Prova3 2017 Gabarito

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EAE 206 – Teoria Macroeconômica I 
3ª Prova- 1º semestre 2017 - Gabarito 
 
Questão 1: (3,5 pontos) 
Seja o seguinte modelo de 3 equações em que há um choque de demanda persistente: 
Relação IS: 𝑌𝑡 = 𝑌𝐼𝐶 − �̅�(𝑟𝑡 − 𝑟𝑠) + 𝜀𝑡
𝐷 
Curva de Phillips: 𝜋𝑡 − 𝜋𝑡−1 = 𝛼(𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶) 
 Relação MR: 𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶 = −𝛼𝛽(𝜋𝑡 − 𝜋
𝑇) 
Onde 𝑌𝑡 é o produto, 𝜋𝑡 é a taxa de inflação, 𝑟𝑡 é a taxa real de juros, 𝑌𝐼𝐶 é o produto de 
equilíbrio, 𝜋𝑇 é a meta de inflação, 𝑟𝑠 é a taxa neutra de juros, e �̅� , 𝛼 e 𝛽 são 
coeficientes positivos. 
Suponha que o choque de demanda seja persistente, ou seja, seja da forma: 
𝜀1
𝐷 > 0; 𝜀2
𝐷 = 𝜌𝜀1
𝐷; 𝜀3
𝐷 = 𝜌𝜀2
𝐷 = 𝜌2𝜀1
𝐷 
E assim por diante, onde 𝜌 é um coeficiente positivo tal que 0 < 𝜌 < 1. Note que o 
efeito do choque diminui com o passar do tempo. 
Suponha que no período 0 a economia esteja em um equilíbrio de médio prazo e que no 
período 1 ocorra um choque de demanda 𝜀1
𝐷 > 0. 
a) Mostre graficamente (IS, curva de Phillips e relação MR) como a economia reage 
no período 1 e no período 2 a tal choque e como se dá o ajuste para o novo 
equilíbrio de médio prazo. (1,5) 
b) Derive algebricamente as expressões para o produto, a taxa de inflação e a taxa 
de juros no período 1 e no período 2. (1,0) 
c) O que acontece com a taxa neutra de juros nesta economia? (1,0) 
 
RESPOSTA 
 
a) Equilíbrio inicial: ponto A. 
No período 1, com o choque de demanda, a relação IS se desloca para a direita, 
de IS0 para IS1. Nesse período, o Banco Central não reage ao choque e o produto 
recebe todo o impacto do choque. Com isso, tanto o produto quanto a inflação 
aumentam (ponto B), enquanto a taxa de juros fica inalterada. 
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No período 2, a Curva de Phillips se desloca para 𝐶𝑃1(𝜋1
𝑒 = 𝜋1). Nesse período, 
o equilíbrio é encontrado pela interseção entre a curva de Phillips CP1 e a relação 
MR. Isto ocorre no ponto C, gerando 𝜋2 e 𝑌2. Ou seja, o produto cai para baixo 
do nível de equilíbrio e a taxa de inflação se reduz, mas ainda se mantém acima 
da meta. Em função da persistência do choque de demanda, a curva IS se desloca 
um pouco para a esquerda, para IS2. Assim, a taxa de juros aumenta para 𝑟2. 
A partir do período 2, a economia caminha ao longo da relação MR para retornar, 
ao longo do tempo, ao ponto A. No diagrama IS, ao longo do tempo, o efeito do 
choque vai se dissipando e a economia vai convergindo de volta à IS original. 
 rt 
 
 
 r2 C 
 
 rS A B 
 
 
 IS2 IS1 
 IS0 
 
 
 
 Y2 YIC Y1 Yt 
 
 
 
 
 πt CP1 
 
 CP0 
 π1 B 
 
 π2 C 
 πT A 
 
 
 MR 
 
 
 
 Y2 YIC Y1 Yt 
 
 
b) Período 1: ponto B. O produto recebe o efeito total do choque: 𝑌1 = 𝑌𝐼𝐶 + 𝜀1
𝐷 
A taxa de juros não se altera (𝑟1 = 𝑟𝑆). 
Pela curva de Phillips, a inflação é: 𝜋1 = 𝜋
𝑇 + 𝛼𝜀1
𝐷. 
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Período 2: ponto C. A partir das expressões recursivas, obtemos os valores para as 
variáveis: 
𝜋2 = (
1
1 + 𝛼2𝛽
) [𝜋1 + 𝛼
2𝛽𝜋𝑇] = 𝜋𝑇 + (
𝛼
1 + 𝛼2𝛽
)𝜀1
𝐷 
𝑌2 = 𝑌𝐼𝐶 − (
𝛼𝛽
1 + 𝛼2𝛽
) [𝜋1 − 𝜋
𝑇] = 𝑌𝐼𝐶 − (
𝛼2𝛽
1 + 𝛼2𝛽
)𝜀1
𝐷 
𝑟2 = 𝑟𝑆 + (
𝛼𝛽
�̅�(1 + 𝛼2𝛽)
) [𝜋1 − 𝜋
𝑇] + (
1
�̅�
) 𝜀2
𝐷 = 𝑟𝑆 + (
𝛼2𝛽
�̅�(1 + 𝛼2𝛽)
) 𝜀1
𝐷 + (
𝜌
�̅�
) 𝜀1
𝐷
= 𝑟𝑆 + (
𝛼2𝛽(1 + 𝜌) + 𝜌
�̅�(1 + 𝛼2𝛽)
) 𝜀1
𝐷 
Ou seja, conforme mencionado no item (a), a inflação aumenta, o produto cai para baixo 
do nível de equilíbrio e a taxa de juros aumenta. 
c) A taxa neutra de juros é a taxa de juros 𝑟𝑡 consistente com o produto em seu 
nível de equilíbrio, isto é, com 𝑌𝑡 = 𝑌𝐼𝐶. Pela relação IS, a taxa neutra de juros 
satisfaz, em cada período de tempo 𝑡 (𝑡 ≥ 1): 
𝑟𝑡 = 𝑟𝑆 + (
1
�̅�
) 𝜀𝑡
𝐷 = 𝑟𝑆 + (
1
�̅�
) 𝜌𝑡−1𝜀1
𝐷 
Onde utilizou-se que 𝜀𝑡
𝐷 = 𝜌𝑡−1𝜀1
𝐷 quando 𝑡 ≥ 1. Onde 𝑟𝑆 é a taxa neutra de juros 
quando não há choque de demanda. Ou seja, a taxa neutra de juros se reduz período 
a período e, no limite, quando 𝑡 → ∞, ela converge para 𝑟𝑆. 
 
 
 
Questão 2: (3,0 pontos) 
Seja o seguinte modelo em que há uma defasagem na curva de Phillips: 
Relação IS: 𝑌𝑡 = 𝑌𝐼𝐶 − �̅�(𝑟𝑡 − 𝑟𝑠) 
Curva de Phillips: 𝜋𝑡+1 − 𝜋𝑡 = 𝛼(𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶) 
 
Onde 𝑌𝑡 é o produto, 𝜋𝑡 é a taxa de inflação, 𝑟𝑡 é a taxa real de juros, 𝑌𝐼𝐶 é o produto de 
equilíbrio, 𝜋𝑇 é a meta de inflação, 𝑟𝑠 é a taxa neutra de juros, e �̅�e 𝛼 são coeficientes 
positivos. 
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a) Escreva a função perda do Banco Central e encontre a relação MR para esta 
economia resolvendo o problema de minimização da função perda do Banco 
Central. (1,0) 
b) Encontre a regra de taxa de juros para esta economia. (1,0) 
c) Compare a regra encontrada em (b) com a chamada regra de Taylor. (1,0) 
 
RESPOSTA 
 
a) Para ficar compatível com a curva de Phillips da economia, a função perda do 
Banco Central é: 
𝐿 = (𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶)
2 + 𝛽(𝜋𝑡+1 − 𝜋
𝑇)2 
Para encontrar a relação MR da economia, substitua a curva de Phillips na função perda, 
obtendo: 
𝐿 = (𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶)
2 + 𝛽(𝜋𝑡 + 𝛼(𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶) − 𝜋
𝑇)2 
O Banco Central escolhe 𝑌𝑡 de maneira a minimizar sua função perda, tomando 𝜋𝑡como 
dado. Resolvendo a condição de primeira ordem resultante, obtêm-se a relação MR da 
economia: 
𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶 = −𝛼𝛽(𝜋𝑡+1 − 𝜋
𝑇) 
b) Para encontrar a regra de taxa de juros da economia, substitua a Curva de Phillips 
na relação MR para eliminar 𝜋𝑡+1, obtendo-se: 
𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶 = −(
𝛼𝛽
1 + 𝛼2𝛽
) (𝜋𝑡 − 𝜋
𝑇) 
Substituindo na IS, obtemos a regra de taxa de juros: 
𝑟𝑡 = 𝑟𝑠 + (
𝛼𝛽
�̅�(1 + 𝛼2𝛽)
) (𝜋𝑡 − 𝜋
𝑇) 
c) A chamada regra de Taylor é uma regra de taxa de juros da forma: 
𝑟𝑡 = 𝑟𝑠 + 0.5(𝜋𝑡 − 𝜋
𝑇) + 0.5(𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶) 
Comparado com a regra de Taylor, a regra de taxa de juros obtida em (b) não responde 
ao hiato de produto. Note que o coeficiente 0.5 associado ao desvio da inflação pode 
ser obtido na regra de taxa de juros quando 𝛼 = 𝛽 = �̅� = 1. 
 
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Questão 3: (3,5 pontos) 
A função perda do Banco Central é: 
𝐿 = 𝜙(𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶 − 𝑘)
2 + (𝜋𝑡 − 𝜋
𝑇)2 
A curva de Phillips da economia é: 
𝜋𝑡 = 𝜋𝑡
𝑒 + 𝛼(𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶) 
Onde 𝑌𝑡 é o produto, 𝜋𝑡 é a taxa de inflação, 𝜋𝑡
𝑒 é a taxa esperada de inflação,𝑌𝐼𝐶 é o 
produto de equilíbrio, 𝜋𝑇 é a meta de inflação, e 𝜙 𝑘, e 𝛼 são coeficientes positivos. 
Há dois arranjos institucionais para a condução da política monetária. No primeiro, 
denominado de regras, a sequência de eventos é a seguinte: 
1. Governo anuncia qual é a taxa de inflação que irá implementar; 
2. Agentes formam suas expectativas de maneira racional; 
3. Produto da economia é determinado. 
Sob regras, o equilíbrio da economia ocorre com 𝜋𝑡 = 𝜋
𝑇 e 𝑌𝑡 = 𝑌𝐼𝐶. 
No segundo arranjo institucional, denominado de discrição, a sequência de eventos é a 
seguinte: 
1. Agentes formam suas expectativas de maneira racional; 
2. Governo anuncia qual é a taxa de inflação que irá implementar; 
3. Produto da economia é determinado. 
 
a) Encontre a relação MR, o produto, a inflação e o viés inflacionário no equilíbrio 
da economia sob discrição. (1,5) 
Uma possível solução para o viés inflacionário sob discrição é quando o Banco Central é 
submetido a um contrato de desempenho, em que é penalizado quando não cumpre 
seu objetivo. Suponha que, nesse caso, a função perda do Banco Central passa a ser: 
𝐿𝑐 = 𝜙(𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶 − 𝑘)
2 + (𝜋𝑡 − 𝜋
𝑇)2 + 𝜔(𝜋𝑡 − 𝜋
𝑇) 
Onde o termo 𝜔(𝜋𝑡 − 𝜋
𝑇) representa o contrato de desempenho, estipulando a 
punição imposta ao Banco Central caso ele não entregue a inflação na meta. 𝜔 é um 
parâmetro positivo. 
b) Para esta economia, encontre a relação MR, o produto, a inflação e o viés 
inflacionário no equilíbrio sob discrição. (1,0) 
c) Como o governo deve estabelecer o contrato de desempenho para eliminar o 
viés inflacionário mesmo no caso sob discrição? (1,0) 
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RESPOSTA: 
 
a) Sob discrição, o Banco Central toma as expectativas dos agentes como dadas. 
Assim, substituindo a curva de Phillips na função perda temos: 
𝐿 = 𝜙(𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶 − 𝑘)
2 + (𝜋𝑡
𝑒 + 𝛼(𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶) − 𝜋
𝑇)2 
O Banco Central escolhe 𝑌𝑡 de maneira a minimizar sua função perda, tomando 𝜋𝑡
𝑒 como 
dado. Resolvendo a condição de primeira ordem resultante, obtêm-se a relação MR da 
economia: 
𝜋𝑡 − 𝜋
𝑇 = −(
𝜙
𝛼
) (𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶 − 𝑘) 
Seja �̂�𝑡 a taxa de inflação anunciada pelo Banco Central para o período t. Combinando 
a relação MR acima com a curva de Phillips, �̂�𝑡 deve atender a seguinte expressão: 
(1 +
𝜙
𝛼2
) �̂�𝑡 = 𝜋
𝑇 +
𝜙
𝛼2
𝜋𝑡
𝑒 +
𝜙𝑘
𝛼
 
Como as expectativas são formadas racionalmente, temos que 𝜋𝑡
𝑒 = �̂�𝑡. Substituindo na 
expressão acima, determinamos a inflação para o período t: 
𝜋𝑡 = 𝜋
𝑇 +
𝜙𝑘
𝛼
 
A partir da curva de Phillips, obtemos que o produto da economia é 𝑌𝑡 = 𝑌𝐼𝐶 . 
Comparado com a solução sob regras, observamos que o viés inflacionário é positivo e 
igual a 
𝜙𝑘
𝛼
. 
b) Substituindo a curva de Phillips na função perda temos: 
𝐿𝑐 = 𝜙(𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶 − 𝑘)
2 + (𝜋𝑡
𝑒 + 𝛼(𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶) − 𝜋
𝑇)2 + 𝜔(𝜋𝑡
𝑒 + 𝛼(𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶) − 𝜋
𝑇) 
O Banco Central escolhe 𝑌𝑡 de maneira a minimizar sua função perda, tomando 𝜋𝑡
𝑒 como 
dado. Resolvendo a condição de primeira ordem resultante, obtêm-se a relação MR da 
economia: 
𝜋𝑡 − 𝜋
𝑇 = −(
𝜙
𝛼
) (𝑌𝑡 − 𝑌𝐼𝐶 − 𝑘) − 𝜔 
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Seja �̂�𝑡 a taxa de inflação anunciada pelo Banco Central para o período t. Combinando 
a relação MR acima com a curva de Phillips, �̂�𝑡 deve atender a seguinte expressão: 
(1 +
𝜙
𝛼2
) �̂�𝑡 = 𝜋
𝑇 +
𝜙
𝛼2
𝜋𝑡
𝑒 +
𝜙𝑘
𝛼
− 𝜔 
Como as expectativas são formadas racionalmente, temos que 𝜋𝑡
𝑒 = �̂�𝑡. Substituindo na 
expressão acima, determinamos a inflação para o período t: 
𝜋𝑡 = 𝜋
𝑇 +
𝜙𝑘
𝛼
− 𝜔 
A partir da curva de Phillips, obtemos que o produto da economia é 𝑌𝑡 = 𝑌𝐼𝐶 . 
Comparado com a solução sob regras, observamos que o viés inflacionário é igual a 
(
𝜙𝑘
𝛼
− 𝜔). Como 𝜔 é um parâmetro positivo então o viés inflacionário é menor quando 
o Banco Central é submetido ao contrato de desempenho. 
c) Basta que o Banco Central estabeleça o valor do parâmetro de desempenho 𝜔 
tal que: 𝜔 =
𝜙𝑘
𝛼
. Nesse caso, teremos 𝜋𝑡 = 𝜋
𝑇 , ou seja, elimina-se o viés 
inflacionário.