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Cap ´ \u0131tulo 1 Represen ta¸ c \u02dc ao can\u02c6 onica 8 de dezem bro de 2009 1 In tro du¸ c\u02dc ao Flutua¸ c\u02dc oes t ´ ermicas A teoria at\u02c6 omico-molecular nos ensina que um corp o macrosc´ opic o ´ e for- mado p or um n´ umero imens o de unidades constitutiv as microsc´ opicas. O ar atmosf ´ erico con\ufb01nado n um bal\u02dc ao, a ´ agua em ebuli¸ c\u02dc ao den tro de uma c haleira assim como o v ap or d\u2019´ agua que de la emerge s\u02dc ao comp ostos p or in´ umeras mol ´ eculas. Um pequeno diaman te ou um frag men to de quartzo s\u02dc ao cons- titu ´ \u0131dos p or um n ´ u mero enorme de ´ atomos. Cada tip o de unidade cons- titutiv a ´ e caracterizado p or propriedades que o distingue dos outros tip os. Um racio cinio ing \u02c6 en uo nos lev aria a imaginar que as propriedades dos corp os macrosc´ opicos s\u02dc ao s implesmen te uma reprodu¸ c\u02dc ao das propriedades d as uni- dades constitutiv as. Na v erdade , as propriedades macrosc´ opicas, entre elas as propriedades t ´ ermicas, emergem devido ` as a¸ c\u02dc oes coletiv as dessas unida- des. Essas a¸ c\u02dc oes d\u02dc ao origem, p or exemplo, a distin tos tip os de ag rega¸ c\u02dc ao da mat ´ eria mesmo q ue as unidade s cons titutiv as s ejam do mesmo tip o. A ´ agua, o v ap or d\u2019´ agua e o gelo correspondem a distin tas formas de agrega¸ c\u02dc ao de um ´ u nico tip o mol ´ ecula. As propriedades macrosc´ opicas dos corp os s\u02dc ao en tendidas como conse- qu \u02c6 encia de leis es tat ´ \u0131sticas, que emergem devid o ` a ex ist \u02c6 encia de um grande n ´ u mero de unidades constitutiv as que comp\u02dc oem o corp o macrosc´ opico. Para melhor compreender o car´ ater estat ´ \u0131stico da s leis que d\u02dc ao origem ` as pro- priedades macrosc´ opicas, considere um g´ as con\ufb01nado nu m recipien te, em 1 equil ´ \u0131brio termo din\u02c6 amico. V amos imaginar no in terior do recipien te uma p e- quena regi\u02dc ao e examinar o n ´ ume ro de mol ´ eculas que se encon tram no seu in terior. Devido ao seu m o vimen to, as mol ´ eculas est\u02dc ao cons tan temen te en- trando e saindo da regi\u02dc ao. O n ´ umero de mol ´ eculas den tro da regi\u02dc ao ´ e p ortan to uma grandeza que \ufb02utua ao longo do tem p o. Entre tan to, o desvio do n ´ umero de mol ´ eculas de sua m ´ edia ´ e relativ amen te p equeno se o n ´ umero m ´ edio for grande. Da mesma forma, considere a press\u02dc a o que um g´ as exerce sobre as paredes do recipie n te que o con t ´ em. ´ E con v enien te lem brar que a press\u02dc ao ´ e o resultado do c ho que das mol ´ eculas com as paredes do recipien te. Como os c ho ques o correm de f orma aleat´ oria, a press\u02dc ao dev e ser considerada uma grandeza \ufb02utuan te. O desvio da press\u02dc ao em torno da m´ edia ´ e relativ amen te p equeno se o n ´ umero de mol ´ eculas for gra nde. ´ E preciso notar que as \ufb02utua¸ c\u02dc oes s\u02dc ao ineren tes a qualquer fen\u02c6 omeno natu- ral e o correm mesmo quando o n ´ umero de unidades constitutiv as for p equeno. Essas \ufb02utua¸ c\u02dc oes s\u02dc ao denominadas \ufb02utuac\u02dc oes t´ ermicas p ois, de acordo com a teoria cin ´ etica e a mec\u02c6 anica estat ´ \u0131stica, o calor ´ e uma grandeza asso ci- ada diretamen t e ` a ag ita¸ c\u02dc ao microsc´ opica das unidades constitutiv as. P ara a caracteriza¸ c\u02dc ao das propriedades termo din\u02c6 a micas dos corp os dev emos p or- tan to admitir que certas gra ndezas sejam \ufb02utuan tes . En tretan to, dev em os aceitar que nem to das as grandezas s\u02dc ao \ufb02utuan tes. ´ E pr´ oprio da mec\u02c6 anica estat ´ \u0131stica admitir que certas gr andezas s\u02dc a o de fa to tomadas como \ufb02utuan tes, e denominadas v ari´ a v eis a leat´ oria s, enq uan to outras, n\u02dc ao \ufb02utuan tes, funcio- nam como par\u02c6 ametros. A caracteriza¸ c\u02dc ao das v ari´ av eis aleat´ orias se f az em primeiro lugar atrav ´ es de sua m´ edia e em segundo lugar p or meio de sua v ari\u02c6 ancia. De fo rma mais completa, uma v ari´ ave l aleat´ o ria ´ e caracterizada p or sua distribui¸ c\u02dc ao de probabilidades. Distribui¸ c\u02dc ao de probabilidades As propriedades macrosc´ o picas dos corp os s\u02dc ao fun¸ c\u02dc oes do conjun to dos esta- dos em que p o dem ser encon tradas as unidades constitutiv as. P ara calcular a press\u02dc ao exercida p o r um g´ as sobre as paredes do recipien t e que o encerra ´ e necess ´ ario conhecer as velocidades e as p osi¸ c\u02dc oes de cada uma das mol´ eculas. Da mesma forma, a energia ´ e calculada a partir das v elo cidades e das p osi¸ c\u02dc oes das mol´ eculas. Nesses exemplos, a v elo cidade e a p osi¸ c\u02dc ao de uma mol ´ ecula de\ufb01nem o e stado dessa mol ´ ecula. O conjun to das v elo cidades e das p osi¸ c\u02dc oes de to das as mol ´ eculas constitui o estado do g´ as ou genericamen te o estado do sistema, ` a s v ezes denominado estado microsc´ opico para distinguir do es- 2 tado termodin\u02c6 amico, c hamado estado macrosc ´ opico. O conjun to de to dos os p oss ´ \u0131v eis estados de um sistema constitui o espa¸ co dos estados, denominado em mec\u02c6 anica cl´ assica de espa¸ co de fase. T endo em vista que o estado de um sistema determina to das as suas propriedades, a id´ eia de estado p ossui um pap el essencial na teoria que pre- tendemos apresen tar. Qualquer propriedade de um corp o dev e ser enten dida como uma fun¸ c\u02dc ao de estado e p ortanto pass ´ \u0131v el de c´ alculo a partir do estado, como ´ e o caso da energia ou da press \u02dc ao. As propriedades p ossuem car´ ater probabil ´ \u0131stico tendo em vista que a ocorr\u02c6 encia dos estados ´ e probabil ´ \u0131stica. Os v alores m ´ edios, as v a ri\u02c6 a ncias e, de forma geral, a distribui¸ c\u02dc ao de proba- bilidades das grandezas po der\u02dc a o se r calculados a partir da distribui¸ c\u02dc ao de probabilidades dos estados do s istema. Nossa tarefa inicial consiste po rtan to no estabelecimen to da distribui¸ c\u02dc ao de probabilidades relativ a ao estado do sistema, en tendid o como o conjunto dos estados das unid ades constitutiv as. Com a \ufb01nalidade de estab elecer a distribui¸ c\u02dc ao de probabilidades rela- tiv a aos estados, imaginamos um sistema constitu ´ \u0131do p or v´ arias unidades constitutiv a s in teragen tes con\ufb01nadas n uma regi\u02dc ao delimitada do es pa¸ co. Ad- mitimos que o sistema esteja sujeito ` as seguin tes condi¸ c\u02dc oes. A unidades constitutiv a s in teragem p or meio de for¸ cas c onserva tivas , o que p ossibilita a associa¸ c\u02dc ao de uma grandeza conserv ativ a denominada energia E r a cada estado r do s istema. O sistema est´ a em con tato com o exterior com o q ual tro ca ap enas energia. O sistema encon tra-se em equ ´ \u0131brio termodin\u02c6 amico com o exterior o que signi\ufb01ca que a energia do sistema \ufb02utua em torno de um v a lor m ´ edio que p ermanece in v arian te no temp o. O sistema in terage fracamen te com o exterior o que implica que as \ufb02utua¸ c\u02dc oes da energia s\u02dc ao p equenas rela- tiv amen te ao seu v a lor m ´ edio. Nessas condi¸ c\u02dc oes, admitimos como princ ´ \u0131pio fundamen tal que a probabilidade de encon trar o sistema no estado r dep ende de r ap enas atra v ´ es de E r e ´ e dada p or P r = 1 Z e \u2212 \u03b2 E r , (1) em que Z ´ e uma constan te de normaliza¸ c\u02dc ao e \u03b2 ´ e um par\u02c6 ametro que, como v erem os mais adian te, est´ a asso ciado ` a temp eratura absoluta T do s istema p or \u03b2 = 1 /k B T , em que k B ´ e a constan te de Boltzmann. A distribui¸ c\u02dc ao (1) ´ e denominada distribui¸ c\u02dc ao c an\u02c6 onic a de pr ob abilidades de Gibbs e ´ e v alida para sistemas c ujos estados formam um conjun to discreti- zado ou que p o dem ser discretiz ados. N\u02dc ao obstan te, ela p o de ser trivialmen te estendida para sistemas cujos estados formam um cont ´ \u0131n uo. P ara sistemas 3 qu\u02c6 anticos E r de v e ser en tendida como os autov alores do op erador hamilto- niano. P a ra sistem as cl´ assicos E r dev e ser en tendida como a hamiltoniana cl´ a ssica. A partir da normaliza¸ c\u02dc a o X r P r = 1 , (2) obt ´ em-se para Z a seguin te express\u02dc ao Z = X r e \u2212 \u03b2 E r , (3) que ´ e denominada fun¸ c\u02dc ao de p arti¸ c \u02dc ao c an\u02c6 onic a do sistema. Em bora in- tro duzida como um mero fator de normaliza¸ c\u02dc ao, v eremos que a fun¸ c\u02dc ao de parti¸ c\u02dc ao p ossui um pap el fundamen tal na determina¸ c\u02dc ao das propriedades termo din\u02c6 amicas. A asser¸ c\u02dc a o de que P r dep ende de r ap enas atrav ´ es de E r dev e ser en ten- dida como conseq u \u02c6 encia do princ ´ \u0131pi o da conserv a¸ c\u02dc ao da energia, que ´ e v ´ alido para o s istema em considera¸ c\u02dc ao j´ a que estamos admitindo que a s unidade s constitutiv a s in teragem atra v ´ es de for¸ cas conserv ativ as . Embora tenha sido in tro duzida como princ ´ \u0131pio, a a\ufb01rma¸ c\u02dc ao p o de ser en tendida da seguin te ma- neira. Sup onha que n um certo instan te o sistema tenha uma certa energia E e que nos instan tes seguin tes n\u02dc ao tr o que energia com o exter ior Durante esse in terv alo de temp o, a energia p ermanece in v arian te em b o ra o sisema passe p or v´ arios estados, isto ´ e, o sistema p ercorre estados distin tos mas com a mesma ene rgia E . Os estados r de mesm a energia E n\u02dc ao p o dem ser distin- guidos quan to ` a sua o corr\u02c6 encia e p ortando ´ e razo´ av el supor que dev em ter a mesma probabilidade. Equiv alentem en te, p o demos dizer que os estados r tais que E r = E s\u02dc ao igualmen te pro v´ a v eis. A distribui¸ c\u02dc ao can\u02c6 onica po ssui a propriedade de fatoriza¸ c\u02dc ao v´ alida quando a energia for separ´ av el. Sup onha que o estado r seja formado p or dois con- jun tos de v ari´ av eis x e y e que E r = E A x + E B y seja a soma de duas parcelas, E A x e E B y , tais que a primeira dep enda ap enas de x e a segunda ap enas de y , propriedade que denom inamos separabilidade. A substitui¸ c\u02dc ao de E r em (1) nos p ermite concluir que x e y s\u02dc ao v ari´ ave is aleat´ orias indep enden tes com distribui¸ c\u02dc oes dadas p or P A x = 1 Z A e \u2212 \u03b2 E A x e P B y = 1 Z B e \u2212 \u03b2 E B y , (4) 4 e s\u02dc ao tais que P r = P A x P B y . P ortan to, se os estados de um sistema tiv erem a propriedade de separabilidade a distribui¸ c\u02dc ao de probabilidade se fatoriza; cada fator constituindo uma distribui¸ c\u02dc ao de probabilidades que tamb ´ em ´ e can\u02c6 onica. A fun¸ c\u02dc ao de parti¸ c\u02dc ao ta m b ´ em se f atoriza. Essa propriedade p o de ser estendida trivialmen te para um n´ umero qualqu er de conjun tos de v a ri´ aveis separ´ aveis . Distribui¸ c\u02dc ao de Maxw el l Considere um sistema constitu ´ \u0131do p or mol ´ eculas interagen tes como, p or exem- plo, um g´ as ou um l ´ \u0131quido. A energia total do sistema p o de ser tomada como a soma das energias cin ´ eticas de transla¸ c\u02dc ao de cada mol ´ ecula e de uma par- cela restan te. Cada mol ´ ecula p ossui uma energia ci n ´ etica de transla¸ c\u02dc ao dada p or E = m 2 ( v 2 x + v 2 y + v 2 z ) , (5) em que m ´ e a massa da mol´ ecula e ~ v = ( v x , v y , v z ) a vel o cidade da mol´ ecula ou, mais propriamen te, do cen tro de massa da mol ´ ecula. A parcela restan te da energia total ´ e constitu ´ \u0131da p elas energias cin ´ eticas de rota¸ c\u02dc ao e energia p otencial. Ela dep ende de certas v ari´ av eis que denominamos v ari´ av eis inte r- nas mas n\u02dc ao dep ende das ve lo cidades dos cen tros de massa das mol´ eculas. Esse aspecto nos p ermite dizer que a energia t otal p ossui a propriedade de separabilidade en tre as v elocidades do cen tro de mas sa e as v ari´ ave is in ternas. As v elocidades dos cen tros de massa das mol´ eculas p o dem ser en t\u02dc ao en ten- didas como v ari´ av eis aleat´ o rias indep enden tes en tre si e indep enden tes das v ari´ av eis in ternas, p ossuindo densidade de probabilidade \u03c1 ( v x , v y , v z ) dada p or \u03c1 = 1 A e \u2212 \u03b2 m ( v 2 x + v 2 y + v 2 z ) / 2 , (6) que ´ e a distribui¸ c\u02dc ao de probabilidades de Maxw ell das v elo cidades das mol´ eculas de um sistema em equil ´ \u0131brio termo din\u02c6 amico. A densidade de probabilidade \u03c1 est´ a normalizada de acordo com Z \u03c1 dv x dv y dv z = 1 , (7) de mo do que A v a le A = Z e \u2212 \u03b2 m ( v 2 x + v 2 y + v 2 z ) / 2 dv x dv y dv z . (8) 5 0 1 2 3 4 5 v / v r 0 0.1 0.2 0.3 \u03c1 v Figura 1: Distribui¸ c\u02dc ao de Maxw ell relativ a ao m´ odulo da v elocidade v . A distribui¸ c\u02dc ao \u03c1 v ´ e apresen ta da como fun¸ c\u02dc ao de v /v r em que v r = 1 / \u221a \u03b2 m . A in tegra¸ c\u02dc ao em cada comp onen te v x , v y e v z se estende de menos a mais in\ufb01nito e ela se reduz ao c´ alculo de tr\u02c6 es inte grais gaussianas A = Z \u221e \u2212\u221e e \u2212 \u03b2 mv 2 x / 2 dv x Z \u221e \u2212\u221e e \u2212 \u03b2 mv 2 y / 2 dv y Z \u221e \u2212\u221e e \u2212 \u03b2 mv 2 z / 2 dv z , (9) cujo resultado ´ e A = 2 \u03c0 \u03b2 m ! 3 / 2 (10) e p ortanto \u03c1 = \u03b2 m 2 \u03c0 ! 3 / 2 e \u2212 \u03b2 m ( v 2 x + v 2 y + v 2 z ) / 2 , (11) que ´ e a distribui¸ c\u02dc ao de Maxw ell normalizada. P ara obter a distribui¸ c\u02dc ao \u03c1 1 ( v x ) relativ a a v x basta in tegrar \u03c1 nas outras duas v ari´ av eis, \u03c1 1 = Z \u03c1dv y dv z = \u03b2 m 2 \u03c0 ! 1 / 2 e \u2212 \u03b2 mv 2 x / 2 , (12) 6 que ´ e uma gaussiana de m ´ edia zero e v ari\u02c6 a ncia h v 2 x i = 1 \u03b2 m = k B T m . (13) Resultado an´ alogo ´ e v alido para os o utros comp onen tes cartesianos o que nos lev a ao seguin te resultado m 2 h v 2 x i = m 2 h v 2 y i = m 2 h v 2 z i = 1 2 \u03b2 = k B T 2 , (14) do qual conclu ´ \u0131mos que a energia cin ´ etica m ´ edia de transl a¸ c\u02dc ao das mol ´ eculas v ale m 2 h v 2 i = m 2 h v 2 x + v 2 y + v 2 z i = 3 2 \u03b2 = 3 k B T 2 . (15) P ara obter a distribui¸ c\u02dc ao das ve lo cidades em comp onen tes esf ´ ericas \u02c6 \u03c1 ( v , \u03b8 , \u03c6 ), partimos da igualdade \u02c6 \u03c1 dv d\u03b8 d\u03c6 = \u03c1 dv x dv y dv z . (16) Mas dv x dv y dv z = v 2 sin \u03b8 dv d\u03b8 d\u03c6 , de mo do que \u02c6 \u03c1 = \u03b2 m 2 \u03c0 ! 3 / 2 v 2 sin \u03b8e \u2212 \u03b2 mv 2 / 2 . (17) A distribui¸ c\u02dc ao de probabilidades \u03c1 v ( v ) do m ´ odulo da v e lo cidade ´ e alcan¸ cado p ela integra¸ c\u02dc ao em \u03b8 e \u03c6 , \u03c1 v = 4 \u03c0 \u03b2 m 2 \u03c0 ! 3 / 2 v 2 e \u2212 \u03b2 mv 2 / 2 , (18) mostrada na \ufb01gura 1. 2 T erm o din\u02c6 amica Energia in te rna e trabalho A primeira lei da termo din\u02c6 amica declara que o a v aria¸ c\u02dc ao da energia in tern a U en tre os estados inicial e \ufb01nal de u m pro cesso quase est´ atico ´ e igual ao 7 calor introduzido Q no sistema menos o trabalho realizado W p elo sistema ao longo do pro cesso. Em f orma diferencial ela ´ e escrita como dU = dQ \u2212 dW . (19) Mostramos a s eguir de que m aneira essa equa¸ c\u02dc ao p o de se r obtida a partir da distribui¸ c\u02dc ao can\u02c6 onica de probabilidades. A energia m ´ edia ou energia in terna U de um sistema se obt´ em p or meio de U = h E r i = X r E r P r . (20) Substituindo a express\u02dc ao (1) em (20) obtemos U = 1 Z X r E r e \u2212 \u03b2 E r , (21) que p o de ser escrita na seguin te forma U = \u2212 1 Z X r \u2202 \u2202 \u03b2 e \u2212 \u03b2 E r = \u2212 1 Z \u2202 \u2202 \u03b2 X r e \u2212 \u03b2 E r = \u2212 1 Z \u2202 \u2202 \u03b2 Z, (22) ou seja, U = \u2212 \u2202 \u2202 \u03b2 ln Z . (23) Essa f´ ormula permite a determina¸ c\u02dc ao da energia m ´ edia a partir da fun¸ c\u02dc ao de parti¸ c\u02dc ao Z . Sup onha ago ra que a energia E r do estado r dependa de um ou mais par\u02c6 ametros de natureza mec\u02c6 anica. P or simplicidade consideramos ap enas um par\u02c6 ametro que denotamos p or \u03bb . Supo nha ainda que esse par\u02c6 ametro p ossa ser v ariado con tin uamen te acarretando uma mo di\ufb01ca¸ c\u02dc ao tam b ´ em cont ´ \u0131n ua da energia E r . A v aria¸ c\u02dc ao in\ufb01nitesimal de E r decorren te de v aria¸ c\u02dc oes in\ufb01ni- tesimais do par\u02c6 ametro \u03bb , man tendo in v ariante o estado microsc´ opico, ´ e dada p or dE r = \u2202 E r \u2202 \u03bb d\u03bb, (24 ) que iden ti\ufb01camos com o tr abalho macrosc´ opico realizado sobre o sistema man tendo o mesmo estado r . A v aria¸ c\u02dc ao in\ufb01nitesimal na energia E r que n\u02dc ao acarreta m udan¸ ca no estado microsc´ opico se identi\ufb01 ca com o tr abalho in\ufb01nitesimal macrosc´ opico realizado sobre o sistema. Denotando p o r dW r 8 o trabalho realizado p elo sis tema duran te a p erman \u02c6 encia no estado r en t\u02dc a o dW r = \u2212 dE r . D e\ufb01nindo a v ari´ av el \u03c6 r po r \u03c6 r = \u2212 \u2202 E r /\u2202 \u03bb , ent\u02dc ao dW r = \u2212 dE r = \u03c6 r d\u03bb. (25) Lev ando em con ta que o estado r o corre com probabilidade P r , o trabalho in\ufb01nitesimal realizado pelo sistema dev e ser tomado apropriadamen te como a m ´ edia dW = X r P r dW r = \u2212 X r P r dE r = X r \u03c6 r P r d\u03bb. (26) De\ufb01nindo a grandeza \u03c6 , conjugada de \u03bb como a m ´ edia de \u03c6 r , \u03c6 = X r \u03c6 r P r , (27) en t\u02dc ao o trabalho in\ufb01nitesimal p o de ser escrito na fo rma dW = \u03c6d\u03bb. (28) Calor e en tropia Agora, a partir da energia m´ edia U , dada p or (20), obtemos a seguin te ex- press\u02dc ao para a v aria¸ c\u02dc ao in\ufb01nitesimal da energia m ´ edia dU = X r E r dP r + X r P r dE r . (29) Como visto acima, a segunda parcela se iden ti\ufb01c a com o trabalho in\ufb01nitesimal \u2212 dW . T endo em vista que dU = dQ \u2212 dW . Logo a primeira parcela dev e ser iden ti\ufb01cada com o calor in\ufb01nitesimal dQ , ou seja, dU = dQ \u2212 dW , (30) em que dQ = X r E r dP r , (31) p ois na aus \u02c6 encia de tr abalho o calor tra nsferido ao sis tema iden ti\ufb01ca-se com a v aria¸ c\u02dc ao da energia in terna. T omando o logaritmo de a m bos os lados da equa¸ c\u02dc ao (1) e isolando E r , obtemos E r = \u2212 1 \u03b2 (ln P r + ln Z ) , (32) 9 que substitu ´ \u0131do em (31 ) resulta na seguin te express\u02dc ao para dQ dQ = \u2212 1 \u03b2 d X r P r ln P r ! . (33) Na dedu¸ c\u02dc ao dessa express\u02dc ao lev amos em con ta que X r dP r = 0 , (34) j´ a que a distribui¸ c\u02dc ao de probabilidades P r est´ a normalizada e usamos ainda a iden tidade X r d ( P r ln P r ) = X r (ln P r ) dP r . (35) Como, de acordo com a termo din\u02c6 amica, o calor in\ufb01nitesimal est´ a relaci- onado com a temp eratura absoluta T e a en tropia S p or meio da rela¸ c\u02dc ao dQ = T dS, (36) en t\u02dc ao comparando as express\u02dc o es (33 ) e ( 36) conclu ´ \u0131mos que o par\u02c6 ametro \u03b2 ´ e in v ersamen te prop orcional ` a temp eratura T , isto ´ e, \u03b2 = 1 k B T , (37) e que a soma en tre par\u02c6 en teses ´ e prop orcional ` a en tropia S , ou seja S = \u2212 k B X r P r ln P r , (38) em que escolhemos a constan t e de in tegra¸ c\u02dc ao de mo do que S seja n ula quando um dos P r for igual ` a unidade. A constante de prop orcionalidade k B ´ e deno- minada constan te de Boltzmann. Se to dos os estados f orem igualmen te prov´ av eis, isto ´ e, se P r = 1 / \u2126 em que \u2126 ´ e o n ´ umero dos estados igualmen te acess ´ \u0131v eis ent\u02dc ao a express\u02dc ao acima resulta em S = k B ln \u2126 . (39) Ou seja, a en tropia ´ e prop orcional ao n ´ umero de estados acess ´ \u0131v eis. Essa in terpreta¸ c\u02dc ao da en tropia, impl ´ \u0131cita na equa¸ c\u02dc ao (39), ´ e devida a Boltzmann e ´ e denominada interpre ta¸ c\u02dc ao probabil ´ \u0131stica da en tropia. 10

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