C´alculo Diferencial e Integral II prova 2 2

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Resoluc¸a˜o da 2a prova - 17/05/2004 - 13:00h
1. Nos itens abaixo encontre a se´rie de Maclaurin de f(x) :
(a) f(x) = cos(x3),
Soluc¸a˜o. cos x =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
⇒ cos x3 =
∞∑
n=0
(−1)n x
6n
(2n)!
(b) f(x) =
∫ x
0
et
2
dt
Soluc¸a˜o. ex =
∞∑
n=0
xn
n!
⇒ et2 =
∞∑
n=0
t2n
n!
⇒ ∫ x
0
et
2
dt =
∫ x
0
∞∑
n=1
t2n
n!
dt =
∞∑
n=0
t2n+1
(n!)(2n+ 1)
]x
0
=
∞∑
n=0
x2n+1
(n!)(2n+ 1)
2. Considere a func¸a˜o f(x) =
√
x, x ≥ 0.
(a) Encontre a se´rie de f(x) em torno do ponto a = 1;
(b) Determine o raio de convergeˆncia da se´rie do item anterior;
(c) Encontre a Se´rie de Maclaurin da func¸a˜o
√
x2 + 1. (Sugesta˜o: Utilize a se´rie
do item (a))
Soluc¸a˜o. (a) f(x) =
√
x, f ′(x) =
1
2
√
x
, f ′′(x) =
1
2
(−1
2
)x−3/2, . . . ,
f (n)(x) = (−1)n+11.3.5 . . . (2n− 3)
2n
x−(2n−1)/2,
f(1) = 1, f ′(1) =
1
2
, f ′′(1) = − 1
22
, . . . , f (n)(1) = (−1)n+11.3.5 . . . (2n− 3)
2n
E a se´rie de Taylor em torno de a = 1 e´:
1 +
1
2
(x− 1) +
∞∑
n=2
(−1)n+11.3.5 . . . (2n− 3)
2n(n!)
(x− 1)n = √x
(b) ρ = lim
n→∞
|an+1|
|an| < 1⇔ a se´rie
∑
an converge
ρ = lim
n→∞
1.3.5 . . . (2n− 3)(2n− 1)
2n+1(n!)(n+ 1)
.
2n(n!)|x− 1|
1.3.5 . . . (2n− 3) = limn→∞
(2n− 1)|x− 1|
2(n+ 1)
= |x− 1|.
Donde,
ρ = |x − 1| < 1 ⇔ −1 < x − 1 < 1 e, portanto, a se´rie converge se 0 < x < 2 e o
raio de convergeˆncia e´ 1.
(c)
√
x2 + 1 = 1 +
1
2
x2 +
∞∑
n=2
(−1)n+11.3.5 . . . (2n− 3)
2n(n!)
x2n
3. Seja R a regia˜o interior a` curva de equac¸a˜o polar r = 2(1+ cos θ) e exterior ao c´ırculo
de centro na origem e raio 2.
(a) Esboce a regia˜o R;
(b) Encontre a a´rea da regia˜o R. (Lembrete: A a´rea da regia˜o limitada pela curva
r = f(θ) para a ≤ θ ≤ b e´ dada pela fo´rmula A = 1
2
∫ b
a
r2 dθ.)
Soluc¸a˜o. ((a),(b)) Pontos de intersec¸a˜o:
r = 2(1 + cos θ) = 2 ⇒ cos θ = 0 ⇒ θ = ±pi
2
Como as func¸o˜es sa˜o pares, integramos de 0 a pi
2
e multiplicamos o resultado por 2.
A = 2.1
2
∫ pi/2
0
(r21 − r22) dθ
A =
∫ pi/2
0
(22(1 − cos θ)2 − 22) dθ = 4 ∫ pi/2
0
(2 cos θ + cos2 θ) dθ = 4
∫ pi/2
0
(2 cos θ +
1 + cos 2θ
2
) dθ =
4
2
∫ pi/2
0
(1 + 4 cos θ + cos 2θ) dθ
A = (θ + 4sen θ +
sen 2θ
2
)]
pi/2
0 = 2(
pi
2
+ 4) = pi + 8
4. Seja S a superf´ıcie qua´drica de equac¸a˜o
x2 + y2 − 3z2 = 9.
Determine os valores de k para os quais o trac¸o de S no plano z = k limita uma regia˜o
plana de a´rea A = 15pi.
Soluc¸a˜o. z = k ⇒ x2 + y2 − 3k2 = 9→ x2 + y2 = 9 + 3k2 (Trac¸o)
A´rea do trac¸o = piR2 = pi(9 + 3k2) = 15pi
⇒ 9 + 3k2 = 15⇒ 3k2 = 6 ⇒ k = ±
√
2