Mecânica I - Poli - P2- 2002 - reoferecimento

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP.
Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
MECÂNICA A – PME 2100 - Segunda Prova – 16 de maio de 2002
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
seminário ou exercício em classe ou lista de exercícios (1,0 ponto)
1ª Questão (3,0 pontos)
Foram medidas as velocidades dos pontos A, B e C da
estrutura em forma de tronco de pirâmide esquematizada
na figura ao lado. As velocidades medidas num instante
de movimento foram: jViVVB
ÿÿÿ
−= 4 ,
kVjViVVA
ÿÿÿÿ
6)2/(2 −−= e 0=CV
ÿ
. Pede-se:
a) verificar se as velocidades dos pontos A e B respeitam
a condição de corpo rígido da estrutura.
b) determinar as componentes do vetor velocidade
angular da estrutura kji zyx
ÿÿÿÿ
ωωωω ++=
2ª Questão (3,0 pontos)
A biela AB de comprimento L e articulada em A, liga o
disco de centro em O com o pistão articulado em B. O
disco gira a uma velocidade angular ω constante e o pistão
desliza sobre a guia na direção X. Pede-se determinar:
a) graficamente centro instantâneo de rotação da biela AB
b) a relação entre os ângulos ϕϕϕϕ e θθθθ
c) a velocidade angular ΩΩΩΩ da biela AB
d) a velocidade e aceleração do ponto B.
3ª Questão (3,0 pontos)
O disco de raio R gira em torno do eixo vertical com
aceleração angular ω� conforme mostrado na figura. A
barra PC de comprimento L e articulada no disco em C,
gira com velocidade constante ΩΩΩΩ. Expressando nas
coordenadas Oijk solidárias ao disco, pede-se determinar:
a) velocidades relativa e absoluta dos pontos C e P
b) a aceleração absoluta do ponto C
c) a aceleração relativa e absoluta do ponto P
A
B
R
L
X
Y
o
ϕ θ
ω
z
O
x
y
P
C
ω
Ω
L
i
ÿ
k
ÿ
jÿR
ω�
Y
Z
jÿk
ÿ
i
ÿ
o
X
a
AV
ÿ
aa
3a
aa
A
C
BB
V
ÿ
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP.
Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
MECÂNICA A – PME 2100 - Segunda Prova – 16 de maio de 2002
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
seminário ou exercício em classe ou lista de exercícios (1,0 ponto)
Resolução da Prova
1ª Questão (3,0 pontos)
Foram medidas as velocidades dos pontos A, B e C da
estrutura em forma de tronco de pirâmide esquematizada
na figura ao lado. As velocidades medidas num instante
de movimento foram: jViVVB
ÿÿÿ
−= 4 ,
kVjViVVA
ÿÿÿÿ
6)2/(2 −−= e 0=CV
ÿ
. Pede-se:
a) verificar se as velocidades dos pontos A e B respeitam
a condição de corpo rígido da estrutura.
b) Determinar as componentes do vetor velocidade
angular da estrutura kji zyx
ÿÿÿÿ
ωωωω ++=
Resolução:
a) Verificação da propriedade fundamental de corpo rígido:
)()( BAVBAV BA −⋅=−⋅
ÿÿ
kVjViVVA
ÿÿÿÿ
6)2/(2 −−= jViVVB
ÿÿÿ
−= 4 kaiaBA
ÿÿ
−=− 3)(
)3()4()3(]6)2/(2[ kaiajViVkaiakVjViV
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
−⋅−=−⋅−− VaVaVa 1266 =+ (1,0 ponto)
Portanto as velocidades respeitam a condição de corpo rígido da estrutura.
b) Vetor velocidade angular:
)( CAVV CA −∧+= ω
ÿÿÿ
)3()(06)2/(2 kaiakjikVjViV zyx
ÿÿÿÿÿÿÿÿ
+∧+++=−− ωωω
jaiakajakVjViV zyyx
ÿÿÿÿÿÿÿ
336)2/(2 ωωωω ++−−=−−
iaiV y
ÿÿ
ω=2 jajajV zx
ÿÿÿ
3)2/( ωω +−= kakV y
ÿÿ
36 ω=− aVy /2=ω
)( CBVV CB −∧+= ω
ÿÿÿ
kakjijViV zyx
ÿÿÿÿÿÿ
2)(04 ∧+++=− ωωω iajajViV yx
ÿÿÿÿ
224 ωω +−=− )2/( aVx =ω
substituindo em jajajV zx
ÿÿÿ
3)2/( ωω +−= 0=zω (2,0 pontos)
Y
Z
jÿk
ÿ
i
ÿ
o
X
a
AV
ÿ
aa
3a
aa
A
C
BB
V
ÿ
k
ÿ
i
ÿ
jÿ
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Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP.
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Departamento de Engenharia Mecânica
2ª Questão (3,0 pontos)
A biela AB de comprimento L e articulada em A, liga o
disco de centro em O com o pistão articulado em B. O
disco gira a uma velocidade angular ω constante e o pistão
desliza sobre a guia na direção X. Pede-se determinar:
a) graficamente centro instantâneo de rotação da biela AB
b) a relação entre os ângulos ϕϕϕϕ e θθθθ
c) a velocidade angular ΩΩΩΩ da biela AB
d) a velocidade e aceleração do ponto B.
Resolução:
a) CIR – intersecção perpendicular a iVV BB
ÿÿ
= e AV
ÿ
ou seja (A-O) (0,5 ponto)
)( OAVV OA −∧+= ω
ÿÿÿ )sen(cos0 jiRkVA
ÿÿÿÿ
ϕϕω +∧+= )sen(cos ijRVA
ÿÿÿ
ϕϕω −=
b) no triângulo OAB tem-se: )sen(sen θϕ −= LR θϕ sensen LR −= (0,5 ponto)
c) derivando: θθϕϕ coscos �� LR −= θϕω coscos Ω−= LR θ
ϕω
cos
cos
L
R
−=Ω (1,0 ponto)
d) )( ABVV AB −∧Ω+=
ÿÿÿ )sencos()sen(cos jLiLkijRVB
ÿÿÿÿÿÿ
θθϕϕω −∧Ω+−=
iLjLiRjRVB
ÿÿÿÿÿ
θθϕωϕω sencossencos Ω+Ω+−=
jRLiRLVB
ÿÿÿ )coscos()sensen( ϕωθϕωθ +Ω+−Ω=
jRL
L
RiRLVB
ÿÿÿ )coscos
cos
cos()sensen( ϕωθ
θ
ϕωϕωθ +−+−Ω=
iRLVB
ÿÿ )sensen( ϕωθ −Ω= (0,5 ponto)
derivando em relação ao tempo:
iRLLaB
ÿ
���
ÿ )coscossen( ϕϕωθθθ −Ω+Ω=
iRLLaB
ÿ
�ÿ )coscossen( 22 ϕωθθ −Ω+Ω= (0,5 ponto)
A
B
R
L
X
Y
o
ϕ θ
ω
CIR
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Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP.
Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
3ª Questão (3,0 pontos)
O disco de raio R gira em torno do eixo vertical com
aceleração angular ω� conforme mostrado na figura. A barra
PC de comprimento L e articulada no disco em C, gira com
velocidade constante ΩΩΩΩ. Expressando nas coordenadas Oijk
solidárias ao disco, pede-se determinar:
a) velocidades relativa e absoluta dos pontos C e P
b) a aceleração absoluta do ponto C
c) a aceleração relativa e absoluta do ponto P
Resolução:
a) velocidade absoluta de C , relativa e absoluta do ponto P
)( OCVV OC −∧+= ω
ÿÿÿ jRkVC
ÿÿÿ
∧+= ω0 iRVC
ÿÿ
ω−= (0,5 ponto)
)(
,,
CPVV relCrelP −∧Ω+=
ÿÿÿ
kLjV relP
ÿÿÿ
∧Ω+= 0
,
iLV relP
ÿÿ
Ω=
,
)(
,,
CPVV arrCarrP −∧+= ω
ÿÿÿ kLkiRV arrP
ÿÿÿÿ
∧+−= ωω
,
iRV arrP
ÿÿ
ω−=
,
arrPrelPP VVV ,,
ÿÿÿ
+= iRLV arrP
ÿÿ )(
,
ω−Ω= (0,5 ponto)
b) a aceleração absoluta do ponto C:
)]([)( OCOCaa OC −∧∧+−∧+= ωωω
ÿÿ�ÿÿÿ ][0 jRkkjRkaC
ÿÿÿÿÿ
�
ÿ
∧∧+∧+= ωωω
jRiRaC
ÿÿ
�
ÿ 2ωω −−= (0,5 ponto)
c) a aceleração relativa e absoluta do ponto P:
)]([)(
,,
CPCPaa relCrelP −∧Ω∧Ω+−∧Ω+=
ÿÿ�ÿÿÿ ][00
,
kLjjkLja relP
ÿÿÿÿÿÿ
∧Ω∧Ω+∧+=
kLa relP
ÿÿ 2
,
Ω−= (0,5 ponto)
)]([)(
,
CPCPaa CarrP −∧∧+−∧+= ωωω
ÿÿ�ÿÿÿ ][2
,
kLkkkLkjRiRa arrP
ÿÿÿÿÿ
�
ÿÿ
�
ÿ
∧∧+∧+−−= ωωωωω
jRiRa arrP
ÿÿ
�
ÿ 2
,
ωω −−=
relParrcorP Va ,, 2
ÿÿÿ
∧= ω iLka corP
ÿÿÿ Ω∧= ω2
,
jLa corP
ÿÿ Ω= ω2
,
(0,5 ponto)
corParrPrelPP aaaa ,,,
ÿÿÿÿ
++= )2()()( 22 jLjRiRkLaP
ÿÿÿ
�
ÿÿ Ω+−−+Ω−= ωωω
kLjRLiRaP
ÿÿÿ
�
ÿ 22 )2( Ω−−Ω+−= ωωω (0,5 ponto)
z
O
x
y
P
C
ω
Ω
L
i
ÿ
k
ÿ
jÿR
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