Aula 2 Geodésia

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Geodésia Geométrica e 
Sistema de Coordenadas
Profa. Olga Rubênia Caminha
Engenharia Civil
Geodésia
Geodésia é a ciência que estuda o conjunto de métodos e
procedimentos adotados para definir a forma e a dimensão
da terra, o seu campo de gravidade e suas variações
temporais, tendo como principal objetivo a determinação
de coordenadas de pontos situados sobre a superfície
terrestre.
Divisões da Geodésia 
• Geodésia Geométrica estuda o tamanho e forma da terra, a
determinação das coordenadas dos pontos, comprimento e
azimutes de linhas da superfície terrestre.
• Geodésia Física estuda o campo de gravidade da Terra ou direção
e magnitude das forças que mantêm os corpos na superfície e
atmosfera da terra.
• Geodésia Espacial estuda a determinação de pontos na superfície
terrestre através da observação de satélites artificiais
Sistema Geodésico Brasileiro (SGB)
O IBGE responsável pela definição, implantação e manutenção do
SGB resolveu através da resolução R.PR 1/2005 adotar como
sistema geodésico de referência para o SGB o Sistema de
Referência Geocêntrico para as Américas (SIRGAS2000).
Caracterização do Sirgas2000:
Elipsoide: (Global Reference System) GRS 1980
Origem: Datum geocêntrico, ou seja, centro do elipsoide
coincidente com o centro de massa da Terra
O IBGE estipulou um prazo de 10 anos para a transição do
SAD1969 para o SIRGAS2000, durante este período os dois
sistemas poderão ser utilizados
1. Geodésia Geométrica e Física
Força de gravitação universal: rege-se pela Lei da Gravitação
Universal que depende da atração entre objetos devido a sua massa
(quantidade de matéria da constituição dos corpos) e distância entre os
mesmos e pela segunda Lei de Newton que deduz a força mecânica,
em que a mudança na quantidade de movimento depende da força
motora impressa, ou seja, a força motora que atua sobre um corpo
depende de sua massa e aceleração.
F – força gravitacional (N)
G – 6,67 . 10-11 N.m²/kg² (constante
gravitacional)
m1 e m2 – massa dos corpos (kg)
d – distância entre os corpos (m)
2
21
1 d
mm
GF
n
i
i




amF
n
i
i


1
F – força resultante (N)
m – massa do corpo (gravítica) (kg)
a – aceleração absoluta (m/s²)
1. Geodésia Geométrica e Física
Aceleração gravitacional: rege-se pela Lei da Gravitação
Universal, sendo descrita como a intensidade de um campo
gravitacional, em determinado ponto da Terra, que pode variar
conforme a altitude em relação ao nível do mar e a latitude (j) da
localização do corpo.
( )( ) hsenseng  610086,32²0000058,0²0053024,01780318,9 jjj
gj – aceleração da gravidade na latitude j (m²/s),
h – metros acima do nível do mar, e
φ – latitude.
Superfície equipotencial: é aquela que une os pontos de um
mesmo potencial em uma única superfície, ou seja, em todos os
pontos de uma determinada superfície possui um mesmo valor
numérico constante representado por um campo, seja elétrico,
eletrostático ou gravitacional.
1. Geodésia Geométrica e Física
( )( ) hsenseng  610086,32²0000058,0²0053024,01780318,9 jjj
gj – aceleração da gravidade na latitude j (m²/s),
h – metros acima do nível do mar, e
φ – latitude.
(m/s²)
1. Geodésia Geométrica e Física
O geóide ou superfície de referência
geoidal é uma superfície equipotencial de
aceleração gravitacional materializada pelo nível
médio dos mares não perturbado.
Essa superfície não é regular, devido a
variação na constituição densimétrica dos
materiais dos materiais que constituem a Terra e a
interação com o campo de força gravitacional de
outros corpos celestes.
Alguns autores definem o geóide como a
forma da Terra real. No entanto, este postulado
não é adequado para mapeamentos, pois essa
superfície não tem uma definição geométrica, mas
física.
1. Geodésia Geométrica e Física
European Space Agency (ESA),
Gravity field and steady-state Ocean
Circulation Explorer (GOCE), 2009-
2013.
Precisão:1-2 cm para a resolução vertical 
com 100 km na resolução horizontal 
A aceleração gravitacional na superfície 
terrestre é cerca de 9,8 m/s², variando de 
um mínimo de 9,788 m/s², no equador, 
até o máximo de 9,838 m/s² nos polos.
1. Geodésia Geométrica e Física
1. Geodésia Geométrica e Física
1.2 Superfície de referência esférica
Fossas das Marianas
11.034 m ≈ 11 km
Monte Everest
8.844 m ≈ 9 km
Terra esférica
Terra esférica
Modelo reduzido
mm 084666,0
km 
km 106
km 9
km 378.6 5




x
x
km 106cm 6 5 mm 1034,0
km 
km 106
km 11
km 378.6 5




y
y
mm 0,2mm 1874,0  yx
O esferoide ou superfície de referência
esférica é utilizado se a área a ser mapeada for
extensa. Este modelo implica em cálculos de
trigonometria esférica, mapas de pequenos
formatos, que demonstra grandes extensões da
superfície terrestre e em escalas pequenas
(< 1:5.000.000).
1. Geodésia Geométrica e Física
Esferoide: esfera
Semieixo maior: 6.371.000,0 m
Semieixo menor: 6.371.000,0 m
Achatamento (Inverse Flattening): 0,0
Elipsoide de Revolução: Sólido geométrico gerado pela rotação
da elipse em torno do seu semieixo menor. É a superfície
matemática adotada pelos geodesistas para todos os cálculos
geodésicos.
1. Geodésia Geométrica e Física
1.3 Superfície de referência elipsoidal
1. Geodésia Geométrica e Física
O elipsoide ou superfície de referência elipsoidal é utilizado se a área
mapeada não for pequena e nem tão extensa, sendo o modelo matemático que
melhor representa a superfície da Terra. Neste modelo leva-se em conta o
achatamento nos polos (ƒ).
Depende de cálculos e levantamentos geodésicos, sendo que as medições são
reduzidas ao elipsoide de revolução. É adotado nas cartas topográficas (mapeamento
sistemático e temático), náuticas e aeronáuticas, em escalas que podem variar de
1:1.000.000 até 1:5.000.
a
a
b
b
GRS_1980
a = Semieixo maior: 6.378.137,0 m
b = Semieixo menor: 6.356.752,314140356 m
(Inverse Flattening)
f = 1º Achatamento :298,257222101 =0,00335
f ’ = 2º Achatamento : 297,257222101=0,00336
b
ba
f

'
2º Achatamento
a
b
a
ba
f 

 1
1º Achatamento
O achatamento, f, é simplesmente uma
medida de quanto o eixo de simetria é
comprimido em relação ao raio equatorial,
ou em relação ao raio polar.
1. Geodésia Geométrica e Física
a
a
b
b
GRS_1980
a = Semieixo maior: 6.378.137,0 m
b = Semieixo menor: 6.356.752,314140356 m
j = 28º 32’ 17’’ S
e² = 0,00669438 e²’ = 0,0067394968
N = 6.383.015,201 m N’ = 6.340.284,872 m ²
²²
²
a
ba
e


1ª Excentricidade ²
²²
'²
b
ba
e


2ª Excentricidade
Excentricidade: alongamento do eixo maior em relação ao menor
(adimensional).
O valor da excentricidade varia entre 0 e 1. 
O elipsoide estudado em Geodésia tem excentricidade fraca
com valor próximo de zero
b
ba
f

'
2º Achatamento
a
b
a
ba
f 

 1
1º Achatamento
A linha projetante perpendicular ao elipsoide chama-se normal que
na figura é representada pelo segmento P’P’’’. A normal é dividida
ou caracterizada por duas partes que são a grande e pequena normal.
1. Geodésia Geométrica e Física
P’P’’’ = N = Grande Normal
P’P’’ = N’ = Pequena Normal
Onde φ: é a latitude geodésica de P;
e²: é a 1ª excentricidade.
Existem infinitos planos que contém a reta normal. Cada um deles, ao cruzar o
elipsoide de revolução, gera o que se denomina seção normal. A cada uma destas
seções, corresponde um raio de curvatura diferente. Entretanto, apenas dois são de
especial interesse, o raio de curvaturada seção 1º vertical (o raio máximo N) e o
raio da seção meridiana (o raio mínimo M).
1. Geodésia Geométrica e Física
Uma esfera possui apenas um raio,
já o elipsoide de revolução por
possuir semieixos maior e menor,
tem a sua curvatura variando entre
os valores máximo (a) e mínimo (b).
É necessário que se conheça a
formulação matemática que permita
o cálculo destes raios de curvatura
para qualquer ponto da superfície
elipisóidica.
1. Geodésia Geométrica e Física
1.3 Superfície de referência elipsoidal
GRS_1980
a = Semieixo maior: 6.378.137,0 m
b = Semieixo menor: 6.356.752,314140356 m
j = 28º 32’ 17’’ S
M = 6.349.987,083 m
Rm = 6.366.479,724 m
( )3²²1
²)1(
),(
jsene
ea
MzxR



Raio da seção meridiana [M ou R(x,y)] ou Raio mínimo
Raio médio (Rm)
NMRm  ( )j22
2
1
1
sene
ea
Rm



1. Geodésia Geométrica e Física
1.4 Relação entre as superfícies de referência física, geoidal e elipsoidal
nível de abstração
1. Geodésia Geométrica e Física
Superfície Física (S.F.)
i
n v
P
P’
P’’
Superfície Geoidal (S.G.)
Superfície Elipsoidal (S.E.)
h
H
N
Projeção do ponto P na S.F.: na vertical ou linha de prumo formando a
reta v; e na direção da normal originando uma reta ortogonal a
superfície do elipsoide, a reta n. NHh  NHh 
1. Geodésia Geométrica e Física
Altitude geométrica ou elipsoidal (h): é a distância medida entre
a S.E. de referência e a S.F. (ou superfície topográfica) ou entre P e
P’’. Pode ser obtida por levantamento topográfico com
equipamento GNSS.
1. Geodésia Geométrica e Física
Altitude ortométrica (H): é a distância medida entre a S.G. e a S.F. ou
entre P e P’. Pode ser obtida por meio de nivelamento geométrico ou
trigonométrico, com técnicas de gravimetria e barometria, e modelos de
interpolação geoidal.
Ondulação geoidal (N): é a distância entre a S.G. e a S.E., medida ao
longo da reta normal (n). Pode ser obtida por meio de cálculos de
geodésia física, observações de satélites artificiais, modelos de
interpolação geoidal e mapas geoidais.
1. Geodésia Geométrica e Física
Convenções
N+: Geoide acima do 
elipsoide
N-: Geoide abaixo do 
elipsoide
1. Geodésia Geométrica e Física
Porque os modelos de ondulações
geoidais são necessários?
A altitude determinada utilizando
um receptor Sistema de Navegação
por Satélite - GNSS não está
relacionada ao nível médio do mar,
mas a um elipsoide de referência
com dimensões específicas.
Portanto, torna-se necessário
conhecer a ondulação geoidal
(diferença entre as superfícies do
geoide e elipsoide) para que a
altitude acima do nível médio do
mar possa ser obtida.
1. Geodésia Geométrica e Física
Porque os modelos de ondulações geoidais são necessários?
2. Sistema de Coordenadas
2.1 Construção do Sistema
Os sistemas de coordenadas são necessários para expressar a posição de pontos sobre
uma superfície, seja ela um elipsoide, esfera ou plano. Para o elipsoide ou esfera
adota-se o sistema de coordenadas esféricas ou, também denominado, sistema de
coordenadas geográficas ou geodésicas. Para o plano é usualmente adotado o sistema
de coordenadas cartesianas tridimensionais.
2.2 Meridianos e Paralelos
Meridianos são círculos máximos que
cortam a Terra em duas partes iguais
de polo a polo. Sendo assim, todos os
meridianos cruzam entre si em ambos
os polos. O ponto de partida para a
numeração dos meridianos é o que
passa pelo Observatório de Greenwich
sendo esse o marco (0º). Para leste e
oeste, 180º.
Paralelos são círculos que cruzam os
meridianos perpendicularmente, isto é,
em ângulos retos. Apenas um é o
círculo máximo, o Equador (0º). E
tanto no hemisfério Sul quanto no
Norte eles diminuem de proporção ao
se afastar do Equador, se
transformando no polo em 90º.
2. Sistema de Coordenadas
2. Sistema de Coordenadas
2.3 Latitude (j) e Longitude (l)
LATITUDE GEOGRÁFICA (j)
É o arco contado sobre o meridiano do lugar e que vai do Equador até o
lugar considerado. A latitude quando medida no sentido do polo Norte é
chamada Latitude Norte ou Positiva. Quando medida no sentido Sul é
chamada Latitude Sul ou Negativa. Sua variação é de: 0º à 90º N ou 0º à +
90º; 0º à 90º S ou 0º à - 90º.
2. Sistema de Coordenadas
LONGITUDE GEOGRÁFICA (λ)
É o arco contado sobre o Equador e que vai de Greenwich até o Meridiano
do referido lugar. A Longitude pode ser contada no sentido Oeste, quando é
chamada LONGITUDE OESTE DE GREENWICH (W Gr.) ou
NEGATIVA. Se contada no sentido Este, é chamada LONGITUDE ESTE
DE GREENWICH (E Gr.) ou POSITIVA. A Longitude varia de: 0º à 180º W
Gr. ou 0º à - 180º; 0º à 180º E Gr. ou 0º à + 180º .
2. Sistema de Coordenadas
2. Sistema de Coordenadas
2. Sistema de Coordenadas
2.4 Coordenadas Cartesianas Tridimensionais
Este sistema de coordenadas é caracterizado por um conjunto de três eixos 
(X, Y e Z), ortogonais entre si. A origem do sistema pode coincidir com o 
centro de massa da Terra, e neste caso, é denominado de geocêntrico.
Utilizado para calcular posições em Geodésia pelo sistema GPS.
90º E
0º 
(Grw)
Eixo X: Pertence ao plano do Equador positivo apontando para a longitude zero (Grw). 
Eixo Y: Pertence ao plano do Equador positivo apontando para longitude 90° Este Grw. 
Eixo Z: Coincidente com o eixo de rotação da Terra positivo para Norte. 
2. Sistema de Coordenadas 
2.4 Coordenadas Cartesianas Tridimensionais
Esse sistema utiliza o eixo de rotação médio e o plano equatorial
médio, devido a alterações no movimento de rotação da Terra.
Exercícios:
1. Qual é a diferença entre força de gravitação universal e a aceleração da
gravidade?
2. O que é uma superfície equipotencial?
3. Explique o que é altitude ortométrica (H) e altitude geométrica (h). Como medi-
las?
4. O que é ondulação geoidal (N)?
5. Explique as diferenças entre um esferoide e um elipsoide nas aplicações
geodésicas e de mapeamento.
6. Faça um estudo de sinal e de posição das medidas h (altitude geométrica), H
(altitude ortométrica) e N (ondulação geoidal), nas figuras abaixo:
Exercícios:
7. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
a. ( ) Um documento cartográfico a ser produzido na escala 1:10.000.000 utiliza a
esfera como superfície de referência.
b. ( ) No elipsoide a variável (a) é o semieixo maior, (b) o semieixo menor e (f) o
achatamento do elipsoide.
c. ( ) O valor do achatamento da esfera é 1.
8. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
a. ( ) Para mapas com escala variando de 1:1.000.000 a 1:5.000, adota-se o
modelo elipsoidico.
b. ( ) Se para um determinado elipsoide o valor de a é 6.378.190 e o f é 1/299,75,
então o valor de b é 6.356.910.
c. ( ) No caso de uma esfera, a = b e f = 0.
d. ( ) Os itens a., b., c. e d. são verdadeiros.
9. No ponto f = 16º 27’45” Sul e l = 49º 25’18” Oeste, foi obtida a altitude
geométrica de h = 728,75 m, contudo nesta coordenada a ondulação geoidal é N =
1,29 m. Qual é o valor da altitude ortomérica (H)?
Exercícios:
10. Considerando um elipsoide hipotético denominado GEODT2008, com valor de
a = 6378216 e f = 1/299,25, calcule os valores da primeira e da segunda
excentricidades (e e e’).
11. Considerando o elipsoide GEODT2008, calcule o valor da grande normal N e da
pequena normal N’ para a latitude f = 16º 27’45” Sul.
12. Quais são os valores de N e N’ para um ponto no equador considerando o
elipsoide GEODT2008?
13. Calcule f, f’, e, e’, N, N’, M e Rm para o elipsoide de Bessel de 1841, que possui
a = 6.377.397,155 e b = 6.356.078,962818189. Considere f = 15º 52’ 30’’.
14. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
a. () O eixo X é orientado negativamente do centro do elipsoide até a intersecção
do equador com o antemeridiano de Greenwich.
b. ( ) No hemisfério sul a coordenada Z é sempre negativa.
c. ( ) O eixo Y é definido pela intersecção do plano do plano meridiano de
longitude 90º leste com o plano do equador.
d. ( ) Todas as alternativas estão corretas.
Tarefas & Dicas de estudo:
Ler Apostila “Elementos de Geodésia” da USP, da autora Nelsi Cogô de Sá, das
páginas 20 até 37.