livro de calculo 3 prof sinvaldo gama

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Sinvaldo Gama 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maceió-AL 
Outubro/2007 
 
 
Sumário 
 
CAPÍTULO 1 – FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL ):( n .. 3 
Seção 1.1: Curvas Parametrizadas ...................................................................................... 3 
Seção 1.2: Limite e Continuidade ..................................................................................... 11 
Seção 1.3: Derivada ......................................................................................................... 11 
Seção 1.4: Interpretação Geométrica da Derivada ............................................................. 14 
Seção 1.5: Interpretação Física da Derivada ..................................................................... 17 
Seção 1.6: Curvas em R³ .................................................................................................. 20 
Seção 1.7: Comprimento de uma Curva............................................................................ 24 
Seção 1.8: Parametrização pelo Comprimento de Arco ..................................................... 27 
Seção 1.9: Curvatura de uma Curva ................................................................................. 31 
Seção 1.10: Torção de uma Curva .................................................................................... 35 
 
CAPÍTULO 2 – FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS ):( nf 43 
Seção 2.1: Funções e Gráficos .......................................................................................... 43 
Seção 2.2: Limite e Continuidade ..................................................................................... 45 
Seção 2.3: Derivadas Parciais ........................................................................................... 51 
Seção 2.4: Regra da Cadeia (1ª Versão) ............................................................................ 58 
Seção 2.5: Derivada Direcional ........................................................................................ 59 
Seção 2.6: Funções Diferenciáveis ................................................................................... 62 
Seção 2.7: Regra da Cadeia (2ª Versão) ............................................................................ 70 
Seção 2.8: Gradiente e Derivada Direcional ..................................................................... 75 
Seção 2.9: Funções Implícitas .......................................................................................... 78 
Seção 2.10: Máximos e Mínimos de Funções Reais .......................................................... 88 
 
CAPÍTULO 3 – FUNÇÕES VETORIAIS ):( mnf  ................................................. 108 
Seção 3.1: Funções Vetoriais .......................................................................................... 108 
Seção 3.2: Limite e Continuidade ................................................................................... 114 
Seção 3.4: A Regra da Cadeia ........................................................................................ 119 
Seção 3.5: O Teorema da Função Inversa ....................................................................... 124 
 
 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 3 
CAPÍTULO 1 
FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL ):( n 
SEÇÃO 1.1: CURVAS PARAMETRIZADAS 
Quando olhamos curvas, no plano, como gráficos de funções reais, encontramos 
certos inconvenientes. Um deles é que curvas como círculos, elipses etc., não são gráficos de 
funções (note que estas curvas não obedecem à restrição de uma função às retas verticais). 
 
Para estudarmos estas curvas, teremos que utilizar gráficos de mais de uma função. 
Por exemplo, para estudarmos o círculo unitário 122  yx , teremos que considerar as 
funções 101 21  xxxf ,)( e 101
2
2  xxxf ,)( . 
 
Só que estas funções têm a desvantagem de não serem diferenciáveis em 1x e, 
por conseguinte, não podemos utilizá-las para estudar as tangentes verticais ao círculo nestes 
pontos. Estes e outros inconvenientes podem ser evitados se mudarmos nosso ponto de vista 
com respeito às curvas. Em lugar de pensarmos numa curva como o gráfico de uma função, 
uma curva agora será vista como imagem de uma função – uma função vetorial. Com este 
2
1 1 xxf )(
2
2 1 xxf )(
11 11
x
y
122  yx
11
xa
b
y
1
2
2
2
2

b
y
a
x
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 4 
propósito, a trajetória de uma partícula no plano ou no espaço é um modelo muito útil para tê-
lo em mente quando se estudam curvas. Em 3 , por exemplo, para cada tempo � a partícula 
está localizada no ponto ))(),(),(( ttt 321  . Em verdade, a trajetória da partícula é descrita 
por uma função � definida por ))(),(),(()( tttt 321   . 
 
Descreveremos, de modo geral, este fato a seguir, salientando que o termo “curva” 
será usado tanto para quando nos referirmos a uma figura, como para quando nos referirmos a 
uma função. 
Definição 1.1.1: Seja I um intervalo da reta. Uma função 
 nI : 
 ))(),...,(),(()( ttttt n 21 
é dita uma função vetorial de uma variável real ou uma curva parametrizada. 
As n funções, Ii : , são chamadas funções coordenadas de  . A palavra 
parâmetro se refere à variável independente t da função  . 
Para cada It , o vetor )(),...,(),()( tttt n 21 chama-se raio vetor ou vetor 
posição da curva no instante t . Representaremos este vetor como o segmento orientado que 
vai da origem do sistema coordenado ao ponto de coordenadas ))(),...,(),(( ttt n 21 . 
))(),(),(()(
iiii
tttt
321
 


y
z
 ))(),(),(()( nnnn tttt 321  ))(),(),(()( 0302010 tttt  





)(
1i
t
)(
1n
t
)(
1
t
)(
2
t
)( 1it
x
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 Cálculo III 5 
 
De um modo geral, se uma curva é gráfico da função   baf ,: , 
 
observe que a mesma é imagem da curva 
   2ba,: 
 ))(,()( tfttt  . 
Definição 1.1.2: O traço ou a imagem de  é o conjunto 
};)({)( IttI n   . 
Em palavras, a imagem de  corresponde ao conjunto de todos os pontos no espaço 
n gerados pela variação possível de cada It . Nesta situação, diz-se que a função 
parametriza seu traço ou que é uma parametrização do mesmo. 
Exemplo 1.1.1: Seja   220  ,: 
 ),()sin,(cos)( yxtttt  . 
t
))(,(tft
a b

)(tf
z
)( 2t
)( 1t
D
2t1t
y
x


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 Cálculo III 6 
Observe que )(t é um ponto do círculo unitário, já que 12222  ttyx sincos . E 
vice-versa; todo ponto do círculo unitário é da forma )sin,(cos tt para algum t. Portanto, o 
traço de  é o círculo 122  yx . 
 
Note que o círculo 122  yx representa a trajetória de um ponto móvel no plano. À 
medida que t cresce no intervalo  20, a trajetória vai se formando no sentido anti-horário. 
Exemplo 1.1.2: Seja 2: 
 ),()( yxtPtt  u , 
onde ),( 00 yxP  e 
),( bau são pontos de 2 . 
O traço de  é a reta que passa por P e é paralela ao vetor u . 
Para cada valor de t , utPt )( representa um ponto sobre tal reta, e vice-versa; 
dado um ponto ),( yxQ  desta reta, existe algum t tal que QtP  u . 
 
t0

P
),( bau
0x
0y


y
x
2t

),()( 010 
x
y

)sin,(cos)( ttt 

t



),()( 1023 
),()( 01
),()( 102 
0
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 Cálculo III 7 
Observe que )(0P e como ),(),(),()( tbytaxbatyxtPt  0000u , as 
funções coordenadas de  são 
taxt  01 )( e tbyt  02 )( . 
Exemplo 1.1.3: O traço da curva parametrizada   220  ,: definida por 
)sin,cos()( tbtat  é a elipse 1
2
2
2
2

b
y
a
x
. De fato, se tax cos 
e tby sin , então 
t
a
x
cos
 
e t
b
y
sin , 
e assim, 122
2
2
2
2
 tt
b
y
a
x
sincos . 
 
Exemplo 1.1.4: Qual o traço da curva parametrizada 3: definida por 
),,(),sin,cos()( zyxbttatat  ; 0a , 0b ? 
Solução: Inicialmente note que a projeção ortogonal de cada ponto ),,( zyxP  da curva, no 
plano xy, é o ponto ),,( 0yxP  pertencente à circunferência 
222 ayx  , 0z . Isto 
significa que a curva  está contida no cilindro 222 ayx  . 


t
x
y
a
b
)sin,cos()( tbtat 
a
b
2t0
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 Cálculo III 8 
 
 Vale destacar ainda que as coordenadas x e y dos pontos )(t e )(  2t são iguais 
para cada t . De fato, 





)sin()sin(
)cos()cos(
tt
tt


2
2
. 
 Portanto, )(t e )(  2t estão sobre uma mesma reta vertical. Finalmente 
observemos que é constante e igual a b2 , a distância entre )(t e )(  2t . De fato, 
  bbbttbd tt  22200
2222
2  )())(()(),( . 
 A constante b2 é denominada passo da curva. O traço é, pois, a hélice circular 
abaixo. (A figura ilustrada é apenas um esboço da forma geométrica da hélice.) 
z
y
x


),,( 0yxP 
curva ),,( zyxP
222 ayx cilindro
0222  zayx ,
ˆnciaecircunfer
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 9 
 
 Não devemos confundir o traço de uma curva (a imagem da função vetorial) como seu 
gráfico. Este último é o conjunto 
};))(,{( Ittt  2 . 
Observe que só teremos uma imagem geométrica do gráfico de uma função vetorial  
quando seu contradomínio estiver contido em 3 . Em nosso estudo, entretanto, raras vezes 
teremos necessidade de considerar o gráfico de tal função. 
Exemplo 1.1.5: (Cicloide). A cicloide é uma curva descrita por um ponto de uma 
circunferência quando esta gira ao longo de uma reta sem escorregar. Consideremos um 
círculo de raio a e centro ),( a0 e ),( 00P um ponto da mesma nesta posição. Da Geometria 
Euclidiana, sabemos que um arco que mede t radianos, num círculo de raio a tem 
comprimento at . A figura abaixo, à direita, mostra o ponto P numa posição correspondente a 
um arco AP cuja medida é  radianos. O ângulo central correspondente também mede  
radianos. Observe que o segmento OA e o arco AP têm o mesmo comprimento a . 
z
x
0t 20 t

)(  20 t
)( 0t 

aa
y
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 Cálculo III 10 
 
Vemos também que 
 sinaPQ e cosaCQ . 
Se ),( yxP  , então 
)sin(sin   aaaPQOAx e )cos(cos   1aaaCQQAy . 
Portanto, a curva 
))cos(),sin(()(   1aa ;  
parametriza a cicloide. 
 
Exemplo 1.1.6: Obtenha uma equação parametrizada da curva obtida pela interseção do 
cilindro 122  yx com o plano 2 zy . 
Solução: A projeção da curva interseção  no plano xy é a circunferência 
122  yx , 0z . 
Desta forma, 





ty
tx
sin
cos
 para 20  t . 
y
a20a2 a4
x
x
y
 ),( a0

P
A
x
y
C
A
P
x
Q
O
.
a



  dorotacionan
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 Cálculo III 11 
Por outro lado, como  está sobre o plano 2 zy , então todos os seus pontos satisfazem a 
equação deste plano, isto é, teremos: tyz sin 22 , do que resulta, 
)sin,sin,(cos)( tttt  2 ;  20,t . 
SEÇÃO 1.2: LIMITE E CONTINUIDADE 
Definição 1.2.1: Seja  uma curva parametrizada e 0t . Definimos o 
 





)(lim),...,(lim),(lim)(lim tttt n
tttttttt

0000
21 
quando existem os limites )(lim ti
tt

0
, ni ,...,1 . 
Teorema 1.2.1: Sejam  e  curvas parametrizadas que possuem limite em 0tt  . Então, 
i. )(lim)(lim))()((lim tttt
tttttt

000 
 ; 
ii. )(lim))((lim tata
tttt

00 
 , a ; 
iii. )(lim)(lim))()((lim tttt
tttttt

000 
 ; 
iv. )(lim)(lim))()((lim tttt
tttttt

 000
, onde  e têm seus traços contidos em 3 ; 
v. )(lim)(lim tt
tttt

00 
 . 
Definição 1.2.2: Dizemos que a curva nba ),(: é contínua em ),( bat 0 se 
)()(lim 0
0
tt
tt
 

. 
SEÇÃO 1.3: DERIVADA 
Definiremos a seguir a derivada de uma função nba ),(: e mostraremos como 
ela nos leva à definição de reta tangente ao traço de  . 
Definição 1.3.1: Uma curva parametrizada nba ),(: é dita diferenciável em ),( bat 0 , 
se existe o 
h
tht
h
)()(
lim 00
0
 

 
que denotaremospor )( 0t . 
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 Cálculo III 12 
Se o limite acima existe para cada ),( bat , dizemos que  é diferenciável no 
intervalo ),( ba . Neste caso, a função 
nba  ),(: 
 )(tt  
é também uma função vetorial, denominada derivada de 1ª ordem de  . 
Se  também é diferenciável em ),( ba , então sua derivada  )( , é chamada 
derivada de 2ª ordem de  . Uma função vetorial  é dita de classe nC , no intervalo ),( ba , se 
a n-ésima derivada de  existe e é contínua em cada ponto do intervalo ),( ba . Dizemos que 
 é de classe C se a mesma for de classe nC para todo n. 
Exemplo 1.3.1: Seja ),()( 2ttt  . Então 





 





 h
tht
h
tht
h
tththt
h
tht
t
hhh
2
0
2
000
0
2
00
2
00
0
00
0
0
)(
,lim
))(,())(,(
lim
)()(
lim)(

 
 ),(),(lim,lim 00
0
2
0
0
2121
2
1 tht
h
hht
hh





 


, isto é, ),()( 00 21 tt  . 
Observe que tt )(1 , 
2
2 tt )( e que 101  )(t e 002 2tt  )( . 
O exemplo acima sugere que uma função nba ),(: tem derivada num ponto ),( bat 
se, e somente se, cada função coordenada de  tem derivada neste ponto. Isto é verdade, e de 
fato, temos o seguinte teorema. 
Teorema 1.3.1: Se a curva parametrizada 
 nba ),(: 
 ))(),...,(),(()( ttttt n 21 
é diferenciável em ),( bat 0 , então existem as derivadas )(),...,( 001 tt n  . Além disso, 
))(),...,(),(()( 002010 tttt n  . 
Reciprocamente, se existem as derivadas )(),...,( 001 tt n  , então  é diferenciável em 
0t e 
))(),...,(),(()( 002010 tttt n  . 
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 Cálculo III 13 
Prova: Parte 1. Suponhamos que  é diferenciável em 0t . Então, 
 
))(),...,((
)()(
lim,...,
)()(
lim
)()(
,...,
)()(
lim
)()(
lim)(
001
00
0
0101
0
000101
0
00
0
0
tt
h
tht
h
tht
h
tht
h
tht
h
tht
t
n
nn
hh
nn
h
h











 






 







 
Parte 2. Suponhamos agora que existem )(),...,( 001 tt n  . Então, 
 
)(
)()(
lim
)()(
,...,
)()(
lim
)()(
lim,...,
)()(
lim))(),...,((
0
00
0
000101
0
00
0
0101
0
001
t
h
tht
h
tht
h
tht
h
tht
h
tht
tt
h
nn
h
nn
hh
n














 






 




 
Teorema 1.3.2: (Regras básicas de derivação). Sejam nba ),(:, e ),(: baf 
funções diferenciáveis em ),( ba . Então,   , f , e   também o são e tem-se: 
i.   )( ; 
ii.   fff )( ; 
iii.   )( ; 
iv. (Regra da cadeia). Se ),(: dcg é uma função real, diferenciável, então 
)())(()()( tgtgtg    ; 
v. Se 3),(:, ba , então 
  )( . 
Teorema 1.3.3: Seja nba ),(: uma curva parametrizada, diferenciável em ),( ba e k 
uma constante real. Se kt )( , ),( bat , então 0 )()( tt  , ),( bat , isto é, o 
vetor posição )(t é perpendicular ao vetor )(t , para todo ),( bat . Reciprocamente, se 
0 )()( tt  , ),( bat , então existe uma constante real k tal que kt )( , ),( bat . 
Prova: Parte 1. Suponhamos que kt )( , ),( bat . Então, 
 2
2
kt )( e assim 2ktt  )()(  . 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 14 
Derivando ambos os membros, obtemos: 
020  )()()()()()( tttttt  e daí, )()( tt   . 
Parte 2. Exercício. 
Exemplo 1.3.2: Seja )sin,cos()( tatat  , 0a . Temos que 
atatat  )(sin)(cos)( 2222 , para todo t . 
Então, pelo Teorema 1.3.3 acima, )()( tt   . 
Poderíamos constatar diretamente este fato, pois )cos,sin()( tatat  e assim 
022  ttattatt cossincossin)()(  . 
 
Pergunta: Toda curva parametrizada cujo vetor posição )(t tem norma constante para todo 
t , está contida numa circunferência? 
SEÇÃO 1.4: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA 
Veremos nesta seção como a derivada  de uma curva parametrizada  está 
relacionada com o conceito de reta tangente, como no caso de uma função real. Para isso, 
consideremos o quociente, 
h
tht )()( 00   
e analisemos o seu comportamento quando 0h . 
2t0

x
y
 )(t
)(t
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 15 
 
 Note que o vetor )()( 00 tht   é paralelo ao vetor ))()(( 00
1 thth   . Estes terão o 
mesmo sentido se 0h (como na figura acima) e sentidos contrários se 0h . 
 O vetor ))()(( 00
1 thth   , por sua vez, tem uma direção que deverá tender para o 
que denominaremos direção da reta tangente à curva  no ponto )( 0t , quando 0h . 
O vetor )( 0t , se existe e é não nulo, é denominado vetor tangente à curva em )( 0t . 
Seu sentido é guiado pelo movimento da extremidade do vetor )( 0t
 
ao crescer t. É claro que 
qualquer múltiplo não-nulo de )( 0t é também denominado vetor tangente, e a reta que passa 
por )( 0t
 
e com direção de )( 0t
 
é chamada reta tangente à curva em )( 0t
 
e terá equação 
paramétrica: 
)()()( 00 ttttX   . 
O vetor tangente )( 0t
 
é usualmente desenhado com sua origem em )( 0t , como 
indica a figura acima. 
Exemplo 1.4.1: Considere a reta utPt )( , ),( 00u e t . Temos que 
u )(t , para todo t . 
z
x
y

P
Q
)( 0t
h
tht )()( 00  
)( ht 0
)( 0t
O


Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 16 
 
Desta forma, a tangente à reta em cada um de seus pontos coincide com a própria reta )(t , 
propriedade esta que, evidentemente, era de se esperar. 
Exemplo 1.4.2: Se )(t descreve uma circunferência de centro O e raio r , então 
rt )( , para todo t . 
 
Uma vez que o vetor )(t tem norma constante, sua derivada )(t lhe é perpendicular 
(Teorema 1.3.3) e, portanto,)(t é perpendicular à reta tangente correspondente. Conclui-se 
então que, para cada circunferência, a definição dada de reta tangente coincide com a dada na 
geometria euclidiana. 
Exemplo 1.4.3: Consideremos a hélice ),sin,(cos)( tttt  . Então 
),cos,sin()( 1ttt  e assim ),,()( 1100  . 
x
y

)(t
)(t
O r
P
u

O
y
)(t
x
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 17 
A reta tangente à hélice em ),,()( 1100  tem, pois, equação vetorial 
),,(),,()( 110001  ttX . 
Do exposto acima, vemos que se para cada t , 0 )(t então existe uma reta tangente a curva 
que contém o ponto )(t e tem por direção o vetor )(t . Para o estudo das curvas, é essencial 
que exista uma reta tangente a em cada um de seus pontos. 
Definição 1.4.1: Um ponto 0t para o qual 00  )(t
 
é dito um ponto singular de  . 
Definição 1.4.2: Uma curva nba ),(: é dita regular se 
i.  é diferenciável em ),( ba ; 
ii. ),(,,)( battt  0 . 
SEÇÃO 1.5: INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA DERIVADA 
Se )(t descreve a posição de uma partícula que se move no espaço como função do 
tempo, então conceitos físicos como vetor velocidade, velocidade escalar e vetor aceleração 
podem ser definidos em termos das derivadas de  . 
 
s
z
x
y

AB 
)( ht B)(tA
O
 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 18 
Definição 1.5.1: Seja )(t uma curva parametrizada cujo traço descreve a trajetória de uma 
partícula em função do tempo t. Definimos a velocidade escalar )(tv dessa partícula como 
sendo 
t
s
tv
t 


 0
lim)( 
onde s é o comprimento do arco AB, e hthtt  )( . 
Como )()( thts   para h pequeno, então 
h
tht
h
tht
t
s )()()()(  





. 
Assim, 
)(
)()(
lim
)()(
limlim)( t
h
tht
h
tht
t
s
tv
ttt










 000
. 
O vetor )(t é denominado vetor velocidade e o vetor )(t  é denominado vetor 
aceleração. Esta terminologia é razoável, pois )(t mede a razão da mudança do vetor 
posição com respeito ao tempo, que é precisamente o que entendemos por velocidade. Da 
mesma forma, )(t  mede a razão da mudança do vetor velocidade com respeito ao tempo. 
A velocidade escalar fornece a taxa de variação do comprimento do arco (medido 
sobre a curva) com relação ao tempo. Ou seja, a grandeza do vetor velocidade nos informa 
sobre a rapidez com que a partícula está a mover-se em cada instante e a sua direção e sentido 
diz-nos para onde a mesma se move nesses mesmos instantes. O vetor velocidade variará se 
modificarmos a sua direção ou a sua grandeza (velocidade escalar) ou ambas. O vetor 
aceleração, por sua vez, dá a medida desta variação. 
Exemplo 1.5.1: Consideremos o movimento retilíneo descrito pela função u5tPt )( ; 
t , onde P e u são vetores constantes e 0u  . Temos então, vetor velocidade: 
45 tt u )( e vetor aceleração: 
320 tt u )( . Vemos que )(t e )(t  são não nulos, e que 
os vetores velocidade e aceleração são paralelos. 
Exemplo 1.5.2: Consideremos o movimento circular uniforme, em que a trajetória é um 
círculo e o módulo da velocidade angular é constante, de modo que a partícula descreve arcos 
de círculo iguais em tempos iguais. Este movimento pode ser descrito pela função vetorial 
)sin,cos()(  aa , onde t  , 0a , 0 , 20  t . 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 19 
 
Observe que quando 0t , a partícula se encontra no ponto ),( 0a e move-se no sentido anti-
horário ao longo da circunferência de raio a, com velocidade angular  dt
d , constante. 
Temos assim: 
Vetor velocidade: )cos,sin()(   aat , e 
Vetor aceleração: )()sin,cos()sin,cos()( taaaat   2222 . 
 Neste caso, o vetor aceleração é paralelo ao vetor posição, mas de sentido contrário, e 
como )(t é perpendicular a )(t
 , pois )(t é constante, segue-se que o vetor aceleração é 
perpendicular ao vetor velocidade: 
 
x
y
a
)(
)(
)( 
.
a
x
y
a

)(
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 20 
 Se representarmos o vetor aceleração )(t  com sua origem coincidindo com o ponto 
que se move sobre a curva em )(t , vê-se que ele fica dirigido deste para o centro da 
circunferência que a partícula descreve. Neste caso, )(t  é denominada aceleração 
centrípeta. A reação de mesma intensidade e sentido oposto (devido a 3ª Lei de Newton), isto 
é, a força )(t  é dita aceleração centrífuga. Como exemplo de aceleração centrípeta, 
podemos considerar a atração da gravidade no caso de um satélite em volta da Terra ou a 
força exercida pelo mecanismo de uma pedra girando numa funda. De modo geral, esta força 
é exercida pelo mecanismo que obriga a partícula a uma trajetória circular. 
SEÇÃO 1.6: CURVAS EM R³ 
Na seção anterior vimos que no movimento retilíneo o vetor aceleração é paralelo ao 
vetor velocidade e que no movimento circular, com velocidade angular constante, o vetor 
aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. Nesta seção, veremos que num movimento 
qualquer, o vetor aceleração é a soma de dois vetores perpendiculares entre si, um paralelo ao 
vetor velocidade e o outro perpendicular a esse mesmo vetor. Se o movimento não é retilíneo, 
esses dois vetores definem um plano que passa pelo ponto correspondente da curva e que se 
chama plano osculador da curva. 
Definição 1.6.1: Se 0 )(t , o vetor 
)(
)(
)(
t
t
t




T 
chama-se vetor tangente unitário. 
 
 Observe que sendo 1)(tT , então )()( tt TT  . 
x
y

)(t
)(tT
O

)(t
z
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 21 
Definição 1.6.2: Se 0 )(tT , o vetor 
)(
)(
)(
t
t
t
T
T
N


 
chama-se vetor normal principal. 
 
 Observe que )()( tt NT  . 
Definição 1.6.3: O plano determinado pelos vetores )(tT e )(tN é denominado plano 
osculador da curva. 
 
z
x
y

)(t
)(tT
O

)(t
)(tT
)(tN
.
Plano osculador 

z
y

)(t
)(tT
O

)(t
)(tT
)(tN
.
x
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof.Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 22 
 De modo geral, o plano osculador varia em cada ponto da curva. Mas se a curva é 
plana (isto é, todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano), o plano osculador em cada 
ponto coincide com o plano da curva. De fato, se 
0 n)( PX 
é a equação cartesiana do plano que contém a curva  (onde P é um ponto da curva e n é um 
vetor normal a π), então os pontos )(t desta curva deverão satisfazer esta equação, isto é, 
0 n))(( Pt , t . 
Derivando ambos os membros desta identidade, obteremos: 
0 n)(t , t . 
Portanto, tt  ,)( 0nT e tt  ,)( 0nT . 
Isto mostra que )(tT é paralelo a π, bem como a )(tN . Assim, )(tT e )(tN definem 
um plano paralelo ao plano π. Quando esses vetores são desenhados no ponto )(t , tal plano 
coincidirá, portanto, com π, o que prova o que afirmamos. 
Definição 1.6.4: O vetor )(tB definido por 
)()()( ttt NTB  
é denominado vetor binormal. 
 
z
x
y

)(t
)(tT
O

)(t
)(tT
)(tN
.
)(tB
..
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 23 
Note que )(tB é também unitário. Com efeito, 
1111
2








sin)()()()()( ttttt NTNTB . 
Os três vetores unitários T , N e B formam, nesta ordem, um triedro positivamente 
orientado cujos vetores são dois a dois ortogonais e é denominado triedro de Frenet-Serret. 
Este triedro constitui, naturalmente, uma base para o espaço vetorial 3 . Portanto, qualquer 
vetor de 3 pode ser escrito como combinação linear do terno )}(),(),({ ttt BNT , o qual varia 
em cada ponto da curva. Por serem vetores unitários e ortogonais entre si, o conjunto ternário 
T , N e B é considerado uma base ortonormal do 3 . 
O teorema seguinte nos informa que em qualquer movimento o vetor aceleração fica 
situado no plano osculador da curva. 
Teorema 1.6.1: Se a função vetorial )(t descreve o movimento de uma partícula com 
velocidade escalar )()( ttv  , então o vetor aceleração )(t  é uma combinação linear de 
)(tT e )(tT da forma 
)()()()()( ttvttvt TT  . 
Se 0 )(tT , então 
)()()()()()( tttvttvt NTT  . 
Da igualdade acima, conclui-se que o vetor aceleração está contido no plano 
osculador da curva. 
 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 24 
 
 Como podemos observar o vetor aceleração )(t  pode ser expresso como uma 
combinação linear dos vetores )(tT e )(tN . Na figura, )(tvk 1 e )()( ttvk T2 . Os 
vetores )()( ttv T e )()()( tttv NT  são denominados, respectivamente, componente 
tangencial e normal do vetor aceleração, conforme expresso. 
SEÇÃO 1.7: COMPRIMENTO DE UMA CURVA 
 Seja 3),(: ba uma curva diferenciável. Sejam bttta n  ...10 uma 
partição de  ba, ,  ii tt ,1 os subintervalos de  ba, , 1 iii ttt o comprimento do 
subintervalo  ii tt ,1 e )( it os pontos correspondentes no traço de  . Liguemos estes pontos 
através de uma linha poligonal como indicado na figura abaixo. 
z
x
y

)(t
)(tT
O
)(t
)(tN
)(t 
)(tk T1
)(tk T2
Componente tangencial 
Componente normal 
)(tT

Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 25 
 
 Tomando-se os vetores posição dos pontos )( it , tem-se que o comprimento do i-
ésimo segmento da poligonal é )()( 1 ii tt  e o comprimento total da poligonal é 



n
i
iin ttS
1
1)()(  . 
Como )(txx  , )(tyy  e )(tzz  são funções reais de classe 
1C , pelo teorema do 
valor médio aplicado às funções x, y e z em cada intervalo  ii tt ,1 , existem 1t , 2t e 3t tais 
que: 











iii
iii
iii
ttztztz
ttytyty
ttxtxtx
)()()(
)()()(
)()()(
31
21
11
. 
Logo, i
n
i
n ttztytxS 
1
2
3
2
2
2
1 ))(())(())(( . 
A rigor, a expressão acima não é uma soma de Riemann, pois os 1t , 2t e 3t não são 
necessariamente iguais. Utilizando-se um teorema sobre integração que não será discutido 
aqui e sendo   baf ,: uma função contínua e  ii ttt ,1 , então 




n
i
i
n
b
a
ttfdttf
1
)(lim)( 
onde existe a possibilidade de haver diferentes t . 
)(a
)(
1
t
)(
1i
t )( it
)(
1i
t
)(b
z
x
at 
0
bt
n

1t
it
1it
1i
t
 








),( ba


y
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 26 
Aplicando o referido teorema à 23
2
2
2
1 ))(())(())(()( tztytxtf  é possível mostrar 
que o comprimento de arco de  entre at 0 e btn  , denotado por l, é dado por: 
 
b
a
dttcl )()(  
se )(t é contínua. 
Exemplo 1.7.1: (Comprimento da circunferência) Seja )sin,cos()( trtrt  , 0r . Temos 
)cos,sin()( trtrt 
 
e assim, rt  )( . Daí, 
rrtrdtdttlcl 


2
2
0
2
0
2
0
  )()( . 
 
Exemplo 1.7.2: (Comprimento de uma espira da hélice) Seja ),sin,cos()( bttatat  , 0a , 
200  ttt . Temos ),cos,sin()( btatat 
 
e assim, 22 bat  )( . 
 
22
2
0
22
2
0
2 badtbadttlcl   

)()( . 
2t0

)()(  20 
x
y

r
)(t

Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 27 
 
Exemplo 1.7.3: Seja   baf ,: uma função real diferenciável. O gráfico de f é uma curva 
contida em 2 , a qual é traço da função vetorial, ))(,()( xfxx  , bxa  . 
 
 Se f  é contínua, então 21 ))(()( xfx 
 
também o é, e 
 
b
a
dxxffcl 21 ))(()( 
que é a fórmula, já conhecida por nós, do estudo das funções reais de uma variável real. 
SEÇÃO 1.8: PARAMETRIZAÇÃO PELO COMPRIMENTO DE ARCO 
Uma curva pode ter muitas representações paramétricas, mas existe uma que é, num 
certo sentido, particularmente simples e útil. Nesta representação, o parâmetro é o 
x
y
))(,( xfx
x
)(xf
a b

z
x
0 2

)(  2
)(0 

a
y
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo GamaCálculo III 28 
comprimento da curva medido a partir de algum ponto da mesma. Vejamos como podemos 
obter esta representação. 
Seja   3ba,: uma curva parametrizada regular. A função definida por 
 
t
a
duuts )()(  , bta  
mede o comprimento da parte de  correspondente ao intervalo tua  . 
 
Observe que 0)(a e lb )( , se l representa o comprimento total de  . 
Portanto, a função vetorial  possui como domínio o intervalo fechado  ba, e 
contradomínio, o intervalo  l,0 . Em notação funcional, 
   lba ,,: 0 
  
t
a
duutt )()(  . 
Como ttt  ,)()( 0 [pois 0 )(t e a norma de qualquer vetor é sempre um 
valor maior ou igual a zero], a função  é estritamente crescente. Portanto,  é uma função 
injetiva no intervalo  ba, sendo assim, inversível neste intervalo. Denotando-se por r sua 
inversa, teremos imediatamente que 
   balr ,,:   01 
 
tsr )( . 
z
x
y
)(ts
)(b
O
 

)(a
)(t
b
a
t
s
  ba,
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 29 
A função composta ))(()()( srsrsh    descreve a mesma curva que  descreve, 
porém, com uma nova parametrização, na qual a variável s , ts 0 , representa o 
comprimento de arco de )())(()( arh   00 a )())(()( blrlh   . 
 
Dizemos então que a curva está parametrizada pelo comprimento de arco. 
Proposição 1.8.1: A reparametrização )(sh possui as seguintes propriedades: 
i. 1)(sh , para todo  ls ,0 ; 
ii. O comprimento do arco da curva corresponde ao intervalo  s,0 é s. 
Prova: Pela Regra da Cadeia, 
)())(()( srsrsh   . 
Por outro lado, o teorema da função inversa nos informa que 
))(()()(
)(
srtt
sr
 





111 , onde )(ts  . 
Logo, 
))((
))(()(
sr
srsh




1 
e daí, 
1)(sh . 
Quanto à segunda parte do teorema, note que, de fato, 
sduduuh
ss
 
00
)( . 
 
Pelo que acabamos de ver, quando uma curva está parametrizada pelo comprimento de 
arco, o tempo gasto para percorrer um arco da mesma coincide exatamente com o número que 

l
0
)(ts 
1r
z
)()( sht s
)()( 0ha 
O
x
y
)()( lhb 

b
a
)(srt 


rh 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 30 
exprime o comprimento deste arco, isto é, a distância percorrida. Isto equivale a dizer que a 
parametrização )(sh transforma um segmento de reta (domínio de h ) numa curva de 
comprimento igual a ele mesmo. 
Exemplo 1.8.1: Reparametrize o círculo )sin,cos()( tatat  , 20  t pelo comprimento de 
arco. 
Solução: Temos que )cos,sin()( tatat 
 
e at  )( . Assim: 
atadtduuts
t
a
t
a
  )()(  . 
Daí, 
a
s
srt  )( . Temos então, 

























a
s
a
a
s
a
a
s
srsrsh sin,cos))(()()(   . 
Observe que 1)(sh
 
e que o intervalo  a20, – domínio da função h – tem o mesmo 
comprimento que o traço de h (círculo de raio a ). 
Exemplo 1.8.2: Reparametrize a curva abaixo usando o comprimento de arco s como 
parâmetro. 







2
1
2
3
,,)( ttt , 0t . 
Solução: Temos que 





 0
2
3
1 ,,)(t e 2
13
 )(t . Logo: 
tduduuts
tt
2
13
2
13
00
  )()(  . 
Assim, ssrt
13
2
 )( e 












2
1
13
3
13
2
13
2
,,)()( ssssrsh   . 
Mais uma vez note que 1)(sh . 
Observação: Como vimos se h é a parametrização pelo comprimento de arco de uma curva 
regular  , então )()( sht  , onde duuts ta )()(   para bta  e ls 0 , onde � é o 
comprimento de  . 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 31 
Derivando a primeira igualdade em relação a t, obtemos: 
)()()()( tvsh
dt
ds
sht  , onde )()( utv  . 
Assim, )(
)(
)(
sh
tv
t


, ou seja, )()()( ssht TT  . 
Derivando novamente esta última igualdade em relação a t, vem: 
)()()()( tvs
dt
ds
st  TTT . 
Daí, )()()( tvst  TT e 
)()(
)()(
)(
)(
tvs
tvs
t
t





T
T
T
T
, ou seja, )()( st NN  . 
Como )()( st TT  e )()( st NN  , segue-se que )()( st BB  . 
Em geral, )(tT e )(sT são funções diferentes, definidas em intervalos diferentes. 
Porém, elas dão exatamente a mesma descrição de mudança de direção do traço comum de  e 
h, visto que em qualquer ponto da curva, os vetores )(tT e )(sT são os mesmos, como vimos 
acima. Considerações análogas valem para os demais vetores do triedro de Frenet. 
SEÇÃO 1.9: CURVATURA DE UMA CURVA 
Nesta seção, estamos interessados em obter uma maneira de avaliar o quanto uma 
curva se dobra (ou se curva) em cada um de seus pontos. Tentaremos dar uma medida numérica 
desta mudança de direção num ponto da mesma; este número será chamado curvatura da curva 
naquele ponto. É de se esperar que os resultados obtidos desta medida venham coincidir com as 
nossas experiências anteriormente adquiridas. Por exemplo, que uma reta, que não se curva em 
ponto algum, tenha curvatura zero em cada ponto. 
 
Que um círculo tenha curvatura constante, já que o mesmo se dobra do mesmo modo em cada 
ponto. 
 
E ainda mais, que a curvatura do círculo seja inversamente proporcional ao seu raio, já que 
quanto menor for seu raio, mais ele se curva. 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 32 
 
 Esta medida deve também nos informar que a curva  abaixo, se curva mais no 
ponto A do que no ponto B. De modo geral, quanto mais a curva se dobra, maior será sua 
curvatura aí. 
 
Para fazer valer tais observações, lançaremos mão dos vetores tangentes à curva. 
Melhor dizendo, levaremos em consideração a taxa de variação do vetor tangente. 
Inicialmente observamos que no caso da reta, os vetores tangentes em cada ponto 
têm a mesma direção: a da reta. Portanto, a taxa de variação dos mesmos é nula, isto é, 
0 )(sT . 
 
Para uma curva mais suave, como  abaixo, os vetores tangentes variam de direção 
em cada ponto, mas não tão bruscamente como na curva  próximo ao ponto A, isto é, a taxa 
de variação de )(sT em  , no ponto B, é bem menor que em  , no ponto A. Portanto, a 
rapidez com queo vetor )(sT muda de direção, nos informa como a curva está se curvando 
num determinado ponto. Daremos então a seguinte definição. 
 
 

 


 





A
B

   
)(
1
sT )(
2
sT )(
3
sT )(
4
sT )( 5sT

B


A

Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 33 
Definição 1.9.1: Seja   nba ,: uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. 
Definimos a curvatura )(sk no ponto )(s como sendo 
)()( ssk T  . 
O vetor )(sT é denominado vetor curvatura. Observe que este vetor é sempre 
ortogonal ao vetor tangente e, portanto, normal a  . Se  não está parametrizada pelo 
comprimento de arco, então a curvatura )(tk 
é dada por 
)(
)(
)(
tv
s
tk
T
 . 
Com efeito, como )()( st TT  , se derivarmos a expressão em relação a s, teremos 
)(
)()(
tv
t
ds
dt
dt
d
ds
d
sT
1
 T
TT
. 
Portanto, 
)(
)(
)(
tv
t
s
T
T

 , isto é, 
)(
)(
)(
tv
t
tk
T
 . 
Exemplo 1.9.1: (Curvatura da reta) Seja utPt )( , 0u  . Temos 
u )(t e 
u
u
T 



)(
)(
)(
t
t
t

 . 
Portanto, 0 )(tT . Logo, 0)(tk para todo t. 
Exemplo 1.9.2: (Curvatura do círculo) Seja )sin,cos()( tatat  , 0a . Temos 
)cossin,()( taat  e attv  )()(  . 
Daí, )cos,sin()( ttt T e )sin,cos()( ttt T . Assim, 1 )(tT
 
e atk 1)( . 
 Portanto, é constante a curvatura do círculo. Além disso, vê-se que a curvatura é 
inversamente proporcional ao raio. 
Exemplo 1.9.3: (Curvatura da hélice) Seja ),sin,cos()( bttatat  , 0a , 0b . Temos 
),cos,sin()( btatat  e 22 battv  )()(  . 
Logo, 










222222 ba
a
t
ba
a
t
ba
a
t
t
t ,cos,sin
)(
)(
)(


T
 
e 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 34 









 0
2222
,sin,cos)( t
ba
a
t
ba
a
tT . 
Daí, 
222222
1
ba
a
ba
a
batv
t
tk











)(
)(
)(
T
. 
 Portanto, a hélice também possui curvatura constante, ou seja, ela se “dobra” do 
mesmo modo em cada um de seus pontos. 
Definição 1.9.2: Quando 0)(tk , 
)(tk
1
 é denominado o raio de curvatura da curva. 
Uma curva com pequena curvatura num ponto tem, nesse ponto, um grande raio de 
curvatura e numa certa vizinhança do mesmo, a curvatura difere pouco de uma reta. Isto 
permite interpretar a curvatura como uma medida da tendência para uma curva se desviar da 
forma retilínea. 
 
 Das curvas acima, nos pontos que pertencem ao eixo r, teremos, genericamente, as 
seguintes curvaturas: 5432100 kkkkkk  . 
O teorema a seguir relaciona a curvatura, a velocidade e a aceleração. 
Teorema 1.9.1: Se  descreve um movimento com velocidade escalar )()( ttv  e 
curvatura )(tk , então 
)()()()()()( ttvtkttvt NT  2 . 
Prova: Do Teorema 1.6.1, sabemos que 
)()()()()()( ttTtvttvt NT  . 
0
k
1
k
2k
3k
4
k
5k
r
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 35 
Como )()()( tvttk T , então, )()()( tvtkt T . 
Portanto,  )())()(()()()()( ttvtktvttvt NT 
)()()()()( ttvtkttv NT  2 . 
O teorema a seguir apresenta outra maneira de se obter a curvatura de uma curva em 
termos dos vetores )(t e )(t  . 
Teorema 1.9.2: Se  é uma curva regular, então 
)(
)()(
)(
tv
tt
tk
3
 
 . 
Prova: Temos que 
    )()()()()()()()()( ttvtkttvttvtt NTT 2 
 )()()()()()()()( tttvtktttvtv NTTT 3 
)()()( ttvtk B 3 
já que 0 )()( tt TT . Como 1)(tB , teremos, portanto, 
)(
)()(
)(
tv
tt
tk
3
 
 . 
 
SEÇÃO 1.10: TORÇÃO DE UMA CURVA 
Observemos que uma reta ao se curvar descreve um movimento em 2 . Contudo, 
para que a mesma venha a descrever um movimento em 3 , faz necessário torcer tal curva. 
Na seção anterior, abordamos o problema da curvatura de uma curva. Nesta seção, 
cuidaremos do problema de se avaliar quanto uma curva se torce em cada ponto. Como no 
caso da curvatura, atribuiremos um valor numérico a esta grandeza; este número será 
chamado torção da curva. Resta saber agora, qual o elemento responsável por esta medida. 
 
 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ilustração acima nos mostra uma curva regular  , plana no intervalo  ba, e seus 
respectivos vetores tangente, normal e binormal num ponto )(t pertencente à curva neste 
mesmo intervalo. Observe que a partir do ponto )( ntb  a curva sai do plano (que coincide 
com plano osculador da curva no intervalo  ba, ). 
Observemos inicialmente que se  é uma curva plana, então o vetor binormal )(sB
não sofre variação de direção, uma vez que )(sB é perpendicular ao plano osculador, o qual 
coincide, em cada ponto, com o plano da curva. Neste caso 0 )(sB . Por outro lado, se a 
curva sai do plano, então o vetor binormal sofre mudança de direção, pois ele será ortogonal 
ao novo plano osculador no novo ponto da curva. Neste caso 0 )(sB . Portanto, pela figura, 
deve-se deduzir que no intervalo a-b o vetor binormal não sofre variação de direção, mas 
somente a partir do ponto b. Com isto, pode-se concluir que )(sB indica quão rapidamente a 
curva se afasta do plano osculador em s, isto é, quão rapidamente a curva se torce. 
Analisemos melhor este vetor )(sB . 
i. Como 1 )(sB , s , então )(sB é perpendicular a )(sB [Teorema 1.3.3]. 
Portanto, )(sB pertence ao plano osculador gerado por )(sT e )(sN . 
ii. Como )()()( sss NTB  , segue-se que )()()()()( sssss NTNTB  , o que 
indica que )(sB é perpendicular a )(sT já que 0 )()( ss NT . 
De (i) e (ii) concluímos que )(sB é paralelo a )(sN , isto é, 
 
)()()( sss NB   , para )(s . (iii) 
Multiplicando-se escalarmente ambos os membros de (iii) por )(sN , obtemos 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 37 
)()()( sss NB  . 
Definição 1.10.1: O número )(s é denominado torção da curva em s. 
Analogamente, se  é uma curva regular, então o vetor )(tBé também paralelo ao 
vetor )(tN e assim 
 
)()()( ttt NB   , para )(t . 
Portanto,
 
)()()( ttt NB  . 
Por outro lado, como )()( ts BB  , segue-se que 
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)()()( t
tv
t
tv
tt
tv
t
ds
dt
ts NNBBB 


11
 
isto é, )(
)(
)(
)()( t
tv
t
ss NN 

 . 
Como )()( ts NN  , concluímos que 
)(
)(
)(
tv
t
s

  
mede a torção de  em t. 
Exemplo 1.10.1: (Torção da hélice) Seja ),sin,cos()( bttatat  , 0a , 0b . Temos que 
),cos,sin()( btatat  e 22 battv  )()(  . 
Agora, 







222222 ba
a
t
ba
a
t
ba
a
t ,cos,sin)(T , 
 








 0
2222
,sin,cos)( t
ba
a
t
ba
a
tT
 
e 
22 ba
a
t

 )(T . 
Portanto, ),sin,cos()( 0ttt N . 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 38 
Por outro lado, 









222222 ba
a
t
ba
b
t
ba
b
ttt ,cos,sin)()()( NTB . 
Daí, )(,sin,cos)( t
ba
b
t
ba
b
t
ba
b
t NB
222222
0








 
e assim, 
22 ba
b
t

)( . 
Portanto, a torção da hélice é constante em cada ponto e vale 
222222
1
ba
b
ba
b
batv
t
t











)(
)(
)(

 . 
Expressaremos a seguir as derivadas T , N e B em termos dos vetores T , N e B . 
Teorema 1.10.1: (Fórmulas de Frenet) Se 3),(: ba é uma curva parametrizada pelo 
comprimento de arco com curvatura 0)(sk e torção )(s , então, para cada s, 
i. )()()( ssks NT  ; 
ii. )()()()()( ssssks BTN   ; 
iii. )()()( sss NB   . 
Prova: (i) Como 
)(
)(
)(
)(
)(
sk
s
s
s
s
T
T
T
N




 , então )()()( ssks NT  . 
(ii) Sendo },,{ BNT uma base de 3 , então existem escalares a, b e c tais que: 
BNTN  cba . 
Assim, 








ccba
bcba
acba
BBBNBTBN
NBNNNTNN
TBTNTTTN
. 
Encontraremos agora estes coeficientes. Diferenciando a identidade 0TN , obtemos: 
kk  )( NNTNTNTNTN 0 . 
Portanto, ka  . Por outro lado, visto que 1)(sN , então 0 )()( ss NN e assim 0b . 
Finalmente, como 0BN para todo s, então 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 39 
  )( NNBNBNBNBN 0 . 
Portanto, c e BTN  k . 
(iii) Esta relação já foi estabelecida anteriormente quando definimos torção de uma curva. 
Resultados parecidos com as fórmulas acima podem ser obtidos para as curvas 
3),(: ba não necessariamente parametrizadas pelo comprimento de arco. É o que 
mostra o teorema seguinte. 
Teorema 1.10.2: Se 3),(: ba é uma curva regular com curvatura 0)(tk , torção )(t 
e velocidade escalar )()( ttv  , então 
i. )()()()( ttvtkt NT  ; 
ii. )()()()()()()( ttvtttvtkt BTN   ; 
iii. )()()()( ttvtt NB   . 
Prova: (i) Seja h a reparametrização do traço de  pelo comprimento de arco. Sabemos que 
)()( ts TT  , onde )(srt  . Daí, 
)()(
)(
)()(
)(
)()( ttk
tv
tt
tv
t
ds
dt
t
ds
d
NNTTT
T

11
. 
Portanto, )()()()( ttvtkt NT  . 
(iii) Como )()( ts BB  , )(srt  , então 
)()()(
)(
)(
)(
)()()( ttt
tv
t
tv
t
ds
dt
ts NNBBB  
11
. 
Por conseguinte, )()()()( ttvtt NB   . 
(ii) Façamos BNTN  cba . Segue-se que 
a TN , b NN e c BN . 
Como 0TN , para todo t, então 0 TNTN e assim, 
vkvka  )( NNTNTN . 
Por outro lado, 1)(tN para todo t, então 0
 NN e assim 0b . 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 40 
Finalmente, sendo 0BN 
para todo t, segue-se que 0 BNBN 
e, portanto, 
vvc   )( NNBNBN . 
Daí, BTN  vvk  . 
O próximo teorema mostra outra maneira de se avaliar a torção de uma curva em 
termos os vetores  ,  e   . 
Teorema 1.10.3: Se 3),(: ba é uma curva regular, então 
 
2
)()(
)()()(
)(
tt
ttt
t





 . 
Como observamos no início desta seção, se  é uma curva plana, então sua torção 
0 ; se 0 , a curva torce, saindo de seu plano osculador. Portanto, é de se esperar que 
quando  for identicamente nula, a curva permaneça sempre no mesmo plano. 
Formalizaremos a seguir este fato que caracteriza as curvas planas. 
Teorema 1.10.4: Seja 3),(: ba é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco 
com curvatura 0)(sk , para todo s. Então  é uma curva plana se, e somente se, sua torção 
0)(s , para todo s. 
Prova: Suponhamos inicialmente que  é uma curva plana. Já observamos anteriormente 
que, neste caso, em cada ponto o plano osculador coincide com o plano da curva. Como o 
vetor )()()( sss NTB  é ortogonal ao plano osculador e, portanto ao plano da curva, segue-
se que )(sB é constante e como tal, 0 )(sB . Por conseguinte, 0)(s , s . 
Reciprocamente, suponhamos que 0)(s , s . Isto significa que 0 )(sB e desta 
forma, )(sB é um vetor constante. Afirmamos que  está contida no plano que passa por 
)(c , bca  , e é ortogonal a )(sB . Precisamos, pois, provar que 
0 )())()(( scs B , s . 
Consideremos a função real f definida por 
)())()(()( scssf B  . 
Temos que, 0 )()()())()(()()()( ssscssssf BBB  , pois )()( ss T e  está 
parametrizada pelo comprimento de arco. 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 41 
Como 0)(cf , então, 0)(sf , para todo s, o que demonstra nossa afirmação. 
O teorema seguinte constitui uma caracterização do círculo. 
Teorema 1.10.5: Seja 3),(: ba é uma curva plana parametrizada pelo comprimento de 
arco com curvatura constante 0k . Então  é um arco de círculo de raio 
k
1
. 
Prova: Devemos provar que existe um ponto c tal que a distância de )(s a c é 
k
1
, para todo 
�, isto é, 
k
cs
1
)( . 
Isto nos motiva escrever 
uu
kk
cs
11
)( , 
onde u é um vetor unitário, o que sugere que se 
u
k
cs
1
)( então u
k
sc
1
 )( . 
Tomemos )(sNu  e consideremos a função 
)()()( s
k
ss N
1
 . 
Temos então)()()()()( s
k
ss
k
ss NTN 
11
 . 
Como )()()()()()()( sskssssks TBTN   , pois  é plana, então 
))()(()()( ssk
k
ss TT 
1
 , s . 
Portanto, a curva  é constante, isto é, 
cs
k
ss  )()()( NT
1
 , s . 
Por outro lado, a distância de )(s ao ponto c é 
Cap. 01: Funções vetoriais de uma variável real Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 42 
k
s
k
csd cs
11
 )()()),(( N . 
O teorema acima também vale se  não está parametrizada pelo comprimento de 
arco (verifique!). 
Exemplo 1.10.1: Mostre que a curva 
























5
3
5
51
5
4
sss
s sin,cos,sin)( é um círculo. 
Ache o centro e o raio do mesmo. 
Solução: Inicialmente, observemos que  é uma curva plana. De fato, sendo )sin(54
sx  e 
)sin(
5
3 sz  , segue-se que xz
4
3 é o plano que a contém. Calculemos a curvatura de  . 
Temos que 

























55
3
555
4 sss
s cos,sin,cos)( . 
Daí, 1
55525
9
5525
16 222222 






























sssss
s sincoscossincos)( . 
Assim, )()( ss T . Então, 

























525
3
55
1
525
4 sss
s sin,cos,sin)(T . 
Portanto, 


















5
sin
625
9
5
cos
25
1
5
sin
625
16
)(T)( 222
sss
ssk
 
 
0
5
1
525
1
5625
25 22 












ss
cossin , s .
 
Logo  é um círculo de raio 5 e centro no ponto 
 )()( s
k
sc N
1
 
),,(sin,cos,sinsin,cos,sin 010
55
3
555
4
5
5
3
5
51
5
4 
















































ssssss
. 
 
 
 
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 43 
CAPÍTULO 2 
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS ):( nf 
SEÇÃO 2.1: FUNÇÕES E GRÁFICOS 
Neste capítulo estudaremos as funções reais definidas sobre subconjuntos de 
n , ou 
seja, as funções reais de várias variáveis reais. Muitos fenômenos que ocorrem na natureza 
são traduzidos por funções que, geralmente, não dependem de uma só, mas de duas, três ou 
mais variáveis independentes. Por exemplo, o volume de um gás depende de dois valores, a 
saber, a pressão e a temperatura; é, portanto, uma função de duas variáveis, conforme indica a 
equação de estado dos gases ideais: nRTPV  , onde P é a pressão, V é o volume, T é a 
temperatura e n e R são constantes. O volume de um cilindro, hrV 2 é uma função que 
depende de duas variáveis: o raio r da base e a altura h do cilindro. Com frequência, funções 
de várias variáveis surgem também na biologia, física, matemática e engenharia. Estes fatos 
justificam, pois, um estudo detalhado de tais funções. Estudaremos neste capítulo, conceitos 
como limite, continuidade e derivabilidade dessas funções. Mais adiante, serão estudados 
conceitos como máximos, mínimos e integração, dentre outros. 
Definição 2.1.1: Seja D um subconjunto de 
n , X um ponto de D e y um número real. Uma 
função 
 Df : 
 )(XfyX  
é denominada uma função real de n variáveis reais. 
Visto que ),...,,( nxxxX 21 , escrevemos )(Xf ou ),...,,( nxxxf 21 . Se
2X , escrevemos 
),( yxf em vez de ),( 21 xxf e ),,( zyxf em vez de ),,( 321 xxxf . O conjunto D é o domínio de 
f e será denotado por fD e o conjunto 
};)({)Im( fDXXff  
é a imagem de f. 
Definição 2.1.2: Se f é uma função real de uma variável, o gráfico de f é o subconjunto de 
2 definido por 
 )}(;),{()( xfyyxfGr 
2 
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 44 
Semelhantemente, se f é uma função real de duas variáveis, o gráfico de f é o 
subconjunto do 
3 , definido por 
 )},(;),,{()( yxfzzyxfGr 
3 
Como meio de aumentar a compreensão pela visualização, um gráfico é útil apenas 
para as funções Df : ou  2Eg : . No Cálculo I, representamos, 
geometricamente, as funções reais de uma variável por curvas; para as funções reais de duas 
variáveis, em geral, elas são representadas geometricamente por meio de superfícies. Em 
nosso estudo, examinaremos apenas funções cujos gráficos têm tal representação. 
Uma maneira de melhor esboçá-los é através dos chamados conjuntos de nível de f , 
que são subconjuntos do domínio de f sobre os quais f é constante. 
Definição 2.1.3: Seja  nDf : uma função e seja k um elemento da imagem de f . O 
conjunto 
})(;{ kXfDXSk  
é denominado um conjunto de nível de f associado a k. 
 
i. Se  2Df : , }),(;),{( kyxfDyxSk  é denominado uma curva de nível de 
f associada a k. 
ii. Se  3Df : , }),,(;),,{( kzyxfDzyxSk  é chamado uma superfície de 
nível de f associada a k. 
Observe que se  2Df : , os conjuntos de nível de f são as interseções do 
gráfico de f com os planos kz  . 
D f
kS
)( kSfk 
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 45 
SEÇÃO 2.2: LIMITE E CONTINUIDADE 
Definição 2.2.1: Seja nX 0 e r um número real positivo. Denominamos bola aberta de 
centro 0X e raio r, o conjunto 
};{);( rXXXrXB n  000 
i. Se 1n , );( rXB 0 é o intervalo aberto ),( rXrX  00 ; 
ii. Se 2n , );( rXB 0 é o círculo de centro 0X e raio r, excetuando-se sua circunferência; 
iii. Se 3n , );( rXB 0 é a esfera centrada em 0X e raio r, excetuando-se sua superfície; 
 
Analogamente, denominamos bola fechada de centro 0X e raio r o conjunto 
  };{; rXXXrXB n  000 
i. Se 1n ,  rXB ;0 é o intervalo fechado  rXrX  00 , ; 
ii. Se 2n ,  rXB ;0 é o círculo de centro 0X e raio r; 
iii. Se 3n ,  rXB ;0 é a esfera centrada em 0X e raio r; 
 
Definição 2.2.2: Um subconjunto D do 
2 é aberto quando em cada ponto DX 0 existe 
uma bola aberta );( rXB 0 contida em D. 

0X r
2 3
rrr
0X
 

0X r
2 3
rrr
0X

Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 46 
Definição 2.2.3: Um subconjunto D do 
n é ditolimitado se existe uma bola aberta de raio 
0r centrada na origem que o contenha. Caso contrário, D é dito ilimitado. 
 
Definição 2.2.4: Dizemos que um ponto 0X é interior a um subconjunto D do 
n se DX 0 
e se existe alguma bola aberta );( rXB 0 centrada em 0X e contida em D. 
 
 
 
 
 
Definição 2.2.5: Dizemos que um ponto 0X é exterior a um subconjunto D do 
n se 
DX 0 e se existe alguma bola aberta );( rXB 0 centrada em 0X e tal que DrXB );( 0 . 
 
 
 
 
 
Definição 2.2.6: Dizemos que 0X é um ponto fronteira de um subconjunto D do 
n se 0X 
não é nem interior e nem exterior a D. 
 
 
 
r
D
r
0X
D

0X
r

D
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 47 
Ex.: 
 
 
 
 
 
Nota: O conjunto de todos os pontos fronteira de um conjunto é chamado fronteira do 
conjunto. Quando todos os pontos fronteira de um conjunto pertencem a ele, o mesmo é 
chamado um conjunto fechado (na figura, 0X é ponto fronteira e B é um conjunto fechado). 
Definição 2.2.7: Seja D um subconjunto aberto do 
n e f uma função definida em D exceto 
possivelmente em DX 0 . Dizemos que f tem limite L em torno do ponto 0X e 
escrevemos 
LXf
XX


)(lim
0
 
se dado um número real 0 qualquer, existe um número real 0 tal que quando 
DXXX  ,00 , então  LXf )( . 
 Com outras palavras, dado 0 , existe uma bola aberta DrXB );( 0 , centrada em 
0X e de raio  tal que 
Se 00 XXrXBX  );;( , então ),();()(   LLLBXf . 
 
 
 
 
 
Pergunta: O que significa dizer que a função f não tem limite L em torno de 0X ? 
Resposta: Significa que existe um número real 0 tal que para todo 0 , existem pontos 
);( rXBX 0 para os quais  LXf )( . 
D
r
0X
 

LL
L
 
f
},;),{( 002  yxyxA
};),{( 02  xyxB
BA
000  yyX ),,(
x x
yy
00


Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 48 
 
 
 
 
 
Nem sempre é tarefa fácil provar a existência do limite de uma função usando-se a 
definição de limite. Uma dificuldade que se apresenta é que tal definição não nos indica como 
obter o limite que ele existe. Observe que a definição, para ser usada, requer o conhecimento 
prévio do limite (!). Faremos a seguir uma lista de certas propriedades dos limites que nos 
indicará uma técnica para o cálculo do limite de uma função a partir do conhecimento do 
limite de outras funções. Mais precisamente, temos o seguinte teorema: 
Teorema 2.2.1: Sejam f , g e h funções definidas no subconjunto aberto D de 
n , exceto 
possivelmente em DX 0 . Se LXf
XX


)(lim
0
 e MXg
XX


)(lim
0
, então 
i. MLXgXfXgXf
XXXXXX


)(lim)(lim))()((lim
000
; 
ii. MLXgXfXgXf
XXXXXX


)(lim)(lim))()((lim
000
; 
iii. ,
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
M
L
Xg
Xf
Xg
Xf
XX
XX
XX









0
0
0
 se 0M ; 
iv. Se 0
0


)(lim Xf
XX
 e g é limitada, isto é, 0 MXg )( para todo X em alguma bola 
aberta centrada em 0X , então 0
0


))()((lim XgXf
XX
; 
v. Se )()( XgXf  , para todo }{ 0XDX  , então )(lim)(lim XgXf
XXXX 00 
 ; 
vi. Se )()()( XgXhXf  , para todo }{ 0XDX  e LXgXf
XXXX


)(lim)(lim
00
, então 
h possui limite em 0X e LXh
XX


)(lim
0
. 
CONTINUIDADE 
Grosso modo, uma função contínua é aquela cujos valores não sofrem variações 
bruscas, isto é, se X está próximo de 0X então )(Xf deve estar próximo de )( 0Xf . Como se 
observa essa ideia está relacionada ao conceito de limite. Entretanto, isso não significa dizer 
que se uma função tem limite em torno de um ponto, que neste ponto ela seja contínua, uma 
vez que na definição de limite não se exige que a função esteja definida no ponto no qual 
estamos considerando o limite. Mais precisamente, temos a seguinte definição: 
D
r
0X

LL L
 
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 49 
Definição 2.2.8: Seja D um subconjunto do 
n , DX 0 e Df : uma função. Dizemos 
que f é contínua em 0X se 
)()(lim 0
0
XfXf
XX


 
isto é, dado 0 qualquer, existe 0 tal que 
se DXXX  ,0 , então  )()( 0XfXf . 
 Diz-se que f é contínua em D quando f é contínua em cada ponto de D. 
Teorema 2.2.2: Seja D um subconjunto aberto do 
n . Se Dgf :, são funções 
contínuas em DX 0 , então são também contínuas em 0X as funções ,gf  gf  e gf /
desde que 00 )(Xg . 
Teorema 2.2.3: (Continuidade da função composta). Seja D um subconjunto aberto do 
n . 
Se Df : é uma função contínua em DX 0 e se I: é contínua em 
IyXf  00)( , onde IDf )( , então Df : é contínua em 0X . 
Prova: 
 
 
 
 
Como  é contínua em )( 00 Xfy  , dado 0 existe 0 tal que, 
se ),(,   000 yyyyy , então   )()( 0yy . 
Portanto, se 
),(,)()(   000 yyyXfXf , então   ))(())(( 0XfXf . 
Como f é contínua em 0X , dado 0 , podemos encontrar um 0' tal que, 
se DXXX  ,'0 , então  )()( 0XfXf e assim   ))(())(( 0XfXf . 
D
'
0X

0y
0y
)( 00 Xfy 




))(()( 000 XfXfz   
0z
0z

f


Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo Gama 
 Cálculo III 50 
 Mostraremos no próximo teorema que todo funcional linear de 
n em  é contínuo 
em todo ponto de 
n . 
Teorema 2.2.4: Se nT : é um funcional linear, então 
i. XkXT )( para algum inteiro 
nk  ; 
ii. T é contínuo em todo ponto do 
n . 
Prova: (i) Seja },...,,{ neee 21 a base canônica de 
n . Se ),...,,( nxxxX 21 , então 
nn exexexX  2211 e )()()()( nn eTxeTxeTxXT  2211 
pois T é linear. Daí, 
)()()()( nn eTxeTxeTxXT  2211 . 
Como niXxi ,...,, 1 , então  )()()()( neTeTeTXXT  21 . 
Fazendo )()()( neTeTeTk  21 , obtemos XkXT )( . 
(ii) 000 XXkXXTXTXT  )()()( , pelo item anterior. Portanto, dado 0 , tome 
k  . 
 A continuidade de várias funções pode ser deduzida facilmente com a aplicação 
repetida dos dois seguintes corolários. 
Corolário 2.2.1: As funções 
21 :P 
 xXPX )(1 , 
e 
22 :P 
 yXPX )(2 
são contínuas em 
2 , onde ),( yxX  . 
Prova: Observe que P1 e P2 são funcionais lineares e, portanto, pelo teorema anterior, são 
contínuas em 
2 . Mais geralmente, as funções 
niP : 
Cap. 02: Funções reais de várias variáveis reais Prof. Sinvaldo