ELETROM 2ab Carga e Força e Distrib de Carga e Campo

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CAPÍTULO 2
INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas
CC: Eletromagnetismo: Prof. Nilton Cardoso da Silva
ESTUDO BASEADO NO LIVRO ELETROMAGNETISMO de WILLIAM HAYT ; W, 1993
Charles Augustin Coulomb ( 1736 a 1806)
Como as Forças elétricas F dependem das cargas 
Q1 e Q2 e das distâncias R12entre elas
AULA 03: LEI DE COULOMB
Cargas Discretas
Q1
Q2
cargas 
elétricas
R12
Distância
a12
VersorF = --------.-------.a12
4.pi.ε R122
1 Q1.Q2
Constante 
dielétrica do meio
F
F
AULA 03: LEI DE COULOMB
Constante dielétrica do vácuo
k = -------- = 8,987 x 109 N.m2/C2
4.pi.ε0
1
ε = ε0 = 8,854x10-12 C2/N.m2
Assim a equação da força elétrica F é dada por
F = -------.a12
R122
Q1.Q2
k
Cargas Discretas
AULA 03: LEI DE COULOMB
Q1 F2R12 =r2-r1
r1 r2
Q2a12
F = -------.--------.a1214.pi.ε0
Q1. Q2
R122
a12 = ------.R12. |R12|
Cargas Discretas
i=ax
j=ay
k=ak
R12=|R12I= x + y +z2 2 2R12 = =(xi+yj+zk) xi+yj+zk
x=x2-x1 y=y2-y1 z=z2-z1
r1=x1i-y1j-z1k
r2=x2i+y2j+z2k
AULA 03: LEI DE COULOMB
F = -------.--------.a1214.pi.ε0
Q1. Q2
|R12|2 a12 = ------.R12. |R12I
Cargas Discretas
Ex 0) Determine a força F entre duas cargas 
pontuais sendo Q1=3x10 [C] e Q2=-10 [C] situadas 
nas seguintes posições: r1(1,2,3) e r2(2,0,5)
-4
-4
R12= r2-r1 = (2i,0j,5k) - (1i,2j,3k) = (2-1)i,(0-2)j,(5-3)k
R12= 1i,-2j,2k
AULA 03: LEI DE COULOMB
Cargas Discretas
R12= 1i ;-2j ;2k
R12=|R12I = 1 +2 +2 = 32 2 2
a12 = ------ =R12. 
R12
1i ;-2j ;2k
2 2 2
1 +2 +2
--------------
a12 = 1i ;-2j ;2k
3
-----------
AULA 03: LEI DE COULOMB
Cargas Discretas
F = -------.--------.a1214.pi.ε0
Q1. Q2
R122
F = -------.------------.14.pi.ε0
3x10. (-10 )
9
(1i ;-2j ;2k)
3-----------
-4 -4
-10i ;20j ;-20kF12 = 10i ;-20j ;20kF21=
AULA 03: Lei de Coulomb: Cargas Distribuídas
Q q
Ex 1) Determine a força F entre um fio de 
comprimento L carga uniformemente distribuída Q
e uma carga pontual q situada a uma distância a
como na figura abaixo
dF
a
Assim a equação da força elétrica elementar F
dependerá da integração espacial de cada 
elemento dQ de cada pedaço dr tão pequeno 
quanto se queira para o fio
L
r
dQ
dr
Q=Q1
q=Q2
AULA 03: LEI DE COULOMB
Aplicada em cargas distribuídas
dF
dQ
dq
dF = -----------.a12
r2
k dQ.dq
F = -----------.a12
r2
k dQ.dq
r = R12a12
Cargas Distribuídas
Assim a equação da força elétrica F é dada por
r = | r |=|R12|
AULA 03: LEI DE COULOMB
Q q dF
a
Assim a equação da força elétrica elementar dF de 
cada elemento dQ pequeno do fio é dada por
dF = -----------.ar
r2
k dQ .q
L
dr
r
dQ
Cargas Distribuídas
AULA 03: LEI DE COULOMB
Q q dF
dQ
a
A parte elementar dQ pode ser determinada pela 
densidade de carga dQ/dr
----- = ----
dQ Q 
dr L
L
dr
r
dQ = Q.dr---------------
L
Cargas Distribuídas
AULA 03: LEI DE COULOMB
Força e fazendo a substituição e 
considerando as condições de contorno
dF = -----------.ar
r2
k dQ.q
dF = -----------.ar
L r2
k.Q.q. dr
dQ = Q.dr---------------
L
a ≤ r ≤ (L+a) F = -------- ---.ar
L r2
k.Q.q. dr
a
(L+ a)
Cargas Distribuídas
AULA 03: LEI DE COULOMB
F = -------- ---.i
L r2
k.Q.q. dr
a
(L+ a)
F = -------- ---. i
L r
k.Q.q. -1
a
(L+ a)
L a
k.Q.q. 1 1
(L+ a)
F = -------- --- - ------- i
L a
k.Q.q. L
(L+ a)
= -------- ----------- i
k.Q.q
a (L+ a)F = ---------- i
Solução Final
Cargas Distribuídas
AULA 03: LEI DE COULOMB
Intensidade de Campo Elétrico
Q1 ERR12 =r2-r1
r1 r2
Q2a12
i=ax
j=ay
k=ak
ER = ---- = -------.-----.a1214.pi.ε0
Q1
R122
FR
Q2
AULA 03: LEI DE COULOMB
Intensidade de Campo
ER = -------.-----.a1214.pi.ε0
Q1
R122
R12=|R12I= x + y +z2 2 2
a12 = ------ =R12
R12
xi ;-yj ;zk
2 2 2
x + y + z
--------------
R12
= =(xi -yj+zk) xi -yj+zk
AULA 03: LEI DE COULOMB
Intensidade de Campo
ER = -------.-----.a1214.pi.ε0
Q1
R122
x
------------
y
2 2 2x + y +z
--------------
z
--------------j+i+ kER = kQ1-----------
2 2 22 2 2 x + y +zx + y +zx +y +z 22 2
Não mostra a natureza simples do Campo 
$ de resolver o Sistema de coordenada 
esférica em coordenada cartesiana
AULA 03: LEI DE COULOMB
Intensidade de Campo
ER = -------.-----.a121
4.pi.ε0
Q1
R122
ER = -------.----- .14.pi.ε0
Q1
R122
------
R12
R12
R12 = (r – r’) 
ER = -------.------- .14.pi.ε0
Q1 2 --------(r – r’) 
(r – r’) 
|r – r’| = -----------------4.pi.ε0
Q1
3
(r – r’) 
|r – r’| 
AULA 03: LEI DE COULOMB
Campo de n cargas pontuais
rr––rr11
rr––rr22
rr22
QQ22
rr11
QQ11
r r 
aa22
aa11 EE11
EE(r) (r) 
EE2 2 
z z 
x x 
y y 
PP
Encontre o 
campo elétrico 
vetorial de 
duas cargas 
pontuais no 
espaço R3 
AULA 03: LEI DE COULOMB
Campo de n cargas pontuais
Campo devido a uma distribuição volumétrica de carga
Z=4(Cm)
Z=2(Cm)
ρv=-5e (µC/m )-10 ρz
5
z
x
y
3
ρ=1(Cm)
[C/m3]5
Contribuição 
dE = dEz+ dEρ
Produzida por 
uma caga
dQ=ρ*dL a 
uma distância 
L da Origem
Campo de uma linha de carga
Integrando por tabela de integração
Campo de uma linha de carga
Opção 1
θ
y
R
L
ρρL
dQ
dL
Campo de uma linha de carga
Opção 1
Opção 2 – usando o ângulo como variável de 
integração
L = ρ. cotg(θ)
θ
y
R
L
ρρL
dQ,dL
cotg(θ) = L /ρ
dL = -ρ.cosec(θ) .dθ
Opção 3
dq=ρv.dv=ρl.dl
Opção 3
R
R
aR
E
Opção 3
Lei de Gauss
Trabalhoso
2 integrais
6 -Campo de uma superfície plana de carga
Campo de uma superfície plana de carga
Campo de duas superfícies plana de carga
Dependendo do lado
−ρs+ρs
x>a
a0
x
0<x<a
7 - Linhas de Força e esboço de campos
7 - Linhas de Força e esboço de campos
As linhas de campos são recomendadas para campos 
no plano. Fora do plano é complicado representá-
las
Ez=0 => linhas no plano z
O conhecimento formal de Ex e Ey estão implicadas 
num ponto genérico, (com a habilidade de resolver 
a equação diferencial resultante) permitem chegar 
as equações das linhas de forças 
ρL = 2piε0
Exemplo: Seja uma distribuição de cargas
Produzindo o campo
Em coordenadas cartesianas
Y =Cx