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Disciplina: ÁLGEBRA Ano Escolar: 2º Aula nº 03 Título: Arranjo Simples Nº do PE.: Aula Rest.: Data ___/___/____ RESUMO TEÓRICO Arranjo Simples Definição: Chama-se arranjo simples , de ordem p ( tamanho p ) de m objetos distintos , a todo agrupamento ordenado de p objetos selecionados dos m objetos dados. ( 0 p m ) Notação: A ou A Definição: Seja E = { a , a , a , ..., a } , chamamos de arranjo simples, a qualquer subconjunto ordenado de E que tenha p elementos. Combinação Simples Definição: Chama-se combinação simples, de ordem p ( tamanho p ) de m objetos distintos, a todo agrupamento de p objetos selecionados dos m objetos dados sem levar em conta a ordem. ( 0 p m ) Definição: Seja E = { a , a , a , ... , a }, chamamos de combinação simples dos m elementos de E ,tomados p a p , a qualquer subconjunto de E que tenha p elementos. Notação: C ou C ou ( ) Exemplos: Consideremos 5 pontos distintos A,B,C,D,E, dos quais três quaisquer nunca estão alinhados., com esses pontos, devemos formar: Segmentos. Segmentos orientados. Qual dos itens é arranjo e qual é combinação. Solução: a)Os segmentos que podemos formar são: , , , , , , , , , , , , , , , , , , e . Contudo, pela definição de segmento temos que : = , isto é, dois a dois eles são iguais. Logo, o número de segmentos são 10. Para chegar a esses segmentos não foi levado em conta a ordem, o que caracteriza um caso de combinação. Para se chegar a esse número, basta combinar os 5 pontos dados dois a dois, isto é: C =10 b)Os segmentos orientados que podemos formar são: , , , , , , , , , , , , , , , , , , e . Contudo, pela definição de segmento orientado temos que ( . Logo, o número de segmentos são 20. Para chegar a esses segmentos foi levada em conta a sua ordem, o que caracteriza um caso de arranjo. Para se chegar a esse número, basta agrupar esses 5 pontos dois a dois, isto é: A = 20 Pelo que vimos , o item ( a ) é combinação e o item ( b ) é arranjo. Dado o conjunto E = { a, b, c }, pede-se formar : Todos ao pares ordenados, de elementos distintos. Todos os subconjuntos com elementos. Solução: a) Como sabemos: (a, b) ( (b, a), logo esse item é arranjo. A primeira coordenada do par pode ser qualquer um dos 3 elementos do conj. e a segunda coordenada só tem duas opções, uma vez que os pares são de elementos distintos. Pelo principio multiplicativo temos3x2=6pares. Para formarmos todos os pares ordenados, devemos agrupar esses 3 elementos de dois em dois, isto é: A = 3x2 = = = 6 Como sabemos: { a, b } = { b, a }, logo esse item é combinação. O número de conjuntos que podemos formar é a metade do número de pares ordenados. Para formar todos os subconjuntos, devemos combinar esses 3 elementos dois a dois, isto é: C = = = = 3 ou C = No caso geral, dado um conjunto com “m “elementos e queremos formar agrupamentos de tamanho “p “ onde p e m são naturais e p ( m , temos: A = e C = = OBSERVAÇÕES; Todo agrupamento em que trocando a ordem de seus elementos, apenas estamos repetindo-os, temos uma combinação. Todo agrupamento em que trocando a ordem de seus elementos, estamos criando um novo, diferente dos iniciais, temos um caso de arranjo. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: O número de arranjos simples de m + n objetos tomados 2 a 2 é 132, e o de m – n objetos tomados 2 a 2 é 12. Determinar m e n ? SOLUÇÃO: A = 132 = 132 (m + n )( m + n –1 ) = 132 ,fazendo m + n = x , temos: x ( x – 1 ) = 132 resolvendo a equação encontramos : x = 12 A = 12 = 12 ( m – n )( m – n – 1 ) = 12 , fazendo ( m – n ) = y temos: y ( y – 1 ) = 12 resolvendo a equação encontramos: y = 4 Substituindo x = 12 e y = 4 temos: �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 2m = 16 m = 8 e n = 4 Resposta: m = 8 e n = 4 Num plano marcam-se 12 pontos , dos quais 5 estão sobre a mesma reta. Quantos triângulos podemos formar? SOLUÇÃO: como o triângulo ABC é o mesmo que ACB ou BCA ou BAC , temos um caso de combinação simples. 1a ) C - C = 210 2a ) C + C . C + C . C = 35 + 21 . 5 + 7 . 10 = 35 + 105 + 70 = 210 Resposta: 210 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 01) Quantos sinais diferentes podem ser feitos içando quatro bandeiras de cores diferentes, uma após a outra? Admitiremos que podemos içar um número qualquer de cada vez. Resp.: A + A + A + A = 64 02) Num banco há 5 lugares. De quantas maneiras podem sentar-se 5 pessoas entre 10 moças e 8 rapazes, de modo que 2 moças e 2 rapazes nunca fiquem juntos? Resp.: A . A + A . A = 70560 03) Num plano há 9 pontos dos quais 5 são colineares. Quantos segmentos de retas , não colineares poderá ser traçado ? Resp.: C - C = 26 04) São dadas duas retas paralelas . Marcam-se 7 pontos sobre uma e 4 sobre a outra. Quantos triângulos poderemos formar, ligando três quaisquer desses 11 pontos coplanares? Resp.: C - ( C + C ) = 126 O número N está decomposto em fatores primos distintos do seguinte modo N = a . a . a . a . a . a . Achar o número de divisores positivos desse número . Resp.: 1 + C + C + C + C + C + C = 64 06) Uma embarcação deve ser tripulada pôr 8 homens dos quais 2 somente remam à direita e um apenas do lado esquerdo. De quantas formas diferentes poderá ser arranjada a guarnição ? Resp.: C . P . P Um cinema tem 12 portas . De quantas maneiras poderá ser aberto? Resp.: C + C + C + ... + C = 2 - 1 _1033800065.unknown _1033803666.unknown _1035012863.unknown _1035014877.unknown _1035107360.unknown _1035107688.unknown _1035107931.unknown _1035618023.unknown _1035618065.unknown _1035618188.unknown _1035618269.unknown _1035618293.unknown _1035618207.unknown _1035618169.unknown _1035618049.unknown _1035108029.unknown _1035108030.unknown _1035108028.unknown _1035107889.unknown _1035107914.unknown _1035107701.unknown _1035107620.unknown _1035107658.unknown _1035107673.unknown _1035107644.unknown _1035107444.unknown _1035107463.unknown _1035107413.unknown _1035015243.unknown _1035015283.unknown _1035107329.unknown _1035015264.unknown _1035014967.unknown _1035015213.unknown _1035014948.unknown _1035013978.unknown _1035014196.unknown _1035014247.unknown _1035014858.unknown _1035014228.unknown _1035014111.unknown _1035014172.unknown _1035014002.unknown _1035013386.unknown _1035013516.unknown _1035013547.unknown _1035013429.unknown _1035013054.unknown _1035013132.unknown _1035013243.unknown _1035012940.unknown _1033806401.unknown _1035011313.unknown _1035012815.unknown _1035012849.unknown _1035012574.unknown _1035012704.unknown _1033806865.unknown _1035011297.unknown _1033806846.unknown _1033805897.unknown _1033806182.unknown _1033806369.unknown _1033805949.unknown _1033804287.unknown _1033804372.unknown _1033804410.unknown _1033804356.unknown _1033804260.unknown _1033801253.unknown _1033801374.unknown _1033801611.unknown _1033801994.unknown _1033802798.unknown _1033801676.unknown _1033801542.unknown _1033801563.unknown _1033801392.unknown _1033801414.unknown _1033801310.unknown _1033801340.unknown _1033801354.unknown _1033801326.unknown_1033801279.unknown _1033801296.unknown _1033801267.unknown _1033801073.unknown _1033801160.unknown _1033801202.unknown _1033801229.unknown _1033801181.unknown _1033801111.unknown _1033801146.unknown _1033801094.unknown _1033800160.unknown _1033800721.unknown _1033801036.unknown _1033800179.unknown _1033800131.unknown _1033800145.unknown _1033800085.unknown _1033196636.unknown _1033799925.unknown _1033800003.unknown _1033800036.unknown _1033800050.unknown _1033800020.unknown _1033799959.unknown _1033799985.unknown _1033799941.unknown _1033799835.unknown _1033799881.unknown _1033799907.unknown _1033799865.unknown _1033799768.unknown _1033799817.unknown _1033196672.unknown _1033195676.unknown _1033196358.unknown _1033196442.unknown _1033196612.unknown _1033196424.unknown _1033196172.unknown _1033196314.unknown _1033196154.unknown _1033195507.unknown _1033195638.unknown _1033195654.unknown _1033195607.unknown _1033195182.unknown _1033195477.unknown _1033195140.unknown
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