então poderia ser alterada (aumentando o consumo de recursos) se houver justificativa econômica para isso
O preço-sombra para o recurso bi mede o valor marginal desse recurso, isso é, a taxa em que Z poderia ser aumentada elevando-se ligeiramente o valor de bi
X2
X1
A
B
C
D
E
(b2=12)
C
B´
(b2'=13)
Preço Sombra:
O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e:
Resolvendo para C´:
0X1 + 2X2 = 13
3X1 + 2X2 =18
2X2 = 13  X2 = 13/2 
3X1 + 2(6,5) =18  
X1 = (18-13)/3 = 5/3
Z´ = 3X1 + 5X2 = 3.(5/3)+5.(13/2)=37,5 
C´ (5/3;6,5)
B´
(b´3=19)
X2
Preço Sombra:
O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e:
X1
A
B
C
D
E
(b3=18)
C
D´
C´ (?;?)
Resolvendo para C´:
0X1 + 2X2 = 12
3X1 + 2X2 =19
2X2 = 12  X2 = 6 
3X1 + 2(6) =19  
X1 = (19-12)/3 = 7/3
Z´ = 3X1 + 5X2 = 3.(7/3)+5.(6)=37