Mecânica I - Poli - P2- 2000

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
PMC 2100 – MECÂNICA A 
Segunda Prova – 03 de novembro de 2000 
GABARITO 
 
(3,0 pontos) Questão 1 - O vagonete da figura tem velocidade iv
r
 e aceleração ia
r
, e é sustentado por três discos 
de raio r. O disco B está em contato com o chão e o vagonete. Todos os discos rodam sem escorregar sobre as 
respectivas superfícies de contato. Determinar: 
a) O CIR dos discos A, B e C. 
b) Os vetores de rotação dos discos 
A, B e C. 
c) Os vetores acelerações angulares 
dos discos A, B e C. 
d) As acelerações dos pontos A, B e 
C, que são os centros geométricos 
dos discos A, B e C. 
 
Solução: 
 
 Disco A Disco B Disco C 
a) 
 
b) 
k
r
v
irjrkv
ivv
A
AAA
A
rr
rrrr
rr
-=
Þ
ïþ
ï
ý
ü
-=´=
=
w
ww
 
k
r
v
irjrkv
ivv
B
BBD
D
rr
rrrr
rr
2
22
-=
Þ
ïþ
ï
ý
ü
-=´=
=
w
ww
 
k
r
v
irjrkv
ivv
C
CCE
E
rr
rrrr
rr
-=
Þ
ïþ
ï
ý
ü
-=´=
=
w
ww
 
c) 
k
r
a
k
r
v
A
A
r&r
rr
-=
Þ-=
w
w
 
k
r
a
k
r
v
B
B
r&r
rr
2
2
-=
Þ-=
w
w
 
k
r
a
k
r
v
C
C
r&r
rr
-=
Þ-=
w
w
 
d) 
iaa
ivv
A
A
rr
rr
=
Þ=
 
i
a
a
i
v
ir
r
v
jrkv
B
BB
rr
rrrrr
2
22
=
Þ==´= w
 
0
 )(constante 0
rr
rr
=
Þ=
C
C
a
v
 
 
C B 
A 
v
r
a
r
j
r
i
r
CIR 
A 
CIR 
C 
E 
CIR 
B 
D 0,75 
 
 
 
 
 
0,75 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,75 
 
 
 
 
 
0,75 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
(3,5 pontos) Questão 2 - O disco A de raio R gira em torno do eixo vertical y e a barra B de comprimento 2L está 
conectada ao disco por meio de um eixo horizontal que gira junto com o disco. A barra B gira em torno desse eixo 
com velocidade angular relativa ao disco igual a i
r
W- , constante. 
Na posição da figura o disco tem velocidade angular j
r
w- 
e aceleração angular j
r
&w . Expressando as respostas na base 
do sistema de coordenadas Oxyz, solidário ao disco, pede-se 
para calcular: 
 
a) A velocidade absoluta do ponto C, a velocidade 
relativa do ponto P e a velocidade absoluta do ponto P. 
b) A aceleração absoluta do ponto C. 
c) A aceleração relativa do ponto P. 
d) A aceleração absoluta do ponto P. 
Solução: 
a) 
 
kRv
iRjv
rvv
C
C
OCOC
rr
rrrr
rrrr
w
w
w
=
´-=
´+=
0
/
 
 
 
kLv
jLiv
rvv
relP
relP
CPrelCrelP
rr
rrrr
rrrr
W-=
´W-=
´W+=
,
,
/,,
0 
 
 
kRv
jLjkRv
rvv
arP
arP
CPCarP
rr
rrrr
rrrr
w
ww
w
=
´-=
´+=
,
,
/,
 
 
( )kLRv
kRkLv
vvv
P
P
arPrelPP
rr
rrr
rrr
W-=
+W-=
+=
w
w
,,
 
b) 
 
( )
( )
iRkRa
iRjjiRja
rraa
C
C
OCOCOC
rr
&r
rrrrr
&
rr
rrrr&rrr
2
//
0
ww
www
www
--=
´-´-´+=
´´+´+=
 
c) 
 
( )
( )
jLa
jLiijLa
rraa
relP
relP
CPCP
rel
relCrelP
rr
rrrrrrr
rrrr&rrr
2
,
,
//,,
00
W-=
´W-´W-´+=
´W´W+´÷
ø
öç
è
æW+=
 
d) 
 
( )
( )
iRkRa
jLjjjLjiRkRa
rraa
arP
arP
CPCPCarP
rr
&r
rrrrr
&
rr
&r
rrrr&rrr
2
,
2
,
//,
ww
wwwww
www
--=
´-´-´+--=
´´+´+=
 
 
 
iLa
kLja
va
corP
corP
relPcorP
rr
rrr
rrr
W=
W-´-=
´=
w
w
w
2
2
2
,
,
,,
 
 ( ) ( ) ( )
( ) kRjLiRLa
iLiRkRjLa
aaaa
P
P
corParPrelPP
r
&
rrr
rrr
&
rr
rrrr
www
www
-W--W=
W+--+W-=
++=
22
22
,,,
2
2 
A 
B 
O 
P 
C 
x 
y 
z 
w&
w
i
r
j
r
k
r
R 
W
L 
L 
P – extremidade 
superior da barra B 
C – centro da barra B 
1,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,5 
 
 
 
 
 
 
 
1,0 
0,5 
 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
 
(3,5 pontos) Questão 3 - A barra COD gira com velocidade angular w constante ao redor do eixo z que passa por O. 
A extremidade B da barra AB desliza sobre o braço OD com velocidade s& constante. Pede-se para determinar, 
expressando os vetores na base i
r
, j
r
, k
r
, e em função de s& , l, w e q : 
 
a) As velocidades relativa, de 
arrastamento e absoluta do ponto B. 
b) As acelerações relativa, de 
arrastamento e absoluta do ponto B. 
c) A velocidade relativa do ponto A, a 
velocidade angular relativa da barra 
AB (q& ) e a velocidade absoluta do 
ponto A. 
d) A velocidade angular absoluta da 
barra AB. 
 
Solução: 
 
a) 
isv relB
r
&
r
=, 
 
( )
jlv
ilkiskv
rvv
arB
arB
OBOarB
rr
rrrrrr
rrrr
qw
qww
w
sen
sen0
,
,
/,
=
´=´+=
´+=
 
 
 
jlisv
vvv
B
arBrelBB
rr
&r
rrr
qw sen
,,
+=
+=
 
b) 
0,
,
rr
r
&&
r
=
=
relB
relB
a
isa
 
 
( )
( )
ila
ilkkila
rraa
arB
arB
OBOBOarB
rr
rrrrrrr
rrrr&rrr
qw
qwwq
www
sen
sensen00
2
,
,
//,
-=
´´+´+=
´´+´+=
 
 
 
jsa
iska
va
corB
corB
relBcorB
r
&
r
r
&
rr
rrr
w
w
w
2
2
2
,
,
,,
=
´=
´=
 
( ) ( ) ( )
jsila
jsilaaaa
B
corBarBrelBB
r
&
rr
r
&
rrrrrr
wqw
wqw
2sen
2sen0
2
2
,,,
+-=
+-+=++=
 
 
 
ilv
jlkv
rvv
arA
arA
OAOarA
rr
rrrr
rrrr
qw
qw
w
cos
cos0
,
,
/,
-=
´+=
´+=
 
c) 
( )
jsv
slv
l
s
jvv
iljlisv
jilkisrvv
relA
relA
relArelA
relA
BArelBrelA
r
&r
&&
&&
rr
r&r&r&r
rrr&r&r&rr
q
qqq
q
qqqqq
qqqq
tg 
tgsen
cos
cossen
cossen
,
,
,,
,
/,,
-=
-=-=
=
Þ
ïþ
ï
ý
ü
=
--=
+-´+=´+=
 
 
jsilv
vvv
A
relAarAA
r
&
rr
rrr
qqw tgcos
,,
--=
+=
 
d) 
k
l
s
kk
l
s
kk
AB
arrelAB
r&r
rr&rr&rrr
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=
+=+=+=
w
q
w
w
q
wqwww
cos
cos
 
Obs.: no item (c) podemos calcular q& também por: 
( )
q
q
qqq
cos
cossen
l
s
lsls
&&
&&
=
=Þ=
 
 
y 
x 
w 
q 
j
r
i
r
O B 
D 
A 
C 
l 
s 
1,0 
 
 
 
 
 
 
1,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,5