Matemática Atuarial I Modelos de Seguros de Vida

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EAC 0424 Matemática Atuarial I
Ciências Atuariais Noturno – FEA – USP
Prof. Dr. Ricardo Pacheco
MATEMÁTICA ATUARIAL DE VIDA
Universidade de São Paulo
- 1º Semestre 2015 -
2
Aula 3 : Modelos de Seguro de Vida
A. Um modelo discreto de seguro de vida inteira
2.1 Uma apólice de seguro de vida inteira com um benefício de morte de 1 é emitida para uma vida de idade 20. O
benefício deverá ser pago no aniversário da apólice imediatamente seguinte à morte. Suponha uma taxa anual
efetiva de juros de 5%. A mortalidade segue o modelo:
xlx -=100 , 100£x
Seja Z o valor presente aleatório do benefício na emissão.
(a) Calcule E(Z).
Na emissão, o valor presente do benefício é:
( ) 120 += kvz onde 105,1 -=v
A função de probabilidade do tempo de vida futuro curtado, K (20) é:
( )( )
80
120
20
12020
20|
=-=== +++
l
llq kk
k
kKP , para k=0, 1,..., 79.
O valor esperado é:
[ ] ( ) ( )( ) ( )( ) ( )ååå
=
+
=
+
=
=+++===´==´=
79
0
8021
79
0
1
79
0 80
1
80
12020
k
k
k
k
k
vvvvkKPkKPkgZE v K
24496,0
05,0
05,11
80
1
80
1 80
%5|80 =
-´=´=
-
a
(b) Calcule a probabilidade de que Z exceda E(Z)
[ ]( ) ( )24496,0>=> ZPZEZP
Para avaliá-lo, temos de achar esse evento equivalente referente ao tempo de vida futuro curtado,
24496,0>Z
24496,0
05,1
1
1 ><=> +K
08237,405,1 1 ><=> +K
( )
( ) 83,27105,1ln
08237,4ln @-<<=> K
Para que o tempo de vida futuro seja menor do que 27,83 segue que tem de ser 27 ou menor.
Isso significa que (20) deve morrer antes de 48 ( = 20+27+1).
( ) PZP => 24496,0 ((20) morrer antes da idade de 48)
35,0
80
5280
20
4820
2028 =
-=-==
l
llq
2.2 Um seguro de vida inteira de 1 é emitido para uma vida de idade 90. O benefício de morte é pago no
aniversário da apólice seguinte à morte. A taxa efetiva anual de juros é de 5%. A mortalidade segue o modelo:
3
Idade x
xl xd
90 100 25
91 75 35
92 40 40
93 0 0
Determine o valor esperado de Z e a probabilidade de que Z exceda E(Z).
A variável aleatória “valor presente do benefício” é:
( )vKZ 190 += , 05,1
1-=v
( ) === å
=
+
90|
2
0
1
90 qZE K
K
KvA
90109,0
100
40
100
35
100
25 32 =´+´+´ vvv
A probabilidade de que Z exceda E(Z) é:
[ ]( ) ( )( ) ( )( ) ÷÷ø
ö
ççè
æ =-<=>=> +- 13,11
05,1/1ln
90109,0ln90109,005,1 1 KPPZEZP k =
( ) ( ) 6,0
100
35
100
2510 =+==+= KPKP
B. Um modelo contínuo de seguro de vida inteira
2.3 Um seguro de vida inteira de 1 é emitido para uma vida de idade 20 com o benefício de morte a ser pago no
momento da morte. A taxa efetiva anual de juros é de 5%. A mortalidade segue o modelo:
xlx -=100 para todas as idades 100£x
Seja Z o valor presente aleatório de um benefício na data de emissão.
(a) Determine o valor esperado de Z.
( )20TvZ =
Determinemos a fdp do tempo de vida futuro de uma vida (20):
( ) ( ) ( ) ( )( ) 80
1
20100
20100
20
20
2020 =
¢
÷
ø
öç
è
æ
-
--=
¢
÷÷ø
ö
ççè
æ
-=¢-= + ttstf
l
l t
TT
 para 0 < t <80
( ) ( ) ( ) 25103,005,1ln80
05,11
05,1ln80
05,1
80
105,1
8080
0
80
0
80
0
20
=-=÷÷ø
ö
ççè
æ -===
--
-òò
t
t
T
t dtdttv fA
(b) Determine a probabilidade de que Z exceda E(Z).
[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )329,28)20(05,1ln
25103,0ln2025103,005,1 1
)20( <=÷÷ø
ö
ççè
æ <=>=> -- TPTPPZEZP T
35411,0
20100
329,4810011
20
329,48
20329,28 =-
--=-=
l
lq
2.4 Um seguro de vida inteira de 1 é emitido para uma vida de idade 20 com o benefício de morte a ser pago no
momento da morte. A taxa efetiva anual de juros é de 5%. A mortalidade segue o modelo:
xlx -=100 para todas as idades 100£x
4
Determine o percentil 90 de Z.
( )20Tvz =
( )( ) ( )2005,120 TTgz -==
1,0t é o décimo percentil de T(20) ou o nonagésimo percentil de Z.
( ) 1,005,11,0 ttg -=
Portanto, temos:
( )( )
l
l t
t qtTP
20
20
201,0
1,0
1,0
1201,0 +-==£=
8
20100
20100
9,0 1,0
1,0 ==>-
--= tt
67684,005,1 1,09,0 ==
-tZ
C. Outros tipos de seguro de vida com benefício nivelado
2.5 Assume-se que a mortalidade siga o modelo:
xlx -=100 , 100£x
Usando uma taxa anual efetiva de 5%, calcule
(a)
01:20
1A
Sabemos que:
( )( )
80
120
20
12020
20| =
-=== +++
l
ll kk
k qkKP para K=0,1,2,...,79
Temos então:
( ) 09652,0
05,080
05,11
80
05,1
109
0
%5|10)1(
01:20
1 =´
-====å
=
+-
K
K
a
kKPA
(b)
01:20
1A
Sabemos que:
( )( ) 800,80
1
20 <<= ttfT
Segue:
( ) ( )ò ò =
-===
--10
0
10
0
10
01:20
09892,0
05,1ln80
05,11
80
05,1
1 dtdttfvA
t
T
t
(c) 2010 A
( )
( ) 14843,0
80
05,1 %5|10%5|80
179
10
2010 =
-
===
+-
=
å aakKPA
K
K
(d) 2010 A
5
( ) ( ) 15211,005,1ln80
05,105,1
80
05,180
10
801080
10
2010 =
-=== òò
---
dtdttfvA
t
T
t
(e) 01:20A
63369,0
80
7005,109652,005,109652,0v 10
20
3010
2010
10
10:20|10:2010:20
01:20 111 =´+=´+=+=+=
--
l
lpAAAA
(f) 01:20A
63609,0
80
7005,109892,0v 102010
10
10:20
|10:20
10:2001:20
1
1
1 =´+=+=+= -pAAAA
2.6 Assume-se que a mortalidade siga o modelo:
xlx -=100 , 100£x
Usando uma taxa anual efetiva de 5%, calcule a probabilidade de que o valor presente randômico na emissão do
benefício exceda o valor presente atuarial para um seguro temporário de 10 anos de 1.000 para uma vida (20), com
benefícios de morte pagos imediatamente após a morte.
92,9809892,010001000 10:201 =´=´ A
Logo estamos atrás de:
( )92,98>ZP
Para este seguro de vida temporário a 10 anos:
( )
î
í
ì
>
£´=
-
10,0
10,05,11000
T
TZ
T
Se T=10: 91,61305,11000 10 =´ -
( ) ( ) 8/1
80
10
80
701110
20
30
2010 ==-=-==£=> l
lqTPAPVZP
2.7 Assume-se que a mortalidade siga o modelo:
x
x el
015,0100 -= em todas as idades x
A força de juros é suposta ser 05,0=d .
Calcule 02:50000.1 A .
A apólice pagará:
· 1.000 no momento da morte se (50) morrer antes de 70
· 1.000 na idade 70 se (50) estiver 20 anos depois da emissão
Nota que a força de mortalidade é constante:
( ) [ ] 015,0
100
100015,0
015,0
015,0
=´--=-= -
-¢
x
x
x
x
e
ex
l
lm
6
( )( ) ( )
( )
0,015,0
100
100015,0 015,0015,0
015,0
>=´
´´=+= --
+-
te
e
etxpx tx
tx
xtxT
f m
O valor presente atuarial é calculado como segue:
( )( ) =÷÷ø
ö
ççè
æ +=÷ø
öçè
æ += ò
20
0
5020
20
50|20:5020:50
012:50 100010001000 11 pvdttfvA T
tAA
=÷÷ø
ö
ççè
æ +=÷÷ø
ö
ççè
æ ´+´= òò --´-´---
20
0
3,1065,0
20
0
20015,02005,0015,005,0 015,01000015,01000 edteeedtee ttt
41,44053,27288,1671000
065,0
115
065,0
015,01000 3,1
3,1
3,1
20
0
065,0
=+=+÷÷ø
ö
ççè
æ -=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+÷÷ø
ö
ççè
æ -= -
-
-
-
eeee
t
D. A variância da variável aleatória “valor presente atuarial”
1.8 Usando a informação do exercício anterior, calcule
01:65
1500A
( )( ) ( ) ( ) =´´==== +
=
+-
=
+-
=
+ ååå kk
k
k
k
k
k
k
k qpeqekKPvA 6565
9
0
105,0
65|
9
0
105,0
9
0
1
01:65
50050065500500 1
( ) ( ) ( ) ÷÷ø
ö
ççè
æ
-
-´-´´=-´´ -
-
----
=
+-å 065,0
65,0
015,005,0015,0015,0
9
0
105,0
1
115001500
e
eeeeee k
k
k
Note que:
x
xxx
n
n
-
-=+++ -
1
11 1K
 2.9 Um seguro de vida inteira de 1 é emitido para uma vida (20) com o benefício a ser pago no momento da morte.
A taxa efetiva anual de juros é de 5%. A mortalidade segue o modelo:
xlx -=100 , 100£x
Seja Z o valor presente randômico do benefício na emissão.
(a) Determine o valor de [ ]2ZE
Sabemos que:
( )( ) 80
1
20 =tfT, para 0 < t < 80
( )2005,1 TZ -= e ( ) 25103,0=ZE
Observe que: ( )202 1025,1 TZ -=
Então nós temos que:
[ ] ( )[ ] ( )( ) ( ) =úúû
ù
ê
ê
ë
é
-==== ò ò
-
---
80
0
80
0
80
0
20
202
1025,1ln
1025,1
80
1
80
11025,11025,11025,1
t
t
T
tT dtdttfEZE
( ) 12805,01025,1ln80
025,11 80 =-=
-
7
(b) Determine a variância de Z
[ ] [ ] [ ]( ) ( ) 06503,025103,012805,0 222 =-=-= ZEZEZVar
Teorema 2.1
No modelo contínuo, se a função de benefício bT é sempre 0 ou 1, e a força de juros é d ,então:
[ ] [ ]TT vEZE b 22 =
Onde Tv
2
é a função de desconto calculada com força de juros de 2d .
Em palavras, o segundo momento para uma variável associada de valor presente aleatório é o mesmo
que o primeiro momento calculado com o dobro da força de juros original.
Demonstração:
Como bT = 0 ou 1:
bb TT =2
Nos casos que consideramos vT pode assumir dois valores:
Tt
T evv d-== ou nnT evv d-==
Em todo caso, temos:
vv TT 22=
Desde que:
( ) ( )ee tt dd 22 -- = e ( ) ( )ee nn dd 22 -- =
Consequentemente:
[ ] [ ] [ ]TTTT vbEvbEZE 2222 ==
Teorema 2.2
Suponha que Z é o valor presente atuarial para um seguro de vida discreto que paga benefícios por morte no
aniversário da apólice imediatamente seguinte à morte:
(i) Assuma que seja puramente um seguro de vida
(ii) Suponha que Z é o valor presente aleatório para um seguro de vida contínuo que paga
idênticos benefícios, mas no momento da morte;
(iii) Suponha que a premissa de distribuição uniforme de mortes é usada para calcular o número
de vida em idades fracionarias.
Então temos:
[ ] [ ]ZEiZE d=
2.10 Um seguro de vida inteira de 1 é emitido para uma vida (x) com benefício a ser pago no momento da morte. A
mortalidade segue o modelo mm =)(x para todas idades x. A força de juros é d .
Determine as fórmulas para ambos [ ]ZE e [ ]2ZE .
O valor presente da variável benefício é:
( )xTvZ =
Para este modelo de mortalidade a FDP para a variável tempo de vida futuro T(x) é a mesma para todas as
idades x:
8
( )( ) ( ) 0, >=+= - tetxptf txtxT mmm
Logo, o valor presente atuarial é:
[ ] [ ] ( )( )
( )
dm
m
dmmm
dm
mddd
+=ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+-==== òò
¥ ¥+-
--
¥
--
0 00
t
tt
xT
tT edteedttfeeEZE
Aplicando o teorema 2.1:
[ ] [ ]TT vbEZE 22 =
Onde Tv
2 é a função de desconto calculada à força de juros de 2d
[ ] dm
m
2
2
+=ZE
2. 11 Um seguro de vida inteira de 1 é emitido para uma vida (90), com benefício a ser pago no momento da morte.
A taxa efetiva anual de juros é de 5%. A mortalidade segue o modelo:
Idade x
xl xd
90 100 25
91 75 35
92 40 40
93 0 0
Suponha-se uma distribuição uniforme de mortes para calcular o número de sobreviventes em idades fracionárias.)
Determine o valor presente atuarial do benefício.
90109,0
100
40
100
35
100
25 32
90|
2
0
1
90 =++==å
=
+ vvvqv k
k
kA
Aplicando o Teorema 2.2:
[ ] ( ) 92343,090109,005,1ln 05,09090 =´=== AA iZE d
1.12 Calcule ( )Zvar para o modelo contínuo de seguro de vida do exercício anterior.
[ ] ( ) 81319,0
100
40
100
35
100
25 642
90|
22
0
1
90
22 =++=== å
=
+ vvvqvAZE k
k
k
Do teorema 2.1 nós temos:
[ ] AZE 9022 =
Sob a premissa de distribuição uniforme de morte (DUM):
9090 A
iA d=
Dobremos a força de juros: ( Note que ie +=1d )
( ) ( )222 211 iiie ++=+=d
i.e., a taxa efetiva anual de juros correspondente a dobrar a força de juros é 22 ii + . Então:
9
[ ] ( )
( ) [ ] [ ]( ) 00147,092343,085419,0
,
85419,081319,0
05,1ln2
1025,0
2
2
:
2
2
222
90
2
2
90
22
90
2
2
90
2
9090
=-=-=
=´=+==
´+=
=
ZEZEZVar
Logo
AiiAZE
Então
AiiA
AiA
d
d
d
Modelos agregados de seguro de vida
2.13 Suponha que 100 vidas independentes com idade x adquiram um seguro de vida inteira de 1.000 com
benefícios pagáveis por morte. Suponha que 05,0=d e 015,0)( =xm . Determine a probabilidade que um
fundo de 25.000 será suficiente para cobrir os benefícios para todas 100 vidas.
( )xTeZ 05,01000 -=
Assumindo a força de mortalidade constante:
( )[ ]
( )( )[ ]
[ ] ( )[ ]
[ ] ( )( ) ( )( ) ( )( )
[ ]
( ) ( ) 7580,06922,077180100
77,23010025000
var
)(
771801000var10001000varvar
77,23010001000
13043,0
115,0
015,0
2
23077,0
065,0
015,0
22205,0205,0
05,0
22
@F@÷
ø
öç
è
æ
´
´-F@÷÷ø
ö
ççè
æ -F@£
=-===
===
==+==
==+==
--
-
-
-
Zn
ZnEFFSP
AAeeZ
AeEZE
eEA
eEA
xx
xTxT
x
xT
xT
x
xT
x
dm
m
dm
m
d
d
2.14 Usando a informação do exercício anterior, determine o prêmio único que deveria ser cobrado para cada
apólice se o prêmio agregado para se ter 95% de probabilidade de cumprir as obrigações de benefícios do grupo.
( )( ) 05,0645,11,0 =>NP
Portanto:
Prêmio = Prêmio Puro + Carga de Risco por apólice
[ ] ( ) 47,27670,4577,230
100
77180645,177,230varPr =+=+=+=
n
ZZZEêmio a
Modelos de seguro com benefícios não-nivelados
2.15 Uma apólice de seguro de vida inteira é emitida para uma vida de 20 anos com benefício a ser pago na morte.
Se a morte ocorre antes da idade 40, o benefício é 1. Se ocorrer depois, o benefício é 2. A taxa efetiva anual de juros
é 5%. A mortalidade segue o modelo:
xlx -=100 , 100£x
10
Seja Z o valor presente aleatório do benefício na emissão.
Calcule )(ZE e )( 2ZE .
ïî
ïí
ì
£<
£<=¾®¾
ïî
ïí
ì
£<
£<=
8020,4
200,
8020,2
200,
2
2
2
T
T
T
TZ
v
vzv
v
T
T
t
t
A mortalidade segue a lei De Moivre
( )
[ ] ( ) ( )
( ) ( ) 34242,018288,015964,005,1ln40
05,105,1
05,1ln80
05,11
80
105,12
80
105,1
800,
80
1
802020
80
0
20
0
80
0
20
0
2
=+=´
-+´
-=
=´+=+=
£<=
---
-- òòòò dtdtdttfdttfZE
tt
tt
T
t
T
t
T
vv
f
2.16 Um seguro de vida inteira crescente é emitida na idade 90. O benefício de morte é pago no aniversário da
apólice imediatamente seguinte à morte. A função de benefício é:
11 +=+ KbK
A taxa efetiva anual de juros é 5%. A mortalidade segue o modelo:
Idade x
xl xd
90 100 25
91 75 35
92 40 40
93 0 0
Determine o valor presente atuarial do benefício.
( ) [ ] 90962,1
100
403
100
352
100
25 32
90 =++== vvvZEIA
Lista de exercícios referente à aula 2
1. Para o caso de um seguro dotal misto de duração de 20 anos de valor de 1.000 sobre uma vida atualmente
com 45 anos:
a. Escreva a fórmula do valor presente aleatório Z, assumindo que o benefício de morte é pago no
momento da morte.
b. Determine o valor de Z assumindo que o indivíduo de 45 anos morra à idade 55,8 anos e que a taxa
de juros é i=0,05.
c. Escreva a expressão para o valor presente atuarial dos benefícios em notação atuarial padrão.
d. Escreva a expressão algébrica para E(Z) em termos da função densidade de probabilidade.
e. Compute E(Z) usando 05,0=d e 02,0)( =xm para todo x.