Slides de Mecanica para Engenharia 03 e 04 02 03 2018

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Aula 04 - Forças no Espaço_R0.pdf
Aula 4: Mecânica para Engenharia 
 
FORÇAS NO ESPAÇO 
Profº Jodilson Amorim Carneiro 
Aula 4: Mecânica para Engenharia 
FORÇAS NO ESPAÇO 
Sistemas de Força Tridimensional 
Para equilíbrio de um ponto material é necessário: 
Quando as forças estivem decompostas em seus 
componentes i, j, k teremos: 
Para garantia do equilíbrio é 
necessário satisfazer as 
equações escalares: 
 F = 0 
 Fxi +  Fyj +  Fzk = 0 
 Fxi = 0  Fyj = 0  Fzk = 0 
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FORÇAS NO ESPAÇO 
• Até o momento consideramos apenas forças 
em duas direções. 
• Sistemas reais são tridimensionais. 
• Devemos escrever a força em suas três 
coordenas cartesianas x, y e z. 
 
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FORÇAS NO ESPAÇO 
• Considere a força atuando na 
origem O do sistema de 
coordenadas retangulares x, y, 
e z. 
• Traçamos um plano OBAC 
contendo F, que passa pelo 
eixo vertical y. 
• Sua orientação é dada pelo 
ângulo φ, que ele forma com o 
plano xy. 
 
Direção da força definida pelos ângulos qy e φ 
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FORÇAS NO ESPAÇO 
• A direção de F no plano é 
definida pelo ângulo θy que 
F forma com o eixo y. 
• A força F pode ser 
decomposta em uma 
componente Fy e uma 
componente horizontal Fh. 
 
yy FF qcos

 yh senFF q


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FORÇAS NO ESPAÇO 
• Fh pode ser decomposta em 
duas componentes 
retangulares Fx e Fz. 
• Desta forma, obtemos as 
seguintes expressões para 
as componentes escalares 
coshx FF


yy FF qcos


senFF hz


yh senFF q


q cosyx senFF


q sensenFF yz


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FORÇAS NO ESPAÇO 
22222 )()()(
2
hy FFBAOBOAF 
222
zyx FFFF 
222222 )()()( zx FFDCODOCFh 
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Problema 01 
Determine: a) as componentes x, y e z da força de 
750 N e 900 N, b) os ângulos qx, qy e qz que a 
força forma com os respectivos eixos coordenados 
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Problema 02 
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• Solução: 
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FORÇAS NO ESPAÇO 
• Podemos também obter as 
componentes cartesianas de F pelos 
ângulo que F forma com sua 
componentes pelas relações. 
xx FF qcos


yy FF qcos


zz FF qcos


Direção da força definida pelos ângulos qx, qy e qz 
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FORÇAS NO ESPAÇO 
• Introduzindo os vetores i, j, e k 
 
que podemos substituir por 
kFjFiFF zyx
ˆˆˆ 

)ˆcosˆcosˆ(cos kjiFF zyx qqq 

kji zyx
ˆcosˆcosˆcos qqq 
1222  zyx 
1coscoscos 222  zyx qqq
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Problema 03 
• Uma força de 500N forma ângulos de 60°, 45° e 
120°, respectivamente, com os eixos x, y e z. 
Encontre as componentes Fx, Fy e Fz da força. 
 
 
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FORÇAS NO ESPAÇO 
 
• O vetor força F pode ser definida por suas 
coordenadas. 
),,( 121212 zzyyxxF 

Direção da força definida pelas coordenadas 
de dois pontos 
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• O vetor força F pode ser reescrito como 
 
• E seu vetor unitário λ será 
 
 
• Então os componentes escalares de F são 
 
 
• Onde 
)ˆ,ˆ,ˆ( kdjdidF zyx

d
kdjdid
F
F zyx )
ˆ,ˆ,ˆ(



d
Fd
F
d
Fd
F
d
Fd
F zz
y
y
x
x  ,,
222
zyx dddd 
FORÇAS NO ESPAÇO 
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Adição de Forças concorrentes no Espaço 
• A resultante de duas ou mais forças no espaço será 
determinada somando-se seus componentes 
retangulares. 
 
 
 de onde se conclui que 
 
    kFjFiFFFFFF RzRyRxRzRyRxR ˆˆˆ

zRzyRyxRx
FFFFFF  

,,
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Adição de Forças 
concorrentes no Espaço 
• A intensidade e os ângulo da resultante e os eixos 
são 
222
RzRyRxR FFFF 
F
F
F
F
F
F Rz
z
Ry
y
Rx
x  qqq cos,cos,cos
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FORÇAS NO ESPAÇO 
Vetor unitário. 
considerando o conjunto de três 
vetores deslocamentos localizados 
ao longo das arestas do 
paralelepípedo abaixo determine: 
As componentes retangulares de AB 
As componentes retangulares 
unitárias de AB 
As componentes retangulares de F, 
considerando que seu módulo vale 
100 N. 
Coordenadas do pontos: 
 
 
A ( 6 , 2, 3 ) 
B (16, 3, -7) 
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Exemplo 04 
• O mastro rígido com 
barras cruzadas é 
suportado pelos três 
cabos mostrados. Um 
tensionador em D é 
apertado até induzir uma 
força trativa T de 1,2 kN 
em CD. Expresse T como 
um vetor. 
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Problema 03 
 Um cabo de sustentação de 
uma torre está ancorado por 
meio de um parafuso em A. 
A tração no cabo é 2500N. 
Determine (a) os 
componentes Fx, Fy e Fz da 
força que atua sobre o 
parafuso, e (b) os ângulos 
θx, θy e θz que definem a 
direção da força. 
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Problema 04 
 Uma seção de um muro de 
concreto pré-moldado é 
temporariamente segura 
pelos cabos mostrados. 
Sabendo que a tração é 
3780N no cabo AB e 5400N 
no cabo AC, determine a 
intensidade e a direção da 
resultante das forças 
exercidas pelos cabos AB e 
AC na estaca A. 
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Problema 05 
 
 Três cabos são usados 
para suportar a luminária 
de 800N. Determine a 
força desenvolvida em 
cada cabo para a 
condição de equilibrio. 
Aula 03 - Equilibrio de um Ponto Material_2018 1 R2 [Modo de Compatibilidade].pdf
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Equilíbrio de um Ponto Material Equilíbrio de um Ponto Material 
Profº Jodilson Amorim Carneiro
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Equilíbrio de um Ponto Material
• A estática esta relacionada
principalmente com a
descrição das condiçõesdescrição das condições
necessárias e suficientes
para manter o equilíbrio
de forças em estruturas de
engenharia.
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Equilíbrio de Forças
• Quando a resultante de
todas as forças que
atuam sobre uma
partícula é igual a zero, apartícula é igual a zero, a
partícula está em
equilíbrio.
1ª Lei de Newton
O corpo encontra-se em repouso (parado) ou em movimento 
com velocidade constante.
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Equilíbrio de Força
• Para manter o equilíbrio, é necessário satisfazer a
primeira lei do movimento de Newton, segundo a
qual a força resultante que atua sobre a partícula équal a força resultante que atua sobre a partícula é
igual a zero.
0
rr
=∑F
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Diagrama de Corpo Livre
• Devemos representar todas
as forças conhecidas e
desconhecidas que atuamdesconhecidas que atuam
sobre a partícula.
• A partícula deve ser
pensada de forma isolada e
“livre” do seu entorno.
Diagrama de corpo livre Triângulo de forças
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Diagrama de Corpo Livre
• O comprimento de uma mola
varia em proporção direta à
força que atua sobre ela.
Molas
xkF
rr
−=força que atua sobre ela. xkF −=
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Diagrama de Corpo Livre
• Exemplo: para a mola de comprimento inicial igual a
40 cm e constante igual a 500N/m, determine a força
necessária para deixá-la com comprimento de 60 cm.
)4,06,0(*500
/500
4,00
−=
=
=
=
F
xkF
mNk
ml
r
rr
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Exemplo 01
• Exemplo: A esfera da figura tem massa de 6Kg e
está apoiada como indicado na figura abaixo.
Desenhe o diagrama de corpo livre da esfera, da
corda CE e do nó em C.
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Solução
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Exemplo 01
Determine o comprimento da corda AC da figura baixo, de 
modo que a luminária seja suspensa na posição mostrada. 
Comprimento não deformado da mola AB é lAB=0,40 m e a 
mola tem rigidez kAB= 300 N/m.AB
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Diagrama de Corpo Livre
• Cabos e Cordas têm massa
desprezível e não esticam.
• Cabos e Cordas suportam
Polias e Cabos
• Cabos e Cordas suportam
apenas uma força
de tração ou
“puxão”.
• Cabos e Cordas passam por
polias sem que aja atrito.
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Polias e Cabos
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Exemplo 02
Considere o caixote de 75Kg mostrado no
diagrama espacial da figura. Esse caixote se
encontrava entre dois edifícios, e agora está sendo
carregado em um caminhão, que irá removê-lo. O
caixote é sustentado por um cabo vertical, quecaixote é sustentado por um cabo vertical, que
está fixado em A as duas cordas que passam por
roldanas presas aos edifícios
em B e C. Deseja-se
determinar a tração em
cada uma das cordas AB e
AC.
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Exemplo 03
• Numa operação de descarregamento de um navio,
um automóvel de 15750N é sustentado por um
cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e
puxada para centrar o automóvel para a posição
desejada. O ângulo entre o cabo e a vertical é dedesejada. O ângulo entre o cabo e a vertical é de
2°, enquanto o ângulo entre a corda e a horizontal
é de 30°. Qual é a tração na
corda?
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Exemplo 04
• Determine a intensidade e a direção da menor força
F que irá manter em equilíbrio a embalagem
mostrada. Observe que a força exercida pelos
roletes na embalagem é perpendicular ao plano
inclinado.inclinado.
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Exemplo 05
• Como parte do projeto de um novo barco a vela, deseja-se
determinar a força de arrasto que pode ser esperada a uma dada
velocidade. Para tal, é colocado um modelo do casco proposto em
um canal de teste e são usados três cabos para manter sua proa na
linha de centro do canal. Leituras de dinamômetro indicam que, para
uma dada velocidade, a tração é de 180N no cabo AB e de 270N nouma dada velocidade, a tração é de 180N no cabo AB e de 270N no
cabo AE. Determine a força de arrasto exercida no casco e a tração
no cabo AC.