CURSO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 2018.1

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1 
 
 
 
 
CURSO 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL 2 
 
 
FMU 2018.1 
PROF. RENATO CASAL DE REY 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
4 
 
RELACIONAR PARA CADA FUNÇÃO, A TABELA, O GRÁFICO 3D E AS CURVAS DE NÍVEL 
 Função 1 : (6,25-(x²+y²))^0,5 
 
 
 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 
 -2,5 #### #### #### #### #### 0,0 #### #### #### #### #### 
 
-2 #### #### 0,0 1,1 1,4 1,5 1,4 1,1 0,0 #### #### 
 
-1,5 #### 0,0 1,3 1,7 1,9 2,0 1,9 1,7 1,3 0,0 #### 
 
-1 #### 1,1 1,7 2,1 2,2 2,3 2,2 2,1 1,7 1,1 #### 
 
-0,5 #### 1,4 1,9 2,2 2,4 2,4 2,4 2,2 1,9 1,4 #### 
 
0 0,0 1,5 2,0 2,3 2,4 2,5 2,4 2,3 2,0 1,5 0,0 
 
0,5 #### 1,4 1,9 2,2 2,4 2,4 2,4 2,2 1,9 1,4 #### 
 
1 #### 1,1 1,7 2,1 2,2 2,3 2,2 2,1 1,7 1,1 #### 
 
1,5 #### 0,0 1,3 1,7 1,9 2,0 1,9 1,7 1,3 0,0 #### 
 
2 #### #### 0,0 1,1 1,4 1,5 1,4 1,1 0,0 #### #### 
 
2,5 #### #### #### #### #### 0,0 #### #### #### #### #### 
 
 
Função 2 : 6*EXP(-(x²+y²)) 
 
 
 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 
 
-2,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 
 
-2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,1 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 
 
-1,5 0,0 0,0 0,1 0,2 0,5 0,6 0,5 0,2 0,1 0,0 0,0 
 
-1 0,0 0,0 0,2 0,8 1,7 2,2 1,7 0,8 0,2 0,0 0,0 
 
-0,5 0,0 0,1 0,5 1,7 3,6 4,7 3,6 1,7 0,5 0,1 0,0 
 
0 0,0 0,1 0,6 2,2 4,7 6,0 4,7 2,2 0,6 0,1 0,0 
 
0,5 0,0 0,1 0,5 1,7 3,6 4,7 3,6 1,7 0,5 0,1 0,0 
 
1 0,0 0,0 0,2 0,8 1,7 2,2 1,7 0,8 0,2 0,0 0,0 
 
1,5 0,0 0,0 0,1 0,2 0,5 0,6 0,5 0,2 0,1 0,0 0,0 
 
2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,1 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 
 
2,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 
 
5 
 
 
Função 3 : (x²+y²)^0,5 
 
 
 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 
 
-2,5 3,5 3,2 2,9 2,7 2,5 2,5 2,5 2,7 2,9 3,2 3,5 
 
-2 3,2 2,8 2,5 2,2 2,1 2,0 2,1 2,2 2,5 2,8 3,2 
 
-1,5 2,9 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 1,6 1,8 2,1 2,5 2,9 
 
-1 2,7 2,2 1,8 1,4 1,1 1,0 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 
 
-0,5 2,5 2,1 1,6 1,1 0,7 0,5 0,7 1,1 1,6 2,1 2,5 
 
0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 
 
0,5 2,5 2,1 1,6 1,1 0,7 0,5 0,7 1,1 1,6 2,1 2,5 
 
1 2,7 2,2 1,8 1,4 1,1 1,0 1,1 1,4 1,8 2,2 2,7 
 
1,5 2,9 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 1,6 1,8 2,1 2,5 2,9 
 
2 3,2 2,8 2,5 2,2 2,1 2,0 2,1 2,2 2,5 2,8 3,2 
 
2,5 3,5 3,2 2,9 2,7 2,5 2,5 2,5 2,7 2,9 3,2 3,5 
 
 
Função 4 : x²+y² 
 
 
 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 
 
-2,5 12,5 10,3 8,5 7,3 6,5 6,3 6,5 7,3 8,5 10,3 12,5 
 
-2 10,3 8,0 6,3 5,0 4,3 4,0 4,3 5,0 6,3 8,0 10,3 
 
-1,5 8,5 6,3 4,5 3,3 2,5 2,3 2,5 3,3 4,5 6,3 8,5 
 
-1 7,3 5,0 3,3 2,0 1,3 1,0 1,3 2,0 3,3 5,0 7,3 
 
-0,5 6,5 4,3 2,5 1,3 0,5 0,3 0,5 1,3 2,5 4,3 6,5 
 
0 6,3 4,0 2,3 1,0 0,3 0,0 0,3 1,0 2,3 4,0 6,3 
 
0,5 6,5 4,3 2,5 1,3 0,5 0,3 0,5 1,3 2,5 4,3 6,5 
 
1 7,3 5,0 3,3 2,0 1,3 1,0 1,3 2,0 3,3 5,0 7,3 
 
1,5 8,5 6,3 4,5 3,3 2,5 2,3 2,5 3,3 4,5 6,3 8,5 
 
2 10,3 8,0 6,3 5,0 4,3 4,0 4,3 5,0 6,3 8,0 10,3 
 
2,5 12,5 10,3 8,5 7,3 6,5 6,3 6,5 7,3 8,5 10,3 12,5 
 
6 
 
 
Função 5 : 12,5-(x²+y²) 
 
 
 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 
 
-2,5 0,0 2,3 4,0 5,3 6,0 6,3 6,0 5,3 4,0 2,3 0,0 
 
-2 2,3 4,5 6,3 7,5 8,3 8,5 8,3 7,5 6,3 4,5 2,3 
 
-1,5 4,0 6,3 8,0 9,3 10,0 10,3 10,0 9,3 8,0 6,3 4,0 
 
-1 5,3 7,5 9,3 10,5 11,3 11,5 11,3 10,5 9,3 7,5 5,3 
 
-0,5 6,0 8,3 10,0 11,3 12,0 12,3 12,0 11,3 10,0 8,3 6,0 
 
0 6,3 8,5 10,3 11,5 12,3 12,5 12,3 11,5 10,3 8,5 6,3 
 
0,5 6,0 8,3 10,0 11,3 12,0 12,3 12,0 11,3 10,0 8,3 6,0 
 
1 5,3 7,5 9,3 10,5 11,3 11,5 11,3 10,5 9,3 7,5 5,3 
 
1,5 4,0 6,3 8,0 9,3 10,0 10,3 10,0 9,3 8,0 6,3 4,0 
 
2 2,3 4,5 6,3 7,5 8,3 8,5 8,3 7,5 6,3 4,5 2,3 
 
2,5 0,0 2,3 4,0 5,3 6,0 6,3 6,0 5,3 4,0 2,3 0,0 
 
 
 
Função 6 : -x²+y²+8 
 
 
 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 
 
-2,5 8,0 10,3 12,0 13,3 14,0 14,3 14,0 13,3 12,0 10,3 8,0 
 
-2 5,8 8,0 9,8 11,0 11,8 12,0 11,8 11,0 9,8 8,0 5,8 
 
-1,5 4,0 6,3 8,0 9,3 10,0 10,3 10,0 9,3 8,0 6,3 4,0 
 
-1 2,8 5,0 6,8 8,0 8,8 9,0 8,8 8,0 6,8 5,0 2,8 
 
-0,5 2,0 4,3 6,0 7,3 8,0 8,3 8,0 7,3 6,0 4,3 2,0 
 
0 1,8 4,0 5,8 7,0 7,8 8,0 7,8 7,0 5,8 4,0 1,8 
 
0,5 2,0 4,3 6,0 7,3 8,0 8,3 8,0 7,3 6,0 4,3 2,0 
 
1 2,8 5,0 6,8 8,0 8,8 9,0 8,8 8,0 6,8 5,0 2,8 
 
1,5 4,0 6,3 8,0 9,3 10,0 10,3 10,0 9,3 8,0 6,3 4,0 
 
2 5,8 8,0 9,8 11,0 11,8 12,0 11,8 11,0 9,8 8,0 5,8 
 
2,5 8,0 10,3 12,0 13,3 14,0 14,3 14,0 13,3 12,0 10,3 8,0 
 
 
7 
 
 A 
 B 
 C 
 D 
0
1
2
3
4
5
6
5-6
4-5
3-4
2-3
1-2
0-1
0
1
2
3
4
3-4
2-3
1-2
0-1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
2-2,5
1,5-2
1-1,5
0,5-1
0-0,5
0
5
10
15
10-15
5-10
0-5
8 
 
 E 
 F 
 G 
 H 
0
5
10
15
10-15
5-10
0-5
0
5
10
15
10-15
5-10
0-5
2-2,5
1,5-2
1-1,5
0,5-1
0-0,5
2
10-15
5-10
0-5
5
10
9 
 
 I 
 J 
 K 
 L 
3-4
2-3
1-2
0-1
1
2
3
10-15
5-10
0-5
10
5
10-15
5-10
0-5
10
5
4-6
2-4
0-2
2
4
10 
 
FUNÇÕES DE 2 OU MAIS VARIÁVEIS : DOMÍNIO 
Função com 1 variável : Y = F(X) = X² + 3 
Função com 2 variáveis : Z = F(X,Y) = X² + 2Y + 3 
Função com 3 variáveis : W = F(X,Y,Z) = X²+ 2Y –XZ + 3 
Função com 4 variáveis : P = F(X,Y,Z,W) = X² + XZ+ W Y-Y² - 4 
Em geral, o gráfico de uma função de 2 variáveis ( Z = f(x,y) ) é uma superfície em 3D, que chamamos de 
R3. O DOMÍNIO desta função será uma região no plano XY (R2) em que a função exista. 
Exemplos: 
1) Z = F(x,y) = 2X +XY + Y² Domínio: 
 
 
 
 
2) � = ���, �� = 	
� − 2� − 24 Domínio 
 
 
 
 
				3�		� = ���, �� = 	
25 − �� − �� Domínio 
 
 
 
11 
 
GRÁFICO DE FUNÇÕES COM 3 VARIÁVEIS: W = F(X,Y,Z) 
Fonte : SWOKOWSKI,E. Cálculo com Geom. Analítica. Vol 2 
Uma função com 3 variáveis, onde calculamos um quarto valor, W = f(x,y,z) , somente pode ser 
representada num gráfico quando definimos um valor constante para W ( w0 ou w1 ou w2 ... ou wn ) e a 
partir dele obtemos uma função Z = f(x,y) que nos permite esboçar um gráfico em R3 (3D) desta função W. 
Para cada superfície formada (S0, S1, S2, ... , Sn ), chamamos de SUPERFÍCIE DE NÍVEL K DA FUNÇÃO 
W , onde o valor de K = wn. 
 
 
 
12 
 
DERIVADAS PARCIAIS PARA FUNÇÕES DE 2 OU MAIS VARIÁVEIS 
 
Dada uma função W = f( x1 , x2 , x3 , ... , xi , ... , xn ), a DERIVADA PARCIAL de W em função de UMA de 
suas variáveis (xi) mede o impacto em W (ou seja, �w) provocado por uma pequena variação DESTA 
variável (ou seja � xi) , considerando-se todas as demais variáveis como CONSTANTES durante a 
derivação. 
��� = ������, ��, . . . , ��� = ����� considerar as demais variáveis ( x2 , x3 , x4 , ... , xn) como constantes. 
��� = ������, ��, . . . , ��� =	 ����� considerar as demais variáveis ( x1 , x3 , x4 , ... , xn) como constantes. 
��� = ������, ��, . . . , ��� =	 ����� considerar as demais variáveis ( x1 , x2 , x4 , ... , xn) como constantes. 
... 
��� = ������, ��, . . . , ��� = ����� considerar as demais variáveis ( x1 , x2 , x3 , ... , xn-1) como constantes. 
 
EXERCÍCIOS : DETERMINE AS DERIVADAS PARCIAIS (E SEU VALOR) NOS EXEMPLOS ABAIXO 
 
a) W = f( x,y ) = 4x - 2x-2y + sen(2xy) + 7 x e y em RADIANOS 
 Determine o valor das derivadas parciais de W “em torno” do ponto (1 , 0, ____) 
D1W = fx(x,y) = ���� = 
 
D2W = fy(x,y) = ���� = 
 
b) W = f( x,y,z ) = -x3z - 2xy2 + z4 e3y – 5 
Determine o valor das derivadas parciais de W “em torno” do ponto (-1, 0, 1, ____) 
D1W = fx(x,y,z) = ���� = 
 
D2W = fy(x,y,z) = ���� = 
D3W =fz(x,y,z) = ��� = 
 
13 
 
c) W = f( x,y ) = cos(3xy2) +3x2 +4y - 8 
 
D1W = fx(x,y) = ���� = 
D2W = fy(x,y) = ���� = 
 
d) W = f( x,y,z ) = 4x3y - 5xyz +2e3xz + 9 
 
D1W = fx(x,y,z) = ���� = 
D2W = fy(x,y,z) = ���� = 
D3W = fz(x,y,z) = ��� = 
 
e) W = f( x,y,z ) = 3sen(x³z²) + e2yz 
 
D1W = fx(x,y,z) = ���� = 
D2W = fy(x,y,z) = ���� = 
D3W = fz(x,y,z) = ��� = 
 
!�	" = !�#, $, %� = #²'$³ −
#
)%² 
D1W = fx(x,y,z) = ���� = 
 
D2W = fy(x,y,z) = ���� = 
 
D3W = fz(x,y,z) = ��� = 
14 
 
*�					"	 = 	!�	#, $, %	� 	= 	+ ,-. /)#+$ 0 − 12
$
%+3
 
 
D1W = fx(x,y,z) = ���� = 
 
D2W = fy(x,y,z) = ���� = 
 
D3W = fz(x,y,z) = ��� = 
 
4�	" = !�#, $, %� = 1#$²#' − .15�)#%)�. %+ 
D1W = fx(x,y,z) = ���� = 
 
 
D2W = fy(x,y,z) = ���� = 
 
D3W = fz(x,y,z) = ��� = 
6�	" = !�#, $, %� = 17#
'$. #²
$³%² 
D1W = fx(x,y,z) = ���� = 
 
D2W = fy(x,y,z) = ���� = 
 
D3W = fz(x,y,z) = ��� = 
 
15 
 
8�					"	 = 	!�	#, $, %	� = 	+ .15/%+#'0 . 1
/%9$70
 
 
D1W = fx(x,y,z) = ���� = 
 
D2W = fy(x,y,z) = ���� = 
 
D3W = fz(x,y,z) = ��� = 
 
:�	" = !�#, $, %� = .15�)#%)�. ,-.�$)%+� 
D1W = fx(x,y,z) = ���� = 
 
D2W = fy(x,y,z) = ���� = 
 
D3W = fz(x,y,z) = ��� = 
 
;�	<�=, >, ?� = )=+@AB�)>?+� − >)?
7 )C
'=+ +
A=>
7? 
 
D1W = fx(x,y,z) = ���� = 
 
D2W = fy(x,y,z) = ���� = 
 
D3W = fz(x,y,z) = ��� = 
16 
 
A DIFERENCIAL TOTAL 
Podemos calcular a variação da função W (ou seja, dW) pelas variações simultâneas de suas variáveis, 
“em torno” de um ponto W = f( x1 , x2 , x3 , ... , xi , ... , xn ), utilizando-se para isso as DERIVADAS 
PARCIAIS da função W. 
E� =	 �F��� . E�� +	
�F
��� . E�� +
�F
��� . E�� +	…	+
�F
��� . E�� 
Podemos aproximar ∆W ≅ dW, ∆x1 ≅ dx1 , ∆x2 ≅ dx2 , ... , ∆xn ≅ dxn , onde ∆x1 , ∆x2 , ∆x3 ... , ∆xn são as 
variações ocorridas em torno de um certo valor para cada uma das variáveis, e com isso obtemos um valor 
aproximado para ∆W. Chamamos de a DIFERENCIAL TOTAL de W a expressão: 
∆J =	 KLK=M . ∆=M +	
KL
K=+ . ∆=+ +
KL
K=) . ∆=) +	…	+
KL
K=B . ∆=B 
 
EXEMPLOS 
1) Determine as variações nas funções W abaixo (ou seja, ∆W) e seu novo valor W, provocadas por 
variações em suas variáveis. 
 
a) W = f(x,y) = 2x2y – 3xy3 , em torno de W = f(2, -1) e sabendo que ∆x = 0,001 e ∆y = -0,002 . 
 
Valor da função W para f(2, -1) = 
Variação na função W em torno do ponto (2, -1, ____ ) : 
D1W = fx(x,y) = ���� = 
D2W = fy(x,y) = ���� = 
 
∆� =	�F�� . ∆� +	
�F
�� . ∆� = 
 
∆W = Novo W = W +∆W = 
 
Qual seria a variação na função W = f(x,y) em torno de W( -3, 4), para os mesmos valores de ∆x e ∆y? 
Valor da função W para f(-3, 4) = 
Variação na função W em torno do ponto (-3, 4, ____ ) : 
D1W = fx(x,y) = ���� = 
D2W = fy(x,y) = ���� = 
17 
 
∆� =	�F�� . ∆� +	
�F
�� . ∆� = 
 
∆W = Novo W = W +∆W = 
 
b) W = f(x,y,z) = 2x2z – 3y2z2 + 4y , em torno de W = f(2, -1, 3) e sabendo que ∆x = 0,01 , ∆y=0,02 
e ∆z = -0,03 
Valor da função W para f(2, -1, 3) = 
Variação na função W em torno do ponto (2, -1, 3, ____ ): 
D1W = fx(x,y,z) = ���� = 
 
D2W = fy(x,y,z) = ���� = 
 
D3W = fz(x,y,z) = ��� = 
 
∆� =	�F�� . ∆� +	
�F
�� . ∆� +
�F
�N . ∆N = 
 
∆W = Novo W = 
 
Qual seria a variação na função W em torno de W = f (-3,2,0), para os mesmos valores de ∆x, ∆y e ∆z? 
Valor da função W para f(-3, 2, 0) = 
Variação na função W em torno do ponto ( -3, 2, 0, ____ ): 
 
 
 
∆� =	 
 
∆W = Novo W = 
18 
 
c) W = f(x,y) = e2xy – x2 , em torno de W = f(0, 2) e sabendo que ∆x = -0,01 e ∆y = 0,02 . 
 
Valor da função W para f(0,2) = 
Variação na função W em torno do ponto (0, 2, ____ ) : 
D1W = fx(x,y) = ���� = 
 
D2W = fy(x,y) = ���� = 
 
∆� =	 
 
∆W = Novo W = 
Qual seria a variação na função W em torno de W = f (-3,4), para os mesmos valores de ∆x e ∆y? 
Valor da função W para f( -3,4) = 
Variação na função W em torno do ponto ( -3,4, ____ ) : 
D1W = fx(x,y) = ���� = 
 
D2W = fy(x,y) = ���� = 
 
∆� =	 
 
 
∆W = Novo W = 
 
19 
 
APLICAÇÕES 
 
 
1) Um Conteiner na forma de um paralelepípedo foi projetado para ter medidas INTERNAS de 
 4(a) x 3(b) x 2(c) metros. Determine : 
 
 c 
 
 a b 
 
a) O volume do contêiner. 
b) A variação neste volume caso as medidas sejam: 3,97(a) x 3,02(b) x 2,05(c) metros. USAR A 
DIFERENCIAL TOTAL. (calcular o valor de todas as derivadas parciais para a=4, b=3 e c=2) 
c) A variação neste volume caso as medidas sejam: 4,02(a) x 3(b) x 1,98(c) metros. USAR A 
DIFERENCIAL TOTAL. 
d) A variação neste volume caso as medidas sejam: 4,05(a) x 2,96(b) x 2,03(c) metros. USAR A 
DIFERENCIAL TOTAL. 
e) Se o contêiner for feito com chapas de metal na espessura de 1,5 cm (0,015 m), determine a 
massa do contêiner sabendo que a densidade do ferro é 7870 kg/m³. USAR A DIFERENCIAL 
TOTAL. Densidade = massa / volume 
 
 
 
2) Uma placa de metal possui temperaturas (◦C) em sua superfície de acordo com a função abaixo: 
 T(x,y) = 80 - 2x² - �³� 
a) Qual a interpretação de �O�� e 
�O
�� ? 
b) Qual a temperatura para T (2,3) e qual sua variação se x e y variar de ∆x=0,03 e ∆y=0,04 ? Usar a 
DIFERENCIAL TOTAL. 
c) Complete a tabela abaixo, que representa a temperatura em determinadas coordenadas (x,y). 
(cada unidade vale 10 cm e a temperatura é no ponto (x,y)) 
 
 
 
3 
2 
1 
 
 
 
0 1 2 3 4 
 
 
20 
 
3) Uma tinta é envasada numa fábrica em uma lata cilíndrica, cujo projeto é raio 10 cm e altura 25 cm. 
Esta lata é confeccionada numa outra empresa e vendida para a fábrica de tintas. O controle de 
qualidade do recebimento destas latas, na fábrica de tinta, somente aceita latas com variações no 
raio e altura de até ∓	1,5%. 
a) Qual o volume máximo e mínimo que estas latas podem ter para serem aprovadas pelo 
recebimento na fábrica de tintas? UTILIZAR A DIFERENCIAL TOTAL. 
b) Caso a tolerância a erros de fabricação mude para 0,5% no raio e 1% na altura, qual o volume 
máximo e mínimo que estas latas podem ter para serem aprovadas pelo recebimento na fábrica 
de tintas? UTILIZAR A DIFERENCIAL TOTAL. 
c) Se a lata for feita nas medidas corretas de projeto, com chapas de alumínio na espessura de 
0,03cm (0,3mm), determine a massa de alumínio de uma lata, sabendo que a densidade do 
alumínio é 2,7 g/cm³. USAR A DIFERENCIAL TOTAL. Densidade = massa / volume 
 
4) Um produto é envasado numa fábrica em latas no formato de um paralelepípedo, cujo projeto 
estabelece medidas internas de x = 30 cm , y = 25 cm e z = 20 cm. O fornecedor pode enviar as 
latas para a fábrica com um erro nas medidas de ∓ 1% para x , de ∓ 1,5 % para y e de ∓ 2% para 
z . 
Determine: 
a) Com a margem de erro permitida, qual a variação máxima e mínima do volume da lata ao ser 
envasada. UTILIZAR A DIFERENCIAL TOTAL. 
b) Se a lata for feita nas medidas corretas de projeto, com chapas de alumínio na espessura de 
0,04cm (0,4mm), determine a massa de alumínio de uma lata, sabendo que a densidade do 
alumínio é 2,7 g/cm³. USAR A DIFERENCIAL TOTAL. Densidade = massa / volume 
 
5) Um circuito elétrico com 2 resistências em paralelo está sendo montado. A resistência “A” foi 
comprada valendo 20 ohms e a resistência“B” valendo 30 ohms. Se as resistências “A” e “B” 
podem ter seus valores variando de ∓ 1,5 % e		∓ 2 % respectivamente, determine os valores 
máximo e mínimo que a RESISTÊNCIA EQUIVALENTE pode assumir. UTILIZAR A DIFERENCIAL 
TOTAL. RESISTÊNCIA EQUIVALENTE Req : �QRS = �T + �U 
 
6) O EXTRATO DE TOMATE TOMATÃO atualmente é vendido numa lata cilíndrica de alumínio, com 
raio interno de 3,75 cm e altura interna de 10,42 cm. Ele é feito com chapas de metal de 0,1 cm de 
espessura (2 círculos e área lateral). 
Qual a sua massa, sabendo que a densidade do alumínio é 2,70 g/cm³. RESOLVER UTILIZANDO A 
DIFERENCIAL TOTAL. 
r = raio do cilindro h = altura do cilindro π = 3,14 volume = π r² h 
 
 
 h 
 
21 
 
LISTA DE EXERCÍCIO : DERIVADAS PARCIAIS COM FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS 
	
Exercício 1	
Um tanque de armazenamento de petróleo, na forma cilíndrica, será pintado com uma tinta para 
impermeabilização especial. Todo o seu interior será impermeabilizado. O tanque foi projetado para ter 
raio de 15 metros e altura de 12 metros (medidas internas). 
I) Qual a área da superfície que deverá ser pintada (em m²)? 
r = raio do cilindro h = altura do cilindro π = 3,14 
 
 h Área do círculo = Ac = π r² (Temos um círculo na base e outro na tampa) 
 Área lateral do cilindro = Al = 2 π r h 
 
Área da superfície interna total do cilindro em função do raio e altura: A(r,h) = 2 π r² + 2 π r .h 
II) Se o raio do cilindro for 15,03 m e a altura for 12,04 m , aproximadamente quantos m² de área a 
mais deverão ser pintados? Resolver utilizando a DIFERENCIAL TOTAL. 
III) Se o raio do cilindro for 14,99 m e a altura for 11,98 m , aproximadamente quantos m² de área a 
menos deverão ser pintados? Resolver utilizando a DIFERENCIAL TOTAL. 
IV) Se o raio do cilindro for 15,04 m e a altura for 11,97 m , aproximadamente quantos m² de área será 
a variação da área a ser pintada? Resolver utilizando a DIFERENCIAL TOTAL. 
V) Se o projeto do cilindro fosse para ser construído com raio de 13 metros e altura 7 m, 
aproximadamente quantos m² de área será a variação da área a ser pintada se o raio tiver 13,02 m 
e a altura 6,95m ? Resolver utilizando a DIFERENCIAL TOTAL. 
 
Exercício 2 
 
Um tanque de plástico na forma de um paralelepípedo, com aresta de base de 3 metros e 4 metros, está 
com 24 m³ de água (24.000 litros). Com isso o nível da água marca uma altura h em relação ao solo. 
 
 
 
 Nível da água VOLUME = (Área da base). (altura) 
 
 V = a.b.h 
 h 
 
 
 b = aresta = 4 m 
 
 a = aresta = 3 m 
 
 
22 
 
 
I) Qual a altura do nível da água em relação ao solo? 
II) Com a pressão da água, como o tanque é feito de um material plástico, as aresta da base sofrem 
uma pequena deformação. Se a aresta “a” ficar com 3,05 m e a aresta “b” ficar com 3,98 m , qual a 
variação da altura do nível da água? Resolver utilizando a DIFERENCIAL TOTAL ( variação da altura em 
função da variação das arestas: determinar a função h(a,b) ). 
 
III) Para um tanque cujas medidas de projeto são a = 2 m e b = 3 m, com a pressão da água (24 m³), 
como o tanque é feito de um material plástico, as aresta da base sofrem uma pequena deformação. Se a 
aresta “a” ficar com 2,04 m e a aresta “b” ficar com 3,06 m , qual a variação da altura do nível da água? 
Resolver utilizando a DIFERENCIAL TOTAL ( variação da altura em função da variação das arestas: 
determinar a função h(a,b) ). 
 
 
 
 
 
Exercício 3 
 
Um gás ideal está preso dentro de um cilindro, cuja parte superior pode subir ou descer (o volume pode 
variar). 
Equação do gás ideal : P V = K T 
 
P = pressão (N/cm²) , V = volume (cm³) 
K = constante de proporcionalidade (N.cm/ oC), T = temperatura (oC) 
 
Num certo momento, o sistema está em equilíbrio com os seguintes valores: 
 
P = 60 N/cm² , V = 50 cm³, T = 80◦C 
 
I) Determine o valor da constante K ? 
II) Qual a variação provocada no volume se a pressão aumentar em 1 N/cm² e a temperatura 
baixar para 78◦C ? Qual o novo valor do volume? Resolver utilizando a DIFERENCIAL TOTAL 
(variação do volume em função da pressão e temperatura: determinar a função V(P,T) ). 
 
III) Qual a variação provocada na Temperatura se a pressão diminuir em 2 N/cm² e o volume 
diminuir para 47 cm³ ? Qual o novo valor da temperatura? Resolver utilizando a DIFERENCIAL 
TOTAL (variação da temperatura em função da pressão e volume: determinar a função T(P,V) ). 
 
23 
 
A REGRA DA CADEIA PARA AS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
Se W é uma função composta, ou seja, W depende das variáveis x1 , x2 , x3 , ... , xn e estas também são 
dependentes de outras variáveis a1 , a2 , a3 , ... , ai , ... , an , significa que W também é dependente 
indiretamente de a1 , a2 , a3 , ... , an e podemos calcular 
��
�VW , ou seja , o impacto em W (ou seja, �F� 
provocado pela variação em uma das variáveis a1 , a2 , a3 , ... , an (ou seja �XY). Calculamos a REGRA DA 
CADEIA como segue: 
 
Se W = f( x1 , x2 , x3 , ... , xn ) e 
x1 = f( a1 , a2 , a3 , ... , an ) 
x2 = f( a1 , a2 , a3 , ... , an ) 
x3 = f( a1 , a2 , a3 , ... , an ) 
... 
xn = f( a1 , a2 , a3 , ... , an ) 
 
Calculando as derivadas parciais utilizando a regra da cadeia. 
 
�F
�X� =	
�F
��� .
����X� +
�F
��� .
����X� +⋯+
�F
��� .
����X� 
�F
�X� =	
�F
��� .
����X� +
�F
��� .
����X� +⋯+
�F
��� .
����X� 
�F
�X� =	
�F
��� .
����X� +
�F
��� .
����X� +⋯+
�F
��� .
����X� 
... 
�F
�X� =	
�F
��� .
����X� +
�F
��� .
����X� +⋯+
�F
��� .
����X� 
 
Podemos calcular também a DIFERENCIAL TOTAL da função W (∆W) em função de pequenas variações 
nas variáveis ai como segue: 
 
∆F = [�F��� .
����X� +⋯+
�F
��� .
����X�\∆X� + [
�F
��� .
����X� +⋯+
�F
��� .
����X�\∆X� +⋯+ [
�F
��� .
����X� +⋯+
�F
��� .
����X�\∆X� 
 
24 
 
DETERMINANDO AS DERIVADAS PARCIAIS ENVOLVENDO A REGRA DA CADEIA 
1) Dada a função W(x,y) e x(t) e y(t), determine: 
��
�] = 
 
(DIFERENCIAL TOTAL) ∆W = 
 
2) Dada a função W(x,y) e x(t,p) e y(t), determine: 
��
�] = 
 
��
�^ = 
 
(DIFERENCIAL TOTAL) ∆W = 
 
3) Dada a função W(x,y) e x(t,p) e y(t,p), determine: 
��
�] = 
 
��
�^ = 
 
(DIFERENCIAL TOTAL) ∆W = 
 
4) Dada a função W(x,y,z) e x(t) , y(t,p) e z(t,p,m), determine: 
��
�] = 
 
��
�^ = 
 
��
�_ = 
25 
 
 
(DIFERENCIAL TOTAL) ∆W = 
 
5) Dada a função W(x,y) e x(t,p) , y(p) , t(a,b) e p(c) , determine: 
��
�X = 
 
��
�` = 
 
��
�a = 
 
(DIFERENCIAL TOTAL) ∆W = 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) W = f(x,y) = 3x - 2xy +y2 , onde x e y são dependentes de t : x(t) = 3t2 e y(t) = t+2 
 
a) Determine o valor de W no instante t = 2 seg. 
 
x(2)= , y(2)= , W=f( , )= Ponto ( , , ) 
 
b) Qual o impacto em W (ou seja, ∆W) para uma variação de ∆t = 0,03 seg ( ���b em torno de t = 2 
seg)? 
 �F
�] =
�F
�� .
��
�] +
�F
�� .
��
�] 																																									∆F = [
�F
�� .
��
�] +
�F
�� .
��
�]\∆] 
 
Determinando as derivadas e substituindo x e y (para t = 2, temos: x = , y = ) para calcular o 
VALOR das derivadas:�F
�� .
��
�] = 
 
�F
�� .
��
�] = 
26 
 
Calculando a DIFERENCIAL TOTAL da função W para ∆t = 0,03 em torno de t = 2 seg 
 
∆F = [�F�� .
��
�] +
�F
�� .
��
�]\∆] = 
 
∆w = Novo w = w + ∆w = 
 
 
2) W = f(x,y) = 3xy² + 2x² , onde x e y são dependentes de t : x(t) = t2 - 2t e y(t) = 3t2 - 20 
 
a) Determine o valor de W no instante t = 3 seg. 
 
x(3)= , y(3)= , W=f( , )= Ponto ( , , ) 
 
b) Qual o impacto em W (ou seja, ∆W) para uma variação de ∆t = 0,02 seg ( ���b em torno de t = 3 
seg)? 
c) 
 �F
�] =
�F
�� .
��
�] +
�F
�� .
��
�] 																																									∆F = [
�F
�� .
��
�] +
�F
�� .
��
�]\∆] 
 
Determinando as derivadas e substituindo x e y (para t = 3, temos: x = , y = ) para calcular o 
VALOR das derivadas: 
 
�F
�� .
��
�] = 
 
�F
�� .
��
�] = 
 
Calculando a DIFERENCIAL TOTAL da função W para ∆t = 0,02 em torno de t = 3 seg 
 
∆F = [�F�� .
��
�] +
�F
�� .
��
�]\∆] = 
 
∆w = Novo w = w + ∆w = 
 
27 
 
3) W = f(x,y) = ex – 2e-3y +xy , x(t,p) = 2t² - p e y(t,p) = t.p 
 
a) Determine o valor de W para t = 1 e p = 3. 
 
x(1,3)= , y(1,3)= , W=f( , )= Ponto ( , , ) 
 
b) Qual o impacto em W (ou seja, ∆W) para uma variação em t de ∆t = 0,2 e em p de ∆p = 0,1 
( ���b e 
��
�c em torno de t = 1 e p = 3 )? 
 
Calculando as derivadas parciais pela regra da cadeia e substituindo os valores de x e y para t = 1 e p = 3. 
	�F�] =
�F
�� .
��
�] +
�F
�� .
��
�] = 
 
	�F�^ =
�F
�� .
��
�^ +
�F
�� .
��
�^ = 
 
Calculando a DIFERENCIAL TOTAL da função W para ∆t = 0,2 e ∆p = 0,1 (em torno de t=1 e p=3)? 
∆F = [�F�� .
��
�] +
�F
�� .
��
�]\∆] + [
�F
�� .
��
�^ +
�F
�� .
��
�^\∆^ = 
 
 
∆w = Novo w = w + ∆w = 
 
 
28 
 
APLICAÇÃO 
1) Um tanque cilíndrico de metal sofre uma dilatação em sua estrutura em função da 
temperatura. Quando a temperatura está 25◦C, suas dimensões são raio 2m e altura 3m. 
Determine, utilizando a DIFERENCIAL TOTAL COM REGRA DA CADEIA, as variações de volume 
do tanque, quando num dia, a temperatura variar : 
a) de 27◦C para 27,2 ◦C ? (determinar �d�b e a diferencial total ∆V ) 
 
b) de 25◦C para 24,9 ◦C ? 
c) de 21◦C para 21,2 ◦C ? 
 
Sabemos que: r = raio (cm), h= altura (cm), t = temperatura (◦C) 
Volume = V (r,h) = π r² h 
Raio: r(t) = 200 + 0,02( t² – 25² ) 
Altura: h(t) = 300 + 0,03 ( t² - 25² ) 
 
 
 
2) Um circuito elétrico com 2 resistências em paralelo está sendo montado. A resistência “A” foi 
comprada valendo 50 ohms e a resistência “B” valendo 80 ohms. As resistências “A” e “B” 
podem ter seus valores variando de ∓ 2 % e		∓ 3 % respectivamente. Sabendo que a DDP 
no circuito vale 90 volts e é constante, determine: 
 
a) os valores máximo e mínimo que a RESISTÊNCIA EQUIVALENTE pode assumir. UTILIZAR A 
DIFERENCIAL TOTAL. 
b) Nestas condições, qual a variação máxima e mínima da corrente i ? Resolver utilizando a 
diferencial total, analisando o impacto das variações dos resistores “A” e “B” na corrente “i”. 
DICAS: estabelecer a função i(Req) , �Y�T , 
�Y
�U 	,			e = fgh . i				j				 �QRS = �T + �U 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
EXTREMOS DE FUNÇÕES COM 2 VARIÁVEIS. 
 Dada a função Z =f(x,y), o gráfico desta função forma uma figura em R3 (3D). Vamos determinar seus 
pontos de vértices, representando os pontos de MÁXIMO OU MÍNIMO desta função. Estes pontos também 
são chamados de EXTREMOS DA FUNÇÃO. 
1º. Passo) Determinando as coordenadas dos vértices 
Teste da 1ª.derivada parcial: 
� 
��		 = ����, �� = 0 
� 
��		 = ����, �� = 0 
Com isso montamos um sistema 2x2 e determinamos os valores para os “candidatos” a xv (x do vértice) e 
yv (y do vértice). 
Caso tenhamos 2 ou mais valores para xv e yv , os “candidatos” à vértices serão todas as combinações 
possíveis de xv e yv. 
Exemplo: 
a) xv = 2 yv = 1 São possíveis extremos os pontos ( 2, 1, zv ) e ( 3, 1, zv ) 
 xv = 3 zv é calculado em f(xv , yv) 
 
b) xv = 1 yv = 4 São possíveis extremos os pontos: ( 1, 4, zv ) e ( 1, 5, zv ) 
 xv = 2 yv = 5 zv é calculado em f(xv , yv) ( 2, 4, zv ) e ( 2, 5, zv ) 
 xv = 3 ( 3, 4, zv ) e ( 3, 5, zv ) 
2º.passo) Definindo se os extremos são pontos de Máximo ou Mínimo da função. 
Teste envolvendo a segunda derivada parcial para cada “candidato” a vértice. 
Calculando o DISCRIMINANTE D da função Z : 
D = fxx(xv , yv ). fyy(xv , yv ) – [ fxy (xv , yv )]² 
Se D > 0 e fxx(xv , yv ) > 0 , então o ponto ( xv , yv , zv ) é MÍNIMO RELATIVO 
Se D > 0 e fxx(xv , yv ) < 0 , então o ponto ( xv , yv , zv ) é MÁXIMO RELATIVO 
Se D < 0 , então o ponto ( xv , yv , zv ) é PONTO DE SELA do gráfico. Zv NÃO é extremo relativo 
Se D = 0 nada podemos concluir (não sabemos de é máximo, mínimo ou ponto de sela) 
 
Exercício 1: Determine o extremo da função de z = f(x, y) = x² - 4x + y² - 6y + 14 
 
Exercício 2: Determine o extremo da função de z = f(x, y) = x² + xy - 13x - y² + 6y 
 
 
30 
 
APLICAÇÃO 
ARREDONDAMENTO DE TODOS OS EXERCÍCIOS NA 3ª.CASA DECIMAL 
 
3) Deseja-se construir uma caixa retangular (paralepípedo) com tampa, com volume de 60 m³. 
Para a confecção desta caixa, o custo do material do fundo será de ´R$ 550/m² (custo A1), pois 
necessita de um material mais reforçado, enquanto que o tampo custará R$ 250/m² (custo A2) . 
Nas laterais, serão utilizados 2 materiais diferentes em função do acabamento. Num par de 
laterais (lados paralelos) o custo do material utilizado será de R$ 200/m² (custo B em XZ) e no 
outro par de laterais o custo será de R$ 300/m² (custo C em YZ). Determine as dimensões da 
caixa que minimizam o custo de produção, garantindo o volume de 60m³. 
 
 Custo A2 
 Custo C 
 Custo B Z 
 
 Custo A1 Y 
 X 
 
 
4) Quais as medidas da caixa do problema anterior, caso a caixa NÃO tenha tampa. 
 
5) Para embarcar com uma mala “de mão” nos aviões, todas as empresas de aviação 
estabelecem limites para o tamanho destas malas, onde normalmente o limite é a soma das 
medidas x,y e z destas malas. Na empresa “SONHANDO ALTO”, o limite estabelecido para a 
soma de x,y e z é 114 cm. Quais seriam as dimensões da mala ideal que atenderia a restrição 
da empresa e permitiria levar o MAIOR volume possível na mala? 
 
 
 Z X+Y+Z = 114 cm 
 
 Y 
 X 
 
31 
 
6) A POLPA DE TOMATE TOMATINHO atualmente é vendida numa embalagem de papel 
retangular, com dimensões internas de 9,5 (a) x 6,1 (b) x 9,5 cm (altura). 
a) Determine as medidas ideais paraque esta embalagem possa comportar o mesmo volume com 
a menor área externa. 
b) Qual o custo de confecção da caixa inicial e a nova caixa, sabendo que o custo da embalagem 
é de R$ 0,02/cm² 
 
 
 h 
 
 b 
 a 
 
 
7) Para embarcar com uma mala “de mão” nos aviões, todas as empresas de aviação 
estabelecem limites para o tamanho destas malas, onde normalmente o limite é a soma das 
medidas x,y e z destas malas. Na empresa “SONHANDO ALTO”, o limite estabelecido para a 
soma de x,y e z é 72 cm. Quais seriam as dimensões da mala ideal que atenderia a restrição 
da empresa e permitiria levar o MAIOR volume possível na mala? 
 
 
 Z 
 
 Y 
 X 
 
 
32 
 
8) O EXTRATO DE TOMATE TOMATÃO atualmente é vendida numa embalagem de papel 
retangular, com dimensões internas de 12 (a) x 15 (b) x 8 cm (altura). 
a) Determine as medidas ideais para que esta embalagem possa comportar o mesmo volume com 
a menor área externa. 
b) Qual o custo de confecção da caixa inicial e a nova caixa, sabendo que o custo da embalagem 
é de R$ 0,02/cm² 
 
 
 h 
 
 b 
 a 
 
 
 
9) Deseja-se construir uma caixa retangular (paralepípedo) com tampa, com volume de 15 dm³. 
Para a confecção desta caixa, o custo do material do fundo será de ´R$ 7/dm² (custo A1), pois 
necessita de um material mais reforçado, enquanto que o tampo custará R$ 2/dm² (custo A2) . 
Nas laterais, serão utilizados materiais diferentes em cada face, em função do acabamento. 
Num par de laterais (lados paralelos) o custo do material utilizado será de R$ 3/dm² e R$ 4/dm² 
(custo B1 e B2 em XZ) e no outro par de laterais o custo será de R$ 3,5/dm² e R$ 2,5/dm² (custo 
C1 e C2 em YZ). Determine as dimensões da caixa que minimizam o custo de produção, 
garantindo o volume de 15 dm³. 
 
 Custo A2 
 Custo C 
 Custo B Z 
 
 Custo A1 Y 
 X 
 
 
33 
 
A INTEGRAL MÚLTIPLA PARA FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS 
 
A INTERPRETAÇÃO DA INTEGRAL DUPLA 
 
A integral de uma função de 1 variável f(x) pode ser interpretada como a ÁREA sob o gráfico da função. A 
integral de uma função de 2 variáveis f(x,y) pode ser interpretada como o VOLUME sob o gráfico da 
função, pois o volume de cada paralelepípedo do gráfico tem como área de base dA = dx.dy e a altura é a 
própria função z = f(x,y). 
 
Dada uma função z=f(x,y) que existe no domínio R, o volume V, abaixo de seu gráfico e acima da região 
de domínio R, pode ser calculado pela integral dupla : 
 
Volume = ∬ ���, ��EmQ 
 
Como dA = dx.dy, podemos escrever 
Volume = ∬ ���, ��E�E�Q 
 
A integração deve ser feita por uma variável de cada vez, não importando a ordem e respeitando-se o 
domínio de cada variável. Ao integrar numa variável, a outra variável irá se comportar como uma 
CONSTANTE. 
Se o domínio da função z = f(x,y) é dado por 	=M n = n =+					A				>M n > n >+ , o domínio é chamado de 
RETANGULAR e podemos escrever: 
opqr_j = s s ���, ��t>E�>+
>M
��
��
= s s ���, ��t=E�=+
=M
��
��
 
 
34 
 
EXERCÍCIOS: 
X�			o = u u �2� + ��E�E� = 																																					resp:	V	 = 	6,5	u. v.��� 
`�			o = ss[�²�² − 1�²\ E�E� =
�

�
‚�
																															resp:	V	 = 	2,5	u. v. 
a�				o = s s ƒ	8sen	�4�3 � −
�†��	
3 ‡E�E�
ˆ

�
‚�
							�	j	�	j_	fm�‰mŠ‹Œ									jŽ^: o =	 
APLICAÇÃO 
1) Uma tenda é projetada para ter o formato da superfície da função Z = f(x,y) = x² + y² + 3 . 
Calcule o volume sob a tenda, sabendo que ela foi projetada na região delimitada pelo domínio em 
−) n = n +			A	 − + n > n M . Resolver de 2 modos: 
a) iniciando a integração pela variável x . 
b) iniciando a integração pela variável y . 
 
 
 
 
2) Uma estrutura coberta por uma lona é projetada para servir de garagem num estacionamento, para 
proporcionar um pouco de sombra. A cobertura tem o formato da superfície da função: 
 Z = f(x,y) = 5 - ( x²/3 + y²/3 ) 
Calcule o volume sob a cobertura, sabendo que ela foi projetada na região delimitada pelo domínio 
em −+ n = n +					A		 − ) n > n ) . 
 
 
0
5
10
15
20
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
35 
 
3) Uma estrutura coberta por uma lona é projetada para servir de depósito num supermercado. A 
cobertura tem o formato da superfície da função: 
 Z = f(x,y) = x + xy/4 – y/2 + 6 
Calcule o volume sob a cobertura, sabendo que ela foi projetada na região delimitada pelo domínio 
em  n = n '					A			 n > n 9 . 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS: 
Calcule os volumes dados pelas integrais duplas abaixo, no domínio Retangular. 
X�	o = s s �� + 4�� + 3�E�E��
‚�

�
 
`�	o = s s �8�� − 3����E�E�
�

‚�
 
a�	o = s s �3j��� + � − 2�E�E��
‚�
�

 
E�	o = s s ƒ6cos	�2�� − 4�‡E�E�ˆ

�
‚�
																																																�	j	�	j_	fm�‰mŠ‹Œ 
j�	o = s s ƒ	��� + �apŽ�2���‡E�E�																																												�	j	�	j_	fm�‰mŠ‹Œ
�
�
�
 
��	o = s s “	2j�� + �� + Žj”�7��–E�E�																																		�	j	�	j_	fm�‰mŠ‹Œ�

�

 
—�	o = s s “2Žj” [4�3 \ − �j��–
�
�
�

E�E�																																									�	j	�	j_	fm�‰mŠ‹Œ	 
 
 
 
0
2
4
0
5
10
15
20
0 1 2 3 4 5 6
36 
 
A INTEGRAL DUPLA QUANDO O DOMÍNIO NÃO É RETANGULAR 
Quando o domínio para o cálculo do volume NÃO é RETANGULAR, mas definido por funções do 
tipo y = f(x) ou x = g(y), a integral dupla deverá ter na sua integral INTERNA os intervalos de integração 
dados pelas funções que a delimitam, marcando o início e o fim dos valores de x ou y. A Integral externa 
sempre deverá conter valores nos seus limites de integração, não podendo ser funções. 
 y y2=f2(x) 
o = u u ���, ��E�E���˜™��š���˜™��š�
›
V 
 y1=f1(x) 
 a b x 
 y x1=f1(y) x2=f2(y) 
 b 
o = u u ���, ��E�E���˜™��œ���˜™��œ�
›
V a 
 x 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule o volume da função z = f(x,y) = x³ + 4y , sabendo que o seu domínio é a região 
delimitada pela área entre as funções y1 = x² e y2 = 2x . Faça o gráfico do domínio em escala. 
 
 
2) Calcule o volume da função z = f(x,y) = x - 4xy , sabendo que o seu domínio é a região 
delimitada pela área entre as funções y = 2x e y = x/2 no intervalo 2 n � n 6					. Faça o 
gráfico do domínio em escala. 
 
 
3) Calcule o volume da função z = f(x,y) = 3x² + xy , sabendo que o seu domínio é a região 
delimitada pela área entre as funções y = -2x e y = x , para 1 n � n 2	. Faça o gráfico do 
domínio em escala. 
 
 
4) Calcule o volume da função z = f(x,y) = 2x - 2y , sabendo que o seu domínio é a região 
delimitada pela área entre as funções y1 = x² - 4 e y2 = 9 . Faça o gráfico do domínio em escala. 
 
37 
 
CÁLCULODE ÁREA DE SUPERFÍCIE EM FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS 
 
Para calcularmos a área da superfície do gráfico de uma função Z = f(x,y) num certo domínio R, usamos 
as INTEGRAIS DUPLAS e as DERIVADAS PARCIAIS de Z como segue: 
 
ÁjX	Ej	Žr^j�íaij =  žƒ����, ��‡²+ ƒ����, ��‡²+ 1Q 		 . E�E� 
 
APLICAÇÃO 
1) Uma tenda é projetada para ter o formato da superfície da função Z = f(x,y) = 2x + 4y + 3 . Calcule 
a área de lona utilizada na cobertura, sabendo que ela foi projetada na região delimitada pelo 
domínio em −) n = n +			A	 − + n > n M . 
 
 
 
 
 
2) Uma estrutura foi montada para servir de depósito e está coberta por uma lona. A cobertura tem o 
formato da superfície da função: Z = f(x,y) = 3x + 2y + 2 .Calcule a área de lona utilizada na 
cobertura, sabendo que ela foi projetada na região delimitada em  n = n M					A		 n > n = . 
 
 
 
 
38 
 
 
 
TABELA COMPLETA 
DE INTEGRAIS 
39 
 
Fonte: Swokowsky,E.W. Cálculo com Geometria Analítica, vol 2, 2 edição, 1994, Makron Books. 
 
 
 
40 
 
 
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