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, ~. x = 1. J. f \;) ~-1; c:k.. ~-nj. ~~).oCo...L e.. ~=5" .d. fo~t5 d-e. "-'W\6..'f..\ mo ~c.o..Q.. B Questão 1: (4,0) Seja f(x) = x - 3 . x2 - 5 a) Determine o domínio de f e, caso existam, as assíntotas. b) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f, bem como os pontos de máximo e de mínimo locais. c) Mostre que o gráfico de f tem um único ponto de inflexão a > 5. Estude a concavidade de f em função de a. d) Use (a), (b) e (c) para esboçar o gráfico de f. (0-\ JD:5 == IR\ \ :!. \G J =:: 1. jy €: IR I x * ! f5 } (c) 5\\ (:1-') -= (-'Jnc 4-~ ) C~2_5):!.- ( 2.-I-1ón< -5) ~ (a.A.-s ) ~ ( x~ -.5 ) Lf ~1-5 - - ~~) -- +-t-- - --j))(;l) - -- 4--\- - -- :S '" /"'. V (~ ~onlco f0"õ :lu jC.:t) ck \ n~Qó dej o 3/5 i '�~ 5' ~o a o f') c~) ::::.(-~ -+b") (,,2_ 5) + 4:>< (~:>"-b~ +5) ( x::O_ 5 ) 3 ~"3_\gx~4-~~-30 _ ~(X?>_~2-+~Sx-~5) (x2 - S ') ~ (~:;o -b) 3 . O :Yino1 de. 5') C a') 1. de h~6)Qolo F ~ooi.. ck oc:ã_ b .Il.. ck ~ (:x.) = )( ~ -9i. + \ S x - \ 5. Vo..mos e .s~dOJt,. C ~ f')cJL- Óe 5(~) . T ..'" os. "tu-e. ~) C:v.')= ~ ~ R. - \ i:\'. .\- \ 5 = ~ (:y;~ b'X +S). ~) -t--+-t - - - + +~ ~ (1) = - 2 e ~ (5) < - 8) j cl ? ~./I ~:J J. _:--,~e \i: JeC-('O.D~"~ ~ L. r rI) d~ 1Ir>h~~ ~:J 1 ,~ L. 1= m fo.}t..~ c..u.OOOt..J ~ (5) < O . de ~ Co~ O ~rn :! (;J..) =- +-oo J .\efJr\ oS I ~ .x~ +tO . 5T \I \ ~..u.. ~ ~ m U'rT'\~ tlA'5 cl '> · \fo.mos. 4\)(.r "'-'Ao. .QA:)c... .J. o.. ~ 'n ~~ rcU..~ de. d' lezroo5 1~ JLrf' ~ Út) = -(X) ) êL x~-U) I "- I q QA>\.r, b e~ c.~~ca.I"~ .crI. '-17 Uh t CA.. <l ro..:5de :l-<X)J i l ) ~ ~ (i') ( C. lo~ I ~ t~ ') I.. O ~ cx. ~ J -tO J L t. I: ~ \,.,... ~ d C;t.") < O .IjO. ao ê ] \, 5 I. icI. ~ ~ :. ~~,~""e.~ ~~eo~iZ ~ \ f'\~\J~ 4!. ~ (1)<0, Lo'rr' o ~ J. Lo.~i ~A.I'I"e~ ~ ~e~~IS'\1L .ri' 'J 5, +<X)L -e. ~ ( 5) < o I C (ol ') = O ) -k~QQ.. ~1.4.0... <: (ox.) -< Q eO" J 5') oL [ . Co . :'\ (cI.) = o Q. ~ ,1-<'\h " iL. Vr4>OCQ.",iA. -:)'. '> 01.) -k~c>s ~-.t.A.. ~ C~) > O y. Q:. 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(~%2-.k.t!v, -t: -::::: .e ~ (~:f2 = ~.~ x~- I . . 1 t L/H ~ . oD 'li. -) ..J-04 Questa˜o 3-a): (1,5) Prove que tg(x) ≥ x + x 3 3 , para todo x ∈ [0, pi 2 [. Resoluc¸a˜o: Considere a func¸a˜o g(x) = tg(x)− x− x 3 3 , com x ∈ [0, pi 2 [. Como g(0) = 0, basta mostrar que g e´ estritamente crescente, ou seja, que g′(x) > 0, ∀x ∈]0, pi 2 [. De fato, g′(x) = sec2(x)− 1− x2 = tg2(x)− x2 = (tg(x)− x)(tg(x) + x). Como tg(x) > 0 e x > 0, para x ∈]0, pi 2 [, basta mostrar que h(x) = tg(x)−x > 0, para x ∈]0, pi 2 [. Mas h(0) = 0 e h′(x) = sec2(x)− 1 = tg2(x) > 0, para x ∈]0, pi 2 [. cqd Questa˜o 3-b): (1,5) Calcule, se existir, lim x→0 [ 1 x − 1 ln(x + 1) ] . Resoluc¸a˜o: lim x→0 [ 1 x − 1 ln(x + 1) ] =lim x→0 ln(x + 1)− x x ln(x + 1) = Como a indeterminada e´ do tipo 0 0 , aplicando as regras de L’Hospital, temos: =lim x→0 1 x+1 − 1 ln(x + 1) + x x+1 =lim x→0 1−x−1 x+1 (x+1) ln(x+1)+x x+1 =lim x→0 1− x− 1 (x + 1) ln(x + 1) + x =lim x→0 −x (x + 1) ln(x + 1) + x Como a indeterminada e´ do tipo 0 0 , aplicando as regras de L’Hospital, temos: =lim x→0 −1 1 + ln(x + 1) + 1 =−1 2 . B Questa˜o 3-a): (1,5) Prove que tg(x) ≥ x + x 3 3 , para todo x ∈ [0, pi 2 [. Resoluc¸a˜o: Considere a func¸a˜o g(x) = tg(x)− x− x 3 3 , com x ∈ [0, pi 2 [. Como g(0) = 0, basta mostrar que g e´ estritamente crescente, ou seja, que g′(x) > 0, ∀x ∈]0, pi 2 [. De fato, g′(x) = sec2(x)− 1− x2 = tg2(x)− x2 = (tg(x)− x)(tg(x) + x). Como tg(x) > 0 e x > 0, para x ∈]0, pi 2 [, basta mostrar que h(x) = tg(x)−x > 0, para x ∈]0, pi 2 [. Mas h(0) = 0 e h′(x) = sec2(x)− 1 = tg2(x) > 0, para x ∈]0, pi 2 [. cqd Questa˜o 3-b): (1,5) Calcule, se existir, lim x→0 [ 1 ln(x + 1) − 1 x ] . Resoluc¸a˜o: lim x→0 [ 1 ln(x + 1) − 1 x ] =lim x→0 x− ln(x + 1) x ln(x + 1) = Como a indeterminada e´ do tipo 0 0 , aplicando as regras de L’Hospital, temos: =lim x→0 1− 1 x+1 ln(x + 1) + x x+1 =lim x→0 x+1−1 x+1 (x+1) ln(x+1)+x x+1 =lim x→0 x + 1− 1 (x + 1) ln(x + 1) + x =lim x→0 x (x + 1) ln(x + 1) + x Como a indeterminada e´ do tipo 0 0 , aplicando as regras de L’Hospital, temos: =lim x→0 1 1 + ln(x + 1) + 1 = 1 2 . Questão 1: (4,0) Seja f(x) = x2- 2 . x - 3 a) Determine o domínio de f e, caso existam, as assÍntotas. b) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f, bem como os pontos de máximo e de mínimo locais. c) Mostre que o gráfico de f tem um único ponto de inflexão a > 3. Estude a concavidade de f em função de a. d) Use (a), (b) e (c) para esboçar o gráfico de f. (o..).)l);:s ::- IR\ i 1::'6} = 1.:L ~ ~ \X ~ -t'-f3 } ~ x-~ _ \ \m + tl' ...L .:.+00 ~.-'t7 _€ t- xíh-3 - X-t>-€ \ ./;;L -t~)0 ~ ~~~ ~-co n ' m '1 -~ - \i m ~ ~ -.I'::i'''''''~- - ~ - ~ ::)f.'!!'-.'ii~~a)( -\) - {; ~ -~ 1. - 3 '1 '->o/-O LO' Q. ~ k )(. = -{§ J., CL"~ ('\t5 ~ -J e)f.;'-'c::.o..L I Prn ~Q t!T\e. ~ ) ~. ).em :J. -2. - \ \"' (f -i L = -00 :1. ~ '51" ,,2 _:> -.G -+\ )C+ ::i,- VSX "c~tOI:; ~:{3- :2~~ = f:f5- ~~~_~t +W · ~ ~ x = \f.3 ~ J ~~~~\!~~c..o.Q.. I -~)(. ..'X-- :L .=. a)C.~-3 I -.3/~ _'Í5 o Q R -.L >f o - .= o (~x.o ~)Lor o- ~ No$' ~ I S.k 50> eu; ,,( rito ~ (6) f c~) -)(.Q.J -\-Li x- ~ (~~-5)~ 5 3 ~ .,... + 4 -- - ~ \i;J,~ - (CJ I f ~ - ~~ :f ~ =1 ~\i de m1..iV..~c '2t>~ ~ ; X= 3 f1; de ~6.:I.\f!r\C ~c.oJLj\\(~) = ,ç:'J.;x +LJ-) C)(?-3)~- (_)(.2+4><--3 )1l()C.2.-3) 0x ( j:b _ 3 ) lJ- f II(.1.) _ (- ~ +4-) (1-Q.,- 3) + 4 ~ (J.~- 4}t ~3) (J(~-.3) 3 (0\ ) !L C:1-) o ~/, \ '12 ~\/b J.. a ------------ A o 'b1na! ck -5" (1) ~ ck. k~no..JQ ~5. %inciv:> ~ ~ 2- ~ Crx. 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