Cálculo

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Não fujas da Matemática!
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Um pouco de história...
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. A noção de FUNÇÃO foi-se construindo e aperfeiçoando ao longo de vários séculos. É possível detectar sinais de que os Babilónios teriam já uma ideia, ainda que vaga, de função. 
 
No séc. XVIII, o matemático alemão Leibniz (1646–1716), muito rigoroso com a linguagem matemática, inventou vários termos e símbolos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o termo função no desenvolvimento da Análise Matemática.
Leibniz
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Todavia a notação f(x) para indicar uma função de variável x, só mais tarde, em 1735, foi usada por Euler, que utilizou o conceito de função na reorganização das Matemáticas.
 Euler
	Nos séculos XVIII e XIX, o papel das funções na Matemática já era tão importante que o matemático francês Hadamard escreveu:
“O ser matemático, numa palavra, já não é o número, é a lei de variação, a função. A matemática não foi apenas enriquecida com novos métodos mas, especialmente foi transformada no seu objecto.”
 
Hadamard 
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A IMPORTÂNCIA DAS FUNÇÕES...
As funções estão inter-relacionadas com várias matérias, com várias disciplinas. Na economia, na física, na biologia, nas ciências sociais, as funções desempenham um papel fundamental, na medida em que tornam possível a explicação e a certeza de alguns fenómenos. No quotidiano as funções são importantíssimas. 
Exemplos:
 o preço a pagar pela energia eléctrica utilizada, varia em função (depende) do consumo;
  o custo de um bolo-rei é função (depende) do seu peso.
 o tempo que o nadador gasta a fazer uma piscina é função (depende) da velocidade média com que nada.
Como pudeste observar nos exemplos acima, em linguagem corrente usamos por vezes a expressão “é função” no sentido de depende. 
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O JURO É FUNÇÃO DO CAPITAL (DINHEIRO) DEPOSITADO.
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Inconscientemente estamos frequentemente a utilizar funções. 
 
	Actualmente, devido essencialmente às novas tecnologias (computador, calculadora gráfica), o estudo de funções tornou-se mais fácil.
	Podemos referir sem exagerar, que o conceito “funções”, é um dos assuntos com maior importância, dos inseridos na matemática. 
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Função  máquina transformadora
Uma função pode ser equiparada a uma máquina transformadora. Transforma pedaços de certa matéria prima em peças moldadas. Depois de introduzida a matéria prima (objecto x) é transformada de acordo com uma “lei”, saindo a correspondente peça moldada (imagem y).
Ao introduzirmos um objecto numa função, tem de sair uma imagem e, caso seja introduzido novamente o mesmo objecto, terá de sair a mesma imagem.
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Exemplo:
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TIAGO
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TOMÉ
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 Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em correspondência o jogo com a aposta.
 Boletim do Tiago
 Boletim do Tomé
x
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Quando preenchemos um boletim do Totobola estamos a pôr em correspondência o jogo com a aposta.
	Nestes dois boletins há uma diferença fundamental: no boletim do Tiago, a cada jogo corresponde uma e apenas uma aposta; no boletim do Tomé, há jogos a que corresponde mais do que uma aposta. Dizemos que, no 1.º caso, existe uma correspondência unívoca entre o conjunto dos jogos e o conjunto das apostas, enquanto que, no 2.º caso, não existe correspondência unívoca.	
Assim podemos concluir que o boletim do Tiago representa uma função, enquanto que o boletim do Tomé não representa uma função.			
 Boletim do Tiago
 Boletim do Tomé
x
*
 Boletim do Tiago
Correspondência unívoca
Nº 1
Nº 3
Nº 4
Nº 5
Nº 6
Nº 2
 1
 2
 X
Nº 1
Nº 3
Nº 4
Nº 5
Nº 6
Nº 2
*
 Boletim do Tomé
A correspondência neste boletim não é unívoca
Nº 1
Nº 3
Nº 4
Nº 5
Nº 6
Nº 2
 1
 2
 X
 Nem todas as correspondências 
são funções.
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Uma correspondência entre dois conjuntos diz-se unívoca, quando a cada elemento do 1.º conjunto corresponde um e um só elemento do 2.º conjunto. 
Por exemplo, existe uma correspondência unívoca entre o conjunto dos alunos de uma turma e o conjunto das cadeiras da sala de aula, pois a cada aluno corresponde uma e uma só cadeira.
Função é toda a correspondência unívoca, isto é, uma correspondência entre dois conjuntos A e B, de tal modo, que a cada elemento do 1.º conjunto corresponde um e um só elemento do 2.º conjunto.
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Variáveis dependentes e independentes
x , y 
Temperaturas máximas previstas para o dia 24 de Julho de 2010
Neste exemplo relacionam-se duas variáveis, localidades (x) e temperaturas (y).
A cada localidade corresponde uma temperatura máxima.
A temperatura máxima é função da localidade. Neste exemplo a variável dependente é numérica. 
X- variável independente (objectos)
Y- variável dependente (imagens)
*
Assim, podemos definir função de outra forma:
Uma correspondência entre duas variáveis é função, se a cada valor da variável independente, x, corresponde um e um só valor da variável dependente, y.
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LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
Exemplo:
O diagrama seguinte estabelece uma relação entre algumas capitais e respectivos países.
Podemos , assim, estabelecer uma correspondência à qual chamamos f.
Roma 
Lisboa 
Brasília 
Londres 
  Brasil 
 f
 Itália
 Inglaterra
Esta correspondência representa uma função?
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Roma 
Lisboa 
Brasília 
Londres 
  Brasil
 
 f
 Ao conjunto A, chamamos conjunto de partida ou domínio da função 
 e representa-se por Df;
Df = { Roma, Lisboa, Brasília, Londres}
 Ao conjunto B chamamos conjunto de chegada da função;
 
Conjunto de chegada = {Inglaterra, Itália, Portugal, Brasil, Holanda}
 Inglaterra
 Itália
*
Roma 
Lisboa 
Brasília 
Londres 
  Brasil
 
 f
 Inglaterra
 Itália
 Ao conjunto C chamamos contradomínio da função;
		C’f = {Inglaterra, Itália, Portugal, Brasil}
 Aos elementos do domínio chamamos objectos, x (variável independente);
 Aos elementos do contradomínio, chamamos imagens, y (variável dependente);
 Concluímos, neste exemplo, que o contradomínio não coincide com o 
 conjunto de chegada.
Nem sempre o contradomínio coincide com o conjunto de chegada.
Então, o domínio de uma função é o conjunto dos objectos .
Então, o contradomínio de uma função é o conjunto das imagens.
C
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Polícia Marítima 		 3908101
Polícia de segurança pública 3466141
			 3474730
Polícia judiciária 	 3574566
			 3535380
Polícia municipal		 7268022
Exercícios: 
1. Na lista telefónica de Lisboa, temos as seguintes informações: 
A correspondência entre o conjunto das diversas polícias e o conjunto dos respectivos números de telefone é função? Justifica.
Se x for um objecto qualquer do domínio de uma função f, a sua imagem representa-se por f(x).
*
2. Observa cada das seguintes correspondências.
Indica justificando:
2.1 Qual ou quais das correspondências representa(m) uma função?
2.2 Para cada correspondência que representa uma função, indica: o domínio, 
O contradomínio e o conjunto de chegada.
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3. Das correspondências seguintes quais as que são funções? Justifica a tua resposta.
3.1 A correspondência entre cada pessoa e o número de seu cartão de cidadão.
3.3 
quadriláteros
triângulo
círculo
3.2 Em Física, os dois sistemas de medida das temperaturas mais utilizados são: o Celsius e o Fahrenheit. A tabela estabelece a correspondência entre alguns valores:
*
3.3
*
Observemos novamente a função, h, ao lado.
Em linguagem corrente, é possível dizer, por exemplo:
Ao número 2 corresponde a letra b.
Ao número 3 corresponde a letra b;
Ao nº 4 corresponde a letra c.
Em linguagem matemática (SIMBÓLICA), escrevemos:
que se lê: “h de 2 é igual a b”
Ou, a imagem do objecto 2, pela função h, é b.
Ou, ao objecto
2, corresponde a imagem b, pela função h.
*
Significa :
Qual é o objecto cuja imagem é a, (pela função h)?



Significa :
Qual é a imagem cujo objecto é 3, (pela função h)?
*
Assim,
Se designarmos por x um objecto qualquer do domínio de uma função, f, então a sua imagem representa-se por y ou por f(x).
Sendo x a variável independente e y a variável dependente.
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Exercícios das páginas 145 e 147.
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Modos de representar uma função.
As funções podem ser representadas de diversas formas, algumas das quais já vimos na aula anterior.
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 Funções representadas através de um Diagrama Sagital ou Diagrama de Setas
1
3
5
 A
B
 
 
 g
0
1
2
3
1
 3
5
*
 Funções representadas por tabelas
 A função anterior pode ser representada por uma das tabelas seguintes:
*
  Funções representadas graficamente
Por exemplo, representemos graficamente a seguinte função:
O gráfico de uma função f, obtém-se marcando num referencial o conjunto dos pares ordenados (x, f(x))
*
Será que todos os gráficos representam funções?
Observemos os gráficos cartesianos seguintes:
A cada objecto corresponde uma e uma só imagem.
A cada elemento do do 1.º conjunto corresponde mais do que um elemento do 2.º conjunto.
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Exemplo: 
Nas férias a Marta foi alugar uma bicicleta.
ALUGAM-SE BICICLETAS
Máximo… 5 dias
Depósito… €2,5
€7,5…por dia
O aluguer para:
- 1 dia custa 2,5 + 7,5.
2 dias custam 2,5+2x7,5.
Vamos completar o pensamento da Marta.
1 dia custa 2,5+7,5 x 1=10
2 dias custam 2,5+7,5 x 2=17,5
3 dias custam 2,5+7,5 x 3=25
4 dias custam 2,5+7,5 x 4=32,5
5 dias custam 2,5+7,5 x 5=40
 Representação de uma função por meio de uma expressão algébrica
*
1 dia custa 2,5+7,5 x 1=10
2 dias custam 2,5+7,5 x 2=17,5
3 dias custam 2,5+7,5 x 3=25
Se
n, representar, o nº de dias de aluguer
c, representar o custo, em euros
É possível escrever uma expressão, 
Antes de a escrever diz, no contexto do problema em causa, qual é a variável dependente e qual é a variável independente?
n é a variável independente e c é a variável dependente.
ou
Escrevemos, assim, a expressão analítica da função. Esta expressão permite determinar facilmente os valores de c a partir dos valores de n, ou, vice-versa.
n
*
Conclusão:
As formas mais frequentes de represenatr uma função, são: 
 Diagrama sagital ou de setas;
 Tabelas;
 Representação gráfica;
 Expressão algébrica.
Logicamente, também se pode definir uma função através de uma expressão verbal. Por exemplo: “Considera a função que a cada número natural faz corresponder o seu quadrado.”
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Vantagens e desvantagens dos diferentes modos de representar funções:
 C  A representação gráfica de funções, dá-nos uma visão rápida e global do comportamento da função. Através dos gráficos também é possível estabelecer comparações.
C  Relativamente às tabelas, estas são preciosas, na medida em que nos possibilitam fazer uma leitura rigorosa de cada objecto.
 Uma desvantagem da representação gráfica, é que nem sempre é possível obter com precisão, a imagem de alguns objectos (ao contrário das tabelas).
  Um inconveniente da representação de funções por meio de tabelas, é que raramente deixa prever o que acontece a valores intermédios aos expressos na tabela.
 
*
C As vantagens da representação de funções por meio de expressões analíticas são notórias. Através da expressão algébrica, facilmente obtemos o gráfico da função que nos dá uma visão rápida do comportamento da função; através da expressão algébrica, podemos ainda obter, com toda a precisão, a imagem de qualquer objecto (como nas tabelas). Por estes motivos, sempre que possível, procura-se encontrar uma expressão analítica para representar uma função. “Sempre que possível”, porque por vezes é quase impossível encontrar a expressão analítica de uma função.
 Electrocardiograma
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Exercícios da página 149.
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A proporcionalidade directa como função
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O pai do Filipe decidiu propor ao seu filho um negócio, que consistia em lavar o seu carro pagando-lhe assim uma quantia de 1,5 euros por hora. 
Se o Filipe demorar 3 horas e meia a lavar o carro ao pai, quanto terá ganho?
Problema:
Dinheiro (em euros)	
 Tempo ( em horas)
1,5
1
3,5
x
R.: Em 3,5 horas o Filipe ganhou 5,25 euros.
Resolução:
*
E se o Filipe demorasse apenas 2 horas e 12 minutos a lavar o carro, quanto teria ganho?
C.A.
2 horas e 12 minutos, corresponde a quantas horas!
60
1
 x
12
2 h:12 min corresponde 2,2 horas
Dinheiro (em euros)	
 Tempo ( em horas)
1,5
1
2,2
x
R.: Em 2,2 horas o Filipe teria ganho 3,3 euros (3 euros e 30 cêntimos).
E se demorasse apenas 1 hora e meia?
Dinheiro (em euros)	
 Tempo ( em horas)
1,5
1
1,5
x
R.: Em 1,5 horas o Filipe teria ganho 2,25 euros.
*
Observemos então a tabela com toda a informação anterior.
1.ª questão: A quantia recebida é directamente proporcional ao tempo de trabalho. Porquê?
O quociente entre as duas variáveis é sempre constante.
2.ª questão: Qual é a constante de proporcionalidade directa? O que significa?
A constante de proporcionalidade é 1,5.
Significa o preço de uma hora de trabalho.
Porque as duas grandezas aumentam na mesma proporção, isto é se uma duplica a outra também duplica, se uma triplica a outra também triplica, se uma se reduz a metade a outra também,… . Assim estamos perante uma situação de proporcionalidade directa.
*
4.ª questão: Qual a expressão analítica desta função?
Sim, porque a cada objecto (tempo gasto) corresponde uma única imagem (dinheiro ganho) – correspondência unívoca.
 
3.ª questão: Será que a correspondência estabelecida, representa uma função? 
Como esta função traduz uma situação de proporcionalidade directa, diz-se uma função de proporcionalidade directa.
*
5.ª questão: Representa 
graficamente esta função?
0
Tempo (em horas)
Quantia recebida (em euros)
Através do gráfico da função, é possível observar qual a quantia (ou um valor aproximado) que receberia o Filipe, dependendo do número de horas de trabalho.
Por exemplo: Se o Filipe trabalhasse 2 horas quanto ganharia?
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Qual será a representação gráfica de uma função de proporcionalidade directa?
O gráfico é constituído por um conjunto de pontos que se situam sobre uma linha recta que passa pela origem do referencial.
Conclusão:
Toda a função f, que se pode representar por:
ou
ou
Traduz uma situação de proporcionalidade directa, em que, k é a constante de proporcionalidade. 
O gráfico deste tipo de funções é sempre um conjunto de pontos situados sobre uma recta que passa na origem do referencial.
Função de proporcionalidade directa ou função linear
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Exercício:
Em muitos supermercados e talhos há balanças que
marcam simultaneamente o peso e o preço das mercadorias.
Por exemplo, ao pesar uma determinada quantidade de carne
a 5 €/kg, a balança além do seu peso, dá o seu custo.
A tabela relaciona diferentes quantidades de carne com o respectivo custo:
a) Observa a tabela e completa:
b) O custo é directamente proporcional ao peso? Porquê?
c) Qual é a constante de proporcionalidade? O que representa?
d) Qual é a expressão analítica que representa esta função de proporcionalidade directa?
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Exercícios da página 151
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FUNÇÕES Lineares e constantes
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Gráficos das funções do tipo x y=kx
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Gráficos das funções do tipo x y=kx
Exemplos:
Representa graficamente a função f(x)=2x.
Ora, como já vimos, a representação gráfica desta função, é uma ____________ que passa na ______________________________.
Então para determinar uma recta basta marcar ___ pontos.
A expressão analítica y=2x da função f, permite-te determinar os valores de y a partir dos valores que atribuíres a x. Repara:
x
 y=2x
 0
 1
 -1,5
 0
 2
-3
C.A.
Não te esqueças, como é uma recta bastam só dois pontos, no entanto, podes determinar mais.
*

 

Y=2x
Como não há rescrições para o x, isto é, o x pode tomar qualquer valor, podes unir os pontos e obter a representação gráfica da função, uma recta.
A cada par ordenado corresponde um ponto sobre a recta.
O par ordenado (2,4) pertence ao gráfico da função?
*
Representa a função .
EXEMPLO:
Cuidado! Neste caso há uma exigência (restrição) para o x, só pode tomar valores não negativos (zero ou positivos).
 x
 y=2x
 0
 2
 0
 4

 
Y=2x
*
EXEMPLO:
Representa a função .
 x
 y=2x
 0
 1
 0
 2

 
 4
 2
 
Como a variável independente, toma apenas valores naturais, a representação gráfica desta função será um conjunto de pontos isolados.
*
Exercício: Representa graficamente a função
Repara que não há qualquer restrição a impor a x, logo como se trata de uma função do tipo y=kx, a sua representação gráfica será uma recta que passa na origem do referencial.
Graph
Geogebra
Graphmatica
*
DECLIVE DA RECTA – ESTÁ RELACIONADO COM A INCLINAÇÃO DA RECTA RELATIVAMENTE AO EIXO HORIZONTAL.
Y=2X
Observa que quando x aumenta 1 unidade, y sofre um aumento de 2 unidades.
A inclinação da recta ou seja, o ângulo que esta faz com a parte positiva do eixo das abcissas, depende do valor da constante, K.
Como determinar o declive de uma recta?
Basta pegar nas coordenadas de um ponto pertencente à recta e efectuar no caso das funções lineares. 
Neste exemplo concreto vemos que o par ordenado (2, 4) pertence à recta, logo 4/2=2, ou, no par ordenado (1, 2) e efectuar o quociente 2/1=2. Assim dizemos que o declive é 2.
Repara agora na expressão analítica da função. O que verificas?
*
O declive coincide com o valor de k, logo ao número k chama-se também declive da recta.
Exemplos:
Representa o gráfico das funções f e g.
f
g
Geogebra
*
Desafio…
Observando a representação gráfica das funções seguintes, serás capaz de descobrir as respectivas expressões analíticas?
Determinar a equação da recta a partir da representação gráfica
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Repara agora nas representações gráficas de algumas funções.
Qual a expressão analítica de cada uma das funções?
Observa atentamente as representações gráficas e as respectivas expressões analíticas. O que verificas relativamente ao declive (inclinação das rectas)?
 
*
Conclusões: 
 As equações do tipo y=kx, representam geometricamente rectas de declive k que passam pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas (1,k).
Ao número k chama-se declive da recta – está relacionado com a inclinação da recta relativamente ao eixo horizontal.
A este tipo de funções dá-se também o nome de funções lineares ou como já vimos, funções de proporcionalidade directa.
Representam a função f: x kx de proporcionalidade directa, cuja constante de proporcionalidade é k (diferente de zero).
Numa função do tipo y=kx, para k>0, quanto maior for o declive de k maior é a inclinação de recta.Se k>0 o declive é positivo ( a função está a crescer); se k<0 o declive é negativo, (a função está a decrescer). JLeal
Quanto maior é o valor de k, maior é a inclinação da recta (aproxima-se mais do eixo dos yy).
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Gráficos das funções do tipo x y=b
*
Grafmatica
Exemplos de funções constantes:
Representação gráfica:
Conclusões:
Todos os pontos representados têm a mesma ordenada. Por esta razão se diz que a função y=b, é constante. 
O gráfico desta função é uma recta horizontal (paralela ao eixo das abcissas).
E quanto ao declive! O que pensas?
Obviamente o declive de uma função constante é zero.
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Faz a associação correcta
Função linear
Função constante
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Exercícios da página 155.
Hora de praticar…
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
 



Função identidade
y=x
Hadamard 
*
*
*
*