Resolução do Livro "Probabilidade: Aplicações À Estatística" - Paul L. Meyer

Probabilidade e Estatística

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Lucas Christopher

23/03/2018

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Resolução Meyer/Problemas Cap 5.pdf
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer
Capitulo 5 – Funções de Variáveis Aleatórias.

Problemas
1. Suponha que seja uniformemente distribuída sobre . Seja . Achar a
fdp de , , e fazer seu gráfico. Verifique também que é a fdp adequada.

é crescente para e decrescente para

2. Suponha que seja uniformemente distribuída sobre . Ache a fdp das seguintes
variáveis aleatórias: (Verifique em cada caso que a função obtida é a fdp. Esboce os
gráficos.)
(a) ,

(b) .

3. Suponha que a variável aleatória contínua tenha fdp . Ache a fdp das
seguintes variáveis aleatórias:
a.

b.

4. Suponha que a variável aleatória discreta tome os valores 1, 2 e 3 com igual
probabilidade. Ache a distribuição de probabilidade de .
X P(X) Y P(Y)
1 1/3 5 1/3
2 1/3 7 1/3
3 1/3 9 1/3
5. Suponha que seja uniformemente distribuída sobre o intervalo . Ache a fdp das
seguintes variáveis aleatórias:
a.

b.

6. Suponha que seja uniformemente distribuída sobre . Ache a fdp das seguintes
variáveis aleatórias:

a.

b.

c.

7. Suponha que o raio de uma esfera seja uma variável aleatória continua. (Em virtude de
imprecisões do processo de fabricação, os raios das diferentes esferas podem ser
diferentes.) Suponha que o raio tenha fdp . Ache a fdp do
volume e da área superficial da esfera.

8. Uma corrente elétrica oscilante pode ser considerada como uma variável aleatória
uniformemente distribuída sobre o intervalo . Se essa corrente passar em um
resistor de 2 ohms, qual será a fdp da potência ?

9. A velocidade de uma molécula em um gás uniforme em equilíbrio é uma variável aleatória
cuja fdp é dada por

onde

e , e denotam respectivamente a constante de Boltzman, a temperatura
absoluta e a massa da molécula.
a. Calcular a constante (em termos de ). [Sugestão: Considere o fato de que

e integre por partes.]

b. Estabeleça a distribuição da variável aleatória

, a qual representa a
energia cinética da molécula.
10. A tensão elétrica aleatória é uniformemente distribuída sobre o intervalo . Se
for a entrada de um dispositivo não-linear, com as características indicadas na Fig. 5.12,
ache a distribuição de probabilidade de , nos três casos seguintes:

a.

b.

i.

ii.

c.

i.

ii.

iii.

Comentário: A distribuição de probabilidade de constitui um exemplo de uma
distribuição mista. toma o valor zero com probabilidade não-nula e também toma
todos os valores em certos intervalos. (Veja a Seç. 4.6.)
11. A energia radiante é dada pela seguinte função da temperatura
(em escala Fahrenheit

. Suponha que a temperatura seja
considerada uma variável aleatória contínua como fdp

Estabeleça a fdp da energia radiante .

12. Para medir velocidades do ar, utiliza-se um tubo (conhecido como tubo estático de Pitot),
o qual permite que se meça a pressão diferencial. Esta pressão diferencial é dada por

, onde é a densidade do ar e é a velocidade do vento (mph). Achar a fdp
de , quando for uma variável aleatória uniformemente distribuída sobre .

13. Suponha que , onde é uma variável aleatória contínua com
alguma distribuição definida sobre . Quando , determinar de modo
que .

Resolução Meyer/Problemas Cap 6.pdf
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer
Capitulo 6 – Variáveis Aleatórias de Duas ou Mais Dimensões.

Problemas
1. Suponha que a tabela seguinte represente a distribuição de probabilidade conjunta da
variável aleatória discreta . Calcule todas as distribuições marginais e as
condicionadas.

2. Suponha que a variável aleatória bidimensional tenha a fdp conjunta

a. Calcule a constante .

b. Ache a fdp marginal de .

c. Ache a fdp marginal de .
O intervalo de , não pode estar em termos de :
3. Suponha que a fdp conjunta da variável aleatória bidimensional seja dada por

Calcule o seguinte:

a.

b.

c.

4. Suponha que duas cartas sejam tiradas ao acaso de um baralho de cartas. Seja o número
de azes obtido e seja o número de damas obtido.
a. Estabeleça a distribuição de probabilidade conjunta de .

Soma

Soma
b. Estabeleça a distribuição marginal de e a de .

c. Estabeleça a distribuição condicionada de (dado ) e de (dado ).

5. Para que valores de , a expressão é a fdp conjunta de , sobre a
região ?

6. Suponha que a variável aleatória bidimensional contínua seja uniformemente
distribuída sobre o quadrado cujos vértices são e . Ache as fdp
marginais de e de .

7. Suponha que as dimensões e , de uma chapa retângulo de metal, possam ser
consideradas variáveis aleatórias contínuas independentes, com as seguintes fdp:

Ache a fdp da área da chapa, .

Analisando os intervalos

Verificamos que não é biunívoca, ou seja, há dois valores em , que
corresponde a um só valor em , veja:

A duplicação ocorre quando
Digamos que:

8. Admita que represente a duração da vida de um dispositivo eletrônico e suponha que
seja uma variável aleatória contínua com fdp

Sejam e duas determinações independentes da variável aleatória acima. (Isto é,
suponha que estejamos ensaiando a duração da vida de dois desses dispositivos.) Ache a fdp
da variável aleatória

.
Seja
9. Obtenha a distribuição de probabilidade das variáveis aleatórias e , introduzidas na
Pág. 124.

10. Demostre o Teor. 6.1

11. A força magnetizante no ponto , distante unidades de um condutor que conduza
uma corrente , é dada por

. (Veja a Fig. 6.14.) Suponha que seja um ponto móvel,
isto é, seja uma variável aleatória contínua, uniformemente distribuída sobre .
Suponha que a corrente seja também uma variável aleatória contínua, uniformemente
distribuída sobre . Suponha, ademais, que as variáveis aleatórias e sejam
independentes. Estabeleça a fdp de variável aleatória .

12. A intensidade luminosa em um dado ponto é dada pela expressão

, na qual é o
poder luminoso da fonte até o ponto dado. Suponha que seja uniformemente
distribuída sobre , enquanto seja uma variável aleatória contínua com fdp
. Ache a fdp de , admitindo que e sejam independentes.
(Sugestão: Primeiro ache a fdp de e depois aplique os resultados deste capítulo.)

13. Quando uma corrente (ampères) passa através de um resistor (ohms), a potência
gerada é dada por (watts). Suponha que e sejam variáveis aleatórias
independentes, com as seguintes fdp:

Determine a fdp da variável aleatória e esboce o seu gráfico.

14. Suponha que a fdp conjunta de seja dada por

a. Ache a fdp marginal de .

b. Ache a fdp marginal de .

c. Calcule a

Resolução Meyer/Problemas Cap 7.pdf
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer
Capitulo 7 – Caracterização Adicional de Variáveis Aleatórias.

Problemas
1. Determine o valor esperado das seguintes variáveis aleatórias:
a. A varável aleatória definida no Probl. 4.1.

b. A varável aleatória definida no Probl. 4.2.
i.

ii.

c. A varável aleatória definida no Probl. 4.6.

d. A varável aleatória definida no Probl. 4.18.

2. Mostre que não existe para
variável aleatória definida no Probl. 4.25.

3. Os valores abaixo representam a distribuição de probabilidade de , a procura diária de
um certo produto. Calcula :
:
.

4. Na produção de petróleo, a temperatura e destilação (graus centígrados) é decisiva na
determinação da qualidade do produto final. Suponha-se que seja considerada uma
variável aleatória uniformemente distribuída sobe .
Admita-se que produzir um galão de petróleo custe dólares. Se o óleo for destilado a
uma temperatura menor que , o produto é conhecido como nafta e se vende por
dólares o galão. Se o óleo for destilado a uma temperatura maior que , o produto é
denominado óleo refinado destilado e se vende por dólares o galão. Determinar o lucro
líquido esperado (por galão).

5. Uma certa liga é formada pela reunião da mistura em fusão de dois metais. A liga
resultante contém uma certa percentagem de chumbo , que pode ser considerada uma
variável aleatória. Suponha que tenha a seguinte fdp:

Suponha-se que , o lucro líquido obtido pela venda dessa liga (por libra), seja a seguinte
função de percentagem do chumbo contida: . Calcule o lucro esperado (por
libra).

6. Suponha que um dispositivo eletrônico tenha uma duração de vida (em unidades de
1000 horas), a qual é considerada como uma variável aleatória contínua, com a seguinte
fdp:

Suponha que o custo de fabricação de um desses dispositivos seja . O fabricante
vende a peça por , mas garante o reembolso total se . Qual será o lucro
esperado por peça, pelo fabricante?

7. As 5 primeiras repetições de um experimento custam cada uma. Todas as
repetições subsequentes custam cada uma suponha que o experimento seja
repetido até que o primeiro resultado bem sucedido ocorra. Se a probabilidade de um
resultado bem sucedido for sempre igual a , e se as repetições forem independentes,
qual será o custo esperado da operação completa?

8. Sabe-se que um lote contém 2 peças defeituosas e 8 não-defeituosas. Se essas peças
forem inspecionadas ao acaso, uma após outra, qual será o numero esperado de peças
que devem ser escolhidas para inspeção, a fim de removerem-se todas as peças
defeituosas?

Veja Prob. 2.21, com

9. Um lote de 10 motores elétricos deve ser ou totalmente rejeitado ou vendido,
dependendo do resultado do seguinte procedimento: dois motores são escolhidos ao
acaso e inspecionados. Se um ou mais forem defeituosos, o lote será rejeitado; caso
contrário, será aceito. Suponha que cada motor custe e seja vendido por .
Se o lote contiver 1 motor defeituoso, qual será o lucro esperado do fabricante?

10. Suponha que , a demanda diária de uma peça, seja uma variável aleatória com a seguinte
distribuição de probabilidade:

a. Calcule a constante .

b. Calcule a demanda esperada.

c. Suponha que uma peça seja vendida por . Um fabricante produz
diariamente peças. Qualquer peça que não tenha sido vendida ao fim do dia,
deve ser abandonada, com um prejuízo de .
i. Determine a distribuição de probabilidade do lucro diário, como uma
função de .

ii. Quantas peças devem ser fabricadas para tornar máximo o lucro diário
esperado?

tem valor máximo quando .
0 1 2 3 4 5 6
0 5 7,33 7 4,89 1,89 -1,11
Ou seja .
11.
a. Com , efetue alguns cálculos para achar qual o valor de
minimiza no Ex. 7.12.

k 1 2 3 4 5
E(X) 65 50,5 49,5 50,5 51,6

b. Empregando os valores acima de e , e tomando determine, para
casa um desses valores de , se o “teste de grupo” é preferível.
i.

ii.

iii.

para os três casos portanto em nenhum deles o “teste de grupo” é
preferível.
12. Suponha que e seja, variáveis aleatórias independentes, com as seguintes fdp:

a. Determine a fdp de .
b. Obtenha por duas maneiras:
i. Empregando a fdp de , como foi obtida em (a);

ii. Diretamente, sem empregar a fdp de .

13. Suponha que tenha a fdp:

. Seja

.

a. Calcule , empregando a fdp de .

b. Calcule , sem empregar a fdp de .

14. Um dado equilibrado é jogado 72 vezes. Chamando de o número de vezes que aparece o
seis, calcule .

15. Determine o valor esperado e a variância das variáveis aleatórias e do Probl. 5.2.
a.

b.

16. Determine o valor esperado e a variância da variável aleatória do Probl. 5.3.

17. Determine o valor esperado e a variância das variáveis aleatórias e do Probl. 5.5.
a.

b.

18. Determine o valor esperado e a variância das variáveis aleatórias e do Probl. 5.6.
a.

b.

c.

19. Determine o valor esperado e a variância das variáveis aleatórias e do Probl. 5.7.
a.
b.

20. Determine o valor esperado e a variância da variável aleatória do Probl. 5.10, em cada
um dos três casos.
a.

b.

c.

21. Determine o valor esperado e a variância da variável aleatória do Probl. 6.7.

22. Determine o valor esperado e a variância da variável aleatória do Probl. 6.11.

23. Determine o valor esperado e a variância da variável aleatória do Probl. 6.13.

24. Suponha que seja uma variável aleatória, para a qual e . Para
quais valores positivos de e deve ter valores esperado e variância ?

25. Suponha que , uma tensão aleatória, varie entre e volt e seja uniformemente
distribuída sobre esse intervalo. Suponha que o sinal de seja perturbado por um ruído
aleatório independente, aditivo, , o qual seja uniformemente distribuído entre e
volts.

a. Determine a tensão esperada do sinal, levando em conta o ruído.

b. Determine a potencia esperada quando o sinal perturbado for aplicado um resistor
de ohms.
26. Suponha que seja uniformemente distribuída sobre . Determine a variância de
.

27. Um alvo é constituído de três círculos de raios

. Tiros dentro do círculo interior
valem 4 pontos, dentro do anel seguinte valem 3 pontos, e dentro do anel exterior valem 2
pontos. Tiros fora do alvo
valem zero. Seja a variável aleatória que representa a
distância do ponto de impacto ao centro do alvo. Suponha que a fdp de seja

. Calcule o valor esperado do escore depois de 5 tiros.

28. Suponha que a variável continua tenha a fdp

Seja . Calcule :
a. Diretamente, sem primeiro obter a fdp de .

b. Primeiramente, obtendo a fdp de .

29. Suponha que a variável aleatória bidimensional seja uniformemente distribuída
sobre o triângulo da Fig. 7.15. Calcule e .

30. Suponha que seja uniformemente distribuída sobre o triângulo da Fig. 7.16.

a. Estabeleça a fdp marginal de e a de .

b. Calcule e .

31. Suponha que e sejam variáveis aleatórias para as quais

. Empregando o Teor. 7.7, obtenha uma aproximação de e
, onde

.

32. Suponha que e sejam variáveis aleatórias independentes, cada uma delas
uniformemente distribuída sobre . Seja

.
a. Empregando o Teor. 7.7, obtenha expressões aproximadas para e .

b. Empregando o Teor. 6.5, obtenha a fdp de , e a seguir, determine pos valores
exatos de e . Compare-os com (a).

33. Mostre que se for uma variável aleatória contínua, com a fdp tendo a propriedade de
que o gráfico de seja simétrico em relação a , então , desde que
exista. (Veja o Ex. 7.16.)
34.
a. Suponha que a variável aleatória tome os valores e , cada um deles com
probabilidade

. Considere como uma função de
. Em um gráfico, marque esta função de e, no mesmo sistema de
coordenadas, marque o limite superior da probabilidade acima, tal como é dada
pela desigualdade de Tchebycheff.

b. O mesmo que em (a), exceto que

.

35. Compare o limite superior da probabilidade , obtida pela
desigualdade de Tchebycheff, com a probabilidade exata se for uniformemente
distribuída sobre .

36. Verifique a Eq. (7.17).

37. Suponha que a varável aleatória bidimensional seja uniformemente distribuída
sobre , onde é definida por . (Veja a Fig. 7.17.) Calcule ,
o coeficiente de correlação.
38. Suponha que a variável aleatória bidimensional tenha fdp dada por

(Veja a Fig. 7.18.) Determine o coeficiente de correlação .

39. O exemplo a seguir ilustra que não implica independência. Suponha que
tenha uma distribuição de probabilidade conjunta dada pela Tab. 7.1.

a. Mostre que e consequentemente .

b. Explique por que e não são independentes.

c. Mostre que este exemplo pode ser generalizado como se segue. A escolha do
número

não é decisiva. O que é importante é que todos os valores circundados
sejam iguais, todos os valores enquadrados sejam iguais e o valor central seja zero.

40. Suponha que e sejam dois eventos associados ao experimento . Suponha que
e . Sejam as variáveis aleatórias e definidas assim:
se ocorrer, e em caso contrário,
se ocorrer, e em caso contrário.
Mostre que implica que e sejam independentes.

41. Demostre o Teor. 7.14.

42. Para a variável aleatória definida no Probl. 6.15, calcule , e verifique
que e .
Não existe Probl. 6.15 então consideremos o Probl. 6.14.

43. Demonstre o Teor. 7.16.

44. Demostre o Teor. 7.17. [sugestão: para o caso contínuo, multiplique a equação
por , a fdp de , e integre de a . Faça a mesma coisa, empregando
e, depois, resolva as duas equações resultantes para e para .]

45. Demonstre o Teor. 7.18.

46. Se forem variáveis aleatórias não-correlacionadas, com desvios-padrões ,
respectivamente, e se e , calcule o coeficiente de correlação entre
e .

47. Suponha que ambas as curvas de regressão da média sejam, de fato, lineares.
Particularmente, admita que

e

.
a. Determine o coeficiente de correlação .

b. Determine e .
48. Considere a previsão de tempo com duas possibilidades: “chove” ou “não chove” nas
próximas 24 horas. Suponha que

. O
previsor marca 1 ponto se ele estiver correto e ponto se não estiver. Ao fazer
previsões, um previsor sem capacidade escolhe de qualquer maneira, ao acaso, dias,
para afirmar que “chove” e os restantes dias para afirmar “não chove”.
Seu escore total de pontos é . Calcule e e encontre qual o valor de
para o qual é o maior. [Sugestão: Faça , dependendo de que a
previsão esteja correta ou não. Então

. Observe que os não são
independentes.

Resolução Meyer/Problemas Cap 4.pdf
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer
Capitulo 4 – Variáveis Aleatórias Unidimensionais.

Exemplo 4.9.
Ao operar determinada máquina, existe alguma probabilidade de que o operador da máquina
cometa um erro. Pode-se admitir, razoavelmente, que o operador aprenda, no sentido de que
decresça a probabilidade de cometer um erro, se ele usar repetidamente a máquina. Suponha
que o operador faça n tentativas e que as repetições sejam estatisticamente independentes.
Suponhamos, especificamente, que
. Admitamos que se pretendam 4 tentativas (isto é, ) e
definamos a variável aleatória como o número de operações da máquina, executadas sem
erro. Note-se que X não tem distribuição binomial, porque a probabilidade de "sucesso" não é
constante. Para calcular a probabilidade de que , por exemplo, procede-se do seguinte
modo: se, e somente se, houver exatamente uma tentativa mal sucedida. Isto pode
ocorrer na primeira, segunda, terceira ou quarta tentativas. Portanto,

Exemplo 4.10.
Considere-se uma situação semelhante àquela apresentada no Ex. 4.9. Agora, admitiremos que
exista uma probabilidade constante de não cometer um erro na máquina, durante cada
uma das tentativas, e uma probabilidade constante de não cometer um erro em
cada uma das repetições subsequentes. Seja o número de operações bem sucedidas da
máquina durante as tentativas independentes. Vamos procurar a expressão geral
de . Pelo mesmo motivo dado no exemplo precedente, não tem distribuição
binomiaI. Para obter , procede-se da seguinte maneira: Sejam o número de
operações corretas durante as primeiras tentativas, e o número de operações corretas
durante as tentativas subsequentes. Portanto, e são variáveis aleatórias
independentes e . Assim, se, e somente se, e , para
qualquer inteiro que satisfaça às condições e .

As restrições acima, sobre , são equivalentes a e . Combinando-
as, poderemos escrever .

Se no primeiro evento ocorrerem sucessos que podem ocorrer de maneiras distintas,
então no segundo teremos que teremos , sucessos que podem ocorrer de
maneiras distintas. Para cada um dos dois eventos tem distribuição binomial. Então,

Pelo princípio multiplicativo e aditivo. Temos,

Ou

Problemas
1. Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara(F) três vezes mais frequentemente
que coroa(V). Essa moeda é jogada três vezes. Seja o número de caras que aparece.
Estabeleça a distribuição de probabilidade de e também a fd. Faça um esboço do gráfico
de ambas.

2. De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso.
Seja o número de defeituosas encontradas. Estabeleça a distribuição de probabilidade
de , quando:
a. As peças forem escolhidas com reposição.

b. As peças forem escolhidas sem reposição.
Trata-se de calcular uma probabilidade hipergeométrica, como explicado na
seção 2.3.
Seja:

Pelo princípio da multiplicação temos:

3. Suponha que a variável aleatória tenha os valores possíveis .e

.
a. Calcule .

Trata-se da soma de temos de uma PG, com

b. Calcule .

c. Calcule .

4. Considere uma variável aleatória com resultados possíveis: Suponha que

a. Para que valores de o modelo acima tem sentido?