Unidade 1 representações

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UNIDADE 1 – NÚMEROS 
 
Metas 
 Estabelecer os principais sistemas de representação para os conjuntos numéricos, 
dos naturais, dos inteiros, dos racionais e dos reais, além de sistemas de representação 
para suas respectivas operações de adição e de multiplicação e de relação de ordem. E 
apresentar modelos intuitivos para esses objetos de natureza abstrata. 
 
Objetivos 
 Ao final do estudo desta unidade o aluno deve: 
• conhecer os sistemas de representação decimal e geométrico, na reta numérica, 
para os números naturais, inteiros, racionais e reais, e deve saber realizar 
conversões entre esses dois sistemas de representação; 
• também conhecer o sistema de representação fracionário para os números 
racionais, e deve saber realizar conversões entre esses e os outros sistemas de 
representação para os números racionais; 
• conhecer os sistemas de representação decimal e geométrico, na reta numérica, 
para as operações de adição e de multiplicação, e para a noção de ordem para os 
conjuntos numéricos; 
• saber que é possível representar expressões e dados matemáticos de diversas 
maneiras, por meio de representações numéricas, simbólicas e até figurais. 
 
 
Diferentes 
civilizações, em 
diferentes épocas, 
desenvolveram 
diferentes símbolos e 
estratégias de 
representações para 
quantidades. 
Matemática Básica Unidade 1 - Números 
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“Não existe acesso direto aos objetos 
matemáticos, apenas às suas representações.” 
 
“Nós não podemos comparar nenhum objeto 
matemático a suas representações, assim como 
podemos comparar um modelo a sua foto ou 
seu desenho.” 
 
“As representações diferentes de um mesmo 
objeto não têm evidentemente o mesmo 
conteúdo. Cada conteúdo é comandado por um 
sistema pelo qual a representação foi produzida. 
Daí a consequência de que cada representação 
não apresenta as mesmas propriedades ou as 
mesmas caraterísticas do objeto. Nenhum 
sistema de representação pode produzir uma 
representação cujo conteúdo seja completo e 
adequado ao objeto representado.” 
Raymond Duval 
O pesquisador psicólogo Raymond Duval desenvolveu uma 
teoria a respeito das representações dos objetos matemáticos 
que trata de aspectos do funcionamento cognitivo relacionados 
à aquisição dos conhecimentos matemáticos. Teoria que vem 
desempenhando papel fundamental na pedagogia da 
Matemática. 
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Números naturais e a representação decimal 
 A noção matemática que representa o processo de contagem é dada pelo conjunto 
dos números naturais. Bem a grosso modo, o conjunto dos números naturais é 
caracterizado por ser formado por um elemento, o sucessor deste elemento, o sucessor do 
sucessor, e assim por diante, sendo que o primeiro elemento mencionado não é sucessor 
de nenhum outro elemento. O primeiro número natural, aquele que não é sucessor de 
nenhum outro número, costuma ser representado pelo algarismo 1. O próximo número 
natural, isto é, o sucessor de 1, é, então, representado pelo algarismo 2. Na sequência de 
sucessores, os números naturais seguintes são representados pelos algarismos 3, 4, 5, 6, 
7, 8 e 9, respectivamente. 
 Como o processo de considerar o sucessor do sucessor não termina nunca, o 
problema de representar qualquer número natural por símbolos variados parece ser um 
tanto complicado. Felizmente, existe uma forma bem esperta de representar todo número 
natural somente através dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, além do algarismo 0. 
 O sucessor do 9 é representado por 10, o sucessor do 10 é representado por 11, o 
do 11 é representado por 12, e assim por diante, até 19. Trabalhando sempre com 
agrupamentos de elementos de 10 em 10 quantidades, de 100 em 100 quantidades, de 
1000 em 1000 quantidades, etc., podemos representar qualquer número natural só com os 
algarismos 0, 1, 2, ..., 9. A representação dos números naturais de acordo com este método 
é chamada representação decimal (ou representação na base 10). Segundo a 
representação decimal, o conjunto dos números naturais pode ser representado 
parcialmente por 
 
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., 19, 20, 21, ..., 100, 101, ..., 140, 141, ...}. 
 
Observação: Neste momento, o algarismo 0 tem apenas a função de marcar posição. Por 
exemplo, sem o zero, o significado de 1 2 poderia ficar confuso. Significa 12 ou 102? O 
algarismo 0 marcando a posição das dezenas, no caso, ajuda a definir este tipo de questão. 
A propósito, podemos dizer 
com certeza que o homem 
realiza contagens desde que 
se organizou em 
sociedades, há milhares de 
anos atrás (Existem 
registros de uso de técnicas 
de contagem de mais de 20 
mil anos). Contudo, só um 
pouco antes do séc. XII o 
conhecimento do sistema 
 
Osso de Ishango, encontrado na África, é um dos artefato mais 
antigos que se conhece utilizado para registros numéricos. 
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decimal de representação 
numérica foi universalizado. 
Você, leitor, já parou para pensar 
sobre como a ideia de 
representação decimal é 
engenhosa? Não é objetivo desta 
disciplina aprofundar essas 
questões, nem do ponto de vista 
histórico, nem do epistemológico, 
mas é interessante que o leitor 
tenha senso crítico sobre as 
propriedades e dificuldades das 
representações decimais. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 1: Para entender bem o que significa a representação decimal pode ser 
interessante pensar um pouco sobre como seria se usássemos outra base de agrupamento 
de unidades. 
a) Se os números naturais fossem representados na base 3 (só com os algarismos 1, 2 e 
0), quantos números conseguiríamos representar utilizando no máximo dois algarismos 
(entre 1, 2 e 0)? Faça uma listagem de todos estes números. Como ficaria a representação 
na base 3 do número que na base 10 é representado por 5? 
b) Procure exemplos de utilização de outras bases na representação dos números naturais. 
Uma curiosidade: Normalmente, nós contamos os dias, os meses e os anos. Você 
consegue dar uma razão para os dias da semana e os meses do ano serem citados por 
nomes e os dias do mês e os anos serem citados por números? 
 
Uma representação geométrica para os números 
naturais 
Podemos utilizar os números na avaliação de comprimentos. Dada uma reta r, 
fixamos dois pontos, O e U, pertencentes a esta. O segmento OU é, então, associado ao 
número 1 e é chamado de segmento unitário ou de unidade de medida de comprimento. 
 O U r 
 
 1 
 A medição de segmentos ocorre como resultado da justaposição sucessiva de 
segmentos congruentes à unidade de medida. A figura a seguir ilustra um segmento que 
 
Tabela de argila em escrita cuneiforme com registros 
da matemática babilônica, século XIII a.C. 
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mede 3 unidades. Ou seja, o comprimento de OA é 3, pois o segmento OA coincide com 
a justaposição de 3 segmentos congruentes a OU. 
 O U A r 
 
 Vimos como os números naturais podem ser associados à noção de comprimento. 
Esta associação pode ainda ser mais bem explorada. De fato, podemos obter uma 
interpretação geométrica para os números naturais. Isto permite que visualizemos os 
números naturais de outro modo, o que pode ser um recurso muito útil. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 2: (construindo uma régua com números naturais – a reta numérica) 
a) Consiga uma folha de papel quadriculado e uma régua. Com o auxílio da régua, usando 
uma caneta de cor diferente da dos quadriculados da folha, destaque uma reta da folha e
fixe uma unidade de medida. Tente obter uma figura parecida com a seguinte. 
 
A partir destas convenções, temos uma reta numérica. Na reta numérica, o número que é 
representado por 1 também pode ser representado pelo segmento unidade, OU. Na reta 
numérica, o número que é representado por 2 também pode ser representado pelo 
segmento que coincide com a justaposição do segmento OU com o segmento de mesmo 
tamanho da unidade. Assim, no desenho a seguir, que representa uma reta numérica, o 
segmento OA é uma representação alternativa para 2. 
 
 Considerando justaposições sucessivas do segmento unidade, obtemos os 
números naturais representados por segmentos de uma reta numérica. Veja alguns 
números com as duas representações correspondentes. 
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 É sempre interessante fazer a correspondência entre a representação decimal de 
um número e sua representação na reta numérica, conforme o desenho acima. Contudo, a 
fim de não sobrecarregar a figura, é mais conveniente marcar a representação decimal 
sobre a extremidade do segmento correspondente. Fazendo isto, leitor, tente obter a 
seguinte representação dos números naturais sobre a sua reta numérica. 
 
 Observe como este processo de construção dos números naturais sobre a reta 
reproduz a ideia que temos sobre os números naturais. Determinamos o primeiro 
segmento, determinamos o sucessor do primeiro segmento, depois o sucessor do sucessor 
e assim por diante. Deste modo, acabamos de descrever uma outra maneira de representar 
os números naturais, a representação geométrica dos números naturais. No desenho 
anterior, temos as duas representações ao mesmo tempo, a geométrica e a decimal. 
b) No desenho a seguir, a letra a simboliza a representação geométrica de um número. 
Dê a representação decimal deste mesmo número. 
 
c) Encontre a representação geométrica de 14 no desenho a seguir? 
 
d) No desenho abaixo, a indica a representação geométrica de um número. Note que o 
desenho não tem as marcas que representam os segmentos múltiplos da unidade. Você é 
capaz de deduzir quantas vezes o segmento representado por a é maior do que a unidade? 
Em caso afirmativo, dê a representação decimal de a. 
 
e) No desenho deste item, temos uma situação semelhante à do item anterior. Será que 
agora você consegue deduzir qual é a representação decimal de a? Desta vez a situação 
não é tão simples. O nosso conselho é que você faça uso de um compasso ou de um 
1 
2 
3 
4 
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pedaço de papel ou madeira do tamanho da unidade de medida e conte o número de 
múltiplos. 
 
f) Seguindo o próximo desenho, dê a representação decimal de a. 
 
g) Encontre a representação geométrica de 14 no desenho a seguir? 
 
 
 Antes de terminar esta seção, fazemos uma correção com relação ao sistema de 
representação decimal dos números naturais. A princípio, o primeiro elemento de 
contagem, aquele que não é sucessor de ninguém, é denotado por algum objeto e no 
sistema decimal é representado por 1. Contudo, com a evolução dos números e de suas 
representações, passou-se a representar o primeiro elemento do conjunto dos naturais pelo 
0 (zero). Existem vantagens e desvantagens em se considerar o zero como um número 
natural. Aliás, essa é uma questão que certamente o leitor irá rever ao longo de sua 
formação matemática e de professor. 
 A partir deste momento passamos a considerar o zero como elemento do conjunto 
dos números naturais. 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. 
 
Números inteiros 
 Existem situações onde precisamos contar num sentido contrário do esperado. Por 
exemplo, em edifícios com elevadores, os andares acima do nível do chão são contados e 
associados a números naturais. Mas, existem situações em que o elevador pode descer 
para níveis abaixo do nível do chão. Neste caso, podemos contar os andares para baixo, 
mas a contagem tem um significado diferente da contagem para cima. Um exemplo bem 
mais comum de contagem com mais de um significado pode ser encontrado nas operações 
financeiras. Podemos contar dinheiro. O problema é quando começamos a contar dívidas, 
isto é, contar dinheiro que não temos e precisamos pagar a alguém. Outro exemplo 
comum para muitas crianças, gols pró e contra. 
 Para lidar com situações envolvendo contagens com dois significados, perda e 
ganho, antes e depois, para cima e para baixo, a favor e contra, a Matemática oferece um 
novo conjunto numérico, o conjunto dos números inteiros, e denotado por ℤ. Este 
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conjunto estende o conjunto dos números naturais e a representação decimal de seus 
elementos é parcialmente dada a seguir. 
ℤ = { ... , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }. 
Uma representação geométrica parcial de ℤ, com a correspondente representação 
decimal, é a seguinte. 
 
 Os números inteiros possuem uma classificação especial. Os números inteiros cuja 
representação decimal está presente no seguinte conjunto {1, 2, 3, 4, ...} são chamados 
números inteiros positivos e os números cuja representação decimal está presente no 
seguinte conjunto {1, 2, 3, 4, ...} são chamados números inteiros negativos. Note 
que 0 não faz parte da lista dos números positivos, nem da lista dos números negativos. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 3: Os números inteiros estendem os números naturais, mas nem todas as 
propriedades são preservadas. Três propriedades notáveis dos números naturais são: (i) 
Todo número natural possui um sucessor. (ii) Existe um número natural que não é 
sucessor de nenhum número. (iii) Todo subconjunto de ℕ, diferente de vazio, possui um 
elemento mínimo. 
a) Reescreva as propriedades (i), (ii), (iii) generalizando-as para o conjunto ℤ. 
b) Verifique quais propriedades ainda são válidas para os inteiros. Quando uma 
propriedade não for válida para os inteiros, explique o que acontece de diferente. 
 
Números racionais 
 O conjunto dos números naturais se estende para o conjunto dos números inteiros, 
e este se estende para o conjunto dos números racionais. A forma mais comum de 
apresentar os números racionais se dá pela representação fracionária: 
ℚ = {
𝑝
𝑞
 : p, q  ℤ, q  0}. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 4: Descreva o conjunto dos números racionais somente com palavras. Como 
exercício, se imagine explicando para alguém no que consiste o conjunto dos números 
racionais, com palavras, sem usar símbolos. 
 
É sempre bom lembrar que os objetos matemáticos são exclusivamente de 
natureza abstrata. Inclusive, entender o significado dos símbolos usados no contexto 
matemático nem sempre é tarefa simples. Entretanto, podemos buscar interpretações para 
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esses objetos. A interpretação mais comum para o objeto matemático, número natural, é 
a contagem. Para os números inteiros é a contagem com dois sentidos. Como 
interpretação para os números racionais encontramos a ideia de parte-todo, uma ideia 
ainda relacionada com a de contagem. O termo parte-todo se refere à ação de pegar uma 
unidade (o todo) e dividi-la em partes iguais. 
 Na interpretação parte-todo a representação 
𝑝
𝑞
 significa que o todo, isto é, a 
unidade foi dividida em q partes e foram contadas p dessas partes. É muito comum 
usarmos essa interpretação em figuras ou objetos com formato geométrico. 
 
Essa interpretação também pode ser usada na reta numérica. Ou seja, podemos 
utilizar a interpretação parte-todo para representar números racionais na reta numérica. 
Vejamos um exemplo, vejamos como a fração 5/4 pode ser representada
na reta numérica. 
 
Na figura, o segmento a partir de 0 representa uma parte da divisão da unidade em 4 partes. As 
ondinhas da figura representam o total de partes, 5 partes. Assim, produzimos a representação de 5/4 na 
reta numérica. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 5: Como você relaciona as representações decimais dos números inteiros com 
as representações fracionárias? Por exemplo, a representação decimal, 3, se relaciona com 
que representação fracionária? E o símbolo −6, se relaciona com qual representação 
fracionária? 
 
 Acabamos de ver que a interpretação parte-todo para os símbolos de fração atribui 
significado para os mesmos. E vimos que as variáveis p e q têm funções diferentes na 
significação da representação 
𝑝
𝑞
. Assim, é bom usarmos nomes diferentes para cada 
variável. Na fração 
𝑝
𝑞
 a variável q é chamada de denominador, enquanto p é chamada de 
numerador. 
Atividade de aprendizagem 
Esta barra está 
dividida em 24 
partes iguais. Se 
uma pessoa comer 
uma fila de 
quadrados, por 
exemplo, ela terá 
comido 4/24 de toda 
a barra de chocolate. 
A parte pintada da figura de um quadrado se 
refere a 3/8 deste. A divisão na segunda 
representação do quadrado deve deixar isso 
claro. 
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10 
 
Atividade 6: Escreva uma explicação para a escolha dos termos, denominador e 
numerador. 
 
As frações do tipo p/10 são especiais e podem facilmente ser convertidas para a 
representação decimal. Lembramos que a representação decimal é feita por agrupamentos 
de 10. E quando escrevemos 6/10, por exemplo, isso significa que temos um grupo de 6 
partes de 1/10. Como este é um agrupamento de uma fração da unidade, é uma porção 
menor do que a unidade, a quantidade agrupada deve ficar mais à direita da posição das 
unidades da representação decimal. Mas esta quantidade de frações não pode ser 
confundida com a posição das unidades. Assim, usamos a vírgula, e o espaço à direita da 
vírgula é chamado de casa decimal. Deste modo, as frações 1/10, 2/10, 3/10, 4/10, 5/10, 
6/10, 7/10, 8/10 e 9/10 podem ser reescritas como 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 e 
0,9, respectivamente. São as representações de uma casa decimal. 
 
 Com as frações 1/100, 1/1000, 1/10000, ... generalizamos a representação decimal 
com o uso de mais casas decimais. Por exemplo, 3/100 se corresponde a 0,03. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 7: Escreva a fração dada por meio de representação decimal. 
a) 5/10 b) 53/10 c) 53/100 d) 1/2 e) 2/5 f) 402/10000 
Atividade 8: Escreva por meio de representação fracionária. 
a) 2,3 b) 10,1 c) 13,003 d) 0,00001 
Atividade 9: Os números naturais e os números inteiros gozam de uma mesma 
propriedade que é muito importante, a saber, todo elemento possui um sucessor. Essa 
importância fica evidente quando se estuda o método de prova conhecido como indução 
matemática, mas esse tópico não faz parte de nossos objetivos de estudo. A questão aqui 
é saber se os números racionais também possuem uma noção de sucessor. O que o leitor 
acha? Escreva um texto explicando o que pensa sobre essa propriedade para os racionais 
e depois verifique a nossa versão no gabarito ao final da unidade. 
 
Números reais 
 As frações e a interpretação parte-todo funcionam muito bem na medição 
empírica. Vejamos a situação ilustrada a seguir. O segmento a está sobre a reta numérica, 
partindo da origem. Não podemos estabelecer uma medida para o segmento só com a 
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graduação por números inteiros. Contudo, se conseguirmos escolher uma fração da 
unidade adequada, podemos estabelecer uma fração cuja representação na reta numérica 
coincida com o tamanho do segmento a. 
 
 Testando algumas frações da unidade, verificamos que um quarto da unidade de 
medida serve para medir o segmento a. Contando os múltiplos de 1/4 verificamos que a 
representação de 11/4 na reta numérica coincide com uma extremidade do segmento a. 
Assim, realizamos a medição empírica do segmento a. 
 
São 14 saltos do mesmo tamanho. Note que quatro saltos cobrem a unidade, 
ou seja, cada salto equivale a 1/4 da unidade. 
 Como podemos escolher números tão grandes quanto quisermos, podemos dividir 
a unidade em quantas partes quisermos e, portanto, podemos pegar frações da unidade 
tão pequenas quanto quisermos. Ao que parece isso significa que podemos medir 
qualquer segmento de reta por meio deste procedimento descrito. É o que parece mas não 
é assim que acontece. 
 Por séculos o ser humano usou representações numéricas para avaliar medições 
empíricas, e realizava essas avaliações por meio de aproximações. Até então a 
Matemática era utilitária. Só a partir de Tales de Mileto (623-548 a.C.), da Grécia Antiga, 
considerado como o primeiro filósofo ocidental, é que o conhecimento matemático 
passou a ter uma nova dimensão com a busca por explicações para os fatos conhecidos. 
E, nesse novo espírito, encontramos a escola de Pitágoras (570-495 a.C.) que pregava que 
os números formavam a base de todas as representações das ideias humanas, isto é, que 
os números poderiam explicar tudo. Em particular, esperavam que todo segmento pudesse 
ser medido. Contudo, alunos da própria escola descobriram que a diagonal de um 
quadrado de lado 1 não pode ser medida (o que é equivalente ao fato de que 
2
 não é 
racional). 
 Com essa breve história queremos destacar que as representações dos números 
racionais na reta não a cobrem completamente. Ou seja, existem pontos da reta numérica 
que ficam sem representação numérica racional. Ou ainda, se tirarmos só os pontos da 
reta numérica que se correspondem aos números racionais, ela continuará lá, toda furada, 
mas continuará. Em particular, o que se conclui é que os números racionais não servem 
para modelar as grandezas escalares contínuas, como o comprimento, que comentamos 
aqui, e outros exemplos como temperatura, velocidade, tempo, volume etc. 
 Com o desenvolvimento da Matemática na Grécia Antiga, se tornou necessário 
estabelecer um objeto matemático que modelasse as grandezas escalares contínuas (ou 
simplesmente grandezas) e que ampliasse o conjunto dos números racionais. A solução 
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proposta pelos gregos é encontrada na coleção, os Elementos de Euclides, escrita por 
volta de 300 a.C., onde os números e as grandezas são representados indiferentemente 
como segmentos de reta. Seguindo essa ideia, apresentamos um novo conjunto numérico, 
cujos elementos podem ser representados por segmentos a = OA de uma reta r com dois 
pontos, O e U, fixados. Graficamente, estamos falando de elementos como os da figura a 
seguir. 
 
 Muito posteriormente, só no século XVII, esse conjunto recebeu o nome de 
conjunto dos números reais, por René Descartes. Assim, usando linguagem geométrica, 
podemos dizer que o conjunto dos números reais é o conjunto que pode ser representado 
por 
ℝ = {a = OA : Ar}, 
onde a reta r possui dois pontos, O e U, fixados. Esses pontos são importantes para se 
estabelecer uma orientação e uma unidade de medida, o que permite a representação dos 
números racionais no conjunto dos números reais, conforme já explicado na seção 
anterior do presente texto. 
 Com a representação geométrica dos números reais podemos representar várias 
construções geométricas, como a diagonal de um quadrado ou a altura de um triângulo, 
por exemplo. 
 
 Cabe fazer uma ressalva neste momento. Apesar de estarmos fazendo referências 
históricas na apresentação dos conjuntos numéricos, não estamos seguindo a ordem
cronológica da criação dos mesmos. Por exemplo, historicamente, os números negativos 
só apareceram depois da noção de números racionais positivos e de números reais 
positivos. E existem mais detalhes na formalização desses conceitos que estamos 
deixando de lado. Na verdade, estamos aqui mais preocupados com a forma de 
representação dos conjuntos numéricos. É o domínio desses sistemas de representação 
para os conjuntos numéricos que permitirá o aluno desenvolver seus conhecimentos sobre 
o assunto de estudo desta disciplina. 
 Apesar dos números reais já terem sido tratados na Grécia Antiga, lembramos que 
a representação decimal só começou a ser amplamente divulgada a partir do século XII. 
Vejamos como poderíamos representar um número real por um sistema de representação 
decimal. A figura a seguir mostra um segmento criado no programa GeoGebra. A posição 
de a foi escolhida aleatoriamente. Podemos ver de imediato que a está entre as 
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representações 3 e 4. Mas, podemos subdividir a unidade em 10 partes. Aí vem a próxima 
figura. 
 
Após a subdivisão da unidade em 10, obtemos a seguinte figura. Ela mostra que a está 
entre as representações 3,6 e 3,7. Podemos buscar uma aproximação melhor, 
subdividindo a unidade agora em 100 partes. 
 
Na próxima figura vemos que a está entre as representações 3,66 e 3,67. Continuamos a 
subdivisão. 
 
Vendo a próxima figura, verificamos que a está entre as representações 3,662 e 3,663. 
 
Poderíamos continuar esse processo até a extremidade de a coincidir com uma 
representação decimal exata. O problema é que não podemos garantir que isso vai 
acontecer, isto é que vamos achar essa representação decimal exata. Um exemplo simples 
é a fração 1/3 cuja representação decimal é 0,3333333..., onde os pontinhos indicam que 
esse processo nunca termina. 
A representação decimal, mesmo com casas decimais é muito importante parar os 
cálculos. Contudo, não é tão simples usar esse tipo de representação para os números 
reais, pois na maioria das vezes a representação de um número real será incompleta. No 
exemplo do segmento a que trabalhamos, só podemos dizer que a = 3,662.... Usamos a 
representação incompleta pois paramos de tentar obter a representação decimal de a. 
Voltando às representações gráficas, podemos usar uma variação da representação 
por segmentos. Quando representamos dois segmentos, ou mais, pode ficar confuso saber 
sobre qual segmento estamos falando. Às vezes pode ser muito mais interessante marcar 
apenas a extremidade do segmento. Desta forma, podemos representar um número real 
na reta numérica de uma das duas maneiras. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 10: Apresente na reta numérica uma representação para 2,721 (vai ter que ser 
por estimativa). Dê a representação decimal do seguinte número real. 
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Acabamos de apresentar os conjuntos numéricos que vamos estudar ao longo do 
texto. Apontamos as principais formas de representação desses conjuntos numéricos, 
algumas interpretações intuitivas e um pouquinho da história desses conjuntos. Mas, só 
apresentamos. O estudo desses objetos só começa mesmo com a introdução da noção de 
ordem e das operações aritméticas. É o que faremos a seguir. 
 
A noção de ordem e as operações aritméticas 
 A representação na reta numérica é ótima para apresentar a noção de ordem que 
usamos para os números, sejam os números naturais, inteiros, racionais ou reais. Para 
isso, a primeira coisa que precisamos notar é que os pontos O e U servem para definir, 
além da unidade de medida, uma orientação. Essa orientação é explicitada na figura a 
seguir por meio da seta no final do traço. Cabe notar que muitos textos usam a seta para 
indicar a ideia de ilimitado, de que a reta é um objeto que se estende indefinidamente, 
mas esse não é o caso aqui. 
 
 A partir dessa orientação estabelecemos um critério para representar a relação de 
ordem, ser menor do que (ou maior do que), entre dois números. A figura a seguir 
representa a condição de que a é menor do que b, ou de que b é maior do que a. 
 
Por meio da seta, podemos até dispensar a marcação dos pontos O e U. Vejamos 
uma representação para b ser menor do que a. 
 
 A forma simbólica para representar que a é menor do que b, ou que b é maior do 
que a é dada por a < b ou b > a, tanto faz. Também podemos fazer uma composição de 
símbolos, = e < ou = e >. Encontramos o símbolo  para indicar a relação “é menor do 
que ou igual a” e o símbolo  para indicar a relação “é maior do que ou igual a”. Note 
que não é legal falar “é menor ou igual” ou “é maior ou igual”. 
 Enquanto uma expressão do tipo a = b é chamada de igualdade, chamamos de 
desigualdade qualquer um dos seguintes casos de expressão: a < b, a  b, a > b, a  b. 
 Entre os diferentes conjuntos numéricos, os números racionais se destacam por 
apresentar uma representação simbólica composta. De fato, costumamos representar os 
Matemática Básica Unidade 1 - Números 
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números racionais por meio de pares de símbolos. Mais precisamente, se consideramos a 
representação simbólica x como um número racional, é comum trocar a representação por 
x = 
𝑝
𝑞
, com p e q  0 representando números inteiros. Aí, quando falamos de desigualdades 
entre frações, 
𝑝
𝑞
 < 
𝑚
𝑛
, por exemplo, uma brincadeira que pode ocorrer é verificar se existe 
alguma relação entre os símbolos p e m ou q e n, por exemplo. Mas, só trataremos dessas 
questões mais adiante, na Unidade 5. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 11: Apesar de ordem ser uma noção simples, diferentes representações podem 
induzir a enganos. Podemos fazer um pequeno teste com as próximas afirmações. Diga 
se é verdadeiro ou falso e escreva uma breve explicação sobre como pensou. Confira 
depois nossa explicação no gabarito. 
a) O valor 2 é menor do que 1,99. 
b) Se a, b representam números reais quaisquer então a < b. 
 
 Para a operação de adição, temos a representação genérica para a soma de dois 
números, a + b, onde a, b representam números de modo geral. Ainda podemos usar a 
reta numérica para uma representação genérica da soma de dois números. Se a se 
corresponde ao segmento vermelho da figura abaixo e b se corresponde ao segmento azul, 
a soma a + b se corresponde na reta numérica à justaposição dos dois segmentos, que 
equivale ao segmento verde. 
 
Uma vez que consideremos um conjunto numérico específico, podemos 
representar a operação de adição de maneiras mais precisas. Por exemplo, na próxima 
figura encontramos uma representação geométrica para a soma de inteiros. É uma 
representação que bem poderia ser transformar numa ação prática com pares de réguas. 
 
Representação geométrica da soma 5 + (8) e que evidencia o resultado 3. 
 Pensando que números naturais estão associados à ideia de contagem, é comum 
pensar na soma como resultado de duas contagens sucessivas. A próxima figura ilustra 
isso. 
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16 
 
Por contagem, vemos que 7 + 5 = 12. 
 Existe uma notação especial 
relacionada com a operação de 
adição, a saber, a notação de 
simétrico (ou oposto). Se a é um 
número, o simétrico (ou oposto) do 
número a é o número b tal que a + b 
= b + a = 0. Notação: a denota o 
simétrico de a. E é nessas horas que 
vemos como que as representações 
geométricas ajudam a entender 
muitos objetos matemáticos. 
Vejamos como ficaria a 
representação genérica de um 
número a e de seu simétrico. 
 O leitor está convidado a interpretar o simétrico de um número e o
resultado de 
uma soma do tipo a + (a), quando a é um número inteiro e a soma é representada por 
contagens sucessivas. 
 Para a operação de multiplicação, temos a representação genérica para o produto 
de dois números, a.b ou ab, onde a, b representam números de modo geral. Existe uma 
ótima forma de representação geométrica para o produto de números positivos de modo 
geral, a saber, se a e b correspondem a segmentos, o produto a.b é representado pela área 
do retângulo de base a e altura b. 
 
 Quando o produto é referente especificamente aos números naturais, podemos 
apresentar a operação de multiplicação em termos da operação de adição. Mais 
precisamente, dados a, b  ℕ, é comum escrever: 
a.b = b + b + ... + b 
(são a parcelas de b’s). 
 
Na figura, o semicírculo representa o ato de considerar 
o elemento oposto. A soma, em verde, neste caso se 
reduz ao ponto que representa o zero: a + (a) = 0. 
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Repare que esta forma de representação não vale para outros conjuntos numéricos. Por 
exemplo, qual é o sentido de se escrever (2).(3) ou .√2 como somas sucessivas? 
 Existe um outro tipo de representação geométrica para a noção de multiplicação 
de números que serve para todos os conjuntos numéricos estudados aqui. Para entender 
melhor essa forma de representar, veja a seguinte situação histórica. 
As pirâmides egípcias são monumentos grandiosos do mundo antigo. O filósofo 
grego Tales (nascido por volta de 585 a.C.), em uma de suas viagens ao Egito e admirado 
com o tamanho destes monumentos, conseguiu medir a altura de uma das pirâmides 
através de um princípio de proporção conhecido por ele. Tales utilizou um bastão e a 
medida da sombra deste e da sombra da pirâmide para determinar a altura desta. 
 Acompanhe as figuras a seguir. 
 
 Seguindo a proporção, se a sombra da pirâmide for 70 vezes maior do que a 
sombra do bastão então a altura da pirâmide deve ser 70 vezes maior do que a altura do 
bastão. Por exemplo, se o bastão utilizado tivesse 2 metros então a altura da pirâmide 
deveria ser de 140 metros. 
 O método utilizado por Tales no cálculo da altura de uma pirâmide e a 
representação geométrica dos números pode dar uma boa ideia para a construção de uma 
calculadora geométrica de produtos. Por exemplo, vamos calcular geometricamente o 
produto de 3 por 2 utilizando a ideia de proporção de Tales. Imagine raios de sol chegando 
na Terra. A figura a seguir ilustra dois raios de sol. O primeiro passa pelo bastão de altura 
1 de modo que a sombra tem comprimento 3. O segundo raio passa pela marca de altura 
2. Pela proporção das sombras, o segundo raio deve tocar no chão na marca 6, que é 
justamente o resultado do produto de 2 por 3. Acompanhe a figura a seguir. 
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18 
 
 O processo descrito pode ser aplicado para qualquer 
par de números reais. Essa forma de representar é 
bastante genérica e, o que é mais importante, expressa 
várias propriedades das operações de multiplicação (o 
plural aqui é por que podemos falar de diferentes 
conjuntos numéricos). A figura ao lado representa a o 
produto de dois números reais negativos. Veja como 
ela indica que o resultado deve ser positivo. 
 Na figura ao lado vemos uma 
representação genérica para a operação de 
dois números reais. As duas retas paralelas 
indicam a ideia de aumento proporcional 
(ou diminuição proporcional, dependendo 
da inclinação das retas). A ideia, nesta 
figura, é que a unidade aumentou numa 
escala de a. Seguindo a mesma proporção, 
vemos b aumentando na mesma escala, o 
representa a ideia de multiplicação, a.b. 
Como já mencionamos aqui, os números racionais possuem uma representação 
especial, em comparação aos outros conjuntos, a saber, a representação fracionária, que 
é composta da representação de dois números inteiros. E para esses casos podemos 
apresentar uma expressão composta para a soma de duas frações. A soma e o produto, 
respectivamente, de duas frações, 
𝑝
𝑞
 e 
𝑚
𝑛
, fica, respectivamente: 
𝑝
𝑞
+
𝑚
𝑛
=
𝑝𝑛 + 𝑞𝑚
𝑞𝑛
 
e 
𝑝
𝑞
.
𝑚
𝑛
=
𝑝. 𝑚
𝑞. 𝑛
. 
Não é difícil encontrar uma explicação para esta expressão, mas vamos tratar melhor da 
questão só na Unidade 4. Entretanto, o leitor está convidado, só como um exercício, a 
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encontrar uma explicação para o fato de que 
2
3
+
1
4
=
8+3
12
. Tente desenvolver essa 
explicação com apoio de um modelo intuitivo, digamos fatias de pizza! 
 Nesta unidade apresentamos quatro conjuntos numéricos, a saber, o conjunto dos 
números naturais, o conjunto dos números inteiros, o conjunto dos números racionais e o 
conjunto dos números reais. Também apresentamos uma noção de ordem, de operação de 
adição e de operação de multiplicação. Devemos entender que o foco de estudo desta 
unidade ficou restrito a esta apresentação. O ponto chave, para o bom aproveitamento do 
estudo, é perceber que a apresentação dos conceitos significa conhecer as formas de 
representá-los e de interpretá-los por meio de modelos intuitivos. Em particular, é preciso 
perceber também que conjuntos numéricos diferentes demandam representações 
diferentes e modelos intuitivos diferentes. Vejamos um exemplo de como um aluno pode 
aplicar esse tipo de conhecimento. 
 Como lidar com a expressão √2 + √3? É muito comum encontrarmos alunos que 
não sabem interpretar esses símbolos, que não sabem atribuir qualquer significado a eles. 
Em casos assim, o que mais acontece é o aluno deduzir, por conta própria, que √2 +
√3 = √5, pois ele pensa que √2 + √3 = √2 + 3, ou melhor, pensa que vale a regra 
geral, √𝑎 + √𝑏 = √𝑎 + 𝑏. Aqui, o primeiro ponto é estabelecer um significado para os 
termos, √2 e √3, e também para a soma, ou candidato a soma, o √5. Podemos fazer isso 
facilmente por meio da ideia de aproximação e com o auxílio de uma calculadora. Por 
uma calculadora vemos que √2  1,4142, √3  1,7320 e √5  2,2361. Com 
representações decimais aproximadas fica claro que √5 não pode ser a soma √2 + √3. 
Se soubermos representar essas raízes na reta numérica, se tivermos uma vaga noção, a 
falsidade da relação √2 + √3 = √2 + 3 fica ainda mais evidente. 
 
 Um outro exemplo. O que acontece com a expressão 
1
𝑛
, quando n é um número 
natural e n aumenta? Bom, é muito comum um aluno não saber o que dizer sobre essa 
expressão simbólica. E o que acontece se apelarmos para um modelo intuitivo? Vamos 
pensar em termos de fatias de pizza. Vejamos as figuras a seguir. 
Matemática Básica Unidade 1 - Números 
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 Na primeira figura, a fatia destacada pode ser vista como 
1
4
 da pizza. Na segunda, 
vemos 
1
6
 da pizza. Na terceira, 
1
12
 e na quarta 
1
20
. Afinal, o que acontece quando o 
denominador da fração aumenta? Por esse modelo intuitivo, deve ficar claro que a fração 
1
𝑛
 diminui, quando n aumenta, infelizmente, no caso de fatias de pizza☹! 
 Dentro deste espírito de escolher sistemas de representação e modelos intuitivos 
adequados, é importante tomar cuidado com essas escolhas, pois nem sempre um modelo 
intuitivo serve para conjuntos numéricos diferentes. Por exemplo, 3  5 pode ser 
representado por 5 + 5 + 5, ou pode ser pensado como cinco contagens três vezes. 
Contudo essa mesma forma de se expressar ou pensar não se reproduz para uma expressão 
como   √5. 
Moral da história, a escolha de um tipo de representação e de um modelo intuitivo 
mais adequados para os objetos matemáticos estudados podem ajudar muito no 
entendimento ou
resolução de um problema matemático. Pode até ser que essas escolhas 
sejam fundamentais para o sucesso numa tarefa matemática. Ao longo das próximas 
unidades exercitaremos bastante ações desse tipo. 
 
Gabarito 
 
Atividade 1: 
a) São 8 números: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22. Por exemplo, o número cuja representação 
decimal é 8, tem como representação na base 3 o símbolo 22. 
b) Os dias das semanas são contados na base 7, os dias dos meses são contados, em média, 
na base 30, os dias dos anos são contados na base 365, os ângulos são contados, em graus, 
na base 360. 
Observação: Aluno, entenda que este item é só para ilustrar que existem outras formas 
numéricas de representar contagens. Entretanto, representações que não sejam decimais 
não são assunto do nosso estudo. 
 
Atividade 2: 
b) 11 
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21 
c) 
 
d) 3 
e) 10 
f) 20 
g) 
 
 
Atividade 3: 
a) (i) Todo número inteiro possui um sucessor. 
 (ii) Existe um número natural que não é sucessor de nenhum número. 
 (iii) Todo subconjunto de ℤ, diferente de vazio, possui um elemento mínimo. 
 
b) O item anterior foi uma atividade trivial, era só trocar naturais por inteiros – agora é 
que é que vai ficar interessante. 
(i) Verdadeiro! Sim, todo número inteiro possui um sucessor. Basta somar o número mais 
1. Assim como no conjunto dos números naturais. 
(ii) Falso! Sempre que pegarmos um inteiro, digamos n, temos também n  1 sendo um 
inteiro (esse fato não é verdadeiro em ℕ). Assim, n é sucessor de um número, sempre! 
(iii) Falso! Mais uma vez vemos que nem toda propriedade de ℕ é também uma 
propriedade de ℤ. Por exemplo, o subconjunto {..., 5, 4, 3} é diferente de vazio e não 
possui um elemento mínimo, um elemento que é menor do que todos os outros elementos 
do subconjunto. 
 
Atividade 4: 
Esta atividade é uma simples tarefa de transcrição, da linguagem simbólica para a 
linguagem natural escrita. Uma resposta poderia ser: 
O conjunto dos números racionais é formado por todas as frações de números inteiros, 
sendo que o número de baixo da fração deve ser diferente de zero. 
Aluno, você acha que receber informações matemáticas por escrita em linguagem natural 
pode causar um efeito diferente, para o leitor, em comparação a uma apresentação 
simbólica? Pense sobre isso. 
 
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Atividade 5: 
Como vimos no texto, símbolos matemáticos podem ter várias interpretações. A 
princípio, frações têm interpretações diferentes. Por exemplo, 
3
3
 pode representar que a 
unidade foi dividida em três partes e foram contadas 3 dessas partes. Ora, isso nos fornece 
toda a unidade. Assim, podemos pensar que 
3
3
 é o mesmo que 1, e acabamos escrevendo 
3
3
 = 1. Vejam como interpretações diferentes podem gerar uma ideia equivalente. É neste 
sentido que escrevemos 3 = 
6
2
, por exemplo. Ou seja, se dividimos a unidade em duas 
partes e pegamos 6 destas partes, conseguimos o mesmo que 3 unidades. Esse tipo de 
interpretação fica bem clara quando usamos a reta numérica. 
 
E, usando a reta numérica, deve ficar fácil perceber por que escrevemos 6 = 
−18
3
. 
 
Atividade 6: 
Uma fração 
𝑝
𝑞
, segundo a interpretação parte-todo, é composta pelo número de divisões 
da unidade e pelo número de partes da divisão. Se falamos só no número de partes, sem 
saber como a unidade foi dividida, essa informação fica bastante vaga. Por exemplo, 
alguém quer te vender 3 pedaços de pizza. Tá, mas qual é o tamanho do pedaço de pizza? 
Só o número de fatias não é suficiente. Precisamos saber em quantas fatias o tabuleiro foi 
dividido para saber se 3 fatias fazem uma quantidade considerável ou não. Assim, o que 
qualifica a fração, o que denomina a fração é o número debaixo desta. Por causa desta 
função, ele é chamado de denominador da fração. O numerador é dado pelo número de 
partes. (Procure por outras explicações na internet!) 
 
Atividade 7: 
a) 5/10 = 0,5 b) 53/10 = 5,3 c) 53/100 = 0,53 d) 1/2 = 0,5 
e) 2/5 = 0,4 f) 402/10000 = 0,0402 
 
Atividade 8: 
a) 2,3 = 23/10 b) 10,1 = 101/10 c) 13,003 = 13003/1000 
d) 0,00001 = 1/100000 
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Atividade 9: 
Muitos alunos acreditam que podemos falar naturalmente em sucessor de um número 
racional. Por exemplo, existem pesquisas que mostram licenciando de cursos de 
Matemática respondendo que o sucessor de 5,12 é 5,13 ou que o sucessor de 5/7 é 6/7. 
Na forma como estamos acostumados com os números naturais, não faz sentido falar em 
sucessor para números racionais. Por exemplo, 5,121 é um número que está entre 5,12 e 
5,13. Assim, não faz sentido dizer que 5,13 é sucessor de 5,12. 
Alunos, essa questão não é nada trivial. Apesar de não podermos apontar um próximo 
número racional, um número logo acima de outro, é possível, sim, ordenar os números 
racionais, é possível estabelecer uma sequência de sucessores cobrindo todo o conjunto 
ℚ, mas não de forma crescente, como fazemos com os naturais e os inteiros! Veja no 
quadro a seguir uma maneira de ordenar os números racionais, veja que não é uma 
ordenação crescente. 
 
Atenção, a questão da não existência de sucessor para os racionais, conforme existe para 
os naturais, é de enorme importância e ainda assim os livros didáticos negligenciam o 
assunto. Fique atento para isso. 
 
Atividade 10: 
São duas tarefas: 
1ª: 
 
2ª: a = 0,834. 
 
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Atividade 11: 
a) Essa é uma questão bem simples, mas acredite, muitas crianças acham que 1,99 é maior 
do que 2. É claro que a afirmação é falsa. Veja uma explicação simples. Como 2 = 1,99 
+ 0,01 e 0,01 é um número positivo, temos que 2 é maior do que 1,99. 
b) É falso! Podemos explicar isso com um contraexemplo. Por exemplo, se a = 2 e b = 
1, vale que (2) > 1.