Ficha de Variaveis Aleatórias e distribuições de probabilidade pdf ESTATISTICA

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UNIVERSIDADE SÃO TOMÁS DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÓMICAS E EMPRESARIAIS 
CURSO DE: GESTÃO DE EMPRESAS, GESTÃO FINANCEIRA E GESTÃO BANCÁRIA, 
ECONOMIA E CONTABILIDADE/AUDITORIA 
 
ESTATÍSTICA & PROBABILIDADE 
 
 
TEMA 2: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
2.1 Introdução 
Em temas de aulas anteriores vimos que é possível explorar um conjunto de dados 
utilizando gráficos (barras, sectores, histograma ou polígono de frequência), medidas de 
tendência central (média, mediana, moda), medidas de separação (quartis, decis e 
percentis) e medidas de variação (como o desvio padrão e coeficiente de variação). 
Também foram vistos aspectos da teoria das probabilidades. Nas aulas deste tema, 
combinaremos esses conceitos ao estudarmos distribuições de probabilidade que 
descrevem o que provavelmente acontecerá, em lugar do que efectivamente aconteceu. 
As distribuições de frequências de amostras foram tratadas anteriormente. Nestas aulas 
são apresentadas as distribuições de probabilidade de populações. A distribuição de 
frequência de uma amostra é uma estimativa da distribuição de probabilidade da 
população correspondente. Se o tamanho da amostra for grande, podemos esperar que a 
distribuição de frequência da amostra seja uma boa aproximação da distribuição de 
probabilidade da população. 
 
2.2 Variáveis Aleatórias 
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o espaço 
amostral. Os elementos desse conjunto podem ser numéricos ou não. Por exemplo, se o 
experimento for escolher um aluno de uma turma e registar sua altura, teremos um 
conjunto numérico, porém se indagarmos o time de futebol preferido do aluno, teremos 
um conjunto não numérico. Como em muitas situações experimentais precisamos atribuir 
um número real x a todo elemento do espaço amostral, vamos definir o conceito de 
variável aleatória. 
 
2.2.1 Definição de Variável Aleatória. 
Seja S o espaço amostral associado a um experimento aleatório. Uma função X que 
associa a cada elemento s є S um número real X(s) é denominada variável aleatória. Ou 
seja, uma variável aleatória é uma descrição numérica do resultado de um experimento. 
 
Observe que, apesar do nome, variável aleatória é uma função cujo domínio é o 
conjunto S, e a imagem o conjunto de todos os valores possíveis de X, os X (s). 
 
 
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Exemplo 1. Seja o experimento: lançamento de duas moedas. 
O espaço amostral associado ao experimento é: S = {(C,C) ; (C,K) ; (K,C) ; (K,K)} 
K = Cara e C = Coroa. 
Variável Aleatória X: número de caras (K) obtidas no lançamento de duas moedas. 
X(K,K) = 2; X(C,K) = 1; X(K,C) = 1 e X(C,C) = 0 
 
 S R SX : 
 X 
 
 
 
 
 
Comentário: A terminologia acima é um tanto infeliz, mas é tão universalmente aceita, 
que não nos afastaremos dela. Tornaremos tão claro quanto possível que X é uma função, 
e contudo, a denominaremos uma variável (aleatória)! 
 
As variáveis aleatórias devem assumir valores numéricos. O valor numérico da variável 
aleatória (VA) depende do resultado do experimento. 
 
Uma variável aleatória pode ser classificada como discreta ou contínua, dependendo dos 
valores numéricos que ela assume. 
 
Uma variável aleatória X é dita discreta se assume valores num conjunto finito ou 
infinito enumeráveis. 
Por exemplo, uma variável aleatória discreta (VAD) pode assumir somente os valores 0 e 
1, ou qualquer inteiro não negativo. Ou seja,  nxxxxSX ,...,,,: 321 . 
Como outro exemplo da variável aleatória discreta (VAD), considere o experimento de 
carros que chegam a um parque de estacionamento. A variável aleatória de interesse é x = 
o número de carros que chegam durante o período de um dia. Os valores possíveis de x 
vêm da sequência de números inteiros 0, 1, 2 e assim por diante. Portanto, x é variável 
aleatória discreta (VAD) que assume um dos valores dessa sequência infinita. 
A tabela 1 fornece exemplo adicional de variável aleatória discreta (VAD). Note que, 
cada exemplo, variável aleatória discreta (VAD) assume um número finito de valores ou 
uma sequencia infinita de valores, tais como, 0, 1, 2,…. 
 
(K;K) 
(C;K) 
(K;C) 
(C;C) 
 0 
 
 1 
 
 2 
 
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Tabela 1: Exemplo de variáveis aleatórias discretas (VAD) 
Experimento Variável aleatória (x) Valores possíveis para a 
variável aleatória 
Contar cinto clientes Número de clientes que realizam 
um pedido de compra 
 
0, 1, 2, 3, 4, 5 
Inspecionar uma remessa de 
50 rádios 
Número de rádios defeituosos 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, 49, 50 
Operar um restaurante 
durante um dia 
Número de clientes 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 
 
Vender um automóvel Género do cliente 0 se for masculino; 1 se for 
feminino 
 
 
Uma variável aleatória X é dita contínua se assume valores num conjunto infinito não 
enumerável, ou seja, se a imagem de X é um intervalo, ou uma colecção de intervalos. 
Esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua. 
 
Por exemplo, resultados experimentais que se baseiam em escalas de medidas como 
tempo, peso, distância e temperatura podem ser descritos por meio de variáveis aleatórias 
contínuas. Considere ainda, o experimento de monitoração das chamadas telefónicas 
feitas ao escritório de reclamação se seguros de uma importante companhia de seguros. 
Suponha que variável aleatória de interesse seja X = o tempo em minutos entre as 
chamadas consecutivas. Essa variável aleatória pode assumir qualquer valor no intervalo 
.0x 
 
Tabela 2: Exemplo de variáveis aleatórias contínuas (VAC). 
 
Experimento Variável aleatória (x) Valores possíveis para a 
variável aleatória 
Operar um banco Tempo em minutos entre chegadas 
dos clientes 
 
 
0x 
Encher uma lata de 
refrigerante (máx. = 357 ml.) 
Quantidade em ml. 
 
3570  x 
Construir uma nova 
biblioteca 
Percentagem de conclusão do 
projecto depois de seis meses 
 
1000  x 
Testar um novo processo 
químico 
A temperatura quando ocorre a 
reação desejada (mín. 65º C; máx. 
100º C) 
 
10065  x 
 
 
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2.3 Distribuições Discretas de Probabilidade 
A distribuição de probabilidade de uma variável descreve como as probabilidades estão 
distribuídas sobre os valores de uma variável. Para uma variável aleatória discreta X, a 
distribuição é definida por uma função chamada Função de Probabilidade e denotada 
por  xf ou  xP . Esta função fornece a probabilidade para cada um dos valores da 
variável aleatória X. 
 
2.3.1 Função de Probabilidade é a função que associa a cada valor assumido pela 
variável aleatória de probabilidade do evento correspondente isto é: 
    niAPxXP ii ...;;3;2;1;  
Ao conjunto    nixPx ii ...;;1;,  damos o nome de Distribuição de Probabilidade da 
Variável aleatória X e poderá ser expressa por uma tabela, gráfico ou fórmula. 
 É importante verificar que para que haja uma distribuição de probabilidades de 
uma variável aleatória X é necessário que: 
 
  1
1


n
i
ixP
 
 
Exemplo. Vamos encontrar a distribuição discreta de probabilidade da variável número 
de caras encontradas no lançamento de três moedas. 
 
Experimento: lançamento de três moedas. 
 
Espaço amostral: O espaço amostral de todos resultados possíveis é: 
               cocococacocococacocacacocococacacocacocacacacaca,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,
Neste caso há oito (8) resultados elementares. 
Se definir-se X como o número de caras num lançamento, os resultados podem ser 
facilmente resumidos numa tabela, usando agora valores numéricos. 
Se X é o número de caras, X assume os valores 0, 1, 2 e 3. 
Por Exemplo:  
PCN
FCN
AP  
K= Ca- Cara e C = Co- Coroa 
x = 0  (C;C;C) 
x = 1 (C;C;K), (C; K; C), (K; C; C) 
 
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x = 2  (C; K; K), (K; C; K), (K; K; C) 
x = 3  (K; K; K) 
 
A distribuição de probabilidade pode ser expressa pela tabela: 
 
Tabela 3: Distribuição de probabilidade correspondente ao número de carras no 
lançamento de três moedas 
X 0 1 2 3 
 XP 
8
1
 
8
3
 
8
3
 
8
1
 
 
Figura 1: Representação gráfica da distribuição de probabilidade número de carras no 
lançamento de três moedas 
 
 
Observação: O exemplo mais simples de distribuição discreta de probabilidade 
apresentado por meio de uma expressão matemática é a distribuição de probabilidade 
uniforme discreta. Sua função de probabilidade é definida pela equação.  
n
xf
1

 
Onde: n = o número de valores que a variável aleatória pode assumir. 
 
Exemplo 2: Seja X a soma dos pontos resultantes do lançamento de dois dados 
numerados de 1 a 6. Determine a distribuição de Probabilidade para X. 
 
 
 
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Tabela 4: Distribuição de Probabilidade de resultantes do lançamento de dois dados 
numerados de 1 a 6 
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  
 XP 
36
1 
36
2 
36
3 
36
4 
36
5 
36
6 
36
5 
36
4 
36
3 
36
2 
36
1 1 
 
36
12112 X 
 
36
23123213  eX 
 
36
3413422;4314  eX 
 
36
4514541;523;5325  eX 
 XPX  -Função de Probabilidade. 
      ...;4;3;2 PPP Distribuição de Probabilidade. 
 
Figura 2: Representação gráfica da distribuição de Probabilidade de resultantes do 
lançamento de dois dados numerados de 1 a 6. 
 
 
2.3.2 Propriedades da Função de Probabilidade 
   0 ixXP Para todo ix 
 


n
i
ixXP
1
1)( 
    kXPkP  
 
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2.4 Função de Distribuição Acumulativa ou de Repartição 
Seja X uma variável aleatória discreta. 
Define-se Função de Distribuição acumulativa da variável aleatória X, no ponto x, como 
sendo a probabilidade de que assuma um valor menor ou igual a x; isto é: 
       


xix
ii xPxFouxXPxF 
Exemplo. Com os dados da distribuição de probabilidade do exemplo da tabela 1, temos: 
a)    
2
1
8
4
8
3
8
1
1
1

ix
ixPF 
b)    
2
1
8
3
8
1
5,1
5,1
 
ix
ixPF 
c)        
8
7
8
3
8
3
8
1
5,25,25,2
5,2
 
ix
ixPFouXPF 
d)         1
8
8
8
1
8
3
8
3
8
1
333
3
 
ix
ixPFouXPF 
e)         1
8
8
8
1
8
3
8
3
8
1
444
4
 
ix
ixPFouXPF 
 d)   05,0 F 
Propriedades: 
   0F 
   1F 
      aFbFbXaP  
        aXPaFbFbXaP  
        bXPaFbFbXaP  
 A Função é não decrescente, isto é,    aFbF  ; para .ab  
 
Exemplo: Seja X nº de caras obtidas no lançamento das moedas. 
a) Construir a distribuição de Probabilidades através de uma tabela e gráfico. 
E: lançamento de duas moedas; 
 
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X: nº de caras obtidas nas duas moedas; 
Seja: K = ca – cara e C = co – coroa 
        cacacocacacococo ,;,;,;, 
       
4
1
2
1
.
2
1
.,0  coPcoPcocoPcocoX 
         
2
1
2.
2
1
.
2
1
.,;,1  caPcoPcacoPcocacacoX 
       
4
1
2
1
.
2
1
.,2  caPcaPcacaPcacaX 
 Tabela 5: Distribuição de probabilidade correspondente ao lançamento de duas moedas; 
X 0 1 2  
 xP 
4
1 
2
1 
4
1 1 
 
 
Figura 3: Representação gráfica da distribuição de probabilidade correspondente ao 
lançamento de duas moedas 
 
 
 
 
 
 
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b) Construir a função de distribuição acumulativa de probabilidade através de uma 
tabela e gráfico. 
 
Tabela:  












2;1
21;
4
3
10;
4
1
0;0
xse
xse
xse
xse
xF 
 
Figura 4: Representação gráfica da função de distribuição acumulativa de 
probabilidade 
 
 
2.5 Esperança Matemática (Média) e Variância de uma Variável Aleatória (VA). 
A esperança matemática ou valor esperado de uma v. a. X é uma medida que posiciona o 
centro de uma distribuição de probabilidade. Ou simplesmente, é uma medida da posição 
central da variável aleatória. 
Originalmente, o conceito de esperança matemática surgiu em relação aos jogos de azar e, 
em sua forma mais simples, é o produto da quantia que um jogador pode ganhar pela 
probabilidade de o jogador ganhar. 
Qual é a esperança matemática de alguém que compra um dentre 2.000 bilhetes de uma 
rifa de uma viagem para o África do sul, estimada em $1.960,00? 
 
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Como a probabilidade de ganhar a viagem é de 1/2.000 = 0,0005, a esperança matemática 
é $1.960,00 x 0,0005 = $ 0,98. Assim, do ponto de vista financeiro, seria insensato pagar 
mais de 98 centavos de dólar por um bilhete dessa rifa, a menos que a rifa fosse para 
alguma causa nobre ou que a pessoa que comprasse o bilhete estivesse obtendo algum 
prazer com a aposta. O prémio era a viagem no valor de $1.960,00 e os dois resultados 
eram a viagem no valor de $1.960,00 e coisa alguma. Poderíamos argumentar que um dos 
bilhetes da rifa pagará o equivalente a $ 1.960,00, e cada um dos demais 1.999 bilhetes 
pagará coisa alguma, de modo que, na totalidade, os 2.000bilhetes pagarão equivalente a 
$1.960,00 ou, em média 1.960/2.000 = $ 0,98 por bilhete. Essa média é a esperança 
matemática. 
Para generalizar o conceito de esperança matemática, considere a modificação na rifa 
citada acima. 
Qual é a esperança matemática por bilhete se a rifa também sorteia um jantar para dois 
num restaurante famoso, no valor de $200,00, como prémio de segundo lugar, e duas 
entradas de cinema, no valor de $ 16,00, como prémio de terceiro lugar? 
Agora podemos argumentar que um dos bilhetes pagará o equivalente a $ 1.960,00, outro 
bilhete pagará o equivalente a $ 200,00, um terceiro pagará o equivalente a $16,00 e cada 
um dos demais 1.997 bilhetes não pagará coisa alguma. Em sua totalidade, portanto, os 
2.000 bilhetes pagarão o equivalente a $1.960,00 + $200,00 + $16,00 = $2.176,00, ou 
uma média equivalente a 2.176/2.000 = $1,088 por bilhete. 
Olhando para o exemplo de uma maneira diferente, poderíamos argumentar que, se o 
sorteio fosse repetido muitas vezes, uma pessoa com um dos bilhetes ganharia coisa 
alguma %87,99100.
2000
997.1
 do tempo (ou com uma probabilidade de 0,9985 e cada um 
dos três prémios %05,0100.
2000
1
 do tempo (ou com uma probabilidade de 0,0005). 
Em média, uma pessoa com um dos bilhetes ganharia o equivalente a $ 1.960 x 0,0005 + 
$ 200 x 0,0005 + $ 16 x 0,0005 = $ 1,088, que é a soma dos produtos obtidos 
multiplicando cada pagamento pela probabilidade correspondente. 
 
2.6 Valor Esperado ou Esperança Matemática de uma Variável Aleatória Discreta 
 
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Considere a seguinte distribuição de Probabilidade de número de carros vendidos por 
semana numa agência: 
 
Tabela 6: Cálculo dovalor esperado para o número de carros vendidos por semana numa 
agência 
X 0 1 2 3 4 
 xP 1.0 2,0 45,0 2,0 05,0 
 xXP 0 (0,1) = 0 1(0,2) = 0,2 2(0,45) = 0,9 3(0,2) = 0,6 4(0,05) = 0,2 
 
Qual é o número esperado de carros que a agência espera vender numa dada semana? 
  5544332211 ..... PXPXPXPXPXxE  
  9,105,0.42,0.345,0.22,0.11,0.0 xE 
O valor esperado ou esperança matemática de uma variável aleatória discreta é: 
   i
n
i
inn xPXPXPXPXPXxE ........
1
332211 

 
Como:
 
 
 
 
 






 




n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
nn
n
xpx
xpx
xp
xpx
ppp
pxpxpx
xEPPPP
1
1
1
1
21
2211
321
.
1
..
...
......
1...
 
 
A esperança Matemática  xE é um número real. É também uma média aritmética 
ponderada dos valores da variável aleatória: nxxxx ...;;;; 321 para os pesos 
npppp ;...;;; 321 que correspondem as frequências relativas:    XxE 
 
Notação:  xE ;  x ;  . 
 
Definição: Esperança Matemática ou Valor Esperado de uma variável aleatória discreta 
X; é a soma dos produtos dos valores que a variável aleatória pode assumir pelas 
probabilidades associadas a estes valores. 
 
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2.7 Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Considerando o exemplo de números de carros a vender por semana, a sua variância será: 
                
         5
2
54
2
4
3
2
32
2
21
2
1
2
..
...
xPxExxPxEx
xPxExxPxExxPxExxVar


 
 
            05,0.9,143,0.9,1345,0.9,122,0.9,111,0.9,10 222222 xVar 
 
  99,02 xVar 
 
Chama-se Variância de uma variável aleatória X, a esperança matemática do quadrado 
do desvio desta variável em relação à sua esperança matemática. 
Esta é uma medida de variabilidade para variáveis aleatórias 
                   23
2
32
2
21
2
1
2 ...... xExxPxExxPxExxPxExxVar n  
 
Ou          2
22 . xExExPxExx  Ou        xVarxExEx 
222 
 
      222   xExxVar 
 
              iiii xxpxExxVarouxxpxxxVar   ..
2222  
 
2.8 Desvio Padrão ou Desvio Médio Quadrático 
Do exemplo anterior  xE o cálculo do desvio padrão será: 
99,099,099,02   
Chama-se Desvio Padrão ou Desvio Médio Quadrático de uma variável aleatória X, a 
raíz quadrada da respectiva variância. 
2  ou        22 xExExVarx  
 
 
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 A seguinte fórmula é usada para fins de cálculos da variância e pode ser obtida 
facílmente usando as propriedades da variância. 
    222   xExVar 
Por Exemplo: O número de horas que 20 estudantes dormiram no Domingo passado foi 
o seguinte: 7,10,7,8,8,9,8,7,5,8,8,7,7,9,8,9,8,10,8,9. 
a) Traçar o gráfico da função de distribuição de probabilidade referente a esses 
dados. 
 
 
 
Tabela 7: 
i 
ix if    ii xPxfF  
2
ix  ii xPx .
2  ii xpx . 
1 5 1 05.0
20
1  25 1.25 0.25 
2 7 5 25.0
20
5  49 12.25 1.75 
3 8 8 4.0
20
8  64 25.6 3.2 
4 9 4 2.0
20
4  81 16.2 1.8 
5 10 2 1.0
20
2  100 10.0 1 
 ----- 20 1 ----- 65.3 8 
 
 Figura 5: Gráfico de barras da função de distribuição de probabilidade que representa 
o número de horas 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 14 
 
 
 
b) Determinar o número médio de horas e o desvio padrão. 
  8.
5
1


xxpx
i
ii 
        i
I
i xxPXExxxVar  

.
25
1
2 
            1,0.8102,0.894,0.8825,0.8705,0.85 222222 xVar 
  1,0.42,0.14,0.025,0.105,0.92 xVar 
  3,14,02,0025,045,02 xVar ou 
      3,183,65 2222  xExExVar  e 14,13,12   
c) Determinar a probabilidade de encontrar um estudante que tenha dormido oito 
horas ou mais. 
 ?8hxP  
       10988  xPxPxPhxP 
 
20
2
20
4
20
8
8  hxP 
  1,02,04,08  hxP 
  %707,08  hxP 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 15 
 
2.9 Variáveis Aleatórias Contínuas 
 
Uma variável aleatória é contínua se pode assumir qualquer valor de um intervalo de 
números reais.        bxaoubxabxabxa  ;; 
 
 
 
2.9.1 Função Densidade de Probabilidade (fdp) de uma Variável Aleatória Contínua. 
 
Seja X uma variável aleatória contínua do contradomínio S(x). Chama-se 
função densidade de probabilidade de X a função f(x) que permite 
determinar a probabilidade de X assumir valores no intervalo    xSba , 
 
Propriedades da função densidade f(x): 
 
a)   0xf , para todo x , significa que o gráfico da função f está todo acima do 
eixo x. 
b)   1


dxxf , significa que a área total abaixo da curva f(x) é igual a 1. 
c) Suponhamos que a função densidade f(x) está representada graficamente. Então, 
graficamente  bxaP  é a área da região do plano limitado pela função 
densidade, o eixo das abcissas e as rectas bxeax  . Em linguagem de cálculo. 
       aFbFdxxfbxaP
b
a
  
 
Exemplo: 
 
Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte densidade: 
 







contráriocaso
xxk
x
xf
,0
,30,
6)( 
 
a) Determina o valor de k. 
b) Encontre a probabilidade de que X esteja no intervalo [1;2]. 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 16 
 
 
Solução: 
a)   0xf , para todo 30  x 
f(x) deve satisfazer a condição   .1


dxxf
 
Assim tem-se 
12
1
36
3
9123613
12
9
1
12
1
6
3
00
23
0












 kkkkx
x
dxk
x
 
b) 
         
   
3
1
12
12
1
12
12
1
12126
21
22
2
1
22
1













 
xx
dxk
x
xPaFbFdxxfbxaP
b
a
 
 
2.9.2 Função de Distribuição Acumulativa de uma Variável Aleatória Contínua 
 
Definição: A função distribuição acumulativa de uma variável aleatória contínua X, é 
dada por:
 
       

xdttfxXPxF
x
; 
 
Obs: A Função Densidade de Probabilidade (fdp) é a primeira derivada da função de 
distribuição de uma Variável Aleatória Contínua. 
 
    ;)(
)(
)( ´ dxxfxF
dx
xdF
xFxf 


 
 
Exemplos: 
 
1. O tempo de corrosão de determinada peça de uma arma em contacto com uma solução 
é uma variável aleatório contínua com função densidade de probabilidade dada por: 
 
 







contráriocaso
horasdecentenasemxx
x
xf
,0
,60,
72)(
2
 
 
Encontre a função de distribuição acumulativa. 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 17 
 
 
Solução: 
    0,0  

xsedttfxF
x
 
    60,
216216
)(
3
00
30






 

xse
xt
dttfdttfxF
xx
 
    6,1010)()(
6
0 6
0
  


xsedtxfdttfdttfxF
 
Portanto: 








6,1
,60,
216)(
3
xse
horasdecentenasemxx
x
xF
 
 
2. Seja uma variável aleatória contínua X com função distribuição acumulativa F(x) dada 
por: 









1,1
10,
0,0
)( 2
xse
xsex
xse
xF
 
Encontre a função de densidade de probabilidade de X. 
 
Solução: 
Como   ,
)(
)( ´
dx
xdF
xFxf  então: 









1,0
10,2
0,0
)(
xse
xsex
xse
xf
 
 
 
2.10 Valor Esperado ou Esperança Matemática de uma Variável Aleatória Contínua 
Seja X uma v.a. contínua com f.d.p. f. Definimos esperança (ou valor médio) deX como 
sendo, 
    dxxfxxxE 


  
Exemplo: Seja uma v.a. contínua com função densidade de probabilidade dada por: 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 18 
 
 


 

valoresoutrospara
xsex
xf
0
10,2
 
Determine a esperança matemática. 
     
3
2
3
22.
1
0
2
31
0
1
0
  x
x
xdxxdxxfxxxE  
 
2.11 Variância de uma Variável Aleatória Contínua 
         2
2
2   


xEdxxfxxxVar 
 
2.12 Desvio Padrão ou Desvio Médio Quadrático de uma Variável Aleatória 
Contínua 
2  ou        22 xExExVarx  
 
Exercícios 
1. Construa a tabela de probabilidade para a variável aleatória: número de coroas obtidas 
no lançamento de duas moedas 
 
2. Uma variável aleatória tem a distribuição de probabilidade dada pela seguinte fórmula: 
 
x
k
xP  , para x = 1, 3, 5, 7 
a) Determine K 
b) Calcule P(2 <x< 6) 
c) Quanto vale F(5)? 
 
3. Uma v. a discreta X tem função de probabilidade dada por: 
    xii kxXPxP
 2. , x = 0, 1, 2, … 
a) Encontre K 
b) Encontre P(X ser maior ou igual a 3) 
c) Encontre P(3 < X < 7) 
 
4. Suponha que X seja uma v. a. com a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 19 
 
 
x -3 -1 0 1 2 3 5 8 
P(x) 0,1 0,2 0,15 0,2 0,1 0,15 0,05 0,05 
 
Determine as seguintes probabilidades: 
a) X é negativo. 
b) X é par positivo. 
c) X assume um valor entre 1 e 8 (inclusive). 
 
5. Uma variável aleatória discreta pode assumir cinco valores, conforme a distribuição de 
probabilidade: 
 
X 1 2 3 5 8 
P(x) 0,20 0,25 ---- 0,30 0,10 
a) Encontre o valor P(3). 
b) Qual é o valor da função acumulativa para x = 5? 
c) Encontre a média da distribuição. 
 
6. A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é dada pela 
fórmula: 
     12,0.8,0  xxP , x = 1, 2, 3, ... 
a) calcule P(x) para x =1, x = 2, x = 3, x = 4 e x = 5 
 
b) Some as probabilidades obtidas no item a. O que você diria a respeito das 
probabilidades para valores maiores do que 5? 
 
7. O número de acidentes no trecho X da Rodovia Y no período nocturno, em dias de 
chuva, é uma variável aleatória com seguinte distribuição de probabilidade: 
 
      teconskxxxKxXP tan3,2,1,0,4.3.  
 
a) Encontre o valor de k; 
b) Qual a probabilidade de nenhum acidente naquele trecho e naquele período? 
c) Qual a probabilidade de pelo menos um acidente; 
d) Qual a probabilidade de um acidente no máximo. 
 
8. O tempo de corrosão de determinada peça de uma arma em contacto com uma solução 
é uma variável aleatório contínua com função densidade de probabilidade dada por: 
 


 

contráriocaso
horasdecentenasemxxkx
xf
,0
,60,
)(
2
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 20 
 
 a) Determine K. 
 b) Uma peça é escolhida ao acaso de um lote e colocada em contacto com a solução. 
Qual a probabilidade de que dure menos de 400n horas. 
 c) Qual a percentagem de peças com vida útil entre 100 a 400 horas. 
 
9. O tempo de reacção de um determinado elemento químico em um laboratório 
criminalística é uma variável aleatório x com seguinte função de densidade de 
probabilidade: 








contráriocaso
xcx
xcx
xf
,0
32,
,21,
)(
2
 
Determine: 
 a) A constante c. b)  2xP c) 






2
3
1 xP 
 
10. Descobriu – se que a chegada de clientes a uma loja de material fotográfico, durante 
intervalos aleatoriamente escolhido de 10minutos, segue a distribuição de probabilidade 
da Tabela 1. Calcular o número esperado de chegadas por intervalos de 10 minutos bem 
como calcular a variância das chegadas. 
 
Tabela 1. Chegadas de clientes a uma loja de material fotográfico durante intervalos de 
10 minutos 
 
Número de chegadas X 0 1 2 3 4 5 
Probabilidade P(X) 0,15 0,25 0,25 0,20 0,10 0,05 
 
11. Um investigador agrónomo tem os seguintes valores para as estimativas das 
probabilidades correspondentes aos dias necessários para concluir uma determinada 
investigação. 
 
Número de dias X 1 2 3 4 5 
Probabilidade 
P(X) 
0,05 0,20 0,35 0,30 0,10 
 
a) Qual é a probabilidade de que uma investigação escolhida aleatoriamente leve 
menos de 3 dias para ser concluída? 
b) Qual é o tempo esperado para se completar uma investigação? 
 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 21 
 
 
TEMA 3. DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS DE PROBABILIDADES 
 
3.1 Introdução 
 
Quando aplicamos a Estatística na resolução de problemas administrativos, verificamos 
que muitos problemas apresentam as mesmas características o que nos permite 
estabelecer um modelo teórico para determinação da solução de problemas. 
 
Os componentes principais de um modelo estatístico teórico: 
1. Os possíveis valores que a variável aleatória X pode assumir; 
2. A função de probabilidade associada à variável aleatória X; 
3. O valor esperado da variável aleatória X; 
4. A variância e o desvio ‐ padrão da variável aleatória X. 
 
Há dois tipos de distribuições teóricas que correspondem a diferentes tipos de dados ou 
variáveis aleatórias: a distribuição discreta e a distribuição contínua. 
 
3.2 Distribuições de Variáveis Aleatórias Discretas 
Descreve quantidades aleatórias (dados de interesse) que podem assumir valores 
particulares e os valores são finitos. 
Por exemplo, uma variável aleatória discreta pode assumir somente os valores 0 e 1, ou 
qualquer inteiro não negativo, etc. Um exemplo de variável climatológica discreta são as 
tempestades com granizo. 
 
3.2.1 Distribuição de Bernoulli 
 
1. Característica do modelo 
Se uma variável aleatória X só pode assumir os valores 0 (fracasso) e 1 (sucesso) com 
  pxPqxP  )1(0 com 1 qp , então diremos que a variável aleatória X 
admite distribuição de Bernoulli. 
 
 
2. Discrição do modelo 
1.  1,0X ; 
2.     pXPeqXP  10 ; 
3.   pXE x   ; 
4.   qpeqpXVar .. 22   
Podemos escrever o modelo do seguinte modo: 
  xx pqxXP  1. Onde: pq 1 
 
Esperança (média) e Variância: 
Calcularemos a média e a variância da variável com distribuição de Bernoulli assim: 
 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 22 
 
X  XP  XPX .  XPX .2 
0 q 0 0 
1 p p P 
 1 p P 
 
  pXE x      qpppppXVare .1
22  
 
 
Exemplo 1: No lançamento de uma moeda, a variável aleatória X denota o número de 
caras obtidas. 
 
1.  1,0X ; 2.    
2
1
1
2
1
0  XPeXP ; 3.  
2
1
2
1
.1
2
1
.0  xXE  ; 
 
4.  
2
1
4
1
4
1
2
1
.
2
1 22   eXVar 
 
Exemplo 2: 
Uma urna contém 20 bolas brancas e 30 bolas vermelhas. Uma bola é retirada da urna e a 
variável aleatória X denota o número de bolas vermelhas obtidas. Calcule a média E(X), 
a Var(X) e o desvio ‐ padrão de X. 
 
Solução: 
 
     
    5625625653.5253
53.525350301
5250200
22
1








 eXVarxE
xXPp
q
x
xx
 
 
 
 
3.2.2 Distribuição Binomial 
 
A distribuição de probabilidade binomial é uma distribuição de probabilidade que tem 
muitas aplicações. Ela está associada a um experimento de várias etapas, que chamamos 
experimento binomial. 
 
1. Conceituação 
Vamos, neste item, considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições: 
a) O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes 
(n). 
b) As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve 
afectar os resultados das sucessivas.c) Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados: sucesso e insucesso. 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 23 
 
d) No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q (q = 1 – 
p) do insucesso manter ‐ se ‐ ão constantes. 
 
Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obterem k sucessos 
em n tentativas. 
O experimento “obtenção de caras em cinco lançamentos sucessivos e independentes de 
uma moeda” satisfaz essas condições. 
 
Sabemos que, quando da realização de um experimento qualquer em uma única tentativa, 
se a probabilidade de realização de um evento (sucesso) é p, a probabilidade de não-
realização desse mesmo evento (insucesso) é 1 – p = q. 
 
Suponhamos, agora, que realizemos a mesma prova n vezes sucessivas e independentes. 
A probabilidade de que um evento se realize k vezes nas provas é dada pela função: 
 
 
kxnqpkXPxfouqpxXPxf knk
n
k
xnxn
x Cc 
 )()(.)()(
 
 
Na qual: 
 
   kXPxf  é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas; 
p é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova – sucesso; 
q é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova – insucesso; 
C
n
k
é o coeficiente binomial de n sobre k, igual a 
)!(!
!
knk
n

. 
 
Essa função, denominada lei binomial, define a distribuição binomial. 
 
 
2. Esperança, Variância e Desvio Padrão do Modelo Binomial 
 
Aplicando os conceitos de valor esperado nas distribuições discretas, substituindo a 
expressão P(x) da distribuição binomial naquelas expressões obteremos o valor esperado 
E(x) = μ, a variância   2XVar e o desvio padrão σda distribuição binomial. Perceba o 
leitor que estes resultados não dependem do número de sucessos x. 
 
3. Parâmetros da distribuição binomial 
A média, a variância e o desvio padrão são obtidos com: 
 
    qpnppneppnXVarpnxE ..)1.(.1...)( 2   
 
Exemplo 1: Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a 
probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas? 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 24 
 
 
Solução: 
Temos: 
N = 5 e k = 3 
Pela lei binomial, podemos escrever:   235
3
3535
3
..3 qpqpXP CC 

 
 
Se a probabilidade de obtermos “cara” numa só prova (sucesso) é p = 1/2 e a 
probabilidade de não obtermos “cara” numa só prova (insucesso) é q = 1 – 1/2 = 1/2, 
então:      
16
5
21.213
235
3
 CXP 
 
Exemplo 2: São realizadas 10 experiências com probabilidade de sucesso p = 0,10. 
Considerando que o experimento tem distribuição binomial, calcular a média e o desvio 
padrão. 
 
Solução: 
 
  9487,010,01.10,0.10..)1.(.110,0.10.)(  qpnppnepnxE 
 
 
Exercícios: 
 
1. Determine a probabilidade de obtermos exactamente 3 caras em 6 lances de uma 
moeda. 
 
2. Devido às altas taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de 
outras firmas comerciais se encontram vencidas. Se um contador escolhe aleatoriamente 
uma amostra de cinco contas, determinar a probabilidade de cada um dos seguintes 
eventos: 
 a) Nenhuma das contas está vencida; 
 b) Exactamente duas contas estão vencidas; 
 c) A maioria das contas está vencida. 
 
3. Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supõe - se no entanto 
que 40% dessas garrafas contém realmente uma menor quantidade de líquido do que o 
volume indicado no rótulo. 
 Tendo adquirido 6 dessas garrafas, qual a probabilidade de: 
a) Duas delas conterem menos de um litro? 
b) No máximo 2 conterem menos de um litro? 
c) Pelo menos 2 conterem menos de um litro? 
d) Todas conterem menos de um litro? 
e) Todas conterem o volume indicado no rótulo? 
f) Represente a função de probabilidade de V. A. em questão. 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 25 
 
4. Se for estimada em 0,3 a probabilidade de uma pessoa contactada realizar uma compra, 
calcule a probabilidade de um vendedor que visita num dia 16 pessoas: 
 a) Realizar 5 vendas; 
 b) Realizar entre 4 e 8 vendas; 
 c) Realizar quando muito 2 vendas; 
 d) Realizar no máximo 10 vendas; 
 e) Realizar pelo menos 12 vendas; 
 f) Realizar no mínimo 3 vendas; 
g) 25% Realizarem compras; 
h) Continuando o vendedor a visitar 16 pessoas diariamente, qual o seu número 
médio diário de vendas? 
 
5. Você tem uma carteira com 15 acções. No pregão de ontem 75% das acções na bolsa 
de valores caíram de preço. Supondo que as acções que perderam valor têm distribuição 
binomial: 
 a) Quantas acções da sua carteira você espera que tenham caído de preço? 
 b) Qual o desvio padrão das acções que tem na carteira? 
 c) Qual a probabilidade que as 15 acções da carteira tenham caído? 
 d) Qual a probabilidade que tenham caído de preço exactamente 10 acções? 
 e) Qual a probabilidade que treze ou mais acções tenham caído de preço? 
 
6. Consideremos as decisões de compra dos próximos três clientes que entram na loja de 
roupas. Com base em sua experiência, o gerente da loja estima que a probabilidade de 
qualquer um dos clientes comprar é de 0,30. Qual é a probabilidade de dois dos próximos 
três clientes realizarem uma compra? 
 
 
3.2.3 Distribuição de Poisson 
 
A distribuição de Poisson é empregue em experimentos, nos quais não se está interessado 
no número de sucessos obtidos em n tentativas, como ocorre no caso da distribuição 
Binomial, mas sim no número de sucessos ocorridos durante um intervalo contínuo, que 
pode ser um intervalo de tempo, espaço, etc. Como por exemplo: 
 
 O número de suicídios ocorridos em uma cidade durante um ano; 
 O número de acidentes automobilísticos ocorridos numa rodovia em um mês; 
 Número de chegadas a um caixa automático de um banco durante um período de 
15 minutos; 
 A probabilidade de um carro chegar a um posto de gasolina em quaisquer dois 
períodos de tempo de mesmo tamanho; 
 A chegada ou não chegada de um carro em qualquer período de tempo 
independentemente da chegada ou não chegada de outro carro em qualquer outro 
período; 
 Defeitos por unidade  .,,2 etcmm por peça fabricada; 
 Erros tipográficos por página, em um material impresso; 
 Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante certa hora do dia; 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 26 
 
 Usuários de computador ligados à Internet. 
 
Note que nos exemplos acima, não há como determinar ‐ se a probabilidade de ocorrência 
de um sucesso, mas sim a frequência média de sua ocorrência, como, por exemplo, dois 
suicídios por ano, a qual será que denominada λ. 
 
É, então, uma distribuição de probabilidade discreta que se aplica a ocorrência de 
eventos ao longo de intervalos especificados. A variável aleatória é o número de 
ocorrência do evento no intervalo. Os intervalos podem ser de tempo, distância, área, 
volume ou alguma unidade similar. 
 
Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se: 
 
1. Discrição do modelo 
1.  ,....3,2,1,0X (não tem limite); 
2.   ,...,2,1,0
!


k
k
e
kXP
k
; é probabilidade de k ocorrências em um intervalo e 
71828,2e 
3.     xXE ; 
4.   .2  XVar 
 
Uma distribuição de Poisson difere de uma distribuição binomial nestes aspectos 
fundamentais: 
 
1. A distribuição binomial é afectada pelo tamanho da amostra n e pela probabilidade p, 
enquanto que a distribuição de Poisson é afectada apenas pela média; 
2. Na distribuição binomial, os valores possíveis da variável aleatória X são 0; 1; 2; _ _ _ ; 
n, mas a distribuição de Poisson têm os valores de X de 0; 1; 2; …. , sem qualquer limitesuperior. 
 
Obs: O parâmetro λé usualmente referido como taxa de ocorrência. 
 
Propriedades do experimento de Poisson: 
 A probabilidade de uma ocorrência é a mesma para quaisquer dois intervalos de 
igual comprimento; 
 A ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervalo é independente da 
ocorrência ou não ‐ ocorrência em qualquer intervalo. 
 
 
Exemplo 1: O Corpo de Bombeiros de uma determinada cidade recebe, em média, 3 
chamadas por dia. Qual a probabilidade de receber: 
a) 4 chamadas num dia. 
λ= 3 chamadas por dia em média 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 27 
 
  %80,161680,0
!4
3
!
4
43
ou
e
k
e
kXP
k

 
 
 
b) Nenhuma chamada em um dia 
  %98,40498,0
!0
3
!
0
03
ou
e
k
e
kXP
k

 
 
 
c) 20 chamadas em uma semana. 
X = número de chamadas por dia 
Y = número de chamadas por semana 
E(X) = λ= 3 chamadas por dia ⇒ E(Y) = λ * = 7 x E(X) = 21 chamadas por semana. 
  %67,80867,0
!20
21
!
20
2021
ou
e
k
e
kyP
k

 
 
 
2. Aproximação da distribuição Binomial a Poisson. 
 
Pode‐se demonstrar que uma distribuição Binomial, cujo evento de interesse (sucesso) é 
raro (p muito pequeno e n muito grande), tende para uma distribuição de Poisson. Na 
prática, a aproximação é considerada boa quando n ≥ 50 e p ≤ 0,10. 
Aproximação: Sabe ‐ se que se X B(n; p), E(X)= np, então ¸ = E(X)= np 
 
Exemplo 2: A probabilidade de um indivíduo sofrer uma reacção alérgica, resultante da 
injecção de determinado soro é de 0,01. 
Determinar a probabilidade de entre 200 indivíduos, submetidos a este soro, nenhum 
sofrer esta reacção alérgica. 
X B(200; 0, 01) ⇒ E(X)= n.p = 200x0,01 = 2 = λ 
P(X = 2) =   %53,131353,0
!0
21
!
2
02
ou
e
k
e
kXP
k

 
 
 
Exercícios 
 
1. Um posto de Bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcular a 
probabilidade de: 
a) Receber 5 chamadas por dia; 
b) Receber 3 ou mais chamadas num dia. 
 
2. O erro de digitação cometido pelos caixas é 0,35 por hora. Qual a probabilidade de que 
um caixa cometa 2 erros numa hora? 
 
3. O número de chamadas que chegam num período de 5 minutos à central telefónica de 
uma esquadra da PRM é uma V.A. com distribuição de Poisson, de parâmetro λ=10. 
 Calcule a probabilidade de num período de 5 minutos: 
a) Chegarem exactamente 8 chamadas; 
b) Chegarem menos de 5; 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 28 
 
c) Chegarem no mínimo 3; 
d) Chegarem pelo menos 20; 
e) Não chegar nenhuma; 
f) Represente a função de probabilidade da V.A. em questão. 
 
3.2.4 Distribuição Geométrica 
 
Suponha ‐ se um experimento, no qual estamos interessados apenas na ocorrência ou não 
de um determinado evento, como, por exemplo, o sexo do filho de uma determinada 
mulher ser feminino. E, assim como na distribuição binomial, que esse experimento seja 
repetido um número n de vezes, que em cada repetição seja independente das demais e 
que a probabilidade de sucesso p em cada repetição seja constante. Suponha ‐ se que o 
experimento seja repetido até que ocorra o primeiro sucesso (o sexo do filho seja 
feminino). 
 
Então a variável aleatória: X = número de tentativas até que se obtenha o primeiro 
sucesso, seguirá uma distribuição geométrica, com parâmetro p (probabilidade de 
sucesso). Simbolicamente X : G(p). 
 
 Função de Probabilidade 
 
Como o experimento será repetido até que se obtenha o primeiro sucesso, e considerando 
que esse ocorra na k‐ésima repetição, deverão ocorrer k‐1 fracassos antes que o 
experimento seja encerrado. Assim, a probabilidade de que a variável aleatória X = 
número de repetições até se obter o primeiro sucesso é:   1 xpqxXP 
 
com 
p probabilidade de “sucesso"; 
 pq 1 probabilidade de “fracasso". 
 
Parâmetros característicos: 
2
2)(
1
)(
p
q
xVare
p
xE   
 
Exemplo: Um casal com problemas para engravidar, recorreu a uma técnica de 
inseminação artificial no intuito de conseguir o primeiro filho. A eficiência da referida 
técnica é de 0,20 e o custo de cada inseminação 2.000,00 Mt. 
 
a) Qual a probabilidade de que o casal obtenha êxito na terceira tentativa? 
 
     %8,12128,08,02,0 131 oupqkXP k   
 
 
b) Qual o custo esperado deste casal para obter o primeiro filho? 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 29 
 
5
20,0
11
)( 
p
xE  
Custo esperado = 5 x 2000,00 = 10.000,00 Mt 
 
 
Exercício 
 
Pio Mato Júnior é o jogador de basquete da faculdade. Ele é um lançador de arremessos 
livres 70%. Isto significa que sua probabilidade de acertar um arremesso livre é 0,70. 
Durante uma partida, qual é a probabilidade que Pio Mato Júnior acerte seu primeiro 
arremesso livre no seu quinto arremesso? 
 
 
3.2.5 Distribuição Hipergeométrica 
 
Um experimento hipergeométrico é um experimento estatístico que tem as seguintes 
propriedades: 
 Uma amostra de tamanho n é seleccionada aleatoriamente sem reposição de uma 
população de N itens. 
 Na população, k itens podem ser classificados como sucessos e N – k itens podem 
ser classificados como fracassos. 
 
Considere o seguinte experimento estatístico. Você tem uma urna de 10 bolinhas de 
bilhar, 5 vermelhas e 5 verdes. Você selecciona aleatoriamente 2 bolinhas de bilhar sem 
reposição e conta o número de bolinhas vermelhas que você seleccionou. Este seria um 
experimento hipergeométrico. 
 
Note que não será um experimento binomial. Um experimento binomial exige que a 
probabilidade de sucesso seja constante em cada tentativa. Com o experimento acima, a 
probabilidade de um sucesso muda em cada tentativa. No início, a probabilidade de 
seleccionar uma bolinha vermelha é 5/10. Se você seleccionar uma bolinha vermelha na 
primeira tentativa, a probabilidade de seleccionar uma bolinha vermelha na segunda 
tentativa é 4/9. E se você seleccionar uma bolinha verde na primeira tentativa, a 
probabilidade de seleccionar uma bolinha vermelha na segunda tentativa é 5/9. 
 
Note ainda que se você seleccionou as bolinhas com reposição, a probabilidade de 
sucesso não mudaria. Ela seria 5/10em cada tentativa. Então, este seria um experimento 
binomial. 
 
Notação 
A seguinte notação é útil, quando falamos a respeito da probabilidade hipergeométrica e 
distribuições hipergeométrica: 
 N: O número de itens na população. 
 k: O número de itens na população que são classificados como sucessos. 
 n: O número de itens na amostra. 
 X: O número de itens na amostra que são classificados como sucessos. 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 30 
 
 C
k
x
: O número de combinações de k coisas, tomando x coisas de cada vez. 
 P(x;N;n;k): Probabilidade hipergeométrica ‐ a probabilidade que um experimento 
hipergeométrico de n tentativas resulte em exactamente x sucessos, quando 
população consistir de N itens, k dos quais são classificados como sucessos. 
 
 Função de Probabilidade 
Uma variável aleatória hipergeométrica X é o número de sucessos que resulta de um 
experimento hipergeométrico. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória 
hipergeométrica é chamada função distribuição hipergeométrica. 
 
   
 
C
CC
N
n
kN
xn
k
x
knNxXP



.
;;; 
 
2. Parâmetros característicos: 
Fazendo 
q
N
kN
ep
N
k


 tem‐se
   
1
.. 2



N
nN
npqxVarepnxE  
 
Exemplo: No ficheiro de um hospital, estão arquivados os prontuários dos 20 pacientes, 
que deram entrada no PS apresentando algum problema cardíaco. Destes 5 sofreram 
infarto. 
Retirando‐se uma amostra ao acaso de 3 destes prontuários, qual a probabilidade de que 
dois deles sejam de pacientes que sofreram infarto? 
 Solução: 
 
 N= 20; k = 5; n = 3 e x = 2 
 
   
 
 
 
%15,131315,0
1140
15.10...
5;3;20;2
20
3
15
1
5
2
20
3
520
23
5
2
ouXP
C
CC
C
CC
C
CC
N
n
kN
xn
k
x





 
 
Exercícios: 
 
1. Dum lote de 100 peças, das quais 20 são defeituosas, escolheu-se ao acaso uma 
amostra de 10. Qual a probabilidade de nessa amostra. 
 a) Haver 3 defeituosas? 
 b) Haver 5 defeituosas? 
 
2. Um lote possui vinte objectos dos quais dois são defeituosos; dois desses 20 objectos 
são aleatoriamente escolhidos do lote. Seja X a variável aleatória (v.a) que indica o 
número de objectos defeituosos entre os dois escolhidos. Estabeleça a distribuição de 
probabilidade da v.a. X. 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 31 
 
3.3 Distribuições de Variáveis Aleatórias Contínuas 
No subponto anterior, discutimos os modelos das distribuições de probabilidades das 
variáveis aleatórias discretas. Neste subponto, discutiremos os principais modelos de 
distribuições de probabilidades das variáveis aleatórias contínuas como por exemplo a 
distribuição uniforme ou rectangular, exponencial e normal. 
Uma diferença fundamental separa as variáveis aleatórias discretas e as contínuas em 
termos de como as probabilidades são calculadas. Quanto a uma variável aleatória 
discreta, a função de probabilidade )(xf produz a probabilidade de a variável assumir um 
valor em particular. No que diz respeito às variáveis aleatórias contínuas, a contraparte da 
função de probabilidade é a função densidade de probabilidade (fdp), também expressa 
por )(xf . A diferença é que a função densidade de probabilidade (fdp) não produz 
probabilidades directamente. Entretanto, a área sob o gráfico de )(xf correspondente a 
determinado intervalo produz a probabilidade de a variável aleatória contínua x assumir 
um valor nesse intervalo. Então, quando calculamos probabilidades de variáveis contínua, 
calculamos a probabilidade de a variável aleatória assumir qualquer valor nesse intervalo. 
 
 
 
3.3.1 Distribuição Uniforme ou Rectangular 
A distribuição uniforme ou rectangular é válida para as situações nas quais as 
probabilidades de todos os sucessos são iguais. 
Uma variável aleatória contínua é uniformemente distribuída se a sua função densidade 
de probabilidade (fdp) permanecer constante num intervalo  ba; . A fdp é dado por: 












bxse
bxase
ab
axse
xf
,0
,
1
,,0
)(
 
A sua função de distribuição acumulativa é: 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 32 
 













bxse
bxase
ab
ax
axse
xF
,0
,
,,0
)(
 
Os gráficos da função densidade de probabilidade e da função de distribuição acumulada 
são ilustrados a seguir: 
 
 
 
 
Parâmetros ou propriedades da distribuição uniforme 
1. Média ou Esperança matemática:  
2
ba
xE

 
2. Variância:  
12
)( 22 abxV

 
3. Desvio padrão: 
   
3212
2
abab
p



 
Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de recta  2;0 . Qual será a 
probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 1 e 3/2. 
Resolução: 
Seja X, uma variável que representa um ponto escolhido no segmento de recta  2;0 . A 
função densidade da variável X é dada por: 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 33 
 
 























2,0
20,
2
1
0,0
2,0
20,
02
1
,0,0
)(
xse
xse
xse
xse
xse
xse
xf
 
Como 1 e 3/2 pertence ao intervalo  2;0 a probabilidade será: 
4
1
1
2
3
.
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1


















  xdxxP 
Se a função de distribuição é conhecida a probabilidade pretendida pode ser calculada 
passando directamente pela função primitiva de f(x). 











2,0
20,
2
1
,0,0
)(
xse
xsex
xse
xF
Donde       4/12/14/312/32/31  FFxP 
Exercícios: 
1. O intervalo do tempo de duração de pequenos anúncios publicitários é estimado entre 5 
e 12 minutos. Admitindo que a duração de cada anúncio é aleatória e todos os anúncios 
distribuem-se uniformemente no intervalo indicado: 
a) Indique a função de distribuição de probabilidades. 
b) Escreva a função de distribuição acumulada de probabilidades. 
c) Qual é a probabilidade de um anúncio ter uma duração inferior a 8 minutos. E 
entre 8 à 10 minutos. 
d) Calcule a duração média dos anúncios. 
 
2. A densidade de probabilidade de uma distribuição uniforme é igual a constante C no 
intervalo  8;4 e zero fora deste intervalo. 
a) Determine a função de distribuição acumulada. 
b) Determine a constante C na função densidade 
c) Calcule a esperança, variância e desvio padrão da distribuição. 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 34 
 
3.3.2 Distribuição Exponencial 
A distribuição de probabilidade do intervalo de tempo t, entre dois sucessos consecutivos 
de lei Poisson é a distribuição exponencial. A sua função densidade de probabilidades é 
dada por: 
0
0,
,0,0
)( 








 
onde
xsee
xse
xF
x 
Partindo da função densidade de probabilidades pode-se obter a função de distribuição 
acumulada F(x). 






 0,1
,0,0
)(
xsee
xse
xF
x 
Os gráficos da função densidade de probabilidade e da função de distribuição acumulada 
são ilustrados a seguir: 
 
A probabilidade de que uma variável aleatória contínua X cuja função densidade de 
probabilidade é dada pela distribuição exponencial assuma um valor num intervalo  ba; 
será igual a:   ba eebxaP    
 
Parâmetros ou propriedades da distribuição exponencial 
1. Média ou Esperança matemática:  

1
xE 
2. Variância:  
2
2 1

  xV 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 35 
 
3. Desvio padrão:  xEp 


11
2
 
 
Exemplo: O tempo de espera em minutos numa paragem de autocarros, obedece a 
distribuição exponencial com 3 . Considere o tempo de espera como um processo 
aleatório e responda as seguintes alíneas. 
a) Obtenha a função de distribuição acumulada da variável X. 
b) Determine a média e o desvio padrão. 
c) Qual é a probabilidade de que x assuma um valor entre 0.6 a 2. 
 
Resolução: 
 
 












 01
00
0,1
,0,0
)()
3 xsee
xse
xF
xsee
xse
xFa
xx
 
 
 
9
1
3
11
22
2 

 xV
 
 
3
111
2
 xEp

 
c)     %28,161628,026.0 2.36,0.3 oueexPeebxaP ba    
 
Exercício: 
1. O tempo de vida X (em horas) das lâmpadas elétricas fabricadas por uma certa 
companhia é uma variável aleatória tendo fdp dada por: 
onde
xseke
xse
xf
x






 0,
,0,0
)(
002,0
 
a) Calcule o valo de k 
b) Qual é a probabilidade do tempo de tempo de vida, de uma lâmpada desta 
companhia ser superior a 600 horas? 
c) Qual é o tempo de vida esperado? 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 36 
 
2. Indicar a densidade de probabilidade da função de distribuição acumulada da lei 
exponencial com 6 . 
 
3. Uma variável aleatória contínua X, é dada pela seguinte densidade de probabilidade: 
onde
xsee
xse
xf
x






 0,04.0
,0,0
)(
04,0
 
Achar a probabilidade de que X, assuma um valor no intervalo 21 x . 
 
4. Admitindo que os intervalos entre duas chegadas de queixosos a uma esquadra da 
Policia, obedece a lei exponencial da por   xexf 55  , onde o tempo se conta em horas. 
Achar a esperança e desvio padrão do tempo de espera até à chegada do próximoqueixoso. 
 
3.3.3 Distribuição Normal. 
A mais importante distribuição de probabilidade para descrever uma variável alectória 
contínua é a distribuição Normal. A distribuição normal é usada em ampla variedade de 
aplicações práticas em que as variáveis aleatórias são a altura, peso das pessoas, notas de 
exames, medições científicas, índices pluviométricos e outros valores similares. Ela 
também é amplamente usada na inferência estatística. Nessas aplicações, a distribuição 
normal fornece uma descrição dos resultados prováveis obtidos por meio de amostragem. 
 
 
Uma variável aleatória X, diz-se que é normalmente distribuída se a sua função densidade 
de probabilidade f(x) é definida pela seguinte equação 
 
 
2
2
1
2
1 





 




xx
exf
 
 
Onde:  xEx   - média da distribuição;  - desvio padrão da distribuição; 
 141592656,3 e 71821828,2e . Para  < x <  
 
Esta distribuição tem uma forma de sino e simétrica em torno da média. 
 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 37 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular a probabilidade de ocorrência de X no intervalo  21; xxX  , calcula-se o 
integral da função em ordem a x, no intervalo em questão. Isto é, a probabilidade de 
ocorrência num determinado intervalo equivale à área delimitada pela curva e pelo eixo 
das abcissas, no intervalo considerado. Isto é: 
 
 
  dxexXxP
xxx
x
2
2
1
21
2
12
1







 




 
 
Repare-se na implicação daqui resultante: como cada curva de distribuição normal é 
caracterizado pelos parâmetros μ e σ, ter-se-ão infinitos casos distintos, de onde resultaria 
a necessidade de o cálculo das probabilidades ser estabelecido caso a caso em particular 
para cada uma das curvas, através da integração de uma expressão análoga à 
anteriormente referida o que, diga-se de passagem, não seria totalmente isento de 
dificuldade. 
 
A fim de ultrapassar este inconveniente, o Sr. Gauss (um dos estatísticos que inicialmente 
estudou esta função de distribuição) desenvolveu uma metodologia conducente à 
estandardização, ou redução a um caso único, de qualquer que seja a função de 
distribuição normal, caracterizada por μ e σ. Esta estandardização transforma qualquer 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 38 
 
função de distribuição normal N(μ,σ) numa única função de distribuição normal, 
caracterizada por ter média μ= 0 e desvio padrão σ= 1, isto é, N(0,1), que é designada por 
função de distribuição normal reduzida. 
 
Esta transformação faz-se convertendo cada um dos valores x da função de distribuição 
normal N(μ,σ) para uma nova variável a dimensional, designada genericamente por z, 
que tem distribuição normal N(0,1). Esta transformação é feita pela seguinte expressão: 
 






xxx
z 
Convertidos os intervalos da variável x, entre os quais se pretende calcular a 
probabilidade, para valores em z, o cálculo desta probabilidade será: 
 
     
22 22
1
2
2
1
2
1
21
2
1
21
2
1
2
1
2
1 z
z
z
z
x
x
xx
ezdzezZzPdxexXxP







 

 




Para  < Z<  
 
Parâmetros característicos: 
    npqnpqxVarpnxEx p   .3.2..1
2
 
4.  xf é simétrico em relação a origem    xEx
 
ou  z
 
é simétrico em relação 
a origem ,0z    xEx
 
e    zz   ; 
5.  xf possui um máximo para    xEx
 
ou  z possui um máximo para 
,0z neste caso a sua ordenada vale   3989,0
2
1
0
2
2
1

 z
ez


 
6. A área sob a curva normal entre ,1  corresponde aproximadamente a 68.3% , 
entre ,2  corresponde aproximadamente a 95.5% e entre ,3  corresponde 
aproximadamente a 99.7% respectivamente da área total. Isto significa que para a 
distribuição Normal, a proporção de valores caindo dentro de um, dois, ou três desvios 
padrão da média. 
7. As probabilidades, resultantes da integração da função f(z), estão calculadas e 
encontram-se tabeladas em tabelas de diferentes apresentações. 
 
8. A fim de calcular probabilidades de acontecimentos que seguem distribuição normal 
N(μ,σ), a metodologia a seguir é a seguinte: 
 
 
i) Representar a curva de probabilidades normal N(μ,σ) e a área que traduz a 
probabilidade pretendida; 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 39 
 
ii) Transformar (estandardizar) os limites inferior e superior  21,xx da área que representa 
a probabilidade a calcular para valores da variável z; esta transformação é feita pela 
expressão 







xxx
z ; fica-se assim com um intervalo de valores em z,  21, zz , 
para o qual se pretende calcular a probabilidade; 
 
iii) Ler as probabilidades na tabela de distribuição normal, tendo em atenção, em face da 
probabilidade pretendida, quais são as transformações de áreas a fazer, tendo em linha de 
conta as propriedades da distribuição normal. 
 
Diferentes casos para o cálculo das probabilidades da distribuição normal 
 
1º Caso: A probabilidade de que uma variável aleatória normal Z, assuma um valor no 
intervalo  21, zz é dada pela fórmula de Newton Leibniz      1221 zzzZzP   
 
Exemplo: calcular a probabilidade de que um valor Z, esteja no 
intervalo
86,170,2  Z
 
         
%51,969651,04964,04686,0
70,286,170,286,186,170,2 1221
ou
zzzZzP

 
 
 
2º Caso: A probabilidade de que uma variável aleatória normal X, assuma um valor no 
intervalo  ,, 21 xx sendo 21 xex valores não padronizados é dada pela fórmula de 
Newton Leibniz        122121 zzzZzPxXxP   
;: 111







xxx
zOnde
 





 222
xxx
z
 
 
Exemplo: O salário semanal dos trabalhadores industriais é distribuído normalmente em 
torno de um médio de 180 mt com desvio padrão de 25 mt. 
 
a) Encontre a probabilidade de um trabalhador ter um salário situado entre 150 mt e 
178 mt. 
 
1781502596,0,180 21  xxp p 
 
 
;20,1
25
1801501
1 





x
z
 
08,0
25
1801782
2 





x
z
 
 
 
           
%30353530,03849,00319,0
20,108,020,108,008,020,1178150
，ou
ZPXP

 
 
 
b) Dentre de que desvios de ambos os lados de média cairão 96% dos salários 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 40 
 
        96,0122121  zzzZzPxXxP  Para uma distribuição 
simétrica     96,012  zz  onde     48,0
2
96,0
96,02  zz  da tabela de 
distribuição normal padrão 05,2z usando a transformação ,2 x temos: 
25,23125*05,218075,12825*05,2180 21  xezx  
Logo o intervalo procurado é  25,231;75,128 
 
3º Caso: A probabilidade de que uma variável aleatória normal X, assuma um valor 
abaixo da média é dada pela fórmula. 
           111111 05,005,0 zZPzZPxXPouZzPzZPxXP 
Exemplo: As alturas dos estudantes de determinada escola são normalmente distribuídas 
com média 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um estudante 
mede menos de 1,48 m. 
   
       %46,343446,01554,05,04,05,04,005,0
04,05,0
30,0
60,148,1
48,1
48,130,0,60,1
11
ou
ZPzZPxXP
xe






 




 
 
4º Caso: A probabilidade de que uma variável aleatória normal X, assuma um valor 
acima da média é dada pela fórmula. 
           111111 05,05,00 zZPzZPxXPouZzPzZPxXP 
 
Exemplo 1: Calcular a probabilidade de que X assuma um valor maior que-1,38. 
 
         
         
%62,919162,04162,05,0
38,15,0038,15,038,105,038,1
%62,919162,05,04162,0
5,038,15,038,105,0038,138,1
11
1
ou
zZPxXPou
ou
XPxXP






Exemplo 2: A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem 
distribuição N(8,1.5). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente 
exceda o limite regulatório de 10 ppm? 
A solução do problema resume-se em determinar a proporção da distribuição que está 
acima de 10 ppm, ie,  10xP . Usando a estatística z temos: 
      09,033,1133,1
5,1
810
10 




 
 ZPZPZPxP 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 41 
 
Portanto, espera-se que a água liberada pela fábrica exceda os limites regulatórios cerca 
de 9% do tempo. 
 
 
De seguida apresentam-se exercícios de cálculo das probabilidades de uma variável que 
segue a distribuição normal, tentando fazer-se uma análise exaustiva de todas as situações 
possíveis de ocorrerem, no que se refere à localização das áreas que traduzem as 
probabilidades. 
 
Exercícios: 
1. A concentração de cádmio em cinzas de um certo lixo radioactivo tem distribuição 
N(1, 0.72). Quais são as chances de que uma amostra aleatória das cinzas tenha uma 
concentração de cádmio entre 0.5 e 1.75 ppm? 
2. Suponha que os comprimentos de um particular tipo de peixe podem ser descritos por 
uma distribuição normal, com média 140mm e desvio padrão 15mm. Calcular a 
proporção dos peixes que têm comprimentos entre 110 e 170mm, por exemplo, como a 
proporção da área sob a curva entre 110 e 170mm. 
3. A unidade de ensacamento de uma fábrica de cimentos é pressuposto encher os sacos 
com um peso médio μ=50 kg. É óbvio que nem todos os sacos ficam exactamente com a 
quantidade de 50 kg, havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos 
ração, devido a diversos factores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo. 
Estudada esta variabilidade ou dispersão, quantificou-se a variância do processo, tendo-se 
concluído que é de σ2 = 0.25 kg. 
Admitindo que o processo de ensacamento segue uma lei de distribuição normal com 
média μ = 50 e variância σ² = 0.25 (isto é, x: N(μ = 50, σ² = 0.25)), calcule a 
probabilidade de que um saco, seleccionado aleatoriamente, contenha: 
a) Entre 50 kg e 51 kg. 
b) Entre 49.5 kg e 50 kg. 
c) Entre 49 kg e 51 kg. 
d) Acima de 51.5 kg. 
e) Abaixo de 48.75 kg. 
f) Entre 50.5 kg e 51.5 kg. 
g) Entre 48.5 kg e 49.5 kg. 
h) Abaixo de 48.5 kg ou acima de 51.5 kg. 
i) Em 1000 sacos saídos desta unidade de ensacamento, quantos será de esperar com o 
peso entre 49.5 kg e 51.5 kg? 
j) Calcule os limites inferior e superior do intervalo central onde existem 90% dos sacos 
saídos desta linha de ensacamento. 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 42 
 
4. O volume de negociações na Bolsa de Valores de Moçambique é maior durante a 
primeira hora (no começo da manhã) e na última meia hora (no final da tarde) de um dia 
normal de negociação. Os volumes de negociação no começo da manhã (em milhões de 
ações) para 13 dias em Janeiro e Fevereiro são mostrados abaixo. 
 
214 174 163 265 201 211 
202 171 198 212 194 211 
180 
 
 
A distribuição de probabilidade do volume de negociação é aproximadamente normal. 
a) Calcule a média e o desvio padrão para utilizar como estimativas da média e do desvio 
padrão populacional. 
b) Qual é a probabilidade de que, em um dia escolhido aleatoriamente, o volume de 
negociações no início da manhã seja menor do que 180 milhões de ações? 
c) Qual é a probabilidade de que, em um dia escolhido aleatoriamente, o volume de 
negociações no início da manhã ultrapasse os 230 milhões de ações? 
d) Quantas ações teriam de ser negociadas no começo da manhã de um determinado dia 
para que este dia esteja entre os 5% de dias mais agitados em termos de negociações? 
 
5. Uma empresa desenvolveu um novo pneu radial com cinturão de aço que será vendido 
por meio de uma cadeia nacional. Uma vez que este tipo de pneu é um produto novo, os 
gerentes da empresa acreditam que a durabilidade (em termos de km rodados) oferecida 
com o pneu será um factor importante na aceitação do produto. Antes de fechar os termos 
do contrato de garantia de durabilidade do pneu, os gerentes desejam obter informações 
de probabilidade a respeito do número de km que os pneus durarão. Dos testes reais de 
estrada com os pneus, a equipe de engenharia da empresa estima que a durabilidade 
média dos pneus é 36500km e que o desvio padrão é 5000. Além disso, os dados 
colectados indicam que a distribuição normal é uma hipótese razoável. 
 
a) Qual percentagem dos pneus duraria mais de 40 mil km? Ou, qual é a probabilidade de 
a durabilidade do pneu ultrapassar 40 mil km? 
 
b) A empresa está considerando a possibilidade de dar uma garantia que concede um 
desconto na troca de pneus se os originais não resistirem ao número de km estipulados na 
garantia. Qual deve ser o número de km coberto pela garantia levando-se em conta que a 
empresa quer que não mais de 10% dos pneus se habilitem à garantia do desconto? 
 
 
Aproximação Normal às Probabilidades Binomiais 
 
Adopta-se a aproximação normal às probabilidades binomiais quando o número de 
ensaios torna-se grande. 
 
É lícito usar a aproximação quando: a)   51.25..1  pnpn . 
 
 
Elaborado por AFZ 12/03/2019 12:31:28 43 
 
Ao usar a aproximação normal às probabilidades binomiais ajusta-se uma curva normal 
da seguinte maneira:      pnpxVarepnxE  1. 2 
 
A distribuição normal trabalha com v.a contínua e a probabilidade é obtida a partir da 
área sob a curva normal. A distribuição binomial trabalha com v.a discreta e a 
probabilidade é obtida para cada valor assumido por x. 
 
 
Truque: P(x=12) da binomial é igual a  5,125,11  XP da normal.