Somatório explicação e exercícios

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2. Somatório 
 
Muitas vezes precisamos escrever somas de muitas parcelas, às vezes até de infinitas 
parcelas, para facilitar nosso trabalho vamos usar o somatório. 
 A notação por somatório serve para representarmos a soma de n variáveis. A 
representação será feita pelo símbolo ∑, letra grega maiúscula sigma. Assim, x1, x2, x3, .… ,xn 
pode ser representada por: 
෍ x୧ = xଵ + xଶ + ⋯+ x୬୬
୧ୀଵ
 
 
 A variação do índice i pode não ir de 1 a n, mas estar em qualquer subintervalo desses 
limites. 
 Na Estatística, muitas das fórmulas utilizadas têm sua descrição facilitada pelo uso de 
símbolos matemáticos. Quando os dados consistem de medições de alguma característica em 
certo número de amostras ou itens, a característica é representada por uma letra latina maiúscula 
(X, Y, Z…). Para diferenciar as medições feitas entre as diferentes amostras ou itens, utiliza-se a 
letra minúscula correspondente com um subíndice. Por exemplo, a letra X indica que o objeto de 
estudo é o peso das amostras, sendo que x1 significa o peso da primeira amostra. 
 Um valor qualquer pode ser representado por xi, em que o subíndice i representa o número 
de ordem da observação. Quando há n observações no grupo, i será igual a 1,2,3,…,n, e assim n 
observações seriam representadas por x1, x2, x3, , … , xn. Antes de explorarmos a utilização na 
estatística vamos ver algumas propriedades. 
 
2.1. Propriedades 
۾૚ . ෍ax୧୬
୧ୀଵ
= axଵ + axଶ +⋯+ ax୬ = a(xଵ + xଶ + ⋯+ x୬) = a෍ x୧୬
୧ୀଵ
 
۾૛ . ෍ x୧y୧୬
୧ୀଵ
= xଵyଵ + xଶyଶ +⋯+ x୬y୬ ≠ ൭෍ x୧୬
୧ୀଵ
൱× ൭෍ y୧୬
୧ୀଵ
൱ 
۾૜ . ෍(ax୧ ± by୧)୬
୧ୀଵ
= axଵ + byଵ + axଶ + byଶ + ⋯+ ax୬ + by୬ = (axଵ + axଶ + … + ax୬) + (byଵ + byଶ + ⋯+ by୬) = a(xଵ + xଶ + ⋯+ x୬) + b(yଵ + yଶ + ⋯+ y୬) = a෍ x୧୬
୧ୀଵ
± b෍ y୧୬
୧ୀଵ
 
۾૝ . ෍k୬
୧ୀଵ
= k + k + k + ⋯+ k = k(1 + 1 + 1 + ⋯+ 1) = nk 
 
Onde a, b e k são constantes. 
 
 Em estatística, muitas vezes é importante obter o quadrado da soma das observações xi e 
a soma dos quadrados de xi. 
 
൭෍ x୧୬
୧ୀଵ
൱
ଶ = (xଵ + xଶ + ⋯+ x୬)ଶ o quadrado da soma das observações 
 
෍ x୧ଶ୬
୧ୀଵ
= xଵଶ + xଶଶ +⋯+ x୬ଶ A soma dos quadrados das observações 
 
Exemplo 
Seja xଵ = 2, xଶ = 3 e xଷ = 5 
൭෍ x୧ଷ
୧ୀଵ
൱
ଶ = (2 + 3 + 5)ଶ = 100 
෍ x୧ଶଷ
୧ୀଵ
= 2ଶ + 3ଶ + 5ଶ = 4 + 9 + 25 = 38 
 
2.2. Somatório Duplo 
 Seja a matriz 
A = ൦xଵଵ xଵଶ xଵଷ … xଵ୬xଶଵ xଶଶ xଶଷ … xଶ୬⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮x୫ଵ x୫ଶ x୫ଷ … x୫୬൪ 
 O somatório dos elementos de cada uma das linhas de A é: Linha 1 ∶ ෍ xଵ୨୬
୨ୀଵ
 
Linha 2 ∶ ෍ xଶ୨୬
୨ୀଵ
 
......... Linha m ∶ ෍ x୫୨୬
୨ୀଵ
 
 A soma de todos os elementos da matriz A é: ෍ xଵ୨୬
୨ୀଵ
+ ෍ xଶ୨୬
୨ୀଵ
+ ෍ xଷ୨୬
୨ୀଵ
+ ⋯+ ෍ x୫୨୬
୨ୀଵ
= ෍൫xଵ୨ + xଶ୨ + xଷ୨ + ⋯+ x୫୨൯୬
୨ୀଵ
= ෍෍ x୧୨୫
୧ୀଵ
୬
୨ୀଵ
 
 
Observação 
෍෍ x୧୨୫
୧ୀଵ
୬
୨ୀଵ
= ෍෍ x୧୨୬
୨ୀଵ
୫
୧ୀଵ
 
 
2.3. Exercícios 
 
1) Sejam: X = (x1 , x2 , x3 , x4) = (2 , 4 , 6 , 8), Y = (y1 , y2 , y3 , y4) = (1 , 3 , 5 , 7) e 
k = 2. Responda: 
 Respostas 
a) ∑ x୧ ସ୧ୀଵ 20 
b) ∑ y୧ ସ୧ୀଵ 16 
c) ∑ kx୧ ସ୧ୀଵ 40 
d) ∑ ky୧ ସ୧ୀଵ 32 
e) ∑ (x୧ + y୧)ସ୧ୀଵ 36 
f) ∑ (x୧ − y୧) ସ୧ୀଵ 4 
g) ∑ k ସ୧ୀଵ 8 
h) ൫∑ x୧ଷ୧ୀଵ ൯ଶ 144 
i) ∑ x୧ଶ ଷ୧ୀଵ 56 
j) ∑ y୧ଶସ୧ୀଶ 83 
k) ∑ (y୧ଶ − 2 )ସ୧ୀଶ 77 
l) ∑ (3x୧ଶ + 2 )ଷ୧ୀଵ 174 
m) ∑ 2(y୧ଶ) ଷ୧ୀଶ 68 
n) ∑ (x୧ + x୧ିଵ) ସ୧ୀଶ 30 
o) ∑ (x୧ − x୧ିଵ)ସ୧ୀଶ 6 
p) ∑ (x୧ଶ − x୧ିଵ) ସ୧ୀଶ 104 
q) ∑ (x୧ − y୧)ଶସ୧ୀଵ 4 
r) ∑ (x୧ + y୧)(x୧ − y୧)ସ୧ୀଵ 36 
s) ∑ y୧ଶ + 5 ସ୧ୀଵ 89 
 
2) Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries: 
 
a) ∑ (ଵ)౤
ଶ౤
 ஶ୬ୀଵ b) ∑ (ିଵ)౤
ଶ౤
 ∞ ୬ୀଵ 
c) ∑ ୬
୬ାହ
 ஶ୬ୀଵ 
d) ∑ √୬
୬ାଵ
 ஶ୬ୀଵ 
e) ∑ ଶ୬(ଶ୬ାଵ)
ଷ୬ାହ
 ஶ୬ୀଵ 
f) ∑ (୬ !)మ(ଶ୬) ! ஶ୬ୀଵ 
g) ∑ (3n + 1) ஶ୬ୀଵ 
 
3) Escreva as seguintes séries na forma abreviada 
 
a) ଶ
ଷ
+ ସ
ହ
+ ଼
଻
+ ଵ଺
ଽ
+ ଷଶ
ଵଵ
+ ⋯ 
b) ଵ
ଶ×ଷ + ଵଷ×ସ + ଵସ×ହ + ଵହ×଺ + ⋯ 
c) 1 + ଵ
ସ
+ ଵ
ଽ
+ ଵ
ଵ଺
+ ଵ
ଶହ
+ ⋯ 
d) ଵ
ଶ
+ ଶ
ସ
+ ଷ
଼
+ ସ
ଵ଺
+ ହ
ଷଶ
+ ⋯ 
e) ୪୭୥ ଶ
ଷ
+ ୪୭୥ ଷ
ସ
+ ୪୭୥ ସ
ହ
+ ୪୭୥ ହ
଺
+ ⋯ 
f) − ଵ
ଶ
+ ଶ
ସ
−
ଷ
଼
+ ସ
ଵ଺
−
ହ
ଷଶ
+ ⋯ 
g) 1 + ଵ
ଶ
+ ଵ
଺
+ ଵ
ଶସ
+ ଵ
ଵଶ଴
+ ⋯ 
h) 1 − ଵ
ଶ
+ ଵ
଺
−
ଵ
ଶସ
+ ଵ
ଵଶ଴
−⋯ 
 
 
 
4) Desenvolva os seguintes somatórios e calcule o seu valor 
 Respostas 
a) ∑ ∑ (xy − 10)ସ୷ୀଵଷ୶ୀଵ -36 
 
b) ∑ ∑ (x + y)ଶଷ୷ୀଶହ୶ୀଶ 300 
 
c) ∑ ∑ x୷ସ୷ୀଵଷ୶ୀଶ 150 
 
d) ∑ ∑ (x − j)ସ୨ୀଶଷ୧ୀଵ 9x - 27 
 
e) ∑ ∑ zଶଷ୷ୀଶହ୶ୀଶ 8z2 
 
5) Escreva sob a forma de somatório as expressões 
 
a) 2ଷ + 2ସ + 2ହ + 3ଷ + 3ସ + 3ହ 
b) ଵ
ସ
+ ଵ
ହ
+ ଶ
ସ
+ ଶ
ହ
+ ଷ
ସ
+ ଷ
ହ
+ ସ
ସ
+ ସ
ହ