Matemática 10 PP

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2003	DOREA 1ª PP
Matemática 10 – Geometria Espacial
O Professor Albino falou que só vai cobrar verdadeiro ou falso ou seja problemas relacionados com demonstração não são necessários serem feitos.
Conceitos primitivos e postulados
Reta – Conjunto de infinitos pontos;
Plano – Conjunto de infinitos pontos;
Dois pontos distintos determinam uma única reta;
Se uma reta tem dois planos distintos no plano então ela está contida no plano
Determinação de plano
Três pontos não colineares.
Por uma reta e um ponto fora dela.
Por duas retas concorrentes
Por duas retas paralelas
Posições das retas
Paralelas – Nenhum ponto em comum;
Concorrentes – Um único ponto em comum;
Reversas – Não existe plano que as contenha.
SE DUAS RETAS SÃO COINCIDENTES (IGUAIS) ELAS SÃO PARALELAS, essa definição é a do livro.
Interseção de planos
Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm pelos menos outro ponto em comum, logo sua interseção é uma reta. E esses planos são chamados de concorrentes. 
Paralelismo
Paralelismo de retas
Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si.
Paralelismo entre retas e planos
Uma condição necessária e suficiente para que uma reta, não contida num plano, seja paralela a esse plano é ser paralela a uma reta contida nesse plano.
Posições relativas entre reta e plano
Dois pontos distintos ou mais – A reta está contida no plano;
Um único ponto – A reta é secante ao plano;
Nenhum ponto – A reta e o plano são paralelos.
Duas retas reversas (duas retas reversas e um ponto P)
O ponto pertence a uma das retas;
O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo à outra reta;
O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano não paralelo à outra.
Posições relativas de dois planos
Coincidentes
Paralelos
Secantes
Três retas reversas duas a duas
Não existe plano paralelo às três retas. O exemplo que o professor deu em sala foi de uma interseção da parede do quadro e da parede da janela, a outra seria uma reta embaixo do escaninho e a última seria a interseção da parede com o teto.
Existe plano paralelo às três retas. Uma reta no chão, a outra no meio da sala e a outra no teto.
Ângulos de duas retas – Retas ortogonais
Uma reta r divide o plano em dois semiplanos.
Ângulos entre duas retas reversas é só fazer a projeção de uma das duas retas em um plano.
Se dois ângulos possuem lados respectivamente paralelos, então eles são congruentes ou suplementares.
Retas ortogonais
Duas retas são ortogonais se, e somente se formam ângulos retos e são reversas.
Se duas retas formam ângulo reto, então elas são ortogonais ou perpendiculares.
Perpendicularidade
Reta e plano perpendinculares
Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente se, eles têm um ponto em comum e a reta é perpendicular a todas as retas do plano que passam por esse ponto comum.
Uma reta e um plano são chamados oblíquos se são concorrentes e não são perpendiculares.
Para ser perpendicular a um plano a reta tem que formar ângulo reto com duas retas concorrentes do plano.
Por um ponto P pode-se conduzir um único plano/ reta perpendicular a uma reta/plano.
Planos perpendiculares
Para que dois planos secantes sejam perpendiculares é necessário que todas reta de um deles, perpendicular a interseção, seja perpendicular ao outro.
Por uma reta não perpendicular a um plano, existe um único plano perpendicular a esse plano.
Aplicações
Projeção de um ponto
A projeção de um ponto no plano é o pé da perpendicular que passa pelo ponto e chega ao plano. O plano é dito projeção e a reta projetante.
Projeção de uma reta
Se a reta é perpendicular ao plano então a projeção da reta é um ponto.
Se a reta não é perpendicular, traça-se um plano sobre essa reta, perpendicular ao plano em que a reta será projetado, e a interseção do plano que passa a reta com o plano que a reta será projetado é a projeção da reta.
Projeção de um segmento de reta
Dado um segmento AB, sua projeção é A’B’, onde A’ é a projeção do ponto A e B’ do ponto B.
Distancias Geométricas
Distancia entre dois pontos A e B é o segmento de reta AB
Distancia entre um ponto e uma reta, é o tamanho do segmento perpendicular a reta dada que passa pelo ponto e chega à reta.
Distancia entre duas retas paralelas, distancia entre um ponto qualquer de uma e a outra reta.
Distancia entre ponto e plano é o tamanho do segmento perpendicular ao plano dado que passa pelo ponto e chega ao plano.
Distancia entre reta e plano paralelos é a distancia entre qualquer ponto da reta e o plano.
Distancia entre planos paralelos é a distancia entre um ponto qualquer deles e o outro plano.
Distancia entre duas retas reversas r e s, traça-se um plano paralelo a r que contem s, então a distancia entre essas duas retas é distancia de r ao plano que contem s. Ou simplesmente a reta perpendicular comum as duas retas reversas.
Ângulo de uma reta com plano
O ângulo de uma reta com plano é o ângulo agudo que essa reta forma com sua projeção ortogonal no plano.
Lugares geométricos
É o conjunto de pontos caracterizados por uma propriedade.
Todos seus pontos têm essa propriedade e só os seus pontos tem essa propriedade. 
A circunferência é um lugar geométrico, porque seus pontos têm a propriedade de distar r do ponto O (centro), assim como uma esfera.
A mediatriz e o plano mediador são lugares geométricos de um segmento AB qualquer, pois quaisquer dos seus pontos eqüidistam dos pontos A e B.
A reta perpendicular que passa pelo circuncentro de um triangulo também é um lugar geométrico, pois qualquer de seus pontos eqüidistam dos vértices do triangulo.
Diedros
É a reunião de dois semi-planos de mesma origem, a origem comum é a sua aresta e os planos são as faces
Interior é convexo, exterior é côncavo.
Secção é quando um plano “corta” um diedro e secção normal é quando corta perpendicularmente.
Dois diedros são congruentes se suas secções normais são iguais.
Bissetor é o semi-plano que divide o diedro em dois outros congruentes e adjacentes.
A medida de um diedro é a medida de sua secção normal.
Poliedros
De modo simples: é uma figura espacial fechada.
Elementos: faces (polígonos), arestas(lados dos polígonos), vértices (vértices dos polígonos) e ângulos(ângulos dos polígonos).
V+F=A+2
Soma dos ângulos=(V-2).360
D=Cv,2 - ∑df –A(Essa fórmula será explicada segunda e terça).
QUESTÕES QUE VÃO CAIR UMA DE POLIEDRO (FACES, VÉRTICES, ARESTAS, SOMA DE ANGULOS E DIAGONAIS), DIEDROS (VISÃO ESPACIAL E GEOMETRIA PLANO E V ou F PARA JUSTIFICAR AS FALSAS.
Exercícios que devem ser feitos:
p. 8 ex.:12
p.11 ex.:18,19
p.13 ex.:20
p.25 ex.:47,48
p.30 ex.:64,65
p.34 ex.:66
p. 42 ex.:77
p.51 ex.:91
p. 55 ex.:94,95
p. 65 ex.: 101
É bom fazer todos de diedro, mas os mais difíceis são: 137 a 139 das paginas 91 e 92
p.127,128,129 do 180-197(são muitos, mas são bastante tranqüilos).