Aula 5 - Hidrologia Estatística

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HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
É um tópico importante da hidrologia na engenharia.
Aplicações:
Dimensionamento de vertedores 
Dimensionamento de galerias pluviais
Dimensionamento de drenos
Projetos de irrigação (precip. provável)
Projetos de abastecimento (Q90), 
Dados Hidrológicos apresentam variações sazonais que ocorrem de forma irregular – variáveis aleatória
Técnicas estatísticas podem ser aplicadas às variáveis aleatórias. 
Logo, podemos associar uma determinada probabilidade de ocorrência à fenômenos hidrológicos.
Série Hidrológica:
 É um conjunto de dados históricos relativos a um determinado evento hidrológico. Ela pode ser classificada em:
a) Série original: constituída por todos os valores registrados. 
b) Série anual: constituída por valores extremos (máximos ou mínimos) de cada ano. 
c) Série parcial: constituída pelos “N” maiores ou menores valores ocorridos nos “N” anos de observação. 
Série Total (Vazões Diárias)
Série Anual (Vazões Máximas diárias)
Série Parcial (Vazões Máximas diárias)
Distribuição de Freqüência
Freqüência de Excedência (Método de Kimball)
 É o primeiro estudo estatístico que pode ser realizado com dados hidrológicos (mais simples).
	Neste método se estabelece com que frequência uma variável hidrológica pode ser maior ou igual a um certo valor. 
				F (Xxi) P(X xi)
 Ex: Qual a probabilidade de ocorrência de uma chuva maior ou igual a 40 mm em Recife?
Vamos fazer uma pequena revisão de probabilidade:
Em que:
		P(x) – probabilidade de ocorrência de um evento x
		m – número de resultados favoráveis
		n – número de resultados possíveis
Exemplos:
 1 - Qual a probabilidade de se obter cara no lançamento de uma moeda?
 2 - O chefe de uma empresa com 5 funcionários deu a eles 1 ingresso da final de um campeonato para que fosse sorteado. Após escreverem seus nomes em papéis idênticos, colocaram tudo num saco para fazer o sorteio. Qual a chance que cada um tem de ser sorteado?
			 
Outros Exemplo:
 3 - No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado ser um número par?
			
	4 - Qual a probabilidade de se obter cara em dois lançamentos seguidos de uma moeda?
			
Curiosidade: 
 Sabe qual é a chances de você ganhar na Mega Sena? 
 1:50.000.000. É aproximadamente a mesma probabilidade de você lançar uma moeda 25 vezes e obter “cara” em todos os lançamentos. 
 Em hidrologia, a nomenclatura mais adequada seria a seguinte (freqüência de excedência):
 			
em que:
	m – n0 de ocorrências de um determinado evento
	n – n0 total de eventos da série
 A equação da forma apresentada é aplicada à séries infinitas. Como as séries de dados para fenômenos hidrológicos são sempre finitas, a equação torna-se: 
 Exemplo:
 Dada a série hidrológica apresentada abaixo, determinar a probabilidade ou a freqüência de ocorrência de uma chuva igual ou superior a 60 mm. 
		Ano
		80
		81
		82
		83
		84
		85
		86
		87
		88
		89
		90
		P (mm)
		60
		58
		36
		75
		42
		53
		35
		44
		52
		112
		29
 A freqüência de excedência ou Método de Kimball é bastante usado em hidrologia e é também conhecido como Curva de Permanência. 
 É utilizada para determinar a chuva provável (P(x≥xi) = 0,75) ou as vazões de outorga Q90 (vazões ecológicas)
Período de Retorno (T)
 É o tempo, dado em anos, para que um evento seja igualado ou superado pelo menos uma vez.
 Ora, se um fenômeno se repete em valor igual ou maior, em média, uma vez a cada T anos, sua probabilidade é 
 ou
Exemplos de tempos de retorno 
Exemplos:
 Qual a probabilidade de ocorrência de uma chuva cujo tempo de retorno é de 15 anos? 
 A tabela abaixo apresenta os valores de vazões mínimas anuais para um determinado rio. Calcule Q50 e Q75 e o tempo de retorno para as seguintes vazões: 280 e 773 m3/s. Considerando que a legislação permite outorgar apenas 20% da Q90, qual a vazão que pode ser outorgada? Para o cálculo da freqüência utilize F=m/(n+1).
		Ano 
		Vazões 
		Ano 
		Vazões 
		 
		(m3/s) 
		 
		(m3/s) 
		1963
		480
		1971
		773
		1964
		290
		1972
		880
		1965
		216
		1973
		545
		1966
		390
		1974
		117
		1967
		376
		1975
		265
		1968
		252
		1976
		121
		1969
		280
		1977
		315
		1970
		470
		
		
Índice de Risco (R)
 Considerando o exemplo anterior, qual a probabilidade de não ocorrência, em determinado ano, de uma chuva cujo o tempo de retorno seja de 15 anos?
 Portanto a probabilidade de não ocorrer um valor igual ou maior dentro de N anos consecutivos é dada por:
 Já a probabilidade de ocorrer este evento dentro dos N anos será:
 
Exemplos:
Dentre os registros de enchentes de um rio, existe um que apresenta período de retorno de 15 anos. Qual a probabilidade que uma enchente igual ou superior não ocorra em qualquer período de 10 anos (N=10).
No projeto de uma estrutura de proteção contra enchente deseja-se correr um risco ruptura de 5% para uma vida útil de 50 anos. Qual o tempo de retorno que deve ser adotado? 
Qual o risco que se assume quando projetamos uma obra se adotarmos um tempo de retorno de 10000 anos? Considere a vida útil da obra de 50 anos.
b) Modelos de Probabilidades
 Há situações em que se necessita estimar valores de eventos associados a valores de TR muito grandes. Nestas condições, recomenda-se o uso de Distribuições Teóricas de Probabilidades.
 A maioria das funções de probabilidades aplicáveis à Hidrologia utiliza a equação de ven te Chow:
em que:
	XTR - variável hidrológica de interesse com o tempo de retorno TR;
	 - média aritmética das variáveis que compõem a amostra;
	S - desvio padrão amostral
	KTR - fator associado ao modelo de probabilidade adotado
Um dos modelos de distribuições de probabilidades mais aplicado é o modelo de distribuição Normal ou de Gauss:
 
Distribuição Normal ou de Gauss: 
A função densidade de probabilidade (FDP) é dada pela seguinte equação:
			 						
 em que “” e “” representam a média e o desvio padrão da população. Estes parâmetros são estimados por:
		
 e 
 
 A probabilidade propriamente dita é obtida pela integração da função densidade de probabilidade (FDP), gerando a Função Cumulativa de Probabilidades (FCP).
 A Função Cumulativa de Probabilidades (FCP) pode também ser representada por:
 em que z é a variável reduzida.
Ex: A série de vazões anuais do rio x, permitiu calcular os seguintes parâmetros.
 m3/s
 S = 79,7 m3/s
 
 Considerando que os dados se ajustam a uma distribuição Normal, dterminar a vazão que será igualada ou superada com uma probabilidade de 10%.
 
	Q = 123,1 + 1,3 x 79,7
	Q = 226,7 m3/s
 Ex: A tabela a seguir mostra a distribuição de precipitação para a cidade de Lavras-MG nos últimos 15 anos. Calcular os valores máximos e mínimos esperados para os tempos de Retorno de 10, 30 e 50 anos.