Mecânica I - Poli - Prec - 2001

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
PME-2100 - Mecânica A - Prova de Recuperação. 20/02/2002 
Duração: 100 min 
(não é permitido o uso de calculadoras) 
 
 
1a. Questão (5 pontos) - Um anel tem raio R e sua espessura h é desprezível. Na periferia do anel, no 
ponto C, está rigidamente fixada (soldada) uma esfera de raio desprezível, de tal forma que o baricentro G 
do conjunto está a uma distância R/2 do centro O. Este corpo rígido, formado pelo anel e a esfera, pode 
rolar sem escorregar sobre a barra AB. A barra AB, por sua vez, tem movimento de translação, deslizando 
sobre um plano horizontal. A aceleração da barra AB é constante e conhecida: iaa
rr
−= . 
São dados, para o sólido formado pelo anel e a esfera: 




=
2
3 :inércia de Momento
2 :Massa
2mRJ
m
zG
 
 
Assim, no instante mostrado na figura (neste instante a velocidade angular do anel é nula): 
a) Adotando a barra AB como referencial móvel, e o solo como referencial fixo, determine as 
acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do baricentro G, em função de m, de R, 
de ar e da aceleração angular do sólido. 
b) Desenhe o diagrama de corpo livre do sólido. 
c) Determine a aceleração angular do sólido em função de m, de R, e de ar . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ar
A B 
h
R/2 
i
r
j
r
g 
O 
R 
G
C 
 
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Solução da 1a. questão: 
a) 
Observando o sistema, verificamos que iRa rO
r
&
r
ω−=, . Lembrando ainda que, no instante considerado, 
0
rr
=ω , teremos: 
 
Aceleração relativa: 
( ) ( )[ ] ( ) iRajRkiRaOGOGaa rGrGrOrG r&rrr&r&rrr&rrr 22 ,,,,
ω
ωωωωω −=⇒−×+−=⇒−××+−×+= 
 
Aceleração de arrastamento: iaa aG
rr
−=, 
 
Aceleração de Coriolis: 0,
rr
=cGa (o referencial móvel tem velocidade angular nula). 
 
Aceleração absoluta: iaRaaaaa GcGaGrGG
r&rrrrr






+−=⇒++=
2,,,
ω 
 
 
 
 
b) Diagrama de corpo livre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
TMB: 
aaxG Fa
RmFam =





+−⇒=
2
22 ω
&
 
 
TMA: 
2
RFJ azG =ω& 
 
maRmRmRRa
R
mmR −=





+⇒





+−= ω
ω
ω &
&
&
22
3
22
2
2
3 222 
R
amaRmR
2
2 2 −=⇒−= ωω && ⇒ k
R
a r&r
2
−=ω
 
O 
G 
C 
2mg 
Fa 
N 
 
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2a. Questão (5 pontos) - O corpo rígido, mostrado na figura abaixo, é composto da placa triangular ABC, 
uniforme, de espessura muito pequena e massa m, e da barra cilíndrica BC, uniforme, de diâmetro muito 
pequeno e massa de idêntico valor, m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DADOS: Momentos de inércia para as figuras genéricas. 
 
Barra: 
12
2mLJ Gy = 
G x
y
L
 
Triângulo: 
18
2maJ Gx = 
 
y 
xa G
a/3
 
 
 
Pede-se: 
a) Determine as coordenadas do baricentro do corpo rígido. 
b) Desenhe o diagrama de corpo livre e determine as reações verticais dos vínculos, em A e B. 
c) Determine o momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo Cx. 
d) Supondo que o apoio simples em B seja subitamente retirado, e desprezando os atritos, determine o 
módulo da velocidade angular do corpo rígido quando BC for paralelo a Cy. 
x 
z 
y 
18b 
24b 
Anel em A 
Este apoio simples impede a translação
do vértice B na direção do eixo y 
C 
A 
B 
g 
Articulação em C Placa 
triangular 
Barra cilíndrica
 
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Solução da 2a. questão: 
 
a) 
bx
mm
mbmx GG 3
0.6.
=⇒
+
+
= 0=Gy bzmm
bmbmz GG 10
12.8.
=⇒
+
+
= 
b) Diagrama de corpo livre: 
Equilíbrio: 
 
Componente em z do momento em relação ao pólo C: 
3
03.218.0 mgAbmgbAM yyzC =⇒=−⇒= 
 
Componente em x do momento em relação ao pólo C: 
6
5010.224.0 mgBbmgbBM yyxC =⇒=−⇒= 
 
 
 
c) 
( ) ( ) ( ) ( ) 2
 cilíndrica Barra
2
2
ar triangulPlaca
2
2
28812
12
248
18
24 mbJbmbmbmbmJ xC
BC
xC =⇒





++





+=
444 3444 21444 3444 21
 
 
d) TEC: 
 
WEE =− 0 
Neste sistema, desprezando os atritos, apenas a força peso 
realiza trabalho: 
( ) ( ) mgbbmghmgW 201022 === 
Energia cinética (Cx é o eixo de rotação fixo do sólido): 
22
2
144
2
ω
ω
mb
J
E xC == 
 
 
 
Portanto: 
 
mgbmb 200144 22 =−ω 
b
g
mb
mgb
36
5
144
20
2
2
=⇒= ωω 
 
x 
z 
y 
C 
A 
B 
3b 
10b
G 
Az
Ay 
Cz
Cy
Cx
By
2mg